HandOut Sinyal & Sistem_all.pdf

Signal&System

Jurusan Elektro STT Telkom

1

SINYAL & SISTEMEE2423

SINYAL

TEAM DOSEN

Signal&System

Jurusan Elektro STT Telkom2

Outline

Definisi Sinyal & Sinyal dalam kehidupan kita

Klasifikasi Sinyal

Sinyal waktu kontinyu & Sinyal waktu Diskret

Sinyal Periodik & Aperiodik

Sinyal Genap & Sinyal Ganjil

Sinyal Deterministik dan Acak

Sinyal-sinyal Dasar

Operasi Dasar

Signal&System


Definisi Sinyal

Sinyal pada umumnya menggambarkan berbagai fenomena fisik.

Berbagai contoh sinyal dalam kehidupan sehari-hari : arus atau tegangan dalam rangkaian elektrik, suara, suhu, tekanan udara, kecepatan, debit air, sinyal biomedis seperti EEG, ECG dlsb.

Dalam konteks hubungan sinyal dengan sistem, sinyal adalah masukan dari enviroment ke dalam sistem dan keluaran dari sistem ke enviroment.

environment

SINYALINPUT SISTEM

SINYALOUTPUT

Signal&System


Definisi Sinyal

Perhatikan gambar dibawah, sebuah sistem rangkaian penyearah jembatan dengan sinyal masukan adalah tegangan AC, dan sinyal keluaran berupa sinyal DC.

Dalam hal ini sinyal adalah masukan sistem dan output sistem yang direpresentasikan sebagai perubahan tegangan terhadap waktu.

D3

D1

Vin

RLVout

D4

D2

Vin Vout

t t

(a) (b)

Signal&System


Definisi Sinyal

Gambar dibawah adalah sinyal ucapan dari kata “apa kabar” yang dilewatkan melalui mikrofon sepanjang 1100 milidetik. Dalam hal ini, suara ucapan digambarkan sebagai perubahan tekanan akustik terhadap waktu.

Signal&System


Definisi Sinyal

Selain sinyal satu dimensi, dalam sehari-hari, kita juga akan sering menjumpai sinyal dua dimensi. Sebagai contoh adalah citra digital. Perhatikan sebuah citra monokromatis. Citra monokromatis direpresentasikan oleh tingkat kecerahan sebagai fungsi titik koordinat.

Signal&System


Definisi Sinyal

Secara metematis sinyal dinyatakan sebagai fungsi dari variabel bebas. Sinyal dapat memiliki satu atau lebih satu variabel bebas.

Sebagaimana contoh di atas, sinyal listrik memiliki satu variabel bebas waktu, sedangkan sinyal citra memiliki dua variabel bebas berupa titik koordinat.

Dalam banyak hal sinyal adalah fungsi waktu yang merepresentasikan variabel fisik yang berkaitan dengan sistem.

Signal&System


Definisi Sinyal

Dalam kuliah ini kita akan membatasi pembahasan pada sinyal dengan satu variabel bebas berupa waktu. Meskipun pada kenyataannya tidak seluruh variabel bebas dinyatakan dengan waktu, seperti variasi tekanan udara dan kelembaban terhadap ketinggian.

Waktu sebagai variabel bebas yang akan kita pelajari dalam kuliah ini, mencakup waktu kontinyu dan waktu diskret.

Signal&System


Representasi Sinyal

Selain dengan cara grafis seperti contoh-contoh di atas, sinyal dapat juga direpresentasikan dengan persamaan matematis.

Contoh :Untuk sinyal waktu kontinyu :

x(t) = 10 sin 2t

x(t) = 2t+7

Untuk sinyal waktu diskret :

x(n)=2n+3

y(n)=[1, 2, 3, 4, 3, 2, 1], keterangan : tanda ”_” adalah titik n=0.

00

0)(

t

ttty

00

01)(

n

nny

Signal&System


Klasifikasi Sinyal


Sinyal Periodik & Aperiodik

Sinyal Genap & Sinyal Ganjil

Sinyal Deterministik & Sinyal Acak

Signal&System



Sinyal Waktu Kontinyu terdefinisi untuk setiap nilai pada sumbu waktu, sedangkan Sinyal Waktu Diskret terdefinisi hanya pada nilai waktu diskret.

Dalam pembahasan kita, sumbu waktu untuk Sinyal Waktu Kontinyu menggunakan simbol t, sedangkan untuk Sinyal Waktu Diskret menggunakan simbol n. Sehingga representasi sinyal x untuk Sinyal Waktu Kontinyu dituliskan sebagai x(t) dan untuk Sinyal Waktu Diskret dituliskan sebagai x(n).

Contoh Sinyal Waktu Kontinyu : Sinyal modulasi AM

Signal&System



Contoh Sinyal Waktu Dsikret :

Jumlah pelanggan tetap VoIP U.S

Sumber :Trend in the U.S communication equipment market :A wall street perspective.

Communication Magazine, Vol 44.

Keterangan : 1Q03 = ¼ pertama tahun 2003

Signal&System


Sinyal Periodik dan Sinyal Aperiodik

Sinyal waktu kontinyu dinyatakan periodik jika dan hanya jika

x(t+kT)=x(t) untuk - < t < ,

dimana k adalah bilangan bulat.

T adalah perioda sinyal.

Sinyal waktu kontinyu dinyatakan periodik jika dan hanya jika

x(n+kN)=x(n) untuk - < n < ,

dimana k adalah bilangan bulat.

N adalah perioda sinyal.

0 1 2 3 4 5 6 7 8N n

X(n)

N

0 T t

X(t)

Signal&System


Sinyal Genap dan Sinyal Ganjil

Salah satu klasifikasi lain diperoleh dengan melihat kesimetrian sinyal pada waktu balikan (reverse time). Sinyal x(t) atau x(n) dinyatakan sinyal genap jika :

x(-t)=x(t) dan x(-n)=x(n)

Jadi sinyal genap membentuk simteri dengan waktu balikannya.

Contoh : gambar& pers

Signal&System


Sinyal Genap dan Sinyal Ganjil

Sinyal x(t) atau x(n) dinyatakan sinyal ganjil jika :

x(-t)=-x(t) dan x(-n)=-x(n)

Jadi sinyal ganjil membentuk anti-simteri dengan waktu balikannya.

Contoh : gambar& pers

Signal&System


Sinyal Deterministik dan Stochastic

Sinyal determinisktik adalah sinyal yang keseluruhan nilainya dapat ditentukan dengan suatu persamaan matematis.

Contoh : sinyal sinus, sinyal-sinyal dalam pembahasan MK ini selanjutnya adalah sinyal deterministik.

Sinyal Stochastic jika nilai yang akan datang dari suatu sinyal tidak dapat ditentukan secara pasti.

Contoh : noise tegangan dalam penguat, dll

Signal&System


Energi dan Daya Sinyal

Untuk sinyal waktu kontinyu :

Untuk sinyal waktu diskret :

1

22)()(lim dttxdttxE

T

TT

1

22)()(

2

1lim dttxdttx

TP

T

TT;

n

N

NnN

nxnxE22

)()(lim

n

N

NnN

nxnxN

P22

)()(12

1lim

;

Signal&System


Sinyal-sinyal Dasar

Sinyal Unit Step

Sinyal Impuls

Sinyal Ramp

Sinyal Eksponensial

Sinyal Sinusoidal

Signal&System


Unit Step

Unit Step Diskret

u[n]=

Unit Step Diskret Tergeser

u[n-k]=

0

0

0

1

,n

,nu[n]

-1-2

n

1-3 32

1

k,n

k,n

0

1u[n-k]

…-1

n

1 k

1

Signal&System


Unit Step (cont’d)

Unit Step Kontinyu

u(t)=

Unit Step Kontinyu Tergeser

u(t-)=

0

0

0

1

,t

,t

,t

,t

0

1 u(t- )

t

1

t

1

u(t)

Signal&System


Unit Step (cont’d)

Unit Step Kontinyu diskontinyu pada t=0, sehingga tak terdiferensiasi (not differentiable)!

Kita definisikan unit step ter-delay:

u(t) kontinyu dan dapat di-diferensiasi

otherwise

,t

,t

t

tu

,

2/

2/

2

1

0

1

)(

t

1

u(t)

2

2

)(lim)(0

tutu

otherwise

t,

dt

tdu

,

2/2/

0

1)(

Signal&System


Unit Impuls

Unit Impuls Diskret

Unit Impuls Diskret Tergeser

0

0

0

1][

,n

,nn

[n]

-1-2

n

1-3 32

1

[n-k]

…-1

n

1 k

1

k,n

k,nkn

0

1][

Signal&System


Unit Impuls (cont’d)

Properties Fungsi Unit Impuls Diskret:

k

n

k

knkxnx

knkxknnx

nxnnx

knu

nunun

][][][

][][][][

][]0[][][

][][

]1[][][

Signal&System


Unit Impulse (cont’d)

Unit Impuls Kontinyu:

1)(

0,

00)(

dtt

t

,tt

otherwise

t,

dt

tdut

,

22

0

1)(

lim)(0

t1/

(t)

2

2

t

0

(t)

Signal&System


Unit Impuls (cont’d)

Unit Impuls Kontinyu Tergeser:

Properties Unit Impuls Kontinyu :

)()()()(

)()0()()(

)()(

)()(

)()(

txttx

txttx

tt

dtu

dt

tdut

t

t

(t-)

dtxtx )()()(

Signal&System


Latihan

Hitung persamaan dibawah:

Gambarkan sinyal berikut ini:

Gambar turunan dari x(t), yakni dx(t)/dt.

dtttut

knnnnun kn

10

10

0

10

))15()((

]2[][

))8()6()4(()()2()(

]3[][)1(][

tutututtuttx

nnununnx

Signal&System


Signals Sebagai Fungsi Step

tc

x(t)

a b

1

y(t)

-

1

1t

1

w(t)

-

1

1t

2z(t)

-

1

1 t

2

-

2

Signal&System


Signals Sebagai Fungsi Step (cont’d)

x[n]

…-1

n

1 N

1

y[n]

… -1

n

1 4

1

-2 32 5-3 …

Signal&System


Operasi-operasi Dasar

Opersai terhadap Sumbu Waktu

Pergeseran sumbu waktu

X(t+t0) geser ke kiri sejauh t0

X(t-t0) geser ke kanan sejauh t0

Pencerminan

X(-t) pencerminan terhadap sumbu vertikal

Penskalaan waktu (kompresi-ekspansi)

X(at) jika |a|>1 Kompresi

jika |a|<1 ekspansi

Signal&System


Operasi-operasi Dasar

Operasi terhadap Amplituda

Penskalaan

A.x(t)

Signal&System


31

EE2423SINYAL & SISTEM

SISTEM

TEAM DOSEN

Signal&System


Outline (bagian 1)

Definisi Sistem

Interkoneksi Sistem

Klasifikasi Sistem :

Sistem Memory vs. Memoryless

Stability and Invertibility

Linearity

Time-Invariance

Superposisi pada Sistem LTI

Signal&System


Definisi Sistem

Sistem: Black box yang memetakan sinyal input menjadi sinyal output.

Sistem Waktu Diskret: y[n] = H[x(n)]

Sistem Waktu Kontiunyu: y(t) = H(x(t))

Hx[n] y[n]

Hx(t) y(t)

Signal&System


Interkonneksi Sistem

Hubungan serial (Cascade): y(t) = H2( H1( x(t) ) )

Contoh: radio receiver diikuti oleh amplifier

Parallel Connection: y(t) = H2( x(t) ) + H1( x(t) )

Contoh: line telepon terhubung parallel dengan microphone telepon

H1

x(t)H2

y(t)

H1

x(t) y(t)

H2

+

Signal&System


Interkonneksi Sistem(cont’d)

Hubungan Feedback : y(t) = H2( y(t) ) + H1( x(t) )

contoh : Sistem penghapus echo

Sangat mungkin untuk mengkombinasikan hubungan tersebut.

H1

x(t) y(t)

H2

+

Signal&System



Sistem Memoryless (static): Output sistem y(t)bergantung hanya pada intput pada waktu t, y(t) adalah fungsi x(t)

Sistem Bermemori (dynamic): Output sistem y(t)bergantung pada input sebelum atau sesudah waktu t(current time t), y(t) fungsi x() dimana - < <.

Signal&System



Contoh:Tentukan apakah dibawah ini sistem bermemori atau tak bermemori resistor:y(t) = R x(t)

capacitor:

satu unit delayer: y[n] = x[n-1]

accumulator:

t

dxC

ty )(1

)(

n

k

kxny ][][

Signal&System


Stabilitas dan Invertibilitas

Stabilitas: Sistem stabil jika memberikan keluaran terbatas untuk masukan yang terbatas (bounded-input/bounded-output)-BIBO.

Jika |x(t)| < k1, maka |y(t)| < k2.

Contoh:

t

dttxty0

)()( ][100][ nxny

Signal&System


Stabilitas dan Invertibilitas Invertibilitas: Sistem invertible jika input yang berbeda

menghasilkan output yang berbeda. Jika sistem invertible,maka ada sistem “inverse” yang dapat mengkonversi output asli sistem menjadi input asli sistem.

Contoh:

Sistemx(t) Sistem

Inverse

w(t)=x(t)y(t)

Signal&System


Stabilitas dan Invertibilitas

Contoh:

)(4

1)(

)(4)(

tytw

txty

]1[][][

][][

nynynw

kxnyn

k

dt

tdytw

dttxty

t

)()(

)()(

Signal&System


Linearitas

Sistem linier jika memenuhi sifat:

additivitas: x(t) = x1(t) + x2(t) y(t) = y1(t) + y2(t)

homogeneitas (atau scaling): x(t) = a x1(t) y(t) =

a y1(t), dengan a konstanta complex.

Dua sifat tersebut dapat dikombinasi menjadi satu sifat:

Superposition:

x(t) = a x1(t) + b x2(t) y(t) = a y1(t) + b y2(t)

x[n] = a x1[n] + b x2[n] y[n] = a y1[n] + b y2[n]

Signal&System


Linearitas

Contoh: Apakah sistem berikut linier?

)()( 2 txty

][][ nnxny

)cos()()( ttxty

Signal&System


Time-Invariance

Sistem time-invariant jika delay (time-shift) pada sinyal input menyebebkan delay yang sama besar (time-shift) pada sinyal ouput.

x(t) = x1(t-t0) y(t) = y1(t-t0)

x[n] = x1[n-n0] y[n] = y1[n-n0]

Periksalah sistem dibawah apakah time-invariant:

][][ nnxny

)2()( txty

)(sin)( txty

Signal&System


Superposisi dalam Sistem LTI

Dalam sistem LTI:

Respons sistem y(t) untuk sinyal input x(t)

Sangat mungkin menggambarkan respons sistem untuk sejumlah sinyal input x1(t) yang dapat diperoleh dengan “scaling” atau “time-shifting” dari sinyal input x(t),

contoh :

x1(t) = a0 x(t-t0) + a1 x(t-t1) + a2 x(t-t2) + …

y1(t) = a0 y(t-t0) + a1 y(t-t1) + a2 y(t-t2) + …

Signal&System


Superposisi in Sistem LTI (cont’d)

Latihan: Diberikan respon y(t) pada sistem LTI untuk sinyal input x(t) di bawah, carilah response sistem untuk sinyal input x1(t) dan x2(t).

x(t) y(t)

2

1

t

1

-1 1t

t

Signal&System


Superposisi in Sistem LTI (cont’d)

Latihan: Diberikan respon y(t) pada sistem LTI untuk sinyal input x(t) di bawah, carilah response sistem untuk sinyal input x1(t) dan x2(t).

t

2

x1(t)

1 t2

x2(t)

1

-1

3

4

1/2-1/2

Signal&System


47


KONVOLUSI

TEAM DOSEN

Signal&System


Outline (bagian 2)

Representasi Sinyal sebagai Impuls

Response Impulse

Penurunan Konvolution Jumlah

Arti Konvolusi

Metoda Konvolusi Dua Sinyal

Penurunan Konvolusi Integral

Signal&System


Representasi Sinyal sebagai Impuls

Kita dapat merepresentasikan berbagai sinyal melalui pen-sampling-an dengan unit impulse tergeser:

Disebut sebagai sifting (or shifting) property:

...]2[]2[

]1[]1[][]0[

]1[]1[]2[]2[...

][

nx

nxnx

nxnx

nx

k

knkxnx ][][][

Signal&System


Response Impuls

Respons dari sistem ketika sinyal input adalah unit impulse (t) disebut sebagai respons impulse, dan direpresentasikan oleh h(t).

Pada SWK : h(t) = H((t))

Pada SWD : h[n] = H[[t]]

Sistem

H

(t) h(t)

Sistem

H

[n] h[n]

Signal&System


Penurunan Konvolution Jumlah

Pada SWD LTI, misal h[n] adalah respons impuls dari sistem H.

signal x[n] sebagai masukan H.

tulis x[n] dalam bentuk representasi unit impulses:

Maka sinyal output y[n] menjadi:

k

knkxnx ][][][

k

knkxHnxHny ][][]][[][

Signal&System


Penurunan Konvolution Jumlah (cont’d)

Karena additivitas pada sistem LTI :

Karena homogenitas pada sistem LTI :

Karena time-invariance pada sistem LTI:

k

knkxHny ][][][

k

knHkxny ][][][

k

knhkxny ][][][

Signal&System


Arti Konvolusi

Persamaan disebut sebagai konvolusi jumlah (convolution sum) atau superposition sum, dan direpresentasikan oleh:

Perlu dicatat bahwa ini bukan perkalian antara x[n] dan h[n].

Secara Visual konvolusi berarti :

Cerminkan h[k]

Geser h[k] untuk seluruh nilai n yang mungkin, sampai melewati x[n].

k

knhkxny ][][][

][*][][ nhnxny

Signal&System


Penurunan Konvolusi Integral

Pada sistem waktu kontinyu LTI H, misal h(t) adalah respons impulse sistem.

signal x(t) sebagai masukan H.

Tulis “staircase approximation” untuk x(t) dalam bentuk unit impulse:

dimana .

k

ktkxtx )(][)(ˆ

laint

tt

,0

0,1

)(

Signal&System


Penurunan Konvolusi Integral (cont’d)

Maka, sinyal output signal y(t) menjadi :

Karena additivitas pada sistem LTI :

Karena homogenitas pada sistem LTI :

k

ktkxHtxHty )(][))(ˆ()(ˆ

k

ktkxHty )(][)(ˆ

k

ktHkxty )(][)(ˆ

Signal&System


Penurunan Konvolusi Integral (cont’d)

Karena time-invariance pada sistem LTI :

dimana adalah staircase approximation dari h(t).

k

kthkxty )(ˆ][)(ˆ

)(ˆ th

Signal&System


Pada kasus diatas penjumlahan didekati konvolusi integral dibawah:

0

)(*)()(

)()()(

)(ˆ][lim)(ˆlim)(00

thtxty

dthxty

kthkxtytyk

Signal&System


Latihan

Signal&System


Sifat-sifat Konvolusi

Properties of Convolution

Causality

Step Response

Exercises

Signal&System


Sifat-sifat Konvolusi

Commutative Property:

x[n]*y[n]=y[n]*x[n]

x(t)*y(t)=y(t)*x(t)

Distributive Property:

x[n]*(y1[n] + y2[n])=x[n]*y1[n] + x[n]*y2[n]

x(t)*(y1(t) + y2(t))=x(t)*y1(t) + x(t)*y2(t)

Associative Property:

x[n]*(y1[n]*y2[n])=(x[n]*y1[n])*y2[n]

x(t)*(y1(t)*y2(t))=(x(t)*y1(t))*y2(t)

Signal&System


Causality

Sistem kausal jika output hanya bergantung hanya pada sinyal input saat ini dan sebelumnya.

Sistem LTI Kausal:

Karena kausalitas h[n-k] harus nol untuk k>n.

Shg, n-k<0 untuk sistem LTI kausal.

Maka h[n]=0 untuk n<0.

k

knhkxny ][][][

Signal&System


Causality (cont’d)

Maka konvolusi jumlah untuk sistem LTI kausalmenjadi:

Samahalnya, konvolusi integral untuk sistem LTI kausal:

Maka jika sistem kausal, respons impulse nol untuk nilai waktu negatif dan gunakan persamaan konvolusi yang lebih sederhana seperti di atas

0

][][][][][k

n

k

knxkhknhkxny

0

)()()()(][ dtxhdthxny

t

Signal&System


Step Response

Unit Step Response: Keluaran sistem ketika diberikan masukan sinyal step.

Direpresentasikan oleh oleh s[n] atau s(t).

Seluruh karakteristiknya pada sistem LTI serupa dengan Respons Unit Impulse.

Sistem

H

(t) h(t)

Sistem

H

u(t) s(t)

Signal&System


Step Response dan Impulse Response

Hubungan Respons Step dan Respons Impulse:

Exercise: buktikan hubungan persamaan di atas.

)(')(

)(

)()(

]1[][][

][][

tsdt

tdsth

dhts

nsnsnh

khns

t

n

k

Signal&System


65


Pencuplikan (Sampling)

TEAM DOSEN

Signal&System


Outline

Teorema Pencuplikan

Pencuplikan Ideal (Rentetan Impulse)

Rekonstruksi dengan Interpolasi

Efek Under-sampling: Aliasing

Latihan

Signal&System


Teorema Pencuplikan (Sampling Theorem)

Sampling adalah suatu proses mengubah sinyal kontinu menjadi sinyal diskrit; sedangkan rekonstruksi adalah proses sebaliknya

Sampling Theorem: Suatu sinyal waktu kontinu, x(t) dapat direkonstruksi secara unik dari cuplikannya, xs(t), jika dipenuhi dua kondisi:

1. x(t) harus memiliki pita terbatas dengan frekuensi maximum M

Contoh :

Apkh x(t)=e-30tu(t) band-limited, maksudnya, apkh

|X()|=0 for ||>M? Why or why not?

Apkh x(t)=sinc(t) band -limited? Why or why not?

Signal&System


Teorema Pencuplikan (Sampling Theorem)

1. x(t) harus memiliki pita terbatas dengan frekuensi maximum M

Contoh :

Apkh x(t)=e-30tu(t) band-limited, maksudnya, apkh

|X()|=0 for ||>M? Why or why not?

Apkh x(t)=sinc(t) band -limited? Why or why not?

Signal&System


Sampling Theorem (continued)

2. Sampling frequency s dari xs(t) harus lebih besar sama dengan 2M, atau s

2M.

Kondisi kedua ini dikenal sbg Kriteria Nyquist

s disebut Frekuensi Nyquist yaitu sampling frequency (Frekuensi pencuplikan) terkecil yang mungkin agar dapat diperoleh kembali sinyal analog asli dari hasil cuplikannya

Signal&System



Pencuplikan sinyal waktu kontinu x(t) dpt dilakukan dgn mendapatkan nilai-nilainya pada waktu-waktu periodik x(kT) dimana T is the sampling period.

Idealnya dapat dilakukan dg mengalikan x(t) dengan rentetan impuls yang punya periode T:

Dari sifat sampling:

)()()( tptxtxs

k

kTttp )()(

k

s kTtkTxtx )()()(

Signal&System



Dari sifat multiplikasi diketahui :

Dan

Misalkan x(t) adalah band-limited dg maximum frequency M dan dg bentuk triangular, sketsa spektrum frekuensi Xs(j) untuk 2 kasus: s>2M

dan s<2M adalah sbb :

djPjXjX s ))(()(2

1)(

k

skT

jP )(2

)(

Signal&System


Pencuplikan Ideal (cont)

-M M

Signal&System


Signal&System


Pencuplikan Ideal (cont’d)

Berapakah frekuensi cutoff c terbaik dari LPF untuk merekonstruksi x(t) dari xs(t).

Latihan: Berapakah Frekuensi Nyquist untuk signals: x(t)=2cos(40t)

x(t)=sinc(t)

Signal&System


Pencuplikan Ideal (cont’d)

Latihan : Anggap x(t) periodik dengan periode TM. Tuliskan kriteria Nyquist s>2M dalam bentuk periode Ts dan TM.

Latihan : Sample x(t)=cos(Mt) as s=2M.

Signal&System


Rekonstruksi dengan Interpolasi

Suatu samples (cuplikan) xs(t) dari sebuah sinyal analog x(t) dilewatkan melalui LPF ideal denganfrekuensi cutoff c=s/2.

Bagaimana bentuk korespondensi time-domain untuk operasi ini?

Operasi disebut interpolasi band-limited

LPF

h(t)

xs(t) xr(t)

Signal&System


Carilah rumus interpolasi utk mendapatkan xr(t).

Similarly, obtain the two easier-to-implement interpolation formulas for xr(t) by using

Zero-Order-Hold

First-Order-Hold (Linear Interpolation)

Signal&System


Aliasing (Under-sampling)

Apa yg terjadi bila frekuensi sampling lebih kecil dari Frekuensi Nyquist, s<2M ?

Sinyal asli x(t) tak bisa diperoleh dari xs(t) krn ada “overlap” yang tak diinginkan di Xs().

Akibatnya sinyal hasil rekonstruksi l xr(t) berbeda dengan x(t), dan disebut sebagai aliasing atau under-sampling.

Signal&System


Latihan: Utk x(t)=cos(Mt), cupliklah dgn frekuensi:

s=3M

s=3M/2

s=M

(a) Gambarkan sinyal cuplikanl xs(t) dan its spektrum frekuensinya.

(b) Jika terjadi aliasing , brpkh frekuensi maximum dari aliasing.

Signal&System


80

EE2423

SINYAL & SISTEM

DERET FOURIER WAKTU KONTINU (DFWK)

TEAM DOSEN

Signal&System


Deret Fourier Waktu Kontinu (DFWK)

1k

kk0 t)(ksinbt)(kcosaax(t)

a0, ak, bk : Fourier coefficients.

k: harmonic number,

T: period, = 2/TFor all t but discontinuities

T

0

0 s(t)dtT

1a

T

0

k dtt)sin(ks(t)T

2b-

T

0

k dtt)cos(ks(t)T

2a

(signal average over a period, i.e. DC term & zero-frequency component.)

Signal&System


Deret Fourier Waktu Kontinu (DFWK)

-k

T

tjk

k ecx(t)

dt

Tt

t

k

0

0

T

tj

k ex(t)T

1c

DFS defined as:

Deret Fourier Bentuk Eksponensial Kompleks

Bentuk ini lebih memberikanbanyak informasi, karena koefisien Fourier dinyatakan secara eksplisit

r

a

b = arctan(b/a)

r = a2 + b2

z = r ej

kbjka2

1kbjka

2

1kc

0a0c

Link to FS real coeffs.

Signal&System


Spektral Fourier

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10 t

sq

ua

re s

ign

al,

sw

(t)

π

f1 3f1 5f1 7f1 f

f1 3f1 5f1 7f1 f

rk

θk

4/π

4/3π

Signal&System


DFWD

Diskret square wave.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k

0 2 4 5 6 7 8 9 10 n

k

ck

-5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n

0 L N

s[n] 1

Signal&System


Fourier analysis - tools Input Time Signal Frequency spectrum

1N

0n

N

nkπ2j

k ex[n]N

1c~

Discrete

DiscreteDFSPeriodic (period T)

ContinuousDTFTAperiodic

DiscreteDFT

nfπ2j

n

ex[n]X(f)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 2 4 6 8 10 12

time, tk

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

time, tk

1N

0n

N

nkπ2j

k ex[n]N

1c~

**

**

Calculated via FFT**

dtex(t)X(f)tfπj2

dtex(t)T

1c

T

0

tkj

k Periodic

(period T)Discrete

ContinuousFTAperiodic

FSContinuous

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

time, t

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 2 4 6 8 10 12

time, t

Note: j =-1, = 2/T, s[n]=s(tn), N = No. of samples

Signal&System


FS convergence

s(t) piecewise-continuous;

s(t) piecewise-monotonic;

s(t) absolutely integrable , T

0

dts(t)

(a)

(b)

(c)

Dirichlet conditions

In any period:

Example: square wave

T

(a)

(b)

T

s(t)

(c)

if s(t) discontinuous then |ak|<M/k for large k (M>0)

Rate of convergence

Signal&System


Sifat-sifat Deret Fourier

Diberikan dua sinyal periodik dengan period T dan fundamental frequency 0=2/T sama:

Linearity:

Time-Shifting:

Time-Reversal (Flip):

Time-Scaling:

k

k

bty

atx

)(

)(

kk BbAatBytAxtz )()()(

00)()( 0

tj

keattxtz

katxtz )()(

0,)()( katxtz

Signal&System


Sifat-sifat Deret Fourier (cont’d)

Differentiation:

Integration:

Dekomposisi Genap-Ganjil dari Sinyal Real:

Multiplication:

kajkdt

tdxtz 0

)()(

0,1

)()( 0

0

aajk

dttxtz k

t

)()(

)()(

k

k

amjtxOddtz

aetxEventz

l

lklkk babatytxtz *)()()(

Signal&System


Tabel FS propertiesTime Frequency

Homogeneity a·s(t) a·S(k)

Additivity s(t) + u(t) S(k)+U(k)

Linearity a·s(t) + b·u(t) a·S(k)+b·U(k)

Time reversal s(-t) S(-k)

Multiplication * s(t)·u(t)

Convolution * S(k)·U(k)

Time shifting

Frequency shifting S(k - m)

m

m)U(m)S(k

td)t

T

0

u()ts(tT

1

S(k)e T

tk2πj

s(t)T

tm2πj

e

)ts(t

Signal&System


90


Transform Fourier Waktu Kontinyu

(TFWK)

TEAM DOSEN

Signal&System


Outline

Time Domain vs. Frequency Domain

Hubungan Deret Fourier dan Transform Fourier

Sifat-sifat Fourier Transform

Exercises

Signal&System


Time Domain vs. Frequency Domain

Analisis Fourier (Deret atau Transform) merupakan jalan untuk menentukan kandungan frequency dari sinyal yang diberikan, yakni memindahkan dari domain waktu ke domain frequency.

Selalu mungkin untuk mengembalikan dari domain frequency ke domain waktu, melalui Penjumlahan Deret Fourier atau Inverse Fourier Transform.

Diberikan sinyal x(t) dalam domain waktu, koefisien Fouriernya (ak) or Fourier Transform-nya (X()) disebut “frequency (or line) spectrum”.

Jika ak atau X() complex, maka frequency spectrum dinyatakan dengan magnitude (|ak| atau |X()|) dan phase (ak atau X())

)()(

)(

XAX

AeX j

Signal&System


Hubungan Deret dan Transform Fourier

Perhatikan sinyal periodik x(t):

Kita dapatkan koefisien Fourier x(t) adalah:

0

0

)sin(

,2

10

1

k

k

k

Tk

T

T

ak

x(t)

t-T1 0 T1 T-T

Signal&System


Hubungan Deret dan Transform Fourier

Sketch ak on the k-axis:

Plot membentuk fungsi sinc diskret.

Untuk setiap nilai k, sinyal x(t) memiliki komponen periodik dengan weight ak, menunjukkan frequency content dari sinyal x(t).

ak

k-2 -1 0 1 2

2T1/T

Signal&System


Hubungan Deret dan Transform Fourier (cont’d)

Sekarang, sket ak on -axis:

Pada -axis, jarak antara dua aks yang berurutan adalah 0=2/T, frekuensi fundamental.

ak

-20 -0 0 0 20

2T1/T

Signal&System


Hubungan Deret dan Transform Fourier (cont’d)

Pada perioda T, frekuensi fundamental 00. Sehingga, jarak antara dua aks yang berurutan menjadi nol, dan sket ak menjadi kontinu, ini disebut Transform Fourier.

Pada sisi lain, saat T, sinyal x(t) menjadi aperiodik dan mempunyai bentuk :

Hal ini berarti Transformasi Fourier dapat merepresentasikan sinya apriodik pada domin frekuensi.

x(t)

t-T1 0 T1

Signal&System


Transform Fourier Waktu Kontinu

Transisi dari DFWK ke TFWK

fF=1/TF

-k

T

tjk

k ecx(t)

-k

t)(2je][Xx(t) fk

f=fF=1/TF

-k

t)(2j

0

0

)(2j

F

ee)x(T

1x(t) f

Tt

t

fkF

d

Transisi dari DFWK ke TFWK dicapai dengan pendekatan

“sinyal aperiodik dapat dipandang sebagai sinyal periodik dengan perioda infinity”

Signal&System



fd f

T

T

fkF

F

-k

t)(2j

2/

2/

)(2j ee)x(x(t)

fd f

T

T

fk

T

F

F

F

-k

t)(2j

2/

2/

)(2j ee)x(limx(t)

dfd ff t2j2j ee)x(x(t)

Signal&System



dtttxF ft2je)x())((X(f)

Jadi Persamaan Transformasi Fourier Waktu Kontinyu

dfffXF ft2j1 e)X())((x(t)

Signal&System



dtttxF tje)x())(()X(

Bentuk lain Persamaan TFWK

dXF tj1 e)X(2

1))((x(t)

Signal&System


Konvergensi TFWK

Samahalnya dengan Deret Fourier, kondisi konvergen Diterapkan untuk Fourier Transform:

Sinyal harus absolutely integrable

Pada interval waktu terbatas, sinyal haruslah memiliki maxima and minima berhingga

Pada interval waktu terbatas, sinyal haruslah memiliki jumlah diskontinu berhingga.

dttx )(

Signal&System


Signal&System


Sifat-sifat TFWK

Diberikan dua sinyal dan :

Linearity:

Time-Shifting:

Time-Flip:

Differentiation in Time:

Integration in Time:

)()( Xtx )()( Yty

)()()()( bYaXtbytax )()( 0

0 Xettx

tj

)()( Xtx)(/)( Xjdttdx

)()0()(1

)(

XXj

dttx

t

Signal&System


Sifat-sifat TFWK (cont’d)

Frequency-Shifting:

Differentiation in Frequency:

Diberikan , carilah Transformasi Fourier untuk dalam X()?

)()( 00

Xtxetj

djdXttx /)()(

)()( 2 Xetx t ttt eteety 221 2)(

Signal&System


Pasangan TF

Signal&System


Latihan

Dengan menggunakan Sifat-sifat Transformasi Fourier, Hitunglah Transformasi Fourier sinyal di bawah ini:

x(t)

t-A 0 A

-A

A

)()( tutx x(t)

t-3 -2 0 2 3

Signal&System


Transformasi Fourier pada Sinyal Periodik

Beberapa sinyal periodik, integral Transformasi Fourier mungkin tidak dapat menyelesaikannya. Namun, ada cara yang mudah untuk menentukan Transformasi Fourier pada sinyal periodik:

Untuk sinyal periodik x(t), Deret Fourier :

dimana .

Maka, Transformasi Fourier x(t) adalah:

merupakan deretan impulse dengan magnituda 2ak, dimana 0 adalah frekuensi fundamental dari x(t).

k

tjk

keatx 0)(

T

tjk

k dtetxT

a 0)(1

k

k kaX )(2)( 0

Signal&System


Inverse Fourier Transform

Kita dapat merekonstruksi sinyal asli x(t) jika diberikan frequency content, yakni Transformasi Fourier.

Sehingga, Jika diketahui Transformasi Fourier X() dari sinyal x(t), sinyal x(t) dapat dihitung melalui persamaan Inverse Fourier :

Exercise: Solve Text Problems 4.4 (b) and 4.22 (c).

deXtx tj)(2

1)(

Signal&System


Respons Frequency

Sepertihalnya Respons Impuls h(t) pada sistem LTI, frequency response H() pada sistem LTI merupakan karakteristik perilaku sistem.

Hubungan antara h(t) dan H() secara sederhana:

Hal ini berguna ketika kita mencari output sistem LTI saat diberi input:

Melalui Transformasi Fourier, y(t) dapat dihitung dengan perkalian sederhana:

Y() = H()X()

dethHth tj)()()(

h(t) y(t)x(t)

Signal&System


Konvolution dan Perkalian

Konvolusi dalam domain waktu koresponden dengan perkalian dalam domain frekuensi:

Demikain halnya, perkalian dalam domain waktu koresponden dengan konvolusi dalam domain frequensi:

)()()(*)( YXtytx

dYXYXtytx )()(2

1)(*)(

2

1)()(

Signal&System


112


ANALIS FOURIER SINYAL WAKTU DISKRIT

TEAM DOSEN

Signal&System


Deret Fourier Sinyal Waktu Diskrit

Tujuan :

Memindahkan sinyal waktu diskrit ke kawasan frekuensi

Sinyal periodik Spektral Diskrit

Sinyal aperiodik Spektral Kontinu

DFWD

TFWD

Signal&System


DERET FOURIER WAKTU DISKRIT

Bentuk Trigonometri

Sinyal periodik x(n) dengan perioda

x(n) = x(n+N)

Sinyal periodik bentuk sinusoida

x(n) = an cos (2πn/N)

x(n) = bn sin (2πn/N)

Frekuensi sudut sinyal periodik

ω ≡ 2πn/N radian

Signal&System



DFWD

Bandingkan dgn DFWK

1

000 )sincos()(k

kk tkbtkaanx

1

000 )sincos()(n

nn tnbtnaatx

Signal&System



Bentuk Eksponensial

,...2,1,0)(1

0

0

neanxN

k

njk

k

1,...,2,1,0)(1

)(1

0

0

Nkenx

Nka

N

n

njk

Signal&System



Jika

Jadi

N

kj

k

NN

j

N ewmakaew

22

1,...,2,1,0)(1

,...2,1,0)(

1

0

1

0

NkwnxN

a

nwanx

N

n

kn

Nk

N

k

kn

Nk

Signal&System



Bentuk DFWD cukup dianalisis 1 periode dari N=0 s/d N-1 karena sifat ekponensial

dimana k=integer sejumlah N dai 0 s/d N-1

12

2

0

kj

N

N

kjNjk

eee

Signal&System



Untuk N=8 Integer k juga merepresentasikan frekuensi sudut ω0

Jadi ak

merepresentasikan spektral SWD

k=0

k=1

k=2

k=4

k=6

k=7

ω0

Signal&System



Latihan

Gambarkan koefisien fourier diskrit dari SWD dgn perioda 8 sbb:

n

0 1

x(n)

7

Signal&System



Respon Steady State thd bbrp input sinusoida

Cari Lq (operator q)

Respon steady state input ekponensial

Jika input sinusoid maka diubah dulu ke bentuk eksponensial

njAenx 0)(

0

)()( jeqss nx

qD

qNny

Signal&System


KONVERGENSI DERET FOURIER

Suatu sinyal periodik tidak dapat direpresentasikan sebagai deret Fourier jika :

Sinyal tidak dapat diintegralkan secara absolut pada setiap periode

Dalam setiap interval waktu yang terbatas, sinyal mempunyai variasi yang tidak terbatas

Dalam setiap interval waktu terbatas , sinyal mempunyai jumlah diskontiniu yang tak terbatas.

Akan tetapi sinyal yang demikian adalah sinyal yang tidak realistik, sehingga konvergensi bukan merupakan hal yang penting dalam hal ini.

Signal&System


SIFAT-SIFAT DERET FOURIER

Dua sinyal periodik dgn periode N dan fundamental frequency 0=2/N:

Linearitas:

k

k

bny

anx

)(

)(

kk BbAanBynAxtz )()()(

Signal&System



Pergeseran Waktu:

Time-Reversal (Flip):

00)()( 0

njk

keannxnz

kanxnz )()(

Signal&System



Penskalaan Waktu:

Differensiasi Pertama:kanxnz )()(

k

jkaenxnxnz )1()1()()( 0

Signal&System



Konvolusi Periodik:

Perkalian:

)(

)()(Nr

kkbNarnyrx

)(

)()()(Ni

lklbanynxnz

Signal&System



Even-Odd Decomposition of Real Signals:

)()(

)()(

k

k

amjnxOddnz

aenxEvennz

Signal&System


LATIHAN SOAL

Cari koefisien Fourier untuk deret periodik x[n] pada Fig. 6-7.

Signal&System


LATIHAN SOAL

Cari representasi Deret Fourier Waktu Diskrit dari masing-masing deret berikut:

Signal&System


TIME DOMAIN vs. FREQUENCY DOMAIN

Analisa Fourier (Deret atau Transformasi) adalah cara mendapatkan content frekuensi dari sinyal, antara lain berpindah dari time-domain ke frequency domain.

Selalu dimungkinkan untuk kembali dari frequency-domain ke time-domain.

Signal&System


KONVERGENSI TRANSFORMASI FOURIER

Sama dengan Deret Fourier, maka suatu sinyal aperiodik dapat diTransformasi Fourier jika : Sinyal dapat diintegralkan secara absolut

pada setiap periode

Dalam setiap interval waktu yang terbatas, sinyal mempunyai variasi yang terbatas

Dalam setiap interval waktu terbatas , sinyal mempunyai jumlah diskontiniu yang terbatas.

Signal&System


TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT

Digunakan jika sinyal waktu diskrit tidak periodik atau merupakan deretan terbatas

Dengan TFWD dapat ditentukan spektral diskritnya

TFWD diturunkan dari DFWD dimana periodanya menuju tak terhingga

Signal&System


TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT

TFWD

2

02

1

)(

nj

n

nj

eXnx

enxX

Signal&System


SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT

- Periodik

Linieritas

Pergeseran waktu dan frekuensi

Penskalaan waktu dan frekuensi

Differensiasi dan penjumlahan

Teorema Parseval

Konvolusi

Konvolusi Periodik

Signal&System



Periodisitas Transformasi Fourier Waktu

Diskrit selalu periodik dalam ωdengan periode 2π

jj eXeX )( 2

Signal&System



Linieritas Jika

Dan

maka

jeXnx 11

jeXnx 22

jj ebXeaXnbxnax 2121

Signal&System



Pergeseran Waktu

jika

maka jeXnx

jnjeXennx 0

0

Signal&System



Pergeseran Frekuensi

jika

maka jeXnx

)( 00

jnjeXnxe

Signal&System



Differencing

Time Reversal

jj eXenxnx 11

jeXnx

Signal&System



Differensiasi dalam frekuensi

Konjugasi

d

edXjnnx

j

jeXnx **

Signal&System



Relasi Parseval

2

22

2

1deXnx j

n

Signal&System



Konvolusi

Perkalian

jj eXeXnxnx 21212

1

jj eXeXnxnx 2121 *

Signal&System


LATIHAN SOAL

Cari Transformasi Fourier dari deretan pulsa rekatangular x [ n ] = u [ n ] -u [ n - N ]

Signal&System


LATIHAN SOAL

Cari Transformasi Fourier dari deretan pulsa rekatangular pada gambar dibawah ini

Signal&System


LATIHAN SOAL

Suatu sistem kausal LTI

dimana x[n] dan y[n] adalah input dan output sistem

( a ) Cari Respon Frekuensi Sistem

( b ) Cari Impuls Respon Sistem

Signal&System


LATIHAN SOAL

Suatu sistem kausal LTI

a. Cari Respon Frekuensi sistem

b. Cari Respon Impuls Sistem

c. Gambarkan Respon Magnituda

d. Gambarkan Respon Fasa

Signal&System


TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT

Sinyal periodik Spektral Diskrit

Sinyal aperiodik Spektral Kontinu

Sinyal aperiodik Spektral Diskrit

DFWD

TFWD

TFD

Signal&System


TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT

Jadi TFD berguna untuk mentransformasikan sinyal aperiodik ke spektrum diskrit

Jika TFD dianalisa dengan menggunakan DFWD sinyal dibuat seolah-olah periodik

Jika TFD dianalisa dengan menggunakan TFWD

Hubungan TFD dengan TFWD

N

kXXkX

N

2)()( 2

Signal&System


149

TRANSFORMASI LAPLACE

TEAM DOSEN


Signal&System


Pada analisis transien, rangkaian selaludihadapkan dengan bilangan kompleks + j.Sedangkan Transformasi Fourier WaktuKontinyu (TFWK) hanya bekerja dalam daerah (kondisi steady sate).

Transformasi Laplace, seperti halnya (TFWK)yang mentransformasikan sinyal di kawasanwaktu ke kawasan frekuensi (dalam frekuensikompleks).

Signal&System


Transformasi laplace Bilateral (TLB)

TLB diturunkan dari TFWK :

~

X(Ω) = ∫ x(t) e-jΩt dt-~

~

X(t) = (1/2π) ∫ X(Ω) ejΩt dΩ-~

Signal&System


Definisikan suatu fungsi y(t) = e-t x(t),dengan e-t adalah faktor konvergensi.

Maka TFWK dari y(t) :

Y(Ω) = ∫ e-t x(t) e-jΩt dt = ∫ x(t) e-(+jΩ)t dt

- -

= X(+jΩ)

Jadi X(+jΩ)= ∫ x(t) e-(+jΩ)t dt

-

= X(+jΩ)

Signal&System


x(t) = (1/2Π) ∫ X(+jΩ) e-(+jΩ)t dΩ-

Definisikan variabel frekuensi kompleks : s = +jΩ sehingga ds = jdΩ dan dΩ = ds/j.

Maka :

X(s) = ∫ x(t) e-st dt -

X(t) =(1/2Πj) ∫ X(s) est ds -

Disebut Pasangan TLB

Signal&System


Notasi : X(s) = ₤ [x(t)]

x(t) = ₤-1[X(s)]

Konvergensi TLB : terintegrasi secara mutlak .

0

∫ x(t) e-t dt = ∫ x(t) e-t dt + ∫x(t) e-t dt

- - 0

Transformasi Laplace 2 sisi ada , bila :

X(s) = ∫ x(t) e-st dt terbatas

-

Signal&System


Maka X(s) dijamin ada bila :

∫ x(t) e-t dt = ∫ x(t) e-t dt terbatas

- -

Sebagai contoh :

x(t) = A. et , untuk t 0

= A. et, untuk t 0 , dimana A, , adalah bilangan riil.

Maka : konvergen untuk

Signal&System


Contoh soal :Carilah Transformasi Laplace dari

x(t) = 3. e-2t u(t) + 4 et u(-t)

0

X(s) = ∫ 4. e-(s-1) t dt + ∫3.e-(s+2) t dt

- 0

Konvergen Konvergen

Untuk -2 Untuk 1

Maka : X(s) = 3/(s+2) – 4/(s-1) konvergen untuk -2 1

Signal&System


TRANSFORMASI LAPLACE SATU SISI [TLSS]

Definisi : diberikan suatu sinyal x(t) kausal, maka :

X(s) = ∫ x(t) e-st dt

0

+jΩ

x(t) =(1/2Πj) ∫ X(s) est ds

-jΩ

Konvergensi TLSS jika :lim e-t x(t) = 0

s→

Signal&System


TRANSFORMASI LAPLACE BEBERAPA SINYAL

a). Sinyal impuls δ(t)

₤[δ(t)] = ∫ δ(t) e-st dt

0

Ingat : δ(t) = 1 , t = 0

= 0 , t lainnya

Begitu pula e-st δ(t) = 1 , t = 0

= 0 , t lainnya

Sehingga :

₤[δ(t)] = ∫ δ(t) e-st dt

0

Signal&System


b). Sinyal langkah satuan u(t)

₤[u(t)] = ∫ u(t) e-st dt

0

Ingat : u(t) = 1 , t ≥ 0

= 0 , t 0

Sehingga :

₤[u(t)] = ∫ u(t) e-st dt = -(1/s) e-st = -(1/s) [e- - e0]

0 0

₤[u(t)] = 1/s

Signal&System


c). Sinyal Ramp [t.u(t)]

₤[t.u(t)] = ∫ t. u(t) e-st dt 0

Untuk t ≥ 0 maka t. u(t) = tSehingga :

₤[t.u(t)] = ∫ t e-st dt 0

Ingat : ∫ xn.e-st dx = (n!)/(an+1)

0

Untuk a 0 dan n 0

₤[t.u(t)] = 1 !/(s1+1) = 1/s2

Signal&System


Dengan cara yang sama :

₤[tn.u(t)] = ∫ tn. u(t) e-st dt = ∫ tn. e-st dt

0 0

₤[tn.u(t)] = n !/(sn+1)

₤[tn-1.u(t)/(n-1)!] = 1/sn

Signal&System


d) Sinyal Eksponensial

Bila f(t) = u(t) → F(s) = 1/s

Maka ₤[e-at.u(t)] = F(s+a)

Jadi : ₤[e-at.u(t)] = 1/(s+a)

Begitu pula untuk sinyal berikut ini :

₤[(1- e-at) u(t)] = ₤[u(t)] - ₤[e-at) u(t)

= 1/s - 1/(s+a)

₤[(1- e-at) u(t)] = a/[s(s+a)]

Signal&System



₤[(t. e-at) u(t)] = 1/(s+a)2

Dan

₤[(tn-1. e-at) u(t)/(n-1)!] = 1/(s+a)n

Signal&System


e). Sinyal sinusoidal dan cosinusoidal

₤[sin Ωt u(t)] = ₤[u(t).(ejΩt – e-jΩt)/2j]

= (1/2j) ₤[ejΩt u(t)] – ₤ [e-jΩt

u(t)]

= (1/2j) [1/(s-jΩ) - 1/(s+jΩ)]

₤[sin Ωt u(t)] = Ω/(s2 + Ω2)


₤[cos Ωt u(t)] = s/(s2 + Ω2)

₤[ e-at sin Ωt u(t)] = Ω/[(s+a)2 + Ω2]

₤[ e-at cos Ωt u(t)] = (s+a)/[(s+a)2 + Ω2]

Signal&System


SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE

Jika ₤[x(t)] = X(s)₤[x1(t)] = X1(s)₤[x2(t)] = X2(s) maka :

a). Linearitas₤[a1 x2(t) + a2 x2(t)] = a1 X1(s) + a2 X2(s)

Contoh :

₤[cos Ωt] = ₤ [0,5 ejΩt + 0,5 e-jΩt] = 0,5 ₤ [ejΩt] + 0,5 ₤ [e-jΩt]= 0,5[1/(s-jΩ)] + 0,5[1/(s+jΩ)]= s/(s2 + Ω2)

₤[sin Ωt] = ₤ [0,5 ejΩt - 0,5 e-jΩt] = 0,5 ₤ [ejΩt] - 0,5 ₤ [e-jΩt]= (0,5/j)[1/(s-jΩ)] + (0,5/j)[1/(s+jΩ)]= Ω /(s2 + Ω2)

Signal&System


b). Pergeseran waktu

Jika ₤[x(t) u(t)] = X(s) maka ₤[x(t-τ) u(t-τ)] = e -sτ X(s) , τ

(Buktikan)Sehingga dapat ditabelkan sebagai berikut :

x(t) X(s)δ(t-τ) e-sτ

u(t-τ) e-sτ (1/s)(t-τ) u(t-τ) e-sτ (1/s2)(t-τ)n u(t-τ) e-sτ (n!/sn+1)e-a(t-τ) u(t-τ) e-sτ [1/(s+a)]

Signal&System


Pasangan sinyal dalam kawasan waktudan sinyal dalam kawasan frekuensipada tabel di atas merupakan pasangantransformasi Laplace.

Sehingga bila diketahui dalam sinyaldalam kawasan frekuensi maka dapatdicari sinyal dalam kawasan waktu,walaupun belum dibahas InversTransformasi Laplace.

Signal&System


Contoh Soal

Tentukan transformasi Laplace dari fungsi sebagai berikut :v(t) volt

90

0 10 30 t(μs)

v(t) = 4,5 (t-10) u(t-10) – 4,5 (t-30) u(t-30) – 90 u(t-30)

V(s) = 4,5 ₤[(t-10) u(t-10)] - ₤[(t-30) u(t-30)] – 20 ₤[u(t-30)]

= 4,5 e-10s ₤(t.u(t)) - e-30s ₤(t.u(t)) – 20 e-30s ₤(u(t))

= 4,5 [(e-10s/s2) – (e-30s/s2) – (20 e-30s/s)]

Signal&System


Latihan

Dengan teorema pergeseran frekuensi, carilah Invers Transformasi Laplace dari :

(s+10)/(s2+8s+20)

(s+3)/(s2+4s+5)

s/(s2+6s+18)

10/(s2+10s+34)

Signal&System


c). Pergeseran Frekuensi

Bila y(t) = x(t) e-t maka ₤[y(t)] = Y(s) = X(s+) dimana X(s) = ₤[x(t)]

Begitu pula :

₤[ e-t cos Ωt u(t)] = (s+)/[(s+)2 + Ω2]

Juga :

₤[ e-t sin Ωt u(t)] = Ω/[(s+)2 + Ω2]

Signal&System


Contoh soal

X(s) = (s+8)/(s2+6s+13), dapat ditulis sebagai :

X(s) = (s+8)/[(s+3)2+4]

= (s+3)/ [(s+3)2+22] + 5/ [(s+3)2+22]

x(t) = e-3t [cos2t + 2,5 sin 2t] , t 0

Signal&System


d). Penskalaan Waktu dan frekuensi

₤[x(at)] = (1/a) X(s/a)

Signal&System


e). Diferensiasi Waktu

₤[dx(t)/dt] = ∫ e-st dx(t)/dt. dt 0

b b bAmbil u = e-st dan dv = dx(t) serta ingat ∫u dv = uv - ∫ v.du

a a a

du = -s e-st dt dan v = x(t) sehingga :

₤[dx(t)/dt] = e-st x(t) + s ∫ x(t) e-st dt 0 0

₤[dx(t)/dt] = s. X(s) – x(0-)

Signal&System


Contoh soal

Carilah Transformasi Laplace dari :

8 dx(t)/dt + 3 x(t) = 2t u(t) dengan x(0) = -1

₤[8 dx(t)/dt + 3 x(t)] = ₤[2t u(t)]

₤[8 dx(t)/dt] + 3₤[ x(t)] = ₤[2t u(t)]

8 [s X(s) – x(0)] + 3 X(s) = 2 (1/s2)

8 s X(s) + 8 + 3 X(s) = 2/s2

(8s + 3) X(s) = (2/s2) – 8

X(s) = 2/[s2(8s+3)] – 8/(8s+3)

Signal&System


f). Integrasi Waktu

t

Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[∫f(t) dt] = F(s)/s

0

t t

Ingat ₤[∫f(t) dt] = ∫ [ ∫ f(t) dt] e-st dt

0 0 0

t

Ambil u = ∫ f(t) dt → du = f(t) dt

0

dv = e-st dt → v = -(1/s) e-st

Signal&System


Contoh Soal

Carilah Transformasi Laplace dari :

t0,5 dv(t)/dt + 0,2 v(t) + 2 ∫ v(t) dt + 10 = 0,5 sin 10t u(t) Ampere.

0

Dengan v(0) = 20 voltt

0,5₤[ dv(t)/dt] + 0,2 ₤[v(t)] + 2 ₤[∫dt] + 10 ₤[1] = 0,5 ₤[sin 10t u(t)]0

0,5[sV(s) – v(0)] + 0,2 V(s) + (2/s) V(s) + 10 (1/s) = 0,5. 10/(s2+100)

0,5 [sV(s) – 20] + 0,2 V(s) + (2/s) V(s) + 10/s = 0,5. 10/(s2+100)

(0,5 s + 0,2 + 2/s) V(s) = 10 – 10/s + 5/(s2+100)

[0,5(s2 +0,4 s +4)/s] V(s) = 10(s3 – s2 +100,5 s -100)/[s(s2+100)]

V(s) = 20 (s3 – s2 +100,5 s -100)/[(s2+100)(s2+0,4s+4)] volt.sec.

Signal&System


g). Periodisitas

Bila xp(t) adalah sinyal periodik dan x1(t) adalah sinyal periode pertama dari xp(t) dan ₤[ x1(t)]= X1(s) maka :

₤[xp(t)] = [1/(1-e-Ts)] X1(s) dengan T adalah periode

Hal ini dapat lebih dijelaskan sebagai berikut :

Suatu fungsi periodik f(t) = f1(t) + f2(t) + .....

Dengan f1(t) adalah sinyal periode pertama

f2(t) adalah sinyal periode kedua

dan seterusnya.

Signal&System


Sehingga f(t) dapat dituliskan sebagai berikut :

f(t) = f1(t) + f2(t) + f3(t) + .....

= f1(t) + f1(t-T) u(t-T) + f1(t-2T) u(t-2T) + ....

F(s) = F1(s) + F1(s) e-Ts + F1(s) e-2Ts + ....

= F1(s) [1 + e-Ts + e-2Ts + ....]

= [1/(1-e-Ts)] F1(s)

Signal&System


h). Teorema Nilai Awal dan Nilai AkhirDigunakan untuk memudahkan mencari solusi suatu kondisi awal ( t =0)

dan kondisi akhir ( t = ) dari suatu fungsi waktu melalui suatu fungsi frekuensi (s).

Teorema Nilai Awal

∫[(dx(t)/dt] e-st dt = s X(s) – x(0)0

s → : limit ∫[dx(t)/dt] e-st dt = limit [s X(s)] – x(0)0 s →

= limit [s X(s)] – x(0)s→

x(0) = limit x(t) = limit s X(s)t→ 0 s→

Signal&System


Teorema Nilai Akhir

∫[(dx(t)/dt] e-st dt = s X(s) – x(0)

0

limit ∫[(dx(t)/dt] e-st dt = ∫[(dx(t)/dt] = limit [dx(t)/dt] dt

s→0 0 0 t→

= limit [x(t) – x(0)]

t→

limit x(t) = limit s X(s)

t→ s→0

Signal&System


i). Konvolusi Dua SinyalBila x1(t) dan x2(t) mempunyai harga =0 , untuk t 0

Dan y(t) = x1(t) * x2(t) = ∫ x1(τ) * x2(t-τ) dτ = ∫ x1(t-τ) * x2(τ) dτ

0 0

Maka Y(s) = ₤[y(t)] = ∫ [ ∫ x1(τ) x2(t-τ) dτ] e-st dt0 0

Ambil η = t – τ :

Y(s) = ∫ x1(τ) [ ∫ x2(η) e-sη dη] e-sη dτ0 0

Y(s) = X1(s). X2(s)

Signal&System


j). Perkalian dengan t

Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[t. f(t)] = -dF(s)/ds

Dan secara umum dapat dituliskan sebagai :

₤[tn. f(t)] = (-1)n dn F(s)/ds

k). Pembagian dengan t

Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[f(t)/t] = ∫ F(s) ds0

Signal&System


Latihan

Carilah nilai awal dan nilai akhir dari :

1). X(s) = (s+10)/(s2+3s+2)

2). A(s) = 1/(s+10)

3). Y(s) = 1/s

4). F(s) = s/(s+10)

Signal&System


TRANSFORMASI RANGKAIAN

Signal&System


Transformasi Sumber Ideal

Transformasi Laplace fungsi kawasan waktu :

V(s) = ₤ [v(t)] dan I(s) = ₤ [i(t)]

Dengan v(t) adalah sumber tegangan ideal dan i(t) adalah sumber arus ideal.

Signal&System


Sumber Tegangan Independen

Sumber Arus Independen

Signal&System


Sumber Tegangan dikontrol Tegangan

k tak berdimensi

Sumber Arus dikontrol Arus

k tak berdimensi

Signal&System


Sumber Tegangan dikontrol Arus

k dalam ohm

Sumber Arus dikontrol Tegangan

k dalam mho (atau Siemens)

Signal&System


Transformasi Elemen Pasif linear

Untuk masing-masing elemen pasif, rasiotegangan terminal terhadap arus yangmengalir disebut IMPEDANSI Z.

Sedangkan kebalikan impedansi disebut dengan ADMITANSI Y.

Dalam domain s dituliskan :

Z(s) = V(s)/I(s) Volt/Ampere atau Ohm (Ω)

Y(s) = I(s)/V(s) Ampere/Volt atau Siemens (S)

Signal&System


Transformasi Resistor

Karakteristik terminal resistor dalam domain waktu :R = v(t)/i(t)v(t) = R. i(t)i(t)= (1/R). v(t) = G. v(t)

Setelah ditransformasi Laplace :V(s) = R. I(s)I(s) = G. V(s)

Dari persamaan-persamaan di atas didapat :ZR(s) = R (Ω)YR(s) = G (S)

Signal&System


Rangkaian di kawasan waktu dan di kawasan frekuensi(model impedansi dan model admitansi) dapat ditunjukkanpada gambar berikut :

a). Rangkaian kawasan waktu b). Model Impedansi c). Model Admitansi

Signal&System


Transformasi Kapasitor

t

v(t) = (1/C) ∫ i(t) dt + v(t0)

t0

i(t) = C. d v(t)/dt

Transformasi Laplace :

V(s) = I(s)/(C.s) + v(t0)/s

I(s) = C[s.V(s) – v(t0)] = C.s.V(s) – C. v(t0)

Signal&System


Kondisi awal pada persamaan di atas bila dibuat = nol, maka :

V(s) = I(s)/(C.s)

I(s) = C.s.V(s)

Sehingga dapat dituliskan :

Zc(s) = 1/(C.s)(Ω)

Yc(s) = C.s (S)

Signal&System


a). Rangkaian Kapasitor di kawasan waktu b). Model Seri Kapasitor

c). Model Paralel Kapasitor

Signal&System


Contoh Soal

Tentukan model seri dan model paralel dari kapasitor 2,5 mikro farad dengan tegangan awal 5 volt.

Signal&System


Solusi :

Rangkaian tersebut dalam kawasan waktu adalah sebagai berikut :

Impedansinya sebesar :

Signal&System


Impedansi tersebut diseri dengan sumber tegangan v(0)/s =5/s V.sec

Sehingga dapat digambarkan model seri sebagai berikut :

Admitansi Y(s) = C.s = 2,5 10-6. s (S),

diparalel dengan sumber arus C.v(0) = (2,5 x 10-6 F).(5V) = 12,5 mikro Ampere.sec

Sehingga dapat digambarkan model paralel sebagai berikut :

Signal&System


Sehingga dapat digambarkan model paralel sebagaiberikut :

Signal&System


Transformasi Induktor

t

i(t) = (1/L) ∫ v(t) dt + i(t0)

to

v(t) = L. d i(t)/dt

Setelah ditransformasi Laplace :

I(s) = V(s)/(L.s) + i(t0)/s

V(s)= L [s.I(s) - i(t0) ] = L.s.I(s) - L. i(t0)

Impedansi : ZL(s) = L.s (Ω)

Admitansi : YL(s) = 1/(L.s) (S)

Signal&System


a). Rangkaian Induktor di kawasan waktu b). Model Paralel Induktor

c). Model Seri Induktor

Signal&System


Contoh Soal

Tentukan model seri dan model paralel dari induktor 20 mH dengan arus awal 0,3 A.

Solusi :

Rangkaian tersebut dalam kawasan waktu adalah sebagai berikut :

Impedansinya sebesar : Z(s) = L.s = 20.10-3 s (Ω)

Signal&System


Admitansinya sebesar : Y(s) = 1/(L.s) = 1/(20.10-3.s) = 50/s(S)

Sumber tegangannya : L.i(0) = (20.10-3)(0,3 A) = 6 mVsec

Sumber Arus : i(0)/s = 0,3/s A sec

Sehingga model paralel dan model seri dapat digambarkan sebagai berikut :

Signal&System


Contoh Soal Aplikasi

Diberikan rangkaian sebagai berikut :

Buat rangkaian transformasinya!!!!

Solusi :

Untuk t 0

Signal&System


Untuk t 0

Signal&System


Latihan :

Buat rangkaian transformasi dari rangkaian berikut ini :

Signal&System


Contoh Soal Aplikasi

Hitung dan gambarkan iL(t) dari rangkaian berikut ini :

Solusi :

Untuk t 0

iL(o-) = 10/(450+50) = 20 mA

Signal&System


Untuk t 0

VT(s) = (5/s) + 400. 10-6 V sec

ZT(s) = 1200 + 0,02 s + 50 = 0,02 [s + 62,5 .103 ] Ω

IL(s) = VT(s)/ ZT(s) = 250/[s(s + 62,5 . 103 )] + 0,02/( s + 62,5 .103 ) A .sec

iL(t) = ₤-1 [250/s(s + 62,5 . 103)] + ₤-1 [0,02/(s + 62,5 . 103)] A

= [250/(62,5 .103)] [1 – exp-62,5 . 103t] u(t) + 0,02. exp-62,5 . 103t u(t)

= [4. 10-3 + 16. 10-3 exp-62,5 . 103] u(t)

Signal&System


Signal&System


Latihan :

Hitung dan gambarkan vc(t) untuk rangkaian berikut :

Signal&System


Invers Transformasi Laplace Satu Sisi

Untuk mengembalikan dari spektrum(kawasan frekuensi) ke kawasanwaktu

X(s) → x(t)

σ+jΩ

x(t) ≡ (1/2jΠ) ∫ X(s) est ds

σ-jΩ

Signal&System


Dapat diselesaikan melalui definisi di atas atau melihatpasangan TLSS-nya.

Sinyal T.Laplace

δ(t) 1

u(t) 1/s

(tne-at/n !) u(t) 1/[(s+a)n+1]

Cos Ωt u(t) s/[s2+Ω2]

Sin Ωt u(t) Ω /[s2+Ω2]

e-at Cos Ωt u(t) (s+a)/[(s+a)2+Ω2]

e-at Sin Ωt u(t) Ω /[(s+a)2+Ω2]

Signal&System


Pasangan TLSS-nya (lanjutan).

Sinyal T.Laplace

u(t)-2u(t-T0/2) + 2u(t-

T0) - ....

(1/s) (1-e-sT0/2)/( 1+e-

sT0/2)

(SinΩt - Ωt Cos Ωt) u(t) 2Ω3 / [s2 + Ω2]2

(Ωt SinΩt) u(t) 2Ω2s / [s2 + Ω2]2

Ωt e-at Sin Ωt u(t) [2Ω2(s+a)] / [(s+a)2 +

Ω2]2

e-at (Sin Ωt - Ωt Cos Ωt) u(t)

2Ω3 /[(s+a)2 + Ω2]2

Signal&System


a). Solusi dengan penyesuaian koefisien (cara langsung)

Contoh :Diberikan fungsi rasional : X(s) = (2s + 1)/(s3 + 3s2 -4s)

Bentuk ekspansi parsiil :

X(s) = (2s+1)/[s(s+4)(s-1)] = A/s + B/(s+4) + C/(s-1)

= [A(s+4)(s-1) + B.s.(s-1) + C .s (s+4)]/[s(s+4)(s-1)]

(2s+1)/ [s(s+4)(s-1)] = [(A+B+C)s2 + (3A-B+4C)s – 4A]/[s(s+4)(s-1)]

Maka : A+B+C = 03A-B+4C = 2-4A = 1→ A = 0,25B+C = 0,25-B+4C = 2,75C= 3/5 = 0,6 dan B = -0,35X(s) = -0,25/s – 0,35/(s+4) + 0,6/(s-1)x(t) = [-0,25 – 0,35 e-4t + 0,6 et] u(t)

Signal&System


b). Ekspansi parsiil untuk akar D(s) simple pole

X(s) = N(s)/D(s) = A1/(s-p1) + A2/(s-p2) + ....+ Ak/(s-pk) + ...+ An/(s-pn)(s-pk) X(s) = (s-pk) A1 /(s-p1) + (s-pk) A2 /(s-p2) +...+(s-pk) Ak /(s-pk) +...+

(s-pk) An/(s-pn)Maka :

Ak = (s-pk) X(s) s=pk

Contoh :Untuk kasus sebelumnya : X(s) = A/s + B/(s+4) + C/(s-1) = (2s+1)/[s(s+4)(s-

1)]A = s X(s) = (2s+1)/[(s+4)(s-1)]= -0,25

s=0 s=0B = (s+4) X(s) = (2s+1)/[s(s-1)] = -7/20 = -0,35

s=-4 s=-4C = (s-1) X(s) = (2s+1)/[s(s+4)] = 3/5 = 0,6

s=1 s=1Jadi :X(s) = -0,25/s - 0,35/(s+4) + 0,6/(s-1)x(t) = [-0,25 – 0,35 e-4t + 0,6 et] u(t)

Signal&System


c). Akar D(s) multiple pole-simple

X(s) = A1/(s-p1) +...+ Ai,1/(s-pi) + Ai,2/(s-pi)2 + ....+

Ai,r/(s-pi)r + ...+ An/(s-pn)

Dimana : Ai,r = (s-pi)r X(s)

s=pi

Ai,r-1 = (d/ds)[(s-pi)r X(s)]

s=pi

Ai,r-2 = (1/2!)(d2/ds2)[(s-pi)r X(s)]

s=pi

.

.

Ai,r-k = (1/k!)(dk/dsk)[(s-pi)r X(s)]

s=pi

Signal&System


Contoh :

X(s) = (2s2-3s)/(s3-4s2+5s-2) = (2s2-3s)/(s-2)(s-1)2 = A/(s-2) + A1,1/(s-1) + A1,2/(s-1)2

Dimana :A1,2 = (s-1)2 X(s) = (2s2-3s)/(s-2)(s-2) = -1/(-1) = 1

s=1 s=1 A1,2 = (d/ds) [(2s2-3s)/(s-2)] = [(s-2)(4s-3) - (2s2-3s)]/(s-2)2 = [(-1)1 – (-1)]/1 = 0

s=1 s=1

A = (s-2) X(s) = (2s2-3s)]/(s-1)2 = (8-6)/1 = 2s=2 s=2

Jadi X(s) = 2/(s-2) + 1/(s-1)2

x(t) = [2e2t + t et] u(t)

Signal&System


d). Ekspansi Parsiil : D(s) kompleks konjugate simple pole

Contoh :

X(s) = (s+3)/[s2+4s+13] = (s+2)/[(s+2)2

+ 32] + 1/[(s+2)2 + 32]

x(t) = [e-2t cos3t + (1/3) e-2t sin 3t] u(t)

Signal&System


e). D(s) kompleks konjugate multiple pole

Contoh :

X(s) =[9s5+94s4+706s3+2628s2+4401s+3750]/[s(s+2)(s2+6s+25)2]

Untuk (s2+6s+25)2 maka akar-akarnya -3+j4 dan -3-j4

X(s)=A/s+B/(s+2)+(C+jD)/(s+3+j4)+(C-jD)/(s+3-j4)+(E+jF)/(s+3+j4)2+(E-jF)/(s+3-j4)2

Dimana :A = s. X(s) = 3

s=0B = (s+2) X(s) = -2

s=-2E+jF = [(s+3+j4)2 X(s)] = 4+j3

s=-3-j4C+jD = (d/ds) [s+3+j4)2 X(s)] = 2+j3

s=-3-j4

Signal&System


Jadi :

X(s) = 3/s – 2/(s+2) + (2+j3)/(s+3+j4) + (2-j3)/(s+3-j4)2+(4+j3)/(s+3+j4)+(4-j)/(s+3-j4)2

x(t) = [3-2e-2t+(2+j3)e-(3+j4)t+(2-j3)e(-

3+j4)t+(4+j3)te-(3+j4)t+(4-j3)te(-3+j4)t] u(t)

= [3-2e-2t+e-3t(4 cos4t+ 6 sin4t) +te-3t(8 cos4t + 6 sin4t)] u(t)

Signal&System


f). Metode Grafis

Untuk mengevaluasi koefisien parsiil dari X(s) dengan caramenggambarkan vektor diagram semua pole-zero sistem.

Diketahui : X(s) = N(s)/D(s) = k[(s-z1)(s-z2)......(s-zm)]/[(s-p1)(s-p2)....(s-pn)]

Nilai dari X(s) di s=s1 :X(s1) = k (perkalian jarak langsung setiap zero ke s1)/

(perkalian jarak langsung setiap pole ke s1)

Evaluasi pole pk dari X(s)Ak = (s-pk) X(s)

s=pkAk = k (perkalian jarak langsung setiap zero ke pk)/(perkalian

jarak langsung setiap pole ke pk)

Signal&System


Contoh :X(s) = 12(s+1)(s+4)/[s(s+2)(s+1+j2)(s+1-j2)]

= A/s + B/(s+2) + (C+jD)/(s+1+j2) + (C-jD)/(s+1-j2)Gambar semua pole dan zero :Kemudian evaluasi koefisien C-jD, berarti mengevaluasi ke

vektor s+1-j2 (letak pole di s = -1+j2). Hitung semua jarak dari setiap pole dan zero yang ada terhadap titik -1+j2. Didapat :

C-jD = 12 (√13 33,7o)( 290o)/[( 490o)( √5153,4o)( √526,6o)]

= 4,32-146,3o

= -3,6 – j2,4C+jD = -3,6 + j 2,4Dengan cara yang sama didapat :A = [(12) (1) (4)]/[(2) (√5)(√5)] = 4,6B = [(12) (1180o ) (2)]/[(2180o )(√5) (√5)] = 2,4

Signal&System


APLIKASI TLSS

Signal&System


a). Solusi Persamaan Diferensial

Sifat diferensiasi : ₤[dx/dt] = s X(s) – x(0)

Bentuk umum : ₤[dnx/dtn] = sn X(s) – sn-1

x(0) – sn-2 dx(0)/dt - ......- dn-1(0)/dtn-1

Signal&System


Contoh :

Persamaan Diferensial Orde Dua :d2x(t)/dt2 + 4 dx(t)/dt + 3 x(t) = 2

Dengan x(0) = 2 dan dx(0)/dt = 1Transformasi Laplace-kan kedua sisi dan dimasukkan kondisi awal.s2 X(s) -2s -1 + 4[s X(s) -2] + 3 X(s) = 2/s

X(s) [s2 + 4s +3] = 2/s + 2s + 9X(s) = [2 + (2s + 9) s]/[s (s+3) (s+1)] = A/s + B/(s+3) + C/(s+1)A = s X(s) = 2/3

s=0 B = (s+3) X(s) = -7/6

s=-3C = (s+1) X(s) = 5/2

s=-1X(s) = (2/3)/s – (7/6)/(s+3) + (5/2)/(s+1)

x(t) = [2/3 – (7/6) e-3t + (5/2) e-t] u(t)

Signal&System


b). Respons Impuls Sistem

Contoh soal :Cari respons impuls h(t) dari persamaan diferensial sistem berikut ini :dy(t)/dt + 3y(t) = 2 x(t) + dx(t)/dt dengan y(0) = 0 dan x(0)= 0

Solusi :₤ : sY(s) – y(0) + 3Y(s) = 2X(s) + s X(s) – x(0)

Y(s)[s+3] = X(s) [s+2]

H(s) = Y(s)/X(s)= (s+2)/(s+3) = (s+3-1)/(s+3) = (s+3)/(s+3) – 1/(s+3)

= 1 – 1/(s+3)

h(t) = δ(t) – e-3t u(t)

Signal&System


c). Solusi Lengkap Rangkaian RLC

Telah dibahas lengkap di atas

Signal&System


d). Analisis Sistem Waktu Kontinyu

Diberikan Sistem Waktu Kontinyu Linear Tak Berubah Terhadap Waktu (SWK LTW) ditunjukkan dengan hubungan Input dan Output sebagai berikut :

anyn(t) +an-1yn-1(t) +…+ a0y(t) = b0x(t) + ….+ bmxm(t)

Signal&System


Respons steady state : Y(s) = H(s). X(s)

y(t) = ₤-1 [H(s).X(s)]

Stabilitas Sistem SWK : H(s) = N(s)/D(s)SWK stabil jika dan hanya jika :

a). Stabil dalam arti BIBOb). Respons impuls secara mutlak terintegrasic). Limit h(t) = 0

t→

d). Akar riil D(s) < 0e). Letak pole di sebelah kiri sumbu imajiner

Signal&System


Arigato Gozaimasu

Signal&System


231

TRANSFORMASI Z

TEAM DOSEN


Signal&System


Pendahuluan

Transformasi Z merupakan suatu teknikuntuk menggambarkan danmemanipulasi deretan (sepertiTransformasi Laplace pada Sinyal waktuKontinyu).

Signal&System


Definisi Transformasi Z

Jika diberikan sinyal x(n) untuk SWD, maka transformasiFourier Waktu Diskrit (TFWD) dari x(n) dinyatakan oleh:

~

F [ x(n) ] = x (e-jωn) = Σ x(n) e-jωn

-~

Transformasi Z dari sinyal atau deret waktu diskrit x(n)didefinisikan sebagai :

~

TZ [ x(n) ] = X (z) = Σ x(n) z-n

-~

Signal&System


Contoh

Diberikan sinyal waktu diskrit x(n), yang mempunyai jumlah elemen yang terbatas seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut ini :

0-1

-2

-3 1 2

3 4

2

3

4

2

-5

x(n)

-4

-2

Signal&System


Secara matematis gambar diatas dapatdinyatakan sebagai :

x(-3) = 2, x(-2) = -5, x(-1) = 3, x(0) = 0, x(1) = 4, x(2) = 2, x(3) = -4, x(4) = -2

maka transformasi z dari x(n) akandiperoleh :

X(z) = 2z3-5z2+3z1+4z-1+2z-2-4z-3-2z-4

Signal&System


Hubungan TZ dengan TFWD

Untuk melihat hubungan antara transformasi z(TZ) dengan tranformasi Fourier WaktuDiskrit(TFWD), maka dapat kita lakukandengan pengekspresian variabel komplek zdalam bentuk polar, sebagai :

z = r ejω

~

X (r ejω) = Σ[x (n) (r ejω)]-n

-~

Signal&System


yang dapat juga dituliskan sebagai :~

X (r ejω) = Σ[x (n) r-n] e-jω

-~

Sedangkan TFWD dirumuskan sebagai :~

X (ω) = Σ [ x (n) ] e-jω

-~

Signal&System


Hubungan antara dua transformasi inimenunjukkan bahwa TFWDmerupakan TZ yang dievaluasi padalingkaran satuan dalam bidang z.

Definisi dapat diperluas :

~

h(n) → H (z) = Σ h(n) z-n

- ~

Untuk z = e-jωn→ H (e-jω).

Signal&System


Jadi bila mempunyai respons impulssistem h(n), dapat dicari H(z),kemudian z diganti dengan ejω

didapat H (ejω) (ResponsFrekuensi).

Dengan kata lain untuk menghitungrespons frekuensi dapat dilakukanmelalui Transformasi Z.

Signal&System


Hubungan TZ dengan Transformasi Laplace

Transformasi Z digunakan untuk sinyalwaktu diskrit, hubungannya dengantransformasi Laplace yaitu denganmensubstitusikan z = exp (sT)

Mengingat definisi Transformasi Laplacebilateral untuk sinyal kontinyu x(t)didefinisikan sebagai :

~

₤[x(t)] = ∫x(t) e-st dt-~

Signal&System


Pemetaan antara bidang s dan bidang z

Bidang s Mapping dengan Bidang z z=exp(sT)

Imaj (s) Imaj(z)

2/T

/T0-/T

-2/TRiil (s) Riil (z)

Lingkaran satuan

Signal&System


Transformasi Z Satu Sisi (TZSS)

Transformasi Z ,seperti halnyaTransformasi laplace yang memilikitransformasi satu sisi dan dua sisi.

Daerah konvergensi dari TZ bilateraldalam bidang z diberikan denganmaksud bahwa TZ balik (Inverse Z-Transform) dapat diperoleh.

Signal&System


TZSS dari deretan x(n) didefinisikansebagai :

~

X(z) = Σ x (n) z-n

-~

Untuk mempermudah notasi, TZSS darideret x(n) dinotasikan sebagai :

Z[x(n)] = X(z)

Signal&System


Pasangan TZSS

a. Deret Konstan

Jika diberikan deret konstan seperti berikut :

x(n) = A , n = 0, 1, 2, ...,~

TZ dari deret ini akan diberikan oleh : ~

X(z) = Σ x(n)z-n = A( 1 + z-1+ z-2+ …)-~

= A/(1-z-1) = AZ/(z-1)

Signal&System


Dalam kasus khusus, dimana | r | < 1, makapenjumlahan dari deret akan konvergen untukn = . Sehingga dalam kasus ini dapatdiperoleh :

~

Σ rn = 1/(1-r),konvergen untuk | r | < 1-~

TZ dari deret konstan akan konvergen(mempunyai nilai terbatas) jika | z| < 1,atau | z | > 1

Signal&System


Deret konstan dan TZ

-

2

-

10 1 2 3 4

n

A

1

Imag (z)

Re(z)

Signal&System


Satu hal lain yang menarik untuk diamatibahwa TZ dari deret konstan mempunyaipole pada z = 1, dimana TL dari fungsiunit step mempunyai pole pada s = 0

~

Jadi X(z) = Σ Az-n =A/(1-z-1)-~

konvergen untuk |z-1|<1 atau |z-1|> 1

Signal&System


b. Deret EksponensialDiberikan deret x(n) = A. rn

Sebuah deretan yang dibangkitkan dengan pencuplikanfungsi eksponensial dari bentuk :

x(t) = A.eαt , dimana : r = eαT

TZ dari deret ini :~ ~

X (z) = ΣAn rz-n = ΣA (r z-1)n

n=0 n=0

= A/(1-rz-1) =,AZ/(z-r) , |z| > |r|

Signal&System


untuk r > 1 ROC|rz-1|<1,maka|z|>|r| , ini berarti bahwa ROCberada diluar lingkaran dengan jari-jari r dalam bidang z

Signal&System


C. Sinyal Impuls

Sinyal impuls satuan waktu diskritdirumuskan sebagai :

x(n) = 1 , untuk n = 0

= 0, untuk n lainnya

TZ dari deret ini :~

X (z) = Σ x(n) z-n = 1n=0

Signal&System


d. Deret Sinusoidal

TZ dari deretan x(n) = A cos βn dan x(n) = A sin βn

dapat diperoleh dari penurunan yang ditunjukkan dibawah ini :

Z[A cos βn] =Z[(Aejβn)/2 +(Ae-jβn)/2]

X(z) = Az[z-cosβ]/[z2-2z cosβ +1]

|z| > 1

Signal&System


Deret Cosinus dan pole zero TZ-nya

n

Im[z]

Re[z]

lingkaran

satuan

Signal&System



Z[A sin βn] =Z[(Aejβn)/2 -(Ae-jβn)/2]

X(z) = Az sinβ]/[z2-2z cosβ +1]

|z| > 1

Signal&System


n

Im[z]

Re[z]

lingkaran

satuan

Signal&System


Sifat-sifat TZSS

a. Linieritas

Jika X1(z)=Z[x1(n)] ROC R1 -<|z|< R1+;

X2(z)=Z[x2(n)] ROC R2-<|z|< R2+; dan X(z) = Z [x(n)],

maka :

Z[α x1(n)+βx2(n)] = αX1(z) + β X2(z)

ROC dari hasilTZ ini diberikan oleh irisan ROC dari X1(z) dan X2(z)

Signal&System


b. Penggeseran

Jika : X(z) = Z [x(n)],

maka : Z[x(n+1)] = zX(z) – zx(0)

Hal ini sangat penting untuk menyelesaikanpersamaan perbedaan dan ini mirip dengan sifatpada TL untuk penurunan dari fungsi waktukontinyu.

Secara Umum :

Z[x(n-k)] = z-k X(z)

Signal&System


c.Perkalian dengan n

Jika : X(z) = Z [x(n)], maka :

Z[nx(n)] = -z dX(z)/dz

Bentuk umum :

Z[nmx(n)] = (-z)m dm X(z)/dzm

Signal&System


d.Perkalian dengan rn


Z[rnx(n)] = X(z/r)

e. Konvolusi

Jika X1(z) =Z [x1(n)]ROC R1- <|z| < R1+;

X2(z) =Z [x2(n)]ROC R2- <|z| < R2+; ~

Maka :X1(z). X2(z) = Z[Σ x1(k)] x2(n-k)]k=0

Signal&System


f.Teorema Nilai Awal


x(0) = lim X(z)z~

Penerapan utama dari sifat ini adalahuntuk menentukan nilai awal x(0) secaralangsung dari X(z), tanpa melakuaknevaluasi inverse TZ.

Signal&System


g.Teorema Nilai Akhir

Jika : Z [x(n)] = X(z) dan semua pole X(z)terletak didalam lingkaran satuan, denganpengecualian yang mungkin dari pole yangsederhana pada z = 1, maka nilai X(n)pada n~ diberikan oleh :

lim x(n) =lim [((z-1)/z).X(z)]

nx z1

Signal&System


Invers TZSS

a. Metoda penyesuaian koefisiendengan pembagian terus menerus

~

Jika X (z) = Σan z-n

n=0

Maka :

x (n) = an untuk n=0,1,2,…

Signal&System


b. Ekspansi Pecahan Parsial

Gagasan dibalik metode ini adalah miripdengan yang digunakan untukmendapatkan invers TL.

X(z) diekspresikan sebagai fungsi rasionaldari z, sehingga merupakan perbandingandari dua polynomial di dalam z, inverstransformasi Z didapat menggunakanpendekatan partial fraction expansions

Signal&System


Pasangan TZ

x(n) X(z) Keterangan

δ(n) 1

A.u(n) Az/(z-1) Pole pada z = 1

A.rn Az/(z-r) Pole pada z =r

A.n.u(n) Az/(z-1)2 2 pole pada z =1

A cos βn Az[z- cos β]/[z2-2z cosβ +1]

Signal&System


Pasangan TZ

x(n) X(z) Keterangan

A sin βn Az sin βn/[z2-2z cosβ +1]

A.n.rn Arz/(z-1)2

A n2 Az(z+1)/(z-1)3

zrn(C cosnθ-D sinnθ) (C+jD)z/(z-rejθ) +

(C-jD)z/(z-re-jθ)

A cos βn Az[z- cos βn]/[z2-2z cosβ +1] n ≥ 0

Signal&System


Latihan

Carilah Inverse TZ dari sinyal berikut ini :

x(n) = 5z4-29z3+56z2-34z/[(z-1)(z-2)3]

Signal&System


c. Integral Invers kompleks

Diberikan transformasi dari suatu deret x(n)adalah :

~

X (z) = Σx(n)z-n ; ROC Rn=-~

Kalikan X(z) dengan zk/(2.j.z). dz danmengintegrasikan disekitar kurva tertutupC yang terletak seluruhnya diantaradaerah konvergensi R menghasilkan :

Signal&System


(1/2jπ)∫cX (z)zkdz/z x

= (1/2jπ)∫c Σ x(n)z-n + k-1 dzn=-x

x

= (1/2jπ) Σ x(n) ∫c z-n + k-1 dzn=-x

Signal&System


Setiap kurva integral dapat kemudian dievaluasidengan mempergunakan Teorema integralCauchy yang menyatakan bahwa jika Cmelingkupi titik 0 dalam arah yang berlawanandengan arah jarum jam, sehingga :

(1/2jπ) ∫c z k-1 dz = 1, untuk k = 0

= 0, untuk k lainnya

Atau :

(1/2jπ) ∫c z n dz = 1, untuk n = -1

= 0, untuk n lainnya

Signal&System


Dari prsamaan sebelumnya dapatdisusun kembali menjadi :

(1/2jπ) ∫c X(z)(z n/z) dz = x(n)

Signal&System


Aplikasi TZSS

a. Solusi persamaan perbedaan

Dengan menggunakan sifat :

Z [ x (n+1) ] = z X (z) – z x (0) pergeseran waktu

Jika steady state (tanpa kondisi awal)

z [ x (n) ] = x ( n-1)

z [ x (n) ] = x (n+1)

z [ x (n) ] = x (n-2)

Latihan :

y(n) - 1,5 y(n-1) + 0,5 y(n-2) = 0,25n , n≥ 0 dimana y(-1) = 4 dan y(-2) = 10

Signal&System


b.Mencari respon impuls

Jika diberikan sistem seperti pada gambar berikut :

x (n) h(n) y(n)

Bila masukan x(n) = (n), maka keluaran y (n) = h (n)

X (z) H(z) Y (z)

Signal&System


c. Analisis SWD

SWD – LTW kausal

any(n) + an-1 y(n-1) + … + an-py(n-p) =

anx(n) + bn-1 x (n-1) + … + bn-m x (n-m)

Fungsi transfer H(z) = Y(z)/X(z)

Y(z)[an+z-1an-1+…+z-pan-p]

= X(z) [bn+z-1bn-1+…+z-mbn-m]

H(z) = [bnzp+bn-1z

p-1+…+bn-mzp-m]/[anzp+an-1z

p-1+…+an-p]

Signal&System


Respon steady state

Y (z) = H (z) . X (z)

y (n) = ITZ [H (z) . X (z)]

Respon impuls h (n) H (z)

Stabilitas

SWD stabil jika dan hanya jika

stabil dalam arti BIBO

pole dari fungsi transfer berada dalam lingkaran satuan

lim|h(n)| = 0 untuk sembarang p > 1

n~

Besar / Magnitudo semua akar polinomial < 1

Signal&System


d. Respons Sistem Terhadap Masukan Sinusoidal

x (n)=A cos(ω0n+θ) h(n) y(n)

Dalam kawasan Z : X (z) . H (z) = Y (z)

Misalkan masukan eksponensial x (n) = A ejωon

maka respons steady state sistem didapat dengan mengevaluasi Y(z) di pole Z = ejωo

Jadi H (z) = H (ejωo) = | H (ejωo) | / H (ejωo)

Sehingga :

YssH (ejωo) A ejωon

Signal&System


Sistem linier maka Yss(n) adalahpenjumlahan masing-masing responsinput sistem.

Yss(n) = H (ejωo) ej(ωon+θ) + H (e) e-

j(ωon+θ)

Yss(n) = A|H (ejωo)|cos[ωon+θ+arg H(ejωo)]

Signal&System


Transformasi Z Bilateral [TZB]

Definisi TZB untuk x (n) = 0, nЄ[-~,~]~

X (z) =Σ x(n) z-n

n=-~

~ -1

= Σ x(n) z-n + Σ x(n) z-n

n=0 n=-~

Signal&System


Invers TZB

Invers TZB dapat dilakukan denganteori Laurent dan teori residu (sulitdievaluasi) dan metoda ekspansiparsial (lebih mudah) denganmenggunakan tabel referensipasangan TZB.

HandOut Sinyal & Sistem_all.pdf

Documents

Transcript of HandOut Sinyal & Sistem_all.pdf