HANDOUT

ADVANCED MATHEMATICAL THINKINGAND HABITS OF MIND

OlehUtari Sumarmo

Disajikan pada PerkuliahanIsyu Global dalam Pendidikan Matematika

Oktober 2014

HANDOUT

ADVANCED MATHEMATICAL THINKINGAND HABITS OF MIND

OlehUtari Sumarmo

Disajikan pada PerkuliahanIsyu Global dalam Pendidikan Matematika

Oktober 2014

1

Advanced Mathematical Thinking (AMT)

Secara umum , terdapat tiga level verivikasidalam berpikir matematik (Mason, dalam Tall,(Ed), 1991) yaitu:

meyakinkan diri sendiri (convice yourself),meyakinkan teman (convice a friend), danmeyakinkan lawan (convice an enemy).

Advanced Mathematical Thinking (AMT)

Secara umum , terdapat tiga level verivikasidalam berpikir matematik (Mason, dalam Tall,(Ed), 1991) yaitu:

meyakinkan diri sendiri (convice yourself),meyakinkan teman (convice a friend), danmeyakinkan lawan (convice an enemy).

Advanced Mathematical Thinking (MT)

Istilah yang berelasiHigh Order Mathematical Thinking (HOMT)

versus Low Order Mathematical Thinking(LOMT)

Advanced Mathematical Thinking (AMT) versusElementary Mathematical Thinking (EMT)

Dalam HOMT kadang-kadang termuat AMT yaituproses kognitif yang tidak sederhana, tetapitidak sebaliknya

Advanced Mathematical Thinking (MT)

Istilah yang berelasiHigh Order Mathematical Thinking (HOMT)

versus Low Order Mathematical Thinking(LOMT)

Advanced Mathematical Thinking (AMT) versusElementary Mathematical Thinking (EMT)

Dalam HOMT kadang-kadang termuat AMT yaituproses kognitif yang tidak sederhana, tetapitidak sebaliknya

Istilah lain HOMT: High level mathematicalthinking (HLMT), High order cognitive skill(HOCS); Proses metacognitif, Berpikirterstruktur, dinamik, generik, ilmiah, closed-loop, dan kontinum; berpikir kritis, kreatif, dankonstruktif

Istilah lain LOMT: Low level mathematicalthinking (LLMT), low level cognitive skill (HLCS);procedural process , mechanical process,algorithmic or rutine process

Istilah lain HOMT: High level mathematicalthinking (HLMT), High order cognitive skill(HOCS); Proses metacognitif, Berpikirterstruktur, dinamik, generik, ilmiah, closed-loop, dan kontinum; berpikir kritis, kreatif, dankonstruktif

Istilah lain LOMT: Low level mathematicalthinking (LLMT), low level cognitive skill (HLCS);procedural process , mechanical process,algorithmic or rutine process

Advanced Mthemtical Thinking

Transisi dari EMT ke AMT adalah:

Dari proses melukiskan ke mendefinisikan, darike dari meyakinkan ke membuktikan secaralogik.

Transisi dari LOMT ke HOMT adalah:Dari proses sederhana yang algoritmik atauprosedural ke proses menyadari tindakan yangdilaksanakan atau dari pencapaian pengetahuanhafalan ke pengetahuan yang bermakna.

Advanced Mthemtical Thinking

Transisi dari EMT ke AMT adalah:

Dari proses melukiskan ke mendefinisikan, darike dari meyakinkan ke membuktikan secaralogik.

Transisi dari LOMT ke HOMT adalah:Dari proses sederhana yang algoritmik atauprosedural ke proses menyadari tindakan yangdilaksanakan atau dari pencapaian pengetahuanhafalan ke pengetahuan yang bermakna.

Beberapa proses AMT di antaranya adalah: prosesrepresentasi, proses abstraksi, hubunganrepresentasi dan abstraksi, kreativitas matematis(mathematical creativity), dan bukti matematis(mathematical proof).

Dreyfus (Tall, Ed. 1991) AMT :a) proses representasi,pengalihan dari representasi ke translasi; b) prosesgeneralisasi, sintesis, dan abstraksi; dan c) hubunganantara representasi dan abstraksi.

Ervynck (Tall, Ed. 1991) kreativitas matematikmeliputi: a) tahap-tahap perkembangan kreativitasmatematik, dan b) definisi tentatif, unsur-unsur,karakteristik, motif, hasil, dan kekeliruan dalam kreativitasmatematik.

Beberapa proses AMT di antaranya adalah: prosesrepresentasi, proses abstraksi, hubunganrepresentasi dan abstraksi, kreativitas matematis(mathematical creativity), dan bukti matematis(mathematical proof).

Dreyfus (Tall, Ed. 1991) AMT :a) proses representasi,pengalihan dari representasi ke translasi; b) prosesgeneralisasi, sintesis, dan abstraksi; dan c) hubunganantara representasi dan abstraksi.

Ervynck (Tall, Ed. 1991) kreativitas matematikmeliputi: a) tahap-tahap perkembangan kreativitasmatematik, dan b) definisi tentatif, unsur-unsur,karakteristik, motif, hasil, dan kekeliruan dalam kreativitasmatematik.

Hanna (Tall, Ed. 1991) bukti matematis meliputi:a) penekanan bukti formal,b) pandangan terhadap matematika,c) faktor-faktor dalam bukti yang diterima, dan

penalaran yang hati-hati.

Konsep matematika direpresentasikan melaluicontoh (instance), contoh khusus(spesimen), dan gambaran (image) darikonsep matematika tadi.

Representasi simbol (symbolic representation)atau representasi mental (mentalrepresentation).

Hanna (Tall, Ed. 1991) bukti matematis meliputi:a) penekanan bukti formal,b) pandangan terhadap matematika,c) faktor-faktor dalam bukti yang diterima, dan

penalaran yang hati-hati.

Konsep matematika direpresentasikan melaluicontoh (instance), contoh khusus(spesimen), dan gambaran (image) darikonsep matematika tadi.

Representasi simbol (symbolic representation)atau representasi mental (mentalrepresentation).

7

Contoh Representasi simbolikRepresentasi simbolik konsep luas daerah yangdibatasi oleh kurva f, sumbu X, garis x = a dan x =b adalah:

Contoh representasi mental terlukis ketika:Individu merumuskan, mendefinisikan,mengilustrasikan atau memberi contoh atau non-contoh suatu konsep matematika.Representasi mental dari konsep fungsi, dapatberbentuk grafik, formula aljabar, diagram panah,himpunan pasangan berurutan, dan tabel nilai(Multiple representation)

b

adxxf )(

Contoh Representasi simbolikRepresentasi simbolik konsep luas daerah yangdibatasi oleh kurva f, sumbu X, garis x = a dan x =b adalah:

Contoh representasi mental terlukis ketika:Individu merumuskan, mendefinisikan,mengilustrasikan atau memberi contoh atau non-contoh suatu konsep matematika.Representasi mental dari konsep fungsi, dapatberbentuk grafik, formula aljabar, diagram panah,himpunan pasangan berurutan, dan tabel nilai(Multiple representation)

8

Representasi dan pemodelanPada pemodelan situasi yang disajikan dapat

bersifat phisik dan modelnya bersifatmatematik;

Pada proses representasi, objeknya adalahstruktur matematik dan modelnya adalahstruktur mental.

Tiga proses yang termuat dalam abstraksiadalah: menggeneralisasi, mensintesa, danmengabstrasi

Representasi dan pemodelanPada pemodelan situasi yang disajikan dapat

bersifat phisik dan modelnya bersifatmatematik;

Pada proses representasi, objeknya adalahstruktur matematik dan modelnya adalahstruktur mental.

Tiga proses yang termuat dalam abstraksiadalah: menggeneralisasi, mensintesa, danmengabstrasi

9

Contoh generalisasi:

Dengan menggunakan definisi turunan yaitu:

f’(x) = l i mh 0

Untuk f(x) = x diperoleh f’(x) = 1Untuk f(x) = x2 diperoleh f’(x) = 2 x dan seterusnyaMelalui analogi maka untuk f(x) = xn akan

diperoleh f’(x) = n xn – 1

Proses mensintesa adalah proses mengkombi-nasikan atau menyusun bagian-bagiansedemikian shg membentuk suatu keseluruh-an, kesatuan atau entitas yg berkaitan

hxfhxf )()(

Contoh generalisasi:

Dengan menggunakan definisi turunan yaitu:

f’(x) = l i mh 0

Untuk f(x) = x diperoleh f’(x) = 1Untuk f(x) = x2 diperoleh f’(x) = 2 x dan seterusnyaMelalui analogi maka untuk f(x) = xn akan

diperoleh f’(x) = n xn – 1

Proses mensintesa adalah proses mengkombi-nasikan atau menyusun bagian-bagiansedemikian shg membentuk suatu keseluruh-an, kesatuan atau entitas yg berkaitan

Proses mengabstraksi memuat prosesgeneralisasi dan sintesa yang mendalam dankompleks, bersifat konstruktif, membangunstruktur mental dari struktur matematik,misalnya sifat-sifat dan relasi antar objekmatematik.

Representasi matematik meliputi: memberikancontoh (specimen, example) dan non-contoh,gambaran atau ilustrasi (image); menerjemahkanpernyataan atau masalah matematik ke dalambentuk lainnya (switching representation atautranslating); membuat model matematik dariobjek atau proses matematik.

Proses mengabstraksi memuat prosesgeneralisasi dan sintesa yang mendalam dankompleks, bersifat konstruktif, membangunstruktur mental dari struktur matematik,misalnya sifat-sifat dan relasi antar objekmatematik.

Representasi matematik meliputi: memberikancontoh (specimen, example) dan non-contoh,gambaran atau ilustrasi (image); menerjemahkanpernyataan atau masalah matematik ke dalambentuk lainnya (switching representation atautranslating); membuat model matematik dariobjek atau proses matematik.

11

Kreativitas matematik (mathematical creativity)Ervynck (Tall, Ed. 1991): 3 tahap Kreativitasmatematik :

Tahap 0: tahap teknis awal (belum kreatif)

Tahap 1: Kegiatan algoritmik (belum kreatif)

Tahap 2: Kreatif, konseptual, konstruktif kegiatan.Tahap inilah yang sesungguhnya bersifat kreatif,non-algoritimik, dan kompleks, bersifat divergen,memuat pilihan misalnya memilih konsep tertentuyang akan didefinisikan, dijelaskan ataudibuktikan.

Kreativitas matematik (mathematical creativity)Ervynck (Tall, Ed. 1991): 3 tahap Kreativitasmatematik :

Tahap 0: tahap teknis awal (belum kreatif)

Tahap 1: Kegiatan algoritmik (belum kreatif)

Tahap 2: Kreatif, konseptual, konstruktif kegiatan.Tahap inilah yang sesungguhnya bersifat kreatif,non-algoritimik, dan kompleks, bersifat divergen,memuat pilihan misalnya memilih konsep tertentuyang akan didefinisikan, dijelaskan ataudibuktikan.

12

Ervynck (Tall, Ed. 1991) kreativitas dalam AMTmemuat memformulasi suatu definisi yangbermutu (fluency); memformulasi idea dasarsuatu konteks ke dalam konteks matematik(flexibility), mengkreasi objek-objek matematikyang baru dan menemukan hubungan timbal-balik antar objek-objek itu (originality),menyelesaikan masalah atau mengembangkanstruktur berpikir, menjabarkan logico-deductiveyang asing, dan menyesuaikan konsep yangdigenerasi dan diintegrasikan menjadi konsepmatematik inti yang penting (elaboration).

13

Ervynck (Tall, Ed. 1991) kreativitas dalam AMTmemuat memformulasi suatu definisi yangbermutu (fluency); memformulasi idea dasarsuatu konteks ke dalam konteks matematik(flexibility), mengkreasi objek-objek matematikyang baru dan menemukan hubungan timbal-balik antar objek-objek itu (originality),menyelesaikan masalah atau mengembangkanstruktur berpikir, menjabarkan logico-deductiveyang asing, dan menyesuaikan konsep yangdigenerasi dan diintegrasikan menjadi konsepmatematik inti yang penting (elaboration).

Ervynck (Tall, Ed. 1991) Beberapa langkah dalamkegiatan kreativitas matematik adalah:a) memahami matematika secara mendalam,b) melakukan intuisi terhadap struktur

matematika,c) berimajinasi dan berinspirasi,d) mengubah hasil yang diperoleh ke dalam

bentuk struktur deduktif formal.

14

Ervynck (Tall, Ed. 1991) Beberapa langkah dalamkegiatan kreativitas matematik adalah:a) memahami matematika secara mendalam,b) melakukan intuisi terhadap struktur

matematika,c) berimajinasi dan berinspirasi,d) mengubah hasil yang diperoleh ke dalam

bentuk struktur deduktif formal.

Puccio dan Murdock (Costa, ed., 2001) berpikirkreatif memuat aspek keterampilan kognitif,afektif, dan metakognitif.Keterampilan kognitif tersebut antara lain:a) elaborasi: mengidentifikasi masalah, peluang,

data relevan/tdk relevan, memeriksa danmenilai hubungan antara pilihan dan alternatif,memperluas, memperbaharui rencana/ idea ;

b) fluency: mmenghasilkan banyak ideac) Flexibility: menyusun pertanyaan/idea yang

baik dan berbeda,d) originality: menghasilkan produk atau idea

yang baru, mengubah pola pikir dan kebiasaanlama dan menyusun hubungan baru .

15

Puccio dan Murdock (Costa, ed., 2001) berpikirkreatif memuat aspek keterampilan kognitif,afektif, dan metakognitif.Keterampilan kognitif tersebut antara lain:a) elaborasi: mengidentifikasi masalah, peluang,

data relevan/tdk relevan, memeriksa danmenilai hubungan antara pilihan dan alternatif,memperluas, memperbaharui rencana/ idea ;

b) fluency: mmenghasilkan banyak ideac) Flexibility: menyusun pertanyaan/idea yang

baik dan berbeda,d) originality: menghasilkan produk atau idea

yang baru, mengubah pola pikir dan kebiasaanlama dan menyusun hubungan baru .

Sedang dalam aspek kemampuanmetakognitif,: merancang strategi, menetap-kan tujuan dan keputusan, memprediksiberdasarkan data yang tidak lengkap,memahami kekreatifan dan sesuatu yang tidakdipahami orang lain, mendiagnosa informasiyang tidak lengkap, membuat pertimbanganmultipel, mengatur emosi, dan memajukanelaborasi solusi masalah dan rencana.

16

Sedang dalam aspek kemampuanmetakognitif,: merancang strategi, menetap-kan tujuan dan keputusan, memprediksiberdasarkan data yang tidak lengkap,memahami kekreatifan dan sesuatu yang tidakdipahami orang lain, mendiagnosa informasiyang tidak lengkap, membuat pertimbanganmultipel, mengatur emosi, dan memajukanelaborasi solusi masalah dan rencana.

Silver (1997) dan Sriraman (2004): kreativitasmatematik sebagai kemampuan pemecahanmasalah dan berfikir matematik secara deduktifdan logik.

Krutetskii (Sriraman, 2004) : kreativitas sebagaikemampuan mengabstraksi suatu generalisasikonten matematika.

Briggs dan Davis (2008) menyarankanparadigma baru tentang kreativitas matematiksebagai berikut: matematika tidak selalumenyajikan produk baru, karena menghasilkansolusi dari suatu masalah baru juga merupakanproduk kreatif bagi seseorang. 17

Silver (1997) dan Sriraman (2004): kreativitasmatematik sebagai kemampuan pemecahanmasalah dan berfikir matematik secara deduktifdan logik.

Krutetskii (Sriraman, 2004) : kreativitas sebagaikemampuan mengabstraksi suatu generalisasikonten matematika.

Briggs dan Davis (2008) menyarankanparadigma baru tentang kreativitas matematiksebagai berikut: matematika tidak selalumenyajikan produk baru, karena menghasilkansolusi dari suatu masalah baru juga merupakanproduk kreatif bagi seseorang.

Balka (Mann, 2005) berpikir kreatif matematisadalah berpikir konvergen dan berpikir divergen,yang meliputi:a) Fluency : memformulasi hipotesis matematikab) Elaboration: menentukan pola-pola yang ada

dalam situasi masalah matematis; mengidenti-fikasi informasi yang hilang dari masalah yangdiberikan; kemampuan merinci masalah umumke dalam sub-sub masalah yang lebih spesifik;

c) Originality: memecahkan kebuntuan pikirandengan mengajukan solusi-solusi baru darimasalah matematis, mengemukakan ide-idematematika yang tidak biasa dan dapatmengevaluasi konsekuensi-konsekuensi yangditimbulkannya.

18

Balka (Mann, 2005) berpikir kreatif matematisadalah berpikir konvergen dan berpikir divergen,yang meliputi:a) Fluency : memformulasi hipotesis matematikab) Elaboration: menentukan pola-pola yang ada

dalam situasi masalah matematis; mengidenti-fikasi informasi yang hilang dari masalah yangdiberikan; kemampuan merinci masalah umumke dalam sub-sub masalah yang lebih spesifik;

c) Originality: memecahkan kebuntuan pikirandengan mengajukan solusi-solusi baru darimasalah matematis, mengemukakan ide-idematematika yang tidak biasa dan dapatmengevaluasi konsekuensi-konsekuensi yangditimbulkannya.

Contoh Butir tes berfikir kreatif matematikuntuk mahasiswa (Nurlaelah, 2009)

Berikan sebuah contoh grup G dan sub-grupasli H sehingga G isomorphik dengan H.Kemudian tunjukkan bahwa jawabanmumemenuhi persyaratan yang diperlukan.

Kemampuan melaksanakan pembuktianmatematik meliputi kemampuan membacabukti dan kemampuan mengkonstruksi bukti.

Contoh Butir tes berfikir kreatif matematikuntuk mahasiswa (Nurlaelah, 2009)

Berikan sebuah contoh grup G dan sub-grupasli H sehingga G isomorphik dengan H.Kemudian tunjukkan bahwa jawabanmumemenuhi persyaratan yang diperlukan.

Kemampuan melaksanakan pembuktianmatematik meliputi kemampuan membacabukti dan kemampuan mengkonstruksi bukti.

19

Ditinjau dari tujuannya, empat jenis membaca(Moesono, 2002, dalam Sumarmo, 2004) sbb:Literal reading: membaca untuk memperoleh infor-

masi untuk pemahaman lebih lanjut.Interpretatif reading :membaca untuk menarik

kesimpulan dari isi teks baik yang tersuratmaupun yang tersirat.

Critical reading: membaca untuk mengevaluasi isiteks, membandingkan gagasan yang terdapatdalam teks, dan membuat kesimpulan hasilbandingannya.

Creative reading: membaca untuk mampu menyu-sun gagasan baru, pandangan baru, pendekat-an baru berdasarkan imajinasi terhadap isi teksyang dibaca.

Ditinjau dari tujuannya, empat jenis membaca(Moesono, 2002, dalam Sumarmo, 2004) sbb:Literal reading: membaca untuk memperoleh infor-

masi untuk pemahaman lebih lanjut.Interpretatif reading :membaca untuk menarik

kesimpulan dari isi teks baik yang tersuratmaupun yang tersirat.

Critical reading: membaca untuk mengevaluasi isiteks, membandingkan gagasan yang terdapatdalam teks, dan membuat kesimpulan hasilbandingannya.

Creative reading: membaca untuk mampu menyu-sun gagasan baru, pandangan baru, pendekat-an baru berdasarkan imajinasi terhadap isi teksyang dibaca.

Ditinjau caranya, membaca dapatdiklasifikasikan dalam membaca cepat(efisien), membaca pemahaman (memindai),dan membaca ekstensif.Ada dua jenis membaca cepat yaitumembaca skimming, dan membaca scanning(Moesono, 2002, dalam Sumarmo, 2004).

21

Contoh Butir Tes Membaca Bukti (Kusnandi, 2009)Bacalah argumen berikut dengan teliti.Misalkan a dan b adalah bilangan bulat sehingga ppb (a,b) = 1, maka ppb (2a + b, a + 2b) = 1 atau 3”Bukti pernyataan di atas adalah sebagai berikut:Misalkan ppb (2a + b, a + 2b) = d, jadi berdasarkandefinisi ppb maka d | (2a + b) dan d |(a +2b). Ekspresiini menghasilkan d | 3a dan d | 3b. Kemudian berdasar-kan definisi alternatif ditemukan bahwa d | ppb (3a, 3b)atau d | 3 ppb (a, b). Tetapi ppb (a, b) = 1, jadi d | 3.Karena d > 0 maka nilai d adalah 1 atau 3. Jadi,ppb (2a + b, a + 2b) = 1 atau 3. Dengan menggunakanargumen yang serupa, selesaikanlah soal ini. Jika a danb adalah bilangan asli sehingga ppb (a, b) = 1, tentukannilai ppb (2a + 3b, 3a + 2b)

Contoh Butir Tes Membaca Bukti (Kusnandi, 2009)Bacalah argumen berikut dengan teliti.Misalkan a dan b adalah bilangan bulat sehingga ppb (a,b) = 1, maka ppb (2a + b, a + 2b) = 1 atau 3”Bukti pernyataan di atas adalah sebagai berikut:Misalkan ppb (2a + b, a + 2b) = d, jadi berdasarkandefinisi ppb maka d | (2a + b) dan d |(a +2b). Ekspresiini menghasilkan d | 3a dan d | 3b. Kemudian berdasar-kan definisi alternatif ditemukan bahwa d | ppb (3a, 3b)atau d | 3 ppb (a, b). Tetapi ppb (a, b) = 1, jadi d | 3.Karena d > 0 maka nilai d adalah 1 atau 3. Jadi,ppb (2a + b, a + 2b) = 1 atau 3. Dengan menggunakanargumen yang serupa, selesaikanlah soal ini. Jika a danb adalah bilangan asli sehingga ppb (a, b) = 1, tentukannilai ppb (2a + 3b, 3a + 2b)

22

Mengkonstruksi bukti adalah menyusun suatubukti pernyataan matematik berdasarkandefinisi, prinsip, dan teorema, sertamenuliskannya dalam bentuk pembuktianlengkap (pembuktian langsung atau taklangsung).

Kemampuan ini meliputi: mengidentifikasipremis beserta implikasinya dan kondisi yangmendukung; mengorganisasikan danmemanipulasi fakta untuk menunjukkankebenaran suatu pernyataan; membuatkoneksi antara fakta dengan unsur darikonklusi yang hendak dibuktikan.

23

Mengkonstruksi bukti adalah menyusun suatubukti pernyataan matematik berdasarkandefinisi, prinsip, dan teorema, sertamenuliskannya dalam bentuk pembuktianlengkap (pembuktian langsung atau taklangsung).

Kemampuan ini meliputi: mengidentifikasipremis beserta implikasinya dan kondisi yangmendukung; mengorganisasikan danmemanipulasi fakta untuk menunjukkankebenaran suatu pernyataan; membuatkoneksi antara fakta dengan unsur darikonklusi yang hendak dibuktikan.

Hanna (Tall, Ed. 1991) bukti matematis meliputi: a)penekanan bukti formal, b) pandangan terhadapmatematika, c) faktor-faktor dalam bukti yangditerima, dan penalaran yang hati-hati.

Tall (1991) mengajukan konsep bukti generiksebagai cara untuk meningkatkan pemahamanmembaca bukti suatu pernyataan.

Leron (Tall, 1991) menawarkan bukti terstrukturdengan menggabungkan metode penyajianformal dan informal ke dalam suatu pembuktian,yang bukan bertujuan untuk meyakinkan, tetapiuntuk membantu pembaca dalam meningkatkanpemahamannya terhadap gagasan di belakangbukti itu.

Hanna (Tall, Ed. 1991) bukti matematis meliputi: a)penekanan bukti formal, b) pandangan terhadapmatematika, c) faktor-faktor dalam bukti yangditerima, dan penalaran yang hati-hati.

Tall (1991) mengajukan konsep bukti generiksebagai cara untuk meningkatkan pemahamanmembaca bukti suatu pernyataan.

Leron (Tall, 1991) menawarkan bukti terstrukturdengan menggabungkan metode penyajianformal dan informal ke dalam suatu pembuktian,yang bukan bertujuan untuk meyakinkan, tetapiuntuk membantu pembaca dalam meningkatkanpemahamannya terhadap gagasan di belakangbukti itu.

24

Reiss dan Renkl (2002) mengajukan konsepcontoh-jawab huristik dengan langkah-langkah huristik: 1) mengeksplorasi situasimasalah, 2) membuat konjektur, 3)mengumpulkan informasi untuk memeriksakonjektur, (4) membuktikan konjektur, (5)memeriksa kembali.

Uhlig (2003): pembuktian denganserangkaian deduksi Definition-Lemma-Proof-Theorema-Proof-Corollary, melaluiserangkaian pertanyaan eksploratif: Whathappens if ? Why does it happen ? How dodifferent cases occur ? What is true here ?yang disingkat dengan nama WWHW.

Reiss dan Renkl (2002) mengajukan konsepcontoh-jawab huristik dengan langkah-langkah huristik: 1) mengeksplorasi situasimasalah, 2) membuat konjektur, 3)mengumpulkan informasi untuk memeriksakonjektur, (4) membuktikan konjektur, (5)memeriksa kembali.

Uhlig (2003): pembuktian denganserangkaian deduksi Definition-Lemma-Proof-Theorema-Proof-Corollary, melaluiserangkaian pertanyaan eksploratif: Whathappens if ? Why does it happen ? How dodifferent cases occur ? What is true here ?yang disingkat dengan nama WWHW. 25

Krummheuer (dalam Hoyles & Kuhemann, 2003)untuk menganalisis argumentasi,

Because of So

Data Conclusion

Warrant

Since

26

Gambar1 Skematik untuk MenganalisisArgumentasi

Warrant

Backing

On account of

Contoh Butir tes menyusun bukti matematik(Maya, 2011)

Misalkan R adalah Ring komutatif denganelemen satuan, dan misalkan I adalah Ideal dariR. Buktikan R/I adalah Integral Domain jika danhanya jika I adalah Ideal Prima

27

Contoh Butir tes menyusun bukti matematik(Kusnandi, 2010)

Observe this statement carefully.Suppose a, b, c, d, n1 and n2 are wholenumbers If ab cd (mod n1) and b d (mod n2)then a c (mod n) in which n = gcd (n1, n2) withn and b are relatively prime”. (note: gcd is thegreatest common divisor). Write all premises ofthe statement above and its implication.Write the conclusion of the statement and thenby using definition and or theorem that youknow for determining a condition in oder to findthe conclusion.

Contoh Butir tes menyusun bukti matematik(Kusnandi, 2010)

Observe this statement carefully.Suppose a, b, c, d, n1 and n2 are wholenumbers If ab cd (mod n1) and b d (mod n2)then a c (mod n) in which n = gcd (n1, n2) withn and b are relatively prime”. (note: gcd is thegreatest common divisor). Write all premises ofthe statement above and its implication.Write the conclusion of the statement and thenby using definition and or theorem that youknow for determining a condition in oder to findthe conclusion.

28

16 Indikator Kebiasaan Belajar (HOM)1) Bertahan atau pantang menyerah;2) Mengatur kata hati;3) Mendengarkan pendapat orang lain dengan

rasa empati;4) Berpikir luwes, reflektif, rasa percaya diri,

terbuka dan mampu mengubahpandangannya ketika memperoleh informasitambahan;

5) Berpikir metakognitif yang berarti berfikirapa yang sedang difikirkan;

6) Berusaha bekerja teliti dan tepat;7) Bertanya dan mengajukan masalah secara

efektif;29

16 Indikator Kebiasaan Belajar (HOM)1) Bertahan atau pantang menyerah;2) Mengatur kata hati;3) Mendengarkan pendapat orang lain dengan

rasa empati;4) Berpikir luwes, reflektif, rasa percaya diri,

terbuka dan mampu mengubahpandangannya ketika memperoleh informasitambahan;

5) Berpikir metakognitif yang berarti berfikirapa yang sedang difikirkan;

6) Berusaha bekerja teliti dan tepat;7) Bertanya dan mengajukan masalah secara

efektif;

Indikator Kebiasaan Belajar (HOM)8) Memanfaatkan pengalaman lama dalam

membentuk pengetahuan baru;9) Berfikir dan berkomunikasi secara jelas dan

tepat;10) Memanfaatkan indera dalam

mengumpulkan dan mengolah data;11) Mencipta, berkayal, dan berinovasi;12) Bersemangat dalam merespons;13) Berani bertanggung jawab dan

menghadapi resiko;14) Humoris;15) Berpikir saling bergantungan; dan16) Belajar berkelanjutan.

30

Indikator Kebiasaan Belajar (HOM)8) Memanfaatkan pengalaman lama dalam

membentuk pengetahuan baru;9) Berfikir dan berkomunikasi secara jelas dan

tepat;10) Memanfaatkan indera dalam

mengumpulkan dan mengolah data;11) Mencipta, berkayal, dan berinovasi;12) Bersemangat dalam merespons;13) Berani bertanggung jawab dan

menghadapi resiko;14) Humoris;15) Berpikir saling bergantungan; dan16) Belajar berkelanjutan.

No. Kegiatan, perasaan danpendapat

Ss Sr Kd Jr Js

1. Mencoba cara lain ketikagagal menyelesaikan mas. (+)

2. Memandang sifat humorisdlm belajar mat. merugikan(-)

3. Berpendapat berkhayal dlmbel mat. membuang waktu (-)

Contoh Butir Skala Kebiasaan Berpikir (HOM)

3. Berpendapat berkhayal dlmbel mat. membuang waktu (-)

4. Sabar mendengarkan uraianmatematika yang sulit (+)

5. Merasa nyaman berdiskusi dilingkungan teman baru (+)

6. Menolak perbedaan pendapatketika diskusi mat. (-)

No. Kegiatan, perasaan danpendapat

Ss Sr Kd Jr Js

1. Frustasi ketika menghadapikegagalan menyelesaikanmasalah matematik (-)

2. Memandang kritikan sbghambatan untuk maju (-)

Contoh Butir Skala Kebiasaan Berpikir (HOM)

Memandang kritikan sbghambatan untuk maju (-)

3. Memandang belajar berfikirmatematik adalah tugas anakusia sekolah (-)

4. Sabar mendengarkan uraianmatematika yang sulit (+)

5. Merasa nyaman berdiskusi dilingkungan teman yangpandai matematika (+)