Handout Mekanika 2013 (I Made Padri)
-
Upload
dyna-purnama-alam -
Category
Documents
-
view
217 -
download
105
description
Transcript of Handout Mekanika 2013 (I Made Padri)
MEKANIKA
Disusun oleh I Made Padri
JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
2013
HANDOUT
I Made Padri
MATERI PERKULIAHAN
MEKANIKA FI.342
KINEMATIKA PARTIKEL
DINAMIKA PARTIKEL
GERAK HARMONIK
GAYA SENTRAL
KERANGKA ACUAN NON INERSIAL
SISTEM PARTIKEL
ROTASI BENDA TEGAR
METODE LAGRANGIAN
I Made Padri
KINEMATIKA PARTIKEL
APA YANG DIMAKSUD DENGAN KINEMATIKA PARTIKEL ?
KAPAN SUATU PARTIKEL DIKATAKAN BERGERAK ?
APA PERBEDAAN JARAK, PERPINDAHAN, LAJU, KECEPATAN DAN
PERCEPATAN?
BAGAIMANA CARA MENYATAKAN VEKTOR POSISI, KECEPATAN DAN
PERCEPATAN DALAM KOORDINAT KARTESIAN?
BAGAIMANA CARA MENURUNKAN PERSAMAAN GERAK PARTIKEL BERDAS
ASARKAN KONSEP KECEPATAN DAN PERCEPATAN ?
APA PERBEDA PERCEPATAN TANGENSIAL DAN PERCEPATAN NORMAL ?
BAGAIMANA MENGANALISIS GERAK PARTIKEL BERDASARKAN KONSEP
PERCEPATAN TANGENSIAL DAN PERCEPATAN NORMAL?
BAGAIMANA KEADAAN VEKTOR KECEPATAN DAN PERCEPATAN DARI
BMACAM-MACAM GERAK PARTIKEL?
BAGAIMANA CARA MENYATAKAN VEKTOR POSISI, KECEPATAN DAN
PERCEPATAN DALAM KOORDINAT POLAR?
POSISI KECEPATAN DAN LAJU
I Made Padri
2222 zkyjxir
12 rrr
)zz(k)yy(j)xx(ir 121212
∆s = Jarak
rdt
rd
Δt
rΔlimitv
0Δt
Kecepatan rata-rata
)tt(
)rr(
t
rv
12
12
Kecepatan sesaat
Perpindahan
t1
A
t2
B
Z
Y
X
r1 r2
v1
v2 v
s
Lintasan
x1 x2
y1
y2
z1
z2
r
O
k
1111 zkyjxir
t
sv
laju rata-rata
dt
ds
t
sitlimv0t
laju sesaat
i
j
Posisi pada saat t1 dan t2
Unit vektor i, j,k tetap
zkyjxirv
v1
v2
Percepatan sesaat t1
A
t2
B
Z
Y
X
r1 r2
x1 x2
y1
y2
z1
z2
O
k
i
j
PERCEPATAN DAN PERLAJUAN
v2
v t
v
tt
vva
12
12
Percepatan rata-rata dalam selang waktu (t2-t1)
a1 a2
v1
rdt
rdv
2
2
2
2
2
2
2
2
dt
zdk
dt
ydj
dt
xdi
dt
rd
dt
rd
dt
da
I Made Padri
vdt
vd
t
vlimita
0t
zkyjxi a
dt
zdk
dt
ydj
dt
xdi
dt
rdva
BESARNYA PERCEPATAN
DISEBUT PERLAJUAN
(t)r
dt
rd.rv
td
vdv
dt
rd..ra
2
2
dt avv 0
dt vrr 0
TOLONG !
I Made Padri
D
I
F
R
E
N
S
I
A
S
I
I
N
T
E
G
R
A
S
I
BAGAIMANA MENURUNKAN PERSAMAAN GERAK
BERDASARKAN KONSEP KECEPATAN DAN PERCEPATAN
dt
vda
dt vrd
dt vrr 0
dt avd
dt avv 0
cv
(t)v
ca
(t)a
?
tavv 0
2
2
1
00 tatvrr
gka
gtkvv 0
2
2
1
00 gtktvrr
0 v0
00zkr
(gt)kz
)gt(zkz 2
2
1
0
00zkv
)gttz(zkz 2
2
1
00
gt)z(kz 0
tvrr0
Jatuh bebas
Dilempar vertikal ke atas
Gerak parabola
GLBB GLB
I Made Padri
dt
rdv
00zkr
PERSAMAAN GERAK
PERCEPATAN TANGENSIAL DAN NORMAL
v
v’
∆s n
v τv
dt
v)τd(
dtτdvvτa
0)Δt (Untuk
dt
τd ρ
v nv τa
2
a an
aτ
ptidak teta v kecepatan vektor
dan τr Unit vekto
Percepatan tangensial (a)
Percepatan normal (an)
dan vdt
ds ,n
dψ
τd ρ
dψ
ds
τ τ ˆˆΔ
Lintasan
ρ
vn
dt
ds
ds
dψ
dψ
τd
dt
vda
I Made Padri
ˆ
ˆ
ρ
BAGAIMANA KOMENTAR ANDA TENTANG ARAH PERCEPATAN TERSEBUT ?
R
vn
dt
dvτaaa
2
Nτˆˆ
R konstan, v berubah
R konstan, v konstan
R tak hingga, v berubah
R tak hingga, v konstan
A
P
A
K
A
H
A
R
T
I
N
Y
A
J
I
K
A
Resultan dan konstan
GERAK PARABOLA
GERAK MELINGKAR DENGAN LAJU BERUBAH
τa
na
GERAK MELINGKAR BERATURAN
GERAK LURUS BERATURAN
GERAK LURUS DENGAN LAJU BERUBAH
MENGANALISIS PERCEPATAN GERAK PARTIKEL
I Made Padri
Lampiran-1
No JENIS GERAK PERSAMAAN VEKTOR PERSAMAAN SEKALAR
1. MELENGKUNG
2. PARABOLA
BerubahR
vn
dt
dvτa
2
konstanR
vn
dt
dvτa
2
0 katv v
2
2
1
00 atktvrr
0 Xxv v
0y yv v
0 atz yv v
tvxx x00
tvyy y00
2
2
1
z00 attvzz
konstana 0;a 0;a zyx
I Made Padri
Lampiran-3
No JENIS GERAK PERSAMAAN VEKTOR PERSAMAAN SEKALAR
3. GLBB
dt
dvτaa τ
0aN
tavv 0
tavv zz0z
tavv yy0y
tavv xx0x
2
2
1
00 tatvrr
2
z2
1
z00 tatvzz
2
x2
1
x00 tatvxx
2
y2
1
y00 tatvyy
konstan aa τ
0aN
I Made Padri
Lampiran-4
No JENIS GERAK PERSAMAAN VEKTOR PERSAMAAN SEKALAR
JATUH BEBAS
VERTIKAL KE ATAS
4. GLB
k(gt)v
)gt(zkr 2
2
1
0
0k(z gt)v
)gttz(zkr 2
2
1
00
gtzv
2
2
1
0 gtzz
z0v gtzv
2
2
1
z00 gttvzz
tvrr 0
tvxx x0
tvyy y0
tvzz z0
konstanv 0a τ
0aN
0aN
konstanv 0a τ
I Made Padri
Lampiran-2
No JENIS GERAK PERSAMAAN VEKTOR PERSAMAAN SEKALAR
5. GMBB
6. GMB 0a τ
R
vnaa
2
spN
dt
dvτa τ
R
vnaa
2
spN
konstandt
dva τ
berubahR
va
2
sp
0a τ
konstanR
va
2
sp
berubahRakonstanR berubah berubahv Rv
τ
0 konstanR konstan konstanv Rv
v r
a r
v r
I Made Padri
KOORDINAT POLAR DUA DIMENSI
θ
r
POSISI :
KECEPATAN :
PERCEPATAN :
rerr
dt
)ed(rr r
θθ sinrjcosrir
dt
)ererd(r θr θ
θr e)r2(re)-rr(r θθθ2
tap tidak ter
e , θ
e runit vektodan θ
θθ sin jcos ier
θθ cosjsinieθ
dt
)sinjcosid(rer
θθr
θr erer θ
dt
edre)rr(
dt
edrer θ
θr
r θθθ
θcosr
θsinr
e
e r
i
j =X
Y
I Made Padri
K
KOORDINAT SILINDER
POSISI :
θrcos ksin sinθ r jcos θsin r ir
KECEPATAN : ? .....rv
zR e)Z(e)(Re)R(r
PERCEPATAN : ? .....ra
zR
2 eZe)RR(2e)R-R(r
zR eZeRr
tap tidak tedan θ,e ,e
tetapketor Unit vek
R
z
cosjsinie
sinjcosieR
Z
X
ez
e
eR
r
R
Y x
y
z
o
I Made Padri
Buktikan bahwa :
Buktikan bahwa :
KOORDINAT BOLA
POSISI :
KECEPATAN :
PERCEPATAN :
Rerr
θθθ cosr ksin sinr jcos sinr ir
.....?rv
θθ resin rerer θ R
.....?ra
e
eer
ˆ) cosθ θ2rsinθ r2sinθ (r
ˆ) cosθ sinθrθr2θ(rˆ)θrθsinr-r( θ
2
R
222
tap tidak teθdan sudut
e e eektor Unit v θ,,R
θθθ cos ksin sin jcos sin i eRˆˆˆ
sinksincosjcoscosi e
cos jsin ie
Z
Y
X
eR
e r
x
y
z
o
I Made Padri
e
Buktikan bahwa :
Buktikan bahwa :
Soal-soal untuk latihan
Y
]) Y ( 1 [( ρ
3/2
X Y Y X
) Y X( ρ
3/22
atau
θr
2 e )θ r 2 θ(r e )θr r( a
e θr e r v θr
zφR e z e R e R v
zR
2 e z e ) R R (2 e ) R R( a
θr e θr e θ sin r e r v
e θ) cos r 2 θ sin r 2 θ sin (r
e θ) cos θ sin r θ r 2 θ(r e )θr θ sin r r( a θ
2
r
222
I Made Padri
1. Buktikan bahwa pernyataan kecepatan dan percepatan dalam
a. Koordinat polar dua dimensi adalah :
b. Koordinat silinder adalah :
c. Koordinat bola adalah :
2. Buktikan bahwa partikel yang bergerak dalam bidang Y = f(x) dengan x = f(t)
memiliki jejari kelengkungan :
100
2X
Y Y
A
B
10 X
I Made Padri
j t)10 (12 i 5 (t)v
3. Sebuah partikel bergerak dengan r = dan =2t3 dalam SI. Tentukan
besar dan arah kecepatan serta percepatan partikel pada saat = 0,5
radian terhadap sumbu X.
4. Gerak sebuah partikel dapat dilukiskan seperti grafik berikut :
Dari A ke B laju tangensial partikel
tetap. Jika VA = 10 m/s dan dalam
waktu 10 detik tiba di B dengan laju
VB = 50 m/s. Tentukan percepatan
partikel pada saat di B.
5. Sebuah partikel bergerak dengan lintasan Y = X2 dan X = 2t. Tentukan
percepatan tangensial dan percepatan normal partikel tersebut.
6. Sebuah partikel bergerak pada bidang datar (X, Y) dengan kecepatan
Jika pada t = 0 partikel di titik (0,0), tentukan jari - jari kelengkungan
lintasannya pada saat Y = 7,2
TUGAS PEKERJAAN RUMAH - 1
BUKU FOWLES : Halaman : 34
Soal nomor : 12, 13, 14, 15, 16, 17,
20, 23.
I Made Padri
Soal latihan : 1, 2, 3, 4, 5, 6
DINAMIKA PARTIKEL
I Made Padri
APA YANG DIMAKSUD DENGAN DINAMIKA PARTIKEL ?
KONSEP DAN PRINSIP APAKAH YANG TERDAPAT DALAM HUKUM-HUKUM
NEWTON TENTANG GERAK ?
APA PERBEDAAN TEOREMA MOMENTUM DAN TEOREMA ENERGI ?
APA YANG DIMAKSUD GAYA FUNGSI POSISI, GAYA FUNGSI WAKTU DAN GAYA
FUNGSI KECEPATAN ? BERIKAN CONTOHNYA.
APA PERBEDAAN GAYA KONSERVATIF DAN GAYA DESIPATIF ?
APA PERBEDAAN HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM DAN HUKUM KEKEKALAN
ENERGI MEKANIK ?
BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK PARTIKEL DALAM MEDAN
KONSERVATIF ?
BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK PARTIKEL YANG MENGALAMI GAYA
UNGSI WAKTU ?
BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK PARTIKEL YANG MENGALAMI GAYA
FUNGSI KECEPATAN ?
HUKUM I NEWTON
HUKUM-HUKUM NEWTON TENTANG GERAK
HUKUM II NEWTON
HUKUM III NEWTON
MASSA KELEMBAMAN
PARTIKEL YANG TIDAK MENGALAMI
RESULTAN GAYA, BERADA DALAM
KEADAAN DIAM ATAU BERGERAK
LURUS BERATURAN
LAJU PERUBAHAN MOMENTUM
SAMA DENGAN RESULTAN GAYA
YANG BEKERJA PADA PARTIKEL
SIFAT KELEMBAMAN
SYARAT KESETIMBANGAN
KERANGKA ACUAN INERSIAL
MOMENTUM DAN GAYA
HUKUM KEKEKALAN
MOMENTUM
GAYA AKSI DAN REAKSI SELALU
SAMA BESAR DAN BERLAWANAN
ARAH
GAYA SEBAGAI HASIL
INTERAKSI
GAYA SELALU BERPASANGAN
I Made Padri
dt
vdμ
dt
vd BBA
A
A
BBA
m
m
dt
)vm d(
dt
)vm d( B A
dt
pd
dt
pd BA
Cpp
BA
dt
BAFF
0F
cp0pd
0dt
vdm
0vd
(diam) 0v
(GLB) Cv
Sistem tertutup
A
B
Hukum Kekekalan
Momentum linier
Hukum III Newton
Hukum II Newton
Momentum linier
Hukum I Newton
Perbandingan massa inersia
vmp
I Made Padri
dt
vmp
CF
cr
0r trr
00
2
2
1rt r trr
dt
vdmF
pdt (t)F
dm
dt
(v)F
vd
dt
)prd(Fr
dt
LdN
Ldt (t)N
dt
vdvmvF
dt
vdvm
dt
rdF
Trd(r)F
Teorema Momentum linier
Teorema Momentum sudut Teorema usaha dan Energi I Made Padri
GAYA FUNGSI POSISI
c
T rd F W .
(r) F F k
dk F (r) F F
2
1
r
r
k k rd (r)F W . T rd F rd (r)F .. dk
2
s
s
1
r
r
k
r
r
k k rd (r) F rd (r)F W . . T rdF (r) V .d
r
r
k
s
rd (r)F (r) V . (r) V T rd F .d
V(r) )V(r )V(r W 21K
E Wd
V(r) d rd (r) F .k
T V(r)
0 V(r) T
C V T E
V(r) (r) Fk
0
c s
ds )F( n rd F .
c
0 rd (r) F
0 (r)F
.
k
k
I Made Padri
KASUS SATU DIMENSI
)x(Vx mE 2
21
xm)x(F
Txd )x(F
x
x0
.
kF)x(F
)x(Vxd )x(F
x
x
k
0
.
EV
)x(VE m
2x
)x(VEm
2
dt
dxx
)x(VE{
dx
2
mdt
V(x)
X
x1 x2 x3 x3,,
E1
E2
E3
E4
x3’ x2,
Penafsiran secara kua-
litatif bergantung pada
V(x) ≥ E ≥ V(x)
Dengan energi :
E1 partikel berada di x1
E2 ada diantara x2, dan x2
E3 ada diantara x3, dan x3
E4 partikel berada di x4
Di x1 keadaannya setimbang stabil Di
x3 keadaannya setimbang labil
Di x4 keadaannya setimbang netral
x2,, x2,, x3, x3
, dan x3,, titik balik
x4
I Made Padri
2kx 2
1 )x(V
Xk (x)F
CONTOH PROBLEM
1 0
00kx-zyx
kji
(x)F x
GAYA KONSERVATIF
dx
V(x) d kx
t0 = 0
x
x 2
12
21
0 kx E
dx
2
mt2E
k x θ sin
E2
kxθsin
22
θsin k
2E x
2
1
θd θcos k
E2dx
2
1
0 2
12
2
1
2
1
kE2
θsin1E
θd θ cos
2
mt
I Made Padri
)x(VE{
dx
2
mdt
t
to
Misalkan :
)T/2( dan )/2(T 2kA2
1E
k
E2A
m
k
)tsin( k
E2x 0 0θtsinAx
2tt
0θtsinAx
? ..... x ?.....x
Gerak harmonik
0
θd1
t tθ θ 0
Periode Frekuensi
Amplitudo Energi
I Made Padri Lanjutan
2
0
2
0
2 zm2
1zm
2
1
zR
1
zR
1mgR
Tzd)z(F
kr
GMm )r(F
2
2
)R/M G(gdan zRr 2
R = jari-jari bumi
z = tinggi dari permukaan bumi
22
2zR
Rmg
r
GMm)z(F
Tdz
zR
Rmg
Z
Z
2
2
0
00 z 0z makz 0z
1
2
0
2
R
z1gz2zz
12
0
2
0mak
gR2
z1
g2
zz
makze0 zz
gR2z2
e
gz2zz 2
0
2 g2
zz
2
0mak
gR2ze
Laju Escape
gr2 z0 Rz
Vertkal ke atas
Titik balik
I Made Padri
CONTOH PROBLEM
1
Dari grafik di samping, tentukan persamaan gaya
untuk setiap selang waktu sebagai berikut :
a. t1 > t > 0
b. 2t1 > t > t1
c. 3t1 > t > 2t1
a. Pada t1 > t > 0
b. Pada 2t1 > t > t1
b = tanα = (F0/t1)
F(t1) = F0 a = 0
c. Pada 3t1 > t > 2t1
t1 2t1 3t1
F0
2F0
F
t
α
d = tan = (-2F0/t1)
F(2t1) = 2F0 c = 6F0
GAYA FUNGSI WAKTU
bta)t(F
0F)t(F
tt
F)t(F
1
0
tt
F2F6)t(F
1
00
dtc)t(F
I Made Padri
2 Sebuah partikel massa (m) bergerak dengan gaya seperti grafik. Jika
mula-mula partikel dalam keadaan diam, buktikan bahwa laju partikel
pada saat 2t1 adalah (5F0t1/2m), dan jarak yang ditempuh dalam
selang waktu 2t1 adalah (13F0t12/6m)
a. Pada t1 > t > 0
dt
xdmF0
dt
m
Fxd
t
0
0x
0
m
tFx 0
m
tF)t(x 10
1
dt
dxx
m2
tFx
2
0m2
tF)t(x
2
101
dtm
tFdx
t
0
0x
0
2F0
F
t
F0
t1 2t1
α
I Made Padri
b. Pada 2t1 > t > t1 bta)t(F
1
0
t
Ftanb
01 F)t(F
1
0
t
tF)t(F
0 a
dt
xdmF
t
1t 1
0x
m
1t
0F
dttm
tFxd
t
1t 1
2
010
tm2
tF
m
tFx
m2
tF5)t2( 10
1x
dt
dxx
m6
tF13)t2(
2
101x
1
2
010
tm2
tF
m2
tF
t
1t 1
2
010x
2m
21
t0
F
dt) tm2
tF
m2
tF(dx
I Made Padri
Lanjutan
GAYA FUNGSI KECEPATAN
2v c v b F
v b F
2v c F
GERAK VERTIKAL DALAM FLUIDA
zb mg z m
dt
zd z
z
0z
t
0 zbmg
zd mdt
0zb mg
zb mgln
b
m t
m
bt
0
e zb mg
zb mg
)(1 b
mg z z m
bt-
m
bt-
0 ee
)z m
b g ( z m
bt-
0 e
dt
dz z
t
0
m
bt-
m
bt-
0
z
0
dt) (1b
mg zdz ][ ee
b
mgt ) (1 g)
b
m z
b
m( z m
bt-
2
2
0 e
1
Ke bawah
I Made Padri
1cm1v 1cm1v
..... ! 2
x x 1 :TaylorDeret
2xe
)(1 b
mg z m
bt-
eb
m t
b
mg z
b
tg m ) (1
b
g m z m
bt-
2
2
e
b
m t
.................. tm
bg
6
1 tg
2
1 z 32
2 tg z21
............................... t m
gb g z
g z b
m t
tg z
m
bt-
e g z
0z0t:Untuk 0
Laju terminal
Karakteristik waktu
G
L
B
B
Jatuh bebas
............................ tm
bg
2
1 t g z 2
I Made Padri
GERAK PROYEKTIL DALAM FLUIDA k g m v b F ˆ
GERAK PADA SUMBU X
xb xm x x m
b
dt
xd x
dt
xd x
t
0
x
0x
dt x
xd
t x
xln
0
t- x x e0
dt
dx x
dt
dx
γt- x e0
t
0
0
x
0
dt t-
x dx e
t
0
0
t-
x x e
)γt-
1(x
x e0
2
GERAK PADA SUMBU Y
y b y m y y
γt- y y e0
)γ t-
(1 y
y e0
I Made Padri
..... 3
x
2
xx x)(1 ln
32
..........y y
g
3
1 y
y
g
2
1y
y
z z 3
3
0
2
2
00
0
Untuk
1 y
y
0
Lintasan parabola
1 y
y
0
Lintasan tidak parabola
Deret Taylor :
Z
Y
Tanpa gesekan
Ada gesekan
Jarak dekat
Gesekan kecil
Jarak jauh
Gesekan besar
Jarak dekat
Asimtut vertikal
I Made Padri
V0
V0
Lanjutan
JARAK TERJAUH
3
mak3
0
2
mak2
0
mak
0
0 y y
g
3
1 y
y
g
2
1y
z 0
y
..... g 3
zy 8
g
zy 2 y
2
2
0 o0 o mak
α elevasisudut dan v v0pada tJika 0
cos vy 00 sin v z 00
2sinv cos sin v2 z y 22
0
2
000
......... g
sin 2sin v
3
4
g
2sin v y
2
3
0
2
0 mak
I Made Padri
Z = 0
Lanjutan
TUGAS PEKERJAAN RUMAH - 2
BUKU FOWLES : Halaman : 53
Soal nomor : 1, 2 3, 4, 5, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 16
I Made Padri
Halaman : 109
Soal nomor : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9,
10, 16, 17
GERAK HARMONIK
I Made Padri
APA YANG DIMAKSUD DENGAN GERAK HARMONIK ?
APA PERBEDAAN GERAK HARMONIK SEDERHANA, TEREDAM DAN
TEREDAM TERPAKSA ?
BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK HARMONIK DENGAN
GAYA PEMAKSA YANG TIDAK SINUSOEDAL ?
BAGAIMANA HASIL SUPERPOSISI GERAK HARMONIK DUA
DIMENSI DAN TIGA DIMENSI ?
BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK HARMONIK DENGAN
GAYA PULIH TIDAK LINIER ?
BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK PARTIKEL
BERMUATAN DI DALAM MEDAN LISTRIK DAN MEDAN MAGNET ?
GERAK HARMONIK SEDERHANA xkF
xmF
0x)(xmk
0)q(e2
0
2qt
00 i q
titi 00 eCeC)t(x
tsinitcose 00
ti 0
tsinitcose 00
ti 0
tsiniCiCtcosCC)t(x 00
tsinBtcosA)t(x 00
tcos)t(x 0A
Gerak harmonik sederhana 22 BA A (B/A) tanarc
2
1
0 )k
m( 2τ 2
1
0 )m
k(
2
1f
?x?x
21
0 )mk( I Made Padri
qtex
21
)(mk
0 ?x?x
cosA A
sinB A
xkF
KONSERVATIF
dX
)x(dV)x(F
2kX2
1)x(V
E = T + V(x) 22 kX
2
1Xm
2
1E
2Xm
k
m
E2 X
X = Xmak
2
makXm
k
m
E2 0
k
E2Xmak A
makXX
m
E2Xmak
2k2
1E A
0X
Energi
T
E
X
0 A A
V(x)
0X
dX
)x(dVkX
I Made Padri
Lanjutan
GERAK HARMONIK TEREDAM xkxcF
xmF
0xm
kx
m
cx
m2
c
2/1
0m
k
0xx2x2
0 qtex
0eqe2eq qt2
0
qtqt2 0q2q2
0
2
2/12
0
2
12 )(q
0 )(2
0
2 0 )(2
0
2 0 )(2
0
2
tq
2
tq
121 eAeAX
t )(t
2
t)(t
1
2/120
21/2 20
2
eAeAX
t )(
2
t )(
1
t 1/22
022/12
02
eAeAeX
X
t
Over damped
?X
?X
?
Fungsi Eksponensial
?
I Made Padri
0 )(2
0
2
2
0
2
0xx2x2
0
0xx2x 2
0x dt
d2
dt
d 22
0x
dt
d
dt
d
2
0
2
12q
21 qq
0u dt
d
u
dt
du dt
u
du
Atu ln
t-Aeu
dt
dxxu
dt
dxxAe t
tedt
dxxA
)xe(dt
dA t
tex dt A
txeBAt )BAt(e)t(X t
X
t
Critically damped
I Made Padri
Lanjutan
0 )(2
0
2
2
0
2
12q
2
1
22
0d )(
d1 iq
d2 iq
tqtq 21 eCeC)t(X t)i(t)i( dd eCeC)t(X
)eCeC(e)t(Xtitit dd
)tsinBtcosA(e)t(X d1d1
t
)t( cose)t(X d
t A
Fungsi periodik dengan aplitudo
semakin kecil secara eksponensial
tex A
tex A
X
t
Energinya mengecil secara eksponensial
t22ek2
1E A t2
0eEE
Dengan laju fraksional 2dt
E ln d
dt
dE
E
1
I Made Padri Lanjutan
GERAK HARMONIK TEREDAM TERPAKSA
)t(FxkxcF
tcos FkxxcF xmF
)t(ieAx tcosm
Fxx)i(2x 02
0
2
tsin itcose ti
ti02
0
2 em
Fxx)i(2x
ti0)t(i22
0 em
FeA )i(2
i022
0 em
FA )i(2
sinicose i
)sin i(cosm
FA )i(2 022
0
cosF
Am
0
22
0
2
0
222
0 cosF
Am
sin iF
Ami2
0
2
2
0
2 sin F
Am)2(
?Adan ?
?x ?x
I Made Padri
0
22
0
0
F
Am
)FAm(2
cos
sintan
22
0
2 tan arc)(
2 2
0
22
2
0
2222 4
F
Am1cossin
)(D
)mF(
4)(
)mF()(A 0
22222
0
0
0
d
Ad
makA)(A r
2
1
22
0r )2( 2
r
222
r
2
0
0mak
4)(
)mF(A
2
1
22
0d )(
2
1
22
dr )(
)](tcos[)(A
t coseA)t(X d
t
Solusi umum
I Made Padri d
0
d
0mak
c
F
2
)mF(A
Lanjutan
Dengan pendekatan :
)( )( 00
22
0
)(2 00 0
22
0
mak
)(
A)(A
2
mak
2 A)(A21
0
r1
r2
2
0 02
WEAK
DAMPING
0
0
0
0mak
c
F
2
)mF(A
dan
Jika :
0
)0(A
)(AQ 0
Faktor kualitas
2Q 0
A
2
2
1
2 0(1/2)mc .1
. . . . .
.
.
.
.
0 02
0d
I Made Padri
0(1/4)mc .2
Lanjutan
2 0
STRONG DAMPING
2
2
02
0r 2/144
0
0
)(
)m/F()(A
22
0
2tan
0 0
2
I Made Padri
1
2
2
0(1/2)mc .1
0 02. . . .
.
.
0(1/4)mc .2
Lanjutan
GERAK HARMONIK DENGAN GAYA PEMAKSA TIDAK SINUSOEDAL )t(Fkxxc)x(F
Deret Fourier
1n
nn0 )tnsin(b)tncos(aa2
1)t(f
DENGAN :
2T
2T
0 dt)t(fT
2a
2T
2T
n dt t)cos(n )t(fT
2a
2T
2T
n dt t)sin(n )t(fT
2b
n = 0, 1, 2, …
)t(f)t(f 0bn
FUNGSI GENAP
)t(f)t(f
FUNGSI GANJIL
0a 0 0 an
Periodik tidak sinusoedal
CONTOH
F(t)
T
t
T
0F)t(F
0)t(F
T2
1NTtT
2
1NT
... 2, ,1 ,0N
YANG LAINNYA 0
]
I Made Padri
dtt)cos(n F T
2a
2T
2T
0n
n
)TTn2sin(F
)n(
t)sin(n F
T
2a 0
2T
2T
0n
T
T2Fdt F
T
2a 0
2T
2T
00
0bn
SEHINGGA :
)tcos(
T
Tsin
2
T
TF)t(F 0
t2cos
T
T2sin
2
2
......t3cos
T
T3sin
3
2
DAN : n
nn
n
n )tncos(A)t(x)t(x
AMPLITUDO
2
1
2222222
0
0
n
nn
n4)n(
)TTnsin()n2()mF(
)(D
)ma(A
SUDUT FASE
222
0
1
nn
n 2tan
dan
I Made Padri Lanjutan
Gerak partikel berupa lissajous dalam kotak berdimensi (2Ax, 2Ay, 2Az) dengan
frekuensi yang sepadan yaitu :
GERAK HARMONIK (2-3) DIMENSI
rkF
rmF
0xkxm x
0x)mk(x x
)tcos(Ax xx 2/1
xx )mk(
0ykym y
)tcos(Ay yy
0zkzm z
)tcos(Az zz
ENERGI TOTAL :
2
z2
12
y2
12
x2
1zkykxk z) y, ,x(v
22 kr2
1mv
2
1 E
2/1
yy )mk(2/1
zz )mk(
0y)mk(y y 0z)mk(z z
)n()n()n( zzyyxx
)n2()n2()n2( zzyyxx
Jika frekuensinya tidak sepadan, maka lintasannya tidak tertutup.
PERIODE :
I Made Padri
ENERGI POTENSIAL :
kxxm
kyym
)tcos(Ax x
)tcos(Ay y
2
1
m
k
)tcos(Ay y
Beda fase sin)tsin(cos)tcos(A y
)tcos(Ax x
sin
A
x1cos
A
x
A
y 2
1
2
y
2
xy
2
2
y
2
yx
2
x
2
sinA
y
AA
cos2xy
A
x
FUNGSI KUADRAT DALAM X,Y
feydxcybxyax 22
0)ac4b( 2 ELIP
0)ac4b( 2
0)ac4b( 2
PARABOLA
HIPERBOLA
2
yx
2 )AAsin2( )ac4b(
2
1)AY()AX( 2
y
22
x
2 ELIP
atau 0
x)AA(y xyGARIS LURUS
DENGAN KEMIRINGAN
2
y
2
x
yx
AA
cosAA22tan
< 0 ELIP
Ax
Ay
CONTOH GERAK HARMONIK ISOTROPIK DUA DIMENSI
]
I Made Padri
GERAK HARMONIK DENGAN GAYA PULIH TIDAK LINIER
3
3xkx)x(F
xm)x(F
33 xm
xm
kx
2
1
0 )mk(
)m( 3
32
0 xxx t cos Ax ?x
t3costcostcos41
433
0t3cosA-tcos AA 322
0
2
4
1
4
3
* A = 0 TIDAK MEMENUHI SOLUSI PD SECARA EXSACT
* << 0A 22
0
2
4
3
Frekuensinya Fungsi Amplitudo 22
0
2 A4
3
I Made Padri
0A 22
0
2
4
3
22
0
2 A4
3
2
1
2
0
2
04
A31
0A4
1B9B- 3
0
2
2
0
3
22
0
3
32
A
A2732
AB
t3cos32
AtcosAx
2
0
3
0..............................................................................................
t3 cos Bt cos Ax ?x
Frekuensinya Fungsi Amplidudo
I Made Padri
t3cosAB9B- 32
0
2
4
1
tcos AA 22
0
2
4
3
Lanjutan
!5!3
sin53
CONTOH BANDUL SEDERHANA sin mgF xmF
sin -mgxm
sin
0L
g
0sL
gs
L
g0
g
L20
32
02
0!3
32
02
06
2
1
2
0
2
04
A31
2
12
0
2
1
2
0
22
00
8
A1
4
A)6(31
2
12
8
A1
g
L2
2
12
08
A1
6
2
0
θ
L
mg
S
mg sinθ
I Made Padri
θ
GERAK PARTIKEL BERMUATAN DALAM MEDAN LISTRIK DAN MEDAN MAGNET
)B x v(qF
rmF
EqF
B)k x v(qrm
)xjyi(qB)zkyjxi(m
qEkrm
qEk)zkyjxi(m
tzz cy cx
-z 0y 0x
m
qEm
qE
0
B00
zyx
kji
qrm
1cyxyx
2cxy
xy
0zz
0z
)mqB(
0t cos Aax 0t sin Aby
222 A)by()ax( HELIK
Lingkaran
Garis lurus
)c(a 2
Parabola
I Made Padri
2
2 cxx 22 axx
1
2 cxy 22 byy
)c(b 1 )c(a 2
)t( cos Ay 0
)t( sin Ax 0 2
22222
m
B qAAyx
B q
mv
vA
2
1
22 )yx(v
Z
X
Y
I Made Padri
B
q
v (Kecepatan)
Jari-jari
(partikel bermuatan)
(Medan magnet)
Kelajuan
Lanjutan
TUGAS PEKERJAAN RUMAH - 3
BUKU FOWLES : Halaman : 83
Soal nomor : 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10,
11, 15, 19.
I Made Padri
Halaman : 111
Soal nomor : 11 dan 18.
GAYA SENTRAL
I Made Padri
BAGAIMANA PERUMUSAN HUKUM NEWTON TENTANG GRAVITASI ?
BAGAIMANA HUBUNGAN GAYA, KUAT MEDAN, ENERGI POTENSIAL
DAN POTENSIAL DALAM MEDAN GRAVITASI ?
APA YANG DIMAKSUD DENGAN GAYA SENTRAL ?
BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK PARTIKEL YANG
DIPENGARUHI OLEH GAYA SENTRAL ?
BAGAIMANA PENJELASAN TEORITIS HUKUM-HUKUM KEPLER
YANG BERSIFAT EMPERIS ?
BAGAIMANA CARA MENENTUKAN KECEPATAN SATELIT AGAR
TETAP MENGORBIT BUMI ?
BAGAIMANA CARA MENENTUKAN ORBIT KOMET ?
APA SYARAT STABILITAS ORBIT MELINGKAR ?
APA YANG DIMAKSUD DENGAN SUDUT APSIDAL ?
HUKUM NEWTON TENTANG GRAVITASI
GAYA GRAVITASI
Setiap partikel selalu menarik partikel lain, dengan besar gaya yang sebanding hasil kali kedua partikel dan berbanding terbalik dengan kuadrat jaraknya. Gaya tarik tersebut berada disepanjang garis penghubung kedua partikel
Gaya gravitasi m1 pada m2
123
32
2121 rr
rr
mmGF
12
12
2
12
2121
rr
rr
rr
mmGF
r2
2121 e
r
mmGF
Hukum III Newton 2112 FF
r2
2112 e
r
mmGF
12 rrr
re12F 21F
1r2r
1m2m
I Made Padri
G = 6,672.10-11 Nm2kg-2
Konstanta gravitasi umum
Gaya gravitasi m2 pada m1
o
12 rrr
re AG BG
1r2r
1m2m
Gaya gravitasi persatuan massa partikel di suatu titik adalah intensitas medan gravitasi di titik tersebut
Intensitas medan gravitasi m1 di titik B
r
2
2
21
2
21B e
mr
mGm
m
F
G
r2
1B e
r
GmG
Intensitas medan gravitasi m2 di titik A
r2
2A e
r
GmG
Secara umum intensitas medan gravitasi di suatu titik yang berjarak (r) dari partikel bermassa (m) adalah :
r2p er
GmG
m p
r
repGI Made Padri
B A
O
MEDAN GRAVITASI
rd Fdw
r2e
r
GMmF
rder
GMmdw r2
drr
GMmdw
2
dwWAB
rrdeadalah Fsearah
rdKomponen
Usaha total dari A ke B
12
2r
1r
2ABr
1
r
1GMm
r
drGMmW
r1 = ~ r2 = r
r
GMm)r(V
Energi potensial gravitasi suatu partikel yang berjarak tertentu dari partikel lainnya
M A
2r
1rre
m drer
F
-F
rd
B
I Made Padri
ENERGI POTENSIAL GRAVITASI
Usaha memindahkan partikel m dari titik A ke B dalam medan gravitasi partikel M adalah :
m
Usaha untuk memindahkan partikel jauh takhingga ke jarak tertentu
dari partikel yang lain
A
Energi Potensial gravitasi persatuan massa partikel, adalah potensial gravitasi di titik tersebut
m
)r(V
r
GMA
r
GMm)r(V
m
M
r
Potensial gravitasi pada suatu titik (A) yang
berjarak tertentu (r) dari partikel bermassa M
Gaya gravitasi konservatif : )r(V F
G
G
m
F
m
)r(V
I Made Padri
POTENSIAL GRAVITASI
CONTOH INTERAKSI KULIT BOLA HOMOGEN DENGAN SEBUAH PARTIKEL
m u
r
p
Elemen Massa
d sinR2) Rd.(a2dM 2
cosRr2rRu 222
Kulit bola
2R4M
d Sin2
MdM
d sinRrudu
Rr2
MududM
Difrensiasi
I Made Padri
R
M
d
a
dM
u
GdM)r(d
Rr2
GMdu)r(d
r
GMR2
Rr2
GM)r(
2r
GM
r
r
GM
)r()r(
G
2r
GMmm)r(F G
Di luar Kulit Bola Di dalam kulit bola
R2RrRrrr minmaks r2)rR()Rr(rr minmaks
R
GMr2
Rr2
GM
0r
c)r()r(
G
00.)r(F G
I Made Padri
Lanjutan
maks
min
r
r
minmaks RRRr2
GM)r(dΦΦ(r)
Lanjutan
rmF
re)r(FF
0eF(r) x rdt
Ldr
CL
)erer( m x r r
)mrL( 2)r(F)rr(m 2
0)rr2(m
DENGAN : ? r dan u
1r
)u(FuL
mu
d
ud 1
222
2
PERS. DIFFERENSIAL ORBIT
0F x
c)r(V)rr(mE 222
2
1
)u(Vud
du
m2
LE 12
22
PERSAMAAN ENERGI ORBIT
r2e
r
kF
C)r(VT
? I Made Padri
GAYA SENTRAL
)u(FuL
mu
d
ud 1
222
2
r2e
r
kF
22
2
L
mku
d
ud
20L
mk)-cos( Au
2L
mkcos A
1r
00
PERSAMAAN IRISAN KERUCUT
cos e1
e1rr 0
cos e1
dr
Jika : e < 1
e = 0
e = 1
e l i p
lingkaran
e > 1
parabola
hiperbola
0 0rr 1rr
e1
e1rr 01
0 0rr
mk
ALe
2
)mkL(d 2
)e1(k
mLr
12
0
Aphelium (apogee) Perihelium (perigee)
r0 e = 0
r1
e < 1
e = 1 e > 1
HUKUM KEPLER I
;
0
π
I Made Padri
)e1(k
mLr
12
1
HUKUM-HUKUM KEPLER
r x r2
1A
v x r
2
1
dt
dAA
vm x rm2
1A
Cm2
LA
L
m2At 1212
HUKUM KEPLER II
A
At 2.1
2.1
L
m2ab
22
e1L
m2a
amk
L
L
ma2 22
32
2 ak
m4
2
3
ca
HUKUM KEPLER III
2e1a
b
)e1(mk
L2rra2
2
2
10
amk
Le1
22
32 a
2
32
1
ak
m2
O
P1
P2
r
r+∆r
∆r
∆A
t2
t1
A12
r1 ro
b
a
I Made Padri
Lanjutan
)u(Vud
du
m2
LE 12
22
dr
)r(dV)r(F
dr
)r(dV
r
k2
r
k)r(v
kuud
du
m2
LE 2
22
2/1
2
22u
L
mku2
L
Em2
dud
022
21
)m/L(E2k
k)m/uL(sin
ca
usin
ua
du 1
22
20
cos)sin(2
cos
mk
EL211
L
kmu
2/1
2
2
2
cos)d E21(1
dr
2
1
2
1
)Ed21(e
cos e1
dr
JIKA : E < 0 e < 1 (Elip/lingkaran)
E = 0 e = 1 (Parabola)
E > 0 e > 1 (Hiperbola)
MAKA UNTUK HARGA : (Elip/lingkaran)
(Parabola/hiperbola)
C)x(VTE
)x(VT
)x(V T
cos)kmL E21(1
kmLr
2/1212
112
I Made Padri
ENERGI ORBIT
)r(V)rr(m2
1E 222 2mrL
)r(Vmr2
L
2
rmE
2
22
)r(U2
rmE
2
)r(Vmr2
L)r(U
2
2
r
k)r(V
0r
)r(UE r
k
mr2
L2
2
E2
)mEL2k(kr
2
1
122
0.1
10 rra2
E
ka2
a2
kE
0mLkr2Er2 122
Potensial efektif
Potensial sentrifugal
r0 r1
a
U(r)
r0 r1 E
E
r
V(r)
2
2
mr2
L
b
I Made Padri
Pada titik balik
Lanjutan
GERAK SATELIT
2L
mk cos A
1r
1mk
ALmk
Lr
2
0
2
00
00LL
mkALe2
0
000
2
00 vmrmrL
)mrk(v 0
2
c
1v
ve
2
c
2
0
cos e1
e1rr 0
1k
vmre
2
00
cos1v
v1
)v/v(rr
2
c
2
0
2
c00
2
c0
2
c001
)vv(2
)v/v(rr
1rr
0rr
Laju lingkaran
0
r
c0 v v c0 vv
e 0
Elip ro = perigee
r = apogee
Bumi
I Made Padri
c0 v v
c0 vv
ro
)r
r(R
b
k
2
1
22 )mk2EL(1 e
k
2
kr
kmv
2
1E
kk v m x rL
2
1
2
2
kk
k
2
k
mk
)sin vr m)(r
k vm
2
1(2
1e
GERAK KOMET
Orbit bumi melingkar
2
b
b
v)mr
k(
2
1
22
bb
2
kk
k
2
b b2
k
) vr m(m
)sin vr m)(r
vr m vm
2
1(2
1e
)v
v(V
b
k
2
1
22 )(RVsin )R
2V(1e
rb
vk
vb
Komet
Matahari
Bumi
I Made Padri
?
KESTABILAN ORBIT MELINGKAR )r(f)rr(m 2
2r
h
)r(fr
mhrm
3
2
)a(fa
mh3
2
)ax(f)ax(mhxm 32
....]x)a('f)a(f[
]x)a('f)a(f[)a
x31(amhxm 32
acr
0r arx
0x)]a('f)a(fa
3[xm
0)]a('f)a(fa
3[
Atau : 0)]a('f3
a)a(f[
Syarat stabil harus memberikan solusi getaran harmonik, maka
....]xnaa[ 1nn
Untuk orbit radial
Lingkaran
I Made Padri
SUDUT APSIDAL
0x)a('f)a(fa
3xm
2
1
m
)a('f)a(fa
3
2
2
1
)a('f)a(fa
3
m2
2
1t t
2
1
22 ma
L
mr
L
)a(fma
L3
2
2
1
)a(f
)a('fa3
Sudut apsidal dicapai dalam waktu
Orbit mendekati lingkaran dan stabil (r = a)
rmak
rmin
I Made Padri
TUGAS PEKERJAAN RUMAH - 4
BUKU FOWLES : Halaman : 163
Soal nomor : 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 15, 16, 18,
20, 21, 23
I Made Padri
KERANGKA ACUAN TIDAK INERSIAL
I Made Padri
APA YANG DIMAKSUD DENGAN KERANGKA ACUAN TIDAK
INERSIAL ?
APA KONSEKUENSI PENGGUNAAN KERANGKA ACUAN TIDAK
INERSIAL PADA MEKANIKA NEWTON ?
APA YANG DIMAKSUD DENGAN GAYA SEMU PADA PENGGUNAAN
KERANGKA ACUAN TIDAK ENERSIAL
BAGAIMANA PENGARUH ROTASI BUMI TERHADAP BENDA DIAM
DAN BERGERAK DI PERMUKAAN BUMI ?
MENGAPA BIDANG AYUN BANDUL FOUCAUL MENGALAMI GERAK
PRESISI ?
FAKTOR APAKAH YANG MEMPENGARUHI FREKUENSI PRESISI
BIDANG AYUN BANDUL FOUCAUL ?
KERANGKA TRANSLASI DIPERCEPAT 'rRr o
'vvv o
'aAa o
'am)Am(F o
'rr
'z'k'y'j'x'izkyjxi
dt
'kd'z
dt
'jd'y
dt
'id'x'vv
'r'vv
KERANGKA BEROTASI
o o’
Ro
r r’
m
z Z’
X’
y y’
x
Gaya translasional (semu)
o O’
z Z’
x
X’
y
y’
r = r’
m
(tetap) k,j,i
(berubah) k,j,i '''
'r x dt
'rd
dt
rd
rotfix
r dt
rd
dt
rd
rotfix
dt
'zd'z
dt
'jd'y
dt
'id'x
dt
'dz'k
dt
'dy'j
dt
'dx'i'zk'yj'xi
amF
I Made Padri
v dt
vd
dt
vd
rotfix
)'r'v()'r'v(dt
d
dt
vd
fix
)'r('v2'r'aa
)}'rx(x{)'vx2()'rx(a'a
)}'r(m{)'vm2()'rm(F'am
Gaya tranversal Gaya coriolis Gaya centrifugal
m Fcf m m r
Vektor kecepatan :
'r'vv
v
Fcr Ftv
)'r ('v dt
)'r(d
dt
'vd
rotrot
)'r ( 'v dt
'rd 'r
dt
d
dt
'vd
rotrotrot
Percepatan tranversal
Percepatan coriolis
Percepatan centrifugal
amF
I Made Padri I Made Padri
Lanjutan
EFEK ROTASI BUMI
1. Benda diam dipermukaan bumi
)sin(90 'r'r
cos 'r
cos'r'r ( 2
cos)cos'r()a( 2
rcf
22 cos'r
Arah radial
sin)cos'r()a( 2
hcf
Arah horisontal
)}'r ( {)'v 2()'r (a'a
0'r
0)'v 2(
c
0
0'v
ga
'g'a
rcf )a(g'g
22 cos'rg'g
Memperkecil percepatan gravitasi
Mengubah arah percepatan gravitasi Di ekuator (λ = 0) 1cos2
'rg'g 2
Di kutub (λ = 90)
)'r ( g'g
0cos2
g'g (Maksimum)
(Minimum)
(acf)r
asf g r
λ
s
u
ω
I Made Padri
(acf)h
'g
sin
cos'r
εsin2
g'
sin cos'rε
2
2sin
'g2
'r
2
Di kutub : 90 02sin
0ε
Di ekuator : 0 02sin
0ε
02
mak 90Sing 2
'rε
rad10.7,1 3
mak
)0,1 ( 0
Besar penyimpangan arah percepatan gravitasi
g
acf
g’ λ
ε
sin
Penyimpangan terbesar di :
12sin 045
cos'ra 2
f c
Sudut kecil
ω
R acf
g
λ
I Made Padri
,g
Lanjutan
2. Gerakan benda di permukaan bumi
)'r ( 'v 2a'a
Kecil diabaikan 'v 2g'a
0'x cos
'y
sin 'z
'r 'v
)cos'x('k)sin'x('j
) sin'y cos 'z('i
)sin'ycos'z(20'x )sin'x(20'y
)cos'x(2gz
'x)sin'ycos'z(2'x o
'ysin 'x2'y o
'Zcos 'x2gt'z 0
Kompnen kecepatan
' x t'x)sin 'y-cos 'z(tcost g'x 0000
23
3
1
'ysin t'xt'y'y 0
2
00
'zcos t'x t'zt g'z 0
2
o0
2
2
1
Komponen percepatan
Komponen posisi
g'kg
ω
Z’
x’
y’
'v x
I Made Padri
λ
Belahan bumi utara
Belahan bumi selatan Pengaruh gaya sentrifugal
pada partikel jatuh bebas
Pengaruh gaya coriolis pada
partikel jatuh bebas
B
T
U
S
O
P
O’
B
U
S
O
P
O’
T
B
T
U
S
O
P
O’
v’
ω
B
T
U
S
O
P
O’
v’ ω
λ
λ
I Made Padri
Lanjutan
Belahan bumi utara
Belahan bumi selatan
ω
V’
acor
ach
acv U
T
S
λ
V’
T
B
S ω
acor
acv
ach
Pengaruh gaya coriolis pada gerak horisontal
PRESISI BANDUL FOUCAULT
Fc
λ
I Made Padri
v
Fc v
Lanjutan
Persamaan defrensial gerak bandul terhadap kerangka O’fik
di permukaan bumi adalah :
vm2gmS)'rm( fik
Tranformasikan terhadap
kerangka O’rot dengan frekuensi ω’
terhadap O’fik
'v'm2 )rx'('m)'rm()'rm( fikrot
'v'm2)r'('m)vm2gmS()'rm( rot
v )'(m2gmS)'rm( rot
k cosj sin0
0jvi vv yx
r'v'v fikrot
)r'('m
kecil ( diabaikan) harga
I Made Padri
mg
S
Proyeksi presisi
bidang ayun bandul
Lanjutan
cos -' :aJik
)vx(vx)'x(
)v x (m2gmS)'rm( rot
Karena persamaan difrensial bandul kembali kebentuk semula,
maka ω’ adalah frekuensi gerak presisi bidang ayun bandul
cos
2
)90(
sin
2 jam
sin
24
Periodanya :
sin v k )' cos( vj)' cos(v i v )'( xxy
I Made Padri
Lanjutan
TUGAS PEKERJAAN RUMAH - 5
BUKU FOWLES : Halaman : 131
Soal nomor : 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 13.
I Made Padri
SISTEM PARTIKEL
I Made Padri
APA YANG DIMAKSUD DENGAN SISTEM PARTIKEL ?
BAGAIMANA CARA MENENTUKAN PUSAT MASSA SISTEM PARTIKEL ?
APAKAH HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM SUDUT BERLAKU
DALAM SISTEM PARTIKEL ?
BAGAIMANA PERNYATAAN MOMENTUM SUDUT DAN ENERGI KINETIK
SISTEM PARTIKEL DENGAN ACUAN PUSAT MASSA ?
BAGAIMANA CARA MENGANALISIS INTERAKSI DUA PARTIKEL
DENGAN ACUAN PUSAT MASSA ?
BAGAIMANA CARA MENGKLASIFIKASI JENIS TUMBUKAN ?
BAGAIMANA CARA MENGANALISIS TUMBUKAN SATU DIMENSI DAN
DUA DIMENSI ?
BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK BENDA YANG MASSANYA
BERUBAH ?
rmF
SISTEM PARTIKEL rmp
ii)ext(i rmF
iii rmp
)ext(ii F
dt
pd
i
iiii
m
rm
dt
dmp
cmrdt
dMp
cmrMp
i
iicm
m
rmr
cm)ext( rMdt
i
iicm
m
rmr
i
iicm
m
rmr
Kecepatan pusat massa
Percepatan pusat massa
Posisi pusat massa
Momentum linier sistem partikel
0F )ext(
P = konstan
cr0r
Hukum kekekalan momentum linier
Partikel Partikel
I Made Padri
Hukum Kekekalan Momentum Sudut
Partikel rm rL
Sistem Partikel
)rm rrm r(dt
Ldiiiiii
)rm r(L iii
0
]F r [dt
Ld)ekt(i
)ekt(iNdt
Ld
0N )ekt(i
0dt
Ld
Hukum kekekalan momentum sudut
tankonsL
cm
cmr
mi
o
ir
vi Z
Y
X
I Made Padri
PENGGUNAAN ACUAN PUSAT MASSA
Momentum linier sistem partikel
ii rmp
o rcm
ri ir
mi
cm
X Y
Z
icmi rrr
iicmiii rmrmrm
0
cmiii rmrm
cmcmii v Mr Mrm
cmv Mp
Momentum linier sistem terhadap acuan O
0vmp ii
Momentum linier sistem terhadap acuan cm
o
Terhadap O
Terhadap O
Terhadap cm
cmii rrr
0r Mrm rm cmiiii
I Made Padri
Momentum sudut sistem partikel )vm r(L iii
icmi rrr
icmi vvv
)vv(m )rr(L icmiicm
)vm r()vm r()vm r()vm r(L iiicmiiiicmcmicm
)vmr()vrm()vm r(vM rL iiicmiiiicmcmcm
0 0
)vm r( )vM r(L iiicmcm
icm LL
cmii vvv
0v Mvm vm cmiiii
cmii rrr
0r Mrm rm cmiiii
Orbitel Spin I Made Padri
)vv(mvmT iii
2
ii2
1
2
1
icmi vvv
)vv()vv(mT icmicmi2
1
2
iiicmi
2
cmi vm)vv(mvmT2
1
2
1
2
iiiicmi
2
cm vmvmvmvT2
1
2
1
2
ii
2
cm vm2
1vM
2
1T
icm TT
Energi kinetik sistem partikel
0
cmii vvv
0v Mvm vm cmiiii
I Made Padri
GERAK INTERAKSI DUA PARTIKEL
21 rrR
Sistem tertutup
1
2
11 r
m
mrR
21
21
1
1mm
mm
m
Rr
22
1
2 rrm
mR
21
21
2
2mm
mm
m
Rr
21
21
mm
mm
1
1m
Rr
2
2m
Rr
Fdt
rdm
2
2
2
2
2
1
2
1dt
Rd
dt
rdm
2
2
2
2
2
2dt
Rd
dt
rdm
R2
2
e)R(ƒdt
Rd
R cm
m1
1r
m2 2r
0mm
rmrmr
21
2211cm
0rmrm 2211
Massa reduksi
I Made Padri
2R
k)R(ƒ GMmk
23
21
a)GM(2τ
R22
2
eR
)Mm(G
dt
Rd
mM
Mm
R22
2
eR
m)mM(G
dt
Rdm
2R
'k)R(ƒ
m)mM(G'k
2
3
2
1
a)'k
m(2τ'
23
21
a)]mM(G[2τ'
CONTOH INTERAKSI MATAHARI DAN PLANET
2
3
2
1
a)k
m(2τ Matahari sebagai acuan :
Pusat massa sebagai acuan :
Dikoreksi
Periodenya :
I Made Padri
TUMBUKAN DUA PARTIKEL
'
2
'
121 pppp
QTTTT '
2
'
121
Q = 0
Q > 0
Q < 0
Elastis
Exoergic
Endoergic
Penambahan / pengurangan energi kinetik
KASUS TUMBUKAN SATU DIMENSI
PADA SAAT TUMBUKAN
0Fext
'
22
'
112211 vmvmvmvm
Qm2
p
m2
p
m2
p
m2
p
2
2'
2
1
2'
1
2
2
2
1
2
1
m1 m2
'
2
'
121 pppp
I Made Padri
m1 m2
v1 v’1 v2 v’
2
m1 = m2
'
22
'
112211 xm xmxmxm
v
'v
xx
xx ε
12
'
1
'
2
21
222121'
1mm
x)εmm(x)εmm(x
21
212111'
2mm
x)εmm(x)εmm(x
)ε1(v2
1Q 22
Koefisien restitusi
0ε Sama sekali tidak elastis
'
2
'
1 xx
Setelah tumbukan kecepatan kedua partikel sama
1ε Elastis sempurna
1
'
2
2
'
1
xx
xx
Setelah tumbukan terjadi pertukaran kecepatan
21
21
mm
mmμ
12 xx v
Q 'T 'TTT 2121
)'TT()'TT(Q 2211
I Made Padri
Lanjutan
a. Acuan koordinat laboratorium
'
2
'
121 pppp
Qm2
p
m2
p
m2
p
m2
p
2
2'
2
1
2'
1
2
2
2
1
2
1
mQ2ppp2'
2
2'
1
2
1
) pp ( ) pp (p p '
2
'
1
'
2
'
111 . .
'
2
'
1
2'
2
2'
1
2
1 p p2ppp .
mQ2p p2 '
2
'
1 .
mQp p '
2
'
1 .
0Q
0p p '
2
'
1 .
m1 1p m2
0p2
m1
m2
'
1p
'
2p
1
2
KASUS TUMBUKAN DUA DIMENSI
0p2
21 mm '
2
'
11 ppp
Elastis sempurna 0
21 90
Setelah tumbukan arah gerak kedua partikel saling tegak lurus I Made Padri
b. Acuan koordinat pusat massa
Qm2
p
m2
p
m2
p
m2
p
2
2'
2
1
2'
1
2
2
2
1
2
1
Q2
p
2
p2'
1
2
1
21
2211cm
mm
vmvmv
21
11cm
mm
vmv
1
121
121 v
mmm
vmv
2
221
212 v
mmm
vmv
Q2
p
2
p2'
2
2
2
0pp 21
21
21
mm
mmμ
0p
Difinisi pusat massa
dan
0v2
cm11 vvv
m1
m1
m2
m2
1v
'
1v
2v'
2v
cm 0pp '
2
'
1
cm22 vvv
I Made Padri
sinvsinv '
11
'
1
cm
'
11
'
1 vcosvcosv
'
1
cm
v
vγ
θcos
θsintan 1
vcm
Diagram vektor kecepatannya
0Q
11 p'p 11 v'v
'
12
11
vm
vm
)mm( 21
1
)2(1
2)(2
Secara umum
21
2
1
2
1 )m
m1(
T
Q1
m
m
21
11cm
mm
vmv
21
121
mm
vmv
Elastis sempurna
12 m m 12 m m
1
'
1v '
1vθ
ф1
Hubungan kedua sudut hamburannya
I Made Padri
Lanjutan
mo ∆m
GERAK BENDA DENGAN MASSA BERUBAH
terhadap m0 u
terhadap pengamat inersial
t
v0
ptFext
)t( total)tt( totalext pptF
)]vu(mvm[)vv)(mm(tF 00000ext
(u + v0)
t
mu
t
v)mm(F 0ext
0t
muvmFext
Gaya gravitasi Gaya dorong Gaya gesekan
(v0+∆v)
(t+∆t)
I Made Padri
mo ∆m
t
vu
mvvmFext
v0 mo
dt
)vm(d
1. Partikel Hujan Bergerak Dalam Kabut
Diam terhadap pengamat inersial
∆t) t
(v0+∆v) mo
muvmFext
v0 mo
(t+∆t)
(v0+∆v) terhadap m0
u
terhadap pengamat
inersial (-u + v0)
I Made Padri
2. Sistem Roket
mm
m
mo ∆m
mo mo -∆m
muvm
0Fext
m
m
v
v 00m
dmuvd
m
mln uvv 0
0
)t( total)tt( totalext pptF
00000ext vm)]vu(m[)vv)(mm(tF
t
mu
t
v)mm(F 0ext
0t
muvmFext
I Made Padri
Lanjutan
TUGAS PEKERJAAN RUMAH - 6
BUKU FOWLES :
I Made Padri
Halaman : 187
Soal nomor : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, 12, 13, 14,
15, 16, 17, 18, 19, 20,
21, 22
ROTASI BENDA TEGAR PADA SUMBU TETAP
I Made Padri
APA YANG DIMAKSUD DENGAN BENDA TEGAR ?
APA PERBEDAAN GERAK TRANSLASI DAN GERAK ROTASI ?
BAGAIMANA CARA MENENTUKAN PUSAT MASSA BENDA TEGAR
BAGAIMANA PERNYATAAN ENERGI KINETIK DAN MOMENTUM SUDUT
ROTASI BENDA TEGAR PADA SUMBU TETAP ?
BAGAIMANA HUBUNGAN ANTARA MOMENTUM SUDUT DAN TORSI
ROTASI BENDA TEGAR PADA SUMBU TETAP ?
BAGAIMANA ANALOGI BERPIKIR ANTARA GERAK TRANSLASI DAN
GERAK ROTASI PADA SUMBU TETAP ?
BAGAIMANA CARA MENENTUKAN MOMEN KELEMBAMAN ROTASI
BENDA TEGAR PADA SUMBU TETAP ?
BAGAIMANA CARA MENGANALISIS AYUNAN BANDUL FISIS ?
APA YANG DIMAKSUD DENGAN GERAK LAMINER ?
BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK LAMINER ?
PUSAT MASSA
Sistem partikel
i
iicm
m
rmr
Benda tegar
dm
dmrrcm
dVdm
Benda dua dimensi : Benda satu dimensi :
? )Z ,Y ,(X cmcmcm
dS dV
dL dV
dV
dVrrcm
I Made Padri
Pusat massa kerucut pejal
x
dx
dz
X
Y
Z
h
z
Elemen volume
(dV)
R
dV
dV zzcm
h
0
x
0
zdz xdx 2dz dx x 2 z
4
hRzdz
h2
Rz 2zdz
2
x2
22h
0
2
22h
0
2
dz dx x 2dV h
zRx
h
z
R
xdan
dz dx x 2
dz dx x 2 z
h
0
x
0
dz dx x 2dz dx x 23
hRdz h2
Rz 2dz
2
x 2
2h
0
2
22h
0
2
Maka :
hR
hRZ
2
22
cm
3141
I Made Padri
(dari puncak) hZ4 3
cm
ROTASI PADA SUMBU TETAP
φi ri vi
ω
Z
Y
X
ii rx ωv
iii yjxir
iiii ysinrx
0z i xi
yi
mi
2
i
2
i
2
i yxr
iii cosrx
iii sinry
iiii xcosry
0z i
Lanjutan
MOMEN KELEMBAMAN DAN ENERGI KINETIK
Sistem partikel
2
iirot vm2
1T
rv 22
iirot )rm(2
1T
2
iiz rmI )yx(mI 2
i
2
iiz
)yx(r 2
i
2
i
2
i
Benda tegar
dm rI2
z dm )y(xI22
z
Momen kelembaman terhadap sumbu tetap Z 2
zrot ωI2
1T
Energi kinetik rotasi terhadap sumbu tetap Z I Made Padri
MOMENTUM SUDUT DAN TORSI
Sistem partikel
iii rm xrL
iii yjxir
iii yjxir
ii yx ii xy
0z i
)yx(mL 2
i
2
iiz
2
i
2
i
2
i yxr 2
iiz rmI
ωIL zz
dt
LdN
dt
LdN z
z
Terhadap Sumbu tetap Z
ωIN zz
Iz= konstan
Momentum sudut terhadap sumbu tetap Z
//L
Torsi terhadap sumbu tetap Z
I Made Padri
YAITU UKURAN BESARNYA SIFAT KELEMBAMAN ROTASI SUATU BENDA
RELATIF TERHADAP SUMBU TERTENTU
ANALOGI BERPIKIR ANTARA GERAK TRANSLASI
DAN GERAK ROTASI PADA SUMBU TETAP
Translasi pada sumbu X Rotasi terhadap sumbu Z
Momentum linier
Gaya
Energi kinetik
Momentum sudut
Torsi
Energi kinetik
xx vmp
xvmF
2
xmv2
1T
zz IL
zz IN
2
zI2
1T
Konsep momen kelembaman ( I ) pada gerak rotasi analog dengan konsep massa kelembaman ( m )
pada gerak translasi
I Made Padri
dmrI 2 MkI 2
PERHITUNGAN MOMEM KELEMBAMAN
Dalil Sumbu Tegak
Elemen massa
Jarak tegak lurus elemen
massa ke sumbu rotasi Jarak dari sumbu rotasi ke suatu titik
yang mewakili massa benda
(Jari-jari girasi)
I Made Padri
)yx(mI 2
i
2
iiz
2
iix ymI
2
iiy xmI
yxz III
Benda terletak pada bidang XY
Iz
Iy
Ix
xi
yi mi
zi = 0
ri
Dalil Sumbu Sejajar
ir
cmrir
mi
cm
O
Y
Z
X
)yx(mI 2
i
2
iiz
icmi rrr
2
icm
2
icmiz )yy()xx( mI
iicmiicm
2
cm
2
cmi
2
i
2
iiz ymy2xmx2)yx(m)yx(mI
l
Difinisi pusat massa
0ymxm iiii 2
cm
2
cm
2 yxl
2
cmz mlII I Made Padri
Y
Z
X
Momen kelembaman parallelepiped tegak lurus
dmm dv
dm
V
m
dy a2 h
dm
b2 a2 h
m dy
b2
mdm
dm y dI dI 2
zz ,
dmydm)a2( 22
121
dyb2
mydy
b2
ma 22
31
dyyb2
mdy
b6
ma 22
zz dII
b
a
Z
Y
X
Z’
h
y
dy
dm
m
dyyb2
mdy
b6
mab
b
2
b
b
2
b
b
3b
b
2
3
y
b2
m
b6
ma)y(
332
bbb2
m)bb(
b6
ma31
31
22 ba3
m
I Made Padri
(Dalil sumbu sejajar)
BANDUL FISIS
IN
sin
0I
mgl
0sinI
mgl Isin l mg
I
mgl0
mgl
I20
gl
k2
2
cm
o
O’
l
l’ )tcos( 00
Rotasi di O
Rotasi di O’
22
cm
2 l'kk
'gl
'lk2
22
cm'0
Jika : '00
O’ = pusat osilasi terhadap o
2
cmk'll
mg
2
cm mlII 22
cm
2 mlmkmk 22
cm
2 lkk
gl
lk 2
22
cm0
I Made Padri
EmghI2
1 2 sin
EVT
0
Pada saat apmlitudo maksimum :
0 0T
)cos1(mglE 0
)cos1(mgl)cos1(mglI 0
2
2
1
)cos(cosI
mgl2
dt
d0
0
2/1
0 )cos(cos
d
mgl2
It
)2/sin()k/1()2/sin(
)2/sin(sin
0
2/
0
2/122 sink1
d
mgl
I4
)-(
Hukum kekekalan energi mekanik :
)2
,k(F mgl
I 4
I Made Padri
0
2/122 sink1
d
mgl
It
)-(
)2/(sin21cos 2
Lihat tabel Integral eliptik
Lanjutan
GERAK LAMINER
MENGGELINDING DI ATAS BIDANG MIRING TANPA SLIP
θ mg
mg sinθ
mg cosθ
FN
f R
Persamaan gerak translasi
fcm Fsinmgxm Ncm Fcosmgym
cmy
0ycm
cosmgFN
Persamaan gerak rotasi
IR F cmf
IN
konstan
cmy ymF
cmx xmF
Rx cm
fxR
Icm2
cm
2
cmcm
R
Im
sinmgx
Silinder 2
cm mRI21
singx32
cm
I Made Padri
SYARAT AGAR TIDAK TERJADI SLIP
cosmgFF Nf
fcm Fsinmgxm IR F cmf
cmIR cosmg cosmgsinmgxm cm
2
cmcm k
R cosg
I
R cosmg
)cos(singxcm
0 0x0t cm
Integrasi
tI
R cosmg
cm
t)cos(singxcm
R1
tan
R
kx
2
2
cmcm
Syaratnya : 11tan
R
k2
2
cm
22
cm
kritis
k/R1
tan
Rotasi
Translasi
I Made Padri
Lanjutan
TUGAS PEKERJAAN RUMAH - 7
BUKU FOWLES : Halaman : 215
Soal nomor :
I Made Padri
1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9,
10, 11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 18, 19, 20, 21.
ROTASI BENDA TEGAR PADA SUMBU SEMBARANG
I Made Padri
BAGAIMANA MOMEN INERSIA, MOMENTUM SUDUT DAN ENERGI KINETIK ROTASI
BENDA TEGAR PADA SUMBU SEMBARANG ?
APA YANG DIMAKSUD DENGAN TENSOR INERSIA ?
APA YANG DIMAKSUD DENGAN SUMBU PRINSIPEL ?
BAGAIMANA MOMEN INERSIA, ENERGI KINETIK DAN MOMENTUM SUDUT ROTASI
BENDA TEGAR PADA SUMBU PRINSIPEL
BAGAIMANA CARA MENENTUKAN SUMBU-SUMBU PRINSIPEL
APA YANG DIMAKSUD DENGAN PERSAMAAN EULER’S ?
APAKAH YANG DIMAKSUD DENGAN GERAK PRESISI
FAKTOR APAKAH YANG MEMPENGARUHI FREKUENSI PRESISI KECEPATAN SUDUT
PADA GERAK ROTASI BEBAS ?
APA YANG DIMAKSUD DENGAN SUDUT-SUDUT EULER’S ?
BAGAIMANA CARA MENGANALISIS ROTASI BENDA TEGAR DENGAN
MENGGUNAKAN SUDUT-SUDUT EULER’S ?
APAKAH YANG DIMAKSUD DENGAN GIROSKOP ?
FAKTOR APAKAH YANG MEMPENGARUHI FREKUENSI PRESISI PADA GIROSKOP ?
2
iiRmI
coscosyxm2-coscosxzm2-
coscoszym2- cos)yx(m
cos)xz(mcos)zy(mI
iiiiii
iii
22
i
2
ii
22
i
2
ii
22
i
2
ii
ROTASI PADA SUMBU SEMBARANG
Momen Inersia dan Produk Inersia
coskcosjcosin
nxrsinrR iiii
coscosy2x- coscosx2z-
coscosz2y-cos)yx(
cos)xz(cos)zy(R
iiii
ii
22
i
2
i
22
i
2
i
22
i
2
i
2
i
Sistem partikel
I Made Padri
iiii zkyjxir
vi
mi
R
ri θi
X Y
Z
ω
α
β
γ
n
coscoscoscosI2coscoscosIcosIcosII xyzxyz
2
zz
2
yy
2
xx
Momen Inersia Terhadap Sumbu Rotasi Sembarang ( )
)zy(mI 2
i
2
iixx
)xz(mI 2
i
2
iiyy
)yx(mI 2
i
2
iizz
iiixy yxmI
iiiyz zymI
iiizx xzmI
Momen inersia terhadap
Sumbu X, Y dan Z
Produk inersia terhadap
Sumbu XY, YZ dan ZX
Benda tegar
dm)zy(I 22
xx
dm)xz(I 22
yy
dm)yx(I 22
zz
xydmIxy
yzdmIyz
zxdmIzx
Sistem partikel
Sistem partikel Benda tegar
I Made Padri
Lanjutan
Momentum Sudut
)vm xr(L iii
ii rxv
)rx( xrm[L iii
iiii zkyjxir
zyx kji
iiziiy
2
i
2
ixxii zxyx)zy()rx(xr
iiiziiiy
2
i
2
iixx zxmyxm)zy(mL
iiixiiiz
2
i
2
iiyy xymzym)xz(mL
iiiyiiix
2
i
2
iizz yzmxzm)yx(mL
zyx LkLjLiL ˆˆˆ
zxzyxyxxx II I
xyxzyzyyy III
yzyxzxzzz III
iixiiz
2
i
2
iyyii xyzy)xz()rx(xr
iiyiix
2
i
2
izzii yzxz)yx()rx(xr
I Made Padri
Energi Kinetik Rotasi
iiirot vvmT21
ii rxv
iiirot vm)rx(T21
CxBAC)BxA(
)vm x r(T iiirot 21
)vm xr(L iii
)LLL(LT zzyyxxrot 21
21
zxzyxyxxxx IIIL
zyzyyyxyxy IIIL
zzzyzyxzxz IIIL
)I2I2I2III(T zyyzzxxzyxxy
2
zzz
2
yyy
2
xxxrot 21
I Made Padri
Tensor Inersia
zyx LkLjLiL
)LLL(T zzyyxxrot 21
zxzyxyxxxx II I L
xyxzyzyyyy III L
yzyxzxzzzz III L
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
z
y
x
III
III
III
L
L
L
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zyxrot
III
III
III
2
1T
ω IL ~~
ω I ω2
1T
T ~
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
III
III
III
I
Tensor Inersia
I Made Padri
245coscosx
0
1
1
2
~
0112
T
dm)zy(I 22
xx dxdyy2 a
0
a
0
2 dxdyy4a
3
1
2
yyxxzz ma3
2I II
dmxyIxy dxdy y x
a
0
a
0
ydyxdx 4a4
1 2ma
4
1
0II yzxz
Contoh :
245coscosy
090coscosz
dy dx dm 2a m
Plat tipis homogen (z = 0)
α
β
γ
a
a
ω
X
Y
Z
dm)zx(I 22
yy dxdyx2 a
0
a
0
2 dydxx4a
3
1 2ma
3
1
coscosI2coscosI2coscoscoscosIcosII yzxzxy
2
zz
2
yy
2
xx
coscoscoscosI xy
2
yy
2
xx
222222 ma12
1)
2
1( )
2
1( )ma
4
1(2)
2
1(ma
3
1)
2
1(ma
3
1
I Made Padri
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
III
III
III
I
3ma200
03
ma4
ma
04
ma3
ma
2
22
22
~ IL~
0
1
1
2
800
043
034
12
ma 2
0 0 0
043
0 3 4
212
ma 2
0
1
1
212
ma 2
zyx LkLjLiL
0
212
maj
212
mai
22
22
2
)1()1(212
maL
2ma12
1
~ I 2
1T T
R
0
1
1
2
000
043
034
12
ma 011
22
1 2
0 0 0
043
0 3 4
011 48
ma
22
0
1
1
011 48
ma
22
)]011[(48
ma 22
22ma
24
1
I Made Padri
Lanjutan
SUMBU PRINSIPEL SUMBU ROTASI PADA SUATU BENDA YANG MENGHASILKAN PRODUK INERSIA NOL
2
3
2
2
2
1 cosIcosIcosII
333222111 IeIeIeL
)III(T2
33
2
22
2
11R 2
1
Berotasi bersama benda (tidak inersial) 0III yzxzxy
1xx II
2yy II
3zz II
1x
2y
3z
1ei
2ej
3ek
Momen prinsipel
I Made Padri
Momen inersia, momentum sudut dan enegi kinetik rotasi
terhadap sumbu prinsipel
Bagaimana cara menentukah Subu-sumbu
Prinsipel
?
a. Jika Salah Satu Sumbu Prisipel Diketahui (Z) 0II yzxz
Dua sumbu prinsipel lainnya Berada pada bidang XY
pII
pIL
xpyxyxxxx IIIL ypyyyxxyy IIIL 0Lz
yyxx
xy
II
I22tan
Sudut antara sumbu prinsipel
terhadap sumbu X adalah θ
x
ytan
pxyxx ItanII tanItanII pyyxxy
)1(tanItan)II( 2
xyxxyy
)tan1(
tan22tan
2
I Made Padri
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
III
III
III
I
3ma2
3ma
4ma
4ma
3ma
2
22
22
00
0
0
Sumbu Z adalah salah satu sumbu prinsipel
0I
0I
zy
zx
Telah diperoleh bahwa
3
ma
3
ma
)4
ma(2
22
2
2cos
2sin02cos
2
3 ;
22
oo 135dan 45
Dua sumbu prinsipel lainnya berada di bidang (XY)
membentuk sudut θ terhadap sumbu (X)
45
135
ω
X
Y
3
1
2 a
a
yyxx
xy
II
I22tan
Contoh :
Z
I Made Padri
b. Dengan Cara Diagonalisasi
3ma2
3ma
4ma
4ma
3ma
2
22
2
00
0
0
I
0
)(00
0)(ma
0)(
3ma2
3ma2
41
4ma
3ma
2
2
22
Sehingga :
3
2
1
I00
0I0
00I
I
32
127
121
2
00
00
00
ma
0])4/ma(})3/ma[{( ])3/ma2[( 22222
0])3/ma2[( 2
)3/a m2( 2
3
0)4/ma()])3/ma[( 2222
)4/ma()3/ma( 22
)4/ma()3/ma( 22
)12/ma( 2
1 dan )12/ma7( 2
2
I Made Padri
Terhadap sumbu prinsipel //L
~ ~ IL~
cos
cos
cos
cos
cos
cos
III
III
III
L
L
L
3
2
1
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
z
y
x
cos
cos
cos
cosIcosIcosI
cosIcosIcosI
cosIcosIcosI
3
2
1
zzzyzx
yzyyxy
xzxyxx
Karena ω ≠ 0, maka : 0
cos)I(cosIcosI
cosIcos)I(cosI
cosIcosIcos)I(
3zzzyzx
yz2yyyx
xzxy1xx
I Made Padri
Lanjutan
Sumbu Z salah satu sumbu prinsipel
2
Cos γ = 0
0II yzxz
Maka : 0cosIcos)I( xy1xx
0cos)I(cosI 2yyyx
0cos)4
ma(cos)
12
ma
3
ma(
222
cos4
macos
12
ma3 22
coscos
Karena : 1coscoscos 222
Maka : 1coscos 22
1cos2 2
)2/1(cos 00 135 ;45
I Made Padri
Lanjutan
L x )dt
Ld()
dt
Ld( Rotfix
L x )dt
Ld(N Rot
PERSAMAAN EULER’S
dt
LdN
Acuan sumbu prinsipel (tidak inersial)
332211
321
321
321
321
321
III
eee
LLL
eee
L
0321
)II(N 23321
)II(N 31132
)II(N 12213
032
0NNN 321
Berotasi pada sumbu tetap dengan ω kostan, diperlukan torsi ekternal
c
111 )Lx (LN
222 )Lx (LN
333 )Lx (LN
)II(IN 2332111
)II(IN 3113222
)II(IN 1221333
1
Berotasi pada sumbuprinsipel dengan ω konstan, tidak diperlukan torsi ekternal
Komponen torsi pada sumbu prinsipel (persamaan Euler’s)
I Made Padri
0NNN 321 S3 II III 21
0)II(I S321 0)II(I S132
0I 3s
011
012
3S
I
II
tcos01 tsin02
cos)1I
I( S
Persamaan Euler’s
3 = konstan
01
2
1
01
2
2
ROTASI BEBAS
I Made Padri
3
0
o
3
2
1
Body cone
Frekuensi presisi terhadap sumbu simetri
Frekuensi presisi
Untuk menyatakan orientasi benda di dalam ruang
X X’
Y
Z
Z’ ω L
1
2 Y’
3
o φ Ψ
α
sinΨecosΨe'i 21
cosΨesinΨe'j 21
3e'k
sinθ'jcosθ'kk
Untuk perputaran kecil di sekitar :
3eΨk'iθω
'i dθ
k d
3e dΨ
SUDUT EULER’S
( θ, φ, Ψ )
I Made Padri
θ
)cos(e)sincossin(e
)sinsincosθ(eω
32
1
sinsinθcosψθω1
sinψθcossinθω2
cos3
)cos('ksin'j'i
'x
sin'y
cos'z
Karena :
= Vektor rotasi (1, 2, 3) terhadap (X, Y, Z) ' = Vektor rotasi (X’, Y’, Z’) terhadap (X, Y, Z)
= Vektor rotasi (1, 2, 3) terhadap (X’, Y’, Z’)
Maka :
'
k)cos('ksin'j'i'
cos'ksin'j'i'
'x'
sin' 'y
cos' 'z
)Z',Y',(X' pada' Komponen
(1,2,3)sumbu padaKomponen
)Z',Y',(X'sumbu pada Komponen
I Made Padri
Lanjutan
UNTUK KASUS : )0N(
CL
(Pada sumbu Z) III 21
s3 II Dari gambar diperoleh :
0L 'x
sinLL 'y
cosLL 'z
0'x
sin'y
cos'z
tanL
L
'z
'y
tanI
Itan
s
sinIL 'y
cosIL s'z
IIs L
Terletak antara
dan sumbu simetri Z’ Benda pipih :
dan sumbu utama 3 sebagai sumbu simetri
tanII
L
L
z'z
'y
IIs L
Terletak antara
dan sumbu simetri Z’ Benda panjang :
ω L Z’
Y’ Body cone
Space cone
Y’
ω L Z’ Space cone
Body cone
I Made Padri
sin'y
sin'y
sin
sin 2
1
2
2
2
s ]cos)1I
I(1[
Torsi gaya gravitasi
GIROSKOP
sin l mgN x'
0N y'
0N z'
'x
sin'y
cos'z
IIL 'x'x'x'x
sinIIL 'y'y'y'y
SI)cosIIL s3'z'z'z'x (
Pada kasus tersebut sumbu simetri Z’ berpresisi terhadap dan dalam waktu yang sama berpresisi terhadap dengan frekuensi :
L
mg l
θ
IL
Z
Y’ Z’
Y
Z’
Z
Y’
Y
X X’
2
3
φ Ψ
θ
I Made Padri
1
Lanjutan
L x ')dt
Ld(N rot
sincosIsinsIIsinmgl 2
s
cosIsIsindt
dI0 s
sI0 s konstan sIL sz '
konstancossIsinI s
2
cdan 90o 0
sImgl sdt
ldN
sI
mgl
s
)90(tidak tankons o 0
cosIsImgl s
cosI2
)cosI mgl4sI(sI 2
1
22
ss
cosI mgl 4sI 22
s
0
I mgl 4sI 22
s
Keadan kusus dari penyataan umum
Fast dan slow precession hanya mungkin jika :
Steady precession
Sleeping top :
I Made Padri
Lanjutan
TUGAS PEKERJAAN RUMAH - 8
BUKU FOWLES : Halaman : 256
I Made Padri
Soal nomor : 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 16, 17, 19, 20, 21, 22
MEKANIKA LAGRANGE
I Made Padri
APA YANG DIMAKSUD DENGAN MEKANIKA LAGRANGE’S ?
APA YANG DIMAKSUD DENGAN KOORDINAT UMUM ?
APA YANG DIMAKSUD DENGAN SISTEM HOLONOMIK ?
APA YANG DIMAKSUD DENGAN GAYA UMUM ?
BAGAIMANA BENTUK UMUM PERSAMAAN LAGRANGE’S ?
APA YANG DIMAKSUD DENGAN FUNGSI LAGRANGE’S ?
BAGAIMANA BENTUK PERSAMAAN LAGRANGE’S DALAM MEDAN
KONSERVATIF ?
APA YANG DIMAKSUD DENGAN MOMENTUM UMUM ?
APA YANG DIMAKSUD DENGAN FUNGSI HAMILTON ?
BAGAIMANA BENTUK PERSAMAAN KANONIK HAMILTON ?
BAGAIMANA CARA MEMPEROLEH PERSAMAAN GERAK SUATU SISTEM
MEKANIK DENGAN MENGGUNAKAN PERSAMAAN LAGRANGE’S DAN
HAMILTON ?
Konfigurasi sistem
KOORDINAT UMUM
DK=3N DK=3
N partikel 1 partikel Terkendala
DK<3N DK<3
f kendala
Ada (3N-f) variabel independen (koordinat umum) yang dapat
dipakai untuk menyatakan konfigurasi suatu sistem
qk=q1,q2,q3,………..…q(3N-f)
Dengan k = 1,2,3,……(3N-f)
Bebas Bebas
Kendala holonomik
Kendala tidak holonomik
DK=koordinat umum DK< koordinat umum
Mekanika Lagrange Memformulasikan
suatu sistem I Made Padri
DK=3N-f
KOORDINAT KARTESIAN
SEBAGAI FUNGSI DARI KOORDINAT UMUM
Andaikan terjadi perubahan q dari (q1, q2, . . . . . .) menjadi (q1 + δ1, q2 + δ2, . . . . . .)
maka perubahan yang berkaitan dengan koordinat kartesian adalah :
x = x (q) (satu dimensi) = 1 dk
x = x (q1, q2)
y = y (q1, q2) (dua dimensi) = 2 dk
x = x (q1, q2, q3)
y = y (q1, q2, q3)
z = z (q1, q2, q3)
(tiga dimensi) = 3 dk
xq
q
xx 2
2
1
1
......q
q
yq
q
yy 2
2
1
1
......q
q
zq
q
zz 2
2
1
1
Untuk sebuah partikel :
Contoh : Sebuah partikel bergerak dalam bidang
Dalam koordinat polar (r, ) 21 qdan rq
Dengan : sinr),r(yydan cosr),r(xx
Perubahan (x, y) yang berkaitan dengan variasi (r, ) adalah :
sinrrcos
xr
r
xx
cosrrsin
yr
r
yy
r
cosrsin
sinrcos
y
x
I Made Padri
GAYA UMUM Usaha : rFW
zzyyxx FFF
i = 1, 2, 3 untuk satu partikel
i = 1, 2, . . ., 3N untuk N partikel
i
xi iFW
k
k
k
ix q
q
xi
k
k i k
ii q
q
xFW
i
kk q QW
i k
iik
q
xFQ
Gaya umum
Medan konservatif
i
ix
vF
i k
i
i
kq
x
x
vQ
k
kq
vQ
Banyak partikel
n
1k
k
k
ii q
q
xx
n
1k
k
k
ii q
q
yy
n
1k
k
k
iz q
q
zi
dk = n, koordinat umum (q1, q2, q3, ……qn)
Perubahan konfigurasi dari (q1, q2, . . . qn) menjadi (q1 + δ1, q2 + δ2, . . . qn+ δqn)
Partikel (i) bergerak dari titik (xi, yi, zi) ke (xi+δxi, yi+δyi, zi+ δzi )
Perubahan yang berkaiatan dengan koordinat kartesian adalah :
I Made Padri
Lanjutan
PERSAMAAN LAGRANGE’S
N
1i
2
i
2
i
2
ii zyxmT2
1 2
i
N3
1i2
1 x m T
Dengan : t,.q . . . ,q ,qxx n21ii
t
xq
q
xx i
k
k
k
ii
k
i
k
i
q
x
q
x
k
k
k q
TQ
q
T
dt
d
Persamaan Lagrange’s tentang gerak
ix Tidak f(t) 0t
x i
k
ii
k
ii
q
xx
dt
d
q
xx
dt
d
k
ii
k
ii
k
ii
q
xx
q
xx
q
xx
dt
d
iii xmF
2
xm
xxm
2
xm
qdt
d 2
ii
kk
iii
2
ii
k
Hukum Newton :
Energi Kinetik :
I Made Padri
k
kkq
V'QQ
Fungsi Lagrange’s
L = T - V T dan V dalam koordinat umum
kkk q
V
q
T
q
L
kk q
T
q
L
kk q
L
q
L
dt
d
gaya umum tidak konservatif
k
k
k q
L'Q
q
L
dt
d
Gaya umum konservatif k
kq
VQ
kkk q
V
q
T
q
T
dt
d
V Tidak )q(f k
0q
V
k
kkk q
V
q
T
q
L
I Made Padri
Lanjutan
Contoh :
1 Bandul sederhana
L
m L(1-cosθ)
X
Y
Koordinat umum : q =
Energi kinetik : 22mLT2
1
Energi potensial : )cos1(mgLV
Fungsi Lagrange : VTL
)cos1(mglmlL 22
2
1
2mlL
sinmgl
L dan
LL
dt
d sinmglml
dt
d 2
sinmglml2 0sinl
g
I Made Padri
2 Gerak Partikel yang dipengaruhi gaya sentral
Koordinat umum : q1 = r dan q2 =
Energi kinetik : 2222 rrmmvT2
1
2
1
Energi potensial : )r(VV
Fungsi Lagrange : )r(VrrmVTL 2222
1
2mrL
0L
dan
rmr
L
)r(Fmr)r(V
rmr
r
L 22
dan
r
L
r
L
dt
d
LL
dt
d
)r(Fmrrmdt
d 2
)r(Frrm 2
0mrdt
d 2
tankonsmr2
hr2 I Made Padri
MOMENTUM UMUM
x mP 2x mT
2
1
x
TP
k
kq
VLP
VTL
k
kq
LP
0
q
L
q
L
dt
d
kk
kqVV
0q
V
k
0q
LP
dt
d
k
k
k
kq
LP
0q
LP
q
konstan P
Ignorable koordinat
Momentum umum
Untuk sistem konservatif
kqx
I Made Padri
FUNGSI DAN PERSAMAAN HAMILTON
LpqH kk
)q(V)q,q(TL kkk
kk q
T
q
L
k
kkkq
Lqpq
k
k
k
k
k
Hp
p
HH
VTT2LT2H
VTH
Fungsi Hamilton
Lq ,pqpq ,pH kkkkkk
k
k
kkkkk qq
Lq
q
LpqqpH
kkkkkkkk qpqppqqpH
kkkk qppqH
k
k
qp
H
k
k
pq
H
Persamaan KanonikHamilton
dan
k
kkkq
Tqpq
Teorema Euler untuk fungsi homogen
T2pq kk
I Made Padri
kk q ,pH
Contoh : Pesawat Atwood
M2
(L-x)
M1
x
a
Panjang tali : L
Koordinat umum : q = X
Energi kinetik :
Energi Potensial :
Fungsi Hamilton : H = T + V
2
22
2
2
1 axIxmxmT
2
1
2
1
2
1
)xL(gmgxmV 21
)xL(gmgxmaxIxmxmH 21
2
2
2
1 2
2
2
1
2
1
2
1
xpx
H
x21 pgmgm
xpx
T
x221 pa
xIxmxm
x221 pa
xIxmxm
Maka :
gmgm 21 221a
xIxmxm
)a/(I(mm
gmmX
2
21
21
I Made Padri
TUGAS PEKERJAAN RUMAH - 9
BUKU FOWLES : Halaman : 280
Soal nomor : 1, 2, 3, 5, 6, 14, 19.
I Made Padri
Buku Sumber
I Made Padri
FI.394
Alonso Marselo, Finn. J. Edward, (1973), Fundamental University
Physics I (Mechanics), Addison-Wesly Publishing Company,
Massachusetts
Arya, P. A, (1990), Introduction to Classicval Mechanics, Printice Hall
Publishing, New Jersey
Barger Vernon, Olson Martin, (1995), Classical Mechanics a
Modern Perspective, McGaw-Hill, New York
Fowles. R. Grant, (1986), Analytical Mechanics, Sounders College
Publishing, Philadelphia
Symon. R. Keith, (1961), Mechanics, Addison-Wesley Publishing
Company, Massachusetts
Spiegel, R. Murray, (1982), Theoritical Mechanics, McGraw-Hill, New
York