FUNGSI GREEN PADA MASALAH NILAI BATAS SATU DAN DUA DIMENSI

Membangun sebuah metode untuk menyelesaikan masalah nilai batas inhomogen

menggunakan fungsi Green membutuhkan sebuah rangkaian kerja yang terstruktur dan

disertai komponen-komponen pendukung hal tersebut. Komponen penting tersebut adalah

fungsi delta yang akan sering digunakan dalam proses penyelesaian masalah nilai batas

inhomogen. Oleh karenanya, sebelum kita membahas fungsi Green pada masalah nilai batas

inhomogen, terlebih dahulu kita akan membahas hal-hal yang perlu diketahui tentang fungsi

delta.

A. FUNGSI DELTA

Misalkan akan ditentukan nilai batas dari persamaan differensial biasa pada interval

≤ x≤b . Kondisi nilai batas diterapkan pada titik-titik ujung interval. Masalah utama yang

menjadi perhatian kita ada dua, yakni :

a) bagaimana ciri gaya impuls yang terkonsentrasi pada satu titik.

Secara umum, gaya per unit pada posisi a≤ξ≤b disebut dengan fungsi delta, dan

dilambangkan dengan δξ (x). Ada dua kondisi yang dibutuhkan fungsi Delta, yaitu :

i) Karena gaya seharusnya terkonsentrasi hanya pada x = ξ, maka

δ ξ ( x )=0untuk x≠ ξ (1)

ii) karena fungsi delta merupakan impuls satuan maka jumlah total gaya menjadi

sama dengan satu. Karena kita berada pada daerah kontinu maka gaya total

dilambangkan dengan sebuah integral pada sebuah interval . Jadi fungsi delta

memenuhi persamaan

∫a

b

δξ (x )=1 (2)

Dengan interval a≤ξ≤b .

Ada dua cara yang mungkin untuk memperkenalkan fungsi delta. Keduanya

penting dan sangat bernilai.

Metode Limit : Pendekatan pertama adalah untuk menganggap fungsi delta δ ξ ( x )

adalah limit dari barisan dari fungsi gn ( x ) secara mulus. Hal Ini akan mewakili

perkembangan lebih dan lebih terkonsentrasi dalam batas, menyatu ke unit

yang di inginkan pada impuls terkonsentrasi pada satu titik, x≠ ξ .

sehingga

limn→∞

gn ( x )=0 , x≠ ξ (3)

sementara jumlah total gaya adalah tetap dengan

∫a

b

gn ( x )=1 (4)

Secara formal

δ ξ ( x )=limn→∞

gn ( x )

Sehingga akan memenuhi sifat dari persamaan (2) dan (3).

b) bagaimana ciri gaya impuls yang terkonsentrasi pada titik-titik sebarang ξ oleh

translasi sederhana :

δ ξ=δ (x−ξ ) (5)

Jadi, δ ξ dapat direalisasikan sebagai limit n→∞ dari fungsi translasi

gn ( x )=gn ( x−ξ )= n

π [1+n2 ( x−ξ )2](6)

Metode Dualitas. Pendekatan kedua sedikit lebih abstrak, tapi lebih banyak

mendekati formulasi teori distribusi yang lebih tepat seperti fungsi delta. Sifat

kritikal diperoleh jika u(x ) adalah sebarang fungsi kontinu, maka:

∫a

b

δξ (¿ x)u ( x )dx=u(ξ )¿, untuk a<ξ<b (7)

Karena δ ξ ( x )=0untuk x≠ ξ , integral hanya bergantung pada nilai u di titik x=ξ ,

sehingga:

∫a

b

δξ (¿ x)u ( x )dx=∫a

b

δξ (¿ x )u (ξ ) dx=u (ξ )∫a

b

δξ (¿ x)dx=u (ξ)¿¿¿

Persamaan (7) berfungsi untuk mendefinisikan fungsi linear Lξ=C0[a ,b]→R

yang memetakan sebuah fungsi kontinu u∈C0[a ,b] ke nilainya di titik x=ξ :

Lξ [u ]=u (ξ ) . (8)

Persyaratan linearitas dasar adalah:

Lξ [u+v ]=u [ξ ]+v [ξ ]=Lξ [u ]+Lξ [v ] , Lξ [cu ]=cu (ξ )=c Lξ [u ] ,

untuk sebarang fungsi u ( x ) , v (x). Pada pendekatan dual ke fungsi generalisasi,

fungsi delta didefinisikan sebagai fungsi linear partikuler (8). Fungsi u(x )

biasanya berarti sebuah fungsi test, karena berfungsi untuk menguji bentuk

fungsi linear Lξ.

Perhatikan: Jika titik impulse ξ berada di luar domain integrasi, maka:

∫a

b

δξ (¿ x)u ( x )dx=0 ,¿ ξ<0 atau ξ<b (9)

Karena integral tersebut identik dengan nol di semua interval. Untuk alasan

teknis, kita tidak akan mendefinisikan integral (9) jika titik impuls ξ=a atau ξ=b

berada pada batas interval integrasi.

Interpretasi fungsi linear Lξ mewakili jenis fungsi δ ξ (x) berdasarkan pada garis

pemikiran berikut. Berdasarkan akibat B.33, setiap nilai scalar fungsi linear

L :Rn→R pada ruang vector dimensi berhingga Rn diberikan dengan mengambil

hasil kali titik dengan elemen tetap a ∈Rn, sehingga:

L [u ]=¿ a. u

Dalam hal ini, fungsi linear Rn “sama” seperti vector. Demikian pula, pada ruang

fungsi dimensional tak terbatas C0 [a ,b ] , inner product L2 diambil dengan fungsi

kontinu yang tetap g∈C0[a ,b],

Lg [u ]= ⟨g ;u ⟩=∫a

b

g (¿ x)u (x ) dx ¿, (10)

mendefinisikan nilai real fungsi linear Lg :C0[a ,b]→R. Namun, tidak seperti

halnya dengan situasi dimensional yang terbatas, tidak setiap fungsi linear yang

bernilai real memiliki bentuk seperti ini. Secara khusus dapat dikatakan bahwa

tidak ada fungsi δ ξ (x) sedemikian sehingga identitas

Lξ [u ]= ⟨δ ξ ;u ⟩=∫a

b

δξ (¿ x )u ( x ) dx=u(ξ )¿ (11)

terpenuhi untuk setiap fungsi kontinu u(x ). Setiap fungsi kontinu mendefinisikan

sebuah fungsi linear, tetapi tidak sebaliknya.

Tetapi interpretasi dualitas dari fungsi tergeneralisasi bertindak seperti jika

hal ini benar. Fungsi yang tergeneralisasi, pada kenyataannya, merupakan fungsi

linear yang bernilai real pada ruang fungsi. Namun, terlihat sebagai sebuah

fungsi yang diperoleh melalui perkalian dalam L2. Meskipun identifikasi ini tidak

untuk dipahami secara harfiah, seseorang dapat dengan hati-hati, memanipulasi

fungsi tergeneralisasi ini seolah-olah fungsi tersebut adalah fungsi yang

sebenarnya, tetapi selalu ingat bahwa yang menjadi pembenaran dari

perhitungan tersebut pada akhirnya harus bergantung pada karakterisasi

bawaannya sebagai fungsi linear.

Kedua pendekatan, limit dan dualitas, benar-benar sesuai. Kita dapat membangun

formula ganda (11) sebagai limit dari inner product fungsi u dengan pendekatan yang

mendorong fungsi gn(x ) agar memenuhi (3-4).

u (ξ )=limn→∞

⟨ gn ;u ⟩=¿ limn→∞

∫a

b

gn(¿ x)u ( x ) dxn→∞

=∫a

b

δ ξ (¿ x)u (x ) dx= ⟨δ ξ ;u ⟩¿¿¿ (12)

Dalam hal ini, limit fungsi linear merepresentasikan fungsi delta:

u (ξ )=Lξ [u ]= limn→∞

Ln [u ] , di mana Ln [u ]=∫0

l

gn(¿ x)u ( x )dx ¿

Integral dari fungsi delta merupakan fungsi tangga:

∫a

x

δξ (t ) dt=σ ξ ( x )=σ ( x−ξ )=o , x<ξ1 , x>ξ

dimanaa<ξ (13)

Tidak seperti fungsi delta, fungsi langkah/tangga σξ ¿) adalah fungsi biasa. Fungsi ini

kontinu (bahkan konstan) kecuali di x=ξ . Nilai fungsi langkah pada titik diskontinu x= y

yang tersisa tidak ditentukan, meskipun pilihan yang bijaksana dan kompatibel dengan

teori Fourier adalah untuk mengatur σξ ( y )=12

, untuk limit kiri dan limit kanan.

Kita catat bahwa rumus integrasi (13) kompatibel dengan karakterisasi

fungsi delta sebagai gaya yang memiliki konsenstrasi yang sangat tinggi. Dengan

mengintegrasikan fungsi pendekatan (5), kita memperoleh :

f n ( x )=∫−∞

x

gn ( t )dt= 1πtan−1nx+ 1

2

Karena

limy→∞

tan−1 y=12π sedangkan lim

y→−∞tan−1 y=−1

2π

fungsi-fungsi konvergen ke fungsi langkah:

limn→∞

f n ( x )=σ (x )=1 , x>0 ,12, x=0 ,

0 , x<0.

(14)

Sebuah ilustrasi grafis dari proses membatasi muncul pada Gambar 5.2.

Integral dari fungsi langkah diskontinu (13) adalah fungsi kontinu

∫a

x

σξ ( t ) dt=ρξ ( x )= ρ ( x−ξ )= 0 , x<ξx−ξ , x>ξ

dimana a<ξ (15)

yang digambarkan pada Gambar 1. Perhatikan bahwa ρ(x−ξ) memiliki sudut pada x=ξ

, dan karenanya tidak terdiferensialkan di titik tersebut, bahkan, turunannya dρdx

=σ

memiliki diskontinuitas yang melompat. kita bias melanjutkan integrasi; integral nth

dari fungsi delta adalah fungsi rangka nth jalan

ρn ( x−ξ )=(x−ξ)n

n!, x>ξ

0 , x<ξ (16)

Bagaimana dengan diferensiasi? Termotivasi oleh Teorema Dasar Kalkulus, kita akan

menggunakan rumus (13) untuk mengidentifikasi turunan dari fungsi langkah dengan fungsi

delta.

dσdx

=δ (17)

Fakta ini sangat signifikan. Dalam kalkulus dasar, seseorang tidak diperbolehkan untuk

membedakan fungsi terputus. Di sini, kita menemukan bahwa derivatif dapat didefinisikan,

bukan sebagai fungsi biasa, melainkan sebagai fungsi delta umum.

Identitas dasar merupakan contoh khusus dari aturan umum untuk membedakan

fungsi dengan diskontinuitas. Fungsi f (x) kontinu pada titik ξ jika dan hanya jika limit kiri

dan kanan

f ¿ (18)

ada dan sama dengan nilai pada titik:

f ( ξ )=f ¿(19)

Jika satu sisi batas adalah sama, tetapi tidak sama dengan f (ξ) , maka fungsi tersebut

dikatakan memiliki diskontinuitas removable, karena mendefinisikan ulang nilainya menurut

(19) yang membuat f kontinu pada titik yang bersangkutan. Contohnya adalah fungsi f (x)

yang sama dengan 0 untuk semuax≠0 ,namun memiliki f (0)=1. Diskontinuitas removable

dengan pengaturan f (0)=0membuat f (x)≡0 sama ke fungsi konstan yang kontinu. Karena

diskontinuitas removable tidak memiliki pengaruh, baik pada teori atau aplikasi, fungsi

selalu dapat dihilangkan tanpa penalti.

Peringatan: Meskipun δ ¿), kita akan tegas tidak menyebut 0

diskontinuitas removable dari fungsi delta. Hanya fungsi standar memiliki diskontinuitas

removable.

Akhirnya, jika kedua limit kiri dan kanan ada, tapi tidak sama, maka f dikatakan memiliki

diskontinuitas jump pada titik ξ . Besarnya lompatan adalah selisih

β=−¿ (20)

antara limit kanan dan kiri. Besarnya lompatan adalah positif jika fungsi melompat ke atas,

ketika bergerak dari kiri ke kanan, dan negatif jika ia melompat ke bawah. Perhatikan

nilainya dari fungsi pada titik, yaitu (ξ ) , yang bahkan mungkin tidak dapat didefinisikan.

Misalnya, fungsi langkah σ ¿) memiliki unit, yaitu, besarnya 1, diskontinuitas jump pada titik

asal:

σ ¿

dan kontinu dimana-mana.

Secara umum, turunan dari suatu fungsi dengan diskontinuitas jump adalah

fungsi yang tergeneralisasi termasuk fungsi delta terkonsentrasi pada setiap

diskontinuitasnya. Secara Lebih eksplisit,

Gambar 2. Turunan fungsi diskontinu pada Contoh 5.1.

Misalkan f (x) terdiferensialkan, dalam arti kalkulus biasa, terdiferensial dimana-mana

kecuali di titik ydimana ia memiliki diskontinuitas melompat dari β. Kita

dapat kembali mengekspresikan fungsi dalam bentuk

f (x)=g (x)+β σ (x−ξ) , (21)

di mana g(x )kontinu di mana-mana, dengan diskontinuitas jump pada x=ξ . Turunan

persamaan (21), kita peroleh bahwa

f ' (x)=g ' (x)+β δ (x – ξ), (22)

memiliki lompatan delta sebesar β di diskontinuitas .Dengan demikian, turunan dari f dan g

berhimpitan dimana-mana kecuali di titik diskontinunya.

Contoh 5.1. Berdasarkan fungsi

f ( x )=−x , x<115x2 , x>1 (23)

pada grafik Gambar 1. Kita catat bahwa f memiliki diskontinuitas jump tunggal pada x=1

dari magnitude

f ¿

Ini berarti bahwa

f ( x )=g ( x )+ 65σ (x−1 ) , dimana g ( x )= −x , x<1

15

x2−65, x>1

kontinu di mana-mana, karena limit kanan dan kiri di titik asal diskontinu adalah sama

dengan: g¿. Oleh karena itu,

f ' ( x )=g' ( x )+ 65δ ( x−1 ) , dimanag ' ( x )=−1 , x<1

25x , x>1

sementara g ' ¿) dan f ' (1) tidak didefinisikan. Dalam Gambar 5.4,lonjakan delta di turunan

dari fdisimbolkan dengan garis vertikal - meskipun perangkat inibergambar gagal untuk

menunjukkan besarnya dari 65

.

Perhatikan bahwa, pada contoh khusus ini, g'(x) dapat diperoleh dengan mendiferensialkan

secara langsung rumus f (x). Secara umum, sekali kita menentukan besar dan

letak diskontinuitas jump dari f (x) ,kita dapat menghitung turunan langsung tanpa

memperkenalkan fungsi bantuan g (x ¿ .

B. FUNGSI GREEN PADA MASALAH NILAI BATAS SATU DIMENSI

Pada bagian ini, kita akan menempatkan fungsi delta untuk mengembangkan metode

umum dalam menyelesaikan masalah nilai batas homogen linear. Idenya adalah dengan

melihat kembali metode aljabar linear yang telah diuraikan sebelumnya, yaitu

menyelesaikan terlebih dahulu sistem pada setiap unit fungsi delta. Hasil solusinya dikenal

dengan fungsi Green. Kemudian kita menggunakan prinsip superposisi linear untuk

menuliskan solusi umum Inhomogenitas. Sebelumnya kita perlu mengetahui sifat-sifat dasar

Fungsi Green, yaitu :

(i) selesaikan persamaan differensial homogeny di semua titik x≠ ξ .

Karena delta forcing hilang kecuali pada titik x = ξ, fungsi Green memenuhi persamaan diferensial homogen.

−c∂2G∂ x2

( x ;ξ )=0 untuk semua x≠ ξ (24)

(ii) penuhi kondisi batas homogen, yaitu

G (0 ;ξ )=0=G (1 ;ξ ).

(iii) argumennya adalah fungsi kontinu

untuk setiap ξ tetap, G ( x ;ξ ) adalah fungsi kontinu dari x, tapi turunannya ∂G /∂ x memiliki diskontinuitas jump yang besarnya -1/c pada titik impuls x=ξ . Akibatnya,

turunan kedua ∂2G /∂ x2 memiliki fungsi delta yang diskontinu di titik tersebut, dan dengan demikian memecahkan impuls dasar masalah nilai batas.

(iv) untuk setiap nilai ξ yang tetap, turunannya adalah sepotong-sepotong di C., dengan

lompatan tunggal yang tidak kontinu yang besarannya 1

p (ξ) Di titik impuls x=ξ .

Catat bahwa fungsi Green adalah fungsi simetris dari dua argumen:

G ( x ;ξ )=G (ξ ;x ). Simetri memiliki konsekuensi fisik yang menarik bahwa

perpindahan dari posisi x karena kekuatan impuls terkonsentrasi di

posisi ξ adalah persis sama dengan perpindahan dari di ξ karena dorongan yang

sama besar dengan yang diterapkan pada x.

Untuk mempermudah pemahaman kita, kita akan bahas contoh yang berkenaan

dengan sifat-sifat dasar tersebut.

Contoh 5.9 Masalah nilai batas

-cu’’= f(x), u(0) = 0 = u(1) (25)

Model perubahan bentuk u(x) dari sebuah batangan homogen tiap satuan panjang dengan

kekakuan konstan c yang kedua ujungnya diberikan pengaruh gaya dari luar f(x). Fungsi

Green untuk masalah nilai batas ini merupakan solusi

u ( x )=Gξ ( x )=G (x ;ξ )

Dengan kasus ketika fungsi gaya adalah impuls satuan terfokus pada titik 0 <ε< 1.

-cu’’ = ξ ¿) u(0) = 0 = u(1) (26)

Seperti biasa, untuk memecahkan suatu masalah nilai batas, pertama kita menyelesaikan

persamaan diferensial homogen, dan kemudian memperbaiki konstanta integrasi dengan

menggantikan ke dalam kondisi batas.

Solusi persamaan differensial dapat diperoleh dengan integrasi langsung. Pertama,

dengan (13),

u' (x )=−σ (x−ξ )c

+a,

Dengan a adalah sebuah konstanta integrasi. Integrasi kedua mengarah pada

u(x) = - ρ(x−ξ )

c+ax+b (27)

dimana ρ adalah fungsi jalur (5.25). Konstanta integrasi a,b adalah tetap dengan syarat

batas; karena 0 < ξ < 1, kita mempunyai

u(0) = b = 0, sedangkan u(1) = −1−ξ

c+a+b=0 , dan sehingga a=¿

1−ξc

Oleh karena itu, fungsi Green untuk masalah ini yaitu

G ( x ;ξ )=− ρ ( x−ξ )+(1−ξ ) x=f ( x )=x (1−ξ)/ c ,∧x ≤ ξξ(1−x)/ c ,∧x ≥ ξ

(28)

Gambar 5.8 adalah grafik dari G(x;ξ ) pada satu nilai khusus dari y = 7. Pada kasus c = 1.

Catatan bahwa untuk setiap ε tetap, Gξ (x)=G(x ;ξ ) adalah sebuah fungsi kontinu dari x.

Grafik tersebut terdiri dari dua segmen garis yang saling berhubungan, dengan sebuah sudut

pada titik aplikasi dari tiap gaya. Setelah kita telah menentukan fungsi green, maka masalah

nilai batas homogen (25) dapat diselesaikan dengan superposisi. Pertama menggambarkan

fungsi f(x) sebagai kombinasi linear dari impuls yang terfokus pada titik sepanjang batangan.

Dengan itu dapat digunakan integral untuk menjumlahkannya, sehingga gaya luar dapat

dituliskan sebagai

f(x) = ∫0

1

δ ( x−ξ ) f (ξ ) dξ (29)

Kita dapat menginterpretasikan (5.56) sebagai superposisi kontinu dari sebuah koleksi tak

hingga dari impuls, f(ξ)δ (x−ξ ), ukuran f(ξ) dan terfokus pada posisi ξ .

Prinsip superposisi menyatakan bahwa kombinas linear tidak homogen

menghasilkan kombinasi linear dari solusi. Sehingga solusi dari masalah nilai batas adalah

superposisi linear yang sama dengan dirinya sendiri

u ( x )=∫0

1

G ( x ;ξ ) f (ξ ) dξ (30)

Dari solusi fungsi green dalam masalah impuls tiap individu.

Untuk masalah nilai batas khusus (25), kita gunakan formula explisit (27) untuk

fungsi Green. Pecah integral (29) ke dalam dua bagian, di atas subinterval

0≤ξ≤ x danx ≤ξ≤1, kita sampai pada formula solusi explisit

u ( x )=1c∫0

x

(1−x ) ξ f ( ξ ) d ξ ξ+ 1c∫x

1

x (1−ξ ) f (ξ ) d ξ (31)

Sebagai contoh, dibawah sebuah gaya luar konstan f, (31) menghasilkan solusi

u ( x )= fc∫0

x

(1−x ) ξd ξ+ fc∫c

1

x (1−ξ ) d ξ= f2c

(1−x ) x2+ f2c

x (1−x )2= f2c

( x−x2) .

Mari kita, akhirnya, meyakinkan diri kita bahwa rumus superposisi (31) dapat memberikan jawaban yang benar. Pertama,

c dudx

=(1−x ) xf ( x )+∫0

x

[−ξf (ξ ) ] dξ−x (1−x ) f ( x )+∫x

1

(1−ξ ) f (ξ ) dξ

¿−∫0

1

ξf (ξ )dξ+∫x

1

f (ξ ) dξ

Dengan mendiferensialkan kembali, diperoleh −cd2ud x2

=f ( x ), seperti yang diklaim.

Untuk mempermudah pemahaman kita, kita akan bahas contoh yang berkenaan dengan sifat-sifat dasar tersebut.Teorema 1 pernyataan berikut saling ekuivalen :a. Satu-satunya solusi masalah nilai batas homogen dengan f ( x ) ≡0 adalah fungsi nol u ( x )≡0b. Masalah nilai batas nonhomogen memiliki solusi tunggal untuk setiap pilihan fungsi forcing.c. Masalah nilai batas mengakui adanya fungsi Green. C. FUNGSI GREEN PADA MASALAH NILAI BATAS DUA DIMENSI DENGAN PERSAMAAN

POISSONSekarang, kita akan membangun pendekatan fungsi green untuk menyelesaikan masalah nilai awal yang melibatkan masalah nilai batas dua dimensi yakni persamaan Poisson. Seperti sebelumnya, fungsi green dikhususkan sebagai solusi bagi masalah nilai batas homogen dimana nonhomogennya merupakan konsentrasi unit impuls, yaitu fungsi delta.

Solusi umum bagi masalah nilai batas kemudian diperoleh melalui superposisi linear, yaitu sebagai integral konvolusi dengan fungsi Green.Misalkan x=(x , y ) menyatakan koordinat kartesian pada umumnya pada bidang R2. Sebuah fungsi bernilai vectorv (x)=v (x , y )=(v1(x , y) , v2(x , y )) (32)Dikenal sebagai lapangan vector (planar). Sebuah lapangan vector menyatakan sebuah vector v (x , y ) ke setiap titik (x , y ) dalam domain definisinya, dan dapat dinyatakan sebagai sebuah fungsi v :Ω

→

R2.Operator gradient ∇ memetakan lapangan scalar u(x , y) ke lapangan vector ∇u=( ∂u∂x

,∂u∂ y ) (33)

Teorema 2Misalkan v(x) adalah lapangan vector mulus yang didefinisikan pada domain terbatas Ω⊂R2 .maka integral garis v disekitar batas ∂Ω Sama dengan integral lipat dua kurlnya pada domainnya :∫

∫Ω

(∇×v ) dxdy (34)Atau, secara keseluruhan,

∫∫Ω

( ∂v2∂ x

−∂v1∂ y )dxdy=∮

∂Ω

v1dx+v2dy (35)Contoh Misalkan kita menggunakan teorema Green pada lapangan vector khusus v(0,x).

karena ∇× v≡1, kita peroleh

∮∂Ω

xdy=∫∫Ω

dxdy=areaΩ (36)Hal ini berarti bahwa kita dapat menghitung luas domain planar dengan menghitung

integral garis di sekitar batasnya.

Contoh 5.14Misalkan kita menggunakan teorema Green (5.13) pada lapangan vector khusus v(0,x). karena ∇× v≡1, kita peroleh ∮∂Ω

xdy=∫∫Ω

dxdy=areaΩ (37)

Hal ini berarti bahwa kita dapat menghitung luas domain planar dengan menghitung integral garis di sekitar batasnya. Ini berarti bahwa kita dapat

menghitung luas sebuah domain planar dengan mengevaluasi integral garis sekitar

batasnya.

Teorema 3.Misalkan ~u dan u keduanya memenuhi masalah nilai batas yang sama untuk persamaan Poisson terhubung yang dibatasi daerah Ω. Maka ~u=u. Di samping itu, jika ~u dan u memenuhi masalah nilai batas Neumann, maka ~u=u+c untuk beberapa konstanta c.FUNGSI DELTA DUA DIMENSIFungsi Green untuk masalah nilai batas muncul ketika gaya fungsi adalah unit atau satuan dari impuls terkonsentrasi pada satu titik dalam domain tersebut.Dengan demikian, tahap pertama adalah menetapkan bentuk yang tepat untuk suatu unit impuls dalam konteks dua dimensi. Fungsi delta terkonsentrasi pada suatu titik ξ=( ξ ,μ )∈ R2 dinotasikan dengan δ ξ ( x )=δ ( ξ, μ ) ( x , y )=δ ( x−ξ )=δ ( x−ξ , y−η ) (38)didesain sedemikian sehingga δ ξ ( x )=0 , x≠ ,∬

Ω

δ ( ξ, μ ) ( x , y )dx dy=1 , ξ∈Ω (22)Secara khusus, δ (x , ξ )=δ 0 (x , y ) merupakan fungsi delta di titik asal. seperti dalam versi satu dimensi, tidak ada fungsi biasa yang memenuhi kedua kriteria, melainkan,δ (x, y) adalah dipandang sebagai batas barisan dari fungsi yang sangat terkonsentrasi, dengan: limn→∞

gn ( x , y )=0 , untuk ( x , y )≠ (0,0 )∬R 2

gn ( x , y )dx dy=1 (39)Dalam versi 1 dimensi, integral harus didefinisikan ketika fungsi delta terkonsentrasi pada suatu titik batas dari daerah asal.Karena integral ganda dapat dievaluasi ulang sebagai integral satu dimensi integral, dapat dilihat bahwa:

δ (ξ ,η ) ( x , y )=δ ξ ( x ) δη ( y )=δ (x−ξ ) δ ( y−η ) (40)FUNGSI GREENSeperti dalam konteks satu dimensi, fungsi Green didefinisikan sebagai solusi untuk persamaan diferensial homogen terhadap suatu unit gaya delta yang terkonsentrasi pada suatu titik yang ditentukan ξ = (ξ, η) ∈ Ω di dalam domain (daerah asal). Dalam hal persamaan Poisson, persamaan diferensial parsial berbentuk:−Δu=δ ξ (41)Atau secara eksplisit−∂2u∂x2

−∂2udy2

=δ ( x−ξ ) δ ( y−η ) (42)dan solusinya terhadap syarat batas homogen, yaitu kondisi-Dirichlet u = 0 pada ∂ Ω. Solusi untuk masalah batas nilai yang dihasilkan adalah fungsi Green, dan ditulis: (43)Catatan:Hal ini merupakan pengecualian terhadap perintah sebelumnya bukan untuk memperbanyak fungsi delta. Perkalian diperbolehkan jika mereka tergantung pada variabel yang berbeda.Ketika kita mengetahui fungsi Green, solusi pada masalah niali batas Poisson umum.

−∆u=f∈Ω,u=0on∂Ω (44)Yang direkontruksi melalui sebuah asas superposisi. Kita mengacu pemecahan fungsi:f ( x , y )=∬

Ω

δ ( x−ξ ) δ ( y−η ) f (ξ ,η ) dξ dη (45)Sebagai sebuah superposisi (impitan) dari gerakan delta yang kuat menyamakan nilai dari f pada gerakan titik. Linearitas mengimplikasikan

bahwa pemecahan pada masalah nilai batas adalah kesesuaian superposisi dari funsi Green menanggapi pada masing-masing gerakan-gerakan unsur (element). Hasil jaring adalah rumus superposisi pokoku ( x , y )=∬

Ω

G ( x , y ;ξ , η ) f (ξ , η ) dξdη (46)Pemecahan. Ini dapat diverifikasi dengan evaluasi arah:

−∆u ( x , y )=∬Ω

[−∆G ( x , y ;ξ , η ) ] f (ξ ,η )dξ dη

¿∬Ω

δ ( x−ξ , y−η ) f (ξ , η ) dξdη=f ( x , y ) , Sebagai diklaimkan. Juga, ketika (r, y) ϵ ∂Ω, kita mempunyai u ( x , y )=0 maka G ( x , y ;ξ , η )=0 untuk semuaξ ,η.Fungsi Green yang ternyata adalah simetri dibawah pertukaran dari argumennya:

G (ξ , η ; x , y )=G ( x , y ;ξ , η ) . (47)Pada umumnya fungsi Green tidak dapat ditulis dalam bentuk tertutup. Salah satu harapan penting yaitu ketika domain adalah keseluruhan wahana; Ω=R2 . Pemecahan bagi persamaan (42) adalah fungsi Green ruang bebas G0 ( x , y ;ξ , η )=G0 (x , ξ )yang mana mengukur efek dari sebuah gerakan unit yang dikonsentrasikan tanpa melalui ruang dua dimensi, cth potensi gravital mengacu sebuah massa titik atau potensi elektrostatik mengacu pada sebuah keseimbangan titik. Untuk memotivasi konstruksi, mari kita melakukan pendekatan pada institusi fisika. Pertama, ketika gerakan itu dikonsentrasikan pada x = ξ, fungsi harus memecahkan persamaan Laplace homogen ∆G0=0 berharap pada x = ξ, dimana kita mengharapkannya untuk mempunyai beberapa jenis diskontinutas.Ketika persamaan Poisson yang sedang memodel homogen, medium seragam, dalam absen dari batas mengkondisikan efek dari sebuah gerakan unit, seharusnya hanya juga mempertahankan jarak dari sumbernya. Dengan demikian, kita harapkan G0 untuk mempertahankan (membuktikan) variabel radial:

G0=v (r ), dimana r=‖x−ξ‖=√ ( x−ξ )2+ ( y−η )2.Pemecahan simetri hanya secara radial bagi persamaan Laplace yaitu:v (r )=a+b log r, (48)Dimana a dan b adalah konstan. Konstanta a mempunyai ketidakaslian nol, dan sehingga tidak dapat mongkontribusikan fungsi delta secara tunggal. Dengan demikian, kita berharap solusi yang diminta menjadi sebuah perkalian logaritma. Perkalian yang benar, mengatur:

G0 ( x , y ;ξ , η )=−12πlog r=−1

2πlog‖x−ξ‖=−1

4πlog [ ( x−ξ )2+( y−η )2 ], (49)

Didedikasikan dengan hasil berikut, diketahui sebagai rumus representasi Green. Lemma 4. Misalkan Ωϵ R2 adalah sebuah domain terbatas, dengan tempat harapan C1 batas ∂Ω . Perkiraan uϵ C2 (Ω )∩C1 (Ω ) maka, untuk sebarang ( x , y ) ϵ Ω ,

u ( x , y )=−∬Ω

G0 ( x , y ;ξ , η ) Δu (ξ ,η ) dξdη+¿

∮∂Ω

(G0 ( x , y ;ξ , η ) ∂u∂n

(ξ , η )−∂G0

∂n(x , y ;ξ , η ) u (ξ , η ))ds ,

Dimana derivatif normal pada batasan yang diambil dengan harapan pada variabel integrasi ξ=( ξ , η ) .

Teorema 5. Fungsi Green untuk masalah nilai batas Dirichlet untuk persamaan Poisson pada domain Ω⊂R2 memiliki bentuk G ( x , y ;ξ , η )=G0 ( x , y ; ξ , η )+z (x , y ; ξ , η ) (50)dimana suku pertama adalah persamaan logaritmik (33) sedangkan, untuk setiap ξ=( ξ , η )∈Ω, suku kedua adalah fungsi harmonik yang memecahkan masalah nilai batas

Δ z=0diΩ

z (x , y ; ξ , η )= 14πlog [ ( x−ξ )2+( x−η )2 ] ,untuk ( x , y )∈∂Ω

Jika u ( x , y )adalah solusi untuk kasus non homogen

−∆u=f , x∈Ω ,u=h , X∈∂Ω (51)Maka

u ( x , y )=∬Ω

G ( x , y ;ξ , η ) f (ξ , η ) dξdη−∮∂Ω

∂G∂n

( x , y ;ξ ,η )h (ξ , η ) ds . (52)