4. FUNGSI DAN TURUNANNYA

4.1 Turunan Fungsi Aljabar

a. Konsep turunan

Konsep turunan awal mulanya dikembangkan dalam

bidang matematika dan Fisika.

Contoh :

Perhatikan gerak jatuh bebas sebuah benda yang

dinyatakan dengan , dengan h tinggi, g gravitasi

dan t waktu

Andaikan sebuah benda dijatuhkan dari ketinggian 80 m

dari permukaan tanah dengan percepatan gravitasi

10m/s2, maka wktu yang ditempuh benda untuk sampai

ke tanah adalah :

Melihat hasil tersebut kita dapat menghitung kecepatan

rata-ratanya dengan rumus :

Kecepatan rata-rata

Sehingga kecepatan rata-ratanya adalah:

Tetapi bila kita perhatikan, kecepatan benda tersebut

setiap saat selalu berubah. Yang menjadi pertanyaan,

dapatkah kita menghitung kecepatannya pada saaat t =

2 sekon. Untuk menjawab pertanyaan tersebut marilah

kita perhatikan berapa kecepatan rata-rata benda

tersebut pada selang waktu tertentu.

22

Misalkan rumus di atas adalah : , serta jarak

waktu yang ditempuh dalam waktu t dimulai dari t = 0.

Kecepatan rata-rata untuk selang waktu dari :

t = 2 sampai dengan t = 3

Jarak tempuh pada t = 2 adalah f(2)= 5.22 =20

Jarak tempuh pada t = 3 adalah f(3)= 5.32 =45

Kecepatan rata-rata

t = 2 sampai dengan t = 2,5

Jarak tempuh pada t = 2 adalah f(2)= 5.22 =20

Jarak tempuh pada t = 2,5 adalah f(2,5)= 5. 2,52 =

31,25

Kecepatan rata-rata

t = 2 sampai dengan t = 2,25

Kecepatan rata-rata

Selanjutnya berturut-turut akan diperlihatkan kecepatan

rata-rata pada selang t = 2 sampai t = 2 + h dengan h

mendekati 0, yaitu :

=

=

=

=

=

=

23

=

Sehingga kecepatan benda pada saat t =2 adalah 10.2 =

20 m/s.

b. Laju Perubahan nilai fungsi f pada x = a

Suatu fungsi y = f(x) dalam interval , nilai fungsi

berubah dari f(a) yaitu nilai fungsi pada x = a sampai

f(a+h) yaitu nilai fungsi pada x = a+h. Laju perubahan

rata-rata nilai fungsi terhadap x dalam interval

dapat ditunjukkan dengan grafik berikut:

Berdasarkan gambar di atas terlihat bahwa perubahan nilai

fungsi terhadap x dalam interval dapat dituliskan

sebagai berikut :

Selanjutnya nilai disebut laju perubahan

fungsi f pada x = a. Nilai limit ini biasa dtulis dengan notasi

f’(a) yang disebut turunan atau derivatif dari fungsi f pada

x=a.

Contoh 1:

Tentukan laju perubahan nilai fungsi f yang dinyatakan

dengan f(x) = x2 + 1 pada x = 2.

Penyelesaian :

24

a h

f(a)

f(a+h- f(a)

a+h

f(a+h)

Laju perubahan nilai fungsi pada x = 2 merupakan turunan

fungsi f pada x = 2 adalah :

= 4+0

= 4

Latihan :

1. Diketahui h(x) = 3x2 + 4x. Tentukan nilai h’(1).

2. Luas L cm2 dari suatu persegi dengan sisi x cm

ditunjukkan oleh rumus L = x2 dan rumus itu

menunjukkan fungsi x yang dinyatakan oleh f(x) = x2.

Tentukan laju perubahan luas terhadap x, untuk sisi 10

cm dengan menentukan nilai f’(10).

4.2 Turunan Fungsi

Misalkan fungsi f mempunyai derivatif untuk tiap-tiap

anggota dari domain D dengan D R maka untuk a, b, c, ...

D dipenuhi oleh , ,

, dan seterusnya. Oleh karena itu untuk

setiap anggota dari D akan diperoleh nilai f yang sesuai,

sehingga diperoleh fungsi baru f dengan domain D yang

disebut fungsi turunan dari f atau derivatif dari fungsi f

25

ataupun laju perubahan nilai fungsi f. Dengan demikian

fungsi turunan f ditentukan dengan rumus:

Contoh 1:

Tentukan turunan fungsi yang ditentukan oleh f(x) = x2.

Penyelesaian :

Contoh 2:

Tentukan f’(x), jika

Penyelesaian :

26

c. A

d. a

4.3 A

4.4 A

4.5 A

4.6 A

4.7 A

4.8 A

27