Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf

7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf

http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 1/76

Matematika untuk Fisika 1

BAB IV

INTEGRAL LIPAT

Bab ini hanya menyajikan pengenalan singkat tentang integral

lipat. Akan dibahas tentang penggunaan integral lipat dalam fisika antara

lain untuk menghitung luas bidang, volume, massa, koordinat pusat-

massa dan momen inersia. Di samping itu, dibahas pula transformasi

koordinat pada variabel integrasi sebagai upaya untuk memudahkan

perhitungan integral lipat yaitu dengan memperkenalkan konsep

Jacobian.

4.1. Pengertian Integral Lipat Dua

Luas di bawah kurva pada Gambar 4.1 dapat didekati

dengan menjumlahkan persegi-persegi panjang yang panjangnya

f ( x) dan lebarnya x . Geometri menunjukkan bahwa dengan

membuat lebar ,0 x maka jumlah luas persegi-persegi panjang

tersebut akan cenderung sama dengan luas daerah di bawah kurva,

yang bentuk penjumlahan ini dinyatakan sebagai integral. Sehingga

luas daerah di bawah kurva )( x f y dinyatakan sebagai:

dx ydx x f x x f

b

a

b

a x

)()(limLuas

0 (4.1)



2 Integral Lipat

Jadi integral dx x f

b

a

)( merupakan limit dari jumlah luas persegi-

persegi panjang pada Gambar 4.1.

Gambar 4.1 Menghitung luas daerah di bawah kurva )( x f y

Uraian di atas dapat dikembangkan untuk menghitung

volume benda di bawah permukaan ),,( y x f z misal volume

silinder di bawah binang seperti tampak pada Gambar 4.2. Mula-

mula bidang xy dibagi menjadi beberapa luasan kecil sebesar

).)(( y x A Dari setiap luasan ini dibentuk kotak vertikal ke

atas sampai permukaan ).,( y x f z

Volume silinder ini dapatdidekati dengan menjumlahkan seluruh volume kotak. Jika volume

kotak diperkecil yaitu dengan membuat x dan ,0 y maka

y

y( x)

O a b x x




secara geometris jumlah seluruh volume kotak akan cenderung

mendekati volume silinder. Integral lipat-dua dari ),( y x f meliputi

seluruh luasan A dalam bidang xy tidak lain merupakan pendekatan

dari jumlah luasan ).)(( y x A Hal ini dapat dinyatakan dengan

ungkapan

y x y x f

y x

),(limvolume

00

A

zdxdy

A

dxdy y x f ),( (4.2)

Pernyataan (4.2) inilah yang dikenal sebagai integral lipat dua dari

fungsi ),( y x f terhadap daerah A .

Pada integral lipat dua berlaku beberapa sifat sebagi berikut:

(i). Jika ),( y x f f dan ),( y xgg dua fungsi terdefinisi pada

daerah A, maka

A A A

gdxdy fdxdydxdyg f )( (4.3)

(ii). Jika c sebuah tetapan, maka

A A

fdxdycdxdycf )( (4.4)

(iii). Jika A merupakan gabungan dua daerah A1 dan A2, maka

A A A

fdxdy fdxdy fdxdy

21

(4.5)



4 Integral Lipat

Gambar 4.2 Integral lipat-dua dari ),( y x f z

4.2. Integral Berulang

Integral lipat biasanya dihitung dengan menggunakan integral

berulang. Untuk memahami perhitungan ini perhatikan sketsa luas

A berikut ini. Untuk menghitung A

dxdy y x f ),( , dapat dilakukan

dengan menggabungkan segiempat kecil-kecil dxdy sehingga

membentuk pita tipis, kemudian menjumlahkan seluruh pita ini

untuk menghasilkan luas daerah yang diinginkan.

Luasan A yang ditunjukkan pada Gambar 4.4, seluruhnya

merupakan daerah yang normal terhadap sumbu- x artinya setiap

garis yang tegak lurus sumbu- x hanya memotong dua kurva pada

z

O y

x

y

z=f ( x,y)

x




batas daerah A. Untuk mengintegralkan pada daerah yang normal

terhadap sumbu-x ini, maka pertama-tama mengintegralkan

terhadap y, baru selanjutnya terhadap x. Batas bawah dan atas

daerah A adalah kurva )(1

x y dan )(2

x y , sedangkan batas kiri dan

kanannya berupa konstanta yitu x = a dan x = b. Sehingga bentuk

integral berulang yang tepat untuk digunakan sebagai berikut:

.),(),(

)(

)(

2

1

dxdy y x f dxdy y x f

b

a x

x y

x y y A

(4.6)

Gambar 4.3 Menghitung integral lipat untuk daerah A yang normalterhadap sumbu- x

Luasan A yang ditunjukkan pada Gambar 4.5, seluruhnya

merupakan daerah yang normal terhadap sumbu- y artinya setiap

garis yang tegak lurus sumbu- y hanya memotong dua kurva pada

batas daerah A. Untuk mengintegralkan pada daerah yang normal

terhadap sumbu-y ini, maka pertama-tama mengintegralkan

terhadap x, baru selanjutnya terhadap y. Batas batas kiri dan

y y2( x)

y1( x)

O a b x

y

y2( x)

y1( x)

O a b x

y y2( x)

y1( x)

O a b x



6 Integral Lipat

kanannya daerah A adalah kurva )(1 y x dan )(2 y x , sedangkan

bawah dan atasnya berupa konstanta yitu y = c dan y= d. Sehingga

bentuk integral berulang yang tepat untuk digunakan sebagai

berikut:

.),(),(

)(

)(

2

1

dydx y x f dxdy y x f

d

c y

y x

y x x A

(4.7)

Gambar 4.3 Menghitung integral lipat untuk daerah A yang normal

terhadap sumbu- y

Gambar 4.6, mengilustrasikan daerah A yang normalterhadap sumbu- x maupun sumbu- y, sehingga untuk menghitung

integral meliputi daerah tersebut dapat digunakan persamaan (4.6)ataupun (4.7), sebagai berikut:

b x

a x

x y

x y y A

dydx y x f dxdy y x f

)(

)(

2

1

),(),(

d x

c y

y x

y x x

dxdy y x f

)(

)(

2

1

),(

O x

y

d

c

x2( y) x1( y)

y

d

c

x2( y) x1( y)

O x

y

d

c x2( y) x1( y)

O x

y

d

c

O a b x

y

d

c

O a b x

y

d

c

O a b x




Gambar 4.6 Menghitung integral lipat untuk daerah A yang normal

terhadap sumbu- y maupun sumbu- x

Jika ),( y x f dapat dinyatakan sebagai perkalian dua fungsi,

misalnya ),()(),( yh xg y x f maka

d

c

b

a

b

a x

d

c y A

dy yhdx xgdydx yh xgdxdy y x f )()()()(),( (4.8)

Contoh 4.1Dengan menggunakan integral, hitunglah nilai

R

dydx y x 32 dengan R merupakan daerah berarsir berikut!

y

0

1

2 x



8 Integral Lipat

Penyelesaian:

Persamaan garis yang melalui titik (0,0) dan (2,1) adalah x y

2

1

2

1

2

1

0

3232 x

x

x y

y R

dydx y xdxdy y x

dx y xy x

x

2

0

2

1

0

2

2

32

2

0

332

0

22

838

3

x xdx x x

x

013

8

3

5

Contoh 4.2

Hitunglah R

dydx x dengan R luasan pada gambar berikut !

Penyelesaian:

Persamaan garis yang melalui titik (0,0) dan (4,4) adalah y x

6 O

)4,4( 4

y

x R




Persamaan garis yang melalui titik 4,4 dan 0,6

12

1

12

1

x x

x x

y y

y y

46

4

40

4

x y

122424 x y x y y x2

16

Maka,

2

2

164

0

24

0

2

16

dydx

x

dydx xdydx x

y

y

y

y

y

y

y x

y x R

22

6

4

0

22

21

dy y y

y

y

dy y y y

y

y

4

0

22

41

22

636

dy y ydy y

y y y

y

y

y

318 2

318 4

0

2

83

4

0

22

81

40

8

1

2

318

4

0

32

y y y

Contoh 4.3

Hitunglah nilai integral R

dydx x , dengan R merupakan daerah

berarsir pada gambar berikut!

y 2 x y

82 x y



10 Integral Lipat

Penyelesaian:

R

dydx x

4

2

82

x

4

2

82

2

2

x

x

x x

x

x y

x y

dx xydxdy x

4

2-

423

4

2

82

x

32

4

14

3

282 2

x x xdx x x x

x

x

x

423423 241242

324

41444

32

416

3

166464

3

128

36

123

144

4.3. Integral Lipat Tiga

Pada pembahasan sebelumnya telah ditunjukkan bagaimana

menghitung volume benda dengan menggunakan integral lipat dua,

yaitu dengan membagi-bagi seluruh volume dalam volume balok-

balok kecil setinggi z yang luas penampangnya y x (lihat Gambar

4.2). Seluruh volume juga dapat dibagi-bagi menjadi kubus-kubus

kecil dengan volume y y x , sehingga

2 O 4 x




V z y x

dxdydz z y x

000

limvolume (4.9)

Pernyataan (4.9) ini dikenal sebagai integral lipat tiga. Sedangkan

bentuk umum integral lipat tiga adalah

V

dxdydz z y x f I ),,( (4.10)

4.4. Penerapan Integral Lipat Dalam Fisika

Luas

Telah dijelaskan di muka, bahwa luas dapat dihitung dengan rumus

integral (4.1). sedangkan untuk menghitung luas suatu daerah

menggunakan integral lipat, misalnya pada Gambar 4.1, maka

seluruh luasan dibagi-bagi menjadi elemen luasan persegi sangat

kecil y x kemudian menjumlahkannya (Gambar 4.70), sehingga

diperoleh

dxdy y x A y

x00

limluas (4.11)

y

y( x)

O a b x x

y



12 Integral Lipat

(Gambar 4.70). Elemen luas Sedangkan elemen panjang busur (Gambar 4.71), dapat

dinyatakan sebagai

(a)

Elemen panjang busur ds didefinisikan seperti ditunjukkan pada

Gambar 4.8, yaitu

222 dydxds (4.11)

atau

.1

1

2

2

22

dydy

dx

dxdx

dydydxds

(4.12)

y

ds dy

O x

dx




Gambar 4.71. Elemen Panjang Busur

Dengan demikian, panjang busur dari y = f ( x) antara a dan b,

yaitu

b

a

b

a

dydy

dx

dxdx

dys

1

1

2

2

(4.13)

Volume

Untuk menghitung volume suatu benda dapat digunakan persamaan

(4.2) atau persamaan (4.9), yaitu

A

zdxdyvolume atau V

dxdydzvolume

Massa

Secara umum massa suatu benda M dinyatakan sebagai dm M .

Massa elemen luasan M yang rapat massanya ( x, y) pada daerah R dalam bidang- xy, dinyatakan oleh

R

dxdy y x M (4.12) ),(

Massa benda ruang M yang kerapatannya ( x, y, z) pada daerah G

dalam ruang- xyz, dinyatakan oleh

(4.13) ),,(G

dxdydz z y x M

Pusat massa



14 Integral Lipat

Secara umum koordinat pusat massa benda bermassa M

dinyatakan sebagai

M xdm

dm xdm x

(4.14)

Koordinat pusat massa elemen luasan ),( y x rapat massanya

( x, y)

R

R

dxdy y x

dxdy y x x

x),(

),(

,

R

R

dxdy y x

dxdy y x y

y),(

),(

(4.15)

Koordinat pusat massa elemen luasan dengan kerapatan homogen

R

R

dxdy

xdxdy

x ,

R

R

dxdy

ydxdy

y

Koordinat pusat massa ),,( z y x elemen ruang yang kerapatannya

( x, y, z) adalah

G

G

dxdydz z y x

dxdydz z y x x

x),,(

),,(

,

G

G

dxdydz z y x

dxdydz z y x y

y),,(

),,(

,

G

G

dxdydz z y x

dxdydz z y x z

z),,(

),,(

(4.16)

Sedangkan Koordinat pusat massa elemen ruang homogen ),,( z y x

G

G

dxdydz

xdxdydz

x ,

G

G

dxdydz

ydxdydz

y ,

G

G

dxdydz

zdxdydz

z (4.17)

Momen inersia

Momen inersia suatu benda yang berjarak l dari sumbu putardinyatakan sebagai




dM l I 2 (4.18)

Sehingga momen inersia elemen luasan terhadap sumbu putar

sumbu- x dan sumbu- y dinyatakan sebagai

A

xdxdy y x ydM y I ),(22

A

ydxdy y x xdM x I ),(22 (4.19)

Terhadap sumbu-z elemen massa berjarak22

y x , sehingga

momen inersia terhadap sumbu putar sumbu-z adalah

A

ydxdy y x y xdM x I ),()( 222

y x z I I I (4.20)

Ungkapan (4.20) dinamakan teorema sumbu tegak lurus. Selain itu

juga berlaku teorema sumbu sejajar, yaitu momen inersia pada

sumbu sejajar I// yang berjarak d dari pusat massa dirumuskan

sebagai

2

// Md I I

cm (4.21)

Contoh 4.4

Dengan menggunakan integral lipat, hitunglah luas daerah berarsir

berikut!

y 2 x y

4

y

-2 O 2 x



16 Integral Lipat

Penyelesaian:

Cara 1

dxdy A

dx ydy dxdy dx A x

x

x

y

x y

x

x

y

x y

x

x

4

2

2

42

2

42

2

2

2

12

2

12

2

1

3

883

883

144

2

2

32

2

2

2

1

x x-dx-x

x

x

luassatuan 3

32

3

1648

3

1616

Cara 2:

luassatuan 3

328.

3

40

3

42

3

4

3

422

-

23

23

23

21

4

0

4

0

4

0

4

0

4

0

4

0

ydy ydy y

dy y ydy xdydxdydx A

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y x

y x

y

y

(jika kerapatannya seragam tentukan: massa, pusat massa,

momen inersia terhadap sumbu Y, momen inersia terhadap sumbu

pada garis x=1)




Contoh 4.5:

Dengan menggunakan integral lipat, hitunglah luas daerah berarsir

berikut !

Penyelesaian:

Persamaan garis melalui titik (6,0) dan (3,9)

3

181835493

3

9

663

09

6

0

y x x y x y

x

y

x

y

dy y y

dy x

dx A

y

y

y y

y

3

18

dy

9

0

3

18

y

9

0

O 3 6 x

2 x y

9

y



18 Integral Lipat

y y

ydy y y

y

y

9

0

23

2

21

9

03

2

66

36

luassatuan 2

4518

6

8154

093

2

6

996 2

32

(jika kerapatannya seragam tentukan: massa, pusat massa,

momen inersia terhadap sumbu y, momen inersia terhadap sumbu

pada garis x=1)

Contoh 4.6

Sebuah pelat panjangnya 20 cm dan lebarnya 8 cm dapat

digambarkan sebagai berikut.

Jika (rapat massa) berubah linear sepanjang sumbu x ( pada

2cm

gram20,0 x dan pada 2cm

gram60,cm20 x )

Tentukan :

a.) Massa pelat

b.) Pusat massa pelat

y

8 cm

20 cm

220cm

g 260cm

g




c.)

Momen inersia pelat, jika (i) diputar terhadap sisi ; (ii)

diputar terhadap sisi y; (iii) diputar terhadap sumbu putar

sejajar x melalui pusat massa; (iv) diputar terhadap sumbu

putar sejajar y melalui pusat massa.

Penyelesaian:

Pertama-tama ditentukan persamaan σ sebagai fungsi x:

(gr/cm2) x(cm)

20 0

60 20

2022

1

202060

020

20

0

x

x x

a.) Menentukan Massa ( m )

gram 6400800 800

20202,

8

0

8

0

8

0

20

02

8

0

20

0

ydy

dy x xdydx xdydx y xm

b). Menentukan pusat massa ( y x, )

6400

202

,

,8

0

20

0

dydx x x

dydx y x

dydx y x x

x

8

0

20

0

2

8

0

20

0

2026400

1 202

6400

1 dydx x xdydx x x

8

0

8

0

20

0

22

3

28000

6400

1

103

2

6400

1

dydy x x



20 Integral Lipat

cm67,11

3

35

3

224

6400

1000

3

28

6400

1000

8

0

y

6400

202

,

,8

0

20

0

dydx x y

dydx y x

dydx y x y

y

8

0

20

0

8

0

20

0

202

6400

1 202

6400

1 dydx y xydydx y xy

80

2

8

0

8

0

20

0

2 4006400

1 800

6400

120

6400

1 ydy ydy xy y x

cm46400

256008400

6400

1 2

atau dengan menggunakan sifat simetri maka m 42

8c y

Jadi, pusat massa pelat adalah ( y x, )

4,

3

35cm

c). Menentukan Momen Inersia

(i). Momen inersia bila diputar terhadap sumbu x

dydx x ydydx y x y I x 202,8

0

20

0

22

dydx y xy 202 22

8

0

20

0

dydx y x y ,2

dydx y xydydx x y 20220222

8

0

20

0

8

0

20

0

2




dy ydy xy y x 80020

8

0

2

8

0

20

0

222

2

8

0

3gcm33,136533

3

409600

3

800

y

(ii). Momen Inersia bila diputar terhadap sumbu y

dydx x xdydx y x x I x 202,

8

0

20

0

22

dy x x

dydx x x 3

202

202

8

0

20

0

3423

8

0

20

0

8

0

8

03

400000

3

400000 ydy

2g.cm67,10666663

3200000

(iii). Momen Inersia bila diputar terhadap sumbu putar sejajar

melalui pusat massa

Dengan menggunakan teorema sumbu sejajar

2

22

//

md I I

md I I md I I

xcmx

cmx xcm

24640033,136533

cmx I

2g.cm3,34133

10240033,136533

(iv). Momen Inersia bila diputar terhadap sumbu putar sejajar y

melalui pusat massa

Dengan menggunakan teorema sumbu sejajar



22 Integral Lipat

2

22

//

md I I

md I I md I I

ycmy

cmy ycm

2

2

g.cm 195555,563

35640067,1066666

Contoh 4.7

Sebuah pelat persegi dengan sisi b mempunyai kerapatan

homogen σ , sehingga massanya . Jika pelat tersebut

diputar dengan sumbu putar salah satu diagonalnya, tentukan

momen inersia pelat dan nyatakan jawaban anda dalam m dan b.

Penyelesaian:

Dengan menggunakan sifat simetri benda, maka dapat

diselesaikan dengan menghitung seperempat bagian dari pelat

tersebut. Dengan menempatkan diagonal pada sumbu

koordinat, maka dalam bidang kartesian ¼ persegi dapat

digambarkan sebagai berikut:

Gambar di atas merupakan seperempat pelat, dengan

meletakkan diagonal pelat pada kedua sumbu koordinat. Untuk

menghitung momen inersia dengan sumbu putar salah satu

diagonal, maka dapat dihitung dari 4 kali momen inersia pelat

segitiga dengan sumbu putar sumbu y . Sehingga diperoleh:

y

x

221b

b




4.5. Transformasi Variabel dalam Integral

Pada perhitungan integral tunggal, sering kali dilakukan

substitusi variabel untuk mempermudah perhitungan. Demikian

pula untuk mempermudah perhitungan integral lipat, sering kali

perlu melakukam transformasi variabel atau mengubah variabel

integrasi x dan y.

Selain sistem koordinat kartesian, dalam matematika ada

bermacam-macam sistem koordinat yang dikenal. Untuk sistem

koordinat dua dimensi antara lain koordinat kutub (polar).

Sedangkan untuk sistem koordinat tiga dimensi antara lain

koordinat silinder dan koordinat bola. Pilihan sistem koordinat



24 Integral Lipat

yang digunakan bergantung pada persoalan yang dihadapi. Oleh

karena itu, perlu diketahui transformasi (alih bentuk) dari satu

sistem koordinat ke sistem koordinat yang lain.

Untuk melakukan transformasi sistem koordinat, selain

secara geometris dapat pula digunakan cara determinan. Cara

determinan ini dikenal sebagai metode Jacobi. Metode ini ini

berkaitan dengan pengertian Jacobian. Misal variabel ( x, y) dapat

dinyatakan dalam variabel baru (u,v). Pengertian Jacobian ( x, y)terhadap (u,v) dinyatakan dalam ungkapan berikut:

v

y

u

yv

x

u

x

vu

y x

vu

y x J J

),(

),(

,

, (4.22)

vu y x J J ,, disebut faktor Jacobian. Ungkapan

u x

( dibaca ‘do x

do u’) menyatakan turunan parsial x terhadap u yang nilainya sama

dengan turunan x terhadap u untuk variabel v tetap.

Dengan menggunakan faktor Jacobian, elemen luas dA dalam

koordinat (u,v) adalah

dudvvu

y x J dxdydA

,

, (4.23)

Penggunaan Jacobian dapat dikembangkan untuk tiga

variabel. Misal variabel ( x, y,z) dapat dinyatakan dalam variabel

baru (u,v,w), faktor Jacobian ( x, y,z) terhadap (u,v,w) dinyatakan

dalam ungkapan berikut:




w

z

v

z

u

zw y

v y

u y

w

x

v

x

u

x

wvu z y x J

),,(

),,( (4.24)

Transformasi koordinat kartesian ( x, y) menjadi koordinat

polar ),(

Hubungan antara sistem koordinat kartesian ( x, y) dan polar

),( diberikan oleh persamaan

,cos x sin y (4.25)

Dengan mengunakan persamaan (4.22), diperoleh faktor Jacobian

( x, y) terhadap koordinat polar ),( ,

cossin

sincos

),(

),(

y y

x x

y x J (4.26)

Dengan demikian,

d d dA (4.27)

dan

R R R

d d dxdydA (4.28)

Secara geometris elemen luas pada koordinat polar disajikan pada

Gambar 4.60.



26 Integral Lipat

Gambar 4.60. Elemen Luas Pada Koordinat Polar

Sedangkan elemen panjang busur dapat dilihat pada Gambar 4.61.

y

O x

d ϕ

+d

d ϕ

d

d d ϕ

y

O x

d ϕ ϕ

dsd

d ϕ




Gambar 4.61.

Dengan melihat daerah yang diarsir pada Gambar 4.61, maka

panjang busur ds

d d

d

d d

d ds

d d ds

2

2

2

2222

1

,

(4.21)

Transformasi koordinat kartesian ( x, y,z) menjadi koordinat

silinder ),,( z

Sistem koordinat silinder merupakan perluasan sistem koordinat

polar. Gambar 4.16, menunjukkan koordinat titik ),,( zP .

),( merupakan koordinat polar proyeksi titik P pada bidang- xy,

sedangkan z adalah koordinat z titik P seperti pada sistem kartesian.

Hubungan antara koordinat kartesius ( x, y, z) dan koordinat silinder

),,( z , dapat dinyatakan sebagai

.,sin,cos z z y x (4.29)



28 Integral Lipat

Gambar 4.16. Koordinat silinder

Dalam koordinat bola, bidang-bidang berikut mempunyai

pernyataan yang sederhana:

-

bidang datar sejajar dengan bidang xy: z = konstan

-

separo bidang datar yang dibatasi sumbu z: konstan

-

bidang (kulit) silinder dengan poros sumbu z: = konstan

Ketiga permukaan ini selalu ortogonal, dan perpotongannya

merupakan kedudukan titik P.

Dengan menggunakan persamaan (4.24), diperoleh faktor

Jacobian koordinat kartesian ( x, y,z) terhadap koordinat silinder

),,( z

P( ,ϕ,z )

y

x

z

ϕ x

y

z




100

0cossin

0sincos

),,(),,(

z

z z z

z y y y

z

x x x

z z y x J

(4.30)

Dengan demikian,

dzd d dV (4.31)

dan

V V V

dzd d dxdydzdV (4.32)

Transformasi koordinat kartesian ( x, y,z) menjadi koordinat

bola ),,( r

Gambar 4.17, menunjukkan sebuah titik yang dinyatakan dalam

koordinat kartesian P( x, y, z) dan dalam koordinat bola dinyatakan

sebagai P ),,( r . Koordinat r adalah panjang vektor posisi titik P,θ adalah sudut antara vektor posisi dengan sumbu z dan ϕ adalah

sudut yang dibentuk antara proyeksi vektor posisi pada bidang xy

dengan sumbu + x. Perhatikan bahwa sudut terbatas pada nilai

0 , sedangkan sudut ϕ nilainya 20 .

P(r,θ,ϕ)

y

x

z

r

x y

z

ϕ

θ



30 Integral Lipat

Gambar 4.17. Koordinat Bola

Hubungan antara koordinat kartesian ( x, y, z) dan koordinat

bola ),,( r dinyatakan sebagai

.cos,cossin,cossin r zr yr x (4.23)

Dalam koordinat bola, bidang-bidang berikut mempunyai

pernyataan yang sederhana:

- Separo bidang datar yang dibatasi sumbu z: konstan

- bidang (kulit) kerucut dengan poros sumbu z yang berpusat

di titik asal: konstan

-

bidang (kulit) bola berjari-jari R: r = R

Berdasarkan (4.24), diperoleh faktor Jacobian




sin

0sincos

cossinsincossinsin

sinsincoscoscossin

),,(),,(

2r

r

r r

r r

z z

r

z

y yr

y

x x

r

x

r z y x J

(4.32)

Dengan demikian, elemen volume dalam koordinat bola adalah

d d dr r dV sin2 (4.33)

dan

V V

dxdydzdV V

d d dr r sin2 (4.34)

Contoh 4.8

Sebuah benda berupa pelat tipis berbentuk seperempat lingkaran

dengan jari-jari a dan kerapatan massa serba sama sebesar c.

Dengan menggunakan integral lipat koordinat polar, tentukan:

(a)

Luas pelat

(b)

Massa pelat

(c) Pusat massa pelat

(d) Momen inersia pelat jika diputar menurut sumbu putar pada

sisi yang saling tegak lurus ( y I atau x

I )

(e) Momen inersia pelat jika diputar menurut sumbu putar melalui

O dan tegak lurus pelat ( z I )



32 Integral Lipat

(f)

Momen inersia pelat jika diputar menurut sumbu putar melalui

pusat massa dan tegak lurus pelat ( cmz I )

Penyelesaian:

(a)

Luasnya

4

22

2

20

22

0 0

22

0 0

aad d d A

aa

satuan luas

(b) Massanya

massasatuan

4

,

2

2

0 0

ac

d d cd d cd d m

a

(c)

Pusat Massanya y x , karena simetris dan seragam

y

a

O a x




m

d d c

dm

dm x

x

cos

d d cac

d d cm

aa

cos

4

1 cos

1

2

0 0

2

2

2

0 0

2

0sin

2

sin

3

4sin

3

4 3

22

0

0

3

2

a

aac

ca

3

401

3

4 3

2

aa

a

3

4a x y

Jadi, pusat massanya adalah

3

4,3

4),(

aa y x

(d) Momen inersia jika diputar menurut sumbu putar pada sisi

yang saling tegak lurus

dm y I x 2

d d cd d , σ 2322 sinsin

d cd d c

aaπ a

0

2

0

42

0 0

23 sin4

sin

2

0

4

0

4

2sin

4

1

2

1

4

2cos

2

1

2

1

4

π a

ca

d ca



34 Integral Lipat

0sin

4

10sin

4

1

44

4

π π

ca

16

0004

4

44 acca

416

24maca

I I x y

(e)

Dengan menggunakan teorema sumbu tegak lurus, momen

inersia terhadap sumbu putar pada sumbu z

281616

2444macacaca

I I I y x z

(f) Dengan menggunakan teorema sumbu sejajar, cmz I

2

//

2

// d m I I d m I I cmcm

2

2

2

2

2

222222

9

32

9

16

9

16

3

4

3

4

aaaaa y xd

2

44

2

2242

9

8

89

32

48

cacaacacad m I I zcmz

,28039,09

8

8 4

2

4

caca

4 11,0 ca

Contoh 4.9

Dengan menggunakan integral lipat tiga dalam koordinat bola,

tunjukkan bahwa rumus volume bola yang berjari-jari a adalah

343V a .

Penyelesaian:

Dengan menggunakan persamaan (4.34) diperoleh,




2

0 0 0

2

1 sinV

a

V dV r dr d d

2

0 0 0

2

sin 1

a

r dr d d

3 3

0 00

2cos 0 1 1 2 0

3 3

ar a

sehingga diperoleh34

3V a

Contoh 4.10

Hitunglah momen inersia bola pada contoh 4.9, terhadap sumbu

putar melalui pusatnya, jika bola homogen dengan massa jenis .

Penyelesaian:

Dengan menggunakan persaman (4.18), maka dengan memilih

sumbu putar z, diperoleh

dM l I 2

2

0 0 0

22222

sin)sin()(

R

r d drd r r dM y x

2

00

3

0

4 sin d d dr r

a

23

4

5

5

a

15

8

5a



36 Integral Lipat

Dengan subsitusi ,4

3

33

34 a

m

a

m

V

m

maka momen

inersia bola bermassa m dengan jari-jari a terhadap sumbu putar

melalui pusatnya adalah:

2

5

2 ma I

Contoh 4.11

Massa jenis sebuah benda sama dengan kebalikan dari jaraknya

dari titik asal, r r /1),,( . Dengan menggunakan koordinat

bola, tentukan massa dan massa jenis rata-rata untuk bola berjari- jari a.

Penyelesaian:

Massa:

2

0 0 0

2 1sin

V

am dV r dr d d

r

0 0 0

2

sin 1

a

r dr d d

2 2

0 00

2cos 0 1 1 2 0

2 2

ar a

22 a

Massa jenis rata-rata sama dengan massa total dibagi volumenya,

2

343

mass 2 3

volume 2

m a

V a a

a2

3

Contoh 4.12




Sebuah bola yang jari-jarinya 2cm dilubangi dengan menggunakan

mata bor yang jari-jarinya 1cm. Jika lubang menyinggung garistengah bola, tentukan volume bola yang tersisa.

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan permasalahan ini digunakan koordinatsilinder dengan memilih sumbu z melalui pusat bola sejajar dengan

sumbu lubang.Gambar dibawah ini, menunjukkan tampang lintang bola tegak

lurus dengan sumbu lubang.

Dari gambar dapat dilihat bahwa 2/cos r . Sehingga persamaan

lingkaran batas lubang dengan titik acuan pusat bola dalam

koordinat polar adalah

cos2r

Sudut untuk satu putaran melingkari lubang

2 2

Salah satu tampang lintang bola yang sejajar dengan sumbu lubang

digambarkan sebagai berikut,



38 Integral Lipat

Pada setiap nilai r , tinggi (jarak) titik pada permukaan lubang dari bidang ekuator ( z=0) adalah

2 22 z r

sehingga elemen volume lubang

22 2 4dV z dA r r dr d

Volume lubang

2

0

2cos/2

/2

2 4V r r dr d

Integral ini tidak dapat dipisahkan karena r sebagai fungsi θ , yaitur = 2 cos θ .

Lubang pada bola simetris terhadap bidang (θ = 0)

2

0 0

2cos/2

4 4V r r dr d

2 2cos3/ 2/ 2

00

32

44

2

r d

3 3

/2 / 2

0 0

4 328 8sin 1 sin

3 3d d




2

/2 /2

0 0

321 sin sin

3d d

2

/ 2 / 2

0 0

321 1 cos sin

3d d

Dengan substitusi variabel u = cos θ , maka du = – sin θ dθ , dan

batas integrasinya 02

, 10 uu

.

1

3

0

/ 2

0

32 32 20 0

3 3 3 2 3

uu

16 64

3 9

= 9,6508 cm

3

Volume bola secara keseluruhan3

3

cm5338,333

2.4

V .

Sehingga volume bola setelah dilubangi sama dengan volume bola

dikurangi volume lubang yaitu 23,873 cm3.

RANGKUMAN

1. Integral lipat-dua didefinisikan sebagai

,),( A

dxdy y x f

dengan A adalah luasan pada bidang xy.

2. Koordinat pusat massa ),,( z y x dapat dihitung berdasarkan

persamaan



40 Integral Lipat

.,, zdM dM z ydM dM y xdM dM x

3.

Momen inersia I benda bermassa m yang berjarak l dari sumbu putar didefinisikan sebagai .2ml I

4.

Transformasi koordinat antara sistem koordinat polar dan

sistem koordinat kartesius dapat dinyatakan dengan persamaan

cosr x dan .sin r y

5. Transformasi koordinat antara sistem koordinat kartesius dan

sistem koordinat silinder dapat dinyatakan dengan persamaan

,cos r x ,sin r y z = z.

6. Transformasi koordinat antara sistem koordinat kartesius dan

sistem koordinat bola dapat dinyatakan dengan persamaan

,cossin r x ,sinsin r y .cos r z

7.

Elemen volume untuk sistem koordinat kartesius, silinder, dan

bola berturut-turut dapat dinyatakan sebagai berikut:

,dxdydzdV

,dzd d dV

.sin2 d drd r dV

8.

Jacobian ( x, y) terhadap (s,t ) dinyatakan dalam ungkapan

berikut:

.),(

),(

,

,

t

y

s

yt

x

s

x

t s

y x

t s

y x J J

11. Jacobian (u, v, w) terhadap (r , s, t ) dinyatakan dalam ungkapan

berikut:




.),,(),,(

,,,,

t

w

s

w

r

wt v

sv

r v

t

u

s

u

r

u

t sr wvu

t sr wvu J J

SOAL-SOAL

1.

Hitunglah

a.

1

0

6

1

8 x y

xdydx

b.

1

2

8

1

26 y x

dxdy xy

c.

6

0 0

2

x

x

y

ydydx

d.

1 1

0 0( 2 ) x x ye dydx

2.

Hitunglah A

dxdy y x ,)6( dengan A adalah segitiga yang titik-

titik sudutnya (0,0), (6,4), dan (8,0)

3. Hitunglah dA y x

D

2216

, dengan D adalah keping

lingkaran 1622 y x , dengan pertama-tama mengidentifikasi

integral sebagai volume benda padatan.

4.

Tentukan 2 2

D

x y dA dengan D luasan yang dibatasi oleh

1, 2, 0, y y x and x y

5. Hitunglan integral dxdzdye z y

z

3

3

1

1

1

4

1

5

2



42 Integral Lipat

6.

Dengan menggunakan koordinat polar tentukan volume benda

padat di bawah paraboloida 22 y x z dandi atas bidang

lingkaran 4922 y x .

7.

Dengan menggunakan integral lipat, hitunglah volume kotak

dengan ukuran tinggi 6cm, panjang 4cm dan lebar 3cm.

8. Gunakan koordinat polar untuk menghitung volume bola yang

berjari-jari 8 cm.

9.

Sebuah bola yang jari-jarinnya 10 cm dilubangi dengan mata

bor berjari-jari 1 cm melewati pusatnya. Tentukan volume

cincin-bola yang tersisa.

10.

Tentukan luas bidang bagian bola 9222 z y x yang berada

di atas bidang z = 2.

11.

Tentukan pusat massa pelat tipis yang dalam bidang koordinat xy dibatasi oleh parabola 264 x y dan sumbu x, jika

kerapatannya .2),( y y x

12.

Dengan menggunakan koordinat polar hitunglah

2

2

2 2sin( ) y

y x y dxdy

13.

Tentukan momen inersia sebuah kubus terhadap sumbu putar

x, jika salah satu titik sudutnya berada pada pangkal koordinat

dan ketiga rusuknya berada pada sumbu koordinat.

14.

Find the area of the part of the sphere z z y x 4222 that lies

inside the paraboloid 22 y x z .

15.

Dengan menggunakan koordinat silinder hitunglah integral

lipat tiga dV y

E

, dengan E benda padat yang terletak antara




silinder 322 y x dan 722 y x di atas bidang xy dan di

bawah bidang 4 x z .

16.

Dengan menggunakan koordinat bola hitunglah integral lipat

tiga dV xe

z y x

E

2222

, dengan E benda padat yang terletak

antara bola 9222 z y x dan 16222 z y x pada oktan

pertama.

17.

Dengan menggunakan koordinat bola hitunglah volume benda

padat yang berada dalam bola 9222 z y x di atas bidang xy

dan di bawah kerucut 22 y x z .

18. Dengan menggunakan koordinat bola atau silinder, hitunglah

integral lipat tiga dV z

E

, dengan E benda padat di atas

paraboloida 22 y x z dan di bawah bidang y z 4 .

19. Tentukan faktor Jacobian untuk transformasi

vu

v y

vu

u x

84,

72

20.

Dengan menggunakan koordinat bola hitunglah volume di atas

kerucut 2 2 2 z x y dan di dalam bola 2 2 2 2 x y z az .

21.

Hitunglah volume daerah oktan pertama yang dibatasi oleh

bidang 2 z y dan silinder x y 4 2 .

22.

Dengan menggunakan integral lipat hitunglah volume benda

padat yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang

x y z 24

23.

Dari soal no.21, hitunglah massanya jika kerapatan benda yz z y x ),,( .



44 Integral Lipat

17

.

Use spherical coordinates to find the moment of inertia of thesolid homogeneous hemisphere of radius 3 and density 1 about a

diameter of its base.

Select the correct answer.

a. 203.58 b. 198.08 c. 205.13 d. 213.5 e.195.22

1. (how do you check your answer?)4.

Gambar 4.13 Elemen luas koordinat polar.

Demikian pula elemen panjang bususr ds diperlihatkan pada

Gambar 4.14, yaitu




Gambar 4.14 Elemen panjang busur koordinat polar.Oleh karena itu, menurut (4.27) elemen luas dalam koordinat polar

adalah . rdrd Ini merupakan hasil yang telah diperoleh hasil

sebelumnya [Persamaan (4.20)].

merupakan Jacobian u, v, w terhadap r , s, t , maka dalam variabel

baru integral lipat-tiga (4.29) dapat dituliskan sebagai

.),,( dudvdwwvu f

(4.31)

Tentu saja f dan J harus dinyatakan dalam variabel r , s, t dan batas

integralnya harus disesuaikan dengan variabel baru. Kita dapat

menggunakan (4.30) untuk membuktikan elemen volume dalam

sistem koordinat silinder dan bola [Persamaan (4.24)]. Sebagai

contoh, kita akan menentukan elemen volume untuk koordinat

bola.



46 Integral Lipat

Gambar 4.15 menunjukkan bahan tipis berbentuk setengah

lingkaran dengan jari-jari a dan kerapatan konstan . Hitunglah (a)

pusat massa bahan dan (b) momen inersia bahan terhadap sumbu

putar y.

Gambar 4.15 Bahan tipis setengah lingkaran dengan jari-jari a.

Penyelesaian(a)

Berdasarkan sifat simetri, .0 y Untuk menghitung x

digunakan rumus sebagai berikut:

. xdAdA x

Dengan mengubah x ke dalam koordinat polar serta mengingat

(4.20), diperoleh

.3

4

,3

2sin

32

,cos

32/

2/

32

0

2/

2/0

2/

2/

a x

aaa x

drdrd r rdrd x

a

r

a

r

(b)

Momen inersia terhadap sumbu putar y diberikan oleh

persamaan




.2dM x I y

Dalam koordinat polar , rdrd dAdM

dengan konstan. Dengan demikian,

.8

cos4

0

2/

2/

222 adrd r rdrd x I

a

r

y

Dengan mengingat ,2

2

0

2/

2/

adrd r rdrd M

a

r

maka

.48

2 24

2

Maa

a

M I y

Dalam fisika, persoalan tiga-dimensi yang berbentuk silinder

atau simetri bola sebenarnya dapat diselesaikan dengan sistem

koordinat kartesius. Tetapi, dalam banyak hal penyelesaiannya

menjadi terlalu rumit. Untuk mengatasi penyelesaian yang rumit ini

biasanya dilakukan transformasi sistem koordinat dari kartesius ke

silinder atau bola. Dengan alasan ini, di samping sistem koordinat

kartesius dibahas pula sistem koordinat silinder dan bola. Keduasistem koordinat ini bersama-sama dengan sistem koordinat

kartesius akan dibahas lebih mendalam untuk menjelaskan

kesamaan dan perbedaannya.



48 Integral Lipat

(a) (b)

(c)

Gambar 4.16 Tiga sistem koordinat: (a) kartesius, (b) silinder, dan(c) bola.

Gambar 4.16 menunjukkan titik P yang dinyatakan dalam

tiga sistem koordinat, ( x, y, z) dalam koordinat kartesius, ),,( zr

dalam koordinat silinder, dan ),,( r dalam koordinat bola.

Urutan penulisan koordinat ini penting dan harus diikuti dengan

konsisten. Sebagai contoh, sudut muncul pada sistem koordinat

silinder dan bola. Dalam koordinat silinder muncul pada urutan

kedua, sedangkan dalam koordinat bola muncul pada urutan

ketiga. Simbol r digunakan baik dalam koordinat silinder maupun

bola, tetapi menjelaskan dua hal yang berbeda. Dalam koordinat

silinder, r menyatakan jarak titik terhadap sumbu z, sedangkan

koordinat bola r menunjukkan jarak titik terhadap titik asal.

Dari Gambar 4.16 tampak bahwa kaitan antara koordinat

kartesius ( x, y, z) dan koordinat silinder ),,( zr adalah

.,sin,cos z zr yr x

(4.22)




Demikian pula kaitan antara koordinat kartesius ( x, y, z) dan

koordinat bola ),,( r diberikan oleh persamaan

.cos,cossin,cossin r zr yr x

(4.23)

Sebuah titik merupakan perpotongan antara tiga permukaan

ortogonal (Gambar 4.17). Dalam koordinat kartesius, permukaan

ini berupa bidang datar takhingga untuk x = konstan, y = konstan,

dan z = konstan. Dalam koordinat silinder, z = konstan adalah

permukaan yang sama pada koordinat kartesius. Untuk

konstan berbentuk separo bidang datar yang dibatasi sumbu

z,sedangkan r = konstan berbentuk silinder tegak dengan

penampang lingkaran. Ketiga permukaan ini selalu ortogonal, dan

perpotongannya merupakan kedudukan titik P. Dalam koordinat

bola, konstan adalah (separo) bidang datar yang sama seperti

pada koordinat silinder, r = konstan adalah permukaan bola yang

berpusat di titik asal, dan konstan adalah suatu kerucut

lingkaran tegak dengan poros sumbu z dan berpuncak di titik asal.

Perhatikan bahwa sudut terbatas pada nilai .0



50 Integral Lipat

Gambar 4.17 Tiga permukaan ortogonal pada sistem koordinat

(a) kartesius, (b) silinder, dan (c) bola.

Jika koordinat titik P dikembangkan pada

),,( dz zdy ydx x atau ),,,( dz zd dr r atau

),,,( d d dr r akan terbentuk elemen volume dari

masing-masing sistem koordinat (Gambar 4.18). Elemen volume

masing-masing sistem koordinat berturut-turut adalah

dxdydzdV (kartesius)

(4.24a)

dzrdrd dV (silinder)

(4.24b)

d drd r dV sin2 (bola)

(4.24c)

Gambar 4.18 Elemen volume untuk sistem koordinat (a) kartesius,(b) silinder, dan (c) bola.

Untuk elemen panjang busur ds berturut-turut diberikan

oleh




2222 dzdydxds (kartesius)

(4.25a)

22222 dzd r dr ds (silinder)

(4.25b)

2222222 sin d r d r dr ds (bola)

(4.25c)

Sebuah benda berbentuk kerucut mempunyai tinggi h, jari-jari alas

r , dan kerapatan konstan (Gambar 4.19). Jika h = r , hitunglah

(a) pusat massa z dan (b) momen inersia kerucut terhadap sumbu

z.

Gambar 4.19 Kerucut dengan tinggi h, jari-jari alas r , dan

kerapatan konstan.

Penyelesaian

(a)

Sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 4.19, persamaankerucut dalam koordinat silinder adalah r = z. Elemen massa

,dzrdrd dV dM dengan konstan. Dengan demikian,



52 Integral Lipat

.3

23

0

2

21

0 0

2

0

hdz zdzrdrd dV M

hh

z

z

r

Pusat massa dihitung dengan rumus berikut:

,4

24

0

3

21

0 0

2

0

hdz zdz zrdrd zdV dV z

hh

z

z

r

.4

3,

43

43 h z

hh z

(b)

Momen inersia terhadap sumbu z adalah

.10

25

0

4

41

0 0

2

0

2 hdz zdzrdrd r I

hh

z

z

r

Tetapi ,3/3h M sehingga

.10

3

10

3 25

3 Mh

h

h

M

I

(4.33)

Tentukan momen inersia bola pejal dengan jari-jari R terhadap

diameternya.

Penyelesaian

Dalam koordinat bola, persamaan bola adalah r = R. Jadi, massa

bola adalah

.34sin 3

2

0 0 0

2 Rd drd r dV M

R

r

(4.34)




Momen inersia terhadap sumbu z adalah

,15

82

3

4

5

3

4)sin()(

55

3

2

0 0 0

22222

R R

Rd drd r r dM y x I

R

r

.

5

2 2 MR I

(4.35)

Tentukan momen inersia dari terhadap sumbu putar z dari

ellipsoida pejal

.12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Penyelesaian

CONTOH SOAL 4.10



54 Integral Lipat

Kita akan menghitung dxdydz M dan

,)(22

dxdydz y x I dengan integral lipat-tiga

meliputi seluruh volume elipsoida. Dengan melakukan

perubahan variabel ,',',' cz zby yax x maka

.1''' 222 z y x Dengan demikian, integral berubah

menjadi seluruh volume bola dengan jari-jari 1 satuan.

Dengan demikian,

abcdzdydxabc M ''' (volume benda dengan jari-

jari 1).

Dengan menggunakan Persamaan (4.34), diperoleh

.)1)((343

34 abcabc M Dengan cara yang sama,

.')''(2222

dV yb xaabc I

Disini integral lipat-tiga meliputi seluruh volume bola dengan

jari-jari satu satuan. Berdasarkan sifat simetri,

,''3

1'''''' 2222

dV r dV zdV ydV x

dengan .'''' 2222 z y xr Dengan menggunakan sistem koordinat

bola, diperoleh

.5

4''4''''sin'('''

2

0 0

1

0

4

1

0

222

dr r d d dr r r dV r

r

Dengan demikian,

),)()((''''5

431222222 baabcdV ybdV xaabc I

atau




).( 22

31 ba M I

(4.36)

Latihan

1.

Dengan menggunakan koordinat polar, hitunglah

.0 0

22

dxdye y x

2. Dengan mengganti variabel y xu dan , y xv hitunglah

.

1

0

1

0

))((dxedy

y

y x y x

KATA KUNCI

koordinat polar momen inersia

koordinat silinder pengertian titik berat

koordinat bola titik berat

transformasi koordinat



56 Integral Lipat



Pengantar Mekanika Analitik 69

1. Hitunglah integral lipat-dua berikut ini:

a.

, A

xdxdy dengan A adalah daerah yang dibatasi oleh

parabola 2 x y dan garis lurus .082 y x

b. dxdy meliputi daerah yang dibatasi oleh ,ln x y

,1 xe y dan sumbu x.

c.

0

.sin

y y x

dxdy x

x

2. Buktikan bahwa

.)2(4

2

sin

2

sin3

4

2

22

1

x x y x

x

x y

dydx y

xdydx

y

x

3.

Hitunglah volume benda yang dibatasi oleh permukaan bola

4222 z y x dan paraboloida .322 z y x

4. Bahan tipis berbentuk segiempat mempunyai titik-titik sudut

(0,0), (0,2), (3,0), dan (3,2). Jika kerapatan bahan xy, hitunglah

(a) massa benda M , (b) koordinat pusat massa ),,( y x (c)

momen inersia terhadap sumbu x dan sumbu y, dan (d) momen

inersia terhadap sumbu yang melewati pusat massa dan sejajar

dengan sumbu z.

5. Nyatakan integral integral dyedx I

x

y x

2

221

0

1

0

sebagai integral

dalam koordinat polar, kemudian tentukan nilainya.

6. Tentukan Jacobian ),(/),( vu y x dari variabel ( x, y) ke

variabel (u,v) jika .),( 22

21 uv yvu x



Pengantar Mekanika Analitik70

7.

Dengan menggunakan transformasi koordinat

,2,22 xyv y xu hitunglah integral berikut:

.)(1

2

0 0

222

22

dxdye y x

y x I

xy

8.

Jika ,sin,cos,2,22 r yr x xyv y xu buktikan

bahwa .4),(/),( 3r r vu

9. Tentukan (a) volume dan (b) pusat massa daerah A yang

dibatasi oleh silinder parabolik 24 x z dan bidang-bidang x

= 0, y = 0, y = 6, dan z = 0 jika kerapatannya konstan.

10. Hitunglah massa benda yang dibatasi oleh bidang koordinat dan

bidang ,1c

z

b

y

a

x jika massa jenis benda diberikan oleh

.kxyz




Belum terpakaiPenyelesaian

Massa segiempat kecil dengan luas y x A adalah

.),( y x y x f Kita dapat menjumlahkan seluruh massa, yaitu

. xydxdydM Besaran dM ini disebut sebagai elemen massa.

Dengan demikian,

.1)1

0

2

0

2

0

1

0

dy y xdxdydx xy xydxdy M x y A

Integral lipat tiga dari ),,( z y x f meliputi seluruh volume V ditulissebagai

dxdydz z y x f V

),,(

didefinisikan pula sebagai limit jumlah dan dihitung dengan

integral berulang. Sebagai ilustrasi perhitungan volume, perhatikan

Contoh Soal 4.2.

Hitunglah volume benda pada Gambar 4.3 dengan menggunakan

integral lipat-tiga.

CONTOH SOAL 4.3




Penyelesaian

Untuk menyelesaikan soal ini, bayangkan benda tersebut dipotong-

potong menjadi kotak kecil-kecil dengan volume z y x sehingga

diperoleh elemen volume dxdydz. Mula-mula jumlahkan volume

dari kotak kecil-kecil itu sehingga diperoleh volume kolom. Ini

berarti mengintegralkan terhadap z dari 0 ke 1 + y dengan x dan y

tetap. Selanjutnya, kita menjumlahkan semua volume kolom

tersebut untuk memperoleh lapisan volume. Akhirnya, kita

menjumlahkan seluruh lapisan volume ini untuk menghasilkan

volume benda yang diinginkan. Oleh karena itu,

1

0

22

0

1

0

22

0

1

0

,3

5)1(

x

x

y x

x

y

y

zV

dydx ydzdydxdxdydzV

sebagaimana hasil sebelumnya.

Hitunglah massa benda padat pada Gambar 4.3 jika kerapatannya

(massa per satuan volume) adalah x + z.

Penyelesaian

Elemen massa adalah ,)( dxdydz z xdM sehingga

.2])1()1([

)()(

1

0

22

0

2

21

1

0

22

0

1

0

1

0

22

0

2

2

1

1

0

dydx y y x

dydx z xzdzdydx z x M

x

x

y

x

x

y x

y

x

x

y

y

z

CONTOH SOAL 4.4




1.

Hitunglah

a.

2

1

2

0 x

x

x y

x y

zdzdydx

b.

2

0

2 2

8 z z x x y

dydxdz

Diberikan kurva 2 x y dari x = 0 ke x = 1. Hitunglah (a) Luas di

bawah kurva, yaitu daerah yang dibatasi oleh kurva, sumbu- x, dan

garis x = 1 (Gambar 4.7). (b) Massa dari luas bidang pada jawaban

(a), jika kerapatannya (massa per satuan luas) adalah xy. (c)

Panjang kurva. (d) Dari jawaban (a), tentukan pusat massanya. (d)

Dari jawaban (c), tentukan pusat massanya. (f) Momen inersia

terhadap sumbu putar x, y, dan z.

Penyelesaian

(b)

Luas di bawah kurva diberikan oleh

.3

1

3

1

0

31

0

2

1

0

xdx x ydx A

x x

Sebagai alternatif, kita dapat menghitung luas di bawah kurva

dengan integral lipat-dua dari elemen luas dA = dxdy (Gambar

4.7). Diperoleh,




.3

1

3

1

0

31

0

2

1

0 0

2

xdx xdydx A

x x

x

y

Gambar 4.7 Kurva 2 x y yang dibatasi x = 0 dan x = 1.

(c)

Elemen luas, sebagaimana telah digunakan dalam jawaban (a)

adalah .dydxdA Karena kerapatan , xy sehingga elemen

massa . xydxdydM Dengan demikian,

.12

1)(

1

0

5

21

1

00

2

21

1

00

22

dx x y xdx xydydx M x

x x

y

Perhatikan bahwa kita tidak dapat menyelesaikan soal ini

dengan integral tunggal, sebab kerapatan bergantung pada x

dan y.




Gambar 4.8 Menghitung panjang busur pada kurva .2 x y

Untuk kurva ,2 x y panjang busur antara x = 0 dan x = 1

adalah

.4

)52ln(524111

0

1

0

2

2

dx xdx

dxdys

Perhatikan bahwa dalam perhitungan ini telah digunakan

tabel integral, yaitu

.ln22

22222

22 xa xa xa x

dx xa

(d) Dalam fisika dasar, koordinat pusat massa ),,( z y x diberikan

oleh persamaan

, xdM dM x , ydM dM y , zdM dM z

(4.14)

dengan dM menyatakan elemen massa dan integral meliputi

seluruh benda. Meskipun rumus koordinat pusat massa

berbentuk integral tunggal, tetapi dalam kenyataannya dapat

berupa integral tunggal, lipat-dua, atau lipat-tiga, bergantung

pada persoalan yang dihadapi serta metode penyelesaiannya.

Mengingat z y x ,, konstan, kita dapat mengeluarkannya dari

tanda integral. Di samping itu, untuk kasus sederhana

Persamaan (4.14) dapat diselesaikan dengan mudah. Sebagai

contoh, untuk benda berupa bidang datar yang berada pada




bidang xy maka .0 z Elemen massa ,dxdydAdM

dengan menyatakan kerapatan (dalam hal ini massa per

satuan luas). Substitusi ke dalam ungkapan (4.14) dan

mengintegralkan kedua ruas akan menghasilkan koordinat

pusat massa. Untuk konstan, integral pertama Persamaan

(4.14) menjadi

dA xdA x atau . xdAdA x

Dengan cara yang sama, untuk konstan dapat dihilangkan

dari semua integral pada ungkapan (4.14). Pada contoh soal

ini, kita mempunyai

1

0 0

1

0 0

22

x

x

y x

x

y

dydx xdydx x atau

,4

11

0

4

41 x A x

1

0 0

1

0 0

22

x

x

y x

x

y

dydx ydydx y atau

.10

11

0

5

10

1 x A y

Tetapi A = 1/3, sehingga diperoleh 4/3 x dan .10/3 y

(e) Pusat massa panjang busur ),( y x dari kurva y = f ( x) diberikan

oleh persamaan

,ds xds x ,ds yds y

(4.15)

dengan adalah kerapatan (massa per satuan panjang). Jika

konstan, Persamaan (4.15) menjadi




, xdsds x , ydsds y

dengan ds diberikan oleh ungkapan (4.12). Dalam soal ini kitamempunyai,

dx x xdx x x2

1

0

2

1

0

4141

.4141412

1

0

22

1

0

2

1

0

dx x xdx x ydx x y

Dengan menggunakan rumus integral

3

)( 2/32222 a xdxa x x

dan

,ln884

)( 2222222/322

222 xa xa xa xaa x x

dxa x x

hitunglah nilai .dan y x

(f)

Momen inersia I dari massa m yang berjarak l dari sumbu putar

dirumuskan sebagai .2ml I Untuk benda yang bukan terdiri

atas titik-titik massa diskret, melainkan memiliki sebaran massa

yang malar, rumus ini menjadi bentuk integral. Kita bayangkan

benda dibagi-bagi menjadi elemen-elemen massa kecil dM . Jika

jarak elemen massa ini ke sumbu putar adalah l, maka

.2dM l I

(4.16)




Dalam contoh soal ini kerapatan , xy sehingga

. xydxdydM Jarak dM terhadap sumbu x dan sumbu y

berturut-turut adalah y dan x (Gambar 4.9). Jarak dM terhadap

sumbu z adalah 22 y x (sumbu z tegak lurus bidang

gambar). Oleh karena itu, diperoleh tiga momen inersia

terhadap sumbu koordinat, yaitu

Gambar 4.9 Menghitung momen inersia.

,40

11

0

9

41

1

0 0

2

2

dx x xydydx y I x

x

y

x

,

16

11

0

7

41

1

0 0

2

2

dx x xydydx x I

x

x

y

y

.80

7)(

1

0 0

22

2

y x

x

x

y

z I I xydydx y x I

Dengan menggunakan besaran massa M = 1/12 (jawaban (b)),

diperoleh

,103

4012 M M I x ,

43

1612 M M I y .

2021

8084 M M I z




Putarlah daerah pada Contoh Soal 4.5 terhadap sumbu x sehingga

membentuk volume dan permukaan benda putar, kemudian

hitunglah (a) volume benda putar, (b) momen inersia benda

terhadap sumbu x jika kerapatannya konstan, (c) luas permukan

kurva, dan (d) pusat massa permukaan kurva.

Penyelesaian

(a)

Cara yang paling mudah untuk memperoleh volume benda

putar adalah mengambil elemen volume berbentuk lapisan tipis

sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 4.10. Lapisan ini

mempunyai ketebalan dx dan tampang lintang berbentuk

lingkaran dengan jari-jari y, sehingga elemen volume

.2dx ydV Dengan demikian,

.4

1

0

4

1

0

2 dx xdx yV




Gambar 4.10 Permukaan kurva 2 x y yang diputar

terhadap sumbu x.

Sebagai alternatif, soal ini dapat pula diselesaikan dengan

menggunakan integral lipat-tiga. Jika kurva )( x f y diputar

terhadap sumbu x, setiap titik pada kurva akan mengelilingi

lingkaran dengan jari-jari f ( x) yang sejajar dengan bidang xy.

Dengan demikian, diperoleh persamaan lingkaran

.)]([ 2222 x f r z y

(4.17)

Ini tidak lain merupakan persamaan permukaan kurva. Untuk

,)( 2 x x f kita mempunyai

.4222 xr z y

(4.18)

Gambar 4.11 Penampang permukaan kurva 2 x y yang

diputar terhadap sumbu x .

Seperti telah diuraikan di depan, dalam melakukan integral

lipat-tiga, lapisan tipis dx dipotong-potong menjadi kotak




kecil-kecil sehingga diperoleh elemen volume dxdydz (Gambar

4.11). Dengan demikian,

,arcsin2

1.2.2

2

1

0

4

2

424

1

0

24

1

0

1

0

24

1

0

2

2

2

2

2

2

2

2

24

24

dx x x

z x z x zdxdz z xdx

dz z xdxdydzdxdydzV

x

x

x

x

x

x x

x

x z

z x

z x y

sebagaimana telah diperoleh sebelumnya.

(b) Untuk memperoleh momen inersia benda terhadap sumbu x,

kita melakukan integral dM l 2 ke sumbu x. Karena sumbu x

tegak lurus bidang gambar, maka 222 z yl (Gambar 4.11).

Mengingat kerapatan konstan sehingga besaran dapat ditulis

di luar integral. Dengan demikian,

1

0

22

2

2

24

24

.18

)( x

x

x z

z x

z x y

x dydzdx z y I

Dari jawaban (a) diperoleh ,5/ V sehingga

.5/ V M Dengan demikian.

.18

55

18 M M I

x

(c)

Elemen luas permukaan kurva ditunjukkan pada Gambar 4.12,

yaitu .2 ydsdA Dengan demikian,

.4122 2

1

0

2

1

0

dx x x ydy A x x




Gambar 4.12 Elemen luas permukaan kurva 2 x y yang

diputar terhadap sumbu x .

(d) Dengan sifat simetri dapat dipahami bahwa .0 z y Untuk

x dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut:

, xdAdA x

Dengan mengingat ydxdA 2 dan luas total A dari jawaban

(c), diperoleh

.412)2(

1

0

22

1

0

dx x x xds ydy x A x

x

Volume Under A Surface－ z = f ( x, y), R

dxdy y x f V ),(

Properties of Double Integrals and Figure 15.1.4 (P1016)

R R R

dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f

21

),(),(),(

15.1.3 Double Integrals Over a Rectangle and Figures 15.1.5,15.1.6 (P1018)




b

a

d

c

d

c

b

a

R

dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f ),(),(),(

15.2 Double Integrals Over Nonrectangular Regions

15.2.2 and Figure 15.2.1 (P1022)(a) If a region R is bounded by x=a, b and y=g1( x) and g2( x), then

b

a

xg

xg R

dydx y x f dxdy y x f )(2

)(1

),(),(

(b) If a region R is bounded by y=c, d and x=h1( y) and h2( y), then

d

c

yh

yh R

dxdy y x f dxdy y x f )(2

)(1

),(),(

Volume Calculated From Integration of Area and Figure 15.2.2

(P1022)

b

adx x AV )( ,

)(2

)(1

),()( xg

xgdy y x f x A

Area Calculated As A Double Integral and Figure 15.2.11 (P1026)

R

dxdy A

Example 7 and Figure 15.2.12 (P1026)

15.3 Double Integral In Polar Coordinates15.3.1 Simple Polar Regions (P1029) and Figure 15.3.1 (P1030)

A region enclosed by r =r 1( ), r 2( ) and = , ,

where , - 2 and 0 r 1( ) r 2( )

15.3.3 Polar Double Integrals (P1032) and Figures 15.3.5, 15.3.6(P1031)

If R is a simple region shown in Figure 15.3.6, then

)(2

)(1

),(),(r

r R

rdrd r f dAr f

Example 1 and Figure 15.3.8 (P1032), Example 2 andFigure 15.3.9 (P1033)




Finding Area Using Polar Double Integrals (P1033)

)(2

)(1

r

r rdrd A


Double Integrals from Rectangular to Polar Coordinates (P1034)

R R

rdrd r r f dA y x f )sin,cos(),(


Exercise Set 15.3－9,11,13-17,27,31-33,36,37,39

15.5 Triple Integrals15.5.1 Triple Integrals Over Rectangular Boxes (P1049)

Let G be the rectangular box defined by a x b, c y d , k z l,then

b

a

d

c

l

k G

dzdydx z y x f dV z y x f ),,(),,(

Integral on the right can be evaluated by altering the order

of integration.

15.5.2 Triple Integrals Over General Regions and Figure 15.5.3(P1050)

Let G be a solid with lower surface z=g1( x, y) and uppersurface z=g2( x, y),

and let R be the projection of G on the xy-plane, then

R

y xg

y xgG

dAdz z y x f dV z y x f ),(2

),(1

),,(),,(

Example 2 and Figure 15.5.4 (P1050, 1051)

Volume Calculated as a Triple Integral (P1051) V =

R

dxdydz





Integration in Other Orders and Figure 15.5.7 (P1053)

R

z xg

z xgdAdy z y x f dV z y x f

),(2

),(1solid xz

),,(),,(

R

z yg

z ygdAdx z y x f dV z y x f

),(2

),(1solid yz

),,(),,(


Exercise Set 15.5－8,10,17,18,25,26,30

15.6 Centroid, Center Of Gravity, Theorem of Pappus

15.6.1 Mass of a Lamina and Figure 15.6.3 (P1056)

If a lamina with a density function ( x, y) on a region R in the xy-plane, then its total mass M is given by

R

dxdy y x M ),(

Center of Gravity ( _ _

, y x ) of a Lamina (P1059)

R

R

dxdy y x

dxdy y x x

x),(

),( _

,

R

R

dxdy y x

dxdy y x y

y),(

),( _

Centroid of a Region R (P1060)

R

R

dxdy

xdxdy

x

_

R

R

dxdy

ydxdy

y

_


Mass of a Solid G (P1061) G

dxdydz z y x M ),,( , ( x, y,

z): density function

Center of Gravity ( _ _ _

,, z y x ) of a Solid G (P1061)




G

G

dxdydz z y x

dxdydz z y x x

x

),,(

),,( _

,

G

G

dxdydz z y x

dxdydz z y x y

y

),,(

),,( _

,

G

G

dxdydz z y x

dxdydz z y x z

z),,(

),,( _

Centroid of a Solid G (P1061)

G

G

dxdydz

xdxdydz

x _

,

G

G

dxdydz

ydxdydz

y _

,

G

G

dxdydz

zdxdydz

z _


15.6.3 Theorem of Pappus and Figure 15.6.12 (P1062)

Pappus of Alexandria (4th

centry A.D.)－Greek mathematician.

Pappus lived during the early Christian era. His main contributions

to mathematics survive only partially. Swiss mathematician, PaulGuldin (1577-1643), rediscovered it independently.

If R is a bounded plane region and L is a line on one side of R,then the volume formed by revolving R about L is

R

xdxdyV 2

Exercise Set 15.6－7,9,11,13,19,23,25,29,33,34

15.7 Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coortdinates15.7.1 Triple Integrals in Cylindrical Coordinates and Figure 15.7.4

(P1067)

Let G be a solid with lower surface z=g1(r , ) and upper surface

z=g2(r , ), and if the projection of the solid on the xy-plane is

bounded by r =r 1( ), r 2( ) and = 1, 2, then

2

1

)(2

)(1

),(2

),(1

),,(),,(r

r

r g

r gG

rdzdrd zr f dV zr f





15.7.2 Triple Integrals in Spherical Coordinates and Figure 15.7.9

(P1070)

2

0 0

0

0

2sin),,(),,( d d d f dV f

G

Ditinjau integral tunggal sebagai berikut

b

a

dx x f I )( (4.22)

Jika silakukan substitusi variabel

)(u x x atau )( xuu , (4.23a)

maka akan mengalihkan integral tunggal (4.22) dalam tiga hal

yaitu:

(i). Pengalihan interval (daerah) integrasi

Interval integrasi dalam x yaitu b xa D x

, teralihkan ke

interval integrasi yang baru yaitu )()( buuau Du

(ii). Pengalihan elemen diferensial dx , menjadi

du

df dx

Latihan1.

Sebuah batang homogen panjangnya l dan kerapatannya .

Hitunglah (a) M , (b) momen inersia terhadap sumbu yang tegak

lurus batang, dan (c) momen inersia terhadap sumbu yang tegak

lurus batang melalui salah satu ujung batang.

2.

Sebuah batang yang panjangnya 10 m mempunyai kerapatan

yang bervariasi dari ujung satu ke yang lain 4 kg/m ke 24 kg/m.

Hitunglah (a) M , (b) , x (c) momen inersia terhadap sumbu



yang tegak lurus batang; (d) momen inersia terhadap sumbu

yang tegak lurus batang melalui ujung batang yang lebih

ringan.

Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf

Documents

Transcript of Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf