E-book Materi Hafalan Tpa

1 Pustaka Widyatama 2010

E-BOOK METERI HAFALAN TPA (FOKUS TES MATEMATIKA)


DASAR OPERASI BILANGAN DAN

BILANGAN ROMAWI

A. Hitung Campuran Urutanpengerjaanhitungcampuran:1. Jikadalamsoalterdapatperkaliandan

pembagian,makakerjakandarikirikekanan. 3x(5):15=(15):15=1 (100)x100:100:(100)

=(10000):100:(100)=(100):(100)=12. Jikadalamsoalterdapatperkalian,pembagian,

penjumlahan,ataupengurangan,makakerjakanperkalianataupembagiandahulu,barulanjutkanpenjumlahanataupengurangan.Contoh:381x12+100:201000=

1 2381 12 100:20 1000 4572 5 1000 3577 + = + =

3. Jika dalam soal terdapat tanda kurung, makakerjakan yang ada di dalam tanda kurungterlebihdahulu.

Contoh:1. 59.128+56x121008:9

=59.128+(56x12)(1008:9)=59.128+672112=59.800112=59.688

2. 427x(15+73)29.789=(427x88)29.789=37.57629.789=7.787

B. Bilangan Romawi

LambangBilanganRomawi Asli

IVXLCDM

1510501005001000

AturanPenulisana. SistemPengulangan

Pengulanganpalingbanyak3kali. BilanganRomawi yangbolehdiulang I,X,C,

danM. SedangyangtidakbolehdiulangVdanL.

Contoh:III=3IIII4melainkanIV=4VV10melainkanX=10

b. SistemPengurangan Jikabersebelahan,bilangankananharuslebih

besardaribilanganyangadadisebelahkiri. Dilakukanpalingbanyak1angka.

Contoh:IV=51=4IX=101=9XL=5010=40CM=1000100=900


c. SistemPenjumlahan Jika bersebelahan, maka bilangan kanan

harus lebih kecil dari bilangan yang ada disebelahkiri.

Dilakukanpalingbanyak3angka.Contoh:VII=5+1+1=7VIIII9(tidakdiperbolehkan:4kalipenambahan)XXXVIII=10+10+10+5+1+1+1=38

d. PenggabunganPenggabunganantarapengurangandanpenjumlahanContoh:XXIX=10+10+(101)=29MCMXCVII=1000+(1000100)+(10010)+5+1+1=1997

TambahanApabila suatu bilangan romawi diberi tandasetripsatudiatasmakadikalikan1.000.Apabilabertandasetripduadiatas,makadikalikan1.000.000.Contoh:V=5x1.000=5.000 C =100x1.000.000=100.000.000

PECAHAN DAN PERSEN

A. Pecahan Senilai Pecahansenilaiadalahbilanganpecahanyangnilainyasama.

Contoh:2 2x3 6

a. = =3 3x3 94 4x4 16

b. = =15 15x4 60

B. Menyederhanakan Pecahan Dengan menyederhanakan pecahan, akandidapatkan hasil yang terkecil dengan nilai yangsama.

Syarat:

a. Pembilangdanpenyebutberangkabesardanmasihdapatdibagi.

b. Pembilangdanpenyebutdibagidenganangkayangsama.

a a:n c= =

b b:n d

a axn c= =

b bxn d


c. Untukmenghasilkanhasilterkecil(sudahtidakbisadibagilagi),makapembaginyaadalahFPB(FaktorPersekutuan Terbesar) dari pembilang danpenyebut.

Contoh:4

=...12 FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) dari 4 dan 12adalah 4, maka pembilang dan penyebut dibagidengan angka 4 untuk mendapatkan hasil yangterkecil.

Diperoleh:4 4:4 1

= =12 12:4 3

C. Mengubah Pecahan PecahanBiasaDiubahkePecahanCampuranSyarat:Pembilanglebihbesardaripenyebut

Cara:Pembilang dibagi penyebut, hasilmenjadi bilanganbulatdansisanyasebagaipembilang.Contoh:

5 2a. =5:3=1sisa2,makajawabannya:1

3 3

26b. =26:4=6sisa2,

42 1

makajawabannya:6 atau64 2

PecahanCampuranDiubahkePecahanBiasa

Cara:Bilanganbulatdikalikanpenyebutditambahkanpembilangdanmenggantipembilangsebelumnya.

Contoh:

a. 3 (2x7)+3 172 = =7 7 7

b.2 (20x3)+2 62

20 = =3 3 3

D. Operasi Hitung Pecahan Biasa 1. Penjumlahan

Cara:Penyebutdaripecahandisamakanterlebihdahulu.UntukmenyamakanpenyebutdapatmenggunakanKPK(KelipatanPersekutuanTerkecil)darikeduapenyebut.

Contoh:3 5 9 20 29 5

18 6 24 24 24 24+ = + = =

2. PenguranganCara:Sama halnya dengan penjumlahan, penyebutdaripecahandisamakan terlebihdahulu.UntukmenyamakanpenyebutdapatmenggunakanKPK(Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari keduapenyebut.

b (axc)+ba =c c


Contoh:2 5 12 25 42 25

4 1 =4 1 =3 15 6 30 30 30 30

42 25 17=(31)+ =2

30 30 30

3. PerkalianCara:Mengalikan di kedua bagian secara langsung,pembilang dengan pembilang dan penyebutdenganpenyebut.Contoh:

a.3 1 3x1 3x = =

4 2 4x2 8 Sedanguntukmempercepat,bilaadayangdapatdiperkecilantarapembilangdanpenyebut,makadapatdisederhanakanterlebihdahulu.

b.3

4

4x

3=

5 5

4. PembagianCara:Untuk mendapatkan hasil bagi, maka harusdiubahmenjadiperkalianterlebihdahulu.Untukmengubahkeperkalian,pecahanyangmembagiharus dibalik posisinya antara pembilang danpenyebutterlebihdahulu.Contoh:

a. 3 1 3 2 6 3: = x = =4 2 4 1 4 2

b.1 1 9 13 9

4 :3 = : =2 4 2 4 2

4x

218 5

= =113 13 13

E. Operasi Hitung Pecahan Desimal 1. MenjumlahdanMengurangkanPecahan

Desimala. Jikamenemukansoalmenjumlahdanmengurang

kan pecahan desimal, kerjakan dengan carasusunkebawahdanurutkansesuaidengannilaitempat.

Contoh:

1. 9,25+5,6=14,85karena:

9,255,6_____14,85

+

2. 9,255,6=3,65karena :9,255,6_____3,65

b. Jikamendapatpengerjaangabungan,pecahanitudiubahmenjadipecahanbiasa.

Contoh: 15 2,75 35% ...4+ =

Diubahmenjadi:25 75 35 65

5 2 7 7,65 765%100 100 100 100

+ = = =

2. MengalikandanMembagiPecahanDesimala. Jika mendapatkan perkalian pecahan desimal,

kerjakandengancarasusunkebawah.Contoh:2,6x0,15=0,39karena: 2,6

0,15x 130 26 00+ 0,39


b. Jikamendapatkanpembagianpecahandesimal,kerjakandenganpembagiankebawah.

Contoh:3,6:12=0,3karena:

120,33,63,6___0

c. Jikamendapatkan pembagian pecahan desimaldengan pecahan desimal, bilangan pembaginyadiubahmenjadibilanganbulatlebihdahulu.Contoh:4,5:0,9=5karenadiubahmenjadi45:9=5

F. PECAHAN PERSEN (%) DAN PENERAPAN

Pecahan persen dikaitkan dengan perhitunganbungabank,potonganharga,labarugi,danlainlain.Contoh:1. ArdimenabungdibanksebesarRp250.000,00.

Diketahuibahwabesarbungabankadalah13%setahun. Berapa rupiah banyak tabungan Ardisetelah1tahun?Jawab:

Besarbungabank1tahun

=13100

xRp250.000,00=Rp32.500,00

BanyaktabunganArdisetelah1tahun =Rp250.000,00+Rp32.500,00=Rp282.500,002. Pak Sarwoko membeli motor seharga Rp

8.500.000,00. Pada saat dijual kembali hargamotor itu turun 15%.Berapa rupiah uang yangditerimaPakSarwokodarihasilpenjualanmotortersebut?

Jawab:

Turunharga =15100

xRp8.500.000,00

=Rp1.275.000,00UangyangditerimaPakSarwokodarihasilpenjualanmotortersebutadalah=Rp8.500.000,00Rp1.275.000,00=Rp7.225.000,00

3. AnungakanmembelisepasangsepatusehargaRp80.000,00.Diamelihatadalabeldiskon20%.Jadi,berapajumlahuangyangharusdibayarkanAnunguntukmembelisepatutersebut?Jawab:

Diskon=20100

xRp80.000,00=Rp16.000,00

JumlahuangyangharusdibayarkanAnunguntukmembelisepatutersebut =Rp80.000,00Rp16.000,00=Rp64.000,00


KPK DAN FPB

A. Bilangan Prima a. Bilangan prima adalah bilangan yang tepat

mempunyai2faktor,yaitubilangan1(satu)danbilanganitusendiri.Contoh:2mempunyaifaktor1dan2.3mempunyaifaktor1dan3.5mempunyaifaktor1dan5.7mempunyaifaktor1dan7.Jadi,bilanganprima=2,3,5,7,11,13,17,19,...

b. Faktorprimaadalahbilanganprimayangdapatdigunakanuntukmembagihabissuatubilangan.Contoh:Faktorprimadari18adalah2dan3.Faktorprimadari30adalah2,3,dan5.

c. Faktorisasiprimaadalahperkaliansemuabilanganprima yang merupakan faktor dari suatubilangan.Contoh:Faktorisasiprimadari32adalah=2x2x2x2x2=25Faktorisasiprimadari40adalah=2x2x2x5=23x5

B. FPB FaktorPersekutuanterBesar(FPB)dariduabilanganadalahhasilkalisemuafaktorprimayangsamadanpangkatterendah.Contoh:CariFPBdari84dan120.Penyelesaian:Cara I, dengan menentukan faktor kelipatannya,yaitu84 =1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,81.120 =1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,

60,120.Maka,FPBdari84dan120adalah12.CaraII,denganpohonfaktor

UntukmenentukanFPB tigabilangancaranyasamadengan FPBduabilangan.Caramenentukandapatdilaksanakandenganbeberapacara.Contoh:FPBdari72,96,dan144adalah24.Penyelesaian:Cara I: dengan menentukan faktor kelipatannya,yaitu72 =1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,7296 =1,2,3,4,6,12,24,32,48,96144 =1,2,3,4,6,8,12,18,24,36,48,72,144MakaFPBdari72,96,dan144adalah24.

22

3

84 2 3 7FPB 2 3 12

120 2 3 5

= = ==


CaraII:denganpohonfaktor

3 2

35

4 2

72 2 3

FPB 2 3 2496 2 3

144 2 3

= = == = Jadi,FPBdari72,96,dan144=24.

C. KPK Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) adalahbilanganasliyangmenjadikelipatanpersekutuanduabilanganataulebih.KPKduabilanganataulebihadalahperkaliansemuaangka faktor prima ditulis dan cari pangkat yangterbesar.Contoh:CariKPKdari84dan120.Penyelesaian:CaraI,denganmenentukankelipatanpersekutuannya,yaitu84 =84,168,252,420,504,588,672,756,840,...120 =120,240,360,480,600,720,840,960,...Maka,KPKdari84dan120adalah840.

CataII

Catatan:PenentuanKPKdenganpohonfaktoradalahperkaliandarisemuafaktorprimanya.Jikaadafaktoryangsama,ambilnilaipangkatyangtertinggi.

PERBANDINGAN DAN SKALA

A. Perbandingan Perbandinganadalahmembandingkansuatubesarandariduanilaiataulebihdengancarayangsederhana.Ditulis

PerbandinganDuaNilai

9

36

18

2

72

2

2

3 3

122

2

2

96

48

24

6

2

2

3

144

72

36

18

9

2

2

2

2

33

15

60

30

2

120

2

2

3 5

42

21

2

48

2

3 7

A CA :B C :Datau

B D= =

2 3

3

84 2 3 7 KPK 2 3 5 7

840120 2 3 5

= = ==

A :B p : q=


MencariAjikaBdiketahui. pA :B p : q A B

q= =

MencariBjikaAdiketahui. qA :B p : q B A

p= =

Mencariperbandinganjikajumlahnya(A+B)diketahui.

( ) ( )

A :B p : q

JikaA Bdiketahui, makap q

A A B B A Bp q p q

=+

= + = ++ +

Mencarinilaiperbandinganjikaselisihnya(AB)diketahui.

( ) ( )

A :B p : q

JikaA Bdiketahui, makap q

A A B B A Bp q p q

=

= =

Catatan:Nilaipqselalupositifkarenahanyamenunjukkanselisihnilaidiantarakeduanya.

Contoh:UangAdamdibandingkanuangDianadalah3:5.JikauangAdamRp75.000,00,berapakahuangDian?Penyelesaian:A :B 3: 5

5B Rp75.000,00 Rp125.000,00

3

== =

Jadi,uangDianRp125.000,00.

Contoh:PerbandinganbolaRdanTadalah5:10.Jikajumlahbolakeduanyaadalah450.Tentukan jumlahbolaRdanT!Penyelesaian:R:T=5:10R+T=450

5 5JumlahbolaR 450

5 10 15= =+ 450

305 30 150= =

10 10

JumlahbolaT 4505 10 15

= =+ 45030

10 30 300= =Jadi,jumlahbolaRada150boladanjumlahbolaTada300bola.PerbandinganTigaNilai

Jikajumlah(A+B+C)diketahui,maka,( )( )( )

pA A B C

p q rq

B A B Cp q r

rC A B C

p q r

= + ++ += + ++ += + ++ +

A :B : C p : q: r=


Jikajumlah(A+B)sajayangdiketahui,maka,( )( )( )

pA A B

p qq

B A Bp qr

C A Bp q

= ++= ++= ++

Jikajumlah(AB)sajayangdiketahui,maka,( )( )( )

pA A B

p qq

B A Bp qr

C A Bp q

= = =

Catatan:Nilaipqselalupositifkarenahanyamenunjukkanselisihnilaidiantarakeduanya.

Contoh:PerbandinganuangL:F:R=3:5:7.Jikajumlahuangmereka Rp 6.000.000,00, berapakah uangmasingmasing?Penyelesaian:L:F:R=3:5:7L+F+R=Rp6.000.000,00

3UangL 6000000

3 5 73

15

= + += 6000000 400000 3 400000 1200000= =

5UangF 6000000

3 5 75

15

= + += 6000000 400000 5 400000 2000000= =

7

UangR 60000003 5 75

15

= + += 6000000 400000 7 400000 2800000= =

Jadi,uangL =Rp1.200.000,00, uangF =Rp2.000.000,00,dan uangR =Rp2.800.000,00.

Contoh:PerbandingankelerengVani:Veri:Vita=3:5:7.JikaselisihkelerengVanidanVeriadalah50,berapakahkelerengmasingmasing?Penyelesaian:Vani:Veri:Vita=3:5:7VaniVeri=50

= =3 3

KelerengVani 503 5 2

50 = =25 3 25 75

= =3 5

KelerengVeri 503 5 2

50 = =25 5 25 125

= =7 7

KelerengVani 503 5 2

50 = =25 7 25 175 Jadi, kelereng Vani, Veri, dan Vita adalah 75, 125dan175.


B. Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai

Perbandingan dapat dikatakan sebagai bentuk laindaripecahan.Perbandingandibedakanmenjadidua,yaitu perbandingan senilai dan perbandinganberbaliknilai.1. PerbandingansenilaiPerbandingan senilai adalah perbandingan yangapabila nilai awalnya diperbesar, maka nilai akhirjuga akan semakin besar. Sebaliknya, apabila nilaiawaldiperkecilmakanilai akhir juga akanmenjadisemakinkecil.NilaiAwal(P) NilaiAkhir(Q)xy

Sebandingdengan

ab

Hubunganyangberlakudariperbandingandiatasadalah

x ay b= .

Grafikperbandingansenilaiadalah:

Contoh:Sebuahbesipanjangnya2,5mterletaktegaklurusdilapangan terbuka,bayanganbesi50cm.Di tempatyangsama,tentukanpanjangbayangansuatupohonjikapohontersebuttingginya30m.Pembahasan:2,5m=250cm30m=3000cm250 503000 x250x 50.3000

150000 15000x 600 cm

250 25

=== = =

Jadi,panjangbayangantersebut600cm.2. PerbandinganberbaliknilaiPerbandingan berbalik nilai adalah perbandinganyangbercirikanbilanilaiawaldiperbesarmakanilaiakhirmenjadi lebihkecil.Sebaliknya,bilanilaiawaldiperkecilmakanilaiakhirmenjadilebihbesar.NilaiAwal(P) NilaiAkhir(Q)xa

Sebandingdengan

yb

Hubunganyangberlakuadalah x ab y= .

Bentukgrafikperbandinganberbaliknilaiadalah:

Y

X0

Y

X0


Contoh:Suatupekerjaandapatdiselesaikanoleh15orangdalamwaktu3bulan.Jikapekerjaantersebuthanyadikerjakan9orang,berapalamapekerjaantersebutdapatdiselesaikan?Pembahasan:Perbandingan yang berlaku di sini adalahperbandinganberbaliknilai,yaitu:3 9x 15= 3.15=9x 45=9x x= 45

9

Jadi, waktu yang dibutuhkan 9 pekerja untukmenyelesaikanpekerjaanselama5bulan.

C. Skala Perbandingan pada Gambar

Dengan:a:jarakpadagambar b:jaraksebenarnyaContoh:Skalapeta1:10.000.Artinya jika jarak peta adalah 1 cm, maka jaraksebenarnyaadalah10.000cm.

Rumus:

Contoh:Diketahuiskalapetaadalah1:30.000.JikajarakkotaAdanBdipeta5cm,berapakahkotaAdankotaB?Penyelesaian:Skalapeta1:30.000JarakkotaAkekotaB=5cm.

5Jaraksebenarnya 30000 150000cm

1= =

Jadi,jaraksebenarnyakotaAkekotaBadalah150.000cm=1,5km.Contoh:Padadaerahberskala1:500,tergambarsebuahlapanganyangberbentukpersegipanjangdenganukuran14cmdanlebar9cm.Berapakahm2luaslapangantersebut?Penyelesaian:Panjangpadagambar=14cm,Lebarpadagambar=9cm.Skala=1:500.Maka,

14Panjangsebenarnya 500 7000cm 70m

1= = = 9

Lebarsebenarnya 500 4500cm 45m1

= = =

2

Luassebenarnya panjangsebenarnya lebarsebenarnya

70 45 3150m

= = =

Jadi,luaslapangansebenarnya=3.150m2.

Jaraksebenarnya=skalaxjarakpadagambar

a: b


SATUAN PENGUKURAN

A. Satuan Ukuran Berat Satuan ukuran berat digunakan untukmengetahuiberat suatu benda. Alat untuk mengukur beratbendaadalahtimbanganatauneraca.

Satuanukuranberatlainnya1kwintal=100kg =100.000 gr1ton = 10kuintal = 1.000 kg1pon = 0,5kg = 500 gr1ons = 1hg = 0,1 kg =100gr1kg =10ons =2pon

Contoh:1. 30dg=...mg.

Penyelesaian:30dg=30x100mg=3.000mg.

2. 3.500gr=...hg.Penyelesaian:Darigrkehgnaik2tangga,makadibagidengan100.3.500g=3.500:100hg=35hg.

3. 2kg+4hg+7ons+12gr+6pon=...gr.Penyelesaian:2kg =2x1000gr=2.000gr4hg =4x100gr =400gr7ons =7x100gr =700gr6pon=5x500gr =3.000grMaka,2kg+4hg+7ons+12gr+6pon=2000gr+400gr+700gr+12gr+3.000gr=6.112gr.

B. Satuan Ukuran Panjang Satuanukuranpanjangdigunakanuntukmengukurpanjang ruas garis, keliling bangun datar, panjangsisi bangun ruang dan jarak tempuh. Alat yangdigunakanuntukmengukurpanjangadalahmeteran(penggaris dan rol meter). Berikut adalah satuanukuranpanjangdalamsistemmetrik.


Satuanukuranpanjanglainnya1inci =2,45cm1kaki =30,5cm1yard =91,4cm1mikron =0,000001m1mil(dilaut) =1.851,51m1mil(didarat) =1.666m1mil(diInggris)=1.609,342mContoh:1. 45dm=...mm.

Penyelesaian:Daridmkemm turun2 tangga,makadikalikandengan100.45dm=45x100mg=4.500mg.

2. 1.750m=...hm.Penyelesaian:Darimkehmnaik2tangga,makadibagidengan100.1.750m=1.750:100hg=17,5hm.

3. 5,5km+4hm+30dm=...m.Penyelesaian:5,5km=5,5x1000m=5.500m4hm=4x100m=400m30dm=30:10m=3mMaka,5.500m+400m+3m=5.903m.

C. Satuan Ukuran Luas Satuanukuranluasdigunakanuntukmenentukanluassuatupermukaan.Satuanukuranluasdinyatakandalambentukpersegiataupangkatdua.

Contoh:1. 17km2=...dam2.

Penyelesaian:Darikm2kedam2turun2tangga,makadikalikandengan10.000.17km2=17x10.000dam2=170.000dam2.

2. 100m2=...dam2.Penyelesaian:Dari m2 ke dam2 naik 1 tangga, maka dibagidengan100.100m2=100:100dam2=1dam2.


3. 5km2+41hm2+1.300dm2=...m2.Penyelesaian:5km2=5x1.000.000m2=5.000.000m241hm2=41x10.000m2=410.000m21.300dm2=1.300:100m2=13m2Maka,5km2+41hm2+1.300dm2=5.000.000m2+410.000m2+13m2=5.410.013m2.

D. Satuan Ukuran Luas (Are) Selaindalambentukpersegi,dikenalpulasatuanluasdalambentukare.Perludiingat1ka =10ha 1a=1dam21ha =1hm2 1ca=1m2

Contoh:1. 19are=...ca.

Penyelesaian:Dari are ke ca turun 2 tangga,maka dikalikandengan100.19are=19x100ca=1900ca.

2. 750da=...ha.Penyelesaian:Daridakehanaik3tangga,makadibagidengan1000.750da=750:1000ha=0,75ha.

3. 9km2+33ha+2are=...m2.Penyelesaian:9km2=9x1.000.000m2=9.000.000m233ha=33hm2=33x10.000m2=330.000m22are=2dam2=2x100m2=200m2Maka,9km2+33ha+2are=...m2=9.000.000m2+330.000m2+200m2=9.330.200m2.

E. Satuan Ukuran Volume Satuanukuranvolumedigunakanuntukmengetahuiisi suatubenda ataubangun ruang. Satuanukuranvolume dinyatakan dalam bentuk kubik (pangkattiga).Perludiingat,1m3 =1mx1mx1m1km3 =1000hm31km3 =1.000.000dam31mm3 =0,001cm31mm3 =0,000001dm3


Contoh:1. 56dam3=...dm3.

Penyelesaian:Dari dam3 ke dm3 turun 2 tangga,maka dikalidengan1.000.000.56dam3=56x1.000.000dm3=56.000.000dm3.

2. 17.500m3=...hm3.Penyelesaian:Dari m3 ke hm3 naik 2 tangga, maka dibagidengan1.000.000.17.500 m3 = 17.500: 1.000.000 hm3 = 0,0175hm3.

3. 0,0013m3+70dm3940cm3=...cm3.Penyelesaian:0,0013m3 = 0,0013 x 1.000.000 cm3 = 13.500cm370dm3=70x1.000cm3=70.000cm3Maka,13.500cm3+70.000cm3940cm3=84.440cm3.

F. Satuan Ukuran Liter Perludiingat1kl=10hl1kl=1.000l1kl=1m31l=1dm3=1.000cm31cm3=1ml=1ccContoh:1. 15dal=...cl.

Penyelesaian:Daridalkeclturun3tangga,makadikalikandengan1000.15dal=15x1000cl=15.000cl.

2. 175l=...hl.Penyelesaian:Dari l ke hl naik 2 tangga,maka dibagi dengan100.175l=175:100hl=0,175hl.


3. 0,6kl+4,3hl+130cl=...dm3.Penyelesaian:0,6kl=0,6x1000dm3=600dm34,3hl=4,3x100dm3=430dm3130cl=130:100dm3=1,3dm3Maka,600+430m+1,3m=104,33dm3.

G. Satuan Ukuran Debit Rita akan mengisi sebuah ember dengan air darikeran.Dalamwaktu1menit,embertersebutterisi6literair.Artinya,debitairyangmengalirdarikeranituadalah6liter/menit,ditulis6liter/menit.Satuandebitbiasanyadigunakanuntukmenentukanvolumeairyangmengalirdalamsuatusatuanwaktu.Contoh:1. Sebuah kolam diisi air dengan menggunakan

pipa yangdebitnya1 liter/detik.Artinya,dalamwaktu1detikvolumeairyangmengalirdaripipatersebutadalah1liter.

2. DebitairyangmengalirpadapintuairManggaraiadalah 500 m3/detik. Artinya, dalam waktu 1detikvolumeairyangmengalirmelaluipintuairManggaraiadalah500m3.

Satuan debit yang sering digunakan adalahliter/detikdanm3/detik.

Ingat, 3 31

1liter 1dm m1000

= = .

Jadi, 31

1liter /detik m /detik1000

= .

Contoh:Ubahlahsatuandebitm3/detikmenjadiliter/detik.Penyelesaian:Caranya dengan mengalikan kedua ruas padapersamaantersebutdengan1.000.

=

= ==

3

3 3

3

11liter /detik 1000 m /detik 1000

10001000

1000liter /detik m /detik 1m /detik1000

atau1m /detik 1000liter /detik

H. Satuan Ukuran Waktu Adabeberapajenissatuanwaktuyang harus kita ingat, yaitusebagaiberikut.Contoh:1abad =10dasawarsa =100tahun1dasawarsa =10tahun1windu =8tahun1lustrum =5tahun1tahun =12bulan =52minggu =365hari1semester =6bulan1caturwulan=4bulan1minggu =7hari1hari =24jam1jam =60menit1menit =60detik1jam =60menit =3.600detik


JumlahharipadatiaptiapbulanJanuari =31hariFebruari =28hari(29haripadatahunkabisat)Maret =31hariApril =30hariMei =31hariJuni =30hariJuli =31hariAgustus =31hariSeptember =30hariOktober =31hariNovember =30hariDesember =31hariJumlah =365hari(366hariuntuktahunkabisat)Tahunkabisatadalahtahunyanghabisdibagi4.Contoh:1996,2000,2004,dll.Contoh:1. 3windu+5dasawarsa+24bulan=...tahun.

Penyelesaian:3windu=3x8tahun=24tahun5dasawarsa=5x10tahun=50tahun24bulan=24:12=2tahunMaka,24+50+2=76tahun

2. 7jam+40menit+55detik=detik.Penyelesaian:7jam=7x3.600detik=25.200detik40menit=40x60detik=2400detikMaka,25.200+2.400+55detik=27.655detik.

I. Satuan Ukuran Suhu Suhumenunjukkanderajatpanassuatubenda.Alatuntuk mengukur suhu atau perubahan suhu yaitutermometer.

4 jenis satuanpengukuran suhu, yaituCelcius (oC),Reamur (oR), fahrenheit (oF) dan Kelvin (K). Untukpenulisan satuan ukuran suhu Kelvin tidak diikutisimbolderajat.PerbandingansatuanpengukuransuhuC:R:(F32)=5:4:9

00

0


Contoh:1. 175 C ... F =

Penyelesaian:9 9

F C 32 175 32 315 32 347 F5 5

= + = + = + = Jadi,175 C 347 F =

2. 131 F ... R = Penyelesaian:

( ) ( ) = = = =

4 4R F 32 131 32

9 94

99 449

Jadi, = 131 F 44 R

J. Satuan Ukuran Jumlah (Kuantitas) Satuankuantitasdigunakanuntukmenghitungbanyakbarang.Satuankuantitasyangbiasadigunakanadalahlusin,gros,kodi,danrim.Hubungansatuankuantitastersebutadalah:1gros=12lusin=144biji/batang1lusin=12biji1kodi=20lembar1rim =500lembarRim

Rimmerupakansatuanyangbiasanyadigunakanuntukmenunjukkanbanyaknyakertas.1rim=500lembar

Kodi

Kodimerupakansatuanyangbiasanyadigunakanuntukmenunjukkanbanyaknyapakaian.1kodi=20buah

Lusin

Lusinmerupakansatuanyangbiasanyadigunakanuntukmenunjukkanbanyaknyasuatubarang,sepertigelas,piringdansendok.1lusin=12buah

( )( )

=

= = + = +

=

= = +

4R C

55

C R49 9

F C 32 R 325 44

R F 3295

C F 329

K C 273


GrossGrossmerupakansatuanyangbiasanyadigunakanuntukmenunjukkanbanyaknyasuatubarang,sepertialattulis(pensil,spidol,pena)sertaalatjahit(benangatauresliting).1gross=144buah=12lusin

Contoh:1. 5gross+5lusin=...buah.

Penyelesaian:5gross=5x144biji=720buah5lusin=5x12biji=60bijiMaka,720+60=780biji.

2. 7lusin+4gross+55buah=...kodi.Penyelesaian:

77lusin 12buah 4,2kodi

204

4gross 144 28,8kodi2055

55buah 2,75kodi20

= =

= =

= =

Maka,4,2+28,8+2,75=35,75kodi.

JARAK DAN KECEPATAN

A. Pengertian

Kecepatan adalah besarnya jarak atau panjanglintasandibagidenganwaktu.Alat yangdigunakanuntuk mengukur besarnya kecepatan disebutspeedometer.

Jarak=kecepatanxwaktuWaktu=jarak:kecepatanKecepatan=jarak:waktu

Satuankecepatan =km/jamSatuanwaktu =jamSatuanjarak =km

Contoh:1. MotorAndimelajuselama4jam.Jikakecepatan

rataratanya 80 km tiap jam, maka jarak yangditempuhadalah...Penyelesaian:

Jarak=kecepatanxwaktu =80km/jamx4jam=320km2. Jarak kota Yogyakarta Semarang 50 km. Beni

naik sepeda dengan kecepatan 15 km per jamtanpa berhenti. Berapakah waktu yangdiperlukanBeniuntukmenempuh YogyakartaSemarang?


Penyelesaian:

jarak 50km 1

Waktu 3 jamkecepatan 15km/ jam 33jam20menit

= = ==

3. Jarak rumah A B = 100 km, ditempuh olehCecepdenganwaktu2 jam.KecepatanratarataCecepmenempuhjarakituadalah...km/jam.Penyelesaian:

jarak 100kmKecepatan 50km/ jam

waktu 2jam= = =

B. Berpapasan dengan Waktu Berangkat Sama

Langkahlangkah:jarak

Waktuberpapasanjumlahkecepatan

= Berpapasan=waktuberangkat+waktudijalanJarakbertemu,

biladariA,jarak=kecepatanAxwaktu. biladariB,jarak=kecepatanBxwaktu

Contoh:JarakSemarangJakarta250km.Andi naikmobil dari Semarang ke Jakarta dengankecepatan60km/jam.Budi naik sepedamotor dari Jakarta ke Semarangdengankecepatan40km/jam.Jika mereka berangkat berbarengan pada pukul07.00,maka:a. Pukulberapamerekaberpapasan?b. Pada jarak berapa dari Semarang mereka

berpapasan?

Penyelesaian:Waktu jarak : jumlahkecepatan

250km 250km60km/jam+40km/jam 100km/jam2,5jam 2jam30menit

== == =

a. Merekaberpapasanpukul07.00+02.30=09.30b. MerekaberpapasanpadajarakdariSemarang

=kecepatanAndi waktu=60km/jamx2,5jam=150km

C. Berpapasan dengan Waktu Berangkat Tidak Sama

Langkahlangkah:1. Mencari jarak yang telah ditempuh A (orang

pertama).2. Mencarisisajarakyangbelumditempuh,yaitu

Sisa jarak = jarak ditempuh jarak sudahditempuh.

3. Mencarijumlahkecepatan,yaitukecepatanA+kecepatanB(orangkedua)

4. jarakWaktuberpapasanjumlahkecepatan

= Selanjutnyaditambahkanwaktuberangkatorangkedua.

Contoh:JarakkotaXkekotaY65km.AnggiberangkatdarikotaXkekotaYpukul07.00dengansepedamotoryang berkecepatan 40 km/jam. Adam berangkatdarikotaYkekotaXpukul07.30denganmobilyangberkecepatan50km/jam.


a. Pukulberapamerekaberpapasandijalan?b. PadakmkeberapadarikotaXmerekabertemu?Penyelesaian:1. JarakyangsudahditempuhAnggi =(07.3007.00)x40km/jam =30menitx40km/jam=0,5jamx40km/jam =20km2. Sisajarak=65km20km=45km3. Jumlahkecepatan =40km/jam+50km/jam=90km/jam4. Waktuberpapasan

jarakWaktuberpapasan

jumlahkecepatan45km

0,5jam90km/ jam30menit

=

= ==

Jadi,

a. Merekaberpapasanpukul07.30+00.30=08.00b. JarakdarikotaX=(0,5jamx40km/jam)+20km =20km+20km=40km

D. Susul Menyusul

Langkahlangkah:1. Mencari selisihwaktuberangkatorangpertama

(A)danorangkedua(B).2. MencarijarakyangtelahditempuhA.3. Mencariselisihkecepatan.4. Mencarilamadijalan=

jarakyangtelahditempuhAselisihkecepatan

5. Menyusul=waktuberangkatB+lamadijalan.

Contoh:Ceplis naik sepeda dari Yogya ke Semarang. Iaberangkat pukul 07.00 dengan kecepatan 40km/jam. Dari Yogya, Doni menyusul dengankecepatan 60 km/jam pukul 07.45. Pukul berapaDonimenyusulCeplis?Penyelesaian:1. Selisihberangkat=07.4007.00=45menit =jam2. JarakyangsudahditempuhCeplis =jamx40km/jam=30km3. Selisihkecepatan=60km/jam40km/jam

=20km/jam4. Lamadijalan

30km1,5jam 1jam30menit

20km/jam= =

Jadi,DonimenyusulCeplispukul =07.45+01.30 =09.15.


= = =

= = +

Bungaselama1tahun M B%Bungaselamattahun M B% t

BBungaselama1bulan M %

12B

Bungaselama tbulan M % t12

Jumlahtabungan M Bunga

ARITMATIKA SOSIAL

A. Untung dan Rugi

Untung adalah hasil dari seorang pedagang yangmenjualbarangdagangannyalebihtinggidarihargapembelian.Rugi adalah hasil dari seorang pedagang yangmenjual barang dagangannya lebih rendah darihargapembelian.

Catatan:Hargabelibiasadisebutsebagaimodal.Sehingga,

B. Bunga Tunggal Jika, uang yang ditabung mulamula = M rupiah,bunga tunggal = B % tiap tahun, dan waktumenabung=ttahun.Maka,

Contoh:Pedagang buah apel fuji super membeli denganhargaRp20.000,00perkilogram.Jikaapeltersebutdijual dengan harga Rp 25.000,00 per kilogram,makaa. Untungataurugipedagangtersebut?b. Jikauntung,berapakeuntungannya?Danjika

rugi,berapakerugiannya?Penyelesaian:a. HargapembelianRp20.000,00.

HargapenjualanRp25.000,00.Maka,Hargapembelian


C. Persentase Untung dan Rugi Persentaseuntungrugihargapembelian

Contoh:AdammenjualrotidenganmodalRp80.000,00danhasil yang didapat dari penjualan roti adalah Rp120.000,00.BerapapersenkeuntunganAdam?Penyelesaian:Keuntungan =Hargajualmodal =Rp120.000,00Rp80.000,00 =Rp40.000,00

Untung 40000PersentaseUntung 100% 100%

Modal 800001

100% 50%2

= =

= =

Jadi,keuntunganAdam50%.

D. Menentukan Harga Pembelian dan Penjualan dari Persentase Kerugian atau Keuntungan

Contoh:Seorangpedaganges keliling setiapharimendapatkeuntungan 30 % atau Rp 18.000,00. Hitunglahhargapembeliandanpenjualannya!Penyelesaian:Persentaseuntung=30%.Besarnyakeuntungan=Rp18.000,00

100% 1.800.000Pembelian 18.000 60.000

30% 30= = =

Penjualan=pembelian+untung=Rp60.000,00+Rp18.000,00=Rp78.000,00

Jadi,hargapembelianRp60.000,00dandijualdenganhargaRp78.000,00.

100%Pembelian Untung

PersenUntung100%

UntungPersenRugi

=

=

( )

( )Penjualan untung Pembelian Untung

Penjualan rugi Pembelian Rugi

= +=

UntungPersentaseUntung 100%

HargaPembelianUntung

100%Modal

=

=

RugiPersentaseRugi 100%

HargaPembelianRugi

100%Modal

=

=


E. Rabat, Bruto, Netto dan Tara

Contoh:Pada sebuah kantong semen yang sering kita lihatterdapat tulisannetto50kg. Jikaberatkantongnya300gram,berapabrutonya?Penyelesaian:Netto=50kg.Tara =300gram=0,3kg.Bruto =Netto+Tara =50kg+0,3kg =5,3kgJadi,beratbrutosemenadalah5,3kg.

Bruto =Netto+TaraNetto =BrutoTaraTara =BrutoNetto

Rabat =potonganharga(diskon)Bruto =beratkotorNetto =beratbersihTara =selisihbrutodannetto


HI MPUNAN

A. Himpunan Kosong, Himpunan Nol, dan Himpunan Semesta

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidakmemiliki anggota. Himpunan kosong dinotasikandenganatau{}.Himpunan nol adalah himpunan yang beranggotakanhimpunannol.Himpunannoldituliskan{0}.Contoh:1. A= {siswa kelasVIII yangmemiliki tinggi lebih

dari3meter},artinyaA=atauA={}.2. X= {bilangan ganjil yang habis dibagi dengan

2},artinyaX=atauX={}.3. B= {bilangancacahkurangdari1},artinyaB=

{0}.Himpunan semesta adalah suatu himpunan yangmemuat semua anggota dalam pembicaraan.HimpunansemestadilambangkanS.Contoh:1. A={a,b,c,d,e}danX={f,g,h,i},makaS={a,

b,c,d,e,f,g,h,i}atauS={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}.

2. B= {1,2,3},makaS= {bilanganasli}atauS={bilanganbulat}.

B. Himpunan Bagian

JikasetiapanggotahimpunanAmerupakananggotahimpunanBmakaAdisebuthimpunanbagianatausubsetB.Penulisannotasihimpunanbagiansepertiberikut.9 A B dibacaAhimpunanbagianB.9 A B dibacaAbukanhimpunanbagianB.

Sifat9 Himpunankosongmerupakanhimpunanbagian

darisetiaphimpunan,dituliskan A .9 Setiap himpunan adalah himpunan bagian dari

himpunanitusendiri,dituliskan A A .Jika jumlah anggota suatu himpunan A adalahn(A)=N,makabanyaknyaanggotahimpunanbagiandariAsebanyak2N.Contoh:P={c,b,f},himpunanbagianPadalah{c},{b},{f},{c,b},{c,f},{b,f},{c,b,f}dan{}.Jadi, banyaknya himpunan bagian P adalah 23 = 8,termasuk himpunan kosong ({ }) dan P itu sendiri,yaitu{c,b,f}.


C. Diagram Venn dan Hubungan Antarhimpunan

Diagram Venn adalah diagram yang digunakanuntukmenunjukkanhubunganantaraduahimpunanataulebih.Beberapa hubungan antarhimpunan berikut dapatditunjukkandengandiagramVenn.a. Salinglepas

DuahimpunanXdanYdikatakan saling lepasjika tidak ada satu pun anggota himpunan XyangmenjadianggotahimpunanY.Begitujugasebaliknya.Contoh:X={1,4,5}danY={p,q,r}Jadi, X dan Y saling lepas, dan hubungan inidapat dinyatakan dengan diagram Vennberikut.

b. Berpotongan(Beririsan)HimpunanXdanYdikatakanberpotonganatauberirisan jika ada anggota himpunan X yangmenjadianggotahimpunanY.

Contoh:X={p,r,i,n,c,e},Y={p,a,r,i,s},diagramVennnyaadalah:

c. HimpunanbagianSuatu himpunan yang seluruh anggotanyamerupakan bagian dari himpunan yang lain.DinotasikanX Y .Contoh:HimpunanX={1,3,5}danY={1,2,3,4,5}.DiagramVennnyaadalah:

d. HimpunanekuivalenDuahimpunanXdanYdikatakanekuivalenbilan(X) = n(Y). Himpunan X dan Y yang salingekuivalendinotasikanX~Y.Contoh:X={p,e,r,s,i,b},Y={t,e,r,t,i,b}Karenan(X)=n(Y)=6,makaX~Y.

e. Himpunanyangsama

Dua himpunan X dan Y dikatakan sama jikasetiap anggota himpunan X merupakan

145

pqr

X Y

X Y

niciei

piri ji

aisi

S

S

1i3i5i

X

aisi

Y


anggota himpunan Y. Begitu juga sebaliknya.NotasinyaadalahA=B.Contoh: X={bilangancacahantara2dan8}Y={bilanganasliantara2dan8}DiagramVenn:

Jadi,X=Y={3,4,5,6,7}

D. Operasi Himpunan Operasiantarhimpunandiantaranyaadalahoperasiirisan,gabungan,dankomplemen.1. Irisan(Intersection)

IrisanhimpunanXdanYadalahhimpunanyanganggotanya merupakan anggota X dan jugaanggotaY.Dinotasikan:X Y dibacairisanhimpunanXdanYContoh:X={p,r,i,n,c,e},Y={p,a,r,i,s}.DiagramVenn:

X Y {p, r, i} = .2. Gabungan(Union)

Gabungan adalah himpunan yang anggotaanggotanya merupakan gabungan darianggotaanggotahimpunanyanglain.Dinotasikan:X Y ,dibacaXunionYataugabungandariXdanY.Contoh:X={s,i,u,n,g},Y={i,n,d,a,h}

DiagramVenn:

3. Komplemen

KomplemensuatuhimpunanXadalahhimpunanyanganggotanyabukananggotahimpunanA,ditulisXc.Contoh: X ={himpunanbilanganaslikurangdari9}Y ={himpunanbilanganprimakurangdari12}

SX Y

3i 4i5i6i7i


ArtinyaYc={1,4,6,8}

E. Sifat-sifat Operasi Himpunan

Operasiantarhimpunanmempunyai sifatkomutatifdanassosiatif.

1. Komutatif( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

X Y Z X Y Z

X Y Z X Y Z

X Y Z X Y X Z

= = =

X Y Y X =

2. Assosiatif( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

X Y Z X Y Z

X Y Z X Y Z

X Y Z X Y X Z

= = =

F. Hukum De Morgan

PadaoperasihimpunanberlakuhukumDeMorganberikut.

( )( )

c c c

c c c

X Y X Y

X Y X Y

= =

G. Jumlah Anggota Himpunan

Perhatikan diagram Venn dari himpunan X danhimpunanYberikut.

Diperolehhubunganberikut.( ) ( ) ( ) ( )n X Y n X n Y n X Y = +

Sedangkanuntuktigahimpunan,akandigunakanrumus:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )n X Y Y n X n Y n Z n X Y n X Z

n Y Z n X Y Z

= + + +

S X

2i 2i 4i

Y


Contoh Soal

1. Diketahuin(S)adalahbanyaknyaanggotahimpunansemesta.Jikan(X)=a;n(Y)=b;dann(XY)=c,makan(XY)=....

Jawab: n(X)=a;n(Y)=b,dann(XY)=c,maka

denganrumusgabunganduahimpunandiperoleh:

( ) ( ) ( ) ( )n X Y n X n Y n X Y = + ( )n X Y a b c = + 2. Bentuksederhanadari ( ) ( )C A A B

adalah....Jawab:Carapertama,menggunakansifat: ( ) ( ) ( ) ( )C A A B A B C A = ( ) ( )A B A C= ( )A B C= Ataudengancarakedua,yaitudenganmelihatdiagramVennuntukbentuktersebut,yaitu:

Daerahyangdiarsiradalahbentukdari:( ) ( )C A A B ,dandaerahtersebut

( )A B C=

3. Dari40orang,16orangmemeliharaburung,21memeliharakucing,dan12orangmemeliharaburung dan kucing. Jumlah orang yang tidakmemelihara burung ataupun kucing adalahsebanyak...orang.Jawab:S={banyaknyaanak} n(S)=40B={anakyangmemeliharaburung} n(B)=16C= {anakyangmemeliharakucing} n(C)=21B C = {anak yang memelihara burung dankucing} n(B C) =12DiagramVenn:

Jika ( )B C = {jumlah seluruh anak yangmemelihara burung digabung dengan jumlahyangmemeliharakucing},maka ( ) ( ) ( ) ( )n B C n B n C n B C = + ( )n B C 16 21 12 25 = + = Dan ( )cB C = {anakyangtidakmemeliharaburungataupunkucing}

( ) ( ) ( )cn B C n S n B C = 40 25 15= =

( )C C CB C B C =


o90 + =

o180 + =

Artinya, jumlah anak yang tidak memeliharaburungataupunkucingadalah15orang.

HUBUNGAN ANTAR SUDUT

A. Hubungan Antarsudut Hubungan antarsudut ada bermacammacam, diantaranyasudutsalingberpenyiku(berkomplemen),sudut saling berpelurus (bersuplemen), sudutbertolak belakang, sudut sehadap, sudutberseberangan,sudutelevasi,dansudutdepresi.Sudutsalingberpenyiku/komplemenDuasudut dan salingberpenyikujikaberlaku:

Sudutsalingberpelurus/suplemenDuasudut dan salingberpelurusjikaberlaku:

Sudutbertolakbelakangsamabesar

Perhatikangambar:1 bertolak belakang dengan 3 1 3

2bertolak belakang dengan 4 2 4

= =

SudutsehadapsamabesarUntukmemahamisudutsehadapsamabesar,perhatikanpenjelasangambarberikut:

o 1 1 1 1A sehadap denganB A B = o 2 2 2 2A sehadap denganB A B = o 3 3 3 3A sehadap denganB A B = o 4 4 4 4A sehadap denganB A B =

2

43

1

A B2

4 31

B

A 24 3

1


SudutberseberangansamabesarPerhatikanpenjelasangambarberikut!

4 2 4 2X berseberangandengan Y X Y = 3 1 3 1X berseberangandengan Y X Y =

SudutelevasidansudutdepresiPadagambardibawah, merupakansudutelevasi,dan merupakansudutdepresi.

B. Besar Sudut pada Bangun Datar Jumlahsudutpadasegitiga

Jumlahsudutsegiempat

SudutsudutpadaseginberaturanBesartiapsudutpadaseginberaturanadalah:

( ) on 2 180

n

Contoh Soal 1. Besartiapsudutpadasegi6beraturanadalah:

( ) on 2 180n

=( ) = = o6 2 180 4 180 120

6 6

2. Perhatikangambarberikut.

JikapadagambardiatasgarisAC//BD,makabesarsudutDBEadalah....Pembahasan:GarisAC//BD,makaCAB=DBE(merupakanpasangansudutsehadap)ACB=CBD=45o(pasangansudutberseberangan)

JumlahsudutpadaSegitiga:

180oA B C + + =

JumlahsudutpadaSegiempat:

o

A B C D

360

+ + += A B

24 3

1B

A 24 3

1

A B

C

A B

D

E

O45

C

O65

A B

CD


oCBA CBD DBE 180 + + =

( )o o o

o o

o o o

65 45 DBE 180

DBE 180 65 45

DBE 180 110 70

+ + = = + = =

3. Besarsudutyangdilewatijarumpendeksebuah

jarumjamdaripukul11.00hinggapukul11.35adalah....Pembahasan:Sudutjarumpendek =1 jam 5menit2 + Sudutjarumpendek1jam =

oo360 30

12= ,

Sudutjarumpendek1/2jam =o

o30 152

= ,

Sudutjarumpendek5menit =o

o30 2,512

= .Jadi,sudutyangdibentukjarumdaripukul11.00hingga11.35adalah= o o o15 2,5 17,5+ = .

4. Perhatikangambarberikut. Diketahuigarisg//m.Jika o2 3P 50 , P 5x = = ,dan 1Q 4p = .Nilaip+xadalah....Pembahasan:Ingatsifathubunganantarasudut:

2sudutberpelurus jumlahnya180o2sudutbertolakbelakang samabesarnya2sudutsehadap samabesarnyaSehingga:Jadi,p+x=32,5o+26o=58,5o.

5. Padagambardibawahini,garisp//q,dangarisr//s.JikabesarsudutD2=60

o,makabesar + + =1 4 1C B A ....

Pembahasan:

( )1 1A C pasangan sudut sehadap = o

1 2 1 2A A D D 180 + = + =( )1 1A D pasangan sudut sehadap , =

Sehingga:

o o o o1 2A 180 D 180 60 120 = = =

( )4 4B C pasangan sudut sehadap , =

Sehingga: = =4 4 4 2C D dan D D ( )pasangan sudut bertolak belakang . Artinya o4 2B D 60 = = .Dapatdisimpulkan:

o o o o1 4 1C B A 120 60 120 300 + + = + + =

B2

4 31

Q

P 24 3

1 g

m


PEMFAKTORAN SUKU ALJABAR

A. Operasi Hitung Aljabar 1.PerkalianantarsukuduaPadaperkaliansukuduadengansukuduadigunakansifatdistributifberikut.

( )( ) ( )x y p q x(p q) y p qxp xq yp yq

+ + = + + += + + +

Contoh:9 (x+4)(x2)=x(x2)+4(x2)

=(x22x)+(4x8)=x2+2x89 (2x+1)(3x+2)=2x(3x+2)+1(3x+2)

=(6x2+4x)+(3x+2)=6x2+7x+2

2.PembagianbentukaljabarPembagian antarbentuk aljabar dapatmenghasilkanpecahanbentukaljabardanbilangan.Contoh:

9 ( )2 2x x 22x 4x4x 4x

++ = x 22+=

9 ( )2 64xy128xy64xy 64xy

= =2

3.PerpangkatanOperasi perpangkatan juga dapat dilakukan padabentuk aljabar. Perhatikan bentuk umumperpangkatanbentukaljabarberikut.

(x+y)n=(x+y)(x+y)...(x+y) (dengan(x+y)sebanyakn)

Misal,pada(x+y)n.(x+y)0=1(x+y)1=x+y(x+y)2=x2+2xy+y2

(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3

(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4

(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5

Misal,pada(xy)n.(xy)0=1(xy)1=xy(xy)2=x22xy+y2

(xy)3=x33x2y+3xy2y3

(xy)4=x44x3y+6x2y24xy3+y4

(xy)5=x55x4y+10x3y210x2y3+5xy4y5Contoh:9 (x+3)2=x2+2.x.3+32=x2+6x+99 (x2)2=x22.x.2+22=x24x+4

B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar Pemfaktoranbentukaljabardapatberupaperkaliansuatu bilangan dengan suku dua, perkalianantarsukudua,danbentukkuadrat.


1. Pemfaktoran yangmenghasilkanperkalian suatu

bilangandengansukuduaBentukumumdaripemfaktoran jenis inidituliskansebagaiberikut.a. ( )kx ky k x y+ = +

Jadi, bentuk kx + ky bila difaktorkanmenjadik(x+y).

b. kx ky k(x y) = Jadi, bentuk kx ky bila difaktorkanmenjadik(xy).

Bentukumum tersebutdiperolehberdasarkan sifatasosiatifdandistributif.Contoh:9 12x+24y=12(x+2y)9 18xy54x=18x(y3)

2. Pemfaktoranbentukkuadratyangmenghasilkan

perkalianantarsukuduaBentuk kuadrat memiliki bentuk umum sebagaiberikut.

ax2+bx+c=0

9 Bilaa=1,makabentukkuadratmenjadix2+bx+ c = 0. Ingatlah kembali perkalian antarsukuduaberikut.(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pqDengandemikian,b=p+qdanc=pq.

Kesimpulan:pdanqmerupakan faktordari c.Sedangkan,bmerupakanhasilpenjumlahanpdanq (faktorfaktordaric).Kesimpulantersebutdigunakanuntukmencaripemfaktoranbentukkuadrat.Contoh:x2+5x+6=0Diperoleha=1,b=5,danc=6.Faktordari6yangbilamanadijumlahkanmenjadi5adalah2dan3.Dengandemikian,pemfaktoran:x2+5x+6=(x+2)(x+3)

9 Bila a 1, maka bentuk umumnya tetapmenjadi ax2 + bx + c = 0. Ingatlah contohperkalianantarsukuduaberikut.Contoh:(3x+1)(x+2)=3x2+x+6x+2=3x2+7x+2Dengan demikian, pemfaktoran 3x2 + 7x + 2adalah:3x2+7x+2=3x2+x+6x+2=x(3x+1)+2(3x+1)Denganmenggunakansifatasosiatifdiperoleh:

=(3x+1)(x+2)3.PemfaktorandaribentukselisihduakuadratPerhatikanbentukperkalianantarsukuduaberikut.

(ab)(a+b) =a2ab+abb2 =a2b2


Bentuka2b2disebutselisihduakuadrat.Jadi,a2b2memilikibentukperkalian(ab)(a+b)atau(a+b)(ab).Contoh:9 x225=x252=(x+5)(x5)9 x249=x272=(x7)(x+7)

C. Penyederhanaan Bentuk Pecahan Aljabar

Agar dapat menyederhanakan bentuk pecahanaljabar, terlebih dahulu teknik pemfaktoran harusdikuasai.Contoh:

9 ( )22

x 3x 7x 12x x 12

++ + = ( )

( )x 4

x 3

++ ( )

( )( )x 4

x 4x 4

+=

9 ( )22

x 3x 9x 18x 2x 15

+ =+ ( )

( )x 6

x 3

( )

( )( )x 6

x 5x 5

= ++

Contoh Soal

Selesaikanoperasiberikut.1. ( )( )2x 12x 27 x 3 x 9 + = 2. x2121=x2112=(x11)(x+11)

3. ( ) ( )2

2

x 5 x 3x 8x 15x 3x 18

+ =+ ( )x 3 ( )x 5x 6x 6

= ++

PERSAMAAN GARIS LURUS

A. Bentuk Umum Persamaan Garis Lurus

Bentukumumpersamaangarislurusadalah:

B. Gradien Garis Lurus (1) GradiendariduatitikP(x1,y1)danQ(x2,y2).

RumusgradiengarisyangmelaluititikPdanQadalah:

= 1 2

1 2

y ym

x x

Contoh:TentukangradiengarislurusyangmelewatititikP(2,3)danQ(4,9).Penyelesaian:

Gradien=m= = = =

1 2

1 2

y y 3 9 63

x x 2 4 2

y

x

Persamaangarislurusdengangradien(kemiringan)tertentu

y ax b

ax by c 0

= ++ + =


(2) Gradiengarisdaripersamaangarislurusa. Jikapersamaangarislurusberbentuk:

= +y mx c gradien=m

Contoh:Jikadimilikipersamaangarisy=3x+5,artinyagradien=m=3

b. Jikapersamaangarislurusberbentuk:+ + =ax by c 0

gradien= ab

Contoh:Jikadimilikipersamaangaris2x+7y+3=0,makagradienpersamaangaristersebutadalah:

+ + =ax by c 0 m= ab

2x+7y+3=0 m= 27

C. Menentukan Persamaan Garis Lurus

Caramenentukanpersamaangarislurus:(1) PersamaangarismelaluititikP(a,b)dengan

gradienm,

( ) = y b m x a

Contoh:TentukanpersamaangarislurusyangmelaluititikP(5,7)dengangradien3. Pembahasan:

( ) = = = + =

y 7 3 x 5 y 7 3x 15

y 3x 15 7 y 3x 8

(2) PersamaangarismelaluiduatitikP(x1,y1)dan

Q(x2,y2).Bentukpersamaangarisyangmelaluiduatitikyaitu:

= 1 1

2 1 2 1

y y x x

y y x xatau ( ) = 2 11 12 1

y yy y x x

x x

Contoh:TentukanpersamaangarisyangmelaluiP(2,3)danQ(3,8)!Pembahasan:

Bentuk =

1 1

2 1 2 1

y y x x

y y x x =

y 3 x 28 3 3 2

Denganperkaliansilang,diperoleh:( )( ) ( )( ) ( ) = = = y 3 3 2 x 2 8 3 y 3 5 x 2 5x 10= + = y 5x 10 3 5x 7

(3) Persamaangarisyangmelaluititikpotong

sumbusumbukoordinat,yaituP(p,0)danQ(0,q).


py+qx=pq

Contoh:TentukanpersamaangarisyangmelaluiP(3,0)danQ(0,6).Penyelesaian:Denganmenggunakanrumus:

+ = + = + =py qx pq 6x 3y 6 3 6x 3y 18 Jikakeduaruasdibagi3akandiperolehpersamaangaris:3x+y=6

D. Hubungan Antara Dua Garis (1) Duagarissalingberpotongan

TitikpotongP(x,y)diperolehdarihimpunanpenyelesaianPLDV:

= += +

y ax b

y cx d ax+b=cx+d

Contoh:Garisg:y=3xdangarish:y=x+6salingberpotongandititikQ,makakoordinattitikQadalah....Pembahasan:Daripersamaang:y=3xdanh:y=x+6 3x=x+62x=6 x=3karenax=3,makay=3x y=3(3)=9.Jadi,garisgdanhberpotongandiQ(3,9).

(2) Duagarisberpotongansalingtegaklurus

Hubunganyangberlakuantaragarisgdankyangsalingtegaklurustersebutadalah:

=g hm m 1

Contoh:Jikagaris + =3x by 2 0 tegaklurusdengan+ + =x 2y 7 0 .Tentukannilaib!

y

xp

q(0,q)

(p,0)

k

g

Persamaangarisyangmelaluititiktitikpotongsumbukoordinat:

g1:y=ax+b

g2:y=cx+d

Garisgdanksalingtegaklurus,dandinotasikan:g k

p(x,y)


Pembahasan:

Jikag: + =3x by 2 0 = g 3m b

k: + + =x 2y 7 0 = k 1m 2 karena g k ,maka =g hm m 1 = = 3 1 3 1

b 2 2b.

Jadi: = = = 3 31 3 2b b2b 2

Contoh:DiketahuisuatupersamaangarislurusyangmelewatititikP(k,4)dantegaklurusgaris+ + =x 2y 1 0 adalah

y=m(x+1),makanilaikadalah....Pembahasan:Denganmenggunakanrumus,jelasgradiengaris

+ + =x 2y 1 0 adalah 12.Garisy=m(x+1)

memilikigradienm.Karenakeduagaristersebuttegaklurus,berlakuhubungan:

= 1 mm2 2

=1

= =m 2 m 2 Jadi,persamaangarisy=m(x+1)menjadi:y=2(x+1).Garisy=2(x+1)melewatititik(k,4)maka4=2(k+1) 4=2k+2 2k=42 2k=2 k=1

(3) Duagarisyangsejajar

Contoh:Garis + =px 3y 3 0 sejajardengangaris

+ =2x y 4 0 .Tentukannilaip!Pembahasan:

Jikag: + =px 3y 3 0 = g pm 2 , h: + =2x y 4 0 =hm 2 .Karenag//h,artinya

=g hm m = = = p 2 p 4 p 42

.

Jadi,nilaip=4.

E. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

BentukumumPersamaaanLinearDuaVariabel(PLDV)

+ =+ =

ax by c (1)

px qy r (2)

y

x

Garisgsejajardengangarishdinotasikang//h,danberlaku

m=m

h g

h g


Mencari himpunan penyelesaian untuk dapatdilakukandenganmetode substitusi,eliminasi,dancampuran.(1) MetodeSubstitusi

Untukdapatmemahamimetodesubstitusi,perhatikancontohberikut:TentukanHimpunanPenyelesaiandari:

+ = =

3x y 9 (1)

x 3y 6 (2)

DariPLDVdiatasdiperoleh:+ = = 3x y 9 x 3y 6...(3)

Persamaan(3)disubstitusikankepersamaan(1): + =3(3y 6) y 9

+ = = =9y 18 y 9

2710y 27 y

10

Nilai = 27y10

disubstitusikankepers.(1):

+ = + =273x y 9 3x 910

= = = = = =27 90 27 63 63 63 213x 9 x10 10 10 10 10 30 10

Jadi,HP={21 27

,10 10

}

(2) MetodeEliminasi

MetodeinidilakukandengancaramengeliminasiataumenghilangkansalahsatuvariabelyangadadalamPLDV,yaituvariabelxatauy.

Langkahpenyelesaiandenganmetodeeliminasi:(1) Samakankoefisiensalahsatuvariabelxatau

y,(2) Eliminasikan persamaan tersebut sehingga

suku yang sama hilang (dengan operasipenjumlahan atau pengurangan), selesaikandantentukannilaisatuvariabel,

(3) Substitusikan nilai variabel yang ditemukanuntuk menemukan nilai variabel yang lain,atau ikuti langkah1sampai3untukvariabelyanglain.

Contoh:TentukanHimpunanpenyelesaiandari:

+ = =

3x y 9 (1)

x 3y 6 (2)

Pembahasan:Pertama,kitaakancobamengeliminasivaribelx,+ = =

3x y 9

x 3y 6

13

+ = =

3x y 9

3x 9y 18

= = 2710y 27 y10

NilaiydapatlangsungdisubstitusikesalahsatuPLDVyangdimiliki,misalnyadisubstitusike(1):

+ = + =273x y 9 3x 910

= = = = = =27 90 27 63 63 63 213x 9 x10 10 10 10 10 30 10

Jadi,HP={21 27

,10 10

}


Contoh Soal

1. Koordinat titik pada garis y = 2x 15 yangterdekatdengantitik(0,0)adalah....Garisyangmelaluititik(0,0)memilikipersamaany=mx.Jikagarisinimelaluititikterdekatyangkitacari,makagarisiniakantegaklurusy=2x15.Garisy=mxtegaklurusy=2x15.

Sehinggam.2=1 = 1m2.

Sehinggadiperolehpersamaany= 1 x2

.

Artinyagarisy= 1 x2

akanmemotongy=2x

15.Sehinggadapatditemukantitikpotongnyadengan

syarat: = 1 x 2x 152

+ = = =1 52x x 15 x 15 x 62 2

Jika,x=6menjadiy=2.615=3.Jadititikterdekatpadagarisy=2x15ketitik(0,0)adalah(6,3).

2. Diketahui sebuah garis g: x 3y + 5 = 0.Persamaangarisyangmelaluititik(2,11)dantegakluruspersamaangarisgadalah....

g:x3y+5=0 = =11 1

m3 3

persamaangarisyang garisgartinya:= 1 2m m 1 ,sehingga:

= = 2 21 m 1 m 33 Artinya,persamaangarisyangkitacaribergradien3.Persamaangaristersebutjugamelewatititik(2,11),sehingga:

( )( ) ( ) = = + = = +

2y 11 m x 2 3 x 2 3x 6

y 3x 5

Jadi,persamaangaristersebutadalahy=3x+5.

3. Terdapat dua buah bilangan. Bilangan yangbesar jika ditambah empat kali bilangan yangkecil = 99. Bilangan yang kecil ditambah tigakali bilangan yang besar = 110. Tiga kalibilangan yang kecil ditambah empat kalibilanganyanglebihbesarnilainyaadalah....Penyelesaiannyasebagaiberikut.Bilanganyangkecil=xBilanganyangbesar=y

Hubunganyangdiperoleh:4x+y=99 312x+3y=297x+3y=1101x+3y=110_

11x=187Jadi,x=17cm.Substitusikanx=17kesalahsatupersamaan.4x+y=994.17+y=9968+y=99y=9968y=31Dengandemikian,3x+4y =3.17+4.31=51+124=175Jadi,harga3x+4yadalah175.


4. Diketahui titikP(1,2)danQ(3,7).Maka sumbu

garisPQadalah....i. JikatitikSadalahtitiktengahgarisPQmaka

koordinattitikCadalah:( ) ( )= + = = = + = 91 4 1x 1 3 2dan y 2 72 2 2 2

Jadi,kitaperolehC ( )92, 2 dangradienABdapatdihitung,yaitu

= =AB7 2 5

m3 1 2

ii. GarisyangmelaluititikCdanABakanmempunyaigradien = TL 2m 5 .Inidiperolehkarenahubungan = AB TLm m 1

iii. Jadi,persamaangaristersebutadalah:

( ) = = += + + = +

9 2 2 4y x 2 x

2 5 5 52 4 9 2 53

y x x5 5 2 5 10

Kalikankeduaruasdengan10,akandidapatkan:

= + + =10y 4x 53 4x 10y 53 0

STATISTIKA DAN PELUAN

A. Statistika Statistika adalah ilmu yang mempelajari caracarapengumpulan data, penyusunan data, pengolahandata, dan penyajian data. Dalam statistika dikenalistilahpopulasidansampel. Populasiadalahsekumpulanobjekdengan

karakteristiksama. Sampeladalahbagiandaripopulasiyangakan

dijadikanobjekpengamatanlangsung.Datadapatdisajikandalambentukdiagram.Selainitu,datadapatdiolahdalambentukpemusatandata.1. PenyajianDataDiagram merupakan salah satu cara untukmenyajikan data. Diagram banyak macamnya. Diantaranya diagram batang, diagram garis, diagramlingkaran,danhistogram.a. Diagrambatang(histogram)

Datauntukjumlahberasimpordanberaslokaldipasar:


b. DiagramgarisDatauntukjumlahproduksiguladariPabrikGulaManisManjaperiode20012007

c. DiagramlingkaranData berbentuk lingkaran yang dibagi menjadibeberapa luasan juring untuk menunjukkanperbandingan kuantitas atau jumlah (dalampersentaseatauderajat).Contoh:Diagram lingkaran berikut menunjukkan datanilai ujian matematika siswa di suatu SMP,denganketerangansebagaiberikut:

d. HistogramatauPoligonFrekuensi

Histogram dan poligon digunakan untukmenyajikandatadarisuatudistribusifrekuensi.Contoh:Berikut adalahhistogramdanpoligondaridatatinggibadansiswa.

2.UkuranPemusatandataUkuran pemusatan data ada bermacammcam. Diantaranya nilai ratarata (mean), nilai tengah(median), nilai yang sering muncul (modus), dankuartil.a. Mean= X (RataRata)

Meanataurataratahitungadalahjumlahsemuadataataunilaidibagidenganbanyaknyadata.

RumusMean:

ixXn

= Dengan:

i n

i ii 1

X Rata rata hitung

x jumlah semuadata (dibaca sigma x )

n Banyaknyadata

=

=

= ==

Nilaiujian 90adalah10%

Nilaiujianantara90dan50adalah45%

Nilaiujian 50 adalah45%


b. Modus=M(Nilaiyangpalingseringmuncul)

Perhatikandataberikut.1) Data:2,3,4,4,5,7 Modus=4.2) Data:1,4,6,6,7,8,8,9Modus=6dan

8.3) Data:4,4,5,5,6,6 Modus=tidakada.

c. Median=Mt(NilaiTengah)Medianadalahnilaitengahdarikelompokdatayangdimiliki,setelahdatatersebutdiurutkandariyangterkecilhinggaterbesar.

1) LetakMedianuntukn(jumlahdata)genap

= + tn n

M letaknyadiantaradatake danke 12 2

2) LetakMedianuntukn(jumlahdata)ganjil

( )

t

n 1M datake

2

+= .

Contoh: Jikadimilikidata:9,12,12,13,15,16.maka

mediandaridatatersebutadalah12 13 25

12,52 2+= = =

(datake3danke4) Jikadimilikidata:7,8,8,9,10,11,11,13,17.

makamediandaridatatersebutadalah=10(datake5)

d. KuartilKuartilmembagisekelompokdatamenjadiempatbagianyangsamabanyak.

Dengan:Q1=kuartilbawahQ2=kuartiltengah=Mt=median

Q3=kuartilatasContoh:Jikadimilikidata:13,14,15,15,17,21.maka:

Q1=14;Q2=15 15

152+ = ;Q3=17

3.UkuranPenyebaranDataUkuranpenyebarandatadiantaranyaadalahjangkauandanjangkauaninterkuartil.a. Jangkauan(Rentang)suatudata

Jangkauanadalahselisihantaradatatertinggidanterendah.

Jangkauan=datatertinggidataterendah Contoh:

Jikadimilikidata:2,5,6,4,8,4,makaJangkauandaridatatersebutadalah=82=6


( ) ( )( )n A

P An S

=

b. JangkauanInterkuartil

JangkauanInterkuartil=Q3Q1

Contoh:Jikadimilikidata:3,4,6,6,7,8,9,13,17,maka

Jangkauandaridatatersebut=Q3Q1=96=3

c. JangkauanSemiInterkuartil(Simpangankuartil)Jangkauan semi interkuartil atau simpangankuartil besarnya setengah dari jangkauaninterkuartil.

Simpangankuartil= 12

(Q3Q1)

B. Peluang Peluang adalah perbandingan antara hasil yangdiharapkan terjadi dengan jumlah hasil yangmungkinterjadi.1.PeluangSatuKejadian

DenganP(A)=Peluangkejadiann(A)=Banyaknyahasilyangdiharapkann(S)=Jumlahhasilyangmungkin

Contoh:Tentukanpeluangkeluarnyaangkagenappadapelemparansebuahdadu!Pembahasan:N=angkayangadapadadadu={1,2,3,4,5,6}=6buahA=angkagenappadadadu={2,4,6}=3buah

( ) A 3 1P genapN 6 2

= = =

Jadi,peluangkeluarnyaangkagenapadalah= 12.

2.PeluangDuaKejadianPeluangdua kejadian terbagimenjadiduamacam,yakni,peluangduakejadiansalinglepasdanpeluangduakejadiansalingbebas.a. PeluangDuaKejadianSalingLepas

( ) ( ) ( )P AatauB P A P B= + Contoh:Duabuahdadudilemparbersama,makapeluangmunculnyaangkadaduberjumlah4atau9adalah....Pembahasan:N=Jumlahpasanganmatadaduyangmungkinterjadi,A=Pasangandaduberjumlah4= ( ) ( ) ( ) ( )1,3 , 3,1 , 2,2 n A 3 = ,B=Pasangandaduberjumlah9= ( ) ( ) ( ) ( )3,6 , 6,3 , 4,5 , 5,4 ( )n B 4 = ,( ) ( )( )

n A 3P A

n S 36= = ( ) ( )n B 4P B

N 36= =


( )P berjumlah4atau9 =( ) ( ) 3 4 7P A P B

36 36 36+ = + = .

Jadi,peluangmunculnyaangkadaduberjumlah

4atau9adalah736

.

b. PeluangDuaKejadianSalingBebas

( ) ( ) ( )P AdanB P A P B= Contoh:Di dalam sebuah kotak terdapat 12 bola, yangterdiriatas5bolamerahdan7bolabiru.Apabiladiambil2bolasecaraacakdantidakdikembalikan,maka nilai kemungkinan terambilnya bolapertamaberwarnamerahbola keduaberwarnabiruadalah....Pembahasan:( )( )

n M Jumlah bola merah 5

n B Jumlah bola biru 7

= == =

o Padapengambilanbolapertama,maka

( ) ( )n M 5P bolamerahN 12

= = o Padapengambilanbolakedua,(jumlahbola

ada11)

( ) ( )n B 7P BolabiruN 1 11

= = Jadi,peluang(bolamerahdanbolabiru)

5 7 3512 11 132

= = .

C. Contoh Soal 1. NilairaporBudipadasuatusemesteradalah:7,

8,7,6,6,7,5,8,5,dan7.Daridatatersebut,rataratanilaiBudipadasemesterituadalah..Pembahasan:

Rataratanilai=Mean= jumlah seluruhnilaibanyaknya data

Jumlahseluruhnilai=7+8+7+6+6+7+5+8+5+7=66.Banyaknyadata=10

Jadi66

mean 6,610

= = .2. Tentukan nilai ratarata dari tabel distribusi

frekuensiberikut:

Nilai(x) Frekuensi(f)5 66 107 128 69 210 1

Pembahasan:Nilai(x) Frekuensi(f) f.x

5 6 306 10 607 12 848 6 489 4 3610 2 20

Jumlah 40 278


Ratarata=Mean= 278 6,9540

= 3. Diagram lingkaran berikut menunjukkan

olahragakegemaransiswapadasuatusekolah.Jikajumlahanakyangmenyukaisepakbolaada126 siswa, maka perbandingan jumlah anakyang menggemari olahraga bulutangkis danvoliadalah....Pembahasan:Bulutangkis=90o;voli=30oBukutangkis:voli=90:30=3:1.Jadi,perbandinganjumlahanakyangmenyukaiolahragabulutangkisdanbolavoliadalah3:1.

4. Dalampelemparansebuahdadusebanyak180kali.Frekuensiharapanmunculnyamatadadulebihdari4adalah...kali.A=matadadulebihdari4={5,6} ( )n A 2 = S=Jumlahhasilyangmungkin={1,2,3,4,5,6}

( )n S 6 = ( ) ( ) ( )( )

n AP lebihbesar dari 4 P A 180

n S

2180 60

6

= =

= =

Jadi,munculnyamatadadu4sebanyak60kali.5. Misalkan, K adalah himpunan kejadian

munculnya sisi angka sehingga P(K) = 12.

Banyaknyapelemparan(n)adalah30kali.Jadi,frekuensiharapanmunculnyasisiangkaadalahFh=P(K)n

= 12

30kali=15kali

BARIS DAN DERET

A. Pengertian Barisan Barisanadalahurutanbilangandenganpolatertentu.Contoh:9 Barisanbilangangenap:0,2,4,6,8,...9 Barisanbilanganganjil:1,3,5,7,9,...9 Barisanbilangansegitiga:1,3,6,10,...9 Barisanbilanganpersegi:1,4,9,16,...9 BarisanbilangansegitigaPascal:

Jumlahbilanganbarisken

segitigaPascal=2n1

B. Menentukan Rumus Suku ke-n Dari

Suatu Barisan Bilangan Barisan aritmetika adalah barisan yang antarbilanganberdekatanmemilikibedaatauselisihyangsama.Contohbarisan:3,7,11,15,...9 Sukupertama=3.9 Bedabarisantersebutadalah

1511=117=73=4.


Barisanaritmetikamemilikibentukumum:

U1,U2,U3,U4,U5,...,Un

Bedabarisanaritmetika(b)dirumuskan:

b=U2U1=U3U2=U4U3=...=UnUn1

Misalkan,U1dilambangkana,maka:Sukukenatau ( )nU a n 1 b= + Jumlahnsukupertamadiperolehdengancara:

( )( ) ( )n n n1 1S n 2a n 1 b atauS n a U2 2= + = + Contoh:Diberikanbarisanbilangan:2,5,8,11,Tentukansukupertama,beda,dansukuke8barisanbilangantersebut.Jawab:Sukupertamayangdilambangkana=2. Bedabarisantersebutyaitub=52=3.Sukuke8barisantersebutdicaridengancara:

( ) ( )= + = + = + = + =n 8U a n 1 b U 2 8 1 3 2 7.3 2 21 23Jadi,a=2,b=3danU8=23.

C. Pola Bilangan Pola bilangan ada bermacammacam. Ada barisanbilangan segitiga, barisan bilangan persegi, barisanbilangan kubik, barisan bilangan persegi panjang,barisan bilangan balok, barisan bilangan genap,barisan bilangan ganjil, barisan bilangan fibonacci,barisangeometri,danderetgeometritakberhingga.

1. BarisanbilangansegitigaBarisanbilangansegitigaadalahbarisanbilanganyangmembentukpolasegitiga.

Barisan:1,3,6,10,Deret:1+3+6+10+

Rumussukuken:Un= ( )1n n 12

+

Jumlahnsukupertama: ( )( )n 1S n n 1 n 26= + + .

2. BarisanbilanganpersegiBarisanbilanganpersegiadalahbarisanbilanganyangmembentukpolapersegi.

Barisan:1,4,9,16,25,Deret:1+4+9+16+25+Rumussukuken:Un=n

2

Jumlahnsukupertama: ( )( )n 1S n n 1 2n 16= + + .

3. BarisanbilangankubikBarisanbilangankubikadalahbarisanbilanganyangdipangkatkantigakali.

Barisan:13,23,33,43,Deret:13+23+33+43+Rumussukuken:Un=n

2

Jumlahnsukupertama: ( )22n 1S n n 14= +


n 1 n 2U U +

4. BarisanbilanganpersegipanjangBarisanbilanganpersegipanjangadalahbarisanbilanganyangmembentukpolapersegipanjang.

Barisan:2,6,12,Deret:2+6+12+

Rumussukuken:Un=n(n+1)

Jumlahnsukupertama: ( )( )n 1S n n 1 n 23= + + .5. BarisanbilanganbalokBarisanbilanganbalokmemilikibarisansepertiberikut.

Barisan:6,24,60,Deret:6+24+60+

Rumussukuken:Un= ( )( )n n 1 n 2+ + .Jumlahnsukupertama: ( )( )( )n 1S n n 1 n 2 n 34= + + +

.6. BarisanbilangangenapBarisan bilangan genap adalah dimulai dari 0.Selanjutnya, bilangan berikutnya ditambah 2seterusnya.

Barisan:2,4,6,8,Deret:2+4+6+8+

Rumussukuken:Un=2nJumlahnsukupertama: 2nS n n= + .

7. BarisanbilanganganjilBarisan bilangan ganjil dimulai dari satu.Selanjutnya,bilanganberikutnyaditambah2.

Barisan:1,3,5,7,Deret:1+3+5+7+

Rumussukuken:Un=2n1.Jumlahnsukupertama: 2nS n=

8. BarisanFibonacciBarisanFibonacciadalahbarisanyangnilaisukunyasamadenganjumlahduasukudidepannya.

barisan:1,1,2,3,5,8,Deret:1+1+2+3+5+8+

Rumussukuken:Un=9. BarisangeometriBarisangeometriadalahbarisanyangperbandingandiantaraduasukuyangberurutantetap.

Rumussukuken=Un= n 1a . r Sukupertama=a.Rasioantaraduasukuyangberurutan=r.Banyaknyasuku=n.Jumlahnsukupertama:

( )nn

a r 1S ,untuk r 1

r 1

= .

( )nn

a 1 rS ,untuk r 1

1 r

=


10. DeretgeometritakberhinggaDisebutderetgeometri takberhingga jikamemilikibanyaksukuyang tidakberhingga. Jikasuatuderetgeometri tak berhingga memiliki nilai rasio:1 r 1 < < ,maka jumlahsukunyasampaitakhingga

adalah: a

S1 r

=

Contoh Soal 1. Tentukan jumlah suku ke11 dari barisan

bilangan:4,11,18,25,a=4b=114=7

( )( )( ) ( )( ) ( )( )

= +

= + = +

= =

n

11

11

1S n 2a n 1 b

21 11

S 11 2.4 11 1 7 8 10.72 211

S 78 4292

2. Dalam ruang pertunjukan, pada baris paling

depan tersedia 20 kursi. Baris belakangnyatersedia 2 kursi lebih banyak dari baris didepannya. Jika pada ruang pertunjukantersebut terdapat 20 baris kursi, makabanyaknya orang yang dapat duduk di kursipadaruangituadalah...orang.

Barisankursiyangada:20,22,24,26,a 20 ,danb 2 = = ,sehinggaSn=

( )( )1n 2a n 1 b2

+

( ) ( )( ) ( )( )

= + = += + = =

20

20

1S 20 2.20 20 1 2 10 40 19.2

2S 10 40 38 10.78 780

Jadi, banyaknya orang yang dapat duduk diruanganituadalah780orang.

3. Sebuah bolamemantul dari lantai sampai keketinggian 72 cm dan tiap kali memantul,ketinggianberikutnyaduapertigapemantulansebelumnya. Jarak seluruhnya yang ditempuhbolasampaiberhentiadalah....cm.Soalinidilihatsebagaikasusderetgeometridengan

a=72,23

r = dann=takhingga.Olehkarenaitu,jumlahseluruhpemantulansampaibolaberhentiadalah:

= = = = = a 72 72

S S 72 3 2162 11 r 13 3

Tapi,karenabolasetelahdipantulkanbergerakkebawahsejauhketikamemantul,makabolaitumenempuhjarakduakali,yaituketika


memantuldanketikakembalikebawah.Artinya,jarakyangditempuhbolaseluruhnyahinggaberhentiadalah=2 216 432 = cm.

4. Jika jumlah n suku pertama dari suatu deretgeometri adalah 2n 1nS 3 3

+= , maka jumlahtakhinggadarideretgeometritersebutadalah....Untukn=1,makaSn=a,sehinggadidapat

a=S1= 2.1 1 12

3 3 3 3 23

+ = = .2.2 1 3

2

80S 3 3 3 3 .

27 + = = =

2 2 1

80 2 80 2 8u S S 2 2

27 3 27 3 27 = = = + =

2

1

8u 127r

8u 93

= = =

.

Jadi,jumlahtakhinggaderetgeometritersebut

adalah:

8 88 9 93 3S 3

1 8 3 8 319 9

= = = = =

5. JikaSn= 2n 3n+ adalah jumlahnsukupertamasuatuderet aritmatik,maka suku ke10 derettersebutadalah....

10 10 9U S S ...= = ( )( )

= + = + == + = + =

210

29

S 10 3 10 100 30 130

S 9 3 9 81 27 108

10 10 9U S S 130 108 22 = = =


PANGKAT TAK SEBENARNYA A. Bilangan Rasional Berpangkat

Bilangan Bulat

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat

dinyatakankedalambentukab.Syaratnya:

adanbbilanganbulat.

b0

1. BilanganRasionalBerpangkatBilanganBulatPositif

Contohbilanganrasionalberpangkatbilanganbulatpositifsebagaiberikut:aaaa...a(denganasebanyakn)ditulisan.33333ditulis35=243.Misalkanmdannadalahbilanganbulatpositif,sifatsifatbilangan rasionalberpangkatbilanganbulatpositifdapatdituliskansebagaiberikut. aman=am+n am:an=amn

denganmdannbilanganbulatpositif sertam>n.

(am)n=amn

2. BilanganRasionalBerpangkatBilanganBulatNegatif

Contoh bilangan rasional berpangkat bilanganbulatnegatifsebagaiberikut.

51=15 33=

127

55 8 3

8 3

b 1b b

b b = = =

Sifatsifat operasi bilangan rasional berpangkatbilanganbulatnegatifsebagaiberikut.

n n

n

a ab b =

nn1

aa

= Catatan:

00=tidakterdefinisikan,a0=1,dan 0a=0

B. Bentuk Akar Bilangan irasionaladalahbilanganyang tidakdapat

dinyatakankedalambentukab.

Contoh: 3 tidak dapat dinyatakan ke dalam

bentukab.

Jenisakartersebutdisebutbentukakar.Sifatsifatoperasibentukakarsebagaiberikut.


ab = a b , dengan a dan b merupakanbilanganrealpositif.

a a=b b

,dengana0danb>0.

( )a c +b c = a+b c ,dengana,b,cbilanganrealdanc0.

( )a c b c = a b c ,dengana,b,cbilanganrealdanc0.

( )a c b d = ab cd ,dengana,b,c,dbilanganrealdengana0danb0.

c a c a=d bd b

, dengan a, b, c, d bilangan real

dengana0danb0.

Bentukakara

bdapatdirasionalkan.

Caranyasebagaiberikut.1. Kalikan pembilang dengan bentuk sekawan

penyebutnya2. Penyebut pecahan tersebut, dengan bentuk

sekawanpenyebutnya.

Perhatikanlangkahberikut: a a b a= = bbb b b

Bentuk akarc

a + b juga dapat dirasionalkan

dengancarayangsama.

1. Bentuk sekawan penyebut a+ b adalaha b .

2. Langkahlangkahuntukmerasionalkanbentuk

akarc

a + bsepertiberikut.

c c a b

=a + b a + b a b

=( )

c a b

a b

Contoh Soal 1. Hasildari8582adalah....

a.810 b.87 c.87 d.810

Penyelesaian:8582=85+(2)=87

Jawaban:c

2. Bentuk 5 2a dapatdiubahmenjadipangkatsuatubilangan.Hasilnyaadalah....

a.a10 b.a3 c.52a d.

25a

Penyelesaian:

Bentuk 5 2a dapatdiubahmenjadibentuk

perpangkatansuatubilangan2

5 2 5a =a Jawaban:d

3. Biladitentukana=8,b=10,c=169,dand=

225,makanilaidaria2+b2 c d adalah.a.7b.18 c.136 d.144Penyelesaian:Diketahuia=8,b=10,c=169,dand=225.Dapatdiperoleh:

a2+b2 c d =82+102 169 225 =64+1001315=136

Jawaban:c


BANGUN DATAR

No NamadanBentuk

BangunDatarRumusLuasdanKeliling

1

Persegi

L=Luas=ssK=Keliling=4s

2

Persegipanjang

K=2(p+l)L=pxl

3

Trapesium

L =Jumlahsisisejajart =(AB+DC)t

4

Segitiga

L =alastinggi =(AB)t

5

Jajarangenjang

L =alastinggi =ABt

6

lingkaran

K=2rL=r2=

atau3,14

7

Layanglayang

K=2(AD+AB)L =perkaliandiagonal =ACBD

Belahketupat

K=4ABL=perkaliandiagonal =ACBD

Contoh Soal 1. Perhatikangambarberikut!

Luasdaerahyangdiarsiradalah...cm2.Jawab:Luasdaerahyangdiarsir=luaspersegiABCDluaspersegikecil.AB=BC=CD=AD

A B

D

s

C

A B

C

p

l

D

A B

CD

p

t

q

A B

C

t

A B

CD

t

p

A

B

C

D

A

B

C

D

A B

D

s

C

5cm

13cm


AB=5cm+ 2 213 5 =5cm+12cm=17cmLuasdaerahyangdiarsir=(1717)(1313) =289169=120cm2

2. Perhatikangambarberikut!

LuasbangunABCD=...cm2.

Jawab:

2 2

2 2

AD 10 8 36 6

BC 26 10 576 24

= = == = =

LuasbangunABCD=

( )

1t jumlahsisisejajar

21

6 8 2621

6 34 1022

=

= +

= =

Jadi,luasbangunABCDadalah102cm2.3. Kelilingsebuahbelahketupat=68cmdanpanjang

salah satu diagonalnya 30 cm. Luas belahketupattersebutadalah....cm2.Jawab:Jika,keliling=68cm,maka,

panjangrusuk=68

174= cm.

Panjangdigonal1=30cm.

Panjangdiagonalyanglain=( ) ( )2 22d 2 17 15 2 8 16= = = .Luasbelahketupat=

1 21 1

d d 30 16 2402 2 = = cm2.

4. Perhatikan gambar belahketupat ABCD. =A : B 1: 2 .BesarC adalah....

Jawab: Diketahui:BelahketupatABCD

1 2A : B : = Ditanyakan: C ? = Pembahasan:

Dalambangunbelahketupatberlaku:9 Jumlahkeempatsudutnya36009 Sudutsudut yang berhadapan sama

besar

A B

CD 8cm

26cm

10cm

A

B

C

D

A

B

C

D


Dengandemikian, A C = dan B D = . Misalkan: 2o oA x ,maka B x = = ,

o

o o o o o

oo o o o

A B C D 360

x 2x x 2x 360

3606x 360 x 60

6

+ + + = + + + = = = =

Karena A C = ,makabesar 60oC = 5. Sebuah kolam renang berbentuk persegi

panjang,mempunyaiukuranpanjang20mdanlebar10m.Di sekelilingkolam renangbagianluar akandibuat jalandengan lebar 1m. Jikajalan akandipasang keramikdenganbiayaRp60.000,00 setiap m2, maka biaya yangdiperlukanuntukpemasangankeramikadalah....

Jawab: Diketahui:panjangkolamrenang=20m

Lebarkolamrenang=10cmDisekelilingkolamdibuatjalandenganlebar1meter. Biaya pemasangan keramik Rp60.000,00setiapm2.Ditanyakan:biayapemasangan keramikuntukjalan.Pembahasan:Soalinidapatdigambarkansebagaiberikut:

Berdasarkangambardiatas,Luas jalan= luas (kolamrenang+ jalan) luaskolamrenang=(22mx12m)(20m10m)=2641m2200m2=64m2.Jadi, biaya pemasangan keramik untuk jalanadalah=64Rp60.000,00=Rp3.840.000,00

BANGUN RUANG

NO NAMADAN

BENTUKBANGUNRUANG

RUMUSVOLUMEDANLUAS

1

Kubus

3

2

V s

L 6s

==


2

Balok

( )V p l t

L 2 pl lt pt

= = + +

3

Prisma

( )( )

V Luas alas tinggi

L ABC t

L 2 Luas Alas

t Keliling Alas

= = = +

4

Tabung

( )( )

2

2

V Luas Alas t

r t

L 2 Luas alas +LuasSelimut

2 r 2 r t

= = == +

5

Limas

= = +

1V Luas alas t

3L Luas alas jml. luas sisisegitiga

NO NAMADANBENTUK

BANGUNRUANG

RUMUSVOLUMEDANLUAS

6

Kerucut

( )2

1V luasalas tinggi

31

r t3

L r r s

=

= = +

7

Bola

3

2

4V r

3L 4 r

= =

Contoh Soal 1. Diketahuisebuahkerucutdenganjarijarialas7

cm dan tingginya 12 cm. Jika 227

= , makavolumekerucuttersebutadalah...cm3.Pembahasan:

Volumekerucut= 1Luas alas tinggi3

( ) ( ) = = = = 2 2 31 1 22 22r t . . 7 . 12 .49.12 616 cm3 3 7 21Jadi,volumkerucutnyaadalah616cm3.


2. Banyak pohon yang dapat ditanam padakeliling taman yang berbentuk lingkarandengan diameter 49 meter dan jarak antara

pohon1,4meteradalah... 227

= .Pembahasan:

Kelilingtaman= ( ) 2222 r d . 49 154m7

= = = ,Sehinggabanyakpohonyangdapatditanam=154

110pohon1,4

= .3. Bobby akan membuat model kerangka balok

dari kawat dengan ukuran panjang 30 cm,lebar 25 cm, dan tinggi 20 cm. Jika panjangkawat30meter,makabanyakmodelkerangkabalokyangdapatdibuatolehBobbyadalah...Pembahasan:Ukurankerangkabalokyangakandibuat=30cm25cm20cm.Sebuahkerangkabalokmemerlukanpanjangkawat: ( ) ( ) ( )4 p l t 4 30 25 20 4 75 300 cm+ + = + + = = .

Karenapanjangkawat30meter=3.000cm,

= = =30003.000 cm n 300cm n 10300

Jadi,banyaknyamodelkerangkabalokyangdapatdibuatadalahsebanyak10buah.

4. Sebuahtempatmainanberbentukbalokdibuatdari triplek. Untuk membuatnya diperlukantriplek10,64m2.Jikatinggitempatmainan3mdanlebar1,5m,makapanjangnyaadalahm.Pembahasan:Ingat bahwa Luas balok = ( )2 pl lt pt+ + ,sehingga:

( )( )( ) ( )

= + += + + = += + = = =

10,64 2 pl lt pt

10,64 2 1,5p 1,5 3 3p 2 4,5p 4,5

1,6410,64 9p 9 9p 10,64 9 p 0,182m

9

5. Sketsagambardibawahadalah sebuah tendaperkemahan berbentuk prisma. Bila tendatersebut dapatmemuat 10 orang untuk tidurdengan setiap orang perlu ruang 2 m2. Jikatinggitenda3,5m,berapavolumeruangdalamtendatersebut?Pembahasan:

Luasalasprisma=luassegitigayangdiarsir

padasketsatenda= ( ) 21 2 3,5 3,5m2

= .Tiaporangmemerlukan2m2=2m1m.artinyapanjangtenda=1m10=10m.=tinggiprisma,Volumeprisma=luastinggi=3,510=35m2

pl

t

E-book Materi Hafalan Tpa

Documents

Transcript of E-book Materi Hafalan Tpa