GUIA # 2 PARA EL GRADO OCTAVO (8-01 Y 8-02) MOTIVACION...

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INSTITUCION EUCATIVA JUAN DE AMPUDIA

GRADO AREA ASIGNATURA PAGINA 8º MATEMÁTICAS ALGEBRA 01 1 DE 23

GUIA # 2 PARA EL GRADO OCTAVO (8-01 Y 8-02)

MOTIVACION

RETO MATEMATICO

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CONTINUACION REPASO NUMEROS RACIONALES

POTENCIACION DE NUMEROS RACIONALES

RESUMEN DE PROPIEDADES

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Potencia con exponente negativo

EJEMPLOS

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EJERCICIOS POR RESOLVER 1:

Da el resultado de cada una de las siguientes operaciones con una fracción simplificada:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

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RADICACION DE NUMEROS RACIONALES

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EJEMPLOS

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Cuestionario sobre raíces de fracciones Cuando multiplicamos la suma de dos números por la diferencia de esos dos mismo números, el resultado nos da 1 punto

La raíz cuadrada de la suma de esos dos números El cuadrado de la suma de los dos números La raíz cuadrada de la diferencia de esos dos números La diferencia de los cuadrados de esos dos números

Para poder sumar radicales racionales 1 punto

Tienen que tener el mismo coeficiente, el mismo índice y el mismo radicando Tienen que ser semejantes, es decir, tienen que tener el mismo índice y el mismo radicando Tienen que tener únicamente el mismo radicando Tienen que tener únicamente el mismo índice

Para elevar un radical racional a una potencia 1 punto

Se multiplican la potencia y el índice Se divide el índice entre la potencia Se eleva sólo el numerador de esa fracción a la potencia Se eleva el radicando a dicha potencia

Para racionalizar una raíz cuadrada cuando no hay ni sumas ni restas en el denominador 1 punto

Se multiplican los dos términos de la fracción por esa raíz cuadrada Se eleva al cuadrado el denominador de la fracción. El numerador se deja como está Se multiplican tanto el numerador como el denominador de la fracción por la expresión conjugada del denominador Se eleva al cuadrado el numerador de la fracción. El denominador se deja como está

Para dividir dos radicales racionales 1 punto

Tienen que ser semejantes. Se dividen los coeficientes y dentro de la raíz se dividen los radicandos No tienen por qué ser semejantes. Se restan los coeficientes y dentro de la raíz se dividen los radicandos Tienen que ser semejantes. Se restan los coeficientes y dentro de la raíz se dividen los radicandos. No tienen por qué ser semejantes. Se dividen los coeficientes y dentro de la raíz se dividen los radicandos

Para poder multiplicar radicales racionales 1 punto

Tienen que ser semejantes, es decir, tienen que tener el mismo índice y el mismo radicando Tienen que tener únicamente el mismo radicando Tienen que tener únicamente el mismo índice Tienen que tener el mismo coeficiente, el mismo índice y el mismo radicando

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Para multiplicar dos o más radicales racionales 1 punto

No tienen por qué ser semejantes. Se multiplican los coeficientes y dentro de la raíz se multiplican también los radicandos Tienen que ser semejantes. Se suman los coeficientes y dentro de la raíz se multiplican los radicandos No tienen por qué ser semejantes. Se suman los coeficientes y dentro de la raíz se multiplican los radicandos Tienen que ser semejantes. Se multiplican los coeficientes y dentro de la raíz se multiplican también los radicandos

¿Qué significa “racionalizar”? 1 punto

Sacar las raíces de los numeradores de las fracciones Sacar las raíces de los numeradores y de los denominadores de las fracciones Sacar las raíces de los denominadores de las fracciones Calcular la menor raíz posible de una fracción

Para poder dividir radicales racionales 1 punto

Tienen que ser semejantes, es decir, tienen que tener el mismo índice y el mismo radicando Tienen que tener únicamente el mismo índice Tienen que tener únicamente el mismo radicando Tienen que tener el mismo coeficiente, el mismo índice y el mismo radicando

Para hacer la raíz de un radical racional 1 punto

Se dividen los índices y se deja el mismo radicando Se suman los índices y se deja el mismo radicando Se hace la primera raíz del segundo índice y se deja el mismo radicando Se multiplican los índices y se deja el mismo radicando

Para sumar o restar dos radicales racionales 1 punto

No tienen por qué ser semejantes. Se suman los radicandos y se multiplican los coeficientes Tienen que ser semejantes. Se suman o restan los coeficientes y se deja el mismo radicando No tienen por qué ser semejantes. Se suman los coeficientes y se deja el mismo radicando Tienen que ser semejantes. Se suman los coeficientes y se suman los radicandos

Para expresar una raíz en forma de potencia 1 punto

Eliminamos la raíz y multiplicamos la potencia por el índice Eliminamos la raíz y ponemos como potencia la suma del exponente más el índice Eliminamos la raíz y ponemos el índice como denominador del exponente Eliminamos la raíz y ponemos el índice como numerador del exponente

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Para poder restar radicales racionales 1 punto

Tienen que tener el mismo coeficiente, el mismo índice y el mismo radicando Tienen que ser semejantes, es decir, tienen que tener el mismo índice y el mismo radicando Tienen que tener únicamente el mismo radicando Tienen que tener únicamente el mismo índice

La raíz de una fracción es 1 punto

La raíz del numerador. El denominador se deja sin raíz La raíz del numerador partido de la raíz del denominador La raíz se pone en el denominador. El numerador se deja sin raíz El numerador partido del denominador elevados ambos al índice

Para racionalizar una raíz cuadrada cuando hay sumas o restas en el denominador 1 punto

Se eleva al cuadrado el denominador de la fracción. El numerador se deja como está Se multiplican tanto el numerador como el denominador de la fracción por la expresión conjugada del denominador Se multiplican los dos términos de la fracción por esa raíz cuadrada Se multiplican tanto el numerador como el denominador de la fracción por la expresión conjugada del denominador

Taller Ejercicios sobre raíces de fracciones

Se anexa a la guía en un documento en formato PDF, se aconseja

practicar hasta que hayan entendido.

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LOGARITMACION DE NUMEROS RACIONALES

LOGARITMOS El logaritmo de un número —en una base de logaritmo determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 elevado a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10. De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo. Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir. Definición El logaritmo en base a de un número C es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número.

(esto se lee como: logaritmo en base a de C es igual a b; si y sólo si a elevado a la b es igual a C) Para que esta definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. La base a tiene que ser positiva y distinta de 1, luego a> 0 y a ≠ 1, C tiene que ser un número positivo C > 0 y b puede ser cualquier número real (b ∈ R).

Para aclarar el concepto, podríamos decir que logaritmo es solo otra forma de expresar la potenciación, como en este ejemplo:

Que leeremos: logaritmo de 64 en base 8 es igual a 2. Esto significa que una potencia se puede expresar como logaritmo y un logaritmo se puede expresar como potencia. El gráfico siguiente nos muestra el nombre que recibe cada uno de los elementos de una potencia al expresarla como logaritmo:

Ejemplos:

http://4.bp.blogspot.com/-hYMKfMgEhqg/U9HUktBVziI/AAAAAAAAAKg/2-yu1x4nm68/s1600/logaritmos.jpg

http://2.bp.blogspot.com/-LOv10hW9PAU/U9HZahcYeJI/AAAAAAAAAKs/-ViEqtn94GQ/s1600/logej.jpg

http://3.bp.blogspot.com/-ZAzkCYwlLV8/U9HZsapSdbI/AAAAAAAAAK0/OTMla5N3_pU/s1600/logaritmosterminos.jpg

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Propiedades de los logaritmos

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

4. El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:

5. Cambio de base: El logaritmo en base a de un número se puede obtener a partir de logaritmos en otra base

Ejemplo:

No existe el logaritmo de un número con base negativa.

No existe el logaritmo de un número negativo.

http://3.bp.blogspot.com/-Jkk_VdD88-I/U9Hc0zm5wWI/AAAAAAAAALA/FX4-Yzl8-A8/s1600/log+ejemplos.jpg

http://3.bp.blogspot.com/-476q2b4r4Dc/U9HgQF3FIXI/AAAAAAAAALM/yG-CLGP1uiQ/s1600/log+cambiobase.jpg

http://2.bp.blogspot.com/-PMMjEPf6VEE/U9HkT4IoBbI/AAAAAAAAALY/dL2EikZysyU/s1600/log+cambase+ej.jpg

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No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo de a en base a es uno.

Logaritmos decimales: Son los que tienen base 10. Se representan por log (C) (la base 10 no se escribe).

Logaritmos neperianos o naturales: Son los que tienen base e. Se representan por ln (C) o L(C) (en este caso la base e tampoco se escribe, basta con que aparezca ln). Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son: ln 1 = 0; puesto que e0 = 1 ln e2 = 2; puesto que e2 = e2 ln e−1 = −1; puesto que e−1 = e−1 El número e tiene gran importancia en las Matemáticas. No es racional (no es cociente de dos números enteros) y su valor, con seis cifras decimales, es e = 2,718281... EJERCICIOS RESUELTOS

1. log 4 64 + log 4 1 = 3 + 0 = 3 Alternativamente, podríamos resolverlo usando la Propiedad del logaritmo de un producto, así: log 4 64 + log 4 1 = log 4 (64*1) = log 4 64 = 3

2. log 5 + log 20 = log (5*20) (aplicando la Propiedad del logaritmo de un producto)= log 100= 2

3. log 5 25 - log 5 5 = 2 - 1 = 1 También se pudo resolver usando la propiedad del logaritmo de un cociente: log 5 25 - log 5 5 = log 5 (25 / 5) = log 5 5 = 1

4. log 0,1 - log 0,01 = -1 - (-2) = 1

Ahora resolvámoslo usando la propiedad del logaritmo de un cociente:

log 0,1 - log 0,01 = log (0,1 / 0,01) = log10 = 1

5. log 4 64 + log 8 64 = 3 + 2 = 5

6. log 32 / log 2 = 1,5051 / (0,3010) = 5

7. log 2 - log 0,2 = log (2 / 0,2) (aplicando la Propiedad del logaritmo de un cociente) = log 10 = 1

Hallar el valor de x:

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8. log 2 x = - 3 x = 2 -3 x = 1 / 23

x = 1 / 8 9. log 6 [ 4 ( x - 1 ) ] = 2 log 6 4 + log 6 ( x - 1 ) = 2 (Aplicamos la Propiedad del Cambio de base): (log 10 4 / log 10 6) + log 6 ( x - 1 ) = 2 = (0,6020 / 0,7781) + log 6 ( x - 1 ) = 2 =0,7737 + log 6 ( x - 1 ) = 2 = log 6 ( x - 1 ) = 2 - 0,7737 = log 6 ( x - 1 ) = 1,22629 ( x - 1 ) = 61,22629 x - 1 = 9 x = 9 + 1 x = 10

10. log 7 x = 3 x = 73 x = 343 11. log x 125 = 3 x3 = 125 x = 5 12. log x 25 = - 2 x-2 = 25 x2 = 1 / 25 x = 1 / 5 13. log 2 x + 3 81 = 2 (2x + 3)2 = 81 sacamos raíz cuadrada a ambos lados 2x + 3 = 9 2x = 9 - 3 2x = 6 x = 3 14. log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2 log 8 2 + log 8 ( x 3 + 5 ) ] = 2 (Aplicamos la Propiedad del Cambio de base): (log 10 2 / log 10 8) + log 8 ( x 3 + 5 ) ] = 2 0,33333 + log 8 ( x 3 + 5 ) ] = 2

15. log 8 ( x 3 + 5 ) ] = 2 - 0,33333 log 8 ( x3 + 5 ) ] = 1,66667 ( x3 + 5 ) = 81,66667 x3 + 5 = 32 x3 = 32 - 5 x3 = 27 x = 3

ACTIVIDAD POR RESOLVER

¡ÉXITO! ¡FRACASO!

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