Fungsi Kuadrat dan Grafiknya

Fungsi Kuadrat dan Grafiknya (Revisi)I. Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi f: R R yang dinyatakan dengan f: x ax2 + bx + c dimana a, b, c R dan a 0 disebut fungsi derajad dua atau lebih lazim disebut fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat f: ax2 + bx + c mempunyai persamaan y= ax2 + bx + c dan grafiknya berupa parabola.

II. Nilai Ekstrim Fungsi

f(x)= ax2 + bx + c , a0

= a(x2 + x) + c

= a(x + )2 - , dimana D = b2 4ac

Jika a > 0, maka a(x + )2 0, nilai minimum f(x) = - untuk x= -

Jika a < 0, maka a(x + )2 0, nilai maksimum f(x)= - untuk x= -

D = b2 4ac disebut diskriminan

Jika titik P adalah titik puncak parabola maka P ( - , - ). sumbu simetri parabola adalah x= -.

III. Kedudukan Grafik y= ax2+ bx + c terhadap sumbu x

Nilai- niao x yang menyebabkan nilai f(x) = ax2 + bx + c dengan nol, disebut nilai nol fugsi f(x). Nilai nol fungsi uadrat f(x) = ax2 + bx + c dapat diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0.

Ada 6 macam grafik parabola fungsi kuadrat

Untuk mengetahui bahwa grafik dari fungsi f adalah parabola, kita dapat membuat sketsa kurva y= ax2 + bx + c dengan cara sebagai berikut:

a. Jika ax2 + bx + c dapat difaktorkan.

Tentukan titik potong kurva dengan sumbu y

Tentukan titik potong kurva dengan sumbu x

Tentukan titik puncak

b. Jika ax2 + bx + c tidak dapat difaktorkan.

Tentukan titik potong kurva dengan sumbu y.

Tentukan titik puncak dengan memperhatikan sumbu simetri.

Tentukan beberapa titik lain yang mudah.

Contoh Soal:

Gambar grafik fungsi kuadrat yang ditentukan oleh rumus f(x) = 5 + 4x x2, jika asalnya {x-2 x 6, x R}

Jawab:

f(x) = 5 + 4x x2 tidak dapat difaktorkan, maka:

a. Misal x = 0, maka y = 5. Jadi, (0, 5)b. y = - = 9 ; x = - = 2. Jadi (2, 9)c. Mengambil titik lain yang lebih mudah

x = 5 maka y = 0; (5, 0)x = -1 maka y = 0; (-1, 0)

Titik P(2,9) disebut titik puncak parabola atau titik maksimum karena tidak ada titik lain pada kurva yang koordinatnya lebih dari 9. Nilai f(x) yang bersesuain dengan titik maksimum ialah 9, dan disebut nilai maksimum fungsi.

IV. Grafik Funsi Kuadrat untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat

Perubahan nilai y dari positif kenegatif (atau sebaliknya) terjadi pada titik-titik potong parabola dengan sumbu x. Titik-titik ini bersesuaian dengan nilai nol dari fungsi f yang didapat dengan menyelesaikan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 . Dengan kata lain, cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat sama dengan cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Akan tetapi kita harus merubah dahulu tanda pertidaksamaan tersebut menjadi sama dengan. Contoh 5x2 + 3x + 10 > 0 kitu rubah tanda pertidaksamaannya menjadi 5x2 + 3x + 10 = 0.

V. Hubungan grafik fungsi dengan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

Sifat- sifat yang timbul karena adanya hubungan persamaan dan fungsi kuadrat serta grafiknya ada 3 sifat, yaitu:

a. Sifat 1

Jika a . f(p) < 0 maka f(x)= 0mempunyai dua akar yang berlainan x1 dan x2 dengan x1 < p < x2 dan sebaliknya.

b. Sifat 2

Jika f(p) . f(q) < 0 maka f(x)= 0 mempunyai dua akar real yang berlainan, selain satu akarnya di antara p dan q dan sebaliknya.

c. Sifat 3

Jika f(p) . f(q) > 0 dan f(x)= 0 mempunyai dua akar real, maka kedua akar itu terletak diantara p dan q, atau kedua akar itu terletak di luar selang atau interval < p, q >

a < 0

D < 0

a > 0

D = 0

5

a < 0

D = 0

2

a > 0

D < 0

-1

5

9

a < 0

D > 0

a > 0

D > 0