Estimasi adalah perkiraan nilai suatu obyek berdasarkan nilai-nilai yang telah ada di di dalam atau di sekitar obyek tersebut.

Misalnya, suatu obyek dengan volume yang lebih kecil (contoh: sumur bor) terletak di dalam suatu obyek dengan volume yang lebih besar (contoh: blok penambangan), sebagaimana terlihat pada gambar berikut:

Inti masalahnya adalah kita akan memperkirakan berapa rata-rata kadar di blok penambangan tersebut yang belum diketahui berdasarkan kadar rata-rata di sumur bor tersebut yang sudah diketahui.

Obyek 1 adalah blok penambangan dengan volume yang lebih besar. Rata-rata kadarnya belum diketahui. Rata-rata kadar yang belum diketahui ini kita simbolkan dgn U.

Obyek 2 adalah sumur bor dengan volume yang lebih kecil. Rata-rata kadarnya sudah diketahui yang diambil dari sampel-sampel pemboran. Rata-rata kadar yang sudah diketahui ini kita simbolkan dengan U*.

Sumur bor ini terletak di dalam blok penambangan.

Jadi, di sini muncul 2 besaran, yaitu:

1. Besaran U* = kadar rata-rata sumur bor yang sudah diketahui.

2. Besaran U = kadar rata-rata blok penambangan yang belum diketahui.

Kita akan memperkirakan besarnya kadar rata-rata di blok penambangan (U) yang belum diketahui tersebut berdasarkan kadar rata-rata di sumur bor yang sudah diketahui (U*) yang terletak di dalam blok penambangan tersebut.

Perkiraan ini disebut melakukan estimasi.

Perkiraan atau estimasi nilai U pada blok penambangan tersebut dilakukan dengan bantuan analisis variogram eksperimental dan varians dispersi dari data-data kadar pada sumur bor itu sendiri.

Jadi, kita akan memperkirakan atau mengestimasi nilai U berdasarkan nilai U*. Dari hasil estimasi ini, kita memperoleh nilai U. Kemudian kita hitung perbedaan antara nilai U dengan U*, sbb:

σ = U* - U Perbedaan ini disebut sebagai selisihnya atau errornya.

Perbedaan atau error inilah yang disebut dengan variansnya atau lebih dikenal dengan nama varians estimasi.

Varians estimasi adalah besarnya perbedaan yang timbul antara rata-rata nilai yang sudah diketahui dari sampel-sampel yang diambil dari suatu populasi terhadap rata-rata nilai yang belum diketahui dari seluruh sampel di dalam populasi tersebut, di mana rata-rata nilai yang belum diketahui ini ditaksir berdasarkan rata-rata nilai yang sudah diketahui dari sampel-sampel tersebut dengan menggunakan variogram eksperimental dan varians dispersi dari rata-rata nilai yang sudah diketahui dari sampel-sampel tersebut.

Estimasi dengan menggunakan satu conto di mana harga tersebut diekstensikan ke satu volume yang lebih besar disebut ekstensi. Sedangkan,

Estimasi dengan menggunakan beberapa conto di mana harga-harga conto tersebut diekstensikan ke satu volume yang lebih besar disebut estimasi.

Secara umum, hubungan varians estimasi dapat dituliskan sebagai berikut:

σ E2 (v ke V )= 2

vV ∫ dx∫ γ ( x− y )dy kovarians vV

−2VV∫ dx∫ γ ( x− y )dy varians V

−2vv ∫dx∫ γ ( x− y )dy varians v

Contoh soal (Diktat hal. VIII-30):

Pada suatu endapan fosfat, telah diambil 95 conto pemboran dengan grid 50 x 50 m 2. Kadar rata-rata ź akumulasi kadar dan ketebalan adalah 365 m%. Variogram model Matheron untuk endapan ini memberikan sill C = 77.912 m2%2. Nugget variance (Co) = 30.000 m2%2, dan range a = 150 m. Hitunglah varians estimasi global dan standar deviasi relatif dari akumulasi kadar dan ketebalan !

Endapan fosfat dengan grid 50 m x 50 m. Jumlah sampel 95 buah.

Diketahui variogram model Matheron pada endapan fosfat memberikan data:

range (a) = 150 m.

C = 77.912 m2%2.

Co = 30.000 m2%2.

N = 95 (Jumlah conto bor).

v

v v

v

v v

Grid = 50 m x 50 m.

Kadar rata-rata akumulasi kadar dan ketebalan = 365 m%.

Ditanya: Varians estimasi global dan standar deviasi relatif dari akumulasi kadar dan ketebalan ?

Karena ini adalah contoh untuk bidang bujur sangkar, maka:

h/a = 50/150 = 0,333 dan l/a = 50/150 = 0,333. Maka diperoleh varians ekstensi titik terhadap bidang bujur sangkar (lihat grafik) 0,333 dan 0,333 adalah 0,125.

Dari sini diperoleh varians estimasinya adalah: σ2E (r) = σ2

E (□) = Co + (C x 0,125) = 39.739 m2%2.

Untuk seluruh bidang, diperoleh varians estimasi global adalah: σ2E (R) = [1/N] x σ2

E (r) = (1/95) x 39.739 = 418,3 m2%2.

Sehingga standar deviasinya adalah √ 418,3 m2%2 = 20,4 m%.

Jadi standar deviasi relatifnya adalah (20,4/365) x 100% = 5,6%.

KRIGING

Kriging adalah metode estimasi geostatistik, yang dikembangkan untuk memperoleh garis linear terbaik atau estimasi yang tidak bias terhadap kadar yang ditaksir, atau kadar blok yang ditaksir, yang didasarkan atas teknik meminimalkan akar dari kesalahan estimasi.

Rumus-rumus kriging banyak dikembangkan secara teoritis yang diturunkan secara empiris dan banyak dijelaskan dalam literatur geostatistik.

Di antara literatur yang dapat dibaca adalah yang ditulis oleh David (1977, 1988) dan Huijbregts (1978).

Faktor-faktor yang terpenting dalam estimasi kriging adalah:

1. Rata-rata dari estimasi, secara sistem tidak boleh lebih besar dari atau tidak boleh lebih kecil dari nilai sebenarnya. Hal ini diaplikasikan secara matematis dengan mengset jumlah pembobotannya sama dengan 1, yaitu sebagai berikut:

∑ wi = 1

wi = pembobotan yang dihitung untuk setiap sampel i.

I = 1, ……, jumlah sampel

2. Kesalahan estimasi atau σk2, yang diekspresikan sebagai (G – G*) atau:

σk2 = σB.D

2 – 2 ∑ wi σB.Xi + ∑ ∑ wi wj σ Xi.Xj

harus diminimalkan, di mana:G = kadar sebenarnya.G* = kadar yang diestimasi.σB.D

2 = Varians dari blok-blok dengan ukuran tertentu yang akan diestimasi pada suatu deposit.σB.Xi = Kovarians antara setiap sampel dengan blok-blok yang akan diestimasi.σ Xi.Xj

= Kovarians antara individual sampel dengan sampel.

Varians kriging pada persamaan sebelumnya yaitu:σk

2 = σB.D2 – 2 ∑ wi σB.Xi

+ ∑ ∑ wi wj σ Xi.Xj

diminimalkan dengan menggunakan prinsip Lagrange dengan tujuan untuk memodifikasi persamaan tersebut sehingga diperoleh kondisi nonbias sebagai berikut:σk

2 = σB.D2 – 2 ∑ wi σB.Xi

+ ∑ ∑ wi wj σ Xi.Xj + µ (∑ wi - 1)

Di mana µ adalah faktor pengali Lagrange.σk

2 = σB.D2 – 2 ∑ wi σB.Xi

+ ∑ ∑ wi wj σ Xi.Xj + µ (∑ wi - 1)

Persamaan di atas didiferensiasikan terhadap setiap wi dan µyang menghasilkan satu set persamaan simultan yang dapat menghasilkan nilai w i dan µ sebagai berikut: w1 σ X1.X1

+ w2 σ X1.X2 + …….. + wn σ X1.Xn + µ = σ XB.X1 w1 σ X2.X1

+ w2 σ X2.X2 + …….. + wn σ X2.Xn + µ = σ XB.X2 w1 σ X3.X1

+ w2 σ X3.X2 + …….. + wn σ X3.Xn + µ = σ XB.X3 w1 σ X1.X1

+ w2 σ X1.X2 + …….. + wn σ X1.Xn + µ = σ XB.X1 w1 + w2 + ……….……… + wn + 0 = 1Persamaan di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan metode eliminasi gauss untuk memperoleh nilai bobot (w) dan faktor pengali Lagrange (µ).Estimasi kesalahan kriging kemudian dapat dihitung dengan persamaan berikut ini:σk

2 = σB.D2 – ∑ wi σB.Xi

+ µ yang didasarkan atas persamaan untuk menentukan kesalahan estimasi dan hubungan antara µ dan persamaan kriging berikut:µ = – ∑ wi σB.Xi

+ ∑ ∑ wi wj σ Xi.Xj

Kemudian, kovarian-kovarian individu sampel dan varian-varian blok dihitung berdasarkan variogram eksperimental sebagai berikut:

σ Xi.Xj = σS.D2 – γ (Xi,Xj)

σ B.Xi = σS.D2 – AVE (γ (B,Xi))

σ B.D = σS.D2 – AVE (γ (B,B))

Di mana:σS.D

2 = Varians dari sampel-sampel di dalam deposit.

γ (Xi,Xj) = Nilai dari fungsi variogram antara sampel-sampel Xi dan Xj.AVE (γ (B,Xi)) = Nilai rata-rata variogram antara blok dan sampel Xi. AVE (γ (B,B)) = Nilai rata-rata variogram antara semua titik di dalam blok.