File Dari Pak Adolf

7/21/2019 File Dari Pak Adolf

1/84

Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 1

BAB I

INTEGRAL TENTU

Tujuan Pembelajaran Umum:1. Mahasiswa mampu memahami konsep dasar integral.

2. Mahasiswa mampu menggunakan konsep dasar integral untuk menyelesaikan

masalah teknik sipil.

Tujuan Pembelajaran Khusus:1. Mahasiswa mampu menghitung integral tentu dari fungsi-fungsi dasar dengan

menggunakan sifat-sifat integral tentu.

2. Mahasiswa mampu menghitung integral fungsi trigonometri, fungsi pecahan

rasional, dan pengintegralan parsial.3. Mahasiswa mampu menyelesaikan masalah pada penerapan integral untuk luas

daerah, volume benda putar, dan penentuan pusat massa.

1.1 Pendahuluan

Pembahasan integral pada bab ini mencakup sifat-sifat integral tentu, teknik

pengintegralan, dan penerapan integral dalam beberapa masalah teknik mesin.

Pembahasan dilakukan hanya padapenghitungan praktis bidang teknik. Misalnya, pada

subbab tentang sifat-sifat integral tentu tidak dijelaskan dengan terinci persyaratan

secara matematis dari sebuah sifat integral tentu, tetapi diasumsikan bahwa sifat ini

selalu dapat digunakan.

1.2Sifat-sifat Integral Tentu

Integral tentu adalah integral yang memiliki batas (atas dan bawah). Sifat-sifat pada

integral tentu sangat membantu penghitungan integral sehingga langkah-langkah

penghitungannya menjadi lebih pendek. Sifat-sifat integral tentu yang sering digunakandalam masalah-masalah teknik yaitu

1. Jika a konstanta, berlaku contoh 1:


2/84


2. Untuk maupun , berlaku Contoh2:

3. Sifat penambahan selang, yaitu bagaimanapun urutan a, b, dan c.

Contoh3:

4. Pendiferensialan suatu integral tentu. Jikaxvariabel di dalam selang ,berlaku

Contoh4:

.

5. Nilai rata-rata di dalam integral. Jika csebuah bilangan di dalam selang ,berlaku

denganadalah nilai rata-rata fungsipada interval

Contoh 5: Nilai rata-rata fungsi pada interval [-1, 2] adalah

+

6. Definisi:


3/84


f(x)fungsi genap jika dan hanya jika .f(x)fungsi ganjil jika dan hanya jika .Teorema Simetri:

Jika f(x)fungsi genap, berlaku Jika f(x)fungsi ganjil, berlaku Contoh 6: Karena merupakan fungsi genap, berlaku

Contoh 7: Karena merupakan fungsi ganjil, berlaku

7. Teorema Periodik:

Jika f(x)fungsi periodik dengan periode p, berlaku

Contoh 8: Karena adalah fungsi periodik dengan periode ,

Latihan 1


4/84


Andaikan

hitunglah!

1. 6. 7. 8. 9. 10.

Carilah jika11. 12. 13. 14. 15. 16.

17.

1.3Teknik Pengintegralan


5/84


Pada proses penyelesaian persamaan diferensial dibutuhkan ketrampilan menghitung

integral, khususnya pada penyelesaian persamaan diferensial orde satu. Pada

persamaan diferensial orde dua jika digunakan metode variasi parameter, dibutuhkan

juga ketrampilan menghitung integral itu. Oleh karena itu, pada subbab ini akan

dipelajari teknik-teknik pengintegralan pada tingkat dasar untuk kebutuhan praktis

tersebut.

Dalam terapan, integral dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah-masalah teknik.

Penghitungan integral yang cukup sulit tidak akan dijelaskan, tetapi dituliskan dalam

bentuk tabel kumpulan rumus-rumus. Tabel ini juga memuat rumus integral dasar

untuk mengingat kembali penghitungan integral sederhana.

Tabel 1. Rumus-Rumus Integral

No Rumus Integral

1. ||

2. 3. 4. 5. 6.

7. | | ||

8. || 9.


6/84


10.

11. || ||

1.3.1Penggunaan Rumus Dasar Integral

Contoh 1: Hitunglah Misalnya

, sehingga

|| | | Contoh 2:

Contoh 3:

Contoh 4:

Contoh 5 :

||

||

1.3.2Integral Fungsi Pecahan Rasional


7/84


Definisi:

Sebuah fungsi rasional merupakan hasilbagi dua fungsi suku banyak, sehingga dapat

ditulis sebagai

.

Jika derajat p(x) kurang dari derajat q(x), fungsi ini disebut fungsi rasional sejati.

Sebaliknya, jika derajatp(x)sama atau lebih dari derajat q(x), fungsi ini disebut fungsi

rasional tidak sejati. Fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah

fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati. Misalnya,

Fungsi suku banyak mudah diintegralkan, sedangkan fungsi rasional sejati sekalipun

tidak selalu mudah, namun secara teori selalu dapat diintegralkan.

Contoh 1 (Faktor Linear Berbeda):

Fungsi integran (fungsi yang diintegralkan) dipecah menjadi fungsi-fungsi rasional

dengan pembagi linear sebagai berikut

maka . Dengan pemisalan dan makadiperoleh Jadi,

| | | |

Contoh 2 (Faktor Linear Berulang):

Fungsi integran dipecah menjadi fungsi-fungsi rasional sebagai berikut


8/84


Jadi,

. Dengan pemisalan

dan

maka diperoleh

Jadi,

| |

Contoh 3(Faktor Kuadrat):


Jadi, . Dengan pemisalan dan diperoleh Jadi,

||

Contoh 4(Faktor Kuadrat Berulang):


Jadi, . Dengan pemisalan dan diperoleh

Jadi,


9/84


Contoh 5 (Derajat pembilang sama atau lebih besar dari derajat penyebut):

Fungsi integran disederhanakan dengan melakukan pembagian terlebih dulu karena

fungsi ini merupakan fungsi rasional tidak sejati (derajat polinom pembilang dan

penyebutnya sama).

Hasil pembagiannya adalah

Jadi,

1.3.3Integral Parsial

Teknik pengintegralan yang terakhir dan jarang ditemui adalah pengintegralan parsial.

Rumusnya adalah


Menurut rumus (1.1)


10/84



Menurut rumus (1.1) Untuk menyelesaikan , digunakan pengintegralan parsial lagi, yaitumisalnya

Menurut rumus (1.1) Jadi,

atau

Dengan demikian,

Latihan 2

Hitunglah!


11/84


8. 9. 10.

1.4 Penerapan Integral

Penerapan integral pada subbab ini mencakup luas daerah, volume benda putar, dan

pusat massa. Penghitungan integral pada pusat massa memiliki kesamaan dengan luas

daerah maupun volume benda putar. Oleh karena itu, pemahaman pada bahasan luas

daerah akan membantu pada bahasan volume benda putar dan pusat massa.

1.4.1 Luas Daerah Bidang Rata

Terdapat dua cara menghitung luas daerah bidang rata ini, yaitu dengan mempartisi

daerah secara vertikal atau secara horisontal. Jika mempartisi secara vertikal, bentuk

integralnya dalam dxdan mempartisi secara horisontal bentuk integralnya dy. Sebuah

daerah yang dibatasi oleh kurva pertama di bagian atas dan kurva kedua di bagian

bawah akan lebih mudah jika diselesaiakan dengan cara mempartisi secara vertikal.

Demikian juga untuk daerah yang dibatasi oleh kurva pertama di sebelah kanan dan

kurva kedua di sebelah kiri lebih mudah diselesaikan dengan cara mempartisi secara

horisontal.

y

xiy = f(x)

f(xi)-g(xi) y = g(x)

ab x

xi


12/84


G.1 Penghitungan Luas dengan Partisi Vertikal

Pada gambar G.1 diperlihatkan sebuah daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) di bagian

atas dan kurva g(x) di bagian bawah, sedangkan sebelah kiri dibatasi oleh garis x = a

dan sebelah kanan dibatasi oleh garis x = b. Karena kurva yang membatasinya di

bagian atas dan bawah, digunakan cara yang pertama, yaitu mempartisi secara vertikal.

Daerah yang berwarna gelap adalah partisi ke-i. Misalnya daerah yang dibatasi oleh

kurvaf(x), kurvag(x), garis x = a, dan garis x = bdisebutL. Maka, luas partisi ke-i

adalah sehingga

Jika , , sehingga

Contoh 1.

Tentukan luas daerah bidang rata yang dibatasi oleh kurva dengan persamaan , sumbux, garisx = -1, dan garisx = 2!yx = 2

xi

y= -1 3 x

-y

xi

G.2 Contoh Penggunaan Partisi Vertikal


13/84


Berdasarkan gambar G.2, penghitungan luas daerah digunakan cara pertama yaitu

mempartisi secara vertikal. Penghitungannya dibagi dua bagian berdasarkan perbedaan

rumus luas partisi, yaitu bagian pertama luas daerah pada nilai xantara danbagian kedua luas daerah pada

. Bagian pertama, luas partisinya adalah

yx dan bagian kedua, luas partisinya adalah - yx.Jadi, luas seluruh daerah di atas

adalah

Contoh 2.

Tentukan luas daerah bidang rata yang dibatasi oleh kurva dengan persamaan dan !Sketsa daerah ini pada bidangxy, sebagai berikut

y

y2= xi

y1y2

x

y1= G.3. Contoh Penggunaan Partisi Vertikal

Titik potong kedua kurva di titik (0, 0) dan titik (1, 1). Jadi, batas integralnya adalah 0

dan 1. Berdasarkan gambar G.3 penghitungan luas daerah digunakan cara pertama

yaitu mempartisi secara vertikal, dengan 1uas partisi (y1y2) x sehingga luas seluruh

daerah di atas adalah


14/84


Contoh 3.

Tentukan luas daerah bidang rata yang dibatasi oleh kurva dengan persamaan dan !y

x1x2 yi

x

G.4 Contoh Penggunaan Partisi Horisontal

Titik potong kedua kurva di titik (1/4, -1) dan titik (4, 4). Pada gambar G.4,

penghitungan luas daerah digunakan cara kedua yaitu mempartisi secara horisontalsehingga batas integralnya adalah -1 dan 4. Luas partisinya adalah (x1x2) y

sehingga luas seluruh daerah di atas adalah

Latihan 3

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva di bawah ini!

1. , , , dan .2. , dan 3. , dan sumbux4. , dan .5. dan


15/84


6. ||, , , dan sumbuy7. | |dan 1.4.2 Volume Benda Putar

Terdapat tiga bagian bahasan dalam subbab ini, yaitu metode cakram, metode cincin,

dan metode kulit tabung. Seperti ketika menghitung luas daerah, menghitung volume

juga menggunakan pendekatan partisi. Untuk bagian pertama dan kedua digunakan

pendekatan rumus volume tabung atau cakram sebagai berikut.

adalah luas penampang benda pada partisi ke-idan adalah lebar partisi ke-i.Jika sebelah kiri dibatasi oleh garis x = adan sebelah kanan dibatasi oleh garis x = bdan , diperoleh

Rumus di atas diperoleh jika mempartisi secara vertikal. Namun jika mempartisi

secara horisontal maka bentuk integralnya dalam dy.

a. Metode Cakram

Contoh 1.

Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi oleh kurva , sumbux, dan garisx = 4 jika R diputar mengelilingi sumbux!Sketsa daerah R pada bidangxy, sebagai berikut

y

xi

0 x 4 x

G.5 Daerah R


16/84


Daerah R diputar mengelilingi sumbux, diperoleh benda putar

x

0 4 x

x

G.6 Daerah R diputar mengelilingi sumbu x

Gambar G.5 menunjukan daerah dengan sebuah jalur pemotongan (partisi). Jika daerah

ini diputar mengelilingi sumbu x, daerah ini membentuk sebuah benda putar (gambar

G.6) dan jalur ini membentuk sebuah cakram yang volumenya didekati (diaproksimasi)

oleh volume tabung dengan tinggi tabung dan jari-jari alas tabung . Jadi, volumetabung ini adalah

()Jika volume tabung-tabung ini dijumlahkan dan diintegralkan, diperoleh volume benda

putar

Contoh 2.

Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah D yang dibatasi oleh kurva , sumbuy, dan garisy = 3diputar mengelilingi sumbuy!y y = x3

3

y

y


17/84


0 x

G.7 Daerah D

x

y

y

x

G.8 Daerah D diputar mengelilingi sumbu y

Dalam kasus ini, lebih mudah y digunakan sebagai variabel pengintegralan atau

mempartisi benda secara horisontal. Volume partisi adalah volume tabung dengan

tinggi dan jari-jari alas tabung . Jadi, volume tabung ini adalah ( )

maka volume benda putar yang dibentuk oleh daerah D adalah

[ ]

b. Metode Cincin

Metode ini digunakan jika partisi volumenya berupa cakram yang di tengahnya terdapat

lubang atau berupa cincin.

Contoh 3.

Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah A yang dibatasi oleh kurva , dan diputar mengelilingi sumbux!y y = x2

4 x


18/84


xx2

0 x

G.9 Daerah A

x

G.10 Daerah A diputar mengelilingi sumbu x

Seperti sebelumnya, dalam proses penghitungan volume benda putar ini digunakan

metode potong menjadi jalur-jalur, kemudian diaproksimasi dan diintegralkan. Volume

cincin dengan tebal x, jari-jari luar dan jari-jari dalam adalah * () +

maka volume benda putar yang dibentuk oleh daerah A dengan sumbu putar sumbu x

adalah

c. Metode Kulit Tabung

Untuk beberapa kondisi, metode ini lebih mudah digunakan dari pada metode cakram

atau metode cincin. Sebuah kulit tabung adalah sebuah benda yang dibatasi oleh dua

tabung lingkaran tegak yang sumbu simetrinya berimpit. Jika jari-jari tabung dalam

adalah r1dan jari-jari tabung dalam adalah r2, sedangkan tinggi tabung hmaka volume

tabung adalah


19/84


Jadi, V= 2. (rata-rata jari-jari).(tinggi).(tebal)

= 2rh r.

Contoh 4.

Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah B yang dibatasi oleh kurva

, sumbux, garisx= 1, dan garisx= 4 diputar mengelilingi sumbuy!y

y= f(x)

x

y

x x

G.11 Daerah B

Tebal kulit tabung yang dihasilkan setelah daerah B diputar adalah x, jari-jarinya x,sedangkan tingginyay. Karenay = f(x), diperoleh volume kulit tabung yaitu

Jadi, volume benda putar yang dibentuk oleh daerah B dengan sumbu putar sumbu y

adalah jumlah semua kulit-kulit tabung yang terbentuk darix= 1 hinggax= 4.

[

]

Latihan 4

A. Hitunglah volume benda putar yang dibentuk dari daerah yang dibatasi oleh

kurva-kurva yang diberikan di bawah ini diputar mengelilingi sumbu x!

1. , sumbux, sumbuy, dan garis .


20/84


2. , sumbux, dan garis 3. , sumbux, dan sumbuy4. , sumbux, dan sumbuy5. , antara garis , dan B. Hitunglah volume benda putar yang dibentuk dari daerah yang dibatasi oleh

kurva-kurva yang diberikan di bawah ini diputar mengelilingi sumbu y!

1. , sumbux, dan sumbuy2. , sumbux, dan sumbuy3. , , dan 4. , , dan 5. dan

C. Hitunglah volume benda putar yang dibentuk dari daerah yang dibatasi oleh

kurva-kurva yang diberikan di bawah ini diputar mengelilingi sumbu yang

diberikan!

1. , , dan , mengelilingi sumbuy2. , x= 0,y = 0 dan mengelilingi sumbuy3. , x= 4, y = 0 dan mengelilingi garisx= 44. , , dan , mengelilingi sumbux5.

,

,

dan

mengelilingi garisy= 3

1.4.3Pusat Massa (Centroid)

Pusat massa pada sebuah garis lurus adalah titik tengah garis lurus tersebut, sedangkan

pada bidang rata beraturan seperti segitiga, persegi, maupun jajaran genjang adalah titik

tengah bidang (untuk persegi dan jajaran genjang merupakan titik perpotongan


21/84


diagonal-diagonalnya). Secara khusus untuk lingkaran, pusat massanya adalah titik

pusat lingkaran.

Penentuan pusat massa seperti di atas adalah dengan asumsi garis atau bidang ini

memiliki massa yang homogen. Jadi, massa tidak menentukan atau memengaruhi posisipusat massa. Dengan kata lain, garis atau bidang yang memiliki massa yang homogen,

pusat massanya berimpit dengan pusat geometrinya (centroid-nya).

Pembahasan pusat massa pada subbab ini dikhususkan untuk bidang yang memiliki

massa yang homogen. Karena bidang-bidang yang beraturan tidak membutuhkan

integral untuk menentukan pusat massanya, pembahasan hanya untuk bidang yang tidak

beraturan.

Lamina homogen adalah lempeng tipis yang rata dengan kepadatan massa, , konstan.

Jadi, lamina homogen merupakan bidang rata yang memiliki massa yang homogen.Perhatikan ilustrasi dari sebuah lamina pada gambar berikut ini!

yy = f(x)

xi

y = g(x)

(f(xi) + g(xi)) x

a b

xi

G.12 Penentuan Pusat Massa dengan Partisi Vertikal

Titik hitam di tengah-tengah partisi adalah pusat massa dari partisi. Pusat massa partisi

ke-iadalah (xi, (f(xi) + g(xi))). Pusat massa lamina adalah jumlah semua momen dari

partisi dibagi massa lamina. Misalnya madalah massa sebuah partisi maka madalahmassa lamina. Karena

diperoleh


22/84


Misalnya Mxdan Myberturut-turut adalah momen sebuah partisi terhadap sumbu xdan momen sebuah partisi terhadap sumbuymaka

dan

MakaMxdanMyadalah momen lamina terhadap sumbuxdan momen lamina terhadap

sumbuy, yaitu

dan

Jadi, pusat massa lamina adalah

dengan

Karena konstan, dapat diabaikan dalam penghitungan.

Contoh:

Tentukan pusat massa dari daerah yang dibatasi oleh kurva

dan

!

Sketsa daerah ini pada bidangxy, sebagai berikut

y

y2= xiy1=

x

y=


23/84


G.13 Contoh Penentuan Pusat Massa dengan Partisi Vertikal

Dari gambar G.13 diperoleh

( )Jadi,

( ) ( ) dan

( )( ) ( )

Latihan 5

Tentukan pusat massa dari daerah yang dibatasi oleh kurva

1. , , , dan .2. , , dan .3. dan .4. dan 5. dan


24/84


BAB II

INTEGRAL LIPAT DUA

Tujuan Pembelajaran Umum:1. Mahasiswa mampu memahami konsep integral ganda pada daerah persegi panjang

dan menyatakannya sebagai integral berulang;

2. Mahasiswa mampu memahami konsep integral ganda pada daerah sebarang dan

menyatakannya sebagai integral berulang;

3. Mahasiswa mampu menyatakan luas daerah di bidang dan isi benda padat di bidang

sebagai integral lipat dua dan menghitungnya.

Tujuan Pembelajaran Khusus:1. Mahasiswa mampu menyatakan integral ganda pada daerah persegi panjang sebagai

integral berulang dan menghitungnya dengan teorema dasar kalkulus;

2. Mahasiswa mampu menyatakan integral ganda pada daerah sebarang sebagai

berulang dan menghitungnya dengan teorema dasar kalkulus;

3. Mahasiswa mampu menyatakan luas daerah di bidang sebagai integral lipat dua danmenghitungnya;

4. Mahasiswa mampu menyatakan isi benda padat di ruang sebagai integral lipat dua

dan menghitungnya;

2.1Integral Lipat Dua pada Daerah Persegi Panjang

daerah p =

yx

d,cxb,a

x

y

z

b

a

0 c d

z = f(x,y)


25/84


Arti geometri dari integral lipat dua adalah :

I = ( , ) dAp

f x y ,

yaitu menghitung isi benda padat yang terletak di bawah permukaan fungsi z =

f(x,y) kontinu pada p dan f(x,y) 0pada p, dan di atas persegi panjang p = [a, b]

x [c, d] atau dapat juga dinyatakan sebagai berikut.

I = d

c

b

a

)y,x(f dx dy = b

a

d

c

)y,x(f dy dx

Tentukan nilai dari I di bawah ini :

Cara 1.

Penyelesaian :

I =

p

x y dA , dengan p = yx

4,0x2,1

I =

4 2

0 1

x y

dx dy

=

4 22

10

1

2

x y I

dy

=

4

0

y)1(2

1y)4(

2

1dy

=

4

0

y2

1y2 dy

=

4

0

2

1

y

2

3dy

01


26/84


=

3 42

0

3 2

2 3y I

=

3 4

20

y I

= (22)

3/2(0)

= 8 satuan volume

Cara 2

Penyelesaian :

I =

2 4

1 0

x y dy dx

=

2 3 42

01

2

3x y I

dx

=

2 32 2

1

2 (2 )3

x

dx

=

2

1

x3

16dx

=2

2

1

16 1

3 2x I

= 2

21

83

x I

=3

8(4) -

3

8(1)

=3

8

3

32 =

3

248 satuan volume

01


27/84


Contoh 2

Penyelesaian :

02. I =2 2cos ( ).cos ( )

p

x y dA , dengan p = 0, 0,x y

x .

I =2 2

0 0

cos ( ).cos ( )x y

dy dx

I =2

0 0

1 1cos ( ). cos(2 )

2 2x y

dy dx

I =2

00

1 1cos ( ) sin(2 )

4 2x y y I

dx

I = 20

1 1cos ( ) sin(2 ) 0

4 2x

dx

I =2

0

1cos ( ).

2

x

dx

I =

0

1 1 1( cos(2 ) ).2 2 2

x

dx

I =0

1 1 1( sin(2 ) ).( )4 2 2

x x I

I =1 1

( ).( )2 2

I =21

4 satuan isi.


28/84


Latihan Soal

Hitunglah setiap integral lipat dua pada daerah persegi Panjang yang diberikan!

1.I = ( 2 )p

x y dA , dengan p = 0,2 0,1x y

x .

2.I = ( )p

x y dA , dengan p = 0,1 0,1x y

x .

3.I =2( )

p

x y dA , dengan p = 0,1 0, 2x y

x .

4.I =2 2( )

p

x y dA , dengan p = 0,1 0, 2x y

x .

5.I =2

1

( )p

x ydA , dengan p = 0,1 1, 2

x y

x .

6.I =2( )

p

x

x ydA , dengan p = 1, 2 0,1

x y

x .

7.I =

2

2

( )

1p

x y

x

dA , dengan p = 0,1 0, 2

x y

x .

8.I =3

y

x

p

e

x dA , dengan p = 1, 2 0,1x y

x .

9.I =sin( )( ) y

p

sin x y e dA , dengan p = 1

0, 0,

2xy

x

.

10.I =2 2sin ( ).sin ( )

p

x y dA , dengan p = 0, 0,x y

x .


29/84


2.2Integral Lipat Dua pada Daerah Sebarang

* Arti Integral lipat dua pada daerahsebarang

I = ( , )D

f x y dA adalah menghitung isi benda padat di bawah fungsi Z =

f(x,y) kontinu pada D dan f(x,y) 0 pada D, dan di atas daerah sebarang D.

* Jika daerah D diproyeksikan terhadap sumbu x,

D = {(x, y)/ a < x


30/84


I= d

c

)y(

)y(m

)y,x(f dx dy

Contoh 3

Hitung I = D

2 yx dA

dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh y = x2dan garis y = 2x.

Gambar daerah D sebagai berikut

y y = x2

y = 2x

2

1

0 1 2

* Jika daerah D diproyeksikan terhadap sumbu x,

D = {(x, y)/ 0 < x < 2 , x2< y < 2x}

* I =2

D

x y

dA

I =2

2 2

2

0

x

x

x y dy dx

=2

2 22 2

0

1

2

x

xx y I

dx

=

2

0

22222 )x(

2

1x)x2(

2

1x dx

01


31/84


= 2

0

4222)x

2

1x()x2x( dx

= 2

0

64 )x21x2( dx

=5

2x

5-

27

0

1

14x I

=5

2(2)

5-

14

1(2)

70

=

14

128

5

64 =

35

128

70

256

70

640896

satuan volume.

* Jika daerah D diproyeksikan terhadap sumbu y,

D = {(x, y)/ 0 < y < 4 ;2

y< x < y }

I =2

D

x y dA

=

4

2

0

2

.

y

y

x y dx dy

=

4

3

0 2

1

3

y

yx y I

dx dy.

=

4

0

33 )y(

2

y

3

1)y()y(

3

1dy.

=

4 42

0

1 1

3 3 8

yy y

dy.

=

4

0

24y

24

1yy

3

1dy.


32/84


=

4

0

2/5 4y24

1y

3

1dy.

=4

7/2 5

01 2 1 13 7 24 5

y y I

=4

7/2 5

0

2 1

21 120y y I

=4

3 5

0

2 1

21 120y y y I

= 0)4(120

14)4(

21

2 53

=

120

1024

21

256

=2520

2150430720

=2520

9216=

35

128 satuan volume.

Latihan Soal

1.

Diketahui I =

D

xy dA , D daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = x , garis y = 2

dan sumbu y.

(a) Gambarkan daerah pengintegralan D!

(b)

Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dy dx!

(c) Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dx dy!

(d) Hitunglah I!

2. Diketahui I = 2

D

x y dA , D daerah yang dibatasi oleh garis y = 4x, 0 < x < 1, parabola y =

x2

,1 < x < 2, dan garis y = 4.

(a)

Gambarkan daerah pengintegralan D!

(b) Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dy dx!

(c)

Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dx dy!


33/84


(d)

Hitunglah I!

3.

Diketahui I =

2

2

y

D

e

dA , D daerah segitiga yang dibentuk sumbu y, garis 2y = x, dan garis

x = 4.

(a) Gambarkan daerah pengintegralan D.

(b)

Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dy dx.

(c)

Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dx dy.

(d) Hitunglah I.

4.

Diketahui I = 2( sin( ))D

y x dA , dengan daerah pengintegralanD = { (x, y)/ 0 < x < 1, 0 < y < x }.

(a)




(d)

Hitunglah I!

5. Diketahui I = ( )D

xy dA , dengan daerah pengintegralan

D = { (x, y)/ 0 < y < 1, y2< x < y }.


(b)



(d) Hitunglah I!

6.

Diketahui I = 2(4 )

D

y dA , dengan daerah pengintegralan

D dibatasi oleh2 2y x dan 2 8 2y x .


(b)



(d) Hitunglah I!


34/84


7.

Diketahui I = 2 2(3 )

D

x y dA , dengan daerah pengintegralan

D = { (x, y)/ -1 < x < 2, x < y < x }.

(a)



(c)

Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dx dy!

(d) Hitunglah I!

8.

Diketahui I = ( .cos( ))D

x x y dA , dengan daerah pengintegralan

D dibatasi oleh segitiga dengan titik sudut (0,0) (0, ) dan ( , )

(a)


(b)



(d) Hitunglah I!

9.

Diketahui I = ( )D

y x dA , dengan daerah pengintegralan

D dibatasi oleh2x y dan x = y + 2 dan x = 4 .

(a)


(b)



(d) Hitunglah I!

10.

Diketahui I =

2 2( )

( )x y

Dxye

dA , dengan daerah pengintegralanD dibatasi oleh garis y = x , y = 1 dan sumbu y.




(d) Hitunglah I!


35/84


Latihan Soal

I =

1

0

1

x

3

2

1ySin dy dx

1

x

3

2

1ysin dy tidak bisa diintegralkan.

Oleh karena tidak bisa diintegralkan, daerah

D = { (x, y)/ 0 < x < 1, x < y < 1 } bila

digambarkan daerah D sebagai berikut

1

* Bila daerah D diproyeksikan terhadap sumbu y

D = { (x, y)/ 0 < y < 1, 0 < x < y2}.

I =

1

0

y

0

32

2

1ySin dx dy , bentuk integral ini dapat diselesaikan ,

=

21 3

00

1

sin 2

yy

x I

dy

= 1 3

2

0

1sin 0

2

yy

dy =

1 1

11

22

2 2sin cos

3 3u du u I

Misal u =

2

1y3

02

x

y

0

D

y = 1

y = x atau y2= x


36/84


du =2

y3 2

dy atau3

2 du = y

2dy .

=

2

1

cos3

2

1cos3

2

=

1cos

2

1cos

3

2

Latihan Soal

1.

Diketahui I =

10

2

1 1.

y

yx

dx dy .

(a)

Nyatakan daerah pengintegralan D kemudian gambarkan!

(b) Ubahlah urutan pengintegralan I!

(c) Hitunglah I!

2.

Diketahui I =2

2 4

1

cos( ).x

y

y dy dx .

(a)



(c) Hitunglah I!

3.

Diketahui I =

4 2 3

0

1. sin( )2

y

x dx dy .

(a) Nyatakan daerah pengintegralan D kemudian gambarkan!


(c)

Hitunglah I!


37/84


4.

Diketahui I =

1 2

0 2

sin( ).

x

y

y dy dx .

(a)



(c) Hitunglah I!

5. Diketahui I =4

1 1

2

0

. y

x

x e dy dx .


(b)

Ubahlah urutan pengintegralan I!

(c)

Hitunglah I!

6.

Diketahui I =2

1 1

0

. x

y

e dx dy .

(a)


(b)


(c) Hitunglah I!

7.

Diketahui I =

4

2

0 0

. 4x

y dy dx .

(a)


(b)


(c) Hitunglah I!

8. Diketahui I =

5

2 2

1 0

3.

x

x y dy dx .

(a)



(c)

Hitunglah I!


38/84


9.

Diketahui I =2

1

0

.

x

x

y

x dy dx .



(c) Hitunglah I!

10.

Diketahui I =

1

1 1

1.

xe

xy dy dx .



(c)

Hitunglah I!

2.3

Luas Daerah Dinyatakan dalam Integral Lipat Dua

Contoh soal.

Daerah D dibatasi oleh kurva y = x2, garis y = 4 dan sumbu y dikuadran I

(a) Gambarkan daerah D

(b) Nyatakan luas D sebagai integral lipat dua dengan mengambil daerah D

diproyeksikan terhadap sumbu x

D = { (x, y)/ 0 < x < 2, x2< y < 4 }

01

x0 2-2

y = 4

y

y = x2

D


39/84


Luas D =2

2 4

0

(1)

x

dy dx , dalam hal ini fungsi z = f(x,y) = 1

= 2

0

4x 2y dx

= 2

0

2x4 dx

=0

2x

3

1x4 3

=

)0())2(3

1)2(4

3

=8

83

=3

824 =

3

16satuan luas

(c)

Nyatakan luas D sebagai integral lipat dua, dengan mengambil daerah D

diproyeksikan terhadap sumbu y

D = { (x, y)/ 0 < y < 4, 0 < x < y }

Luas D =

4

0 0

(1)

y

dx dy

= 4

0

y

0x dy

= 4

0

( ) 0y dy

=3

2y

3/24

0I

= 0443

2 =

3

16 satuan luas


40/84


Latihan Soal

1. Diketahui daerah D dibatasi oleh kurva xy = 6 dan garis x + y = 5.

(a)

Gambarkan daerah D !

(b)

Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya

terhadap sumbu x!

(c) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya

terhadap sumbu y!

(d)

Hitunglah luas daerah D!

2. Diketahui daerah D dibatasi oleh parabola23x y dan 24x y .

(a)

Gambarkan daerah D !

(b) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya

terhadap sumbu x!


terhadap sumbu y!

(d) Hitunglah luas daerah D!

3. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik22y x x dan 22y x x dan garis x = 1.

(a) Gambarkan daerah D !

(b)


terhadap sumbu x!


terhadap sumbu y!

(d)


4. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik dan3 24y x dan garis y = x.

(a)

Gambarkan daerah D!


terhadap sumbu x!


41/84


(c)


terhadap sumbu y!


5. Diketahui daerah D terletak dikuadran pertama yang dibatasi oleh lingkaran2 2 1x y

dan2 2 2x y .

(a)

Gambarkan daerah D!

(b)


terhadap sumbu x!


terhadap sumbu y!

(d)


6. Diketahui daerah D dibatasi oleh parabola2y x dan 22y x dan sumbu x

(a)

Gambarkan daerah D!


terhadap sumbu x!

(c)


terhadap sumbu y!


7. Diketahui daerah D dibatasi oleh parabola2x y dan 22x y dan sumbu y.

(a) Gambarkan daerah D!

(b)


terhadap sumbu x!


terhadap sumbu y!



42/84


8. Diketahui daerah D dibatasi oleh parabola2y x hiperbola

8y

x ,garis y = x 2 dan

sumbu y.

(a)

Gambarkan daerah D!

(b)


terhadap sumbu x!


terhadap sumbu y!

(d)


9. Diketahui daerah D dibatasi oleh parabola 2x y dan garis x = y + 2.

(a)

Gambarkan daerah D!

(b)


terhadap sumbu x!


terhadap sumbu y!

(d)


10. Diketahui daerah D dibatasi oleh garis y = 2x dan garis y = 2 dan sumbu y.


(b)


terhadap sumbu x!


terhadap sumbu y!

(d)


11. Diketahui daerah D dibatasi oleh parabola2y x dan garis y = 2x.

(a)

Gambarkan daerah D!

(b)


terhadap sumbu x!


terhadap sumbu y!

(d)



43/84


12. Diketahui daerah D dibatasi pada kuadran pertama oleh grafik 4y x untuk 0 1x

, dan garis y = 4 dan2y x ,untuk 0 2x .



terhadap sumbu x!

(c)


terhadap sumbu y!


13. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

1

3y x dan y x .

(a)

Gambarkan daerah D .


terhadap sumbu x.


terhadap sumbu y.

(d) Hitunglah luas daerah D.

14. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik fungsi21y x dan sumbu x.



terhadap sumbu x!


terhadap sumbu y!


15. Diketahui daerah D dibatasi oleh lingkaran2 2 4x y .

(a)

Gambarkan daerah D!

(b)


terhadap sumbu x!


terhadap sumbu y!

(d)



44/84


16. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik fungsi2y x x dan 22y x .


(b)

Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinyaterhadap sumbu x!

(c)


terhadap sumbu y!


17. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik fungsi sin( )y x dan cos( )y x dari1

4x

sampai dengan5

4

x .

(a)

Gambarkan daerah D!


terhadap sumbu x!

(c)


terhadap sumbu y!


18. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

2

3y x dan 2y x .



terhadap sumbu x!


terhadap sumbu y!


19. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik fungsi22y x x dan 22y x x .

(a)

Gambarkan daerah D!

(b)


terhadap sumbu x!


terhadap sumbu y!

(d)



45/84


20. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik fungsi 2y x dan 22 7y x x .



terhadap sumbu x!

(c)


terhadap sumbu y!



46/84


BAB III

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Tujuan Pembelajaran Umum:1. Mahasiswa mampu memahami konsep dasar persamaan diferensial.

2. Mahasiswa mampu menggunakan konsep dasar persamaan diferensial untuk

menyelesaikan masalah-masalah teknik.

Tujuan Pembelajaran Khusus:1. Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian persamaan diferensial.

2. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan diferensial orde satu dengan metode

pemisahan variabel, substitusi, faktor pengintegralan, dan persamaan Bernoulli.

3. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan diferensial linear orde dua denganmetode koefisien tak tentu tentu dan metode variasi parameter.

4. Mahasiswa mampu menyelesaikan masalah penerapan persamaan diferensial dalam

bidang teknik sipil, seperti mekanika dan lenturan pada batang.

3.1 Pendahuluan

Beberapa masalah teknik sipil dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial,

misalnya masalah mekanika dan lenturan pada batang. Oleh karena itu, materi

persamaan diferensial penting dipelajari oleh mahasiswa jurusan teknik sipil agar dapat

menyelesaikan masalah teknik yang ditekuninya.

Sebuah persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung turunan atau

diferensial. Orde sebuah persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang

terdapat dalam persamaan. Persamaan diferensial orde satu adalah persamaan dengan

turunan tertingginya turunan pertama, demikian seterusnya. Sebagai contoh, dapat

dilihat persamaan-persamaan berikut ini.

adalah persamaan diferensial orde satu. adalah persamaan diferensial orde dua.Persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation) adalah persamaan yang

hanya melibatkan satu variabel bebas, sedangkan persamaan diferensial yang

melibatkan lebih dari satu variabel bebas disebut persamaan diferensial parsial (partial

differential equation). Persamaan diferensial yang disertai nilai awal disebut masalah

nilai awal, sedangkan yang disertai nilai batas disebut masalah nilai batas. Nilai awal

sebuah persamaan diferensial adalah nilai fungsi ataupun nilai turunan fungsi yang

diberikan pada kondisi awal, misalnyay(0) = 2 , y(0) = 1, dan seterusnya. Nilai batas


47/84


adalah nilai fungsi ataupun nilai turunan fungsi yang diberikan pada kondisi tertentu,

misalnyay(1) = 0 ,y(5) = 12, dan seterusnya.

Penyelesaian persamaan diferensial adalah persamaan berbentuk

atau

berbentuk , dengan C konstanta. Penyelesaian persamaan diferensial adadua macam, yaitu1. penyelesaian umum yaitu penyelesaian yang masih mengandung konstanta,

penyelesaian ini diperoleh jika tidak diberikan nilai awal ataupun nilai batas;

2. penyelesaian khusus yaitu penyelesaian yang tidak mengandung konstanta karena

telah disubstitusi oleh nilai awal dan nilai batas yang diberikan.

Metode penyelesaian persamaan diferensial bergantung pada orde dan bentuk

persamaannya. Untuk persamaan diferensial orde satu terdapat beberapa metode.Metode penyelesaian yang cocok untuk persamaan pada contoh nomor satu di atas

adalah metode pemisahan variabel. Teknik penyelesaiannya akan diuraikan dibawah

ini.

3.2 Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Satu

Metode penyelesaian persamaan diferensial orde satu bergantung pada bentuk

persamaannya. Pembahasan akan diawali dari bentuk persamaan yang paling

sederhana yang dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel, sampai pada persamaan

yang agak rumit yaitupersamaan Bernoulli.

3.2.1 Persamaan dengan Variabel Terpisah

Persamaan diferensial ini berbentuk

Penyelesaian persamaan ini diperoleh dengan metode pemisahan variabel, yaitu:

Contoh 1:

Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu !Jawab:

Langkah 1. Pisahkan suku-suku yang mengandung variabel dan variabel ,sehinggapersamaan menjadi !


48/84


Langkah 2. Kemudian lakukan integral pada kedua ruas!

Penyelesaian yang diperoleh adalah .Contoh 2:

Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu !

Jawab:

Langkah 1. Pemisahan suku-suku yang mengandung variabel dan variabel ,menghasilkanpersamaan

!

Langkah 2. Sebelum menghitung integral, sederhanakan dulu fungsi-fungsi

integran di kedua ruas, sehingga persamaan di atas menjadi !

Setelah diintegralkan dan disederhanakan bentuknya maka penyelesaian yang

diperoleh adalah .

3.2.2 Persamaan yang Direduksi menjadi Persamaan Terpisah

Proses reduksi dari persamaan yang variabelnya tidak dapat dipisahkan menjadi dapat

dipisahkan adalah dengan substitusi. Secara khusus pada subbab ini dibahas persamaan

yang berbentuk sehingga disubstitusi oleh persamaan

Metode ini dikenakan pada persamaan diferensial linear orde satu homogen yaitu

persamaan diferensial yang mengandung variabel x dan variabel y yang berderajat

sama (pangkat tertinggi variabel x dan y sama). Persamaan diferensial homogen ini

disubstitusi oleh persamaan

, dengan

dan oleh turunannya yaitu

sehingga hasilnya dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel.Uraiannya dapat dilihat pada contoh berikut.Contoh 1:


Jawab:

Langkah 1. Substitusi persamaan dan pada persamaan diferensial,sehinggapersamaan menjadi

atau .


49/84


Ini adalah persamaan diferensial baru yang dihasilkan setelah substitusi.

Perhatikan, variabelnyasekarang adalah v danx!

Langkah 2. Lakukan penyelesaian dengan metode pemisahan variabel!



Jawab:

Langkah 1. Substitusi persamaan dan pada persamaandiferensialsehinggapersamaan menjadi .

Langkah 2. Lakukan penyelesaian dengan metode pemisahan variabel.

Penyelesaian yang diperoleh adalah .

3.2.3 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

Metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaandiferensial linear (persamaan

diferensial yang variabel y-nya berderajat satu) yaitu metode faktor pengintegralan.

Bentuk umum persamaan diferensial linear ini yaitu denganPdan Qmasing-masing konstanta atau fungsi dalamx.

Faktor pengintegralan (Fi) adalah eksponen pangkat integral dari fungsi P terhadap

variabelx. Ditulis

dengan atau konstanta.Langkah-langkah penyelesaian:

1. KalikanFidengan semua suku pada persamaan diferensial, yaitu .

Perhatikan bahwa ruas kiri ekivalen dengan

sehingga diperoleh


50/84


jika kedua ruas dikalikan dengan dx.

2. Integralkan ruas kiri dan ruas kanan, diperoleh

.

Karena setiap penyelesaian langkah-langkahnya sama, untuk selanjutnya setelah

diperolehFi, persamaan yang diperoleh pada langkah kedua dapat langsung digunakan.

Perhatikan contoh-contoh berikut ini!

Contoh 1:


Jawab:

Langkah 1. Bandingkan persamaan diferensial pada soal dengan bentuk umum

persamaan diferensial Linear, diperolehfungsi dan fungsi .Langkah 2. TentukanFi yaitu . Perhatikan, walaupun integral tak

tentu, hasil akhirnya tidak ditambahkan konstanta C.

Langkah 3. Tuliskan persamaan , dalam hal ini ekivalen denganpersamaan

Langkah 4. Selesaikan integral pada ruas kanan dengan metode pengintegralan parsial.


Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu !Jawab:

Langkah 1. Tuliskan persamaan diferensial pada soal sesuai dengan bentuk umum

persamaan diferensial Linear. Hal ini pentingdilakukan untuk

mendapatkan fungsi Pdan Qdengan tepat. Untuk persamaan diferensial

pada contoh ini, bagi setiap sukunya dengan x sehingga persamaan

diferensial menjadi

Langkah 2. Bandingkan persamaan diferensial ini dengan bentuk umum persamaan

diferensial Linearmaka diperoleh fungsi dan fungsi .


51/84


Langkah 3. TentukanFi yaitu .Langkah 4. Tuliskan persamaan , dalam hal ini ekivalen dengan

persamaan

Langkah 5. Selesaikan integral pada ruas kanan.



Jawab:

Langkah 1. Bandingkan persamaan diferensial ini dengan bentuk umum persamaan

diferensiallinearmaka diperolehfungsi dan fungsi .Langkah 2. TentukanFi yaitu .Langkah 4. Tuliskan persamaan , dalam hal ini ekivalen dengan

persamaan Langkah 5. Selesaikan integral pada ruas kanan.

Karena hasil integral pada langkah 5 ada dua macam, penyelesaian yang diperoleh jugadua macam, yaitu atau .

3.2.4Persamaan Bernoulli

Bentuk umum Persamaan Bernoulli adalah denganPdan Qmasing-masing konstanta atau fungsi dalamx, dan nbilangan asli.

Langkah-langkah Penyelesaian:

1. Bagi setiap suku persamaan diferensial dengan .2. Misalnya , kemudian tentukan .3.

Substitusi persamaan diferensial dengan y dan dy pada langkah 2 sehingga

diperoleh persamaan yang baru yaitu


52/84


4. Selesaikan dengan metode faktor pengintegralan.

Untuk lebih jelas, perhatikan contoh berikut ini!

Contoh 1:

Jawab:

Langkah 1. Bandingkan persamaan diferensial pada soal dengan bentuk umum

persamaan bernoulli, diperoleh . Bagilahpersamaan diferensialdengan , diperoleh

Langkah 2. Misalnya ,diperoleh

Langkah 3. Substitusikan hasil langkah 2 pada persamaan diferensial di langkah 1,

diperoleh persamaan diferensial yang baru yaitu

Langkah 4. Selesaikan persamaan diferensial di langkah 3 dengan metode faktor

pengintegralan.

Penyelesaian yang diperoleh adalah

Contoh 2:

Soal:Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu

Jawab:

Langkah 1. Tuliskan persamaan diferensial pada soal dalam bentuk umum persamaan

bernoulli, untuk mendapatkan nyang tepat, yaitu


53/84


cos diperoleh . Bagilah persamaan diferensial ini dengan , diperoleh

Langkah 2. Misalnya ,diperoleh

Langkah 3. Substitusikan hasil langkah 2 pada persamaan diferensial di langkah 1

sehingga diperoleh persamaan diferensial yang baru yaitu

Langkah 4. Selesaikan persamaan diferensial di langkah 3 dengan metode faktor

pengintegralan.

Penyelesaian yang diperoleh adalah

sin

Latihan 1

A. Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial orde satu berikut ini

dengan metode pemisahan variabel atau metode substitusi !


54/84


B. Tentukan penyelesaian khusus persamaan diferensial orde satu berikut ini

dengan metode pemisahan variabel atau metode substitusi !

5

Latihan 2

A. Tentukan Penyelesaian Umum dari Persamaan Diferensial Orde Satu

berikutini dengan Metode Faktor Pengintegralan atau Metode untuk

Persamaan Bernoulli !


55/84


B. Tentukan penyelesaian khusus persamaan diferensial orde satu berikut

ini dengan metode faktor pengintegralan atau metode untuk persamaan

bernoulli !

3.3 Penerapan Persamaan Diferensial Orde Satu

Pada subbab ini akan dibahas penerapan persamaan diferensial orde satu untuk masalah

mekanika (gerak lurus) dan tekanan udara.

Langkah-langkah penyelesaian:

1. Rumuskan model matematika soal yang diberikan, yaitu dalam bentuk

persamaan diferensialorde satu!

2. Tentukan penyelesaian umum dan khususnya!

3. Jawab pertanyaan pada soal!

Contoh 1. (Gerak Lurus)

Soal:

Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus. Jarak tempuh pada saat tdinyatakan oleh

y, kecepatan benda pada saattdinyatakan olehv. Jika diketahui kecepatan benda linear,yaitu . Jika , Tentukan jarak tempuhy pada saat !Jawab:

1. Persamaan diferensial orde satu dengan syarat 2. Penyelesaian: .

Jadi, penyelesaian umum: Penyelesaian khusus diperoleh dengan mensubstitusi syarat pada penyelesaian


56/84


umum maka , atau . Jadi, penyelesaian khusus: 3. Jadi, atau jarak tempuh pada saat adalah 65 m.

Contoh 2: (Tekanan Udara)Soal:

Dari pengamatan diketahui bahwa makin tinggi jarak dari permukaan laut maka makin

rendah tekanan udaranya. Laju perubahan tekanan sebanding dengan tekanan pada

ketinggian tersebut. Misalkan tekanan permukaan laut dinyatakan oleh . Jikatekanan pada ketinggian 6000 m adalah dari tekanan permukaan laut, tentukan

tekanan udara pada setiap ketinggian!

Jawab:

Misalnyay= tekanan danx= ketinggian dari permukaan laut maka adalah tekananpada setiap ketinggian.Diketahui: Syarat:

Syarat awal: tekanan permukaan laut . (knegatifkarenaymengecil ketikaxmembesar)

Ditanyakan: Penyelesaian:

||

Jadi, penyelesaian umumnya adalah Substitusi syarat awal pada penyelesaian umum, diperoleh . Jadi, .....(*)substitusi syarat lain pada (*), diperoleh .Jadi, penyelesaian khususnya adalah .Dengan demikian, tekanan udara pada setiap ketinggian (pada ketinggian x) adalah


57/84


dengan tekanan permukaan laut.

Latihan 3

1. Volume air dalambejana adalah V m3 pada kedalaman h m. Jika kecepatan

perubahan V terhadap h adalah , tentukan volume air didalambejana pada kedalaman 2 m !

2.

Sebuah mobil mulai dalam keadaan diam kemudian berjalan hingga mencapai

kecepatan 100 m/detik selama 30detik. Jika percepatannya konstan, berapakah

jarak yang ditempuh selama 30 detik itu?

3. Sebuah roket ditembakkan lurus ke atas dengan kecepatan Jika setelah 20 detik mesin roket itu dimatikan, berapakah ketinggian yang

dicapai roket itu sebelum jatuh kembali? (tekanan udara diabaikan).

3.4 Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Dua

Bentuk umum dari Persamaan Diferensial Orde Dua adalah

(3.1)

Jika persamaan (3.1) disebut persamaan diferensialorde dua takhomogen,tetapi jika persamaan ini disebut persamaan diferensialorde duahomogen.

Sebagai contohpersamaan diferensialorde dua tak homogenyaitu persamaan . Pada contoh ini, berarti dan

3.4.1Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

(3.2)Persamaan diferensialorde dua homogendiselesaikan dengan dua langkah yaitu:

1.

Tuliskan persamaan karakteristik dari persamaan (3.2), yaitu: .Kemudian tentukan akar-akarnya (.

2. a. Jika dan real, penyelesaian homogennya adalah b. Jika dan real, maka penyelesaian homogennya adalah


58/84


c. Jika (bilangan kompleks), maka penyelesaian homogennya

adalah

Penyelesaian umum dari persamaan diferensialorde dua homogen ini adalah

penyelesaian homogennya.

Contoh 1:

Tentukan penyelesaianpersamaan diferensialorde dua homogen !Jawab:

Persamaan karakteristiknya adalah . Karena kedua akarnya real danberbeda, yaitu

dan 1, maka penyelesaian homogennya adalah

.

Jadi penyelesaian umumnya adalah .Contoh 2:

Tentukan penyelesaian khusus persamaan diferensialorde dua tak homogenatau

tentukan penyelesaian masalah nilai awal berikut ini!

Jawab:

Karena ruas kiri persamaan ini sama dengan contoh 1 maka penyelesaian umumnya

adalah .Untuk memperoleh nilai dari konstanta A dan B, substitusikan syarat awal pada

penyelesaian umum. Karena , diperoleh . Karena dan , diperoleh . Jadi dan .Jadi,penyelesaian khususnya adalah .

3.4.2Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Dua Tak Homogen

Penyelesaian umum dari persamaan diferensialorde dua tak homogen adalah gabungan

dari penyelesaian homogen dan integral khusus ( ditulis .Penyelesaian ini disebut juga penyelesaian umum lengkap.

Penyelesaian homogen diperoleh dengan cara yang telah dijelaskan pada subbab 3.4.1.

Persamaan diferensialorde dua tak homogen dimisalkan sebagai persamaan

diferensialorde dua homogen dalam hal ini. Integral Khusus dapat diperoleh dari

metode koefisien tak tentu ataupun metode variasi parameter. Kedua metode ini


59/84


memiliki kekurangan dan kelebihan. Metode koefisien tak tentu terbatas hanya untuk

integral khusus berbentukfungsi eksponen, polinom, trigonometri (sinus dan cosinus)

ataupun kombinasi ketiganya. Pada metode variasi parameter, bentuk fungsi integral

khususnya tidak terbatas pada tiga jenis fungsi tadi.Akan tetapi, dalam metode ini

digunakan penghitungan integral pada bagian akhir penyelesaiannya.

a. Metode Koefisien Tak Tentu

Untuk memperoleh dengan metode koefisien tak tentu, perhatikan pada ruaskanan persamaan diferensial orde dua tak homogen dan tabel berikut!

Tabel 2 Bentuk Umum Integral Khusus

No Bentuk Umum dari 1.

Eksponenx, yaitu 2. Polinom berderajat n 3. atau 4. atau

Bentuk umum dari adalah pemisalan untuk integral khusus . Jika telahditentukan bentuk umumnya, selanjutnya bentuk umum ini dihitung turunan pertamadan turunan keduanya. Setelah itu, hasilnyadisubstitusikan pada persamaan

diferensialorde dua tak homogen sehingga diperoleh yang sesungguhnya.Contoh 1:

Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensialorde dua tak homogen

!Jawab:

Dari contoh sebelumnya, diketahui bahwa penyelesaian homogennya adalah . Karena ruas kanan merupakan polinom berderajat dua, pemisalan untuk adalah , , dan .Substitusikan

padapersamaan diferensialorde dua tak homogendi atas,

diperoleh


60/84


sehingga .Jadi,

Dengan demikian,penyelesaian umum (lengkap) dari persamaan diferensialorde dua

tak homogen di atas adalah

.Contoh 2.


!Jawab:

Bentuk homogen persamaan diferensialorde dua tak homogen di atas adalah . Jadi, persamaan karakteristiknya adalah . Akar-akar dari persamaankarakteristik ini . Menurut langkah 2 penyelesaian homogennya adalah

. Bentuk

pada persamaan

diferensial ini berupa fungsi trigonometri dengan sehingga dengan bantuan tabeldiperoleh pemisalan yaitu , , dan .Substitusikan pada persamaan diferensial tak homogen, diperoleh

sehingga Jadi, .Dengan demikian,penyelesaian umum (lengkap) dari persamaan diferensialorde dua


.


61/84


Contoh 3:


!Jawab:Dari contoh sebelumnya, diketahui bahwa penyelesaian umumnya adalah

.Karena ruas kanan merupakan kombinasi dari polinom berderajat satu dan eksponen,

pemisalan untuk adalah , , dan .Substitusikan pada persamaan diferensialorde dua tak homogen diatas, diperoleh

sehingga

.

Jadi, .Dengan demikian,penyelesaian umum (lengkap) dari persamaan diferensialorde dua


.Contoh 4:


!Jawab:

Dari contoh sebelumnya, diketahui bahwa penyelesaian umumnya adalah

.Karena ruas kanan merupakan eksponenx, pemisalan untuk adalah


62/84


Hasil dari substitusi pada persamaan diferensialorde dua takhomogen di atas adalah

Hasil dari substitusi ini tidak diperoleh simpulan apa pun karena bentuk umum samadengan salah satu suku pada penyelesaian homogen. Jadi, harus dipilih pemisalan yang lain, yaitu (dikalikan dengan variabelnya). Jika masih sama dengansuku lain pada penyelesaian homogen, dikalikan dengan variabelnya satu kali lagi.Pada soal ini, pemisalan tidak lagi sama dengan salah satu suku pada

penyelesaian homogennya sehingga tidak perlu diganti dengan pemisalan yang lain.

Hasil dari substitusi pada persamaan diferensialorde dua takhomogen di atas adalah

sehingga diperoleh .Jadi, .Dengan demikian,penyelesaian umum (lengkap) dari persamaan diferensialorde dua


b. Metode Variasi Parameter

Integral khusus pada metode variasi parameter diperoleh dengan langkah-langkah

sebagai berikut

1. hitung determinan Wronski dari penyelesaian homogen. Misalnya penyelesaian

homogen adalah , maka determinan Wronskinya adalah

2. hitung integral khususnya, yaitu


63/84


Contoh:

Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial orde dua tak homogen ini dengan

metode variasi parameter

!

Jawab:

Dari contoh 2 pada pembahasan metode koefisien tak tentu, diketahui bahwa

penyelesaian umumpersamaan diferensialorde dua homogen adalah .

Penyelesaian ini merupakan penyelesaian homogen, maka determinan Wronskinya

adalah

dan integral khususnya adalah

||

Dengan demikian,penyelesaian umum (lengkap) dari persamaan diferensialorde dua


|| atau

||

Latihan 4

A. Tentukan penyelesaian umum dari persamaan diferensial orde dua tak

homogen berikut ini!


64/84


65/84


dengan apercepatan.

Pada permukaan bumi, massa mdihubungkan dengan bobot W oleh W = mgdengang

percepatan gravitasi bumi.

Contoh:

Mobil yang sedang melaju dengan kecepatan 144 km/jam tiba-tiba direm,

mengakibatkan percepatan negatif konstan 10 m/det2, berapa lamakah mobil itu akan

berhenti dan berapa jarak yang ditempuh mobil sampai berhenti ?

Jawab:

Misalnya jarak tempuh mobil setelah direm pada waktu t detik adalahy(t). Waktu dan

posisi saat mobil di rem diasumsikan pada t = 0dany = 0. Jadi,

Karena kecepatan mobil 144 km/jam = 40 m/det, kecepatan awal mobil

Selanjutnya, percepatan mobil diartikan sebagai turunan kedua yaitu

(3.3)Dengan demikian, model matematika masalah tersebut adalah

dengan syarat awal Persamaan (3.3) merupakan persamaan diferensialorde dua tak homogen. Jika

diselesaikan dengan cara seperti pada subbab sebelumnya diperoleh persamaan

karakteristik sehinggapenyelesaian homogennya adalah . Jikaintegral khususnya diperoleh dengan metode koefisien tak tentu, pemisalan untuknya

adalah

sehingga . Oleh karena itu, . Jadi,penyelesaian umumnyaadalah

Dengan mensubstitusikan syarat awal pada penyelesaian umum, diperoleh dan B

sehingga diperoleh penyelesaian khusus


66/84


Persamaan diferensialorde dua tak homogen(3.3) dengan nilai dapatdiselesaikan dengan integral langsung. Cara ini akan memberikan penyelesaian khusus

yang sama.

Ketika mobil berhenti , turunan pertama penyelesaian khusus memberikanpersamaan dan diperoleh Jadi, mobil hanya bergerak selama4 detik setelah direm dan jarak tempuh setelah direm adalah .

b. Lenturan Batang

Sebuah batang datar (horisontal) yang diletakan pada sumbu xsistem koordinatxydan

ditumpu dengan berbagai cara akan melentur akibat pengaruh beban tegak. Kurva

lenturan (deflection curve) batang yang dinamakan kurva elastik (elastic curve)

diberikan olehy=f(x) denganydiukur positif ke arah bawah. Kurva ini ditentukan dari

persamaan

denganMmomen lintas di xdan besarnya sama dengan jumlah aljabar momen semua

gaya ke satu sisi x. Momen ini positif untuk gaya dalam arah positif dan sebaliknya

negatif.

Untuk lenturan kecil,yjuga kecil dan persamaan hampiran berikut ini digunakan.

BesaranEIdisebut ketegaran lentur (flexural rigidity) dan umumnya konstan. Eadalah

modulus YoungdanIadalah momen inersia penampang batang terhadap sumbunya.

Contoh:

Suatu batang yang panjangnya L ditopang pada kedua ujungnya. Tentukan a. lenturan

jika batang memiliki berat konstan sebesar W per satuan panjang, b. lenturan

maksimum!

x Lx

G.13 Batang yang Ditopang pada Kedua Ujungnya


67/84


Jawab:

a. Berat total batang adalah WL sehingga setiap ujungnya menumpu berat WL.

Misalnya, x jarak dari ujung kiri A pada batang. Momen lentur M pada x

ditentukan oleh gaya pada sebelah kirix.

1. Gaya WL di A memiliki momen WLx.

2. Gaya berat batang ke sebelah kirixsebesar Wxdan momen Wx(x/2) = Wx2

Dengan demikian, jumlah momen lentur dixadalah Wx2 WLx. Jadi,

EIy = Wx2 WLx.

Penyelesaian persamaan ini terhadap syarat batasy(L/2) = 0 dany(0) = 0 adalah

b. Karena momen lentur di sebelah kananxadalah

maka lenturan maksimum terjadi padax = L/2, yaitu 5WL4/384EI.

Latihan 5

1. Sebuah mobil mencapai kecepatan 80 km/jam, tanpa kecepatan awal. Jika

percepatannya konstan, berapakah jarak yang ditempuh dalam waktu 10 menit?

2. Sebuah bola menggelinding di permukaan tanah dengan kecepatan awal 35

kaki/detik. Jika bola mengalami perlambatan sebesar 7 kaki/detik2, berapakah

jarak tempuh bola hingga berhenti?

3. Sebuah batang dengan panjang L, salah satu ujungnya ditanam ke dalam dinding

secara mendatar dan pada ujung lainnya bekerja sebuah gaya sebesar W.Tentukanlah

a. lenturannya,

b. lenturan maksimum jika berat batang diabaikan!

4. Sebuah batang dengan panjang L ditumpu pada ujung-ujungnya dan diberi

beban sebesar W kg pada bagian tengahnya. Tentukanlah

a. lenturannya,

b. lenturan maksimum jika berat batang diabaikan!


68/84


5. Sebuah batang dengan panjang L dan berat w kg/m ditumpu pada ujung-

ujungnya. Tentukanlah

a. lenturannya,

b. lenturan maksimum!

6.

Sebuah batang dengan panjang 2.500 mm diberi beban pada ujungnya sebesar

15 N. Tentukanlah lenturan maksimumnya jika momen inersia batang

85.000.000 mm4dan modulus elastisitasnya 200 N/mm2!

7. Sebuah batang dengan panjang 10.000 mm diberi beban secara merata sebesar

15 N/mm. Tentukan persamaan lenturan dan lenturan maksimumnya jika

momen inersia batang 98.000.000 mm4dan modulus elistisitasnya 300 N/mm2!


69/84


Rangkuman

1. Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Satu

Penyelesaian persamaan diferensial adalah persamaan berbentuk atauberbentuk , dengan C konstanta. Metode penyelesaian persamaandiferensial orde satu dapat dilihat pada tabel berikut ini.

Tabel 3 Rangkuman Metode Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Satu

Metode dan Bentuk Umum

Persamaan Diferensial Orde Satu

(1)

Penyelesaian

(2)

Keterangan

(3)

1. Persamaan dengan variabelterpisah

Lakukan pemisahan variabel,kemudian integralkan.

Lihat subbab

3.2.1

2. Persamaan yang direduksi

menjadi persamaan dengan

variabel terpisah

a. Substitusi dengan dan

b. Selesaikan dengan metode

pemisahan variabel

Lihat subbab

3.2.2

3. Persamaan diferensiallinear

orde satu

a. Hitunglah faktor

pengintegralan (Fi):

b. Hitunglah:

Lihat subbab

3.2.3

(1) (2) (3)

4. Persamaan bernoulli

a. Bagi persamaanbernoulli

dengan b. Substitusi persamaan

diferensial dengan

Lihat subbab

3.2.4


70/84


dan sehingga menjadi

persamaan diferensial linear.

c. Selesaikan dengan metode

faktor pengintegralan

2. Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Dua

Bentuk umum dari persamaan diferensial orde dua adalah

(1)dengan dan .2.1Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

Persamaan diferensialorde dua homogen adalah persamaan (1) dengan .Persamaan ini diselesaikan dengan dua langkah, yaitu

1. tuliskan persamaan karakteristik, yaitu

kemudian tentukan akar-

akarnya (,2. a. jika dan real, penyelesaian homogennya adalah ,

b. jika dan real, penyelesaian homogennya adalah ,c. jika (bilangan kompleks), penyelesaian homogennya adalah

Penyelesaian umum dari persamaan diferensialorde dua homogen ini adalah

penyelesaian homogennya.

2.2Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Dua Tak Homogen

Persamaan diferensialorde dua takhomogen adalah persamaan (1) dengan .Penyelesaiannya adalah . Penyelesaian ini disebut juga penyelesaianumum lengkap.

Terdapat dua metode untuk menentukan .a. Metode Koefisien Tak Tentu


71/84


Untuk memperoleh dengan metode koefisien tak tentu, perhatikan pada ruaskanan persamaan diferensial orde dua tak homogen dan tabel 2 pada subbab 3.4.2

Bentuk umum dari

adalah pemisalan untuk integral khusus

. Jika telah

ditentukan bentuk umumnya, selanjutnya bentuk umum ini dihitung turunan pertamadan turunan keduanya. Setelah itu, hasilnyadisubstitusikan pada persamaan

diferensialorde dua tak homogen sehingga diperoleh yang sesungguhnya.b. Metode Variasi Parameter

Integral khusus pada metode variasi parameter diperoleh dengan langkah-langkah

sebagai berikut

1. hitung determinan Wronski dari penyelesaian homogen. Misalnya penyelesaian

homogennya adalah , maka determinan Wronskinyaadalah 2.

hitung Integral Khusus, yaitu


72/84


BAB IV

TRANSFORMASI LAPLACE

Tujuan Pembelajaran Umum:1. Mahasiswa mampu memahami konsep trasformasi Laplace dan tujuan khusus

definisi transformasi Laplace;

2. Mahasiswa mampu memahami konsep sifat linier transformasi Laplace dan

menggunakan tabel standar transformasi Laplace;

3. Mahasiswa mampu memahami perluasan transformasi Laplace dan menggunakan

tabel perluasan transformasi Laplace;

4. Mahasiswa mampu memahami invers transformasi Laplace dan turunan trasformasi

Laplace;

Tujuan Pembelajaran Khusus:1. Mahasiswa mampu menyelesaikan trasformasi Laplace dengan menggunakan

definisi dan sifat linier transformasi laplace;

2. Mahasiswa mampu menghitungnya menggunakan teorema dasar kalkulus yaitu

integral tak wajar;

3. Mahasiswa mampu menyelesaikan perluasan transformasi Laplace dengan

menggunakan tabel dan sifat linier transformasi Laplace;


integral tak wajar;

5. Mahasiswa mampu menyelesaikan invers trasformasi Laplace dengan menggunakan

tabel transformasi Laplace, perluasan tabel trasformasi Laplace;6. Mahasiswa mampu menghitungnya menggunakan teorema dasar kalkulus yaitu

integral tak wajar;

7. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan diferensial dengan menggunakan

transformasi Laplace;


integral tak wajar;

4.1 Definisi Transformasi LaplaceMisalkan f (t) adalah fungsi waktu dengan t 0 bila dikalikan dengan e-st, dengan

s>0kemudian diintegralkan terhadap peubah t mulai dari 0 sampai dengan tak

hingga bila hasilnya ada disebutF(s).

F(s) = (f (t)) = 0

( ) stf t e dt


73/84


4.2 Sifat Linear Transformasi Laplace

(1) [k f(t)] = k [(f(t))]

(2) (f(t) + h (t) - g (t)) = (f(t) + (h(t) - (g(t))

Contoh soal:

1. Jika f(t)=1

(f(t) ) = 0

( ) stf t e dt

Sehingga((1) )= 0

(1) ste dt

= 0

lim 1a

st

ae dt

=0

limst a

a

eI

s

=

. .0

lims a s

a

e e

s s

=. 0

1 1

. .s

s e s e

=. 0

1 1

. .ss e s e

=1

0s

Jadi ((1) )=1

s

2 . Jika f(t)=k, k=konstanta

(f(t))= 0

( ) stf t e dt

(k)= 0

( ) stk e dt

= 0

lim

a

st

ak e dt


74/84


=.

0

lim

a

s t

ak e dt

=

1

.k s

Jadi ((k) ) =k

s

3.Jika f(t)=eat

.0

. s tf t f t e dt

. . .0

.a t a t s t e e e dt

. ( )0

.a t s a t e e dt

=( )

0

lima

s a t

ae dt

=( )

0lim

( )

s a t a

a

eI

s a

=

( ) ( )0

lim( ) ( )

s a a s a

a

e e

s a s a

=( ) ( )0

1 1lim

( ) ( )s a a s aa s a e s a e

=( ) ( )0

1 1

( ) ( )s a s as a e s a e

= 1

0s a

Jadi (eat) =

1

s a


75/84


Tabel 4 Transformasi Laplace

No. f (t) ( f (t))

1 11s

2 k

k

s

3 eat

1

s a

4 e-at

1

s a

5 t1 2

1!

s

6 t2 3

2!s

7 tn ( 1)

!n

n

s

8 sin (at) 2 2a

s a

9 cos( at)2 2

s

s a

10 sinh (at) 2 2a

s a

11 cosh (at)2 2

s

s a


76/84


Contoh soal:

01.(e2t

+ sin 4t - cos h 2t )

= (e2t

) + (sin 4t) - (cosh 2t)

=2 2 2 2

1 4

2 4 2

s

s s s

=2 2

1 4

2 16 4

s

s s s

02. (10 sin 4t .cos 2t )

= (5.(2sin 4t.cos 2t))

= 5.(2sin 4t.cos 2t)

= 5.(sin 6t+sin 2t)

=5. (sin 6t) + 5.(sin 2t)

=2 2 2 2

6 25. 5.

6 2s s

2 2

30 10

36 4s s

03. (6sin2

(10t))

= (-3(-2sin2

(10t))

= -3(-2sin2

(10t))

= -3(cos(20t)-1)

= -3(cos 6t) + (3)

=2 2

33( ) ( )

6

s

s s

=2

3 3( ) ( )

36

s

s s

Latihan Soal


77/84


Tentukan nilai dari Transformasi Laplace di bawah ini :

01. (4e-7t

- 5 sinh( 3t) + 5 cos (2t))

02. ((6 - 3 cos

2

(4t))

03. ((8 + sin (10t)) (2 - 4 cos (2t))

04. (6sin2

(10t)-20 cos2(4t))

05. ((4+sin (3t)) (2cos (8t))

06. ((10-4 cos (6t)) (2 sin (2t))

07 (2+10 sin (6t))2

08. (4sin(4t)+2 cos (3t))2

09. (20 cos2(6t) + 10 sin

2(4t))

10.(6 sin (4t )+ 2 cos (6t)) (2sin (2t)

4.3 PerluasanTransformasiLaplace

Jika F(s) = ( f(t)) = 0

( ) stf t e dt

F(s-a) = . .0

. ( ) . ( )a t a t st e f t e f t e dt

F(s+a) = . .0

. ( ) . ( )a t a t st e f t e f t e dt

Tabel 5 Perluasan Transformasi Laplace


78/84


No. f(t) (1. . .a t ne t

1

!

( )nn

s a

2. . 1.a te t

2

1!

( )s a

3. . 2.a te t

3

2!

( )s a

4. . .sinh( )a te ct

2 2( )

c

s a c

5. . .cosh( )a te ct

2 2( )

s

s a c

6. . cosh( )a te ct

2 2( )

s

s a c

7. . sin( )a te ct

2 2( )

c

s a c

8. . cos( )a te ct

2 2( )

s

s a c

Contoh soal perluasan transformasi Laplace

Tentukan nilai Transformasi Laplace di bawah ini :

01.

02.

=


79/84


==

=

=


02.

=

= =

Latihan soal perluasan transformasi Laplace.


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

9. 10. 4.4 Invers Transformasi Laplace

Jika (F(t)) = F (s)

(F(t)) = -1(F(s))

Contoh 1: Jika (e2t

) =


80/84


e2t= -1(

)

Tentukan nilai Transformasi Invers Laplace di bawah ini :

2. -1( + - ) =

-1(

+ -1 - -1 ) =8

-1(

+ 3-1 - 4 -1 ) =Tentukan nilai Transformasi Invers Laplace di bawah ini :

3. -1(

) = -1(

)= 8

-1(

)

Latihan soal

Tentukan nilai Transformasi Invers Laplace di bawah ini :

1. -1

(

+

-

) =

2. -1( + - ) =3.

-1(

+

-

) =

4. -1

(

+

-

) =5.

-1(

+

-

) =

6. -1

(

) =7 .

-1(

) =

8. -1( ) + -1( ) =

9. -1

(

) + -1(

) =10.

-1() - -1(

) =

4.5 Turunan Transformasi Laplace

8.e2t

.cos 3t

8 e4t + 3 sin 4t - 4


81/84


Jika F(s) = ( f(t)) = ' ' .

0

. .s ty y e dt

Selesaikan dengan integral parsial dengan. .s tu e .. .s tdan du se dt ' .dv y dt .dan v y

Sehingga ' ' .0

. .s ty y e dt

' ' .0

lim . .a

s t

ay y e dt

' . .0

0

lim[ ( ) ] lim .( ) .aa

s t s t

a ay y e I y se dt

' .. 00

lim( ) . .a

s t

s ta

yy I s y e dt

e

' . 0lim[( ) ( )] [ ( )].s aa

y yy s y

e e

' [(0) ( )] [ ( )].y y s y

'

[ ( )] .y s y y

Jika F(s) = ( f(t)) = .

0

'' ''. .s ty y e dt

Selesaikan dengan integral parsial dimana. .s tu e .. .s tdan du se dt '' .dv y dt . 'dan v y

Sehingga .

0

'' ''. .s ty y e dt

.

0

'' lim ''. .a

s t

ay y e dt

. .0

0

'' lim[ '( ) ] lim '.( ) .aa

s t s t

a ay y e I y se dt


82/84


.. 00

''' lim( ) ( '. ).

as t

s ta

yy I s y e dt

e

. 0' '

'' lim[( ) ( )] [ ( ) ].s a

a

y yy s s y y

e e

2'' [(0) ( ')] [ ( ) ].y y s y sy

2'' ( ) '.y s y sy y

Tabel 6 Turunan Transformasi Laplace

No. F (t) ( F(t))

1'y

' ( ) .y s y y

2 ''y

2'' ( ) '.y s y sy sy

3'''y

3 2''' ( ) . ' ''y s y s y sy y

4''''y

4 3 2'''' ( ) ' '' '''.y s y s y s y sy y

Contoh Soal

01.

Tentukan solusi dari persamaan diferensialberikut dengan menggunakan

transformasi laplace, dari '' .y y t ,dengan y(0) = 1dan '(0) 2y

Ruas kiri dan ruas kanan dinyatakan dalam fungsi laplace

( '' ) ( ).y y t

( '') ( ) ( ).y y t

2

2

1( ) (0) '(0) ( )s y sy y y

s

2

2

1( ) (1) ( 2) ( )s y s y

s

2

2

1( 1) ( ) 2s y s

s

2 2 2 2

2 1( )

1 1 ( 1)

sy

s s s s

1 1 1 1

2 2 2 2

2 1[ ( )] [ ] [ ] [ ]

1 1 ( 1)

sy

s s s s

1 1 1

2 2 2 2

2 1( ) [ ] [ ] [ ]

1 1 ( 1)

sy

s s s s


83/84


1 1 1 1

2 2 2 2

2 1 1( ) [ ] [ ] [ ] [ ]

1 1 ( 1)

sy

s s s s

cos( ) 2sin( ) sin( )y t t t t

cos( ) 3sin( )y t t t

Latihan soal

Tentukan solusi dari persamaan diferensial ber

File Dari Pak Adolf

Documents

Transcript of File Dari Pak Adolf