MODUL PRAKTIKUM PROBABILITAS DAN STATISTIKA

Dedy SugiartoLab. Statistika Industri Jurusan Teknik Industri

FTI Universitas Trisaktid_giarto@yahoo.com

Praktikum probabilitas dan statistika berbobot 1 sks ini merupakan praktikum wajib yang harus diikuti oleh setiap mahasiswa di Jurusan Teknik Industri Universitas Trisakti. Praktikum ini diarahkan pada materi-materi pemahaman konsep-konsep probabilitas dan statistika yang didukung dengan penggunaan paket program Minitab R. 13 dan juga menjadi pendukung bagi mata kuliah Probabilitas dan Statistika.

Pemahaman yang cukup tentang konsep probabilitas dan statistika sangat diperlukan oleh para mahasiswa di Jurusan Teknik Industri dikarenakan konsep tersebut menjadi dasar bagi beberapa mata kuliah inti kurikulum teknik industri antara lain seperti pengendalian kualitas, perancangan eksperimen, penelitian operasional, simulasi dan sistem produksi. Pemahaman mengenai konsep-konsep seperti kejadian, peubah acak, distribusi probabilitas diskret dan kontinu, beberapa teknik statistika deskriptif, konsep dan , penentuan ukuran sampel, dan beberapa teknik statistika inferensia dapat diperoleh oleh para mahasiswa di dalam perkuliahan. Namun hal ini dirasakan belum cukup mengingat penyampaian teori oleh para dosen belum didukung oleh perangkat paket program seperti Minitab yang dapat membantu menjelaskan konsep-konsep tersebut dengan lebih mudah.

Minitab memiliki kemampuan untuk membangkitkan data yang memiliki distribusi tertentu dengan parameter tertentu, menduga parameter maupun menghitung probabilitas suatu peubah acak di bawah distribusi tertentu. Dengan berbagai contoh-contoh pembangkitan data, penarikan sampel dari data yang dibangkitkan mengikuti distribusi tertentu, para mahasiswa akan memahami berbagai konsep seperti dalil limit pusat maupun kaidah empirik. Begitu pula dengan bantuan Minitab, dapat dijelaskan konsep-konsep seperti pendugaan parameter dan pengujian hipotesis dengan lebih mudah.

Kata kunci : statistika, probabilitas, distribusi probabilitas

1. PendahuluanMakalah tentang modul praktikum probabilitas dan statistika di Jurusan Teknik Industri

Universitas Triksati ini dituliskan dengan maksud untuk menjelaskan sejauh mana pelaksanaan praktikum yang telah dilaksanakan dan pengembangannya. Dengan adanya penulisan makalah ini diharapkan didapatkan saran-saran dari berbagai pihak untuk pengembangan lebih lanjut.

2. Landasan KeilmuanWalpole (1995) mengartikan metode statistika sebagai prosedur-prosedur yang digunakan dalam

pengumpulan, penyajian, analisis dan penafsiran data. Berbagai metode tersebut dikelompokkan ke dalam dua kelompok besar yaitu statistika deskriptif dan inferensia statistik. Statistika deskriptif adalah metode-metode yang berkaitan dengan pengumpuln dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi yang berguna. Inferensia statistika mencakup semua metode yang berhubungan dengan analisis sebagian data untuk kemudian sampai pada peramalan atau penarikan kesimpulan mengenai keseluruhan gugus data induknya. Berdasarkan definisi tersebut, statistika sangat erat kaitannya dengan data. Begitu pula dengan konsep probabilitas yang erat kaitannya dengan inferensia statistika.

Berkaitan dengan data, para ahli statistic membagi skala pengukuran menjadi 4 tipe yaitu skala Nominal, Ordinal, Interval dan Rasio. Walaupun demikian masih terdapat perbedaan pendapat di antara para ahli baik dari Statistik maupun Riset Pemasaran tentang definisi setiap skala tersebut berikut dengan contoh-contohnya. Pembahasan tipe-tipe skala pengukuran dalam modul ini diambil dari beberapa sumber refrensi antara lain Subhash Sharma (1996).

Skala nominal yang digunakan untuk mengkategorikan subyek-subyek ke dalam grup-grup yang berbeda seperti jenis kelamin dan status perkawinan. Secara sembarang kita dapat memberikan angka

untuk setiap kategori misalnya angka 1 untuk laki-laki dan angka 2 untuk perempuan. Perhitungan statistik yang cocok adalah modus, tabel frekuensi dan tabulasi silang.

Skala ordinal digunakan untuk merangking obyek-obyek, misal dalam hal preferensi subyek atas 4 merek. Dapat menggunakan angka, misalnya angka 1 menunjukkan merek yang paling disukai (preferensi tertinggi) sampai dengan angka 4 (preferensi terendah). Perhitungan statistik yang cocok adalah modus, median, distribusi frekuensi dan perhitungan lainnya yang termasuk dalam statistika nonparametrik seperti korelasi peringkat. Variabel-variabel yang menggunakan skala-skala nominal dan ordinal disebut variabel nonmetrik.

Skala interval dapat digunakan untuk memberikan rating terhadap obyek (preferensi merek) menggunakan skala 5 titik seperti sangat tidak baik s/d sangat baik. Perbedaan preferensi subyek untuk 2 obyek yang dimisalkan mendapat rating 1 dan 2 adalah sama dengan preferensi subyek terhadap 2 obyek lainnya yang mendapat rating 4 dan 5. Contoh lain variabel berskala interval adalah pengukuran suhu, misalnya suhu dalam fahrenheit. Seluruh perhitungan statistik, kecuali yang khusus untuk skala ratio seperti koefisien keragaman, dapat digunakan skala interval.

Skala rasio mempunyai seluruh sifat dari data interval tetapi untuk skala rasio mempunyai nilai nol mutlak contohnya umur (tahun), tinggi badan (cm) dan berat badan (kg). Kita dapat mengatakan bahwa orang yang tingginya 200 cm adalah 2 kali lebih tinggi dari orang yang tingginya 100 cm. Variabel-variabel yang menggunakan skala interval dan rasio disebut variabel metrik.

Selain berkaitan dengan data, para ahli statistika juga berkepentingan dengan penarikan kesimpulan dari suatu percobaan yang mengandung ketidakpastian. Agar kesimpulan dapat ditafsirkan secara tepat, pemahaman teori probabilitas sangat diperlukan dan bersifat mendasar. Definisi probabilitas antara lain dapat didasarkan pada frekuensi relatif.

Dalam banyak hal, kita juga kadang tertarik dengan keterangan numeric dari hasil percobaan (sembarang proses yang membangkitkan data). Hal ini menimbulkan istilah peubah acak yaitu suatu fungsi yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang contoh. Ruang contoh tersebut terbagi atas diskret dan kontinu. Sebuah table atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu peubah acak diskret berikut peluangnya disebut distribusi probabilitas diskret. Selain sebaran probabilitas diskret, terdapat pula distribusi probabilitas kontinu.

3. Rancangan Materi Praktikum

Modul 1. Pendahuluan dan Statistika Deskriptif (Apa itu statistika, populasi dan sample, statistika deskriptif dan statistika inferensia, metode grafik dan metode numeric untuk menyajikan data menggunakan minitab)

Modul 2. Probabilitas (Probabilitas suatu kejadian, Kaidah-kaidah probabilitas, probabilitas suatu peubah acak, distribusi probabilitas peubah acak diskret dan kontinu, penggunaan minitab untuk simulasi pembangkitan data mengikuti distribusi tertentu, pembuktian dalil limit lusat dan hampiran distribusi serta perhitungan probabilitas)

Modul 3. Pendugaan Parameter dan Pengujian Hipotesis (Penggunaan minitab untuk penjelasan konsep tingkat kepercayaan, konsep dan serta kekuatan uji, ukuran sample)

Contoh Sebagian Modul 1 :

Lakukan analisis statistika deskriptif baik secara numeric maupun grafik terhadap file data pulse.mtw berikut ini :Sumber : Minitab (2000)File data : pulse.mtw.

Students in an introductory statistics course participated in a simple experiment. Each student recorded his or her height, weight, gender, smoking preference, usual activity level, and resting pulse. Then they all flipped coins, and those whose coins came up heads ran in place for one minute. Then the entire class recorded their pulses once more.

Tabel 1. Keterangan Variabel pada File Data Pulse.MTW

Column Name Count DescriptionC1 Pulse1 92 First pulse rateC2 Pulse2 92 Second pulse rateC3 Ran 92 1 = ran in place 2 = did not run in placeC4 Smokes 92 1 = smokes regularly 2 = does not smoke regularlyC5 Sex 92 1 = male 2 = femaleC6 Height 92 Height in inchesC7 Weight 92 Weight in poundsC8 Activity 92 Usual level of physical activity:1 = slight 2 = moderate 3 = a lot

Tabel 2. File Data Pulse.MTW

Pulse1 Pulse2 Ran Smokes Sex Height Weight Activity64 88 1 2 1 66 140 258 70 1 2 1 72 145 262 76 1 1 1 73.5 160 366 78 1 1 1 73 190 164 80 1 2 1 69 155 274 84 1 2 1 73 165 184 84 1 2 1 72 150 366 76 2 2 2 65 115 280 74 2 2 2 64 102 278 78 2 2 2 67 115 268 68 2 2 2 69 150 2. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .

87 84 2 2 2 63 95 390 92 2 1 2 64 125 178 80 2 2 2 68 133 168 68 2 2 2 62 110 286 84 2 2 2 67 150 376 76 2 2 2 61.75 108 2

Contoh tugas praktikum misalnya perbandingan tinggi badan antara pria dan wanita yang berpartisipasi dalam eksperimen di atas menggunakan perintah Minitab sebagai berikut :

1. Pilih Stat > Basic Statistics > Display Descriptive Statistics.2. Dalam Variables, masukkan Height. Klik By variable masukkan Sex dalam kotak pernyataan3. Klik Graphs. Klik Boxplot of data. Klik OK.

4. Interpretasikan outputnya.

Results for: Pulse.MTW

Descriptive Statistics: Height by Sex

Variable Sex N Mean Median TrMean StDevHeight 1 57 70.754 71.000 70.784 2.583 2 35 65.400 65.500 65.395 2.563

Variable Sex SE Mean Minimum Maximum Q1 Q3Height 1 0.342 66.000 75.000 69.000 73.000 2 0.433 61.000 70.000 63.000 68.000

Gambar 1. Boxplot Tinggi berdasarkan Gendernya

Contoh Sebagian Modul 2 :Distribusi Binom Jika peluang suatu lampu fluorecent berumur sedikitnya 800 jam adalah 0.9. berapa peluang dari 20 lampu yang diperiksa yang terdapat (a) 18 lampu berumur sedikitnya 800 jam, (b) 15 lampu berumur sedikitnya 800 jam ?

1. Masukkan data berupa angka 1,2,3,....,20 ke dalam kolom lembar kerja dengan nama “ data “2. Pilih Calc > Probability Distribution > Binomial3. Pilih Probability4. Dalam kotak Number of Trials, masukkan 20. dalam kotak Probability of Success, masukkan 0.9.5. Pada Input Column dan masukkan “data” lalu klik OK

Gambar 2. Tampilan Minitab untuk Perhitungan Distribusi Binom

Probability Density FunctionBinomial with n = 20 and p = 0,900000 x P( X = x ) 1,00 0,0000 2,00 0,0000 3,00 0,0000 4,00 0,0000 5,00 0,0000 6,00 0,0000 7,00 0,0000 8,00 0,0000 9,00 0,0000 10,00 0,0000 11,00 0,0001 12,00 0,0004 13,00 0,0020 14,00 0,0089 15,00 0,0319 16,00 0,0898 17,00 0,1901 18,00 0,2852 19,00 0,2702 20,00 0,1216

Probabilitas terdapat 18 lampu yang akan bertahan sedikitnya 800 jam adalah 0.2852, dan probabilitas terdapat 15 lampu yang akan bertahan sedikitnya 800 jam adalah 0.0319. Bandingkan dengan perhitungan secara manual atau menggunakan tabel.

Distribusi Eksponensial :Suatu sistem mengandung sejenis komponen yang daya tahannya dalam tahun dinyatakan oleh peubah acak T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter waktu rataan sampai gagal β=5. berapakah peluang bahwa suatu komponen tertentu masih akan berfungsi selama lebih dari 8 tahun ?1. Pilih menu Calc > Probability Distribution > Exponential

2. Pilih Cummulative Probability3. Masukkan parameternya4. Masukkan data 8 pada kotak Input Constant5. Klik OK

Gambar 3. Tampilan Minitab untuk Perhitungan Distribusi Ekponensial

Cumulative Distribution FunctionExponential with mean = 5,00000 x P( X <= x ) 8,0000 0,7981

Didapat hasil P ( X < 8 ) = 0.8, karena itu p ( X > 8 ) = 0.2. Bandingkan dengan perhitungan secara manual.

Hampiran Poisson terhadap Binom

Bangkitkan data yang berdistribusi Binom dengan n = 100 dan p = 0,05. Buatlah distribusi probabilitasnya.

1. Pilih menu Calc > Random data > Binomial2. Pada kolom Generate masukkan angka 1003. Pada store in column masukkan c14. Pada Number of trial masukkan 100 dan probability of success masukkan 0,055. Klik OK6. Pilih stat > table > tally7. Masukkan c1, pada display klik counts dan percent

Bangkitkan data yang berdistribusi Poisson dengan rata-rata 5 yang didapatkan dari n x p = 100 x 0,05. Buatlah distribusi probabilitasnya.

1. Pilih menu Calc > Random data > Poisson2. Pada kolom Generate masukkan angka 1003. Pada store in column masukkan c24. Pada mean masukkan 5 5. Klik OK6. Pilih stat > table > tally7. Masukkan c2, pada display klik counts dan percent

Tally for Discrete Variables: C1

C1 Count Percent 0 1 1.00 1 2 2.00 2 8 8.00 3 10 10.00 4 17 17.00 5 20 20.00 6 16 16.00 7 11 11.00 8 8 8.00 9 2 2.00 10 3 3.00 12 2 2.00 N= 100

Tally for Discrete Variables: C2

C2 Count Percent 0 1 1.00 1 2 2.00 2 10 10.00 3 17 17.00 4 17 17.00 5 16 16.00 6 19 19.00 7 7 7.00 8 7 7.00 9 2 2.00 11 1 1.00 12 1 1.00 N= 100

Bandingkan kedua table di atas. Lakukan juga cara yang mirip untuk membandingkan distribusi binom dengan parameter n=100 dan p=0.05 serta distribusi Normal dengan parameter =50 dan =5. Perbandingan distribusi tidak bisa menggunakan tally tetapi histogram.

Dalil Limit Pusat

Bangkitkan 100 sampel berukuran 30 dari distribusi eksponensial dengan parameter rata-rata 5. Hitunglah rata-rata dari 100 sampel tersebut. Apakah data rata-rata tersebut sekarang akan berdistribusi Normal ?

1. Pilih Calc > Random data > Exponential2. Pada Generate masukkan angka 30

3. Pada store in column masukkan c1-c100

4. Pada mean masukkan angka 5

5. Klik ok

6. Klik Graph > histogram > masukkan c1

Gambar 4. Output Minitab dari Data yang Dibangkitkan Berdistribusi Ekponensial dengan Parameter Rata-rata 5

7. Pada window data, cobalah uji apakah data (misalnya c1) menyebar Normal ? Pilih stat > basic statistic > normality test. Kemungkinan besar data tidak akan berdistribusi Normal karena memang c1 dibangkitkan melalui distribusi eksponensial

Gambar 5. Output Minitab Hasil Pengujian Kenormalan dari Data yang Dibangkitkan Berdistribusi Ekponensial dengan Parameter Rata-rata 5

8. Hitunglah rata-rata dari kolom c1-c100. Untuk memudahkan lakukan dulu transpose c1-c100. Pilih Manip > transpose column > Masukkan c1-c100 dan pilih after last column in use.

9. Pilih calc > row statistics > pilih mean

10. Masukkan input variable c102-131, store in column c132

11. Pilih graph > histogram > masukkan c132.

12. Interpretasikan hasilnya. Apakah sekarang data rata-rata terlihat berdistribusi Normal ?

13. Lakukan prosedur yang untuk membuktikan dalil limit pusat bila distribusi populasi awalnya bukan eksponensial, misalnya Weibull atau lainnya.

Gambar 6. Output Minitab Histogram dari Data Rata-rata 100 sampel berukuran masing-masing 30 yang Dibangkitkan dari Distribusi Ekponensial dengan Parameter Rata-rata 5

Gambar 7. Output Minitab Uji Kenormalan dari Data Rata-rata 100 sampel berukuran masing-masing 30 yang Dibangkitkan dari Distribusi Ekponensial dengan Parameter Rata-rata 5

4. Pelaksanaan dan Hasil PraktikumPraktikum dilakukan secara berkelompok dan jadwal praktikumnya ditentukan oleh masing-

masing kelompok pada saat praktikan mendaftarkan diri untuk mengikuti praktikum. Jadwal yang dipilih oleh praktikan tidak boleh bentrok dengan mata kuliah apapun. Praktikum dilaksanakan hari Senin sampai dengan Jumat dengan masing-masing terdiri dari 3 shift.

SHIFT 1 : 08.00 – 11.00SHIFT 2 : 11.00 – 14.00SHIFT 3 : 14.00 – 17.00

Catatan : untuk hari Jumat hanya tersedia Shift 1. Praktikan wajib hadir minimal 5 menit sebelum praktikum berjalan untuk menyelesaikan absensi dan pengumpulan TSP dan rumus.

Sebelum praktikum dimulai praktikan wajib mengumpulkan TSP (Tugas Sebelum Praktikum) dan rumus yang dibuat sendiri (tulis tangan) di kertas A4. Tugas Sebelum Praktikum (TSP) berupa soal-soal yang berhubungan dengan modul yang akan berjalan. Rumus berupa rumus-rumus statistik yang berhubungan dengan modul yang akan berjalan.

Hasil Praktikum adalah berupa laporan. Praktikan wajib membuat laporan dari tiap-tiap modul praktikum atas hasil praktikum yang telah dilakukan dan dikumpulkan satu hari sesudahnya pada jam yang telah ditentukan. Laporan ini dibuat dikertas A4 dengan spasi 11/2.

5. Evaluasi Pelaksanaan Praktikum

Evaluasi pelaksanaan praktikum berupa evaluasi mahasiswa yang didasarkan dari nilai TSP, Laporan dan Ujian Praktikum. Setiap praktikan wajib mengikuti ujian praktikum sebagai syarat kelulusan praktikum Statistik Industri. Bagi praktikan yang tidak mengikuti ujian praktikum maka dinyatakan gugur dan harus mengulang praktikum secara penuh.

Evaluasi juga meliputi penilaian para asisten terhadap kinerja asisten, modul dan ruangan praktikum.

6. PenutupModul praktikum ini merupakan pengembangan dari modul praktikum sebelumnya seiring dengan

pengembangan kurikulum Jurusan Teknik Industri Universitas Trisakti mulai tahun 2004 dimana penekanan praktikum statistik akan diarahkan lebih pada penanaman konsep-konsep probabililitas serta konsep pendugaan parameter dan pengujian hipotesis. Penggunaan berbagai teknik statistik lainnya dikeluarkan dari modul lama dan direncanakan untuk disampaikan dalam materi pelatihan yang tidak bersifat wajib bagi para mahasiswa.

Mengingat terbatasnya halaman makalah ini tentunya tidak semua rencana pengembangan modul dapat dituliskan dalam makalah ini. Makalah ini tentu juga masih banyak sekali kekurangannya. Untuk itu kritik dan saran dari berbagai pihak sangat kami harapkan.

Daftar Pustaka

1. Lab. Statistika Industri, Modul Praktikum Statistika Industri, Jurusan Teknik Industri Universitas Trisakti, Jakarta, 2004

2. Minitab, User’s Guide 2 : data Analysis and Quality Tools Release 13 for Windows, Minitab Inc, 2000

3. Mukherjee Kanchan, Minitab Demonstration of Some Statistical Concepts, Presented in the seminar The Art and Science of Teaching Dept. of Statistics and Applied Probability, NUS, 2002

4. Walpole Ronald E, et. al, “Probability and Statistics for Engineers and Scientists”, seventh edition, Prentice Hall International Inc., New Jersey 07458, 2002

5. Walpole Ronald E, Pengantar Statistika, Terjemahan Edisi ke-3, PT. Gramedia Pustaka Utama, 1995.6. http://webct.sic.edu/mthsci/M141syllabus.htm