iravahliablog.files.wordpress.com · Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | v Assalamu‟alaikum...

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | i

Disusun Oleh:

Nego Linuhung

Ira Vahlia

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | ii

LOGIKA, HIMPUNAN, DAN RELASI DAN FUNGSI

Pendidikan Matematika UM Metro

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | iii

LOGIKA, HIMPUNAN, DAN RELASI DAN FUNGSI Edisi 1 (2016)

Nego Linuhung

Ira Vahlia


Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | iv

LOGIKA, HIMPUNAN, DAN RELASI DAN FUNGSI

Penyusun : Nego Linuhung

Ira Vahlia

Dosen Pendidikan Matematika

Universitas Muhammadiyah Metro

Penerbit : Pendidikan Matematika UM Metro


Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | v

Assalamu‟alaikum warahmatullahi wabarakatuh.

Segala puji bagi Allah SWT. yang telah memberikan nikmat serta

hidayah-Nya terutama nikmat kesempatan dan kesehatan, sehingga penulis

dapat menyelesaikan modul ini. Kemudian shalawat beserta salam

senantiasa kita sanjung agungkan kepada Nabi besar Muhammad SAW.

yang telah memberikan pedoman hidup yakni Al-qur‟an dan Sunnah untuk

keselamatan umat di dunia.

Modul ini merupakan salah satu modul yang harus dipelajari oleh

mahasiswa khususnya program studi pendidikan matematika. Pada modul

ini membahas substansi logika, himpunan, relasi dan fungsi matematika.

Logika selalu digunakan dalam rangka melakukan pembuktian. Logika

tidak dapat dihindarkan dalam kehidupan manusia sehari-hari dalam

mencari kebenaran. Himpunan merupakan cara mengelompokkan objek

secara bersama-sama dan sangat fundamental dalam ilmu matematika,

sedangkan relasi dan fungsi merupakan bentuk yang digunakan untuk

mengetahui hubungan antar himpunan.

Sebagaimana kita juga ketahui logika, himpunan, relasi dan fungsi

memainkan peranan penting dalam berbagai bidang keilmuan, bahkan

dalam kehidupan sehari-hari dan terkait erat dengan berbagai ilmu lain

yang berhubungan dengan komputer, misalnya matematika diskrit, aljabar

linier, dan komputasi numerik.

Dalam penyusunannya, penulis memperoleh banyak bantuan dari

berbagai pihak, karena itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-

besarnya kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan

KATA PENGANTAR

https://id.wikipedia.org/wiki/Pembuktian

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | vi

modul ini. Meskipun penulis berharap isi dari modul ini bebas dari

kekurangan dan kesalahan, namun selalu ada yang kurang. Oleh karena itu,

penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun agar modul ini

dapat lebih baik lagi.

Nego Linuhung Ira Vahlia


Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | vii

HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i KATA PENGANTAR ....................................................................................... iii DAFTAR ISI ....................................................................................................... v BAB I PENDAHULUAN .................................................................................. 1 A. Deskripsi ....................................................................................................... 1 B. Materi Prasyarat .......................................................................................... 1 C. Capaian Pembelajaran................................................................................. 1 BAB II LOGIKA ................................................................................................. 3 A. Proposisi/Pernyataan ............................................................................... 3 B. Kalimat terbuka ......................................................................................... 5 C. Ingkaran atau negasi suatu proposisi ..................................................... 6 D. Pernyataan Majemuk ................................................................................ 8 E. Ingkaran Pernyataan Majemuk ............................................................. 13 F. Konvers, Invers, dan Kontraposisi ......................................................... 16 G. Pernyataan Berkuantor ............................................................................. 20 H. Ingkaran Suatu Pernyataan Berkuantor.................................................. 22 I. Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi .............................................. 23 J. Ekuivalen Logis ........................................................................................ 25 K. Inferensi Logika (Silogisme, Modus Ponens, dan Modus Tollens .......

BAB III HIMPUNAN ........................................................................................ 35 A. Pengertian dan Anggota Himpunan ........................................................ 35 B. Penulisan Himpunan .................................................................................. 35 C. Macam-macam Himpunan ........................................................................ 36 D. Hubungan antar Himpunan ...................................................................... 42 BAB III RELASI DAN FUNGSI ....................................................................... 55 1. Pengertian Relasi ......................................................................................... 55 2. Cara menyajikan relasi ............................................................................... 56 3. Jenis-jenis Relasi .......................................................................................... 59 4. Pengertian Fungsi ....................................................................................... 61 5. Notasi dan Nilai Fungsi ............................................................................. 63 6. Menyatakan Fungsi dalam Diagram Panah, Diagram Cartesius,

dan Himpunan Pasangan Berurutan ........................................................ 66 7. Menentukan Banyaknya Fungsi dari Dua Himpunan ........................... 67 8. Menentukan Bentuk Fungsi Jika Nilai dan Data Fungsi Diketahui ..... 69 9. Grafik Fungsi/Pemetaan ........................................................................... 70

DAFTAR ISI

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | viii

10. Macam-macam Fungsi ............................................................................... 72 11. Sifat-sifat Fungsi ......................................................................................... 80 12. Aljabar Fungsi ............................................................................................. 82 13. Fungsi Komposisi ....................................................................................... 83 14. Fungsi Invers ............................................................................................... 87 DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 92

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 1

A. Deskripsi

Materi Logika, Himpunan, Relasai dan Fungsi ini merupakan materi wajib

bagi mahasiswa Pendidikan Matematika. Hasil yang diharapkan dari

perkuliahan ini adalah memahami konsep-konsep dasar matematika dan

mengimplementasikan dalam kehidupan sehari-hari. Pokok bahasan pada

modul ini adalah logika, himpunan, dan relasi dan fungsi. Materi logika,

diantaranya dasar-dasar logika, tabel kebenaran, proposisi majemuk,

tautologi, ekuivalensi logis; materi himpunan diantaranya istilah dan

simbol himpunan, diagram Venn, relasi himpunan, operasi himpunan: dan

relasi dan fungsi diantaranya notasi dan nilai fungsi, grafik

fungsi/pemetaan, aljabar fungsi, fungsi komposisi, dan fungsi invers.

B. Materi Prasyarat

Materi ini tidak memerlukan pengetahuan prasyarat secara khusus.

Pengetahuan matematika yang telah didapat di pendidikan dasar dan

pendidikan menengah sudah cukup sebagai dasar untuk mempelajari

materi pokok modul ini.

C. Capaian Pembelajaran

Setelah mengikuti mata kuliah ini, diharapkan mahasiswa dapat:

1. Memahami proposisi, dan nilai kebenaran kalimat terbuka

2. Menjelaskan proposisi majemuk yang diwujudkan dalam ekspresi

logika dan pengoperasiannya

3. Menjelaskan validitas argumen yang berupa tautologi dan bukan

tautologi.

4. Menjelaskan hukum-hukum dalam logika yang diperoleh dari

ekuivalen berbagai ekspresi logika.

BAB I PENDAHULUAN


5. Menjelaskan proses pembuktian benar atau salahnya suatu

kesimpulan secara logika

6. Menjelaskan penggunaan teori inferensi yang melibatkan kuantor

7. Memahami pengertian himpunan, cara menyatakan himpunan, dan

diagram venn

8. Menjelaskan pengertian operasi dua himpunan atau lebih

9. Menjelaskan operasi himpunan, komplemen dan selisih himpunan

10. Menjelaskan pengertian relasi, cara menyajikan relasi, pengertian

fungsi, notasi dan nilai fungsi

11. Menyatakan fungsi dalam diagram panah, diagram cartesius, dan

himpunan pasangan berurutan

12. Menjelaskan pengoperasian aljabar fungsi

13. Memahami konsep fungsi komposisi dan fungsi Invers


Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang

mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-

bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat

dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika

matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan

kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika

sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model,

teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif.

A. Proposisi/Pernyataan

Definisi 1.1

Proposisi/Pernyataan merupakan kalimat yang mengandung nilai benar (B)

atau salah (S) tetapi tidak sekaligus kedua-duanya.

Perhatikan kalimat pada di bawah ini!

Contoh 1.1

1) Bandung adalah Ibu Kota Jawa Barat

2) 7 adalah faktor dari 10

3) Semoga selamat sampai tujuan

4) 2 adalah bilangan prima

5) x - 8 < 7

6) 5 + 6 = 11

7) x faktor dari 7

8) 5 + 4 > 7

9) Dilarang membuang sampah disini

10) y + 4 = 6

BAB I LOGIKA

http://site-math.blogspot.com/


Kalimat pada Contoh 1.1 yang merupakan pernyataan adalah 1, 2, 4, 6, dan

8 karena kalimat tersebut dapat ditentukan nilai kebenarannya yaitu benar

(B) atau salah (S).

Proposisi dinotasikan dengan huruf kecil seperti p, q, r dst.

Contoh 1.2:

1) p: Budi anak yang rajin

2) q: Semua manusia akan mati

3) r: Reno memakai topi

4) m: 5 + 6 = 11

Untuk menentukan nilai kebenaran suatu proposisi dapat memakai dasar

empiris dan dasar tak-empiris.

a. Dasar empiris: jika nilai kebenaran ditentukan dengan pengamatan

pada saat tertentu.

Contoh 1.3:

1) Ibu kota Provinsi Jawa Barat adalah Bandung (B)

2) Batu adalah benda cair (S)

b. Dasar tidak empiris: jika nilai kebenaran ditentukan menurut kaidah

atau hukum tertentu atau perhitungan-perhitungan dalam

matematika. Jadi nilai mutlak tidak terikat oleh waktu dan tempat.

Contoh 1.4:

1) Jumlah sudut dalam segitiga adalah 1800

2) akar persamaan x + 2 = 3 adalah 1

Dalam logika matematika, ada beberapa lambang-lambang (operator)

proposisi yang digunakan di dalam pengoperasiannya. Berikut adalah

lambang-lambang tersebut.


Tabel 1.1 Lambang-lambang (operator) Proposisi

No Nama Lambang Arti dalam Bahasa Sehari-hari

1. Negasi ~ tidak, bukan

2. Konjungsi ˄ dan, tetapi, meskipun,

walaupun

3. Disjungi ˅ Atau

4. Implikasi jika … maka …

5. Biimplikasi jika dan hanya jika … maka …

B. Kalimat terbuka

Definisi 1.2

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai

kebenarannya. Ciri dasar kalimat terbuka adalah adanya peubah atau

variabel.

Contoh 1.5:

1) 4x + 2 = 18

x adalah variabel, jika x diganti dengan 4, maka proposisi itu bernilai

Benar (B), namun jika x diganti dengan 5 atau bilangan bulat lain

maka proposisi itu bernilai Salah (S)

2) 7 + n adalah bilangan prima

n adalah variabel, jika n diganti dengan 4, maka proposisi tersebut

bernilai Benar (B). pada kasus ini, himpunan Penyelesaiannya

bergantung pada semestanya. Jika semestanya bilangan asli kurang

dari 7 dan n diganti dengan 1, 2, 3, 5, maka proposisi itu bernilai

salah (S).

3) Kota ... adalah ibukota provinsi Jawa Timur

... adalah variabel, jika ... diganti dengan Surabaya maka proposisi

bernilai benar (B).


C. Ingkaran atau negasi suatu proposisi

Ingkaran atau negasi dari suatu proposisi adalah proposisi yang

mengingkari pernyataan semula. Ingkaran dari proposisi p dinotasikan ~p.

Apabila proposisi bernilai benar, maka proposisi ~p bernilai salah.

Sebaliknya jika proposisi p bernilai salah maka proposisi ~ p bernilai benar.

~ p dibaca: tidak p atau tidak benar p atau bukan p

Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel kebenaran berikut:

p ~ p

B S

S B

Contoh 1.6:

1. p : 5 + 4 = 9

~ p : 5 +4 ≠ 9

2. ~ p : 3 + 2 = 7

~ (~ p) = p = 3 + 2 ≠ 7

3. p : Neneng memakai baju putih

~ p : Neneng tidak memakai baju putih

4. p : 2 + 5 > 9

~ p : 2 + 5 ≤ 9


1. Manakah yang merupakan proposisi, kalimat terbuka atau bukan

pernyataan dari kalimat-kalimat berikut ini:

a. Gunung bromo terletak di Jawa Tengah

b. Pergi saja kamu dari sini

c. Jakarta adalah ibukota Singapura

d. x adalah bilangan prima kurang dari 15

e. 3 adalah faktor dari 15

f. 2+5=9

g. 6 + x > 9

h. Mari kita belajar

i. 35 habis dibagi 2

2. Tentukan himpunan Penyelesaian dari kalimat terbuka berikut ini:

a. 4p – 1 = 41

b. x2 – 8x + 15 = 0

c. 4x2 – 12x - 7 = 0

d. 11

72

x

x

3. Tentukan Ingkaran dari pernyataan-pernyataan dari p berikut:

a. 13 adalah bilangan prima (B)

b. 7 + 5 ≠ 12 (S)

c. Ada bulan yang jumlah harinya 31 hari (B)

d. Besi tidak memuai bila dipanaskan (S)

e. 4 adalah bilangan Positif (B)

LATIHAN 1.a


D. Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal

yang dihubungkan dengan kata hubung.

Pernyataan majemuk menggunakan 4 kata hubung yaitu ˄, ˅, , dan

Tabel 1.2 Kata Hubung Pernyataan Majemuk

Pernyataan Dibaca disebut qp p dan q Konjungsi qp q atau q Disjungsi

p q Jika p maka q Implikasi

p q p jika dan hanya jika q atau jika p maka q dan

jika q maka p

Biimplikasi

1. Konjungsi

Konjungsi Merupakan pernyataan majemuk dengan kata penghubung

“dan”.

Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan qp yang

dibaca p dan q. Tabel kebenarannya :

Tabel 1.3 Tabel Kebenaran Konjungsi

p q qp

B B B

B S S

S B S

S S S

Contoh 1.7:

a. p : Arman lahir di Tulang Bawang

q : Arman Kuliah di Metro

Maka qp : Arman lahir di Tulang Bawang dan Kuliah di Metro

b. p : 42 = 15 (S)

q : 5 + 8 = 13 (B)

Maka qp : 42 = 15 dan 5 + 8 = 13 (S)


2. Disjungsi Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung atau.

Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan qp dan dibaca p atau q.

Apa yang dimaksud dari kata “atau” di atas maka muncul dua

macam jenis disjungsi yaitu:

a. Disjungsi Inklusif, yaitu dua pernyataan yang bernilai benar

apabila paling sedikit satu dari keduanya bernilai benar. Disjungsi

inklusif dua pernyataan p dan q ditulis qp .

b. Disjungsi Eksklusif, yaitu dua pernyataan bernilai benar apabila

hanya satu dari dua pernyataan bernilai benar. Disjungsi eksklusif

dua pernyataan p dan q ditulis qp .Tabel kebenarannya :

Tabel 1.3 Tabel Kebenaran Disjungsi Inklusif dan Eksklusif

p q qp qp B B B S

B S B B

S B B B

S S S S

Contoh 1.8:

Diketahui:

1. P : 3 + 5 = 8

q : Metro terletak di Palembang

Tentukan nilai kebenaran dari qp !

Penyelesaian:

P : 3 + 5 = 8 ........ (B)

q : Metro terletak di Palembang ........ (S)

Jadi:

qp : 3 + 5 = 8 atau Metro terletak di Lampung ........ (B)


Diketahui:

2. P : 3 + 5 = 8 .......... (B)

q : Metro terletak di Lampung .......... (B)

Tentukan nilai kebenaran dari qp !

Penyelesaian:

qp : 3 + 5 = 8 atau Metro terletak di Lampung .......... (S)

3. Implikasi

Untuk memahami implikasi, pelajarilah uraian berikut:

Anto berjanji pada Rina, “Jika malam nanti tidak hujan, maka saya akan

datang kerumahmu”. Janji Anto ini berlaku hanya untuk kondisi malam

nanti tidak hujan. Akibatnya, jika malam nanti hujan, tidak ada

keharusan bagi Anto untuk datang kerumah Rina.

Misalkan malam ini tidak hujan dan Anto datang kerumah Rina, Rina

tidak akan kecewa karena Anto memenuhi janjinya. Tapi, jika malam ini

hujan dan Anto tetap kerumah Rina, Rina tentu merasa senang sekali.

Jika malam ini hujan dan Anto tidak datang kerumah Rina, tentunya

Rina akan memakluminya. Bagaimana jika malam ini tidak hujan dan

Anto tidak kerumah Rina? Itu akan lain lagi ceritanya. Tentu saja Rina

akan kecewa dan menganggap Anto sebagai pembohong karena tidak

menepati janjinya.

Misalkan,

p : malam tidak hujan.

q : Anto datang kerumah Rina.

Pernyataan “jika malam nanti tidak hujan, maka Anto akan datang

kerumah Rina”. Dapat dinyatakan sebagai “jika p maka q” atau

dilambangkan dengan “p q”.


Suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p, maka q” disebut

implikasi.

Terdapat perbedaan antara implikasi dalam kegiatan sehari-hari dan

implikasi dalam logika matematika.

a. Sehari-hari, pernyataan hipotesis p haruslah memiliki hubungan

dengan pernyataan konklusi/konsekuen q. Misalnya, pada Contoh

implikasi sebelumnya, “Jika malam nanti tidak hujan maka saya

akan datang kerumahmu”. Artinya ada hubungan sebab-akibat.

b. Dalam logika matematika, pernyataan hipotesis/anteseden p tidak

harus memiliki hubungan dengan konklusi/konsekuen q.

Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika ....

maka .......”

Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan

p q

yang dibaca

- jika p maka q

- p jika hanya jika q

- syarat perlu bagi q

- q syarat cukup bagi p

Dari implikasi p q,

p disebut anteseden atau sebab atau hipotesa

q disebut konsekuen atau kesimpulan atau konklusi.

Tabel 1.4 Tabel Kebenaran Implikasi

P q qp

B B B

B S S

S B B

S S B


Contoh 1.9:

a) Tentukanlah nilai kebenaran dari implikasi berikut:

Jika 5 + 8 = 12, maka Batu adalah benda padat.

Penyelesaian:

5 + 8 = 12 ........... (S)

Batu adalah benda padat ........... (B)

Sehingga, Jika 5 + 8 = 12, maka Batu adalah benda padat

........... (B)

b) Diketahui

P : 5 + 8 = 10 ......... (S)

q : Lampung adalah ibukota negara Indonesia ........ (S)

Tentukan nilai kebenaran p q!

Penyelesaian:

Sehingga, p q : Jika 5 + 8 = 10 maka lampung adalah ibukota

negara Indonesia. ........ (B)

4. Biimplikasi

Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “.......jika

dan hanya jika............” dan dilambangkan .

Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p q yang dibaca p jika

dan hanya jika q atau jika p maka q dan jika q maka p.

Tabel kebenarannya:

Tabel 1.5 Tabel kebenaran Biimplikasi

p q qp

B B B

B S S

S B S

S S B


Contoh 1.10:

Diketahui:

p : 5 + 10 =16

q : Persegi memiliki jumlah sudut tiga

Tentukan nilai kebenaran p q!

Penyelesaian:

p : 5 + 10 =16 ........ (S)

q : Persegi memiliki jumlah sudut tiga ........ (S)

Sehingga:

p q : 5 + 10 = 16 jika dan hanya jika persegi memiliki jumlah sudut

tiga ........ (B)

Berdasarkan uraian kalimat majemuk di atas mengenai Konjungsi,

Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi, maka Tabel Kebenaran dapat

digambarkan pada Tabel berikut:

Tabel 1.6 Tabel kebenaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi

p q ~ p Tidak

p

qp p dan q

qp p atau q inklusif

qp p atau q eksklusif

qp Jika p

maka q

qp p jika dan

hanya jika q

B B S B B S B B

B S S S B B S S

S B B S B B B S

S S B S S S B B

E. Ingkaran Pernyataan Majemuk

Ingkaran dari suatu pernyataan majemuk dapat dibentuk dari ingkaran

pernyataan-pernyataan tunggal dengan menggunakan ekuivalensi, yaitu

jika ingkaran pernyataan-pernyataan majemuk itu mempunyai nilai

kebenaran yang sama dengan pernyataan majemuk ingkaran dari

komponen-komponennya. Berikut adalah ekuivalensi yang dimaksud:


1. Ingkaran dari suatu Konjungsi

Seperti yang telah dibahas pada konjungsi sebelumnya,

“Rudi sedang makan dan mendengarkan lagu”

Konjungsi dari pernyataan tersebut akan bernilai benar jika pertanyaan

tunggalnya bernilai benar. Sedangkan ingkaran adalah pernyataan yang

jika pernyataan awalnya bernilai benar maka pernyataan negasinya

bernilai salah, begitupun sebaliknya.

Oleh karena itu:

“Rudi sedang makan dan mendengarkan lagu”

Negasinya adalah:

“tidak benar Rudi sedang makan dan mendengarkan lagu”.

Dari pernyataan negasinya tersebut, bisa saja kenyataannya Rudi tidak

sedang makan tapi sedang mendengarkan lagu, atau bisa juga Rudi

sedang makan tapi tidak mendengarkan musik, atau juga dengan

kalimat lain Rudi tidak sedang makan atau tidak sedang mendengarkan

lagu.

Perhatikan Tabel Kebenaran Berikut ini:

Tabel 1.7 Tabel kebenaran Ingkaran dari suatu Konjungsi

p q ~ p ~ q qp ~ )( qp

)~~( qp

B B S S B S S

B S S B S B B

S B B S S B B

S S B B S B B

* *

Berdasarkan Tabel Kebenaran di atas nampak pada kolom ~ (p ˄ q)

dan ~ p ˅ ~ q memiliki pernyataan tunggal yang sama, sehingga dapat

disimpulkan bahwa ~ (p ˄ q) ≡ ~ p ˅ ~ q.


2. Ingkaran dari suatu Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung

“atau”.

Perhatikan pernyataan majemuk berikut:

“Mahasiswa diwajibkan membawa Pulpen atau Pensil”

Pernyataan disjungsi akan bernilai salah jika kedua pernyataan

tunggalnya bernilai salah. Sehingga negasinya yaitu salah satu

pernyataan tunggalnya adalah negasi dari komponen pernyataan

awalnya.

Tabel 1.8 Tabel Kebenaran Ingkaran dari suatu Disjungsi

p q ~ p ~ q qp ~ )( qp

)~~( qp

B B S S B S S

B S S B B S S

S B B S B S S

S S B B S B B

* *

Berdasarkan Tabel Kebenaran di atas nampak pada kolom

~ (p ˅ q) dan ~p ˄ ~q memiliki pernyataan tunggal yang sama sehingga

dapat disimpulkan bahwa ~ (p ˅ q) ≡ ~p ˄ ~q.

Sebagai latihan, silahkan buktikan sebagai latihan anda negasi dari

Implikasi dan Negasi dari Biimplikasi berikut:

a. ~ (p q) ≡ p ˄ ~q

b. ~ (p q) ≡ (p ˄ ~q) ˅ (q ˄ ~p)

Untuk membuktikan dapat dilakukan dengan tabel kebenaran.


F. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Konvers, Invers dan Kontraposisi adalah suatu pernyataan Implikasi baru

dari suatu pernyataan implikasi. Dari pernyataan yang berupa implikasi

p ⇒ q dapat dibuat pernyataan implikasi baru sebagai berikut:

Pernyataan q ⇒ p disebut Konvers dari p ⇒ q

Pernyataan ~p ⇒ ~q disebut Invers dari p ⇒ q

Pernyataan ~q ⇒ ~p disebut Kontraposisi dari p ⇒ q.

Untuk melihat hubungan nilai kebenaran antara implikasi, konvers, invers

dan kontraposisi perhatikanlah tabel kebenaran berikut:

Tabel 1.8 Hubungan antara Implikasi, Konvers, Invers dan Kontraposisi

p q ~p ~q Implikasi p ⇒ q

Konvers q ⇒ p

Invers ~p ⇒ ~q

Kontraposisi ~q ⇒ ~p

B B S S B B B B

B S S B S B B S

S B B S B S S B

S S B B B B B B

(1) (2) (3) (4)

Berdasarkan tabel di atas dapat disimpulkan sebagai berikut:

1. Implikasi kolom (1) ekuivalen dengan kontraposisinya kolom (4):

p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p

2. Konvers suatu implikasi kolom (2) ekuivalen dengan inversnya (3)

q ⇒ p ≡ ~p ⇒ ~q .

Contoh 1.11:

1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari setiap pernyataan

implikasi berikut :

a. Jika harga BBM naik, maka harga beras naik

b. Jika Arman siswa yang pandai, maka ia lulus tes


c. Jika harga turun, maka permintaan naik

d. Jika x = 7, maka x2 = 49

Penyelesaian:

a. Konvers : Jika harga beras naik, maka harga BBM naik

Invers : Jika harga BBM tidak naik, maka harga beras

tidak naik

Kontraposisi : Jika harga beras tidak naik, maka harga BBM

tidak naik.

b. Konvers : Jika Arman lulus tes, maka ia siswa yang

pandai

Invers : Jika Arman siswa yang tidak pandai, maka ia

tidak lulus tes

Kontraposisi : Jika Arman tidak lulus tes, maka ia siswa

yang tidak pandai

c. Konvers : Jika permintaan naik , maka harga turun

Invers : Jika harga tidak turun, maka permintaan

tidak naik

Kontraposisi : Jika permintaan tidak naik , maka harga tidak

turun

e. Konvers : Jika x2 = 49, maka x = 7

Invers : Jika x ≠ 7, maka x2 ≠ 49

Kontraposisi : Jika x2 ≠ 49, maka x ≠ 7


1. Tentukan nilai x agar kalimat:

3x + 1 =10 ˄ 5 adalah bilangan prima

Bernilai:

a. Benar, b. Salah

2. Tentukan nilai x agar kalimat:

x2 + 2 = 6 ˅ 2 - (-1) = 2, bernilai salah

3. Pernyataan p bernilai salah

Pernyataan q bernilai benar

Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi di bawah ini:

a. p ∧ q

b. p ∧ ~q

c. ~p ∧ q

d. ~p ∧ ~q

4. Pernyataan p bernilai salah

Pernyataan q bernilai benar

Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut:

a. p ∨ q

b. p ∨ ~q

c. ~p ∨ q

5. Tuliskan Ingkaran pernyataan majemuk berikut:

"Pada hari Senin siswa SMAN memakai sepatu hitam dan atribut

lengkap"

LATIHAN 1.b


6. Tentukan invers, konves dan kontraposisi dari proposisi

berikut ini:

a. Jika saya lapar, maka saya makan roti

b. Jika saya berwajah tampan, maka saya terkenal


berikut ini:

a. ~p ⇒ ~q

b. ~q ⇒ ~p

c. (p ∧ q) ⇒ r

d. p ⇒ (q ∧ r)

e. ~q ⇒ p

f. ~p ⇒ q

g. ~p ⇒ (q ∧ ~r)

h. (p ∨ ~q) ⇒ (q ∧ r)


berikut ini:

a. Jika α = 30o, maka cos α = 32

1

b. Jika x adalah sudut pada segitiga samasisi, maka x =60o

9. Bentuklah tabel kebenaran dari pernyataan majemuk

a. (p q) (~q r)

b. rqpp

10. Bentuklah tabel kebenaran dari pernyataan majemuk:

qpqp


G. Pernyataan Berkuantor

Kuantor merupakan suatu lambang yang apabila dibubuhkan pada suatu

kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu

kalimat tertutup atau pernyataan.

1. Kuantor Universal

Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap/semua obyek dalam

semestanya mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya.

notasi: “∀ ”, dibaca “ semua atau setiap”

jika p(x) merupakan suatu kalimat terbuka maka:

(∀x) p(x) dibaca “untuk semua/setiap x berlaku p(x)”

bernilai benar jika dan hanya jika p(x) benar untuk semua x dalam

semestanya.

Contoh 1.12

a. (∀x R) x2 ≥ 0

Dapat dibaca sebagai:

Kuadrat semua bilangan real tidak ada yang negatif

Semua bilangan real mempunyai kuadrat tak negatif

Setiap bilangan real mempunyai kuadrat tak negatif

Semestanya adalah himpunan bilangan bulat, benar atau

salahkah pernyataan berkuantor berikut:

(∀x Bulat) x2 + x – 2 = 0

Penyelesaian:

Meskipun ada nilai x yang memenuhi persamaan

x2 + x – 2 = 0, tetapi tidak semua bilangan bulat x yang

memenuhi persamaan tersebut, misalkan kita ambil nilai x = 2,

maka persamaannya 22 + 2 – 2 = 4 ≠ 0, maka ini jelas merupakan

pernyataan yang salah (S).


2. Kuantor Eksistensial

Kuantor eksistensial berarti ada/beberapa obyek dalam semestanya

mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya.

notasi: “∃“, dibaca “ada/beberapa/terdapat/paling sedikit satu”

jika p(x) merupakan suatu kalimat terbuka maka:

(∃x) p(x), dibaca “ada suatu x sehingga berlaku p(x)”

bernilai benar jika dan hanya jika paling sedikit ada satu nilai x

dalam semestanya yang menyebabkan p(x) benar, dan akan bernilai

salah jika untuk semua x dalam semestanya.

Contoh 1.12

a. (∃x Bulat) x2 = x

Ada bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan bilangan

itu sendiri

Beberapa bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan

bilangan itu sendiri

Terdapat paling sedikit satu bilangan bulat yang kuadratnya

sama dengan bilangan itu sendiri

b. Semestanya adalah himpunan bilangan bulat, benar atau

salahkah pernyataan berkuantor berikut:

(∃x Bulat) x2 + x – 2 = 0

Penyelesaian:

x2 + x – 2 = 0 dapat difaktorkan:

(x+2)(x-1) = 0

Jadi persamaan itu dapat dipenuhi untuk x1=-2 dan x2 = 1.

Sehingga memang benar ada x yang memenuhi persamaan

x2 + x – 2 = 0 yaitu -2 atau 1 sehingga pernyataan bernilai benar

(B)


H. Ingkaran Suatu Pernyataan Berkuantor

1. Ingkaran Kuantor Universal

Ingkaran dari “untuk semua/setiap x berlaku p(x): adalah

“ada(paling sedikit satu) x yang tidak berlaku p(x)”

~(∀x) p(x) ≡ (∃x) ~p(x),

Misalkan ada pernyataan

p: Semua siswa telah pulang dari sekolah

jika kita dapat menemukan paling sedikit 1 siswa yang belum

pulang, maka pernyataan dari p bernilai salah (S).

Contoh:

a. (∀x Bulat) x2 + x – 2 = 0

b. Semua ikan hiu telah musnah

c. (∀x Cacah) x2 + 1 > 0

Penyelesaian:

a. (∃x Bulat) x2 + x – 2 ≠ 0

b. Kalimat mula-mula : )( HiuIkanx (x telah musnah)

Ingkaran : )( HiuIkanx (x belum musnah)

Dalam bahasa sehari-hari: “ Ada Ikan Hiu yang belum musnah”

c. (∃x Cacah) x2 + 1 ≤ 0

2. Ingkaran Kuantor eksistensial

Ingkaran dari “ada suatu x sehingga berlaku p(x): adalah “untuk

semua/setiap x tidak berlaku p(x)”

Ingkaran kalimat berkuantor universal adalah kalimat

berkuantor eksistensial, sedangkan ingkaran kalimat berkuantor

eksistensial adalah kalimat berkuantor universal. Jika terdapat kalimat


kuantor universal (∀x) p(x) dan kalimat berkuantor eksistensial (∃x)

p(x), ingkaran dari keduanya dapat ditulis sebagai berikut:

~(∃x) p(x) ≡ (∀x) ~p(x),

Tentukan Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor berikut:

a. (∃x ϵ Bulat) x2 + x – 1 > 0

b. Terdapat bilangan bulat x sedemikian hingga x2 = 9

c. Ada Hewan yang berkaki empat

Penyelesaian:

a. (∀x ϵ Bulat) x2 + x – 1 ≤ 0

b. Kalimat awal : (∃x ϵ Bulat) x2 = 9

Ingkaran : (∃x ϵ Bulat) x2 ≠ 9

Dalam bahasa sehari-hari: “Kuadrat semua bilangan bulat tidak

sama dengan 25”

c. Semua Hewan tidak berkaki empat

I. Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi

1. Pernyataan majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua

kasus.

p ~(p q) adalah sebuah tautologi

Tabel 1.9 Tabel Kebenaran p ~(p q)

p q qp ~(p ˄ q) p ˅ ~ (p ˄ q)

B B B S B

B S S B B

S B S B B

S S S B B

Tabel di atas terlihat bahwa untuk semua nilai kebenaran dari

pernyataan p dan pernyataan q, pernyataan p ~(p q) bernilai

benar (B), maka p ~(p q) adalah sebuah tautologi.


2. Pernyataan majemuk disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua

kasus.

)( qp ~(p ˅ q) adalah sebuah Kontradiksi.

Tabel 1.10 Tabel Kebenaran )( qp ~(p ˅ q)

p q qp p ˅ q ~(p ˅ q) ( qp ) ˄ ~(p ˅ q)

B B B B S S

B S S B S S

S B S B S S

S S S S B S

Tabel di atas terlihat bahwa untuk semua nilai kebenaran dari

pernyataan p dan pernyataan q, pernyataan )( qp ~(p ˅ q)

bernilai salah (S), maka )( qp ~(p ˅ q) adalah sebuah kontradiksi.

3. Pernyataan majemuk disebut Kontingensi jika pernyataan majemuk

yang bukan Tautologi atau Kontradiksi

q ˄ ( qp ) p adalah sebuah Kontingensi

Tabel 1.11 Tabel Kebenaran q ˄ ( qp ) p

p q qp q ˄ ( qp ) q ˄ ( qp ) p

B B B B B

B S S S B

S B B B S

S S B S B

Tabel di atas terlihat bahwa untuk nilai kebenaran dari pernyataan p

dan pernyataan q, pernyataan q ˄ ( qp ) p pada baris ketiga

bernilai salah (S), dan baris yang lain bernilai benar (B),

maka q ˄ ( qp ) p adalah sebuah kontingensi.


J. Ekuivalen Logis

Dua kalimat disebut ekuivalen (secara logika) bila dan hanya bila keduanya

mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Jika p dan q adalah kalimat-kalimat yang ekuivalen maka dinotasikan p ≡ q,

jika p ≡ q maka q ≡ p.

Berikut adalah hukum-hukum aljabar pernyataan yang merupakan

ekuivalen logis:

1. Hukum identitas:

p S ≡ p

p B ≡ p

2. Hukum null/dominasi:

p S ≡ S

p B ≡ B

3. Hukum negasi:

p ~p ≡ B

p ~p ≡ S

4. Hukum idempoten:

p p ≡ p

p p ≡ p

5. Hukum involusi (negasi ganda):

~(~p) ≡ p

6. Hukum penyerapan (absorpsi):

p (p q) ≡ p

- p (p q) ≡ p

7. Hukum komutatif:

p q ≡ q p

p q ≡ q p


8. Hukum asosiatif:

p (q r) ≡ (p q) r

p (q r) ≡ (p q) r

9. Hukum distributif:

p (q r) ≡ (p q) (p r)

p (q r) ≡ (p q) (p r)

10. Hukum De Morgan:

~(p q) ≡ ~p ~q

~(p q) ≡ ~p ~q

Contoh 1.13:

Perlihatkan bahwa ~(~p ~q) ≡ p ˄ q

p q ~p ~q ~p ~q ~(~p ~q) p ˄ q

B B S S S B B

B S S B B S S

S B B S B S S

S S B B B S S

1. Tunjukkan bahwa p ~(p q) dan p ~q keduanya ekivalen secara

logika.

2. Buktikan hukum penyerapan: p (p q) ≡ p

Penyelesaian:

1. p ~(p q ) ≡ p (~p ~q) (Hukum De Morgan)

≡ (p ~p) (p ~q) (Hukum distributif)

≡ B (p ~q) (Hukum negasi)

≡ p ~q (Hukum identitas)

2. p (p q) ≡ (p S) (p q) (Hukum Identitas)

≡ p (S q) (Hukum distributif)

≡ p S (Hukum Null)

≡ p (Hukum Identitas)


1. Tunjukanlah bahwa p ~(p q) adalah sebuah tautologi

2. Buktikan hukum penyerapan: p (p q) ≡ p

3. Tunjukkan bahwa:

a. q~ p~qp ~ (hukum De Morgan)

b. q~ p~qp ~ (hukum De Morgan)

c. p q ~ p q

d. )( pqqpqp

LATIHAN 1.c


K. Inferensi Logika (Silogisme, Modus Ponens, dan Modus Tollens)

Argumen merupakan rangkaian kalimat-kalimat. Kalimat terakhir disebut

kesimpulan/konklusi. Sedangkan kalimat selain itu sebelumnya disebut

hipotesa/premis/asumsi.

Gambaran umum mengenai skema hipotesa/premis dan

kesimpulan/konklusi digambarkan seperti gambar di bawah ini:

p1

p2

... hipotesa/premis/asumsi

pn

q kesimpulan/konklusi

(tanda q dibaca “jadi q”)

Suatu argumen dikatakan valid apabila pernyataan implikasi

p1 p2 ... pn q merupakan tautologi.

1. Silogisme Hipotesis

Silogisme merupakan suatu bentuk pemikiran kesimpulan secara

deduktif dan tidak langsung yang mana kesimpulannya ditarik dari dua

premis yang tersedia sekaligus. Dua premis yang dimaksud adalah

premis mayor dan premis minor. Kesimpulan tersebut sering disebut

argumentasi.

Premis mayor:

Premis minor:

Konklusi/kesimpulan:

Penarikan kesimpulan dengan kaidah silogisma diperoleh dari premis-

premis qp dan rq dapat ditarik konklusi rp . Penarikan

kesimpulan seperti ini disebut kaidah silogisma.

Jika qp benar dan rq benar maka rp benar.


Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut :

qp . . . . . premis 1

rq . . . . . premis 2

rp . . . kesimpulan / konklusi

Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat dituliskan sebagai

rprqqp valid atau tidak suatu silogisme dapat

diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut :

Tabel 1.12 Tabel nilai kebenaran rprqqp .

p q r qp rq rp

rq

qp

rp

rqqp

B B B B B B B B

B B S B S S S B

B S B S B B S B

B S S S B S S B

S B B B B B B B

S B S B S B S B

S S B B B B B B

S S S B B B B B Dari tabel kebenaran di atas dapat terlihat bahwa

rprqqp merupakan tautologi. Jadi silogisme

merupakan argumentasi yang valid.

Contoh 1.14:

1) Misalkan Implikasi “ Jika saya Rajin Belajar, maka saya mendapatkan

nilai bagus” dan implikasi “Jika saya mendapat nilai bagus, maka saya

mendapat hadiah dari Ibu” adalah benar. Maka menurut kaidah

silogisma diperoleh penarikan kesimpulan sebagai berikut:

Jika saya Rajin Belajar, maka saya mendapatkan nilai bagus

Jika saya mendapat nilai bagus, maka saya mendapat hadiah dari Ibu

Jika saya Rajin Belajar, maka saya akan mendapat hadiah dari Ibu.


2) Perhatikan Contoh selanjutnya:

Jika 2 adalah bilangan genap, maka 3 adalah bilangan ganjil

Jika 3 adalah bilangan ganjil, maka 5 adalah bilangan prima

Jika 2 adalah bilangan genap, maka 5 adalah bilangan prima

Penarikan kesimpulannya adalah Jika 2 adalah bilangan genap, maka

5 adalah bilangan prima.

2. Modus Ponens

Jika qp benar dan p benar maka q benar.

Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut :

qp . . . . . . premis 1

p . . . . . . premis 2

q . . . . . kesimpulan / konklusi

Dalam bentuk implikasi, argumentasi tersebut dapat dituliskan

sebagai qpqp . Argumentasi ini dikatakan valid jika

pernyataan implikasi qpqp merupakan tautologi.

Tabel 1.13 Tabel nilai kebenaran dari qpqp

p q qp qp p pqp p

B B B B B

B S S S B

S B B S B

S S B S B

Dari tabel kebenaran di atas tampak bahwa qpqp

merupakan tautologi, jadi argumen tersebut valid.

Contoh 1.15

1) Misalkan implikasi “Jika 10 habis dibagi 5, maka 3 adalah

bilangan ganjil” dan “10 habis dibagi 5” keduanya benar. Maka

menurut kaidah modus ponens diperoleh penarikan kesimpulan

sebagai berikut:


Jika 10 habis dibagi 5, maka 3 adalah bilangan ganjil

10 habis dibagi 5

3 adalah bilangan ganjil.


Jika saya makan maka saya kenyang

Saya makan

Saya kenyang

3. Modus Tollens

Jika qp benar dan q~ benar maka p benar

Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut:

qp . . . . . premis 1

~q . . . . . premis 2

~p . . . . . . kesimpulan / konlusi

Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat dituliskan sebagai

pqqp ~~ , valid atau tidak suatu modus tollens dapat

diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut!

Tabel 1.14 Tabel nilai kebenaran pqqp ~~

p q ~p ~q qp qp

q~

qqp ~

p~

B B S S B S B

B S S B S S B

S B B S B S B

S S B B B B B

Dari tabel kebenaran di atas tampak bahwa pqqp ~~

merupakan tautologi. Jadi modus tollens merupakan argumentasi

yang valid.


Contoh 1.16

1) Misalkan implikasi “5 adalah bilangan ganjil, maka 3 adalah

bilangan prima” dan implikasi “3 adalah bilangan komposit”

keduanya benar maka menurut kaidah modus tollens diperoleh

penarikan kesimpulan sebagai berikut:

5 adalah bilangan ganjil, maka 3 adalah bilangan prima

3 adalah bilangan komposit

5 adalah bilangan genap


Jika saya makan maka saya kenyang

Saya tidak makan

Saya tidak kenyang

4. Simplifikasi

Kaidah simplikasi diperoleh dari tautologi (p q) → p. Pada kasus

ini p dan q adalah hipotesis, sedangkan q adalah kesimpulan.

Jika p benar dan q benar maka q benar

Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut:

p q

q

Contoh 1.17

1) Rudi memiliki mobil dan memiliki motor. Kesimpulannya Rudi

punya motor.

Menggunakan kaidah simplifikasi diperoleh penarikan

kesimpulan sebagai berikut:

Rudi memiliki mobil dan memiliki motor

Rudi memiliki motor


Menggunakan kaidah simplifikasi juga diperoleh penarikan

kesimpulan sebagai berikut:

Rudi memiliki mobil dan memiliki motor

Rudi memiliki mobil

Urutan pernyataan dalam konjungsi tidak berpengaruh,

p q ≡ q p


1. P1 : jika saya belajar, maka saya tahu banyak hal

P2 : jika saya tahu banyak hal, maka saya menjadi siswa teladan

Konklusi:.............................................................................

2. P1 : jika ABC sama sisi, maka A = B = C

P2 : A ≠ B ≠ C

Konklusi:.............................................................................

3. P1 : jika x suatu integer, maka 2x adalah bilangan genap

P2 : 2x bukan bilangan genap

Konklusi:.............................................................................

4. P1 : Jika n adalah bilangan asli, maka 2n adalah bilangan asli

genap

P2 : Jika 2n adalah bilangan asli genap, maka (2n+1) adalah

bilangan asli ganjil

Konklusi:.............................................................................

5. Gunakan tabel kebenaran untuk mengetahui manakah yang sah dari

tiap argumen berikut ini:

a. qp p~ q~ b. qp ~ q~ p

c. qp rq ~

rp ~

LATIHAN 1.d


Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan obyek-obyek yang berbeda.

Himpunan dinotasikan dengan huruf besar A, B, C,... Obyek dalam

himpunan disebut elemen/anggota, yang disimbolkan dengan huruf kecil a,

b, c.....

Himpunan biasanya diberi simbol huruf kapital dan anggota himpunan

dibatasi dengan tanda kurung kurawal { … }

Contoh :

1. A = {b, c, d} artinya bahwa himpunan A mempunyai anggota b, c dan d

atau dengan kata lain dapat dikatakan b, c dan d merupakan anggota

himpunan A. Untuk menyatakan bahwa suatu benda atau object menjadi

anggota suatu himpunan digunakan lambang dan untuk menyatakan

bahwa suatu objek bukan merupakan anggota himpunan digunakan

symbol .

2. A = {b,c,d} dan B = {e,f}

maka b A dan b B

c A dan c B

d A dan d B

Penulisan himpunan yang biasa dipergunakan ada dua bentuk yaitu;

a. Bentuk Enumerasi yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan semua

anggota himpunan dianta dua kurung kurawal

Contoh :

1. A = { a, b, c, d, e } menyatakan himpunan 5 huruf pertama.

2. B = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 } menyatakan himpunan 6 bilangan ganjil.

3. C = { 11, 13, 17, 19 } menyatakan himpunan 4 bilangan prima.

A. HIMPUNAN DAN ANGGOTA HIMPUNAN

BAB II HIMPUNAN

B. PENULISAN HIMPUNAN


b. Notasi Pembentuk Himpunan yaitu penulisan himpunan dengan

menuliskan sifat anggotanya pada suatu notasi diantara dua kurung

kurawal.

Contoh :

1. A = { x | x = lima huruf pertama abjad }.

2. B = { x | x = enam bilangan ganjil pertama }.

c. Diagram Venn yaitu menuliskan himpuan dalam bentuk diagram dimana

himpunan semestanya digambarkan dengan segi empat sedangkan

himpunanhimpunan yang ada dilingkungannya digambarkan dengan

lingkaran.

Gambar 2.1

Contoh :

1. Tuliskan dalam bentuk enumerasi himpunan berikut serta

kardinalitasnya:

a. A = { x | x himpunan bilangan bulat, 2 < x < 10 }

b. B = { x | x himpunan bilangan bulat, x2 + 1 10 }

c. C = { x | x himpunan bilangan bulat, x bilangan ganjil, 5 < x < 5 }

Penyelesaian:

a. A terdiri dari semua bilangan bulat antara 3 dan 9, sehingga A = { 3, 4,

5, 6, 7, 8, 9 } dan n ( A ) = 7


b. B memuat semua bilangan bulat yang memenuhi persamaan x 2 + 1 =

10, sehingga B = { 2, 3, 1, 2, 3 } dan n ( B ) = 5

b. C = { 3, 1, 1, 3 } dan n ( C ) = 4

Berdasarkan pengamatan dengan memperhatikan jumlah anggotanya,

himpunan dibagi menjadi beberapa macam:

a. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota

dan dinotasikan dengan atau { }, himpunan kosong merupakan

himpunan bagian dari setiap himpunan.

Himpunan kosong disajikan dalam bentuk diagram Venn sebagai berikut:

Gambar 2.2

Contoh:

1. Jika P adalah himpunan nama-nama bulan yang dimulai dengan

huruf K, nyatakan dalam notasi himpunan P

Penyelesaian :

P = atau P = { } karena tidak ada nama bulan yang dimulai dengan

huruf K

2. R = {x | x adalah bilangan ganjil yang habis dibagi 2}

nyatakan dalam notasi himpunan R

C. MACAM-MACAM HIMPUNAN


Penyelesaian :

R = atau R = { } karena bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak

habis dibagi 2.

3. Apakah {0}=? Jelaskan mengapa demikian?

Penyelesaian:

Himpunan kosong tidak mempunyai anggota, misalkan ada

himpunan Q = {x | x < 1, x C}, maka Q = {0} atau n(Q) = 1.

Anggota himpunan Q adalah 0. Jadi, himpunan Q bukan merupakan

himpunan kosong.

4. Apakah = {}? Jelaskan mengapa demikian?

Himpunan kosong tidak mempunyai anggota, sedangkan {} adalah

himpunan yang anggotanya himpunan kosong, sehingga himpunan

ini memiliki satu anggota, yaitu , jadi dengan demikian jelas bahwa

≠ {}

b. Himpunan Semesta

Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang

memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan

semesta (semesta pembicaraan) biasanya dilambangkan dengan S atau U.

Contoh:

Diketahui:

A = {1,3,5,7,}

Maka semesta pembicaraan dari himpunan A adalah himpunan

S = {Bilangan Prima}. Artinya, S adalah himpunan semesta dari A.

Himpunan S memuat semua anggota himpunan A.

Jika kita membicarakan himpunan bilangan asli kurang dari 8, yaitu:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A ={1, 3, 5, 7}


B = {2, 4, 6}

C = {7, 8, 9}

Maka S adalah semesta dari himpunan A dan B, tetapi bukan semesta

dari himpunan C.

Jika digambarkan dengan diagram Venn:

Gambar 2.3

c. Himpunan Berhingga (Finite Set)

Himpunan yang memiliki banyak anggotanya berhingga disebut himpunan

berhingga.

Contoh:

1. A = {a, b, c, d, e, f} dengan n(A) = 6

2. B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} dengan n(B) = 7

3. P adalah himpunan bilangan Asli yang kurang dari 20

Jika dinyatakan dalam bentuk mendaftar sebagai berikut:

P = {1, 2, 3, . . . , 19} dengan n(P) = 19

4. Q adalah himpunan nama bulan yang diawali dengan huruf M


Q = {Maret, Mei} dengan n(Q) = 2

5. Himpunan mahasiswa program studi matematika UM Metro

(apakah himpunan ini berhingga atau tidak?)


d. Himpunan Tak Berhingga (Infinite Set)

Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan

tak berhingga.

1. A = {x | x bilangan Asli}


A = {1, 2, 3, 4, . . .}

2. A = {x | x bilangan Bulat}


B = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}

3. P adalah himpunan kelipatan 5 dari bilangan asli


P = {5, 10, 15, 20, 25, . . .}

4. Q adalah himpunan bilangan cacah


Q = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}


1. Nyatakan himpunan berikut ini dengan menuliskan semua anggotanya

dan dengan menuliskan sifat-sifatnya:

A = Himpunan bilangan asli antara 4 dan 9

B = Himpunan yang anggotanya adalah meja, kulkas, kucing, tanah

2. Misalkan kpositifbulatbilangansuatuuntuknZnS k)1(

(dengan Z = himpunan bilangan prima). Nyatakan himpunan S dengan

cara mendaftarkan anggotanya.

3. Misalkan A = 6,5,4,3 , B = 10,5 dan C= 6,4 . Tentukan apakah relasi-

relasi berikut ini yang benar? Berikan alasannya.

a. AB

b. CC

c. AC

4. Buktikan bahwa:

a. Himpunan kosong adalah himpunan bagian semua himpunan.

Jadi ∅ A untuk semua himpunan A.

b. Himpunan kosong adalah tunggal

LATIHAN 2.a


a. Himpunan Bagian

Semesta pembicaraan (simbol S) adlah himpunan semua obyek yang

dibicarakan. Suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut

himpunan kosong, diberi simbol ∅ atau .

Jika A dan B adalah himpunan-himpunan maka A disebut himpunan bagian

(subset) dari B bila dan hanya bila setiap anggota A juga merupakan

anggota B.

AB )(( BxAx

Perhatikan gambar 2.4. Jika A adalah himpunan bagian B, dikatakan juga

bahwa B memuat A (simbol B )A .

Jika ada anggota A yang bukan anggota B, berarti A bukan himpunan

bagian B (ditulis AB). Secara matematika, A B ))(( BxAxx

Gambar 2.4

Perhatikan perbedaan antara (simbol keanggotaan himpunan) dan

(simbol himpunan bagian). xA berarti bahwa elemen x adalah salah satu

di antara elemen-elemen A. Sedangkan A B berarti bahwa setiap anggota

A merupakan anggota B.

Dari uraian di atas himpunan bagian didefinisikan:

D. HUBUNGAN ANTAR HIMPUNAN

Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B,

Ditulis A B, jika setiap anggota A juga merupakan

anggota B.

B A


Contoh:

Jika A = 2,1,1,2,1 . Perhatikan bahwa A memiliki 4 anggota, masing-

masing 1,2 1 dan 2,1 sehingga

1 11,1,1,1, AAAA

1 adalah himpunan yang anggotanya 1, sedangkan 1 adalah

himpunan yang anggotanya 1

2 AAAA 2,2,2, dan juga A2

A2,1 dan juga A2,1

b. Himpunan Sama

Dua himpunan dikatakan sama, apabila Dua buah himpunan yang memiliki

anggota yang persis sama, tanpa melihat urutannya.

Contoh:

Perhatikan himpunan A = {m, e, t, r, o} dan B = {m, e, r, o, t}. Terlihat bahwa

setiap anggota A termuat dalam B, demikian juga sebaliknya. Dalam hal ini,

himpunan A dan B disebut dua himpunan sama, ditulis A = B.

c. Himpinan Setara/ekuivalen

Dua himpunan P dan Q dikatakan ekuivalen jika memiliki banyaknya

anggota yang sama atau n(P) = n(Q)

Notasi: P ~ Q

Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian dari B,

Ditulis A B, jika ada anggota A yang bukan merupakan

anggota B.


Contoh:

Perhatikan himpunan R = {m, e, t, r, o} dan S = {1, 2, 3, 4, 5}

Karena jumlah anggota himpunan R sama banyaknya dengan jumlah

anggota himpunan S, maka dikatakan himpunan R setara dengan himpunan

S, ditulis: R ~ S

d. Himpunan Kuasa/Power Set

Himpunan kuasa dari himpunan A ditulis dengan P(A) Yaitu himpunan

yang anggotanya adalah himpunan-himpunan bagian dari suatu himpunan.

Perhatikan tabel berikut:

Himpunan Banyaknya Anggota

(i)

Himpunan Bagian

(ii)

Banyaknya Himpunan

Bagian

{a} 1 { } {a}

2 = 21

{a, b} 2 { } {a}, {b} {a, b}

4 = 22

{a, b, c} 3 { } {a}, {b}, {c} {a, b}, {a, c}, {b, c} {a, b, c}

8 = 23

{a, b, c, d} 4 { } {a}, {b}, {c}, {d} {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, { b, d}, {c, d} {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d} {a, b, c, d}

16 = 24

{a, b, c, d, ...} n { } {a}, {b}, ...

2n


Terlihat bahwa terdapat hubungan antara banyaknya anggota suatu

himpunan dengan banyaknya himpunan bagian himpunan tersebut.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa:

Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah 2n, dengan

n banyaknya anggota himpunan tersebut.

Dengan melihat Jumlah himpunan bagian pada tabel sebelumnya, Lengkapi

tabel berikut:

Himpunan

(i)

Jumlah Anggota

(ii)

Jumlah himpunan bagian yang

anggotanya (iii)

Segitiga Pascal (iv)

0 1 2 3 4 5

{ } 0 ... ... ... ... ... ... 1

{a} 1 ... ... ... ... ... ... 1 1

{a, b} 2 ... ... ... ... ... ... 1 2 1

{a, b, c} 3 ... ... ... ... ... ... 1 3 3 1

{a, b, c, d} 4 ... ... ... ... ... ... 1 4 6 4 1

{a, b, c, d, e} 5 ... ... ... ... ... ... 1 5 10 10 5

1

Jumlah anggota himpunan bagian 0 1 2 3 4 5

1) Apa keistimewaan kolom (iii) dan kolom (iv)?

2) Cek apakah banyak semua himpunan bagian P = {a, b, c, d, e}

adalah 2n?

LATIHAN 2.b


e. Himpunan saling lepas (disjoint)

Definisi:

Himpunan A dikatakan saling lepas atau saling asing dengan himpunan B

jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan.

Contoh:

Diketahui:

A = {1,3,5,7,9}

B = {2,4,6,8,10}

bila disajikan dalam diagram Venn sebagai berikut:

Gambar 2.5

Perhatikan bahwa tidak ada satupun anggota himpunan A yang menjadi

anggota himpunan B. Demikian pula sebaliknya, tidak ada satu pun anggota

himpunan B yang menjadi anggota himpunan A.

f. Himpunan tidak saling lepas (berpotongan)

Definisi:

Dua himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika A

dan B mempunyai anggota persekutuan, tetapi masih ada anggota A yang

bukan anggota B dan ada anggota B yang bukan anggota A.


Contoh:

Diketahui:

P = {2, 4, 6, 8, 10}

Q = {2, 3, 5, 7}

bila disajikan dalam diagram Venn sebagai berikut:

Gambar 2.6 Perhatikan ada anggota himpunan P yang juga menjadi anggota himpunan

Q, yaitu {2}. Dalam hal ini dikatakan bahwa {2} adalah anggota persekutuan

dari himpunan P dan Q. Perhatikan juga ada anggota himpunan P yang

tidak menjadi anggota himpunan Q, demikian pula sebaliknya. Artinya:

himpunan tidak saling lepas (berpotongan)

a. Irisan (intersection)

Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang memuat semua anggota A

yang juga menjadi anggota B.

Notasi : A B = { x x A dan x B }

bila disajikan dalam diagram Venn irisan himpunan A dan B sebagai

berikut:

6. Operasi Pada Himpunan


Gambar 2.7

A B adalah daerah yang diarsir

Jika dua buah himpunan salaing lepas(disjoint) maka A B =

b. Gabungan (union)

Gabungan himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua anggota

A dan/atau menjadi anggota himpunan B

Notasi : A B = { x x A atau x B }

bila disajikan dalam diagram Venn gabungan himpunan A dan

himpunan B sebagai berikut:

Gambar 2.8

c. Komplemen (complement)

Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota anggotanya

merupakan anggota S tetapi bukan anggota A

Notasi : Ac = { x x S, x A }


bila disajikan dalam diagram Venn komplemen dari suatu himpunan

sebagai berikut:

Gambar 2.9

d. Selisih (difference)

Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya

semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.

Notasi: A – B = { x x A dan x B } = A Bc

bila disajikan dalam diagram Venn selisih himpunan A dan B sebagai

berikut:

Gambar 2.10

e. Selisih Simetri (Symmetric Difference)

Selisih simetri dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang

elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi: A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A)


bila disajikan dalam diagram Venn selisih simetri dari himpunan A dan B

sebagai berikut:

Gambar 2.11

Contoh

Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }

Teorema: Selisih Simetri memenuhi sifat-sifat berikut:

(a) A B = B A (hukum komutatif)

(b) (A B ) C = A (B C ) (hukum asosiatif)

f. Perkalian Kartesian (cartesian product)

Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang

elemennya merupakan pasangan berurutan (a,b) yang dibentuk dari

komponen himpunan A dan komponen himpunan B.

Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B }

Yang perlu diperhatikan dalam perkalian kartesian adalah:

o Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: n (A B)= n(A)

. (B)

o Pasangan terurut (a, b) berbeda dengan (b, a), jadi (a, b) (b, a).

o tidak berlaku komutatif, yaitu A B B A, dengan syarat A atau B

tidak kosong


Contoh

(Misalkan A = { p, q, r }, dan B = { 1, 2 }, tentukan perkalian kartesian dari

kedua himpunan tersebut?

Penyelesaian:

A B = { (p, 1), (p, 2), (q, 1), (q, 2), (r, 1), (r, 2) }

g. Hukum-hukum Himpunan

1. Hukum idempoten:

o A A = A

o A A = A

2. Hukum identitas:

o A = A

o A S = A

3. Hukum null/dominasi:

o A =

o A S = S

4. Hukum komplemen:

o A AC = S

o A AC =

5. Hukum involusi:

o (AC)C = A

6. Hukum penyerapan (absorpsi):

o A (A B) = A

o A (A B) = A

7. Hukum komutatif:

o A B = B A

o A B = B A


8. Hukum asosiatif:

o A (B C) = (A B) C

o A (B C) = (A B) C

9. Hukum distributif:

o A (B C) = (A B) (A C)

o A (B C) = (A B) (A C)

10. Hukum De Morgan:

o (A B)C = AC B C

o (A B)C = AC B C

h. Prinsip Inklusi-Eksklusi

Untuk dua himpunan A dan B:

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)

n(A B) = n(A) + n(B) – 2 . n(A B)

Contoh

Berapa banyak bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?

Penyelesaian:

A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,

B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,

A B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5

(adalah kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari 3 dan 5, yaitu 15),

Ditanya: n(A B)?

n(A)= 100/3 = 33,

n(B) = 100/5 = 20,

n(A B) = 100/15 = 6

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) = 33 + 20 – 6 = 47

Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.


Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku

n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) - n(A C) - n(B C)

+ n (A B C)

Untuk himpunan A1, A2, …, Ar, berlaku:

n (A1 A2 … Ar) = 1An –

rji

ji AAn1

+

rkji

kji AAAn1

+ … + (-1)r-1 n(A1 A2 … Ar)

i. Partisi

Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan

bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga:

(a) A1 A2 … = A, dan

(b) Ai Aj = untuk i j

Contoh Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, maka { {1}, {2}, (3, 4, 5, 6}, {7,

8}, {9, 10} } adalah partisi A.


1. Misalkan A = 3,1 dan B = 4,3 . Carilah himpunan berikut ini

a. P (A)

b. P (A ∩ B )

c. P ( A ∪ B)

2. Diketahui A = 3,1 dan B= 3,1 . Carilah:

a. P (A) – P (B)

b. P (A) ∩ P (B)

c. P (A ∩ B)

3. Misalkan semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan riil R.

41;20 xRxxRxA B

Tentukan

a. A ∩ B

b. AC

c. BC

d. AC ∩ BC

e. AC ∪ BC

4. Dua buah himpunan dikatakan terpisah (disjoint) jika irisan kedua

himpunan tersebut = ∅. Pada sembarang himpunan, apakah kedua

himpunan di bawah ini terpisah?

d. A-B dan B-A

e. A – ( B ∪ C) dan B – (A ∪ 𝐶)

f. A – (B ∩ C) dan B - (A ∩ C)

LATIHAN 2.c


A. Pengertian Relasi

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering mendengar atau menyebut istilah

relasi. Secara umum, relasi berarti hubungan. Di dalam matematika, relasi

memiliki pengertian yang lebih khusus.

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Hasil kali Kartesian A

dengan B ( Simbol A x B) adalah himpunan semua pasangan berurutan (a,b)

dengan a A dan b B

A x B = ),,( BbAaba

Hasil kali Kartesian tidak bersifat komutatif karena secara umum (a,b)

(b,a). Hasil kali Kartesian beberapa himpunan A1, A2,..., An didefinisikan

sebagai

A1 x A2 x .... x An = nnan AaAaAaaaa ,...,,),...,,( 22121

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Suatu relasi (Biner) R dari A

ke B adalah himpunan bagian dari A x B. Jika (a,b) A x B dan a berelasi

dengan b, dituliskan a R b. Jika a tidak berelasi dengan b dituliskan a R b.

Contoh

Misalkan A = 2,1 dan B = 3,2,1

A x B = )3,2(),2,2(),1,2),3,(!),2,1(),1,1(

Jika didefinisikan relasi R dari A ke B dengan aturan x A berelasi dengan

y B (x-y) genap, maka R = )2,1.()2,2(),3,1(),1,1( R karena (1-2)= -1

bukan bilangan genap

A x B dinyatakan dalam gambar 3.1. tampak bahwa R A x B.

BAB III RELASI DAN FUNGSI


Gambar 3.1

Dapat disimpulkan bahwa:

Definisi:

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan/kaitan

yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-

anggota himpunan B.

o Relasi R antara himpunan A dan B adalah suatu himpunan bagian

dari A B, atau dinotasikan: R (A B), dimana A B = {(a, b)│a

A dan b B}

o a R b merupakan notasi dari (a, b) R, yang berarti a dihubungkan

dengan b oleh R

o a R b merupakan notasi dari (a, b) R, yang artinya a tidak

dihubungkan oleh b oleh relasi R.

B. Cara menyajikan relasi

a. Diagram Panah

Diagram panah adalah diagram yang menggambarkan hubungan

antara dua himpunan dengan disertai tanda panah.

Marilah kita lihat Contoh lain penggambaran relasi dengan diagram

panah.


Contoh 2

Diberikan dua himpunan:

A = {Aldo, Dudung, Ninung, Nipon, Aling, Bruno}

B = {matematika, IPA, IPS, Kesenian, B. Inggris, Penjaskes, B. Indo}

Gambar di bawah menunjukkan relasi pelajaran yang disukai dari

himpunan A ke himpunan B

Gambar 3.2

Relasi antara himpunan A dan himpunan B dinyatakan oleh arah panah,

sehingga diagram tersebut dinamakan diagram panah.

b. Diagram Cartesius

Dalam menyatakan relasi antara anggota-anggota dua himpunan, selain

dengan menggunakan diagram panah dapat juga dinyatakan dalam

koordinat Cartesius. Pada diagram cartesius diperlukan dua garis

perpotongan tegak lurus yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu

tegak (vertikal).

Gambar 3.3

y

x

(x,

y)


x A diletakkan pada sumbu mendatar

y B diletakkan pada sumbu tegak

Pemasangan x → y ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya

ditulis sebagai pasangan berurutan (x , y)

Contoh, pada diagram panah Gambar 2, akan dibuat diagram cartesiusnya

dapat disajikan sebagai berikut:

Aldo Dudung Nipon Ninung Aling Bruno

Gambar 3.4

Relasi antara anggota himpunan A dan B adalah mata pelajaran yang disukai.

Noktah yang menghubungkan Aldo dan IPA, artinya Aldo menyukai mata

pelajaran IPA, dan seterusnya.

c. Himpunan Pasangan Berurutan

Berdasarkan pada Gambar 3.2, relasi dari A ke B dapat dinyatakan

dalam pasangan terurut:

R = {(Aldo, IPA), (Dudung, Matematika), (Dudung, Kesenian), (Ninung,

B.Inggris), (Nipon, B.Indonesia), (Aling, Kesenian), (Bruno, Penjaskes)}

B. Indonesia

Penjaskes

B. Inggris

Kesenian

IPS

IPA

Matematika


d. Dalam Bentuk Tabel

Berdasarkan pada Gambar 3.2, relasi dari A ke B dapat juga

dinyatakan dalam bentuk tabel sebagai berikut:

Tabel 1

A B

Aldo IPA

Dudung Matematika

Dudung Kesenian

Ninung B.Inggris

Nipon B.Indonesia

Aling Kesenian

Bruno Penjaskes

C. Jenis-Jenis Relasi

Misalkan R adalah suatu relasi pada himpunan A. R disebut relasi yang:

a. Refleksif xRxAx )(

b. Simetris xRyxRxAyx ),(

c. Transitif zRxzRydanyRxAzyx )(),,(

d. Irrefleksif xRxAx )(

e. Asimetris xRyxRxAyx ),(

f. Antisimetris yxxRydanyRxAyx )(),(

4. Operasi-Operasi pada Relasi

Pada hakikatnya suatu relasi merupakan suatu himpunan, maka beberapa

relasi juga dapat dioperasikan dengan operasi-operasi himpunan.

Misalkan R dan S adalah 2 buah relasi dari himpunan A ke himpunan B.

R S adalah himpunan semua pasangan berurutan ( x,y )A x B

sedemikian hingga (x,y) R atau (x,y) S.


SyxatauRyxyxSR ),(),(),(

R S adalah himpunan semua pasangan berurutan ( x,y )A x B

sedemikian hingga (x,y) R dan (x,y) S.

SyxatauRyxyxSR ),(),(),(

Operasi himpunan lain seperti selisih, komplemen, dan lain-lain

didefinisikan menurut definisi operasi himpunan.

Misalkan A, B dan C adalah himpunan-himpunan xBAR 1 dan xCBR 2

Komposisi 2121 ),(),(),(. RzydanRyxyxRR

Jika R1 = R2 = R, maka R1. R2 = R. R = R2. Secara umum, simbol Rk dipakai

untuk menyatakan bahwa relasi R dikomposisikan dengan dirinya sendiri

sebanyak k kali.

R1=R dan Rk = Rk-1R, untuk k 1

Tutupan transitif (simbol R+) relasi R adalah gabungan dari semua Rk, (k

).1

R+ = R R2 R3 .....= k

k

R

1

Tutupan transitif relasi R didapat dengan cara menambahkan semua relasi

yang bersifat transitif pada relasi R mula-mula. Tutupan transitif suatu relasi

R merupakan relasi transitif terkecil yang memuat R.

Tutupan Transitif Refleksif (simbol R*) adalah tutupan transitif yang bersifat

refleksif. Tutupan transitif refleksif didapat dengan menggabungkan

tutupan transitif dengan semua elemen yang berelasi dengan dirinya

sendiri.

R* = R+ Aaaa ),(


D. Pengertian Fungsi

Relasi fungsional atau fungsi sering disebut dengan istilah pemetaan

(mapping).

Perhatikan relasi yang dinyatakan dengan tabel dan diagram panah di

bawah ini:

Tabel 2 Nama Siswa Tinggi Badan

Aldo 156

Dudung 158

Ninung 150

Nipon 152

Aling 152

Bruno 160

Gambar 3.5 Gambar 3.5 merupakan diagram panah yang menunjukkan relasi tinggi

badan dari data pada Tabel 2. Dari diagram panah pada Gambar 3.5 terlihat

bahwa:

a. Setiap siswa Aldo, Dudung, Ninung, Nipon, Aling, Bruno, memiliki

tinggi badan masing-masing 156, 158, 150, 152, 152, 160, hal ini

berarti setiap anggota A yaitu mempunyai kawan atau pasangan

dengan anggota B.

b. Setiap siswa memiliki tepat satu tinggi badan, berarti setiap anggota

A mempunyai tepat satu kawan atau pasangan dengan anggota B.

Berdasarkan uraian di atas dapat kita ambil kesimpulan bahwa relasi dari

himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap

anggota A dengan tepat satu anggota B. maka relasi dari himpunan A dan B

disebut fungsi atau pemetaan.


Definisi:

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang

menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu

anggota himpunan B.

Syarat suatu relasi merupakan pemetaan atau fungsi adalah

a. setiap anggota A mempunyai pasangan di B;

b. setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

Contoh 3:

Untuk lebih memahami tentang fungsi, perhatikan relasi berikut ini

Relasi (i) tidak bisa disebut fungsi, sebab ada

anggota himpunan A yaitu 5 yang tidak

dipasangkan dengan anggota himpunan B

(i) Relasi (ii) tidak bisa disebut fungsi, sebab ada

anggota himpunan A yaitu 1 yang

dipasangkan lebih dari satu dengan anggota

himpunan B, yaitu 1 → a dan b → 2

(ii)

Relasi (iii) disebut fungsi. Mengapa?

Karena setiap anggota himpunan A dengan

tepat satu anggota himpunan B

(iii)


Relasi (iv) tidak bisa disebut fungsi, sebab ada

anggota himpunan A yaitu 3 yang tidak

dipasangkan dengan anggota himpunan B dan

ada anggota himpunan A yaitu 2 yang

dipasangkan lebih dari satu dengan anggota

himpunan B, yaitu 2 → b dan 2 → c

(iv) Gambar 3.6 E. Notasi dan Nilai Fungsi

Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dinotasikan dengan f : A→ B

dibaca: fungsi f memetakan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B

o f adalah fungsi yang memetakan suatu elemen x ∈ A ke suatu y ∈ B

o y adalah peta dari x oleh fungsi f dinotasikan f(x)

o x disebut prapeta dari y, dengan demikian dapat ditulis menjadi:

f : x → y atau f : x → f(x)

dibaca: fungsi f memetakan x anggota A ke y anggota B

untuk lebih jelasnya, Perhatikan gambar berikut:

Gambar 3.7

a. Himpunan A disebut Daerah asal atau Domain Himpunan B disebut

Daerah kawan/lawan atau Kodomain


b. Himpunan bagian dari himpunan B yaitu himpunan C yang

anggotanya dipasangkan dengan anggota himpunan A disebut

Daerah hasil atau Range.

o y = f(x) disebut bayangan x oleh fungsi f.

o Variabel x dapat diganti dengan sebarang anggota himpunan

A

o variabel y anggota himpunan B yang merupakan bayangan x

oleh fungsi f ditentukan oleh aturan yang didefinisikan.

Artinya y bergantung pada nilai x.

o Misalkan bentuk fungsi f(x) = ax + b. Untuk menentukan nilai

fungsi untuk x tertentu, dengan cara mengganti

(mensubstitusi) nilai x pada bentuk fungsi f(x) = ax + b.

Contoh 4:

1. Perhatikan diagram panah pada Gambar 5

Tentukan (i) domain; (ii) kodomain; (iii) range.

Penyelesaian:

(i) Domain = { Aldo, Dudung, Ninung, Nipon,

Aling, Bruno }

(ii) Kodomain = {150, 152, 154, 156, 158, 160,

164}

(iii) Range = {150, 152, 156, 158, 160}

2. Perhatikan diagram panah pada di bawah ini:

Tentukan

(i) domain;

(ii) kodomain;

(iii) range.

Gambar 3.8

Gambar 3.9


Penyelesaian:

(i) domain = {1, 2, 3, 4, 5}

(ii) kodomain = {a, b, c, d}

(iii) range = { a, b, c, d}

3. Diketahui fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = 2x + 2

Tentukan nilai fungsi f(x) untuk

a. x = -1

b. x = 0

c. x =1

d. x =2

Penyelesaian:

Substitusi nilai x = -1 ke fungsi f(x) = 2x + 2,

sehingga f(-1) = 2(-1) + 2

= - 2 + 2

= 0

Substitusi nilai x = 0 ke fungsi f(x) = 2x + 2

sehingga f(0) = 2(0) + 2

= 0 + 2

= 2


sehingga f(1) = 2 (1) + 2

= 2 + 2

= 4


sehingga f(2) = 2 (2) + 2

= 4 + 2

= 6


F. Menyatakan Fungsi dalam Diagram Panah, Diagram Cartesius, dan

Himpunan Pasangan Berurutan

Pada pembahasan sebelumnya, kita sudah mempelajari bahwa relasi dapat

dinyatakan dalam diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan

pasangan berurutan, pun demikian dengan fungsi, sebab fungsi adalah

relasi dalam bentuk khusus.

Contoh 5:

Diketahui f: A → B adalah fungsi dari A ke dalam B dengan f: A→ B atau

f: x → (2x + 1),

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}, maka fungsi f dapat dinyatakan dengan:

a. Diagram panah

y = f(x) = (2x + 1)

maka:

f(1) = 2(1) + 1 = 3

f(2) = 2(2) + 1 = 5

f(3) = 2(3) + 1 = 7

f(4) = 2(4) + 1 = 9

f(5) = 2(5) + 1 = 11

Gambar 3.10

f


b. Diagram Cartesius

Gambar 3.11

c. Himpunan Pasangan Berurutan

Jika fungsi f dinyatakan dengan himpunan P maka:

P = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9), (5, 11)}

G. Menentukan Banyaknya Fungsi dari Dua Himpunan

Contoh 6

Diketahui f: Q → R adalah fungsi dari Q ke dalam R, jika Q = {a, b, c} dan R

= {1 , 2}.

Tentukanlah semua fungsi f yang mungkin!

Penyelesaian:

Q = {a, b, c} dan R= {1, 2} maka n(Q) = 3 dan n(R) = 2

Banyaknya fungsi yang mungkin dari Q ke R seperti tampak pada diagram

panah pada Gambar berikut:

(i) (ii) (iii)

1 2 3 4 5

13

11

9

7

5

3

1


(vi). (v) (vi)

(vii) (viii) Gambar 3.12

Dari gambar fungsi-fungsi tersebut bila dinyatakan dengan himpunan

pasangan berurutan

(i) = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)}

(ii) = {(a, 2), (b, 2), (c, 2)}

(iii) = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)}

(iv) = {(a, 1), (b, 2), (c, 2)}

(v) = {(a, 2), (b, 2), (c, 1)}

(vi) = {(a, 2), (b, 1), (c, 2)}

(vii) = {(a, 2), (b, 1), (c, 1)}

(viii) = {(a, 1), (b, 2), (c, 1)}

Dapat diketahui bahwa untuk n(Q) = 3, n(R) = 2 maka banyaknya

fungsi f dari Q ke dalam R = 23 = 8.

Berdasarkan pengamatan di atas, dapat disimpulkan bahwa:

Jika f : adalah fungsi dari Q ke dalam R den gan n(Q) = q dan n(R) = r,

maka

banyaknya fungsi yang mungkin dari Q ke dalam R adalah rq

banyaknya fungsi yang mungkin dari R ke dalam Q adalah qr


Contoh 7:

Jika: P = {bilangan asli kurang dari 4}

R = {empat huruf pertama dalam abjad}, hitunglah banyaknya

fungsi/pemetaan?

a. dari P ke R;

b. dari R ke P,

Penyelesaian:

a. P = {1, 2, 3}, n(P) = 3

R = {a, b, c, d}, n(R) = 4

Banyaknya fungsi yang mungkin dari P ke R = rp = 43 = 64

b. Banyaknya fungsi yang mungkin dari R ke P = pr = 34 = 81

H. Menentukan Bentuk Fungsi Jika Nilai dan Data Fungsi Diketahui Sebagaimana kita ketahui bentuk fungsi linear, yaitu f(x) = ax + b. Dimana a

dan b konstanta dan x variabel. Jika nilai variabel x = n maka nilai f(n) = an +

b, sehingga kita dapat menentukan bentuk fungsi f jika diketahui nilai-nilai

fungsinya. Setelah itu, kita dapat menentukan nilai konstanta a dan b

berdasarkan nilai-nilai fungsi yang diketahui.

Contoh 8:

a. Diketahui f fungsi linear dengan f(1) = 7 dan f(4) = 13. Tentukan

bentuk fungsi f(x)

Penyelesaian:

f fungsi linear, maka f(x) = ax + b, sehingga diperoleh:

f(1) = 7

f(1) = a(1) + b = 7

= a + b = 7 .......... (1)

f(4) = a(4) + b = 13

= 4a + b = 13 .......... (2)

Dengan metode eliminasi pers. (1) dan (2)


a + b = 7

4a + b = 13 _

-3a = - 6

a =2

Substitusi a = 2 pada persamaan a + b = 7, diperoleh:

a + b = 7

2 + b = 7

b =7 – 2

= 5

Jadi nilai a = 2 dan b = 5, bentuk fungsi f adalah f(x) = 2x + 5

b. Diketahui f fungsi linear dengan f(0) = –3 dan f(2) = 1. Tentukan

bentuk fungsi f(x).

Penyelesaian:

f fungsi linear, maka f(x) = ax + b, sehingga diperoleh:

f(0) = –3

f(0) = a(0) + b = –3

0 + b = –3

b = –3

selanjutnya menentukan nilai a, yaitu:

f(2) = 1

f(2) = a(2) + b = 1

2a – 3 = 1

2a = 1+ 3

2a = 4

a = 2

Jadi nilai a = 2 dan b = -3, bentuk fungsi f adalah f(x) = 2x – 3

I. Grafik Fungsi/Pemetaan Pemetaan atau fungsi f yang memetakan himpunan A ke himpunan B dapat

dibuat grafik fungsinya. Grafik fungsi adalah bentuk diagram Cartesius dari

suatu fungsi. Dimana (x, y) merupakan pasangan terurut dalam f dengan

domain himpunan A.


Contoh 9:

Gambarlah grafik fungsi f(x) = 2x + 2 dengan domain:

a. {x | 0 ≤ x ≤ 6, x bilangan Cacah};

b. {x | 0 ≤ x ≤ 6, x bilangan Real}.

Penyelesaian:

f(x) = 2x + 2, buat tabel sehingga memenuhi fungsi tersebut, maka diperoleh

koordinat titik-titik yang merupakan pasangan terurut (x, y)

x 0 1 2 3 4 5 6

y = 2x + 2 2 4 6 8 10 12 14

(x, y) (0,2) (1, 4) (2, 6) (3, 8) (4,10) (5,12) (6,14

a. Grafik fungsi f(x) = 2x + 2 dengan domain: {x | 0 ≤ x ≤ 6, x bilangan Cacah};

Gambar 3.13

0 1 2 3 4 5

1

4

1

3

1

2

1

1

1

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Y

X


a. Grafik fungsi f(x) = 2x + 2 dengan domain: {x | 0 ≤ x ≤ 6, x bilangan Real};

Gambar 3.14 J. Macam-macam Fungsi

a. Fungsi konstan (fungsi tetap)

Fungsi konstan adalah fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) = C,

dengan C suatu bilangan konstan. Fungsi konstan f memasangkan

setiap bilangan real dengan konstanta C.

Contoh 10:

Diketahui f : R → R dengan rumus f(x) = 2 dengan daerah domain: {x | –

3 ≤ x ≤ 3}. Tentukan gambar grafiknya.

0 1 2 3 4

5

1

4

1

3

1

2

1

1

1

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Y

X


Gambar 12

b. Fungsi linear

Fungsi linear adalah suatu fungsi f(x) yang ditentukan oleh f(x) = ax + b,

dimana a ≠ 0, a dan b bilangan konstanta dan grafiknya berupa garis

lurus. Jika domainnya tidak dinyatakan secara khusus maka domain

fungsi tersebut merupakan semua anggota himpunan bilangan real.

Contoh 11:

Diketahui suatu fungsi f(x) = 2x + 4, gambarlah grafik fungsi linear

tersebut.

Penyelesaian:

Untuk x = 0, maka y = 2(0) + 4 = 4

Untuk y = 0, maka 0 = 2x + 1

-1= 2x

x = 2

1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y

X

3

2

1 f(x) = 2


Gambar 3.15

c. Fungsi kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah y = ax2 + bx + c dengan a, b, c R, dan

a ≠ 0. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola maka sering juga disebut

fungsi parabola.

- Jika a>0, maka parabola terbuka ke atas, sehingga mempunyai titik balik

minimun,

- Jika a<0, maka parabola terbuka ke bawah, sehingga mempunyai titik balik

maksimum

Langkah-langkah membuat grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c,

a ≠ 0. yaitu:

1) Menentukan titik potong dengan sumbu X, yaitu: y = 0.

2) Menentukan titik potong dengan sumbu Y, yaitu: x = 0.

3) Menentukan persamaan sumbu simetri x = a

b

2

4) Menentukan titik puncak

a

D

a

b

4,

2dengan nilai diskriminan D =

b2 – 4ac

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y

X

4

3

2

1

f(x) = 2x+4


Contoh 12:

Fungsi f ditentukan oleh f(x) = x2 – 4

y = 0, x =-2 dan x = 2

x = 0, y = -4

Gambar 14

d. Fungsi identitas

Fungsi identitas adalah suatu fungsi f(x) yang setiap anggota domain

fungsi berlaku f(x) = x atau semua anggota domain fungsi berkaitan

dengan dirinya sendiri.

Grafik fungsi identitas y = x untuk x R, berupa garis lurus yang melalui

titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama.

Contoh 13:

Suatu fungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x.

(1) Carilah f(–2), f(-1), f(0), f(1), f(2).

(2) Gambarlah grafiknya.

Penyelesaian:

f(x) = x

f(–2) = –2

f(–1) = –1

f(0) = 0

f(1) = 1

(2) = 2

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y

X

3

2

1

-1

-2

-3

-4

f(x) = x2- 4


Gambar 3.16

e. Fungsi tangga (bertingkat)

fungsi tangga adalah suatu fungsi f(x) yang grafik fungsi f(x)

berbentuk interval-interval yang sejajar.

Contoh 14:

–2, jika x ≤ –1 -1, jika –1 < x ≤ 1 Diketahui fungsi: f(x) =

0, jika 1 < x ≤ 3

1, jika x > 3

Gambar 3.17

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y

X

3

2

1

-1

-2

-3

y = f(x) = x

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y

X

3

2

1

-1

-2

-3


f. Fungsi Modulus

Fungsi Modulus atau nilai mutlak dari sebuah bilangan real x adalah

suatu fungsi f(x) dimana fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada

domain fungsi ke unsur harga mutlaknya

fungsi f : x |x| atau f : x → |ax + b| dengan x R

artinya:

Contoh 15:

Diketahui fungsi f : x |x| dengan x R, tentukan f(– 2), f(–1), f(0),

f(1), dan f(2)

Penyelesaian :

f(x) = |x|

f(–2) = |-2|= 2

f(–1) = |-1|= 1

f(0) = |0|= 0

f(1) = |1|= 1

f(2) = |2|= 2

Gambar 3.18

+x, jika x ≥ 0

|x| =

-x , jika x < 0

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y

X

3

2

1

-1

-2

-3

y = f(x) = x


g. Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x)

dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x).

Fungsi f : x y = f(x) disebut fungsi genap jika f(-x) = f(x)

Jika digambarkan dalam grafik cartesius, grafik fungsi genap selalu

simetri terhadap sumbu Y

1) Fungsi f : x y = f(x) disebut fungsi ganjil jika f(-x) = -f(x)

Jika digambarkan dalam grafik cartesius Grafik fungsi ganjil

selalu simetri terhadap titik asal O

2) Jika f(– x) ≠ f(x) dan f(– x) ≠ – f(x) maka fungsi ini tidak genap dan

tidak ganjil

Contoh 16:

Manakah yang merupakan fungsi genap atau fungsi ganjil atau fungsi

tidak genap dan tidak ganjil?

a) f(x) = x2

b) f(x) = x3

c) f(x) = x2 – 4x

Penyelesaian :

a) f(x) = x2

f(–x) = (–x)2

= x2

f(–x) = f(x)

f(x) = x2 (fungsi genap)


Gambar 3.19

b) f(x) = x3

f(–x) = (– x)3

= – x3

–f(x) = – x3

f(–x) = – f(x)

f(x) = x3 (fungsi ganjil)

Gambar 3.20

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y

X

3

2

1

y = f(x) = x2

-3 -2 -1 0 1 2 3

4

Y

X

3

2

1

-1

-2

-3

y = f(x) =

x3


c) f(x) = x2 – 4x

f(–x) = (–x)2 – 4 (–x)

= x2 + 4x

Fungsi f(–x) ≠ f(x) dan f(–x) ≠–f(x).

Jadi, fungsi f(x) adalah tidak genap dan tidak ganjil.

K. Sifat-sifat Fungsi

a. Fungsi injektif (satu-satu)

Jika fungsi f : A B, setiap y B hanya mempunyai satu kawan

Saja di A, maka fungsi itu disebut fungsi satu-satu atau injektif.

A B A B A B

Fungsi injektif Bukan Fungsi injektif Fungsi Injektif

A B

Bukan Fungsi injektif Fungsi injektif


b. Fungsi surjektif (onto)

Pada fungsi f : A B, setiap y B mempunyai kawan di A, maka f disebut

fungsi surjektif atau onto.

Fungsi surjektif Fungsi surjektif Bukan Fungsi surjektif

c. Fungsi bijektif (korespondensi satu-satu)

Suatu fungsi dikatakan fungsi bijektif (korespondensi satu-satu) Apabila

memiliki sifat injektif sekaligus surjektif.

Contoh:

A B

Fungsi bijektif Bukan Fungsi bijektif

Fungsi bijektif Bukan Fungsi


L. Aljabar Fungsi

Bila f dan g suatu fungsi, maka pada operasi aljabar

penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat

dinyatakan sebagai berikut.

a. Penjumlahan f dan g berlaku (f + g)(x) = f(x) + g(x)

Contoh

Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = x2 – 4. Tentukan (f + g)(x).

Penyelesaian

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

= x + 2 + x2 – 4

= x2 + x – 2

b. Pengurangan f dan g berlaku (f – g)(x) = f(x) – g(x)

Contoh

Diketahui f(x) = x2 – 3x dan g(x) = 2x + 1. Tentukan (f – g)(x).

Penyelesaian

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

= x2 – 3x – (2x + 1)

= x2 – 3x – 2x – 1

= x2 – 5x – 1

c. Perkalian f dan g berlaku (f o g)(x) = f(x)o g(x)

Contoh

Diketahui f(x) = x – 5 dan g(x) = x2 + x. Tentukan (f × g)(x).

Penyelesaian

(f × g)(x) = f(x) . g(x)

= (x – 5)(x2 + x)

= x3 + x2 – 5x2 – 5x

= x3 – 4x2 – 5x


d. Pembagian f dan g berlaku xg

xfx

g

f

Contoh

Diketahui f(x) = x2 – 4 dan g(x) = x + 2. Tentukan xg

f

Penyelesaian :

xg

xfx

g

f

)2(

)2(

)2()2(

4

42

x

x

xx

x

x

M. Fungsi Komposisi

Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru

dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa

dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat

kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:

(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g

(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f

a. Menentukan komposisi dua fungsi atau lebih

Misalkan ada fungsi f(x) dan g(x), maka berlaku :

- g o f (x) artinya f masukin ke g

- f o g (x) artinya g masukin ke f

- h o g o f(x) artinya f masukin ke g kemudian hasilnya masukin

ke h


Contoh :

Diketahui f(x) = 2x – 3 dan g(x) = x2 – 4, maka rumus fog (x) =…

Penyelesaian : f o g (x) = g masukin ke f

2(x2 – 4) – 3 = 2x2 – 8 – 3 = 2x2 – 11

b. Mencari salah satu fungsi jika diketahui fungsi komposisi dan satu

fungsinya

1. Mencari fungsi depan Metode supertrik : invers saja !

Contoh :

Diketahui g (x) = 2x – 1 dan f o g (x) = 4x – 8 . Tentukan f(x) !

Penyelesaian :

Metode supertrik :

Invers dari g(x) = 2x – 1 adalah x 1

2

Maka, f(x) = x 1

4 8 2 x 1 8 2x 62

2. Mencari fungsi belakang

Metode supertrik : ganti x dengan yang akan dicari!

Contoh :

Diketahui g(x) = 2x – 1 dan g o f (x) = 4x2 – 2x + 1. Tentukan f(x) !

Maka, f(x) = ??

Penyelesaian :

2f(x) – 1 = 4x2 – 2x + 1

2f(x) = 4x2 – 2x + 1 + 1

f(x) = 2x2 – x + 1


Contoh:

Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x)

dan (g o f)(x) ...

Penyelesaian:

(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x

(f o g)(x) = 3(2x)-4

(f o g)(x) = 6x - 4

(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x

(g o f)(x) = 2(3x-4)

(g o f)(x) = 6x-8

Contoh Soal 2

Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :

f : {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}

g : {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}

Tentukan :

a. f o g d. (f o g) (2)

b. g o f e. (g o f) (1)

c. (f o g) (4) f. (g o f) (4)

Penyelesaian :

Pasangan terurut dari fungsi f dan g dapat digambarkan dengan

diagram panah berikut ini

a. (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}

b. (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}

c. (f o g) (4) = 5

d. (f o g) (2) tidak didefinisikan

e. (g o f) (1) = -1


Sifat-sifat Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:

Tidak Komutatif

(g o f)(x) = (f o g)(x)

Asosiatif

(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)]

Fungsi Identitas I(x) = x

(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Cara Menentukan fungsi bila fungsi komposisi dan fungsi yang lain

diketahui

Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah

diketahui maka kita dapat menentukan fungsi g. demikian juga sebaliknya.

Contoh Soal 3

Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2.

Tentukan fungsi g (x).

Penyelesaian :

(f o g) (x) = -4x + 4

f (g (x)) = -4x + 4

2 (g (x)) + 2 = -4x + 4

2 g (x) = -4x + 2

g (x) = -4x + 2

2

g (x) = -2x + 1

Jadi fungsi g (x) = -2x + 1


N. Invers Fungsi

Jika diketahui suatu fungsi f(x) dan memenuhi syarat untuk memiliki invers,

maka invers fungsi dari f(x) ditulis 1f x

Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari

fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi

invers dari f : A -> B adalah f-1: B -> A. dapat disimpulkan bahwa daerah

hasil dari f-1(x) merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.

Cara menentukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:

Pertama

Ubah persamaan y = f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y

Kedua

Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f-1(y)

Ketiga

Ubah y menjadi x [f-1(y) menjadi f-1(x)]

1. Menentukan invers fungsi linier

Metode supertrik :

Jika diketahui f(x) = ax + b maka 1 x bf x

a

Jika diketahui f(x) = ax – b maka 1 x bf x

a

Jika 1ax b dx bf x maka f x

cx d cx a


2. Menentukan invers fungsi kuadrat

Metode supertrik : dicari separuhnya !

Jika diketahui f(x) = ax2 + 2bx + c maka 1 2f x x c b b

Contoh :

Tentukan invers fungsi dari f(x) = x2 + 4x + 6 !

Penyelesaian :

Dari soal diketahui bahwa a = 1 ; b = 2 ; c = 6, sehingga invers dari

f(x) adalah :

1 2

1 2

f x x c b b

f x x 6 2 2

x 2 2


1. Fungsi RRf : didefinisikan dengan rumus f(x) = x3-2. Apakah

fungsi f1 ada?

2. Fungsi f dan f didefinisikan dengan diagram panah dibawah ini.

Carilah fg dan gf ?

3. Didefinisikan fungsi h dan k pada himpunan bilangan rill sebagai

sebagai berikut:

∀𝑛 ∈ 𝑅 ℎ 𝑥 = 𝑥 + 1 ;𝑘 𝑥 = 𝑥

𝑥 dan 𝑥 masing-masing adalah fungsi lantai (pembulatan ke

bawah) dan fungsi atap (pembulatan ke bawah). Apakah h=k?

jelaskan!

4. Misalkan X {1, 5, 9} dan Y {3, 4, 7}

a. Didefinisikan fungsi f:X →Y dengan f(1) = 4, f(5) = 7, dan f(9) = 4.

Apakah f injektif? surjektif? bijektif?

b. Didefinisikan fungsi f:X →Y dengan g(1) = 7, g(5) = 3, dan f(9) = 4.

c. Apakah g injektif? surjektif? bijektif?

LATIHAN 2.d


5. Misalkan X = {1, 2, 3}, Y = {1, 2, 3, 4} dan Z = {1, 2}

a. Buatlah fungsi f :X →Y yang injektif tapi tidak surjektif.

b. Buatlah fungsi g :X →Z yang surjektif tapi tidak injektif

c. Buatlah fungsi h:X →X yang tidak injektif dan tidak surjektif

d. Buatlah fungsi f :X →X yang injektif dan surjektif.

6. Diketahui A = {a, b, c} dan B = {0, 1, 2, 3} didefinisikan relasi f, g, h

dari P(A) (Power set A) ke B dengan aturan sebagai berikut:

f(X) = Jumlah elemen dalam X

g(X)= Jumlah „a‟ dalam X

h(X)=Jumlah elemen dalam A-X.

a. Mana diantara relasi f, g, dan h yang merupakan fungsi?

b. Mana diantara relasi f, g, dan h yang merupakan fungsi

injektif?

c. Mana diantara relasi f, g, dan h yang merupakan fungsi

surjektif?

d. Tentukan range (f) ∩ range (g)

7. Diketahui Σ = {a, b} dan Σ* adalah himpunan semua string yang

bisa dibentuk dari anggota-anggota Σ. didefinisikan fungsi f dan g

: Σ*→ C (bilangan cacah) dengan aturan sbb:

f(w) = Jumlah „a‟ + jumlah „b‟ dalam w

g(w) = Maksimal (jumlah „a‟ + jumlah „b‟)

h(w) = Panjang string „w‟

a. Tentukan range g

b. Tentukan f(w) – h (w)

c. Apakah g merupakan fungsi yang injektif? surjektif?


8. Sebuah desa dihuni 500 penduduk. apakah pasti ada paling sedikit

2 penduduk yang berulang tahun pada hari yang sama?

9. Mana diantara fungsi f, g, dan h: {1, 2, 3, 4} → {a, b, c, d} yang

didefinisikan dengan pasangan berikut ini yang mempunyai

invers?

f ={ (1,a), (2,a), (3,c), (4,d) }

g={ (1,a), (2,c), (3,b), (4,d) }

h={ (1,c), (2,b), (3,d), (4,a) }

10. Apakah fungsi f: Z Z didefinisikan dengan rumus f(n) = 𝑛2 + 2

memiliki invers? jika y, tuliskan invers fungsinya. jika tidak,

jelaskan alasanya!

iravahliablog.files.wordpress.com · Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | v Assalamu‟alaikum...

Documents

Transcript of iravahliablog.files.wordpress.com · Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | v Assalamu‟alaikum...