GERAK DENGAN GAYA BERGANTUNG PADA KECEPATAN

Koko Anggoro (101810201024)Liya Kholida (101810201027)

GERAK DENGAN GAYA BERGANTUNG PADA KECEPATAN

Adakalanya sebuah gaya yang bekerja pada sebuah benda merupakan suatu fungsi terhadap kecepatan. Contoh gaya semacam ini adalah gaya gesekan yang bekerja pada sebuah benda yang bergerak di dalam suatu fluida. Berikut merupakan bentuk umum dari gaya yang bergantung kecepatan:).(vFF

Sekarang tinjau gaya Fx=Fx(Vx) , karena sekarang kita hanya membahas gaya ini maka indeks x yang terdapat pada gaya tersebut dapat dibuang: F=F(v). Namun tetap harus diingat bahwa gaya tanpa indeks tersebut merupakan salah satu komponen dari vektor gaya . Hukum Newton yang berkaitan dengan gaya di atas adalah

3.1

Dalam kasus massa tetap ungkapan di atas dapat ditulis sebagai

..3.2 atau ...3.3

dt

mvdvF

)()(

dt

dvmvF )(

dx

dvmv

dx

dv

dt

dxmvF )(

Dari persamaan (3-2) kita akan peroleh hubungan antara waktu dan kecepatan,

(3-4)dengan v0 adalah kecepatan partikel pada saat

t=0, sedangkan persamaan memberikan hubungan antara posisi dan kecepatan :

dengan x0 adalah posisi partikel pada saat t=0. Selanjutnya dari kombinasi ke-dua hasil di atas akan diperoleh hubungan antara posisi dan waktu. Dengan demikian telah kita peroleh deskripsi gerak yang lengkap untuk sebuah partikel yang mengalami gaya F(v). Sehingga kita dapatkan:

v

v

dvvF

mt

0 )(

v

v

dvvF

mvxx

0 )(0

Contoh: sebuah automobile bergerak dengan kecepatan vo pada permukaan yang tanpa gesekan , namun tiba-tiba mesin mati. Diasumsikan rsistansi sebanding dengan gerak kecepatan:

(2.32)Diasumsikan pada t = 0; v = vo , tentukan v

dan x sebagai fungsi t: (2.33)

(2.34)

DenganSehingga kita bisa mendapatkan: (2.34)

Dari rumus diatas kita cari nilai v, sehingga kita dapatkan

(2.35)Pari persaman diatas, kecepatan akan

berkurang sebanding dengan kecepatan, Sibtitusi persamaan 2.35, sehingga

kita dapatkanYadng di integrasikan pada limit, t = 0 dan x

= 0, dan di lanjutkan perpindahan sebesar x dan t, maka kita peroleh:

Berikut merupakan deret taylor yang dapat kita gunakan untuk mencari nilai kecepatan dan x selanjutnya,

Kita anggap v= vl, dan t = tl , sehinngga:

kita gunakan hukum deret taylor:

( ( (2.39)

...!4!3!2

1432

xxx

xe x

Dimana, pada t=0

2 (2.40)

maka jelas bahwa ungkapan kecepatan dan posisi partikel pada contoh di atas berbentuk suatu deret. Apabila deret tersebut dipotong sehingga tinggal menyisakan tiga suku pertamanya saja maka diperoleh ungkapan gerak yang sangat kita kenal yaitu gerak lurus berubah beraturan.

soal:Buktikan dari pernyataan diatas!Sebagai satu ilustrasi tambahan sekarang

kita tinjau gerak peluru yamg ditembakkan vertikal. Kasus ini sedikit berbeda dengan sebelumnya, karena selain gaya gesekan juga ada gaya gravitasi yang harus diperhitungkan. Dengan mengambil arah ke atas sebagai arah positif dan diandaikan percepatan gravitasi tidak bergantung pada posisi maka persamaan gerak bagi peluru tersebut adalah

3.11dt

dvmbvmgF

Di dalam contoh ini gaya gesekan tetap kita andaikan linier terhadap kecepatan. Tampak bahwa ungkapan (3-6) dan (3-11) berbeda dalam suku gaya berat mg saja. Dari ungkapan (3-11) di atas hubungan antara kecepatan dan waktu dapat diperoleh dengan segera:

3.12

3.13

0

ln0 bvmg

bvmg

b

m

bvmg

mdvt

v

v

mbtevb

mg

b

mgv /

0

Integrasi hasil di atas terhadap waktu memberikan posisi peluru setiap saat:

(3.13) Dari persamaan (3-13) tampak bahwa peluru bergerak

dengan kecepatan mula-mula Kemudian berubah terhadap waktu dan pada akhirnya

setelah selang waktu yang cukup lama, yaitu pada , peluru tersebut bergerak dengan laju konstan sebesar . Laju ini menggambarkan laju akhir dari peluru sehingga dinamakan laju terminal. Dengan menggunakan notasi laju awal, laju terminal dan waktu karakteristik ungkapan kecepatan dan posisi peluru menjadi lebih sederhana.

(3

mbtmbt evmg

bev

m

bt

m

b

b

gmxx /

0

/

02

2

01

/0

tevvvvtt

(3.15)Dari dua ungkapan terakhir tampak bahwa pada

waktu kecepatan dan posisi peluru diberikan oleh:

yang jelas menggambarkan gerak lurus beraturan. Jadi mula-mula peluru bergerak vertikal dengan kecepatan awal ke atas kemudian diperlambat sampai akhirnya diam sesaat dan selanjutnya jatuh (turun). Gerak turunnya peluru bersifat dipercepat dengan pct yang berubah makin lama makin mengecil sedemikian rupa sehingga setelah waktu yang sangat lama percepatannya menjadi nol dan kecepatannya sama dengan . Asalkan tida ada gangguan lain keadaan ini dipertahankan seterusnya.

/0

tevvvvtt

tvv t

g

vxx t

2

0