NAMA : EFSI WULANDARI

PRODY: MATEMATIKA

SEMESTER: V

Himpunan (matematika)Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn

Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

Daftar isi 1 Notasi Himpunan 2 Himpunan kosong 3 Relasi antar himpunan

o 3.1 Himpunan bagiano 3.2 Superhimpunano 3.3 Kesamaan dua himpunano 3.4 Himpunan Kuasa

4 Kelas

5 Kardinalitas o 5.1 Himpunan Denumerabelo 5.2 Himpunan Berhinggao 5.3 Himpunan Tercacaho 5.4 Himpunan Non-Denumerabel

6 Fungsi Karakteristik o 6.1 Representasi Binero 6.2 Operasi dasar

6.2.1 Gabungan 6.2.2 Irisan 6.2.3 Komplemen 6.2.4 Hasil Kali Kartesian

7 Referensi 8 Bacaan lanjutan 9 Pranala luar

Notasi Himpunan

Hubungan di antara 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn

Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

Nama Notasi ContohHimpunan Huruf besarAnggota himpunan Huruf kecil (jika merupakan huruf)Kelas Huruf tulisan tangan

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan Asli Bulat Rasional Riil KompleksNotasi

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Simbol Artiatau Himpunan kosong

Operasi gabungan dua himpunanOperasi irisan dua himpunan

, , , Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejatiKomplemenHimpunan kuasa

Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:

Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.

Himpunan kosongHimpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

Relasi antar himpunan

Himpunan bagian

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.

{apel, jeruk} {jeruk, pisang} {apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai himpunan bagian dari A. Jadi dapat dirumuskan:

B adalah himpunan bagian dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.

Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,

Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri.

Untuk sembarang himpunan A,

Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai himpunan bagiannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.

Himpunan bagian sejati dari A menunjuk pada himpunan bagian dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

Superhimpunan

Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.

Kesamaan dua himpunan

Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

atau

Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A. Notasinya adalah .

Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka :

{ { }, {apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang}, {apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang}, {jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang}, {apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang}, {jeruk, mangga, pisang}, {apel, jeruk, mangga, pisang} }

Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.

KelasSuatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan

adalah sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya, adalah sebuah keluarga himpunan.

Contoh berikut, bukanlah sebuah kelas, karena mengandung anggota c yang bukan himpunan.

KardinalitasKardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya anggota himpunan

adalah 4. Himpunan juga memiliki anggota sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.

Dua buah himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Karena dengan mudah kita membuat fungsi yang memetakan satu-satu dan kepada himpunan A ke B, maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.

Himpunan Denumerabel

Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas .

Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh .

Himpunan Berhingga

Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.

Himpunan Tercacah

Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.

Himpunan Non-Denumerabel

Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas . Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.

Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas , karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan

seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah .

Fungsi KarakteristikFungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah anggota terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak.

Jika maka:

Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa dengan himpunan dari semua fungsi karakteristik dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah anggota dalam himpunan tersebut.

Representasi Biner

Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta S, maka setiap himpunan bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner. Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing anggota S, sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa anggota tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa anggota tersebut tidak ada. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}, maka:

Himpunan Representasi Biner ---------------------------- ------------------- a b c d e f g S = { a, b, c, d, e, f, g } --> 1 1 1 1 1 1 1 A = { a, c, e, f } --> 1 0 1 0 1 1 0 B = { b, c, d, f } --> 0 1 1 1 0 1 0

Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti union (gabungan), interseksi (irisan), dan

komplemen (pelengkap), karena kita tinggal menggunakan operasi bit untuk melakukannya. Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler-kompiler Pascal dan juga Delphi.

Operasi dasar

Gabungan

Gabungan antara himpunan A dan B.

Dua himpunan atau lebih yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap|1=A ∪ B setara dengan A or B, dan anggota himpunannya adalah semua anggota yang termasuk himpunan A ataupun B.

Contoh:

{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}. {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}. {Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.

Beberapa sifat dasar gabungan:

A ∪ B = B ∪ A. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C. A ⊆ (A ∪ B). A ∪ A = A. A ∪ ∅ = A. A ⊆ B jika and hanya jika A ∪ B = B.

Irisan

Irisan antara himpunan A dan B.

Operasi irisan A ∩ B setara dengan A dan B. Irisan merupakan himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota yang dimiliki bersama antara dua atau lebih himpunan yang terhubung. Jika A ∩ B = ∅, maka A dan B dapat dikatakan disjoint (terpisah).

Contoh:

{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}. {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}. {Budi,Cici} ∩ {Dani,Cici} = {Cici}. {Budi} ∩ {Dani} = ∅.

Beberapa sifat dasar irisan:

A ∩ B = B ∩ A.

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. A ∩ B ⊆ A. A ∩ A = A. A ∩ = .∅ ∅ A ⊂ B jika and hanya jika A ∩ B = A.

Komplemen

Komplemen B terhadap A.

Komplemen A terhadap U.

Diferensi simetris himpunan A dan B.

Operasi pelengkap A^C setara dengan not A atau A'. Operasi komplemen merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di luar himpunan tersebut.

Contoh:

{1, 2} \ {1, 2} = .∅ {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.

Beberapa sifat dasar komplemen:

A \ B ≠ B \ A untuk A ≠ B. A ∪ A′ = U. A ∩ A′ = .∅ (A′)′ = A. A \ A = .∅ U′ = dan ′ = ∅ ∅ U. A \ B = A ∩ B′.

Ekstensi dari komplemen adalah diferensi simetris (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan A dan B atau A - B menghasilkan

Contohnya, diferensi simetris antara:

{7,8,9,10} dan {9,10,11,12} adalah {7,8,11,12}. {Ana,Budi,Dedi,Felix} dan {Cici,Budi,Dedi,Ela} adalah

{Ana,Cici,Ela,Felix}.

Hasil Kali Kartesian

Produk kertesian (perkalian himpunan) A X B (A dan B) dan anggota himpunan A={x,y,z} dan B={1,2,3}.

Hasil Kali Kartesian atau perkalian himpunan merupakan operasi yang menggabungkan anggota suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Perkalian himpunan antara A dan B didefinisikan dengan A × B. Anggota himpunan | A × B | adalah pasangan terurut (a,b) dimana a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B.

Contoh:

{1, 2} × {x, y} = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}. {1, 2} × {a, b, c} = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) }. {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Beberapa sifat dasar himpunan perkalian:

A × = .∅ ∅ A × (B ∪ C) = (A × B) (∪ A × C). (A ∪ B) × C = (A × C) (∪ B × C). | A × B | = | B × A | = | A | × | B |.

Konsep HimpunanPosted on 25 Oktober 2013 by yos3prens

Dapatkah kalian memasukkan Kota Jakarta ke dalam beberapa kategori/kelompok yang berbeda-beda? Pertama, kalian mungkin mengkategorikan Kota Jakarta sebagai salah satu ibu kota negara-negara Asia Tenggara. Kedua, kalian juga dapat mengkategorikan Kota Jakarta sebagai salah satu ibu kota provinsi di Indonesia. Dengan cara lain, kalian juga dapat mengkategorikan Kota Jakarta sebagai salah satu kota terpadat di Indonesia. Pada

pembahasan ini kita akan membahas bagaimana cara mengelompokkan atau mengklasifikasikan beberapa objek.

Kita sering menjumpai himpunan dalam berbagai cara di sekitar kita. Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek, yang disebut elemen atau anggota himpunan, dan terdefinisi dengan jelas. Maksud dari terdefinisi dengan jelas adalah bahwa anggota-anggota himpunan dapat ditentukan secara jelas. Sebagai contoh, kumpulan dari semua provinsi-provinsi di Indonesia per Oktober 2013 merupakan suatu himpunan karena kita dapat menentukan dengan jelas anggota-anggota dari himpunan tersebut. Seperti kita tahu, Jawa Timur dan 33 provinsi lainnya merupakan anggota dari himpunan tersebut.

Akan tetapi, apakah kumpulan dari 5 film-film terbaik merupakan suatu himpunan? Karena kata terbaik dapat diinterpretasikan secara berbeda oleh orang yang berbeda, maka kumpulan tersebut tidak terdefinisi dengan jelas. Akibatnya, kumpulan dari 5 film-film terbaik bukan suatu himpunan.

Untuk menyatakan suatu himpunan dapat digunakan 3 cara: (1) dengan kata-kata atau deskripsi, (2) dengan mendaftar, dan (3) dengan notasi pembentuk himpunan. Cara menyatakan himpunan dengan kata-kata dapat diilustrasikan oleh contoh 1 berikut.

Contoh 1: Deskripsi dari Suatu Himpunan

Nyatakan dengan kata-kata suatu himpunan yang anggota-anggotanya Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, dan Minggu.

Jawaban Himpunan dari nama-nama hari dalam satu minggu.

Mendaftar anggota-anggota suatu himpunan ke dalam sepasang kurung kurawal, { }, merupakan cara menyatakan himpunan dengan mendaftar. Sepasang kurung kurawal tersebut merupakan notasi yang perlu karena kurung kurawal tersebut mengidentifikasikan konten yang dimaksud sebagai himpunan. Sebagai contoh, {1, 2, 3} merupakan notasi untuk himpunan yang memiliki anggota-anggota 1, 2, dan 3. Akan tetapi (1, 2, 3) dan [1, 2, 3] bukan suatu himpunan karena simbol ( ) dan [ ] tidak mengindikasikan suatu himpunan. Dalam penulisan himpunan dengan mendaftar, tanda koma digunakan untuk memisahkan anggota-anggota dari himpunan tersebut. Urutan dari anggota-anggota himpunan yang terdaftar tidak penting. Sehingga himpunan {1, 2, 3} dapat juga dituliskan sebagai {3, 2, 1} atau {2, 3, 1}.

Secara umum, himpunan dinamai dengan menggunakan huruf kapital. Sebagai contoh, himpunan bilangan asli biasanya dinamai dengan N.

Definisi: Bilangan AsliN = {1, 2, 3, 4, 5, …}

Tiga titik setelah bilangan 5, yang disebut sebagai elipsis, mengindikasikan bahwa anggota-anggota dalam himpunan tersebut akan berkelanjutan dalam pola yang sama. Apabila tanda elipsis tersebut diikuti oleh anggota/elemen terakhir, maka anggota himpunan tersebut akan berkelanjutan dengan pola yang sama sampai anggota terakhir tersebut. Notasi ini dapat diilustrasikan oleh contoh 2.1 berikut.

Contoh 2: Menyatakan Himpunan dengan Cara Mendaftar

Tulislah himpunan-himpunan berikut dengan cara mendaftar.

1. Himpunan A adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari 6.2. Himpunan B adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari atau sama

dengan 100.3. Himpunan P adalah himpunan planet-planet dalam tata surya.

Pembahasan

1. Bilangan asli yang kurang dari 6 adalah 1, 2, 3, 4, dan 5. Sehingga, himpunan A dapat dinyatakan dengan A = {1, 2, 3, 4, 5}.

2. B = {1, 2, 3, 4, … , 80}. Bilangan 80 setelah elipsis mengindikasikan bahwa anggota-anggota B berkelanjutan dengan pola yang sama sampai 80.

3. P = {Merkurus, Venus, Bumi, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus}. Pluto bukan anggota dari P karena pada Agustus 2006 Pluto digolongkan kembali sebagai planet kerdil.

Contoh 3: Kata Inklusif

Tulislah himpunan-himpunan berikut dengan cara mendaftar.

1. Himpunan bilangan asli di antara 3 dan 8.2. Himpunan bilangan asli di antara 3 dan 8, inklusif.

Pembahasan

1. A = {4, 5, 6, 7}2. B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Perhatikan bahwa kata inklusif mengindikasikan

bahwa bilangan-bilangan 3 dan 8 merupakan anggota B.

Selanjutnya kita akan membahas keanggotan dari suatu himpunan dan simbolnya. Perhatikan ilustrasi berikut.

Dari ilustrasi di atas, kita dapat menyatakan bahwa 1 anggota dari {1, 2, 3} dan 50 bukan anggota dari {1, 3, 5, … , 99}.

Notasi pembentuk himpunan digunakan untuk menyimbolkan suatu himpunan. Notasi pembentuk himpunan biasanya digunakan di aljabar. Perhatikan contoh penulisan notasi pembentuk himpunan berikut.

Perhatikan contoh penulisan himpunan ke dalam notasi pembentuk himpunan berikut.

Pernyataan di atas dapat dibaca sebagai “E adalah himpunan semua x sedemikian sehingga x bilangan asli dan x lebih besar dari 20.” Sehingga, himpunan E tersebut apabila dituliskan dengan cara mendaftar akan menjadi, E = {21, 22, 23, … }.

Contoh 4: Penggunaan Notasi Pembentuk Himpunan

Tulislah himpunan-himpunan berikut ke dalam notasi pembentuk himpunan.

1. B = {3, 4, 5, … , 97}2. C = {51, 53, 55, … , 149}3. D = {M, A, T, E, I, K}

Pembahasan

1. Himpunan B memiliki anggota-anggota 3, 4, 5, … , 97, yaitu bilangan-bilangan asli di antara 2 dan 98. Sehingga apabila dituliskan ke dalam bentuk notasi pembentuk himpunan akan menjadi,

2. Himpunan C memiliki anggota-anggota 51, 53, 55, … , 149, yaitu bilangan gasal di antara 51 dan 149. Karena bilangan gasal dapat dinyatakan dengan 2x – 1 untuk x bilangan asli maka himpunan C dapat dinyatakan dengan,

3. D = {x | x huruf-huruf penyusun kata “MATEMATIKA”}.

Suatu himpunan dikatakan hingga apabila himpunan tersebut tidak memiliki anggota atau himpunan tersebut memiliki anggota yang banyaknya berupa

bilangan asli. Himpunan F = {3, 6, 12, 24, 48, 96} merupakan himpunan hingga karena banyaknya anggota himpunan F adalah 6 yang merupakan anggota bilangan asli. Sedangkan himpunan yang tidak hingga disebut himpunan tak hingga. Salah satu contoh himpunan tak hingga adalah himpunan bilangan asli.

Konsep penting lainnya dari himpunan adalah kesamaan dari himpunan.

Definisi: Himpunan-himpunan SamaHimpunan A sama dengan himpunan B, disimbolkan dengan A = B, jika dan hanya jika himpunan A dan himpunan B memuat anggota-anggota yang tepat sama.

Sebagai contoh, jika A = {1, 2, 3} dan B = {2, 1, 3} maka A = B karena himpunan-himpunan tersebut memuat anggota-anggota yang tepat sama. Urutan anggota-anggota himpunan tersebut tidaklah penting. Jika dua himpunan sama, maka kedua himpunan tersebut memiliki banyak anggota yang sama. Banyaknya anggota dari suatu himpunan disebut sebagai bilangan kardinal.

Definisi: Bilangan KardinalBilangan kardinal dari himpunan A, disimbolkan dengan n(A), adalah banyaknya angota himpunan A.

Himpunan-himpunan A = {3, 9, 27} dan B = {17, Malang, Motor} memiliki bilangan kardinal 3, yaitu n(A) = n(B) = 3. Kita dapat menyatakan bahwa himpunan-himpunan A dan B memiliki bilangan kardinal yang sama.

Himpunan-himpunan yang bilangan kardinalnya sama disebut sebagai himpunan-himpunan yang ekuivalen.

Definisi: Himpunan-himpunan EkuivalenHimpunan A ekuivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika n(A) = n(B).

Semua himpunan-himpunan yang sama merupakan himpunan-himpunan yang ekuivalen. Akan tetapi himpunan-himpunan yang ekuivalen belum tentu merupakan himpunan-himpunan yang sama. Himpunan K = {x, y, z} dan L = {merah, buku, piring} merupakan dua himpunan yang ekuivalen, karena bilangan kardinal dari kedua himpunan tersebut adalah 3. Karena anggota-anggota himpunan K dan L berbeda, maka kedua himpunan tersebut bukanlah himpunan-himpunan yang sama.

Himpunan Kosong (Null Or Empty Set)

Beberapa himpunan tidak memiliki anggota, salah satu contohnya adalah himpunan dinosaurus yang hidup di tahun 2013.

Definisi: Himpunan KosongSuatu himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong dan disimbolkan sebagai { } atau Ø.

Perhatikan bahwa {Ø} bukan merupakan himpunan kosong. Himpunan ini memiliki anggota Ø dan bilangan kardinalnya adalah 1. Himpunan {0} juga bukan himpunan kosong karena himpunan tersebut beranggotakan 0. Himpunan {0} juga memiliki bilangan kardinal 1.

Contoh 5: Selesaian Bilangan Asli

Tentukan himpunan bilangan asli yang memenuhi persamaan x + 5 = 0.

Pembahasan Bilangan yang memenuhi pernyataan tersebut haruslah bilangan asli yang membuat persamaan tersebut bernilai benar. Hanya bilangan –2 yang memenuhi persamaan tersebut. Karena –2 bukan bilangan asli, maka himpunan selesaian dari persamaan tersebut adalah { } atau Ø.

Himpunan Semesta

Himpunan yang penting lainnya dalam konsep himpunan adalah himpunan semesta (universal set).

Definisi: Himpunan SemestaHimpunan semesta, disimbolkan dengan S, adalah suatu himpunan yang memuat semua anggota dari pembicaraan tertentu.

Ketika suatu himpunan semesta diberikan, hanya anggota-anggota himpunan semestalah yang harus diperhatikan untuk menyelesaikan suatu permasalahan. Sebagai contoh, jika himpunan semesta dari permasalahan tertenu adalah S = {1, 2, 3, … , 10}, maka hanya bilangan asli 1 sampai 10 yang harus digunakan dalam permasalahan tersebut

himpunanadalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangan yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan huruf kapital A, B, C, … sedangkan untuk menyatakan anggotanya digunakan huruf kecil a, d, c, …

Terdapat 4 cara untuk menyatakan suatu himpunan :

1. Enumerasi, yaitu dengan mendaftarkan semua anggotanya yang diletakan didalam sepasang tanda kurung kurawal dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh : A = {a, i, u, e, o}.

2. Simbol baku, yaitu dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh : P adalah himpunan bilangan bulat positif dan R adalah himpunan bilangan riil.

3. Notasi pembentukan himpunan, yaitu denganmenuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum dari anggota. Contoh : A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat positif}

4. Diagram venn, yaitu dengan menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki

himpunan semesta yang digambarkan dengan segi empat. Contoh :

 

Untuk lebih memahami diagram venn berikut ini beberapa contoh diagram venn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Selanjutnya untuk lebih memahami tentang himpunan pelajari juga operasi-operasi dalam himpunan berikut ini.

Operasi Himpunan dalam diagram venn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hukum dan Sifat-sifat Operasi Himpunan

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jenis-jenis himpunan

 

 

 

 

 

 

Perkalian Himpunan ( Cartesian Product )

Jika kita menemukan soal tentang perkalian himpunan kita dapat mengerjakan seperti contoh berikut :

Notasi:A x B = …???A = {a,b,c}B = {p,q}

A x B = {(a,p),(a,q),(b,p),(b,q),(c,p),(c,q)}

Catatan:(a,b) = (a,b)(a,b) K (b,a)

Himpunan Bilangan-Bilangan A+ A- Print

Di dalam matematika dikenal bermacam-macam bilangan seperti bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan cacah. Bilangan-bilangan tersebut secara skematik dapat dinyatakan sebagai berikut.

Skema himpunan bilangan

Bilangan-bilangan itu dapat dinyatakan dalam bentuk himpunan.a. Himpunan bilangan asli dengan A = {1, 2, 3, 4, ...}b. Himpunan bilangan cacah dengan C = {0, 1, 2, 3, ...}c. Himpunan bilangan bulat dengan B = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}d. Himpunan bilangan prima dengan P = {2, 3, 5, 7, ...}e. Himpunan bilangan genap dengan G = {0, 2, 4, 6, ...}f. Himpunan bilangan ganjil dengan J = {1, 3, 5, 7, ...}

Cara Menyatakan HimpunanMisalkan diketahui himpunan lima abjad yang pertama adalah a, b, c, d, dan e. Jika kelima abjad yang pertama ini dinyatakan dalam himpunan, maka himpunan itu harus diberi nama terlebih dahulu. Nama himpunan biasa ditulis dengan huruf kapital. Himpunan lima abjad yang pertama dapat ditulis sebagai berikut.

A = {a, b, c, d, e}

Di samping menyatakan suatu himpunan seperti pada contoh di atas, adakah cara lain untuk menyatakannya? Pada dasarnya ada tiga cara untuk menyatakan himpunan yaitu:

menyatakan dengan kata-kata; mendaftar (tabulasi); notasi.

1) Cara Menyatakan Himpunan dengan kata-kataUntuk menyatakan a, b, c, d, dan e sebagai himpunan dengan kata-kata adalah sebagai berikut.

A = himpunan lima abjad pertama

Untuk menuliskan 1, 2, 3, 4, dan 5 sebagai himpunan dengan kata-kata sebagai berikut.

B = himpunan lima bilangan asli yang pertama,

atau dapat ditulis

B = himpunan bilangan asli yang kurang dari 6.

2) Cara Menyatakan Himpunan dengan Mendaftar (Tabulasi)Cara menyatakan himpunan dengan mendaftar dilakukan dengan menuliskan anggota dari himpunan tersebut. Semua anggota himpunan ditulis dalam tanda kurung kurawal dan penyebutan anggota yang satu dengan yang lain dipisahkan dengan tanda koma. Perhatikan contoh berikut ini.

a) A = {2, 3, 5, 7, 9}b) M = {Bandung, Jakarta, Semarang, Surabaya}c) S = {Senin, Selasa, Sabtu}d) C = {1, 2, 3, 4, ...}

Menyatakan himpunan dengan cara seperti ini sangat cocok untuk himpunan yang jumlah anggotanya sedikit. Ada tiga hal yang perlu kalian perhatikan dalam menyatakan himpunan dengan cara mendaftar, yaitu sebagai berikut.

a) Anggota suatu himpunan yang muncul lebih dari satu kali, cukup ditulis sekali saja.b) Penulisan anggota himpunan boleh mengabaikan urutannya.c) Untuk himpunan yang jumlah anggotanya tak terhingga dan anggotanya mempunyai urutan tertentu dapat menggunakan tanda tiga titik (...).

3) Cara Menyatakan Himpunan dengan Menggunakan NotasiHimpunan yang dinyatakan dengan cara ini tidak disebutkan anggota-anggotanya. Yang disebutkan hanyalahsyarat atau aturan yang harus dipenuhi oleh suatu objek agar dapat menjadi anggota himpunan yang bersangkutan. Penyajian himpunan dengan cara ini dinamakan menggunakan notasi pembentuk himpunan. Penulisan dengan notasi pembentuk himpunan dinyatakan sebagai berikut.

A = {x|...., x ....}∈

Misalkan diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5}. Himpunan A dapat dinamakan sebagai himpunan lima bilangan asli pertama. Dengan cara notasi pembentuk himpunan ditulis dalam bentuk:

A = {x|x < 6, x bilangan asli}∈

Penotasian tersebut dibaca sebagai himpunan A dengan x kurang dari 6 dan x anggota bilangan asli. Selain penyataan himpunan dengan cara notasi seperti di atas, ada pula cara penotasian yang berbentuk sebagai berikut.

A = {(x, y)| .... , x, y bilangan ....}∈

Contoh:A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), ....} dapat dinyatakan dalam bentuk notasi sebagai berikut.

A = {(x, y)|x = y; x, y bilangan asli}∈

Contoh Soal:

Tentukanlah himpunan berikut dalam bentuk notasi pembentuk himpunan.a. A = {6, 7, 8, 9, 10}b. B = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)}c. C = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}

Penyelesaian:a. A = {x| 5 < x < 11, x bilangan asli}∈b. B = {(x, y)|y = x, x < 6, x, y bilangan asli}∈c. Notasinya ditentukan seperti diagram berikut ini.

Bentuk notasinya adalah C = {(x, y)|y = x + 1, x < 6, x bilangan asli∈