STATISTIKA NON PARAMETRIK

Tes Kemungkinan Eksak Fisher

Kelompok 3

Anggota :

1. Rani Mita Sari (12305141021)

2. Chandra Nugroho Erlangga (12305141035)

Matematika 2012

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

2015

1. Pengertian Tes Kemungkinan Eksak Fisher

Fisher test merupakan uji eksak yang diturunkan oleh seorang bernama

Fisher, karenanya disebut uji eksak Fisher. Uji ini digunakan untuk

menganalisis data yang terpisah jika kedua data berukuran kecil yaitu kurang

dari sama dengan 40. Tes ini dipakai jika skor yang didapat dari dua sampel

random independen semuanya masuk dalam salah satu dari dua kelas yang

saling asing. Skor ini dibuat dalam frekuensi tabel kontingensi.

Tabel kontingensi dibuat dengan baris berkaitan dengan kelompok

yang diamati dan kolom sebagai hasil observasi. Tanda di atas kolom

ditunjukkan sebagai tanda tambah atau kurang yang didasarkan pada

sembarang klasifikasi. Misalnya lulus atau gagal setuju atau tidak setuju dan

seterusnya. Tes ini menentukan apakah kedua kelompok berbeda dalam

proporsi elemen yang masuk dalam kedua klasifikasi yang ada.

2. Metode

Untuk tabel kontingensi 2 x 2 demikian :

- + jumlah

kelompok 1 A B A+B

kelompok 2 C D C+D

jumlah A+C B+D N

Kemungkinan eksak mengamati frekuensi tertentu dalam tabel 2 x 2, bila

jumlah marginal dianggap tetap diperoleh dengan distribusi hipergeometrik.

p=(A+CA )(B+D

B )( NA+B)

=( (A+C )!A !C ! )( (B+D )!

B!D ! )( N!

( A+B ) ! (C+D )! )=( A+B ) ! (C+D )! ( A+C ) !¿¿

Jadi kemungkinan eksak diperoleh dengan membagi hasil kali keempat

jumlah marginal faktorial dengan hasil kali frekuensi sel faktorial yang

dikalikan N faktorial.

Kesulitan dalam menghitung nilai pada tes kemungkinan eksak Fisher

adalah pada frekuensi selnya. Jika frekuensi terkecil pada sel adalah nol maka

nilai p yang harus dihitung hanya satu. Ketika frekuensi terkecil lebih dari nol

maka harus dipertimbangkan suatu kejadian yang lebih ekstrem. Sehingga

untuk frekuensi terkecil n harus dihitung n+1 nilai p dan kemudian

menjumlahkan nilai nilai tersebut.

Pencarian harga-harga p untuk frekuensi terkecil bukan nol dapat

dilakukan sebagai berikut:

Misalkan terdapat tabel kontingensi

- + jumlah

kelompok 1 1 6 7

kelompok 2 4 1 5

jumlah 5 7 12

Dengan jumlah marginal yang sama dapat terjadi hal yang lebih

ekstrem yang dapat digambarkan dalam tabel berikut

- + jumlah

kelompok 1 0 7 7

kelompok 2 5 0 5

jumlah 5 7 12

Jadi mempertimbangkan kejadian ekstrem berikut harga p dari kedua

tabel harus dijumlahkan.

p1=7 !5 !5 !7 !

12!1 !6 ! 4 !1!=0,04399

p2=7 !5 !5 !7 !

12! 0!7 !5 !0 !=0,00126

Jadi p=0,04399+0,00126=0,04525. Harga p tersebutlah yang dibandingkan

dengan α .

Dengan adanya tabel harga-harga kritis dalam tes Fisher perhitungan

dapat dilakukan dengan lebih cepat. Cara mencari harga p dari tabel tersebut

adalah :

1) Tentukan harga A+B dan C+D dari data.

2) Cari harga observasi A+B dalam tabel i di bawah kolom jumlah di

tepi kanan.

3) Dalam bagian tabel tersebut tentukan tempat harga C+D observasi

di bawah judul yang sama.

4) Untuk harga C+D observasi tertentu, carilah harga B (A) di antara

kemungkinan yang ditunjukkan.

5) Amati harga D (C). Jika D (C) yang diobservasi sama atau lebih

kecil dari harga D (C) dalam tabel maka data yang diobservasi

signifikan pada tingkat itu.

Catatan yang penting adalah tingkat signifikansi dalam tabel bersifat

pendekatan sehingga muncul kesalahan konservatif. Misal untuk data tertentu

p=0,007 tetapi dalam tabel i taraf signifikansinya 0,01. Jika ingin diperoleh

kemungkinan eksak dapat digunakan rumus di atas.

Catatan lain adalah bahwa tingkat signifikansi dalam tabel digunakan

untuk uji satu sisi. Untuk uji dua sisi nilai dari tabel dikalikan dua sebelum

dibandingkan dengan signifikansi uji.

3. Modifikasi Tocher

Telah dibahas sebelumnya bahwa terdapat kesalahan konservatif sehingga

kegagalan menolak H0 perlu untuk ditinjau kembali. Dengan menggunakan

modifikasi Tocher, hasil tes Fisher dapat dibuat lebih akurat. Yaitu dengan

cara berikut:

1) Jumlahkan kemungkinan ekstrem yaitu ∑ Pi

2) Masukkan dalam rumus berikut:

∝−∑ Pi

P1

3) Tarik satu angka random di antara nol dan satu, jika angka random lebih

kecil dari hasil rumus di atas maka H0 ditolak. Perlu dicatat bahwa

modifikasi ini hanya berlaku untuk tes satu sisi.

4. Langkah- langkah pengujian

a) Tentukah hipotesis

Beberapa kemungkinan hipotesis:

1) H0: π1=π2 (tidak ada perbedaan proporsi kelompok satu dan

kelompok dua dalam memilih kategori )

H1: π1≠π2 ( ada perbedaan proporsi kelompok satu dan kelompok dua

dalam memilih kategori )

Hipotesis ini digunakan untuk uji dua sisi.

2) H0: π1≤π2 (proporsi kelompok 1 tidak lebih dari proporsi kelompok 2)

H1: π1>π2 (proporsi kelompok 1 lebih dari proporsi kelompok 2)

Hipotesis ini digunakan untuk uji satu sisi.

3) H0: π1≥π2 (proporsi kelompok 2 tidak lebih dari proporsi kelompok 1)

H1: π1<π2 (proporsi kelompok 2 lebih dari proporsi kelompok 1)

Hipotesis ini digunakan untuk uji satu sisi.

b) Pilih taraf signifikansi (α).

c) Tentukan statistik uji : tes fisher

d) Wilayah kritis

H0 ditolak jika harga p ≤ α untuk uji satu sisi dan 2p ≤ α untuk uji dua sisi.

e) Distribusi sampling

Mencari harga p dengan tabel atau perhitungan berdasarkan tabel

kontingensi dan data yang diperoleh.

f) Keputusan

g) Kesimpulan

5. Contoh

Sebuah rancangan undang-undang dikaji oleh sekelompok anggota DPRD.

Sekelompok anggota DPRD tersebut terdiri dari dua fraksi partai yang

berbeda: dari fraksi A 7 orang dan fraksi B 8 orang. Setelah pengkajian setiap

anggota kelompok mengemukakan kesetujuannya terhadap RUU tersebut.

Hasilnya dapat dilihat pada tabel kontingensi berikut:

tidak setuju setuju jumlah

fraksi A 1 7 8

fraksi B 4 3 7

jumlah 5 10 15

Tentukan kesimpulan yang dapat ditarik dari data tersebut menggunakan uji

Fisher dengan taraf signifikansi 5%!

Jawab:

Dari tabel kontingensi diketahui : A+B=8, C+D=7, B=7, D=3

1) Hipotesis:

H0: π1=π2 (tidak ada perbedaan proporsi fraksi A dan fraksi B dalam memilih

menyetujui RUU)

H1: π1≠π2 (ada perbedaan proporsi fraksi A dan fraksi B dalam memilih

menyetujui RUU)

2) Taraf nyata: α=0,05

3) Statistik uji: uji Fisher

4) Wilayah kritis: H0 ditolak jika harga 2p ≤ α (uji dua sisi).

5) Perhitungan

Dari tabel I diperoleh nilai p>0,05. Harga 2p>0,1.

6) Kesimpulan

Karena harga 2p>0,1>α=0,05 maka H0 diterima.

7) Perhitungan alternatif

Dibentuk tabel ekstrem dari tabel observasi tadi

tidak setuju setuju jumlah

fraksi A 0 8 8

fraksi B 5 2 7

jumlah 5 10 15

Dilakukan perhitungan p1 dan p2

p1=8! 7! 5!10 !

15 !1!7 ! 4 !3 !=0,09324

p2=8 !7 !5 !10 !

15 !0 !8 !5! 2!=0,006993

p=p1+ p2=0,09324+0,006993=0,100233

2 p=0,200466

Karena 2p=0,200466>0,05=α, maka H0 diterima. Jadi tidak ada perbedaan

proporsi.

6. Soal

1) Sebuah pertanyaan dilontarkan kepada suporter sepak bola dan bukan

suporter sepak bola. apakah setuju dengan pembubaran PSSI

suporterBukan

suporter

S TS

S S

S TS

TS TS

TS TS

S

TS

Apakah terdapat perbedaan jawaban yang signifikan?ujilah dengan uji Fisher!

Jawab:

(1) Hipotesis

H0: pB = pBB (tidak ada perbedaan yang signifikan)

H1: pB ≠ pBB (ada perbedaan yang signifikan)

(2) Taraf nyata: α=  5%

(3) Statistik uji : uji Fisher

(4) Kriteria uji:

Tolak Ho jika p≤ α/2, terima dalam hal lainnya..

(5) Perhitungan

Dibentuk tabel kontingensi

B BB

S 4 1 5

TS 3 4 7

7 5 12

Didapat A+B=5, C+D=7, B=2, D=4

Jika dipertimbangkan penyimpangan-penyimpangan yang lebih ekstrim dibuat

tabel sebagai berikut:

B BB

S 5 0 5

TS 2 5 7

7 5 12

A+B=5, C+D=7, B=0, D=5

Dilakukan perhitungan p1 dan p2

p1=5 !7 !7 !5!

12! 4 !1 !3 !4 !=1,33

p1=5 !7 !7 !5 !

12!5 !0 !2 !5 !=0,2917

p=p1+ p2=1,33+0,2917=1,6217

(6) kesimpulan : Karena 2p=1,6217>0,05=α, maka H0 diterima. Jadi tidak ada

perbedaan yang signifikan.

2) Sebuah studi kasus kontrol ingin melihat pengaruh merokok malam

dengan kejadian kanker paru, hasil yang diperoleh tersaji pada tabel silang

berikut :

Ujilah dengan uji Fisher apakah merokok malam berpengaruh pada kejadian

kanker paru!

Jawab:

(1) Hipotesis:

H0: π1=π2 (tidak ada pengaruh merokok malam dengan kejadian kanker

paru)

H1: π1≠π2 (ada pengaruh merokok malam dengan kejadian kanker paru)

(2) Taraf nyata: α=0,05

(3) Statistik uji: uji Fisher

(4) Wilayah kritis: H0 ditolak jika harga 2p ≤ α (uji dua sisi).

(5) Perhitungan

Dari tabel kontingensi diketahui : A+B=3, C+D=4, B=0, D=3

Dalam menghitung probabilitas Fisher seperti tabel di atas akan mudah

dilakukan, dikarenakan salah satu selnya ada yang bernilai "0 (nol)".

Sehingga kita tidak perlu lagi menghitung nilai deviasi ekstremnya. 

(6) Kesimpulan

Karena nilai P = 0,114*2 = 0,228>0,05 sehingga Ho diterima. Jadi,

tidak ada perbedaan yang bermakna antara mereka yang merokok maupun

tidak merokok pada malam hari terhadap kanker paru.

3) Seperti kasus no 2. Sebuah studi kasus kontrol ingin melihat pengaruh

merokok malam dengan kejadian kanker paru, hasil yang diperoleh tersaji

pada tabel silang berikut :

Ujilah dengan uji Fisher apakah merokok malam berpengaruh pada kejadian

kanker paru.

Jawab:

(1) Hipotesis:

H0: π1=π2 (tidak ada pengaruh merokok malam dengan kejadian kanker

paru)

H1: π1≠π2 (ada pengaruh merokok malam dengan kejadian kanker paru)

(2) Taraf nyata: α=0,05

(3) Statistik uji: uji Fisher

(4) Wilayah kritis: H0 ditolak jika harga 2p ≤ α (uji dua sisi).

(5) Perhitungan

Dari tabel kontingensi diketahui : A+B=3, C+D=4, B=0, D=3

Karena tidak ada sel yang nilainya "0", maka kita perlu membuat

kemungkinan deviasi nilai ekstrimnya :

Dengan menggunakan rumus yang sama, kita cari probabilitas dari masing-

masing kemungkinan tersebut. Hasil perhitungan sebagai berikut :

P (1) = 0,0048

P (2) = 0,0571

Untuk mengetahui nilai probabilitas Fisher Exact kita akan

menjumlahkan probabilitas soal (kasus) dengan nilai probabilitas terkecilnya

dari probabilitas yang diperoleh dari nilai deviasi ekstrem.

Dari hitungan di atas, diketahui bahwa nilai probabilitas soal (P2) = 0,0571,

sementara nilai probabilitas terkecil dari probabilitas soal hanya P1.

Sehingga :

P = P(2) + P(1) = 0.0571 + 0,0048 = 0,0619 (Sekali lagi perhitungan ini

adalah untuk uji satu sisi).

(6) Kesimpulan

Karena nilai P = 0,114*2 = 0,228>0,05 sehingga Ho diterima. Jadi, tidak ada

perbedaan yang bermakna antara mereka yang merokok maupun tidak

merokok pada malam hari terhadap kanker paru

4) Pada suatu penelitian disebutkan bahwa ada kecenderungan para birokrat

menyukai warna mobil gelap dan para akademisi lebih menyukai mobil

berwarna gelap, dan para akademisi lebih menyukai mobil berwarna terang.

Untuk membuktikan hal itu dilakukan pengumpulan data dengan menggunakan

sampel secara random. Dari 8 orang birokrat yang diamati, 2 orang menyukai

mobil warna terang dan 6 orang menyukai mobil warna gelap. Dan dari 32

orang akademisi yang diamati, 18 orang menyukai warna terang dan 14

menyukai warna gelap. Dengan taraf signifikansi 0.05, berilah kesimpulan

penelitian tersebut!

Jawab

(1) H0: p1=p2 (tidak ada perbedaan selera)

H1: p1≠p2 (ada perbedaan selera)

(2) α=0.05

(3) Statistik Uji:

Uji Kemungkinan Eksak Fisher

(4) Wilayah Kritik

H0 ditolak jika nilai 2p ≤ α.

(5) Perhitungan

(6) Perhitungan

P1=8 !32!20 !20 !

2! 6 !18!14 !40 !=0,095760

P2=8 !32!20 !20 !

0 !8 !20 !12! 40 !=0,001638

P3=8! 32!20 !20 !

1 !7 !19!13 ! 40!=0,020160

P=P1+P2+P3=0,117558

(7) Kesimpulan

H0 diterima karena P>α. Jadi tidak terdapat perbedaan antara Birokrat dan

Akademisi dalam memilih warna mobil.