i

FISIKA UNTUK UNIVERSITAS JILID I

ROSYID ADRIANTO

Departemen FisikaUniversitas Airlangga, SurabayaE-mail address, P. Carlson: i an cakep@yahoo.co.idURL: http://www.rosyidadrianto.wordpress.com

Puji syukur atas kehadirat Allah swt yang telah melimpahkan rahmat danhidayah-Nya sehingga dapat diterbitkannya buku ”FISIKA UNTUK

UNIVERSITAS JILID I” ini.

Ringkasan. Buku Fisika untuk Universitas Jilid I ini diterbitkan untuk me-

nunjang materi kuliah Rosyid Adrianto, S.Si., di kelas.

Daftar Isi

Bab 1. Pengukuran dan Vektor 1

Bab 2. Kinematika 31. Gerak Satu Dimensi 32. Gerak Dua Dimensi dan Tiga Dimensi 83. Soal Latihan 12

Bibliografi 15

v

BAB 1

Pengukuran dan Vektor

1

BAB 2

Kinematika

Gambaran mengenai gerakan benda merupakan bagian yang penting dalampenggambaran alam semesta secara fisis. Masalah ini merupakan inti pengemban-gan sains dari Aristoteles hingga Galileo. Hukum tentang pergerakan benda-bendayang jatuh telah dikembangkan jauh sebelum Newton mengemukakan gagasannyatentang benda-benda jatuh. Salah satu fenomena ilmiah pada masa awal adalahmempersoalkan gerakan matahari melintasi langit dan gerak revolusi planet sertabintang. Keberhasilan mekanika newton adalah penemuan bahwa gerakan bumidan planet-planet lain mengelilingi matahari dapat dijelaskan lewat gaya tarik an-tara matahari dan planet-planet itu.

1. Gerak Satu Dimensi

Kita akan mulai dengan benda-benda yang posisinya dapat digambarkan den-gan menentukan posisi satu titik agar pembahasan tentang gerak dapat dipaha-mi secara mudah. Benda semacam itu dinamakan partikel. Sebagai contoh, ki-ta anggap bumi sebagai partikel yang bergerak mengelilingi matahari dalam lin-tasan yang menyerupai lingkaran. Dalam kasus itu, kita hanya fokus terhadapgerakan pusat bumi, sehingga ukuran bumi dan rotasinya dapat diabaikan. Dalambidang astronomi, keseluruhan tata surya atau bahkan seluruh galaksi kadang-kadang diperlakukan sebagai partikel. Jika kita menganalisis rotasi atau strukturinternal sebuah benda maka kita tidak dapat lagi memperlakukannya sebagai se-buah partikel tunggal. Akan tetapi, materi kita tentang gerakan partikel tetapberguna, bahkan untuk kasus yang kompleks sekali pun, karena setiap benda dapatdianggap sebagai kumpulan atau ”sistem partikel”.

1.1. Kelajuan, Perpindahan, dan Kecepatan. Kelajuan rata-rata par-tikel disefinisikan sebagai perbandingan jarak total yang ditempuh terhadap waktutotal yang dibutuhkan:

Kelajuan rata-rata =jarak totalwaktu total

.

Satuan SI kelajuan rata-rata adalah meter per sekon (M/s), dan satuan yang bi-asanya dipakai di Amerika adalah feet per sekon (ft/s). Secara internasional, satuanyang lebih umum adalah kilometer per jam km/jam.

Konsep kecepatan serupa dengan konsep kelajuan akan tetapi berbeda karenakecepatan mencakup arah gerakan. Agar dapat memahami konsep ini, terlebihdahulu kita bahas konsep perpindahan. Pertama, kita buat sistem koordinat den-gan memilih titik acuan pada sebuah garis untuk titik asal O. Untuk tiap titik lainpada garis itu kita tetapkan sebuah bilangan x yang menunjukkan seberapa jauh-nya titik itu dari titik asal. Tanda x bergantung pada posisi relatifnya terhadap

3

4 2. KINEMATIKA

titik asal O. Kesepakatan yang biasa digunakan adalah titik-titik di kanan titikasal diberi nilai positif dan titik-titik di kiri diberi nilai negatif.

Sebagai contoh, ada sebuah mobil yang berada pada posisi x1 saat t1 dan padaposisi x2 saat t2. Perubahan posisi mobil (x2−X1) dinamakan perpindahan. Dalamfisika biasanya ditulis : ∆x = x2 − x1.

Sementara kecepatan adalah laju perubahan posisi. Kecepatan rata-rata par-tikel didefinisikan sebagai perbandingan antara perpindahan ∆x dan selang waktu∆t:

vrata-rata =∆x∆t

=x2 − x1

t2 − t1.

1.2. Kecepatan Sesaat. Gambar 1 adalah kurvax versus t yang menun-jukkan urutan selang waktu, ∆t1, ∆t2, ∆t3, · · · , yang masing-masing lebih kecil daripada selang sebelumnya. Untuk tiap selang waktu ∆t, kecepatan rata-rata adalahkemiringan garis lurus yang sesuai untuk selang itu. Gambar 1 menunjukkan bah-wa, jika selang waktu menjadi lebih kecil, garis lurusnya menjadi semakin curam,tetapi garis tersebut tak pernah lebih miring dari pada garis singgung pada kurvadi titik t1. Kemiringan garis singgung ini kita definisikan sebagai kecepatan sesaatpada t1.

Gambar 1. Grafik x versus t. Jika selang waktu yang dimulaidari t1 diperkecil, kecepatan rata-rata untuk selang itu mendakatigradien pada kurva saat t1. Kecepatan sesaat didefinisikan sebagaigradien ini.

Definisi lain tentang kecepatan sesaat adalah limit rasio ∆x/∆t jika ∆tmendekati nol :

(1.1) lim∆t→0

∆x∆t

= gradien garis yang menyinggung kurva x terhadap t .

Limit ini dinamakan turunan x terhadap t. Dalam notasi matematis turunan biasaditulis:

lim∆t→0

∆x∆t

=dxdt

.

Sementara itu, besarnya kecepatan sesaat adalah kelajuan sesaat.

1. GERAK SATU DIMENSI 5

1.3. Percepatan. Jika kecepatan sesaat sebuah partikel berubah seiring den-gan berubahnya waktu maka dengan kata lain partikel itu dipercepat. Percepatanrata-rata untuk suatu selang waktu tertentu ∆t = t2−t1 didefinisikan sebagai rasio∆v/∆t dengan ∆v = ∆v2 −∆v1 adalah perubahan kecepatan sesaat untuk selangwaktu tersebut:

(1.2) arata-rata =∆v∆t

.

Dimensi percepatan adalah panjang dibagi (waktu)2. Satuan yang umum adalahmeter per sekon kuadrat (m/s2) atau feet per sekon sekon kuadrat (ft/s2).

Percepatan sesaat adalah limit rasio ∆v/∆t dengan ∆t mendekati nol. Definisilain percepatan sesaat adalah gradien garis yang menyinggung kurva saat t:

(1.3) a = lim∆t→0

∆v∆t

= gradien garis yang menyinggung kurva v terhadap t .

Jadi percepatan adalah turunan kecepatan terhadap waktu. Notasi matematis un-tuk turunan ini adalah dv/dt. Karena kecepatan adalah turunan posisi x terhadapt, percepatan adalah turunan kedua x terhadap t, biasa ditulis d2x/dt2:

a =dvdt

=d(dx/dt)

dt=

d2x

dt2.

1.4. Gerakan dengan Percepatan Konstan. Percepatan konstan adalahgradien kurva v terhadap t adalah konstan artinya kecepatan berubah secara linierterhadap waktu. Jika nilai kecepatan adalah v0 saat t = 0, nilai v saat t berikutnyadiberikan oleh

(1.4) v = v0 + a t .

Sementara, perpindahannya adalah

(1.5) ∆x = vrata-rata t =12

(v0 + v) t

Dengan demikian, fungsi posisinya adalah

(1.6) x = x0 + v0 t+12a t2

Sementara untuk mengetahui kecepatan akhir partikel saat waktu t adalah

(1.7) v2 = v20 + 2 a∆x

1.5. Integrasi. Telah kita pahami bahwa untuk mendapatkan fungsi kecepatandan percepatan dari suatu fungsi posisi dapat diperoleh dari diferensiasinya (tu-runannya). Sebaliknya, untuk mendapatkan fungsi posisi x jika diketahui kecepatanv atau percepatan a, maka dilakukan prosedur yang disebut integrasi. Sebagai con-toh, jika percepatan konstan

dvdt

= a ,

maka kecepatan adalah fungsi waktu. Fungsi semacam itu adalah

v = a t .

Dengan menambahkan kontanta v0 maka didapat

v = v0 + a t .

6 2. KINEMATIKA

Kontanta v0 adalah kecepatan awal. Sementara fungsi posisi yang diperoleh adalah

x = x0 + v0 t+12a t ,

dengan x0 adalah posisi awal.Persoalan integrasi berhubungan dengan persoalan menemukan luas di bawah

kurva. Pada kasus kecepatan konstan v0, perubahan posisi ∆x selama ∆t adalah :

δx = v0 ∆t .

Gambar 2. Grafik v(t) versus t. Perpindahan untuk selang ∆tidiperkecil mendekati vi ∆ti yang ditandai dengan daerah yang di-arsir.

Interpretasi grafis tentang perpindahan sebagai luas di bawah kurva v terhadapt ini adalah benar, baik untuk kasus dengan kecepatan konstan maupun kecepatanyang berubah-ubah, seperti pada Gambar 2. Jika selang waktu ∆t ini kita bagi lagidengan nilai yang menjadi lebih kecil maka akan kita dapatkan selang waktu yanglebih kecil ∆t1, ∆t2, ∆t3, dan seterusnya. Sehingga, perubahan posisi merupakanpenjumlahan total dari perkalian antara kecepatan dan selang waktu yang lebihkecil tersebut. Secara matematis ditulis

∆x ≈∑

i

vi ∆ti .

Untuk limit selang waktu yang makin lama makin kecil, jumlah ini sama denganluas di bawah kurva, yang sama dengan perpindahannya. Limit ini dinamakanintegral dan ditulis

(1.8) ∆x = lim∆ti→0

∑i

vi ∆ti =∫ t2

t1

v dt

1. GERAK SATU DIMENSI 7

Perubahan kecepatan untuk selang waktu dapat diinterpretasikan dengan carasama sebagai luas di bawah kurva a terhadap t untuk selang tersebut. Pernyataanini ditulis sebagai

(1.9) ∆v = lim∆ti→0

∑i

ai ∆ti =∫ t2

t1

a dt

Contoh SoalSebuah partikel bergerak menurut sumbu-x dengan percepatan a = 3 t + 2, a

dalam m/s2, t dalam sekon. Pada keadaan awal partikel berada pada x = 2 m dankecepatan = 3 m/s. Tentukan

(1) Posisi pada t = 2 s(2) Kecepatan rata-rata antara t = 2 s dan t = 4 s(3) Kecepatannya pada t = 3 s(4) Posisi pada saat kecepatannya = 12 m/s(5) Kecepatannya pada saat percepatan = 17 m/s2

Penyelesaian(1) Dalam soal ini percepatan adalah fungsi waktu, a = 3 t + 2. Karena

dv = adt, maka

v =∫

(3 t+ 2) dt =32t2 + 2 t+ c1

pada t = 0, v = 3 m/s → 3 = 32 (0)2 + 2 (0) + c1 atau c1 = 3. Jadi

v =32t2 + 2 t+ 3

selanjutnya

x =∫v dt =

∫ (32t2 + 2 t+ 3

)dt

=12t3 + t2 + 3 t+ c2

Pada t = 0, x = 2→ 2 = 12 (0)3 + (0)2 + 3 (0) + c2

Maka x = 12 t

3 + t2 + 3 t+ 2Untuk t = 2, x = 1

2 (2)3 + (2)2 + 3 (2) + 2 = 16Jadi posisi partikel pada t = 2 adalah x = 16 m.

(2) untuk t = 4 s → x2 = 12 (4)3 + (4)2 + 3 (4) + 2 = 62

untuk t = 4 s → x1 = 12 (2)3 + (2)2 + 3 (2) + 2 = 16

vrata - rata =x2 − x1

t2 − t1=

62− 164− 2

= 23m/s

(3) untuk t = 3 s → v = 32 (3)2 + 2 (3) + 3 = 22, 5m/s

(4) 12 = 32 (t′)2 + 2 (t′) + 3 → t′ = 1, 87 s

Maka untuk t = 1, 87 s, x = 14, 38m(5) 17 = 3 t′′ + 2 → t′′ = 5

Maka untuk t = 5 s, v = 50, 5 m/s

8 2. KINEMATIKA

2. Gerak Dua Dimensi dan Tiga Dimensi

Dalam bagian ini dibahas sifat-sifat vektor secara umum dan sifat-sifat perpin-dahan, kecepatan, dan percepatan secara khusus. Banyak ciri khusus dari gerakandua dimensi maupun tiga dimensi. Karena gerak dua dimensi lebih mudah di-ilustrasikan di atas kertas maupun papan tulis, kebanyakan contoh yang dibahasadalah gerak dua dimensi. Dua kasus istimewa yang penting adalah gerka pelurudan gerak melingkar.

2.1. Vektor Perpindahan dan Penjumlahan Vektor. Besaran yang meny-atakan jarak garis lurus dan arah dari satu titik dalam ruang ke titik lain adalah seg-men garis berarah yang dinamakan vektor perpindahan. Sementara definisi vektoradalah adalah besaran yang memiliki besar dan arah yang dapat dijumlahkan dandikurangkan seperti perpindahan

Gambar 3. Vektor A + B = C, dari gambar ini terlihat bahwaurutan penjumlahan tidak menyebabkan perbedaan; artinya A +B = B + A.

Gambar 3 menunjukkan dua vektor ~A dan ~B yang jumlahnya ~C. Pada Gam-bar 3 vektor ~B dipindahkan sejajar terhadap dirinya sehingga titik asalnya samadengan vektor ~A. Vektor resultan ~C terletak di sepanjang diagonal jajargenjangyang dibentuk oleh ~A dan ~B. Penambahan grafis dua vektor dengan menempatkankedua ujungnya membentuk suatu bangun jajargenjang maka diagonal jajargenjangmerupakan penjumlahan vektor dengan metode jajargenjang penjumlahan vektor.Pada Gambar 3 terlihat bahwa tidak ada perbedaan hasil dalam penjumlahan vek-tor, meski urutannya berbeda, artinya ~A+ ~B = ~B + ~A.

2.2. Penjumlahan Vektor Berdasarkan Komponen. Penjumlahan ataupengurangan vektor secara analitis mula-mula dengan menguraikan vektor yangterlibat ke dalam komponen - komponennya. Gambar 4 menjelaskan penggunaankomponen dalam penjumlahan dua vektor ~A dan ~B yang terletak pada bidangxy. Komponen tegak masing-masing vektor dan komponen hasil penjumlahan ~C =~A + ~B ditunjukkan dalam gambar. Pada Gambar 4 terlihat bahwa ~C = ~A + ~Bmenunjukkan Cx = Ax +Bx dan Cy = Ay +By.

2.3. Vektor Satuan dan Perkalian Vektor dengan Skalar. Sebuah vek-tor ~A dapat dikalikan dengan skalar s, hasilnya adalah vektor ~B = s ~A (yang menun-juk ke arah ~A dan mempunyai besar s | ~A|). Dimensi ~B adalah dimensi s dikalikandengan dimensi ~A. Berikut ini ditunjukkan sifat-sifat vektor dalam Tabel 1.

2. GERAK DUA DIMENSI DAN TIGA DIMENSI 9

Gambar 4. Komponen x dan y vektor A, B, dan C, dari gambarterlihat bahwa Cx = Ax +Bx dan Cy = Ay +By.

Tabel 1. Sifat - sifat Vektor

No. Sifat Penjelasan Gambar TampilanKomponen

1 Kesamaan ~A = ~B jika | ~A| = | ~B| Ax = Bx,dan arahnya sama Ay = By,

Az = Bz

2 Penjumlahan ~C = ~A + ~B Cx = Ax + Bx

Cy = Ay + By

Cz = Az + Bz

3 Negatif ~A = − ~B jika | ~A| = | ~B| Ax = −Bx,suatu vektor dan arahnya berlawanan Ay = −By,

Az = −Bz

4 Pengurangan ~C = ~A− ~B Cx = Ax −Bx

Cy = Ay −By

Cz = Az −Bz

5 Perkalian ~B = s ~A jika | ~B| = s | ~A| Bx = s Ax,

dan arah ~B sama dengan arah ~A By = s Ay,Bz = s Az,

10 2. KINEMATIKA

2.4. Vektor Kecepatan dan Percepatan. Rasio vektor perpindahan ter-hadap selang waktu t = t2 − t1 adalah vektor kecepatan rata - rata

(2.1) ~vrata - rata =∆~r∆t

.

Sementara vektor kecepatan sesaat merupakan limit vektor kecepatan rata - ratauntuk selang waktu ∆t mendekati nol

(2.2) ~v = lim∆t→0

∆~r∆t

=d~rdt

.

Vektor percepatan rata - rata didefinisikan sebagai rasio perubahan vektor ke-cepatan sesaat ∆v terhadap selang waktu ∆t

(2.3) ~arata - rata =∆~v∆t

.

Vektor percepatan sesaat adalah limit rasio ini saat selang waktu mendekati nol.Artinya, vektor percepatan sesaat adalah turunan vektor kecepatan terhadap waktu

(2.4) ~a = lim∆t→0

∆~v∆t

=d~vdt

.

2.5. Gerak Peluru. Gambar 5 menunjukkan bola yang dilempar ke udara.Sebuah partikel yang diluncurkan dengan suatu kecepatan awal mempunyai kom-ponen vertikal dan horizontal relatif terhadap titik asal yang tetap. Jika sumbuvertikal y dengan arah positif ke atas dan sumbu horizontal x dengan arah positifsearah komponen horizontal awal kecepatan peluru maka percepatan peluru

ay = −g dan ax = 0

Gambar 5. Bola yang dilempar ke udara.

2. GERAK DUA DIMENSI DAN TIGA DIMENSI 11

Sebagai contoh diluncurkan sebuah peluru dari titik asal dengan kelajuan awalv0 dengan sudut θ terhadap sumbu horizontal maka kecepatan awal mempunyaikomponen

v0x = v0 cos(θ) dan v0y = v0 sin(θ)Gerakan horizontal mempunyai kecepatan konstan yang bernilai sama dengan

kecepatan awal pada komponen horizontal

(2.5) vx = v0x .

Sementara itu, gerakan vertikal sama dengan gerakan satu dengan percepatan kon-stan akibat gravitasi g dan berarah ke bawah

(2.6) vy = v0y − g tDengan demikian komponen perpindahan peluru adalah

∆x = v0x t(2.7)

∆y = v0y t−12g t2(2.8)

2.6. Gerak Melingkar. Jika sebuah benda bergerak dalam sebuah lingkarandengan kelajuan konstan, benda dipercepat karena kecepatannya berubah arah.Percepatan ini dinamakan percepatan sentripetal, dan mengarah ke pusat lingkaran.Besar percepatan sentripetal adalah

(2.9) a =v2

r

dengan v adalah kelajuan dan r adalah jari - jari lingkaran.Gambar 6 menunjukkan bahwa percepatan sentripetal berlaku umum untuk

gerak melingkar dengan kelajuan konstan. Vektor kecepatan awal v1 tegak lurusvektor posisi awal r1. Sesaat kemudian, kecepatannya menjadi v2 yang tegak lurusr2. Sudut antara vektor vektor kecepatan ∆θ adalah sama dengan sudut antaravektro - vektor posisi, karena vektor posisi dan kecepatan harus bergerak melewatisudut yang sama untuk tetap saling tegak lurus.

Gambar 6. Vektor posisi dan kecepatan untuk sebuah partikelyang bergerak dalam sebuah lingkaran.

12 2. KINEMATIKA

2.7. Kecepatan Relatif. Kecepatan sebuah benda kadang-kadang diukur re-latif terhadap suatu sistem koordinat yang bergerak relatif terhadap sistem koor-dinat lain. Contohnya, pada Gambar 7 menunjukkan penumpang yang berjalandengan kecepatan vp relatif terhadap terhadap kereta. Sementara itu, kereta berg-erak dengan kecepatan vk relatif terhadap tanah. Maka kecepatan penumpang vpt

adalah jumlah dua kecepatan ini:

(2.10) vpt = vk + vp

Gambar 7. Ilustrasi gerak relatif penumpang terhadap keretayang bergerak dan titik acuan yang diam.

3. Soal Latihan

Soal 1.1Sebuah partikel berada di x = +5 m pada t = 0, x = −7 m pada t = 6 s, dan

x = +2 m pada t = 10 s. Carilah kecepatan rata rata partikel selama selang(a) t = 0 sampai t = 6 s,(b) t = 6 s sampai t = 10 s, dan(c) t = 0 sampai t = 10 s.Soal 1.2Cahaya merambat dengan kelajuan c = 3 · 108 m/s(a) berapa waktu yang dibutuhkan cahaya untuk bergerak dari matahari ke

bumi yang berjarak 1, 5 · 1011 m?(b) berapa waktu yang dibutuhkan cahaya untuk bergerak dari bulan ke bumi

yang berjarak 3, 84 · 108 m?(c) Satu tahun cahaya adalah satuan jarak yang sama dengan jarak yang ditem-

puh cahaya dalam 1 tahun. Carilah jarak ekivalen dari 1 tahun cahaya dalamkilometer dan dalam mil.

Soal 1.3Bintang yang terdekat adalah Proxima Centauri dan jaraknya sejauh 4, 1 · 1013

km dari bumi.(a) Berapa waktu yang dibutuhkan sinyal cahaya yang dikirim dari bumi untuk

mencapai Proxima Centauri?(b) Berapa tahun waktu yang dibutuhkan pesawat ruang angkasa yang bergerak

dengan kelajuan 10−4 c untuk mencapai Proxima Centauri?

3. SOAL LATIHAN 13

Soal 1.4Sebuah mobil bergerak dengan kelajuan 45 km/jam saat t = 0. Mobil diper-

cepat dengan percepatan konstan 10 km/jam · s.(a) Berapa kecepatan mobil saat t = 1 s dan saat t = 2 s?(b) Berapakah kelajuannya saat t?Soal 1.5Pada t = 5 s sebuah benda bergerak dengan kecepatan 5 m/s. Pada t = 8 s

kecepatannya adalah -1 m/s, Carilah percepatan rata - rata untuk selang ini.Soal 1.6Sebuah bola dilempar ke atas dengan kecepatan awal 20 m/s.(a) Berapa lama bola berada di udara?(b) Berapa ketinggian maksimum yang dapat dicapai bola?(c) Mungkinkah bola berada 15 m di atas tanah? Jelaskan!Soal 1.7Posisi sebuah partikel bergantung pada waktu menurut x = (1 m/s2) t2 - (5

m/s) t + 1 m.(a) Cari perpindahan dan kecepatan rata - rata untuk selang t = 3 s sampai

t = 4 s.(b) Cari rumus umum perpindahan untuk selang waktu dari t sampai t+ ∆t.(c) Cari kecepatan sesaat untuk setiap saat t.Soal 1.8Ketinggian sebuah peluru dihubungkan dengan waktu oleh y = -5 (t - 5)2 +

125, dengan y dalam meter dan t dalam sekon.(a) Gambar y terhadap t untuk t = 0 sampai t = 10 s.(b) Cari kecepatan rata - rata untuk tiap selang waktu 1 s antara nilai - nilai

waktu berbilangan bulat dari t = 0 sampa t = 10 s. Kemudian gambar vrata - rata

terhadap t.(c) Cari kecepatan sesaat sebagai fungsi waktu.Soal 1.9Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan yang diberikan oleh v = 8 t − 7,

dengan v dalam meter per sekon dan t dalam sekon.(a) Carilah nilai percepatan rata - rata untuk selang 1 s dimulai dari t = 3 s

dan t = 4 s.(b) Gambar v terhadap t. Berapa percepatan sesaat tiap saat?Soal 1.10Posisi sebuah benda yang berosilasi pada suatu pegas diberikan oleh x =

A sin(ω t), dengan A konstanta yang brnilai 5 cm dan ω konstanta yang bernilai0,175 s−1. Gambar x terhadap t untuk waktu dari t = 0 sampai t = 36 s.

(a) Ukur kemiringan grafik tersebut pada t = 0 untuk mendapatkan kecepatansaat ini.

(b) Hitung kecepatan rata - rata untuk deretan selang dimulai pada t = 0 danberakhir pada t = 6, 3, 2, 1, 0,5 ; dan 0,25 s.

(c) Hitung dx/dt dan cari kecepatan saat t = 0Soal 1.11Carilah besar dan arah vektor - vektor berikut:(a) ~A = 5i+ 3j(b) ~B = 10i− 7j, dan(c) ~C = −2i− 3j + 4k.

14 2. KINEMATIKA

Soal 1.12Carilah besar dan arah ~A, ~B, dan ~A+ ~B untuk(a) ~A = −4i− 7j , ~B = 3i− 2j, dan(b) ~A = −11i− 4j , ~B = 2i+ 6jSoal 1.13Nyatakan vektor - vektor berikut ini menggunakan vektor satuan i dan j(a) kecepatan 10 m/s pada sudut elevasi 60o

(b) sebuah vektor ~A yang besarnya 5 m dan θ = 225o; serta(c) perpindahan dari titik asal ke titik x = 14 m, y = −6 mSoal 1.14Jika ~A = 5i−4j dan ~B = −7, 5i+6j, tuliskan persamaan yang menghubungkan

~A dengan ~B.Soal 1.15Koordinat posisi sebuah partikel (x, y) adalah (2 m, 3 m) pada t = 0; (6 m, 7

m) pada t = 2 s; dan (13 m, 14 m) pada t = 5 s.(a) Cari vrata - rata dari t = 0 sampai t = 2 s.(b) Cari vrata - rata dari t = 0 sampai t = 5 s.Soal 1.16Pada t = 0 sebuah partikel yang berada di titik asal mempunyai kelajuan 40

m/s pada θ = 45o. Pada t = 3 s partikel berada di x = 100 m dan y = 80 m dengankelajuan 30 m/s pada θ = 50o. Hitung

(a) kecepatan rata - rata dan(b) percepatan rata -rata partikel selama selang waktu ini.Soal 1.17Sebuah peluru ditembakkan secara horizontal dengan kecepatan awal 245 m/s.

Senapan berada 1,5 m di atas tanah. Berapa lama peluru di udara?Soal 1.18Sebuah partikel menempuh lintasan melingkar berjari - jari 5 m dengan kela-

juan konstan 15 m/s. Berapakah besar percepatan partikel?Soal 1.19Sebuah partikel bergerak dalam bidang xy dengan percepatan konstan. Saat

t = 0, partikel berada di x = 4 m, y = 3 m. Percepatan diberikan oleh vektor ~a = 4m/s2 i + 3 m/s2 j. Vektor kecepatan mula - mula adalah ~v = 2 m/s i - 9 m/s j.

(a) Carilah vektor kecepatan pada t = 2 s.(b) Carilah vektor posisi pada t = 4 s. Berikan besar dan arahnyaSoal 1.20Sebuah bola hoki es yang dipukul pada permukaan es tepat terbang melewati

puncak sebuah tembok kaca yang tingginya 2,8 m. Waktu terbang ke titik iniadalah 0,65 s, dan jarak horizontalnya adalah 12 m. Carilah

(a) kelajuan awal bola ini dan(b) ketinggian maksimum yang akan dicapainya

Bibliografi

[1] P. A. Tipler, 1991, Fisika untuk Sains dan Teknik Edisi Ketiga Jilid 1, Penerbit Erlangga,

Jakarta.[2] F. W. Sears, M. W. Zemansky, 1982, Fisika untuk Universitas 1: Mekanika, Panas, Bunyi,

Penerbit Binacipta, Bandung.

[3] G. Woan, 2000, The Cambridge Handbook of Physics Formulas, Cambridge University Press,Cambridge.

[4] R. Feynman, 1964, The Feynman Lectures on Physics Volume 1, Addison-Wesley Publishing

Company, London.[5] Tim Dosen ITS, 2006, Fisika I: Kinematika, Dinamika, Getaran, Panas, FMIPA, ITS

15