GEOMETRI FANOA. SEJARAH GEOMETRI FANOGeometri Euclid dipandang sebagai geometri yang sangat kompleks.Dalam geometri Euclid, ada banyak titik, garis, dan banyak teorema. Sementara itu, ada geometri lain yang memiliki aksioma hanya terbatas, teorema, dan unsur-unsur seperti titik, dan garis. Itu jenis sistem geometri disebut sebagai geometri finit. Dalam geometri ini, kita akan mempelajari tentang struktur geometris sederhana daripada sistem geometri lain yang mana memiliki aksioma terbatas, teorema, titik, dan garis.Geometri finit pertama kali diperkenalkan sebagai geometri tiga dimensi dengan masing-masing bidang terdiri dari tujuh poin dan tujuh baris. Kemudian, geometri ini dikembangkan dengan penekanan pada eksplorasi oleh Gino Fano pada tahun 1892. Tidak berakhir di sana, pada tahun 1906 projective geometri finit dipelajari oleh Veblen dan Bussey. Dalam geometri ini, titik dan garis adalah istilah terdefinisi. Umumnya, hingga geometri memiliki banyak aplikasi dalam statistik. Makalah ini akan menjelaskan tentang geometri terbatas yang dikembangkan oleh Gino Fano. Fano adalah pelopor pertama geometri finit dan matematika lain mencoba untuk mengembangkan ini menjadi bidang yang lebih abstrak.

B. BIOGRAFI FANONama: Gino FanoLahir: Mantua - Italia, 5 Januari 1871Wafat: Verona - Italia, 8 November 1952 (pada usia 81 tahun)Ayah: Ugo FanoIbu: Angelica FanoIstri: Rosetta Cassin (menikah pada tahun 1911)Anak: Ugo Fano dan Robert Fano Gino FanoAyah Gino Fano, Ugo Fano berasal dari keluarga kaya dan dia tidak membutuhkan pekerjaan. Ugo Fano adalah pengikut Giuseppe Garibaldi dan sangat mendukung unifikasi Italia.Setelah mengikuti sekolah militer di Milan selama 4 tahun, fano melanjutkan sekolahnya di institute teknik mantua. Pada tahun 1888, fano pindah di universitas turin kemudian dia menjadi mahasiswa teknik mesin. Tetapi tidak lama kemudian, fano mempelajari tentang matematika selama beberapa tahun di universitas turin, fano belajar dengan arahan Corrado Segre dan Castelnuovo. Pertemuan dengan Segre sangat menentukan untuk orientasi ilmiah Fano. Ketika ia masih mahasiswa pada tahun 1890, fano menerjemahan Sejarah dari Matematika Erlangen Program F. Klein, menerima undangan dari Master, yang pada waktu itu terungkap dalam catatan pentingnya menyebarkan penelitian di Italia Jerman (1890, hal. 307-308). Tanggal 22 Juni 1892 ia memperoleh gelar di bidang matematika dengan nilai tertinggi dan pujian, dengan tesis Geometri hyperspace, di bawah arahan Segre, yang diterbitkan pada tahun yang sama dalam Jurnal Battaglini Matematika. Studi ini diposisikan sebagai bagian dari penelitian yang dilakukan oleh M. Pasch, G. Peano dan F. Amodeo, tapi pergi pada saat yang sama kontribusi baru, dilanjutkan kemudian oleh Fano yang sama, oleh D. Hilbert dan O. Veblen.Pada tahun 1892 Fano lulus dari Turin kemudian pada tahun 1893 dia pergi ke Gttingen untuk melakukan penelitian dan untuk belajar dengan Felix Klein. Pada tahun 1894, atas undangan Peano, menulis sebuah artikel untuk Jurnal Matematika, menetapkan karakteristik mengajar matematika di universitas-universitas Jerman berkolaborasi.Kembali di Italia, 1894-1899 dia membantu Fano G. Castelnuovo di Universitas Roma. Pada tahun 1899 Felix Klein menawarkan dia pekerjaan sebagai guru di Jerman, yang mana ia menolak, Sementara itu, fano telah memenangkan kursi kompetisi dari Aljabar dan Analytic Geometry di Universitas Messina, di mana ia tetap bertahan sampai 1901. Kemudian pindah ke Turin, sebagai profesor geometri deskriptif dan proyektif pada tahun 1904, yang diperoleh oleh kompetisi dalam pengangkatan guru disiplin di University of Parma, ia menyerah dan meminta untuk memiliki promosi ini di University of Turin, yang diberikan pada tahun 1905. Fano menjadi profesor geometri proyektif dan deskriptif di University of Turin sampai 1935. Perkuliahannya, diberikan di Universitas dan Sekolah Teknik dari sekolah. A. 1908-1909, memberikan pelajaran berharga volume tentang geometri deskriptif (Torino, Pearson 1910), yang mana beberapa edisi telah diterbitkan dan di cetak ulang. Di Turin Fano juga bertanggung jawab geometri yang lebih tinggi (1924-1925), analisis geometri dengan unsur geometri proyektif dan deskriptif dengan gambar (1935-1938), dia adalah Direktur Sekolah geometri proyektif dan deskriptif (1911-1926), Direktur Matematika perpustakaan (1924-1938), anggota Komite Tetap dari Perpustakaan Universitas Nasional, sebagai wakil dari Fakultas Ilmu (1926-1938).Karya ilmiah Fano dapat dibagi menjadi tiga tahap, masing-masing dipengaruhi oleh guru-gurunya : C. Segre, F. Klein dan G. Castelnuovo. Untuk periode pertama, milik studinya pada geometri garis yang menyebabkan perumusan teori umum kongruensi dari ordo tiga. Fase ini juga termasuk penelitian pada teori terus kelompok transformasi cremoniane. Selanjutnya Fano berurusan dengan penentuan persamaan diferensial linear homogen dengan kurva terpisahkan milik varietas aljabar. Motif utama dari semua aktivitas ilmiah, bagaimanapun, pembelajaran tentang varietas aljabar dalam tiga dimensi, bidang yang ia mengabdikan dirinya selama empat puluh tahun Fano, memainkan karya pelopor nyata. Penelitiannya memuncak dalam demonstrasi, pada tahun 1942, irasionalitas bentuk kubik ruang empat dimensi umum, pertanyaan tetap terbuka selama lima puluh tahun. Di antara karyanya yang lain yang layak disebut, bahkan untuk catatan sejarah berharga dalam mereka berisi artikel yang ditulis pada tahun 1907 untuk Encyklopdie der mathematischen Wissenshaften dan esai yang ditujukan untuk geometri non - Euclidean dan non - Archimedes dari Encyclopaedia matematika dasar L. Berzolari, G. Vivanti dan D. Gigli.Pada tahun 1894 dan 1895, fano mempererat hubungan dengan Peano, di mana ia adalah seorang mahasiswa dalam perjalanan kalkulus dan memberikan kontribusi kepada Jurnal Matematika dan Matematika Form (1895).Kolaborasi ilmiah antara Fano dan Peano merupakan fase terbatas kehidupan matematikawan dan Mantua disela tahun 1895. Meskipun rekan-rekan selama bertahun-tahun di Universitas Turin dan dengan kepentingan bersama dalam masalah didaktik, yang mereka lihat bersama-sama, kadang-kadang dengan posisi konvergen, kegiatan dan perdebatan dari mathesis, posisi mereka berjauh, selama bertahun-tahun, kepentingan penelitian, kemiripan budaya dan pengaturan pendidikan, seperti muncul selama pertemuan Fakultas tanggal 17 Maret 1910, di mana Fano adalah segretario.2 Namun pada tahun 1932, kematian logis, menandatangani saham untuk Fundo Peano pro Interlingua dan pada tahun 1934, memberikan penilaian ini sosok Peano (1934)[Grassmann], Apakah dia memiliki kualitas yang sama dengan Peano kami : bakat besar, fleksibilitas yang besar dalam berbagai masalah, kecenderungan soliter untuk algoritma khusus, Peano, bagaimanapun, adalah guru yang sangat baik, atau juga gagal dalam kehidupan lebar, pengakuan dari jasanya. Penerima berbagai gelar kehormatan (Officer Pesanan dari Mahkota Italia, Anggota nasional penduduk R. Academy of Sciences Torino, R. Accademia dei Lincei, R. Seorang anggota Lombard Institute of Sciences dan Surat, Anggota dari R. Virgilian Academy of Sciences, huruf dan seni dan Akademi Mantua Peloritana Messina dan medali emas layak Pendidikan pada tahun 1928), Fano meninggal di Verona pada tanggal 8 November 1952. Karir Fano1. Asisten Castelnuovo di Roma pada tahun 1894, selama empat tahun.2. Bekerja di Messina, timur laut Sisilia pada tahun 1899-1901.3. Dosen di Universitas Turin pada tahun 1901-1938.4. Mengajar mahasiswa Italia di sebuah camp dekat Lausanne Internasional, Swiss.5. Pada usia 74 tahun, Fano melanjutkan kuliah Matematika dan mengajar di Amerika Serikat dan juga mengajar di tim Italia asli selama sisa hidupnya. Karya FanoKarya Fano dalam bidang geometri terutamapada geometri proyektif dan aljabar: Fano plane, Fano fibration, Fano surface, danFano varieties. Fano merupakan pelopor geometri berhingga (finite geometry) dan satu di antara orang pertama yang mencoba untuk mengatur geometri pada dasar yang abstrak. Fano menulis banyak buku di antaranya teks geometri yang terkenal,Lezionidi geometria descrittiva (1914) dan Lezioni di geometria analitica e proiettiva (1930).

B. GEOMETRI FANOPada tahun 1892, Gino Fano menemukan gometri tiga dimensi yang mempunyai 15 titik, 35 garis dan 15 bidang. Satu dari bidang-bidang tersebut adalah Geometri Fano.1. AksiomaAksioma1: Terdapat paling sedikit satu garis.

Aksioma2: Terdapat tepat tiga titik pada setiap garis.

Aksioma 3: Tidak semua titik segaris.

Aksioma 4: Terdapat tepat satu garis pada sebarang dua titik berbeda.

Aksioma 5: Terdapat paling sedikit satu titik sekutu pada sebarang dua garis berbeda.

Garis k : Garis l :Garis m :Garis n :Garis t :Garis u :Garis v :Berikut model Geometri Fano.

2. Teorema Teorema 1: Dua garis berbeda mempunyai tepat satu titik sekutu Bukti:

NoPernyataanAlasan

1Dua garis berbeda, misal garis k dan lPremis

2Terdapat satu titik sekutu dari garis k dan l, misal titik PAksioma 5

3Andaikan terdapat titik sekutu yang lain dari garis k dan l, misal titik QPengandaian

4Titik P dan Q pada garis kAkibat 2 dan 3

5Titik P dan Q pada garis lAkibat 2 dan 3

6Terdapat dua garis yaitu garis k dan l melalui dua titik yaitu titik P dan QAkibat 6 dan 7 (kontradiksi aksioma 4)

Jadi, pengandaian salah sehingga pernyataan dua garis berbeda mempunyai tepat satu titik sekutu adalah benar (Teorema 1 terbukti).Teorema 2: Geometri Fano mempunyai tepat 7 titik dan 7 garis.

Garis k : Garis l :Garis m :Garis n :Garis t :Garis u :Garis v :Bukti:

NoPernyataanAlasan

1Terdapat sebuah garis kDikonstruksi, aksioma 1

2Garis k memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik A, B dan CAksioma 2

3Terdapat minimal satu titik tidak pada garis k, misal titik PAksioma 3

4Terdapat garis-garis yang berbeda dari titik P ke setiap titik pada garis k, misal garis l, m, dan nAksioma 4

5Garis l memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik P, Q, dan AAksioma 2

6Garis m memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik P, R, dan BAksioma 2

7Garis n memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik P, S, dan CAksioma 2

8Terdapat minimal 7 titik A, B, C, P, Q, R, dan S5, 6, dan 7

9Terdapatgaris t melalui titik Q, R, dan CDikonstruksi, aksioma 4, dan aksioma 5

10Terdapat garis u melalui titik S, R dan ADikonstruksi, aksioma 4, dan aksioma 5

11Terdapat garis v melalui titik Q, B, dan S Dikonstruksi, aksioma 4, dan aksioma 5

12Terdapat minimal 7 garis k, l, m, n, t, u, dan v1, 4, 9, 10, dan 11

13Andaikan terdapat titik ke-8, misalkan titik TPengandaian

14Titik P dan T dihubungkan olehsebuah garis, misal garis r (garis ke-8)Aksioma 4

15Garis r dan k berpotongan, misal titik potong garis r dan k adalah titik AAksioma 5

16Titik P danA terdapat pada garis l dan r5, 14, dan 15

17Garis l dan r merupakan garis yang sama 16, Aksioma 4 (kontradiksi 14)

18Titik potong garis r dan k bukan pada titik A, misal titik potong garis r dan k adalah titik B15dan17

19Titik P dan B terdapat pada garis m dan r6, 14, dan 18

20Garis m dan r merupakan garis yang sama 19, Aksioma 4 (kontradiksi 14)

21Titik potong garis r dan k bukan pada titik B, misal titik potong garis r dan k adalah titik C18dan 20

22Titik P dan C terdapat pada garis n dan r7, 14, dan 21

23Garis n dan r merupakan garis yang sama 22, Aksioma 4 (kontradiksi 14)

24Titik potong garis r dan k bukan pada titik C18, 21dan 23

25Titik potong garis r dan k bukan pada titik A, B, dan C, misal pada titik D18, 21, 24, danAksioma 5

26Terdapat 4 titik berbeda pada garis k yaitu titik A, B, C, dan D2dan25(kontradiksi aksioma 2)

27 Terdapat tepat 7 titik A, B, C, P, Q, R, dan S Terdapat7 garis k, l, m, n, t, u, dan v8, 13, 14, 17, 20, 23, dan 29

Jadi, pernyataan Geometri Fano mempunyai tepat 7 titik dan7 garis adalah benar (Teorema 2 terbukti).Teorema 3: Garis yang melalui sebarang titik memuat semua titik.Bukti 1:

Jika diambil sebarang titik A, maka semua titik berada dalam garis yang melalui titik A.NoPernyataanAlasan

1Ambil sebarang titik APremis

2Setiap titik yang lain dihubungkan oleh sebuah garis ke titik AAksioma 4

3Semua titik berada dalam garis yang melalui titik A2

Bukti 2:NoPernyataanAlasan

1Terdapat sebuah garis kDikonstruksi, aksioma 1

2Garis k memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik A, B dan CAksioma 2

3Terdapat minimal satu titik tidak pada garis k, misal titik PAksioma 3

4Terdapat garis-garis yang berbeda dari titik P ke setiap titik pada garis k, misal garis l, m, dan nAksioma 4

5Garis l memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik P, Q, dan AAksioma 2

6Garis m memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik P, R, dan BAksioma 2

7Garis n memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik P, S, dan CAksioma 2

8Terdapat minimal 7 titik A, B, C, P, Q, R, dan S5, 6, dan 7

9Terdapat garis t melalui titik Q, R, dan CDikonstruksi, aksioma 4, dan aksioma 5

10Terdapat garis u melalui titik S, R dan ADikonstruksi, aksioma 4, dan aksioma 5

11Terdapat garis v melalui titik Q, B, dan S Dikonstruksi, aksioma 4, dan aksioma 5

12Terdapat minimal 7 garis k, l, m, n, t, u, dan v1, 4, 9, 10, dan 11

13Ambil sebarang titik APremis

14Setiap titik yang lain dihubungkan oleh sebuah garis ke titik AAksioma 4

15Semua titik berada dalam garis yang melalui titik A14

Jadi, untuk pernyataan garis pada geometri Fano yang melalui sebarang titik memuat semua titik adalah benar (Teorema 3 terbukti).

Teorema 4: Setiap titik dilalui tepat tiga garis.Bukti 1:

NoPernyataanAlasan

1Ambil sebarang titik APremis

2Setiap titik yang lain dihubungkan oleh sebuah garis ke titik AAksioma 4

3Andaikan terdapat kurang dari 3 garis melalui APengandaian

4Terdapat 1 atau 2 garis yang melaui titik A2, 3

5Terdapat 1 garis yang melalui titik A4

6Garis yang melalui titik A memuat lebih dari 3 titik5

7Pengandaian no. 3 salahKontradiksi dengan Teorema 3

8Terdapat tepat 2 garis yang melalui titik ATeorema 1, 3, 4

9Salah satu garis yang melalui titik A memuat lebih dari 3 titikTeorema 3, 8

10Pengandaian no. 3 salahKontradiksi dengan Teorema 3, Aksioma 2

11Terdapat paling sedikit 3 garis yang melalui titik A10

12Andaikan terdapat lebih dari 3 garis yang melalui titik APengandian

13Terdapat paling sedikit 4 garis yang melaui titik A12

14Terdapat paling sedikit 9 titik13, Teorema 1, Aksioma 2

15Pengandaian no. 12 salahKontradiksi dengan 11, Teorema 2

16Terdapat paling banyak 3 garis yang melaui titik A15

17Terdapat tepat 3 garis yang melaui titik A11, 15

Jadi,pengandaian salah sehingga pernyataan setiap titik dilalui tiga garis adalah benar (teorema 4 terbukti).Bukti 2:

NoPernyataanAlasan

1Terdapat sebuah garis kDikonstruksi, aksioma 1

2Garis k memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik A, B dan CAksioma 2

3Terdapat minimal satu titik tidak pada garis k, misal titik PAksioma 3

4Terdapat garis-garis yang berbeda dari titik P ke setiap titik pada garis k, misal garis l, m, dan nAksioma 4

5Garis l memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik P, Q, dan AAksioma 2

6Garis m memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik P, R, dan BAksioma 2

7Garis n memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik P, S, dan CAksioma 2

8Terdapat minimal 7 titik A, B, C, P, Q, R, dan S5, 6, dan 7

9Terdapatgaris t melalui titik Q, R, dan CDikonstruksi, aksioma 4, dan aksioma 5

10Terdapat garis u melalui titik S, R dan ADikonstruksi, aksioma 4, dan aksioma 5

11Terdapat garis v melalui titik Q, B, dan S Dikonstruksi, aksioma 4, dan aksioma 5

12Terdapat minimal 7 garis k, l, m, n, t, u, dan v1, 4, 9, 10, dan 11

13Ambil sebarang titik APremis

14Setiap titik yang lain dihubungkan oleh sebuah garis ke titik AAksioma 4

15Andaikan terdapat kurang dari 3 garis melalui APengandaian

16Terdapat 1 atau 2 garis yang melaui titik A13, 14

17Terdapat 1 garis yang melalui titik A16

18Garis yang melalui titik A memuat lebih dari 3 titik17

19Pengandaian no. 3 salahKontradiksi dengan Teorema 3

20Terdapat tepat 2 garis yang melalui titik ATeorema 1, 15, 16

21Salah satu garis yang melalui titik A memuat lebih dari 3 titikTeorema 3, 20

22Pengandaian no. 3 salahKontradiksi dengan Teorema 3, Aksioma 2

23Terdapat paling sedikit 3 garis yang melalui titik A22

24Andaikan terdapat lebih dari 3 garis yang melalui titik APengandian

25Terdapat paling sedikit 4 garis yang melaui titik A24

26Terdapat paling sedikit 9 titik13, Teorema 1, Aksioma 2

27Pengandaian no. 12 salahKontradiksi dengan 11, Teorema 2

28Terdapat paling banyak 3 garis yang melaui titik A27

29Terdapat tepat 3 garis yang melaui titik A24, 27

Jadi,pengandaian salah sehingga pernyataan setiap titik dilalui tiga garis adalah benar (teorema 4 terbukti).Teorema 5: Untuk setiap dua titik berbeda, terdapat tepat dua garis yang tidak melalui dua titik tersebut.Bukti:

NoPernyataanAlasan

1Ambil sebarang dua titik berbeda, misal titik A dan BPremis

2Terdapat sebuah garis yang menghubungkan titik A dan B, misal garis gAksioma 4

3Titik A tepat dilalui 3 garis berbeda yaitu garis g, h, dan iTeorema 4

4Titik B tepat dilalui 3 garis berbeda yaitu garis g, j, dan kTeorema 4

5Terdapat tepat 5 garis yang melalui titik A atau B yaitu garisg, h, i, j, dan k3 dan 4

6Terdapat tepat 7 garisTeorema 2

7Terdapat tepat 2 garis yang tidak melalui titik A dan B 5 dan 6

Jadi, pernyataan untuk setiap dua titik berbeda, terdapat tepat dua garis yang tidak melalui dua titik tersebut adalah benar (teorema 5 terbukti).

Teorema 6: Jika diketahui tiga garis yang tidak memuat titik yang sama, maka terdapat tepat satu titik yang tidak termuat pada ketiga garis tersebut.

BCOPQklmRKontradiksi dengan Aksioma 2: Setiap garismempunyai tepat tiga titikBukti:

AQO

m

k

ClP

B

NoPernyataanAlasan

1Tiga garis yang tidak memuat titik yang sama, misal garis yang menghubungkan titik A dan B adalah k, garis yang menghubungkan titik B dan C adalah l, dan garis yang menghubungkan titik A dan C adalah mPremis

2Setiap dua garis berpotongan pada satu titik, misal garis k & m berpotongan pada titik A, garis k & l berpotongan pada titik B, dan garis l & m berpotongan pada titik CTeorema 1

3Setiap garis memuat 3 titik, misal titik O pada garis k, titik P pada garis l, dan titik Q pada garis mAksioma 2

4Ada minimal 6 titik termuat pada ketiga garisAkibat 2 dan 3

5Ada maksimal 1 titik tidak termuat pada ketiga garis Akibat 4 dan teorema 2

6Andaikan tidak ada titik yang tidak termuat pada ketiga garis tersebutPengandaian

7Ketujuh titik termuat pada garis k, l, dan m, misal ada titik R pada garis mAkibat 6

8Ada garis yang memuat 4 titik, yaitu garis mAkibat 7 (Kontradiksi aksioma 2)

Karena terjadi kontradiksi, maka pengandaian pernyataan nomor 6 salah sehingga tidak mungkin tidak ada titik yang tidak termuat pada ketiga garis.Jadi, ada tepat satu titik yang tidak termuat pada ketiga garis tersebut (teorema 6 terbukti).

C. APLIKASI GEOMETRI FANO1. Pembentukan suatu kepanitiaanSalah satu model yang menarik pada aplikasi dalam geometri Fano adalah suatu model untuk membentuk kepanitiaan, di mana setiap garis mewakili kepanitiaan dan setiap titik mewakili seseorang dalam kepanitiaan. Pada model ini cukup terdiri dari 7 orang dalam kepanitiaan sedemikian hingga setiap orang tidak bertemu lagi dalam susunan kepanitiaan dan setiap panitia terdiri 3 orang.

Kepanitiaan 3AnaFranGeorgeKepanitiaan 1AnaBobiCarliMisalkan ada 7 orang yaitu Ana, Bobi, Carli, Dara, Eli, Fran, danGeorge. Susunan anggota kepanitiaan yang dapat dibentuk adalah

Kepanitiaan 2AnaDaraEliCommittee 1AnaBobiCarliCommittee 2AnaDaraEliCommittee 3AnaFranGeorgeCommittee 4BobiDaraFranCommittee 5CarliEliFranCommittee 6BobiEliGeorgeCommittee 7CarliDaraGeorgeCommittee 1AnaBobiCarliCommittee 2AnaDaraEliCommittee 3AnaFranGeorgeCommittee 4BobiDaraFranCommittee 5CarliEliFranCommittee 6BobiEliGeorgeCommittee 7CarliDaraGeorgeCommittee 1AnaBobiCarliCommittee 2AnaDaraEliCommittee 3AnaFranGeorgeCommittee 4BobiDaraFranCommittee 5CarliEliFranCommittee 6BobiEliGeorgeCommittee 7CarliDaraGeorgeCommittee 1AnaBobiCarliCommittee 2AnaDaraEliCommittee 3AnaFranGeorgeCommittee 4BobiDaraFranCommittee 5CarliEliFranCommittee 6BobiEliGeorgeCommittee 7CarliDaraGeorgeCommittee 1AnaBobiCarliCommittee 2AnaDaraEliCommittee 3AnaFranGeorgeCommittee 4BobiDaraFranCommittee 5CarliEliFranCommittee 6BobiEliGeorgeCommittee 7CarliDaraGeorge

Kepanitiaan 5CarliEliFranKepanitiaan 6BobiEliGeorgeKepanitiaan 4BobiDaraFran

Kepanitiaan 7CarliDaraGeorge

Selanjutnya, model tersebut dapat dikembangkan lebih lanjut dalam masalah permainan membentuk komposisi yang terdiri dari pemain golf yang terdiri dari 20 peserta sehingga mereka bermain selama 5 hari dan tidak bermain lebih dari sekali dengan pemain golf lainnya.

1. Perpindahan Jaringan

Gambar 1. The Fano Plane dan 3 Switching network

Salah satu aplikasi perpindahan jaringan ini adalah perangkat yang dapat menghubungkan setiap ponsel ke ponsel yang lain Misalkan sebuah tombol hanya dapat menghubungkan hingga tiga nomor, dan ada tujuh angka yang harus terhubung.Berapa banyak tombol yang diperlukan agar setiap nomor dapat memanggil nomor lain?Dengan memperhatikan garis pada pesawat Fano, penyelesaian ini adalah {1,2,4} 3 switching networks. Semua tombol yang ditemukan dengan menambahkan 0 sampai 6, modulo 7 seperti {{1, 2, 4}, {1, 5, 6}, {1, 3, 7}, {2, 6, 7}, {2, 3, 5}, {3, 4, 6}, {4, 5, 7}}.

1. Teori GraphDengan melihat bagaimana garis dan titik berhubungan, sebuah graph biasa dapat digambar dalam bidang Fano, graph yang terkandung didalamnya, titik dan garis adalah ujung dari graph. Graph / titik sudut menghubungkan setiap garis pada satu titik, atau titik pada satu garis (Graph biasa ditunjukkan dalam kolom Graph Domino) graph ini adalah graph Heawood, yang merupakan graph sangkarGeoff Exoo adalah seorang ahli graph sangkar,salah satu penemuannya adalah graph Heawood dapat direpresentasikan sebagai ratu di papan catur.

DAFTAR PUSTAKASmart, James. 1973. Modern Geometry. California: Brookscole Publishing Company.http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.../Makalah-IF2091-2011-025.pdf. Diakses 23 September 2013.http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_05_30_06.html. Math Games. Mathematical Association of America. Diakses 23 September 2013.http://en.wikipedia.org/wiki/Fano_plane. Diakses 25 September 2013.http://math.ucdenver.edu/~wcherowi/courses/m3210/lecture2.pdf. A Communication Network. Diakses 25 September 2013.http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Fano.html. Gino Fano Biographies. Diakses 25 September 2013.Alvita. 2013. Anything for Me, (online), (http://en.wikipedia.org/wiki/Fano_plane, diakses 25 September 2013).

19