MicroeconomaII. La Teora del ConsumidorProf. Luis Garca NuezLa teora del consumidor se ocupa de estudiar el comportamiento del agente econmico consumidoren el momento de decidir cunto consumir y cmo consumir.II.1 El conjunto de eleccin y las canastas de bienesEn esta teora de la eleccin los consumidores eligen entre mltiples alternativas. En primer lugar sedefine sobre qu conjunto se realiza la eleccin.Definicin: Un conjunto de eleccin es aquel espacio sobre el cual los consumidores eligen lascantidades de bienes a consumir. Dado que no se pueden consumir cantidades negativas, el conjuntode eleccin se limita al ortante positivo en un espacio n-dimensional.Cada elemento del conjunto de eleccin es un paquete de cantidades de los n bienes(x1 , x2 ,, xn )Simplificando el anlisis a dos bienes X, Y en la economa, el conjunto de eleccin est formado porel cuadrante positivo de R2 .yEl conjunto de eleccinXCada punto del conjunto de eleccin es una combinacin de cantidades de los bienes. Estascombinaciones llevan el nombre de canastas.Definicin: Una canasta de consumo (x, y) es un paquete de cantidades de los bienes X e Y, la cualest conformada por x unidades del bien X e y unidades del bien Y.Ejemplo: Si X son Galletas y Y Chocolates,A = (1,2) es una canasta con 1 unidad de Galletas y 2 unidades de Chocolates.B = (5,0) es una canasta con 5 unidad de Galletas y 0 unidades de Chocolates.Ntese que una canasta del tipo C = (-1, 2) no pertenece al conjunto de eleccin pues no pueden existircantidades negativas de alguno de los bienes.II.2 Las preferencias de los consumidoresEl conjunto de eleccin muestra a todas las posibles canastas de bienes que podran existir. Puesto queno todas las canastas tienen el mismo valor para el consumidor, afirmamos que los consumidoresestablecen sus preferencias por las mismas, ordenando las canastas desde las ms preferidas a lasmenos preferidas, y aquellas que son indiferentes entre si.MicroeconomaProf. Luis Garca NuezPara realizar estas comparaciones se establecen relaciones binarias del siguiente tipo: si A y B son doscanastas de bienes, entoncesA f B significa "el consumidor prefiere la canasta A en vez de la canasta B"A ~ B significa "el consumidor se encuentra indiferente entre las canastas A y B"A f B significa "la canasta A es al menos tan buena como la canasta B"Comnmente a la primera relacin se le llama "preferencia estricta", a la segunda "indiferencia" y a latercera "preferencia dbil".A continuacin se establecen supuestos acerca de cmo son las preferencias de los consumidores porlas canastas de bienes. Estos supuestos sirven de base para la teora de la eleccin.Supuesto 1: (completitud) Dadas dos canastas A y B que pertenecen al conjunto de eleccin, siemprese puede afirmar que A f B, B f A A ~ B.Este supuesto afirma que cualquier par de canastas del conjunto de eleccin puede ser comparada dealguna de las formas mencionadas. En otras palabras, no es posible que exista alguna canasta delconjunto que no pueda ser comparada con otra.Supuesto 2: (transitividad) Sean tres canastas A, B y C que pertenecen al conjunto de eleccin, si A fB y B f C, entonces A f C. Tambin si A ~ B y B ~ C, entonces A ~ C.Este supuesto da consistencia lgica a las elecciones de los consumidores. As se evita inconsistenciastales como A f A, por ejemplo.Supuesto 3: (no-saturacin) A f B si la canasta A tiene ms de alguno de los bienes y al menos lomismo de los dems.Por ejemplo, si tuviramos las canastas C = (2,1), D = (1,1), E = (1,0) y F = (1,2) podemos afirmar queC f D, D f E, C f E, F f E y F f D. Sin embargo el supuesto 3 no permite establecer nadaconcluyente acerca de C y F. Para saber cual es la preferida, se debe preguntar directamente alconsumidor.Estos tres supuestos permiten trazar las curvas de indiferencia. Ms adelante veremos un supuestoadicional.II.3 Las curvas de indiferenciaDefinicin: Dada alguna canasta A cualquiera, una curva de indiferencia que pasa por A esta formadapor un conjunto de canastas tales que todas ellas sean indiferentes a A.Es decirCI(A) = { (x,y) R2 / (x,y) ~ A }MicroeconomaGrficamenteProf. Luis Garca NuezyConjunto B(A)AConjunto H(A)Curva de indiferenciaXTodas aquellas canastas que estn por encima de la curva de indiferencia son preferidas a la canasta A(recurdese los supuestos 2 y 3). Asimismo, A es preferida a todas las canastas por debajo de la curva.Formalmente estos conjuntos se definen de la siguiente forma.B(A) = { (x,y) R2 / (x,y) f A }H(A) = { (x,y) R2 / A f (x,y) }Bajo los tres supuestos se pueden mencionar las siguientes propiedades de las curvas de indiferencia:(a) Por cada punto del plano pasa una curva de indiferencia, por lo tanto existe un mapa de curvas deindiferencia. Esta propiedad se deduce directamente del supuesto de completitud y de la definicin decurva de indiferencia. GrficamenteY MayorSatisfaccinX(b) Las curvas de indiferencia no pueden cruzarseSi no fuera as, se estara contradiciendo el supuesto de supuesto de transitividad. Veamos con unejemplo, supongamos por el momento que las curvas si pueden cruzarse tal como se muestra en elsiguiente grfico. Sean A, B y C tres canastas, es fcil ver que A ~ B y B ~ C. Por lo tanto portransitividad debera ocurrir que A ~ C. Sin embargo AC pues pertenecen a curvas distintas.Entonces no se cumple el supuesto 2.MicroeconomaProf. Luis Garca NuezYCABX(c) Son lneas de pendiente negativa.Si las curvas de indiferencia tuvieran pendiente positiva, esto contradira el supuesto 3 de nosaturacin, pues tendramos canastas que tienen ms de alguno de los bienes y lo mismo de los otros, ysin embargo estas canastas seran indiferentes.Tampoco pueden existir "reas" o "bandas" de indiferencia porque contradicen el mismo supuesto.YYXDos ejemplos que violan el supuesto 3II.4 La Tasa o Relacin Marginal de SustitucinXLa pendiente de la curva de indiferencia lleva el nombre de Tasa Marginal de Sustitucin (TMS). staindica cunto esta dispuesto a sacrificarse de un bien para obtener una pequea cantidad del otro ymantener el mismo nivel de satisfaccin.MicroeconomaGrficamenteProf. Luis Garca NuezYpendienteen A=Y = TMSXYAXXLa TMS indica que podramos dejar de consumirmantiene constante.Y a cambio deX y el nivel de satisfaccin sePor ejemplo, si TMS = 2 esto indica que podemos dejar de consumir dos unidades del bien Y acambio de una del bien X, y el nivel de satisfaccin no se ve alterado. Tambin TMS = 2 indica queestamos dispuestos a sacrificar unidad de X a cambio de una de Y, y el nivel de satisfaccin semantiene constante.*Nota.- La TMS tiene signo negativo, sin embargo es frecuente considerar a la TMS en valoresabsolutos.Usualmente se asume que la TMS es decreciente, lo que en el grfico significa que la pendiente seacerca a cero conforme nos desplazamos de izquierda a derecha a lo largo de la curva.Econmicamente este supuesto significa que los consumidores estn dispuestos a sacrificar cada vezmenos unidades de un bien cuando se vuelve escaso.YYXYXYXXAfirmar que la TMS es decreciente equivale a decir que las curvas de indiferencia son estrictamenteconvexas. Tenemos entonces un nuevo supuesto.Supuesto 4: (Convexidad estricta ) Las curvas de indiferencia son estrictamente convexas al origen, olo que es lo mismo, la TMS es decreciente.MicroeconomaII.5 Casos especiales de curvas de indiferenciaProf. Luis Garca NuezOcurren cuando se levanta alguno de los supuestos, especialmente los supuestos 3 y 4.(a) Bienes Sustitutivos Perfectos: Son aquellos que se pueden intercambiar en cantidades fijas sinalterar el nivel de satisfaccin, independientemente de cuantas unidades posea de X o de Y. Para estosbienes la TMS es constante a lo largo de la curva de indiferencia.En la realidad es difcil encontrar ejemplos puros de bienes sustitutivos perfectos. Lo ms comn esque la TMS no sea constante, y adems es muy difcil que un consumidor no encuentre ningunadiferencia entre dos bienes que por si mismo son distintos.Por ejemplo, si para un consumidor una tasa de caf le da exactamente la misma satisfaccin que unatasa de t, entonces siempre podra cambiar una tasa por otra independientemente si consume 100tasas de caf y una de t, 50 de caf y 50 de t, o 1 de caf y 100 de t. Entonces para este consumidor,t y caf son sustitutivos perfectos.Grficamente, las curvas de indiferencia son lneas rectas.YTMS esconstanteX(b) Bienes Complementarios Perfectos: Son aquellos bienes que se consumen juntos en proporcionesfijas. El consumo por separado de ellos no es de ninguna utilidad.El ejemplo tpico es el de los tornillos y las tuercas, los cuales deben utilizarse juntos. En este caso selevanta el supuesto 3, pues tener 1 tornillo y 1 tuerca es lo mismo que tener 2 tornillo y 1 tuercas.(1,1)(1,1)(2,1)(1,2); pero (2,2) f (1,1)MicroeconomaGrficamente las curvas de indiferencia tienen forma de "L"Prof. Luis Garca NuezYX(c) Bienes neutros y males: El consumo de los bienes neutros no produce ni mayor ni menorsatisfaccin. El consumo de los males reduce la satisfaccin del consumidor.Estos bienes no cumplen el supuesto 3 de no saturacin.Grficamente:YYABABXNeutroXMalEl dibujo de la izquierda corresponde a un bien neutro (bien X). Es ese caso las curvas de indiferenciason planas y se cumple que AB. Si el bien neutro fuera el bien Y, entonces las curvas deindiferencia seran verticales.En el dibujo de la derecha el bien X es un mal. En este caso las curvas de indiferencia tienen pendientepositiva y se cumple que A f B, pese a que tiene menos unidades de X.(d) Bienes Saturables: Existe algn punto de saturacin o saciedad para el consumidor. El consumirms all del punto de saturacin reduce la satisfaccin del consumidor.MicroeconomaGrficamenteProf. Luis Garca NuezYPunto desaturacinXII.6 La UtilidadTodas las canastas del conjunto de eleccin producen cierto nivel de satisfaccin a los consumidores.Las preferencias de los consumidores (f, ~) ordenan las canastas segn dichos niveles de satisfaccin.Estas preferencias pueden representarse numricamente segn una funcin de utilidad.Definicin: Una funcin de utilidad es una funcin U: Rn R la cual asigna un valor numrico a lascanastas del conjunto de eleccin, de tal forma que se respete el orden establecido por las preferenciasde la siguiente manera:AfBA~BAfBsi y slo sisi y slo sisi y slo siU(A) > U(B)U(A) = U(B)U(A) > U(B)Los valores numricos de la funcin de utilidad son totalmente arbitrarios. Lo ms importante es quemantengan el orden de las preferencias.Por ejemplo, si tenemos cuatro canastas A, B, C, D; donde se cumple que A f B f C, y Cpodemos tener las siguientes funciones de utilidad que representen dichas preferencias: Tabla 1. Representacin de las preferencias a travs de funciones de utilidad Funciones de UtilidadCanastasU1U2U3f(U1 )g(U1 ) A317-16-6 B210-24-4 C10.02-32-2 D10.02-32-2D,MicroeconomaProf. Luis Garca NuezTanto U1 , U2 como U3 representan correctamente a las preferencias de este consumidor. Ntese quelos valores de la funcin de utilidad podran ser negativos.Evidentemente existen infinitas funciones de utilidad capaces de representar las mismas preferencias.Adems, transformaciones montonas crecientes1 de una funcin de utilidad tambin son funciones deutilidad. Es decir, si U(X,Y) es una funcin de utilidad y f(.) es una transformacin montonacreciente, entonces la funcin compuesta f(U(x,y)) es una funcin de utilidad. Algunos ejemplo tpicosde funciones montonas crecientes son las funciones f(x) = ln x, f(x) = exp(x), f(x) = ax + b, con a>0;etc. La funcin f(x) = x2 tambin es una transformacin montona creciente si los valores de x sonpositivos.En la tabla 1, considrese una funcin montona creciente f(x) = 2x. Transformando a la funcin U1tenemos como resultado una nueva funcin de utilidad f(U1 (.)), la cual representa a las preferencias.No ocurre lo mismo con la funcin decreciente g(x) = -2x, la cual invierte el orden de las preferencias.Por lo tanto g(U1 (.)) no es una funcin de utilidad que represente a las preferencias.Ejemplo: Sea U(X,Y) = XY la funcin de utilidad para las canastas de dos bienes, ordene lassiguientes canastas: (1,2), (2,1), (3,1) y (3,0).Comparando las utilidades de estas canastas, el ordenamiento es el siguiente: (3,1) f (2,1)(1,2) f (3,0)La Utilidad y la Tasa Marginal de Sustitucin estn relacionadas a travs de la Utilidad Marginal, lacual se define de la siguiente forma:Definicin: Dada una funcin de utilidad U(X,Y), se define la Utilidad Marginal de X como la elincremento en la utilidad que genera el consumo de una unidad adicional de X, manteniendo elconsumo de Y constante.UtilidadMarginalde X= UMgX =UXNota.- En forma anloga tambin existe una UMgY.La magnitud de la UMgX tambin es arbitraria pues depende de cmo se haya definido a la funcinoriginal U(X,Y).La relacin existente entre UMgX se deduce de la siguiente forma. Diferenciando totalmente lafuncin U(X,Y) tenemosdU=UU dX + dY = UMgX dX + UMgY dY = 0XYdespejando obtenemos la siguiente relacin| TMS | =dYdX=UMgXUMgYEs tambin bastante comn asumir que la UMg de los bienes es decreciente, es decir los incrementosde utilidad que reportan los bienes son cada vez menores, aunque no siempre se asume este supuesto.1 Formalmente una funcin y = f(x) es montona creciente si para cualquier par deelementos x1, x2 del dominio, si x1 > x2 entonces f(x1) > f(x2).MicroeconomaProf. Luis Garca NuezII.7 La restriccin presupuestaria.En la realidad los consumidores no pueden consumir todos los bienes del conjunto de eleccin puestoque estn limitados por su ingreso.Dado el ingreso I de los consumidores y los precios Px y Py, el conjunto de canastas que pueden serefectivamente adquiridos por los consumidores es el conjunto factible.Definicin: El conjunto presupuestario o conjunto factible es el conjunto de canastas que estn alalcance del consumidor, dados su ingreso y los precios de los bienes.En notacin de conjuntos:Conjunto presupuestario = {(x,y) R+2 / Px X + Py Y I}donde I es el ingreso del consumidor, Px y Py son los precios de los bienes X e Y respectivamente.GrficamenteYRecta de Presupuesto ConjuntoPresupuestarioXEl consumidor est restringido a elegir canastas del conjunto presupuestario. Aquellas canastas fueradel conjunto son canastas inalcanzables para el consumidor, porque no puede adquirirlas.Dentro del conjunto presupuestario es importante destacar a aquellas canastas donde el consumidorgasta todo su ingreso. Estas canastas estn ubicadas en la frontera del conjunto, el cual tiene el nombrede recta de presupuesto.Recta de presupuesto = {(x,y) R+2 / Px X + Py Y = I}Para todas aquellas canastas al interior del conjunto, el consumidor no gasta todo su ingreso (le sobradinero).La ecuacin de la recta de presupuesto es Px X + Py Y = I. Despejando Y en trminos de X tenemosY=IPyPxPyXIPxIPyDonde la pendiente es Px/Py, y los interceptos con los ejes X e Y sonerespectivamente.MicroeconomaProf. Luis Garca NuezAl trmino Px/Py se le llama precio relativo, y muestra cuanto cuesta el bien X en trminos del bien Y.Por ejemplo, si Px/Py= 2, esto significa que el bien X es dos veces ms caro que el bien Y, y por lotanto en el mercado se intercambia una unidad de X por dos de Y (en una economa de trueque secambiara un X por dos Y).La recta de presupuesto se altera ante variaciones en los precios de los bienes y ante cambios en elingreso. Veamos cada caso.(a) Cambios en el ingresoUn incremento en el ingreso desplaza la recta de presupuesto en forma paralela hacia la derecha, conlo cual el conjunto presupuestario se expande. Esto equivale a decir que el poder adquisitivo o ingresoreal de los consumidores ha aumentado, debido a que ahora ellos pueden adquirir canastas que antesestaban fuera de su alcance.Por el contrario, si el ingreso nominal se reduce, la recta se desplaza paralelamente a la izquierda,hacindose ms pequeo el conjunto presupuestario, y cayendo el poder adquisitivo y el ingreso real.Grficamente:YI PyAumento en el ingresoIPyI > 0I < IDisminucin en el ingreso I < 0IPy< IIPxIPxI PxX(b) Cambios en los preciosEstos cambios alteran la pendiente de la recta de presupuesto y a los interceptos. Por ejemplo,supongamos que Px aumenta (manteniendo todo lo dems constante), lo que tenemos es que la rectagira hacia adentro sobre el intercepto del eje Y, resultando con una pendiente mayor (en valorabsoluto).MicroeconomaGrficamente:Prof. Luis Garca NuezYIPyPxIY < Px < Px PyPy < Py < P y IPyIP y XIP x IPxIPxIPxX Variaciones en elVariaciones en el precio de Xprecio de YSi los dos precios cambian al mismo tiempo, el efecto sobre la pendiente y los interceptos es incierto.Por ejemplo, si los dos precios suben en la misma proporcin, la recta se desplaza en forma paralelahacia dentro como si se hubiera reducido el ingreso nominal. Matemticamente esto se puede explicarcon la ecuacin de la recta de presupuesto. Supongamos que multiplicamos a los precios por el factor k> 1, entonces( k Px)k (Px X + ( k Py) Y = IIk1k X + Py Y) = I+ Py Y =Px XMultiplicar a todos los precios por k >1 equivale a multiplicar el ingreso por< 1 , y por lo tanto elconjunto presupuestario se hace ms pequeo y el consumidor pierde ingreso real.Si los dos precios se incrementan en proporciones distintas, con toda seguridad podemos afirmar queel consumidor pierde poder adquisitivo pero si no sabemos qu precio aument ms no podemosafirmar si el precio relativo ha aumentado o ha disminuido.MicroeconomaProf. Luis Garca NuezSi uno de los precios baja y el otro sube (por ejemplo, Px baja y Py sube), la pendiente cambia contoda seguridad (en el ejemplo se vuelve ms plana). Sin embargo, el efecto sobre el ingreso real opoder adquisitivo no queda claro. No podemos afirmar si ha aumentado o ha disminuido.YIPyPx < PxUMgYPyentonces al consumidor le convendraUMgXPxdestinar ms unidades monetarias a X y menos a Y. En cambio si0, Y>0.MicroeconomaProf. Luis Garca NuezH (X, Y)~ 0= Px Py PxU XXU YX U XY U YY Pyel determinante de esta matriz evaluado en (x*,y*) debe ser mayor que cero.Nota.- Si las curvas de indiferencia son estrictamente convexas al origen, la condicin de segundoorden se cumple siempre.***********EJERCICIO: Suponga un consumidor con funcin de utilidad U(X,Y)=XY , con ingreso I = 10 yque enfrenta los precios Px=2, Py=1. (a) Qu supuestos de las preferencias cumple este consumidor?(b) Encuentre la canasta ptima para este consumidor.En la parte (a) debemos verificar si se cumplen los supuestos de las preferencias.CompletitudDadas dos canastas (a,b) y (c,d) que pertenecen al conjunto de eleccin, la utilidad de ellas es aby cd respectivamente. Para saber si la primera canasta es f, p que la segunda, bastarcomparar los valores de la utilidad, lo que puede hacerse para cualquier a, b, c d. Entonces secumple el supuesto.TransitividadSean tres canastas (a,b), (c,d) y (e,f) del conjunto de eleccin, la transitividad afirma que si (a,b) f(c,d) y (c,d) f (e,f) entonces (a,b) f (e,f). para verificar esta afirmacin, utilicemos la utilidad deestas canastas y comparemos. Es evidente que si partimos del hecho que(a,b) f (c,d) si y slo si ab > cd (c,d) f (e,f) si y slo si cd > efComo ab > ef (recuerde que son nmeros reales) entonces tambin es verdad que (a,b) f (e,f).Por lo tanto se cumple la transitividad para cualquier (a,b), (c,d) y (e,f).No saturacinSi aumentos en X o en Y incrementan la utilidad siempre, entonces se cumple el supuesto. Bastarcon observar las utilidades marginales. Como UMgX = (Y/X) > 0, entonces la utilidad siemprecrecer y por lo tanto no existe ningn punto de saturacin. Lo mismo para Y.Convexidad estricta o TMS decrecienteEs fcil encontrar que la TMS es Y/X en este ejemplo, la cual decrece conforme se incrementa Xal mismo tiempo que se reduce Y. Entonces el supuesto se cumple.Microeconoma(b) Planteamos el problema del consumidor11Prof. Luis Garca NuezmaxX, Ys.a.X2Y22X + Y = 10En este caso podemos aplicar una transformacin montona creciente a la funcin de utilidad con elfin de simplificarla. Aplicamos la transformacin ln(x). Entonces la funcin objetivo del problema seconvierte enln(U(X,Y)) = ln X + ln Yla cual tambin es una funcin de utilidad para las misma preferencias.El lagrangeano esL (X, Y, )= ln X + lnY + (10 2X Y)1212Las condiciones necesarias de primer orden sonLXLYL==12X12Y 2 = 0 = 0(1)(2)= 10 2X Y = 0(3)De (1) y (2), despejando e igualando ambas ecuaciones se obtiene Y = 2X. Reemplazando esteresultado en (3) y resolviendo para X y Y tenemos la canasta ptima(x* = 2.5, y* = 5)Es decir, la eleccin ptima del consumidor es consumir 2.5 unidades de X y 5 unidades de Y porunidad de tiempo.************II.10 Las funciones de demanda y la utilidad indirectaEn el ejemplo anterior encontramos la canasta ptima del consumidor para los precios Px y Py, y elingreso I. Si estos precios o ingreso cambiaran, obtendramos otra solucin al problema (otra canastaptima).Es decir, podemos encontrar una relacin entre Px, Py e I con las cantidades demandadas de X e Y.Esta relacin es la funcin de demanda.Definicin: Una "funcin de demanda" X(Px, Py, I) es una relacin matemtica entre los precios delos bienes y el ingreso, con la cantidad demandada del bien X.La definicin para Y es anloga: Y(Px, Py, I) es la demanda por Y.MicroeconomaProf. Luis Garca NuezEn el caso de 2 bienes la funcin de demanda es una funcin X:R3 R. En el caso de n bienes, lasfunciones de demanda son funciones de Rn+1 RLos gustos y preferencias de los consumidores determinan la forma funcional de la X(Px, Py,I).X(Px, Py,I) y Y(Px, Py, I) se obtienen de resolver el problema generalmaxX, Ys.a.Px XU(X, Y)+ Py Y ILas funciones de demanda son homogneas de grado 0 en precios e ingreso. Esto quiere decir que silos precios y el ingreso se multiplican por una constante positiva k, la canasta ptima no debealterarse. En smbolosX(Px, Py, I)= X(kP x , kP y , kI)k > 0***********EJERCICIO: Encuentre las funciones de demanda del consumidor que resuelve el siguiente problemamaxX, Ys.a.Px X + Py YU(X, Y)= lnX + (1 - )lnY=IPlanteamos el lagrangeanoL (X, Y, )= lnX + (1 - ) lnY + (I Px X Py Y)Las condiciones de primer orden sonLXLYLDe (1) y (2) se obtieneY==X Px = 0 Py = 0(1)1 -Y(2)= I Px X Py Y = 0(3)= Px 1 X Py (4)Reemplazando (4) en (3) tenemos X + Py Px Px 1 X = I Py Microeconoma X 1 +Prof. Luis Garca NuezPx1 =I X(Px, Py, I)X= IPxla cual es la funcin de demanda de X. Reemplazando este resultado en (4) tenemos la funcin dedemanda de Y. (1 ) I Y = Y(Px, Py,I)PyA partir de las funciones de demanda podemos graficar las curvas de demanda, las cuales muestran larelacin existente entre los precios de los bienes y las cantidades demandadas de ellos, manteniendotodo lo dems constante. En el ejemplo tienen la siguiente forma.PxPyXCurva de Demanda por X*********Curva de Demanda por YYAlgunas veces estamos interesados en conocer cul es el nivel de utilidad alcanzado. Como biensabemos, esa la funcin de utilidad es arbitraria, sin embargo conocer el valor de la funcin de utilidadpuede ser til si deseamos, por ejemplo, evaluar polticas que afecten la utilidad (y el bienestar de losconsumidores).Sabemos que las variables Px, Py e I afectan directamente a las cantidades consumidas x* e y*. A suvez x* e y* afecta a la utilidad U(X,Y). Por la tanto se puede afirmar que Px, Py e I afectanindirectamente a la utilidad.Definicin: Sean las funciones de demanda X(Px, Py, I), Y(Px, Py, I) deducidas de una funcin deutilidad U(X,Y), entonces la "Funcin de Utilidad Indirecta" es la funcin compuesta V(Px, Py,I) U (X(Px, Py,I), Y(Px, Py,I) )la cual relaciona los precios y el ingreso con la mxima utilidad alcanzable a esos precios e ingreso.MicroeconomaEJEMPLO: Para la funcin de utilidadY(Px, Py,I)Prof. Luis Garca Nuez=U(X, Y)X Y (1 - ) y las demandasX(Px, Py, I)= IPxy=(1 ) IPy, la utilidad indirecta es )V(Px, Py,I) I (1 ) I = Px Py(1Cuando Px=2, Py=1, I=10 y = la utilidad es V*=3.53.