Muhammad Dakim

Matematikasmart.wordpress.com Page 7

Langkah-langkah menentukan titik potong grafik fungsi kuadrat :

1. Tentukan titik potong sumbu-x, dengan mensubstitusikan/menggantikan nilai y = 0, kemudian difaktorkan, sehingga didapatkan nilai x1 dan x2. Titik potongnya (x1, 0) dan (x2, 0)

2. Tentukan titik potong sumbu-y, dengan mensubstitusikan/menggantikan nilai x = 0, sehingga didapatkan nilai y Titik potongnya (0, y)

Ingat..!!! Penyelesaian persamaan kuadrat : 푎푥 + 푏푥 + 푐 = (푎푥 − 푝)(푎푥 − 푞) dengan p + q = b dan pq = ac ac = p.q = 3(-2) = 1(-6) = -6 b = p + q = 1 + (-6) = -5

FUNGSI KUADRAT

Jenis-jenis soal fungsi kuadrat yang sering diujikan adalah soal-soal tentang : 1. Titik potong 2. Titik puncak 3. Menggambar grafik 4. Menentukan tanda a, b, c dan D 5. Menentukan persamaan SOAL DAN PEMBAHASAN 3.1 Soal dan pembahasan titik potong

Soal titik potong dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 3.1

Contoh Soal : 1. UN 2011

Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat 푦 = 3푥 − 푥 − 2 dengan sumbu X dan sumbu Y adalah …. Penyelesaian : Titik potong sumbu x→y = 0 3푥 − 푥 − 2 = 0

(3푥 + 2)(3푥 − 3) = 0

푥 = − atau 푥 = 1

Titik potong sumbu X adalah (− , 0) dan (1, 0) Titik potong sumbu y→x = 0 푦 = 3푥 − 푥 − 2 = 3. 0 − 0 − 2 = −2 Titik potong sumbu Y adalah (0, -2) Jadi, titik potongnya adalah (− , 0), (1, 0), (0, -2)

2. UN 2012 Koordinat titik potong kurva 푦 = 3푥 − 5푥 − 2 dengan sumbu X dan sumbu Y berturut-turut adalah .... Penyelesaian : Titik potong sumbu x→y = 0 푦 = 3푥 − 5푥 − 2

(3푥 + 1)(3푥 − 6) = 0

푥 = − atau 푥 = 2

Konsep 3.1

Muhammad Dakim

Matematikasmart.wordpress.com Page 8

Dari y = ax2 + bx + c didapat :

Puncak =

aacb

ab

44,

2

2

Dengan :

Sumbu simetri : abx

2

Nilai ekstrim :

0

044 min

2

ajikayyajikayy

aacby

makseks

ekseks

Titikpotong sumbu X adalah (− , 0) dan (2, 0) Titik potong sumbu y→x = 0 푦 = 3푥 − 5푥 − 2 = 3. 0 − 5.0 − 2 = −2 Titik potong sumbu Y adalah (0, -2) Jadi, titik potongnya adalah (− , 0), (2, 0), (0, -2)

3.2 Soal dan pembahasan titik puncak/titik balik Soal titik pucak dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 3.2

Contoh Soal : 1. UN 2011

Persamaan simetri grafik fungsi kuadrat 푦 = 5푥 − 20푥 + 1 adalah … Penyelesaian : Rumus sumbu simetri:

푥 = = ( )( )

= = 2

2. UN 2012

Koordinat titik balik grafik fungsi 푦 = 푥 − 2푥 + 5 adalah .... Penyelesaian : 푦 = 푥 − 2푥 + 5 a = 1, b = -2, c = 5 Rumus titik balik/titik puncak

, = ( ).

, . ..

= , = (1, 4) Jadi, Koordinat titik balik grafik fungsi 푦 = 푥 − 2푥 + 5 adalah (1, 4)

Konsep 3.2

Muhammad Dakim

Matematikasmart.wordpress.com Page 9

Langkah-langkah menggambar grafik :

1. Tentukan salah satu dari : Titik potong sumbu x atau y Puncak = ,

2. a > 0 ↔ kurva terbuka ke atas a < 0 ↔ kurva terbuka ke bawah

D a > 0 (fungsi minimum) a < 0 (fungsi maksimum)

D > 0

Grafik memotong sumbu X di dua titik

Grafik memotong sumbu X di dua titik

D = 0 Grafik menyinggung sumbu X

Grafik menyinggung sumbu X

D < 0

Grafik tidak menyinggung sumbu X

Grafik tidak menyinggung sumbu X 1. Menentukan tanda a

a > 0 ↔ kurva terbuka ke atas a < 0 ↔ kurva terbuka ke bawah

2. Menentukan tanda b Sumbu simetri : 푥 = ↔ 푏 = −2푎. 푥

3. Menentukan tanda c c > 0 ↔ kurva memotong sumbu Y positif c < 0 ↔ kurva memotong sumbu Y negative

4. Menentukan tanda D D > 0 ↔ kurva memotong sumbu X di dua titik D < 0 ↔ kurva memotong sumbu X D = 0 ↔ kurva menyinggung sumbu X

3.3 Soal dan Pembahasan Menggambar Grafik Soal menggambar grafik dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 3.3

3.4 Soal dan Pembahasan Menentukan tanda a, b, c dan D Soal menentukan tanda a, b, c dan D dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 3.4

Konsep 3.3

Konsep 3.4

Muhammad Dakim

Matematikasmart.wordpress.com Page 10

Ingat..!!! Penyelesaian pertidaksamaan : (i) (푥 − 푥 )(푥 − 푥 ) ≤ 0 adalah

푥 ≤ 푥 ≤ 푥 (ii) (푥 − 푥 )(푥 − 푥 ) ≥ 0 adalah

푥 ≤ 푥 atau 푥 ≥ 푥

Menentukan persamaan jika grafiknya diketahui, caranya adalah :

1. Jika diketahui puncak = (xp, yp),

gunakan rumus : y = a(x – xp)2 + yp

X

(xp, yp)

(x, y)

0 y = a(x – xp)2 + yp

Y

Contoh Soal : 1. UN 2010

Grafik fungsi kuadrat 푓(푥) = 푥 + 푏푥 + 4 menyinggung garis 푦 = 3푥 + 4. Nilai b yang memenuhi adalah …. Penyelesaian : Karena garis dan grafik bersinggungan, maka berlaku : 푥 + 푏푥 + 4 = 3푥 + 4 푥 + (푏 − 3)푥 = 0 Syarat kedua kurva bersinggungan adalah D = 0 푏 − 4푎푐 = 0 (푏 − 3) − 4.1.0 = 0 푏 − 6푏 + 9 = 0 (푏 − 3)(푏 − 3) = 0 푏 = 3

2. UN 2011 Grafik 푦 = 푝푥 + (푝 + 2)푥 − 푝 + 4 memotong sumbu x di dua titik. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah …. Penyelesaian : 푦 = 푝푥 + (푝 + 2)푥 − 푝 + 4 Syarat kurva memotong sumbu X di dua titik : D > 0 ↔ 푏 − 4푎푐 > 0 ↔ (푝 + 2) − 4푝(−푝 + 4) > 0 ↔ 푝 + 4푝 + 4 + 4푝 − 16푝 > 0 ↔ 5푝 − 12푝 + 4 > 0

↔ (푝 − 2)(5푝 − 2) = 0 푝 = 2 atau 푝 =

Jadi, batas-batas nilai p yang memnuhi adalah 푝 < atau 푝 > 2

3.5 Soal dan pembahasan Menentukan Persamaan Soal menentukan persamaan dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 3.5

Konsep 3.5

Muhammad Dakim

Matematikasmart.wordpress.com Page 11

2. Jika diketahui titik potong dengan sumbu x yakni (x1, 0) dan (x2, 0),

gunakan rumus: y = a(x – x1)(x – x2)

3. Yang lain, gunakan rumus : y = ax2 + bx + c

X (x1, 0)

(x, y)

0 y = a(x – x1) (x – x2)

(x2, 0)

Y Contoh Soal : 1. UN 2011

Persamaan grafik fungsi kuadarat yang memotong sumbu X di titik (1, 0) dan (3, 0) serta melalui titik (-1, -16) adalah …. Penyelesaian : Titik potong sb-x (x1, 0) = (1, 0) dan (x2, 0) = (3, 0) Melalui titik (x, y) = (-1, -16) 푦 = 푎(푥 − 푥 )(푥 − 푥 ) −16 = 푎(−1 − 1)(−1 − 3) −16 = 8푎 ↔ 푎 = −2

Persamaan grafiknya adalah : 푦 = −2(푥 − 1)(푥 − 3) 푦 = −2푥 + 8푥 − 6 atau 푦 = 2푥 − 8푥 + 6

2. UN 2011 Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah … Penyelesaian : Titik potong dengan sumbu-X adalah (-3, 0) dan (1, 0) Persamaan yang melalui titik (-3, 0) dan (1, 0) adalah : 푦 = 푎(푥 − 푥 )(푥 − 푥 ) 푦 = 푎(푥 + 3)(푥 − 1) Melalui titik (0, 6) 6 = 푎(0 + 3)(0− 1) 6 = −3푎 푎 = −2

Muhammad Dakim

Matematikasmart.wordpress.com Page 12

Jadi, 푦 = −2(푥 + 3(푥 − 1) 푦 = −2(푥 + 2푥 − 3) 푦 = −2푥 − 4푥 + 6

3. UN 2012

Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (-1, 4) dan melalui titik (0, 3) adalah .... Penyelesaian : Titik balik (xp, yp) = (-1, 4) Melalui titik (x, y) = (0, 3) 푦 = 푎 푥 − 푥 + 푦 푦 = 푎(푥 + 1) + 4 Melalui titik (0, 3) 3 = 푎(0 + 1) + 4 3 = 푎 + 4 푎 = 3 − 4 = −1 Jadi, 푦 = −1(푥 + 1) + 4 푦 = −푥 − 2푥 − 1 + 4 푦 = −푥 − 2푥 + 3