Palembang, 24 Februari 2012

Pertemuan ke-4David Bahrin,ST., MTJURUSAN TEKNIK KIMIA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SRIWIJAYA 02 Maret 2012

Telah disinggung pada bab terdahulu bahwa perhitungan bunga umumnya dilakukan dalam perioda tahunan. Tetapi kadang-kadang ditetapkan lebih singkat lagi, misalnya: dalam perioda semesteran (semiannually), per kuartal (quarterly), atau per bulan (monthly).

Bunga yang dibayar secara bulanan efeknya akan berbeda dengan yang dibayar secara kuartalan, semesteran atau tahunan, walaupun tingkat bunga per tahun kesemuanya sama. Sebagai gambaran untuk melihat perbedaan dapat dilihat dari contoh berikut ini:

Modal sejumlah Rp 1.000.000,00 dipinjam dengan tingkat bunga efektif 1 % per bulan. Secara nominal tingkat bunga majemuk tersebut dapat dikatakan sama dengan 12 % per tahun dengan bunga majemuk bulanan.

Terlihat bahwa pada akhir tahun pertama, jumlah pinjaman antara (a) dan (b) terdapat beda sebesar Rp 68.000,00. Dari uraian di atas, tingkat bunga 1 % per bulan mempunyai efek yang sama dengan tingkat bunga 12,68 % per tahun.

Jelas di sini bahwa makin singkat perioda pembayarn bunga, tingkat bunga efektif (effective interest rate) per tahun makin tinggi bila dibandingkan dengan tingkat bunga nominal (nominal interest rate) per tahun.

Adapun Tingkat bunga nominal dan bunga efektif dapat dirumuskan sebagai berikut:

i =

Keterangan:r = tingkat bunga nominal (per tahun)o = jumlah perioda bunga per tahuni = tingkat bunga efektif (per tahun)Dengan rumus tersebut, maka dari suatu tingkat bunga nominal 6 % per tahun, apabila perioda pembayaran dari bunga majemuk berbeda-beda (tahunan, semesteran, kurtalan, bulanan, mingguan, harian). Tingkat bunga efektif per tahun dan per perioda adalah seperti terlihat pada tabel berikut ini.

Tabel Tingkat Bunga Efektif Per Tahun dari Berbagai Perioda Pembayaran Pada Tingkat Bunga Nominal 6 %

Perioda PembayaranJumlah Perioda Per TahunTingkat Bunga Efektif (%)Per PeriodePer TahunTahunan 16,00006,0000Semesteran 23,00006,0900Kuartalan 41,50006,1364Bulanan 120,50006,1678Mingguan 520,11546,1800Harian3650,01646,1831

Contoh 1;Pak Agus berhutang Rp 800.000,00 yang akan dibayar kembali dalam jumlah yang sama setiap akhir bulan dalam jangka waktu 5 tahun dengan tingkat bunga 18 % per tahun. Berapa yang harus dibayar oleh Pak Agus per bulannnya ?Jawab:P= Rp 800.000,00i= 18 % per tahun= per bulan= 1,5 % per bulann= 5 tahun= 60 bulanA= P ( , i, n)

= Rp 800.000,00 ( , 1,5 %, 60)

= Rp 800.000,00

= Rp 800.000,00 0,0254= Rp 20.320,00

Pemakaian rumus bunga yang telah diterapkan pada bagian depan, semua seri pembayaran dengan jumlah yang sama (A) dilakukan pada akhir tiap perioda pembayaran. Apabila suatu seri pembayaran, pembayarannya dilakukan pada permulaan setiap perioda pembayaran, maka disebut annuity due. Untuk melakukan perhitungan, rumus-rumus dan tabel-tabel bunga dari seri pembayaran pada akhir perioda dapat dipergunakan dengan penyesuaian.

Di dalam suatu diagram aliran uang tunai (cash flow diagram), dianggap bahwa:P = P-1adalah satu perioda bunga sebelum A yang pertama. Dimana P = P0 dapat dicari dari P = P-1.F = Fn-1 adalah bersamaan dengan A terakhir selama n perioda pembayaran, setelah P = P-1.

Diagram Aliran Uang Tunai Dari Annuity Due

Contoh:Suatu rangkaian pembayaran sebesar Rp 250.000,00 akan diterima selama 10 kali, dibayar pada tiap permulaan tahun dengan tingkat bunga 6 % per tahun. Berapa jumlah uang yang akan diterima kalau dinilai untuk saat sekarang (awal perioda pertama) atau untuk masa mendatang pada akhir tahun ke-10 ?Jawab:A= Rp 250.000,00i= 6 %n= 10P-1= A ( , i, n)= Rp 250.000,00 ( , 6 %, 10) = Rp 250.000,00 = Rp 250.000,00 (7,3601)= Rp 1.840.025,00P0= P-1( , i, n)= Rp 1.840.025,00 ( , 6 %, 1)

= Rp 1.840.025,00 = Rp 1.840.025,00 (1,060)= Rp 1.950.426,50F10= P0( , i, n)= Rp 1.950.426,50 ( , 6 %, 10) = Rp 1.950.426,50 = Rp 1.950.426,50 1,791= Rp 3.493.213,86

Berdasarkan diagram pada gambar diatas, pembayaran tahunan dengan jumlah yang seragam ditangguhkan selama j perioda. Pembayaran pertama dilakukan pada akhir perioda (j + 1) dalam m perioda. Keseluruhan perioda adalah n = j + m.Diagram Aliran Uang Tunai Dari Deffered AnnuityDeferred annuity adalah suatu rangkaian pembayaran dengan jumlah yang sama, dimana pembayaran pertamanya tidak dilakukan pada awal atau akhir perioda pertama, melainkan pada beberapa perioda sesudah itu.

Present Worth (P0) dan Future Worth (Fn) dapat dihitung dengan cara sebagai berikut:Pj= A( , i, m)

P0= Pj( , i, j)

Di sini Pj merupakan future worth dari P0.

Fn= P0 ( , i, n)

Fn= Pj( , i, m)

Deferred annuity ini banyak dilakukan sebagai cara pembayaran hutang oleh negara yang sedang berkembang yang biasa disebut pembayaran dengan perioda pengunduran (graoe period).Besarnya pembayaran kembali dalam perioda pengunduran dan dalam perioda angsuran dapat ditentukan berdasarkan perjanjian, misalnya:

1. Selama perioda pengunduran tidak dilakukan pembayaran bunga, tetapi dibayarkan atau diperhitungkan pada akhir perioda pengunduran tersebut, yaitu: Pj = P0( , i, j)Besarnya angsuran, yaitu:A = Pj( , i, m)

2. Selama perioda pengunduran, bunga dibayar setiap akhir tahun. Besar bunga = P i, sedangkan besarnya angsuran, yaitu: A = P0( , i, m)

3. Tingkat bunga dalam perioda pengunduran (i' ) lebih kecil daripada tingkat bunga perioda angsuran (i).

David Bahrin,ST., MTJURUSAN TEKNIK KIMIA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SRIWIJAYA 02 Maret 2009

Di samping bunga majemuk yang dibayar secara periodik, terdapat pula bunga majemuk yang aliran uang tunainya terjadi secara berkesinambungan (continous compounding interest). Adapun cara pembayaran dalam bunga majemuk berkesinambungan ini dapat dilakukan secara periodik (continous compounding, discrete payments) atau secara berkesinambungan sepanjang perioda (continous compounding, continous payments).Continous Compounding and Discrete PaymentsDi sini dianggap bahwa perhitungan bunga majemuk dilakukan secara berkesinambungan, hanya rangkaian pembayarannya dilakukan per perioda, umumnya setahun sekali.Simbol-simbol yang dipakai, yaitu:r =Tingkat bunga nominal per tahunn=Jumlah perioda bungaP=Jumlah modal pada saat sekarangA=Jumlah pembayaran yang seragam dilakukan pada setiap akhir perioda dalam suatu rangkaian pembayaran selama n perioda.F=Jumlah modal di masa mendatang setelah n perioda.

1. Single Payment Compound Amount FactorUntuk menghitung berapa besar jumlah F dari jumlah P yang ditanam, sangat ditentukan oleh jumlah pembayaran per tahun. Rumus tingkat bunga efektif per tahun (i) adalah sebagai berikut:i = tetapi karena perhitungan bunga majemuk dilakukan secara berkesinambungan, maka tingkat bunga adalah:

i = == i =Rumus SPCAF untuk bunga majemuk periodik adalah F = P , maka untuk bunga majemuk berkesinambungan yang rangkaian pembayarannya dilakukan per perioda, rumusnya adalah sebagi berikut:F = P= P er nJadi Single Payment Compound Amount Factor (SPCAF) adalah:SPCAF = ( , r, n) = er nRumus Bunga Majemuk Untuk Continous Compounding and Discrete Payments

B.Continous Compounding and Continous PaymentsDi sini perhitungan bunga majemuk dilakukan dalam suatu rangkaian pembayaran yang berkesinambungan. Dalam suatu perioda, pembayarannya dilakukan dalam suatu rangkaian yang tak terhingga.Simbol-simbol yang dipakai, yaitu:r = Tingkat bunga nominal per tahunn = Jumlah perioda bunga P = Jumlah modal pada saat sekarang = The uniform flow rate of money per tahun.F = Jumlah modal di masa mendatang yang setara dengan jumlah pembayaran berkesinambungan yang seragam selama n perioda. Untuk pelaksanaan pembayaran yang tidak ada aliran pembayaran yang seragam 0, misalnya single payment compound amount dan single payment present worth, maka rumus bunga identik dengan rumus bunga untuk continous compounding and discrete payments.

Rumus Bunga Majemuk Untuk Continous Compounding and Continous Payments

TERIMA KASIH