repository.ub.ac.idrepository.ub.ac.id/179273/1/Agus Dwi Aryati.pdf · LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI...

KOEFISIEN AWAL PADA SUBKELAS FUNGSI BI-UNIVALEN

SKRIPSI

oleh

AGUS DWI ARYATI145090401111019

PROGRAM STUDI MATEMATIKAJURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG2019


SKRIPSI

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar SarjanaMatematika

olehAGUS DWI ARYATI

145090401111019

PROGRAM STUDI MATEMATIKAJURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG2019

iii

LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI


olehAGUS DWI ARYATI

145090401111019

Setelah dipertahankan di depan Majelis Penguji pada tanggal 28Maret 2019 dan dinyatakan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Matematika.

Pembimbing

Drs. Abdul Rouf Alghofari, M.Sc., Ph.D.NIP. 196709071992031001

Mengetahui,Ketua Jurusan Matematika

Fakultas MIPA Universitas Brawijaya

Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si, M.Si, Ph.D.NIP. 197509082000031003

v

LEMBAR PERNYATAAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Agus Dwi AryatiNIM : 145090401111019Jurusan : MatematikaPenulis Skripsi berjudul : Koefisien Awal pada Subkelas Fungsi

Bi-Univalen

dengan ini menyatakan bahwa:

1. Skripsi ini adalah hasil pemikiran saya, bukan hasilmenjiplak dari tulisan orang lain. Rujukan-rujukan yangtercantum pada Daftar Pustaka hanya digunakan sebagaiacuan.

2. Apabila di kemudian hari Skripsi yang saya tulis terbuktihasil jiplakan, maka saya bersedia menanggung segalaakibat hukum dari keadaan tersebut.

Demikian pernyataan ini dibuat dengan segala kesadaran.

Malang, 28 Maret 2019yang menyatakan,

Agus Dwi AryatiNIM. 145090401111019

vii


ABSTRAK

Pada skripsi ini dibahas subkelas fungsi bi-univalen, yaitu hubunganfungsi univalen dengan bi-univalen untuk kelas H

↵⌃ dan H⌃(�), dan

ditentukan batas koefisien |a2| dan |a3| pada kelas tersebut.Kata kunci: fungsi univalen, fungsi bi-univalen, batas koefisien awal.

ix

INITIAL COEFFICIENT ON SUBCLASS BI-UNIVALENTFUNCTION

ABSTRACT

This final project discusses about subclass of bi-univalent functions,that is relationship of univalent functions with bi-univalent for classH

↵⌃ and H⌃(�), and determine coefficient bounds |a2| and |a3| for the

class.Keywords: univalent function, bi-univalent function, determine thecoefficient.

xi

KATA PENGANTAR

Puji syukur ke hadirat Allah SWT yang telah melimpahkanrahmat dan hidayahnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsiyang berjudul Koefisien Awal pada Subkelas Fungsi Bi-Univalendengan baik dan lancar. Shalawat dan salam selalu tercurahkankepada Rasulullah SAW sebagai suri teladan bagi penulis.

Skripsi ini tidak dapat diselesaikan dengan baik tanpa bantuan,bimbingan, dan motivasi dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulismenyampaikan terima kasih kepada

1. Drs. Abdul Rouf Alghofari, M.Sc., Ph.D. selaku dosenpembimbing skripsi atas segala bimbingan, motivasi, dan saranyang diberikan kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi inidengan baik dan benar.

2. Prof. Dr. Marjono, M.Phil. dan Corina Karim, S.Si., M.Si.,Ph.D. selaku dosen penguji, atas segala kritik dan saran yangdiberikan untuk perbaikan skripsi ini.

3. Sa‘adatul Fitri, S.Si., M.Sc. dan Ummu Habibah, S.Si., M.Si.,Ph.D. selaku dosen penasihat akademik yang telah memberikankritik, saran dan memotivasi penulis untuk menyelesaikanskripsi dengan baik.

4. Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si., M.Si., Ph.D. selaku KetuaJurusan Matematika dan Dr. Isnani Darti, S.Si., M.Si. selakuKetua Program Studi Matematika.

5. Para dosen jurusan matematika Universitas Brawijaya atas ilmuyang diberikan dan staff-staff tata usaha jurusan matematikayang telah membantu penulis dalam melengkapi berkas-berkasuntuk ujian skripsi.

6. Ayah, Ibu dan Abang yang selalu mendoakan dan memberikandukungan moril serta materil.

7. Teman- teman Matematika 2014, kakak tingkat, dan adik tingkatatas bantuan, doa, dan dukungan serta semua pihak yang telahmembantu dalam penulisan skripsi ini.

xiii

Semoga Allah SWT memberikan anugerah dan barokah-Nyakepada semua pihak yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini.Sebagai manusia yang tidak luput dari kesalahan, penulis menyadaribahwa dalam penulisan skripsi ini masih terdapat kekurangan. Olehkarena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran. Kritik dan sarandapat dikirim melalui email [email protected], untukperbaikan. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihakyang membutuhkan.

Malang, 28 Maret 2019

Penulis

xiv

DAFTAR ISI

HALAMAN SAMPUL iHALAMAN SAMPUL iiiLEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI vLEMBAR PERNYATAAN viiABSTRAK ixABSTRACT xiKATA PENGANTAR xiiiDAFTAR ISI xivDAFTAR SIMBOL xviiBAB I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 32.1 Bilangan Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Bidang Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Fungsi Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4 Transformasi Mobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.5 Limit Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.6 Fungsi Kontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.7 Turunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.8 Persamaan Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . 72.9 Deret Taylor-Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.10 Fungsi Analitik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.11 Fungsi Harmonik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.12 Fungsi Multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.13 Integral Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.13.1 Fungsi Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.14 Fungsi Univalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.14.1 Fungsi Bi-Univalen . . . . . . . . . . . . . . . 22BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN 23

3.1 Menentukan Batas Koefisien pada Kelas H↵⌃ . . . . . . 23

3.2 Menentukan Batas Koefisien pada Kelas H⌃(�) . . . . 31BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN 55

4.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

xv

DAFTAR PUSTAKA 57

xvi

DAFTAR SIMBOL

Simbol Keterangan

U : Domain {z : |z| < 1}.C : Himpunan bilangan kompleks.⌃ : Kelas dari fungsi bi-univalen.T⌃(µ) : Fungsi bi-univalen kelas T orde µ.T

↵⌃ : Fungsi bi-univalen kelas T pangkat ↵.

H⌃(�) : Fungsi bi-univalen kelas H orde �.H

↵⌃ : Fungsi bi-univalen kelas H pangkat ↵.

⇤ : Akhir dari pembuktian.:= : Definisi.

xvii

BAB IPENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari tidak lepas dari penggunaan ilmumatematika. Salah satu ilmu matematika yang sering digunakanadalah analisis. Analisis terbagi menjadi beberapa bidang keilmuan,yaitu analisis real dan analisis kompleks. Analisis kompleks adalahteori fungsi dari suatu variabel yang kompleks, seperti fungsi analitik,fungsi kompleks, dan fungsi univalen.

Fungsi univalen merupakan suatu fungsi yang pemetaannyabersifat injektif. Salah satu konsep fungsi univalen yang masihberkembang hingga saat ini, yaitu fungsi bi-univalen. Topik yangbanyak dibahas pada fungsi bi-univalen adalah menentukan subkelasdan mengestimasi koefisien awal.

Banyak ilmuwan yang telah memperkenalkan subkelas padafungsi bi-univalen. Salah satunya adalah Lewin pada tahun 1967meneliti kelas bi-univalen dan dibuktikan bahwa |a2| < 1.51. Padatahun 1969, Netanyahu menunjukkan bahwa batas koefisien |a2| =

43 .

Pada tahun 1970 Brannan dan Clunie menemukan batas koefisienuntuk |a2| 2. Pada tahun 2010, Srivastava, dkk dengan judulCertain Subclasses of Analytic and Bi-Univalent Functionsmemperkenalkan subkelas dari kelas H

↵⌃ dan H⌃(�) dengan syarat

arg(f 0(z)) ↵⇡2 dan Re(f 0(z)) > �. Fungsi dari kelas H

↵⌃ dan

H⌃(�) adalah fungsi bi-univalen jika dan hanya jika inversnyamerupakan univalen dan analitik kontinu di U. Pada paper tersebutdiperoleh batas koefisien untuk |a2| dan |a3|.

Arifin, (2018) dalam skripsinya yang berjudul Ketaksamaanpada Koefisien Awal untuk Beberapa Sub-Kelas Fungsi Bi-Univalen(kelas T⌃(µ) dan T↵

⌃ ) membahas tentang subkelas bi-univalen untukkelas T⌃(µ) dan T

↵⌃ dengan syarat Re

⇣z2f 0(z)f(z)2

⌘> 1 � µ dan

arg⇣z2f 0(z)f(z)2

⌘< ↵⇡

2 untuk mengestimasi koefisien awal |a2|, |a3|, dan|a4| pada kelas tersebut.

Sebelum dibahas kelas T⌃(µ) dan T↵⌃ dipelajari kelas H

↵⌃ dan

H⌃(�) terlebih dahulu sebagai dasar penelitian. Oleh karena itu,

1

dalam skripsi ini dibahas batas koefisien untuk subkelas pada fungsibi-univalen (kelas H↵

⌃ dan kelas H⌃(�)).

1.2 Rumusan MasalahBerdasarkan latar belakang yang telah dijelaskan, permasalahan

yang dibahas pada skripsi ini adalah bagaimana mendapatkan bataskoefisien |a2|, |a3| di kelas H↵

⌃ dan H⌃(�)?

1.3 TujuanTujuan dari skripsi ini adalah mendapatkan batas koefisien |a2|,

|a3| di kelas H↵⌃ dan H⌃(�).

2

BAB IITINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini diberikan definisi, teorema, lemma dan contohyang menjadi dasar pemikiran untuk memahami pembahasan padabab selanjutnya yang membahas batas koefisien awal subkelas fungsibi-univalen (kelas H↵

⌃ dan H⌃(�)). Teori-teori dalam bab ini dikutipdari Churchill, dkk. (1899), Duren, (1983), Tokarzewski, (2009),Wagner, (2014).

2.1 Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah bilang yang terdiri dari bagian realdan bagian imajiner. Bilangan kompleks dinotasikan z = x + yi,dimana x,y adalah bilangan real dan i adalah bilangan imajiner.Kumpulan dari bilangan-bilangan kompleks disebut sebagaihimpunan bilangan kompleks dan dinotasikan dengan C.

Contoh 2.1.1 Diberikan contoh bilangan-bilangan kompleks berikut

5 + 3i, 8 + 2i, dan 10 + 5i.

2.2 Bidang Kompleks

Pada bidang kompleks, sumbu x disebut sumbu real sedangkansumbu y disebut sumbu imajinier. Selain itu, suatu bilangan kompleksz dinyatakan sebagai vektor di bidang kompleks dengan titik pangkal(0, 0) dan titik ujung (x, y). Modulus merupakan panjang vektor(x, y), sedangkan argumen merupakan arah vektor (x, y). Modulusdari z = x+ iy, dinotasikan sebagain |z| didefinisikan

|z| =p

x2 + y2,

sedangkan argumen dari z, dinotasikan sebagai arg(z), didefinisikansebagai suatu sudut ✓ yang memenuhi

cos ✓ =x

|z|dan sin ✓ =

y

|z|.

3

2.3 Fungsi Kompleks

Pada sub bab ini dibahas fungsi kompleks. Seperti yang telahdikenal bahwa fungsi adalah suatu pemetaaan yang memetakandomain ke kodomain. Fungsi tersebut dikatakan fungsi kompleks jikamemetakan suatu bilangan kompleks atau memiliki peubah kompleks.

Definisi 2.3.1 Misalkan f : A ! C dengan A ✓ C. Jika z dinamakansuatu variabel kompleks di dalam A maka nilai fungsi f(z) = wadalah bilangan kompleks. Fungsi yang terdiri dari bilangankompleks disebut fungsi kompleks.

Contoh 2.3.2 Diberikan contoh dari fungsi kompleks f(z) = 5 + 7zdengan z 2 C.

2.4 Transformasi Mobius

Transformasi Mobius adalah suatu fungsi pada bidangkompleks. Transformasi Mobius dikenal dengan istilah homographictransformations, linear fractional transformations, atau bilineartransformations. Pertama kali dikenalkan oleh Auguste FerdinandMobius.

Definisi 2.4.1 Transformasi Mobius adalah fungsi dari bentuk

f(z) =az + b

cz + d,

dimana a, b, c, d 2 C sehingga ad� bc 6= 0. Ambil z ! 1, f(z) ! ac

jika c 6= 0 dan f(z) ! 1 jika c = 0, maka

f(z) ⇠=az

cz=

a

c.

Teorema 2.4.2 Misalkan f(z) adalah fungsi analitik dalamU := {z 2 C : |z| < 1} dan w = f(z). Transformasi Mobius terdiridari transformasi-transformasi translasi, dilatasi, dan inversi�g(z) = 1

z

�. Oleh karena itu, f(z) dikatakan transformasi Mobius

jika dan hanya jika f(z) memenuhi persamaan (2.2).

Bukti. Jika c = 0, maka

f(z) =a

dz +

b

d

4

merupakan komposisi dari translasi dan dilatasi. Oleh karena itu, c 6= 0menjadi

w = f(z) =az + b

cz + d

=ac (cz + d) + b� ad

c

cz + d

=a

c�

ad� bc

c

1

cz + d

=a

c�

ad� bc

c21

z + dc

=a

c+

bc� ad

c21

z + dc

= P +R1

z + dc

.

dengan P = ac dan R = ad�bc

c 6= 0.

Grup Mobius terdiri dari grup gerak rigid Euclid (a = 1,c = 0, d = 1) dan grup similaritas (a 6= 0, c = 0, d = 1) sebagaisubgrup-subgrup. Sehingga transformasi Mobius didefinisikanmenjadi

f(z) =az + b

cz + d, ad� bc = 1.

2.5 Limit Fungsi

Definisi 2.5.1 Misalkan f(z) adalah fungsi kompleks dengan domainUf ✓ C dan z0 2 C, dengan z0 adalah titik limit dari Uf . Limit f(z)mendekati L jika z mendekati z0 didefinisikan dan dinotasikan sebagai

limz!z0

f(z) = L , 8✏ > 0, terdapat � > 0 3 |f(z)� L| < ✏,

dimana 0 < |z � z0| < �.Berlaku setiap ✏ > 0 terdapat � > 0, untuk semua zdimana 0 < |z � c| < �.

Contoh 2.5.2 Diberikan fungsi f(z) = z2 untuk 0 < z < 10.Buktikan bahwa limz!3 f(z) = 9.

5

Bukti. Ambil sembarang ✏ > 0.

|z2 � 9| = |(z � 3)(z + 3)|

= |z � 3||z + 3|

= |z � 3||(z � 3) + 6|.

Jika |z � 3| < 1, maka |(z � 3) + 6| |z � 3| + 6 < 1 + 6 = 7sehingga diperoleh

|z2 � 9| < 7|z � 3|.

Jika � = min�1, ✏

7

, maka untuk setiap z 2 (0, 10) dengan

0 < |z � 3| < � berlaku

|z2 � 9| < 7|z � 3| < � 7 = (✏

7)7 = ✏.

Terbukti limz!3 f(z) = 9. Dalam hal ini limz!3 f(z) = 9 = f(3).

2.6 Fungsi KontinuDefinisi 2.6.1 Fungsi f dikatakan kontinu di z0 2 Uf jika untuk setiapbilangan real ✏ > 0 terdapat bilangan � > 0 sehingga untuk setiapz 2 Uf dengan |z � z0| < � berlaku

|f(z)� f(z0)| < ✏.

Fungsi f dikatakan kontinu pada A ⇢ Uf jika f kontinu di setiapz 2 A.

Contoh 2.6.2 Ditinjau fungsi real f yang didefinisikan pada [0, 2)dengan persamaan

f(z) =

(z2, jika 0x< 1z + 1, jika 1x< 2.

Fungsi f kontinu di setiap titik z 2 [0, 1), sebab untuk setiap ✏ > 0dan sebarang titik z0 2 [0, 1) terdapat � > 0, sehingga untuk setiapz 2 [0, 1) dengan |z � z0| < � berlaku

|f(z)� f(z0)| = |z2 � z20 | = |(z � z0)(z + z0)| < 2|z � z0| < ✏,

6

jika dipilih � < ✏2 . Sehingga f kontinu pada interval [1, 2). Oleh sebab

itu, jika diambil sebarang titik a 2 [1, 2), maka untuk setiap z 2 [1, 2)dengan |z � a| < � berlaku

|f(z)� f(a)| = |(z + 1)� (a+ 1)| = |z � a| < � = ✏,

dengan dipilih � = ✏. Untuk z = 1, f tidak kontinu di titik tersebutkarena limz!1 z2 = 1 6= 2 = f(1).

2.7 Turunan

Definisi 2.7.1 Misalkan f(z) adalah fungsi kompleks dengan domainUf ✓ C dan z0 2 Uf . Fungsi f(z) dapat diturunkan di titik (z0),apabila

f 0(z0) = lim�z!0

f(z0 +�z)� f(z0)

�z,

dengan �z = �x + i�y. Jika nilai limit tersebut ada, maka nilailimit tersebut dapat disimbolkan sebagai f 0(z0) dan disebut sebagaiturunan f di z0. jika f 0(z0) limitnya ada maka dikatakan bahwa fterdiferensialkan di z = z0.

Contoh 2.7.2 Diberikan f(z) = 13z � 6. Tentukan f 0(z).

Bukti.

f 0(z) = limh!0

f(z + h)� f(z)

h

= limh!0

(13(z + h)� 6)� (13(z)� 6)

h

= limh!0

13h

h= 13.

2.8 Persamaan Cauchy-Riemann

Teorema 2.8.1 Misalkan U adalah daerah domain U ⇢ Cdengan f(z) merupakan fungsi kompleks dan z 2 U. Jika fungsif(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) terdeferensial di z0 = x0 + iy0,

7

maka u(x, y) dan v(x, y) mempunyai turunan parsial pertama di(x0, y0), dan di titik ini dipenuhi persamaan

@u

@x=

@v

@ydan

@u

@y= �

@v

@x.

Dengan demikian, jika@u

@x,@u

@y,@v

@x,@v

@yada, kontinu, dan memenuhi

persamaan Cauchy-Riemann, maka f analitik di A dan f 0(z0) dapatditulis dalam bentuk

f 0(z0) =@u

@x+ i

@u

@x=

@u

@x(x0, y0) + i

@u

@x(x0, y0).

Bukti. Jika f 0(z0) ada dan u dan v memenuhi persamaanCauchy-Riemann, maka

f 0(z0) = limz! z0

f(z)� f(z0)

z � z0.

Karena z = x+ iy, maka

limz�!z0

f(z)� f(z0)

z � z0

= lim(x,y)�!(x0,y0)

u(x, y) + iv(x, y)� u(x0, y0)� iv(x0, y0)

(x+ iy)� (x0 + iy0)

= lim(x,y)�!(x0,y0)

u(x, y) + iv(x, y)� u(x0, y0)� iv(x0, y0)

(x+ iy)� (x0 + iy0)

Jika x = x0 maka

limy�!y0

f(z)� f(z0)

z � z0= lim

y�!y0

u(x, y) + iv(x, y)� u(x0, y0)� iv(x0, y0)

(x0 � x0) + i(y � y0)

= limy�!y0

u(x0, y) + iv(x0, y)� u(x0, y0)� iv(x0, y0)

(x0 � x0) + i(y � y0)

= limy�!y0

u(x0, y) + iv(x0, y)� u(x0, y0)� iv(x0, y0)

i(y � y0)

= limy�!y0

u(x0, y)� u(x0, y0) + i[v(x0, y)� v(x0, y0)

i(y � y0)

=1

i

@u(x0, y)

@y+

@v(x0, y)

@y

=@v

@y� i

@u

@y

8

Jika y = y0, maka

limx�!x0

f(z)� f(z0)

z � z0= lim

x�!x0

u(x, y) + iv(x, y)� u(x0, y0)� iv(x0, y0)

(x� x0) + i(y � y0)

= limx�!x0

u(x, y0) + iv(x, y0)� u(x0, y0)� iv(x0, y0)

(x� x0) + i(y0 � y0)

= limx�!x0

u(x, y0) + iv(x, y0)� u(x0, y0)� iv(x0, y0)

(x� x0)

= limx�!x0

u(x, y0)� u(x0, y0) + i[v(x, y0)� v(x0, y0)]

(x� x0)

=@u(x, y0)

@x+ i

@v(x, y0)

@x

Jadi, karena f 0(z0) ada dan mempunyai nilai sama terlepas daribagaimana z mendekati z0, diperoleh

f 0(z0) =@u

@x+ i

@v

@x=

@v

@y� i

@u

@y.

Sehingga persamaan Cauchy-Riemann berlaku

@u

@x=

@v

@ydan

@v

@x= �

@u

@y.

Contoh 2.8.2 Tunjukkan bahwa f(z) = z2 + 1 mempunyai turunandi setiap z, dan tentukan f 0(z).

Penyelesaian: Nyatakan

f(z) = z2 + 1 = (x2 � y2 + 1) + i2xy

maka diperoleh

u(x, y) = x2 � y2 + 1 dan v(x, y) = 2xy

sehingga

ux(x, y) = 2x, vx(x, y) = 2y,

uy(x, y) = �2y, vy(x, y) = 2x.

9

Oleh karena itu, u dan v kontinu di setiap (x, y) dan di titik tersebutberlaku persamaan Cauchy-Riemann

ux(x, y) = vy(x, y) uy(x, y) = �vx(x, y)

Jadi, menurut Teorema (2.8.1) f 0(z) ada dan

f 0(z) = ux(x, y) + iv(x, y) = 2x+ i2y = 2z.

Contoh 2.8.3 Tentukan titik-titik dimana f(z) = x3 + 4i(y � 1)3

mempunyai turunan. Selanjutnya, tentukan f 0(�2+2i) dan f 0(2+3i).

Penyelesaian: Turunan partial u dan v berturut-turut adalah

ux(x, y) = 3x2, vx(x, y) = 0,

uy(x, y) = 0, vy(x, y) = 12(y � 1)2,

dan karena masing-masing berupa polinomial maka ux, uy, vx, dan vysemua kontinu di setiap (x, y). Persamaan Cauchy-Riemann dipenuhiapabila

3x2 = 12(y � 1)2 $ x = ±2i(y � 1)

maka f 0(z) ada di B = {z = x+ iy : x = ±2i(y � 1)} dan menurutTeorema (2.8.1)

f 0(z) = 3x2 = 12(y � 1)2.

Jadi, untuk f 0(�2 + 2i) = 12, karena

z = x+ iy

z = 2i(y � 1) + iy

z = i(3y � 2)

z = i(6� 2)

z = i4,

sedangkanf 0(�2 + 2i) = 12, maka f 0(�2 + 2i) /2 B.

Untuk f 0(2 + 3i) terbukti bahwa tidak memenuhi Teorema (2.8.1)

ux = 3x2

= 12.

vy = 12(y � 1)2

= 48.

karena f 0(2 + 3i) tidak terdefinisi ux 6= vymaka f 0(2 + 3i) /2 B.

10

2.9 Deret Taylor-Maclaurin

Deret Taylor-Maclaurin digunakan untuk normalisasi suatufungsi pada bab selanjutnya.

Definisi 2.9.1 Misalkan f(z) analitik dalam U ⇢ C dan z 2 U makaf(z) diekspansi menjadi deret pangkat yang koefisiennya ditentukandengan cara menghitung turunan fungsi pada z0. Ekspansi deret Taylordapat dituliskan menjadi

f(z) = f(z0) + f 0(z0)(z � z0) +f 00(z0)

2!(z � z0)

k

+f 000(z0)

3!(z � z0)

k + · · ·+f (k)(z0)

k!(z � z0)

k.

Contoh 2.9.2 Diberikan f(z) = z�1 dan z0 = 1 dapat diekspansikanmenjadi deret Taylor berikut

f(z) = f(1) + f 0(1)(z � 1) +f 00(1)

2!(z � 1)k

+f 000(1)

3!(z � 1)k + · · ·+

f (k)(1)

k!(z � 1)k

f(z) = 1�1 + (�1(z � 1)) +(�1(z � 1)2)

2!

+(�1(z � 1)3)

3!+ · · ·+

f (k)(1)

k!(z � 1)k

f(z) = 1� (z � 1)�(z � 1)2

2�

(z � 1)3

6+ · · ·+

f (k)(1)

k!(z � 1)k.

Uraian deret pangkat dari f di sekitar z0 = a disebut deret Tayloruntuk f di a

f(z) = c0 + c1(z � a) + c2(z � a)2 + · · · .

Fungsi di titik z0 = 0 disebut deret Maclaurin dan dinotasikan

f(z) = f(0) + f 0(0)(z � 0) +f 00(0)

2!(z � 0)

+ · · ·+f (k)(0)

n!(z � 0)k

11

f(z) =1X

k=0

f (k)(0)

k!(z)k

f(z) =1X

k=0

(z)k.

Jika z0 = 0, maka deret tersebut merupakan deret Maclaurin untuk f

f(z) = c0 + c1z + c2z2 + · · · .

2.10 Fungsi Analitik

Fungsi kompleks memiliki beberapa operasi matematis salahsatunya adalah turunan. Hasil turunan dari fungsi kompleks terkadangada yang terdefinisi untuk setiap elemen pada suatu domain dan adayang tidak terdefinisi. Fungsi kompleks yang memiliki turunan didomain tertentu maka fungsi tersebut merupakan fungsi yang analitik.

Definisi 2.10.1 Misalkan fungsi w = f(z) yang didefinisikan padasuatu domain U dan z0 2 U. Fungsi f dikatakan analitik di z0 jika� > 0 sehingga f terdiferensial di setiap titik z dalam persekitaran z0.Fungsi entire atau holomorphic adalah fungsi yang analitik di setiaptitik pada bidang kompleks. Jika fungsi f tidak analitik di titik z0tetapi analitik pada beberapa titik dalam setiap persekitaran z0, makaz0 disebut titik singular. Fungsi yang merupakan hasil bagi dua fungsientire disebut meromorphic.

Contoh 2.10.2 Diberikan f(z) = 1/z dalam domain U. Fungsi fdikatakan analitik pada semua z yang terletak pada suatu persekitaranz0 dari U.

Contoh 2.10.3 Diberikan g(z) = ln(z � 1) dengan domain U. g(z)adalah fungsi analitik dengan g0(z) = 1/(z�1), g(z) analitik di semuatitik z kecuali di titik z = 1.

Definisi 2.10.4 Suatu polynomial p(z) = a0+a1z+a2z2+· · ·+anzn

dengan domain U := {z : |z| < 1} adalah suatu fungsi yang analitikdi setiap titiknya karena p0(z) ada di semua titik z.

Contoh 2.10.5 Diberikan f(z) = z3 + 2z2 + 5 dengan domainU := {z : |z| < 1} adalah fungsi yang analitik karenaf 0(z) = 3z2 + 4z terdefinisi untuk setiap z 2 U.

12

Contoh 2.10.6 Diberikan

f(z) =z3 � z + 1

z2 + 1

dengan domain U := {z : |z| < 1} adalah fungsi analitik karena f 0(z)ada di semua titik z kecuali di titik z = ±i tidak terdefinisi.

Contoh 2.10.7 Diberikan z = x+ iy dengan z > 0,z 2 U. Tentukanbahwa f(z) = ez adalah fungsi yang analitik di semua titik z.

Bukti.

f(z) = ez

ez = e(x+iy)

= ex(cosy + isiny)

= excosy + iexsiny

f 0(z) = ez

= excosy + iexsiny,

dengan f(z) = ez sehingga f 0(z) = ez . Oleh karena itu, f(z)merupakan fungsi yang analitik di semua titik z.

Contoh 2.10.8 Diberikan z = x+ iy dengan z > 0, z 2 U. Tentukanbahwa f(z) = ex�iy tidak analitik di titik z.

Bukti.

f(z) = ex�iy

=ex

cosy + isiny

=ex(cosy � isiny)

cos2y � (i2sin2y)

=ex(cosy � isiny)

cos2y + sin2y

= excosy � iexsiny

ux = excosy uy = �exsiny

vx = �exsiny vy = �excosy,

13

dengan syarat jika ux = vy dan uy = �vx maka f(z) dapat dikatakananalitik. Oleh karena itu, f(z) = ex�iy tidak memenuhi syarattersebut, sehingga f(z) tidak analitik di titik z.

2.11 Fungsi HarmonikDefinisi 2.11.1 Suatu fungsi real f(z) disebut fungsi harmonik jikaf(z) memenuhi persamaan turunan parsial.

@2f

@x2+

@2f

@y2= 0.

Persamaan turunan parsial tersebut dikenal sebagai persamaanLaplace.

Contoh 2.11.2 Diberikan f(z) = sin x cosh y+i cos x sinh y adalahfungsi yang harmonik.

Bukti.

ux = cos x cosh y, uy = sin x sinh y,

vx = �sin x sinh y, vy = cos x cosh y,

uxx = �sin x cosh y, uyy = sin x cosh y,

vxx = �cos x sinh y, vyy = cos x sinh y.

uxx + uyy = 0 dan vxx + vyy = 0.

Teorema 2.11.3 Jika f(z) analitik maka bagian real dan imajiner darif(z) adalah fungsi-fungsi harmonik.

Bukti. Diberikan f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Akan dibuktikan bahwa

@2u

@x2+

@2u

@y2= 0 dan

@2v

@x2+

@2v

@y2= 0

karena f(z) analitik maka f(z) dapat diturunkan di setiap z 2 C,sehingga berlaku persamaan Cauchy-Riemann, yaitu

ux = vy dan uy = �vx.

14

Perhatikan bahwa uxx = vxy = vyx = �uyy, sehingga diperolehuntuk uxx = �uyy atau

@2u

@x2+

@2u

@y2= 0,

dengan cara yang sama diperoleh vxx = �vxy = �uyx = �vyysehingga diperoleh persamaan berikut

@2v

@x2+

@2v

@y2= 0.

Oleh karena itu, v(x, y) disebut harmonik sekawan dari u(x, y).

2.12 Fungsi MultinomialFungsi multinomial digunakan pada pembahasan untuk

menentukan batas koefisien di kelas H↵⌃.

Definisi 2.12.1 Fungsi multinomial adalah suatu fungsi yangdipetakan dari himpunan An yaitu suatu himpunan berdimensi n kehimpunan B dengan A,B ✓ C atau suatu fungsi dengan n variabelyang independen, dimana n 2 N.

Teorema 2.12.2 Untuk setiap n 2 N dan k 2 P

(x1 + x2 + ...+ xk)n =

X

n1+n2+...+nk=n

✓n

n1, n2, ..., nk

◆xn11 xn2

2 ...xnkk .

Jadi, jumlah dari semua koefisien k-polynomial dari order n adalah kn.

Bukti. Basis induksiMisalkan n = 1, dihasilkan

(x1 + x2 + ...+ xk)

=

✓1

1, 0, ..., 0

◆x1 +

✓1

0, 1, ..., 0

◆x2 + · · ·+

✓1

0, 0, ..., 1

◆xk.

Langkah induksiMisalkan untuk n = a, berlaku untuk persamaan berikut:

(x1 + x2 + ...+ xk)a

15

=X

n1+n2+...+nk=a

✓a

n1, n2, ..., nk

◆xn11 xn2

2 ...xnkk . (2.1)

Akan dibuktikan untuk n = a+ 1 berlaku persamaan berikut

(x1 + x2 + ...+ xk)a+1

=X

n1+n2+...+nk=a+1

✓a+ 1

n1, n2, ..., nk

◆xn11 xn2

2 ...xnkk . (2.2)

Sehingga dihasilkan

(x1 + x2 + ...+ xk)a+1

= (x1 + x2 + ...+ xk)a(x1 + x2 + ...+ xk). (2.3)

Setelah itu, substitusi persamaan (2.3) ke persamaan (2.5)

(x1 + x2 + ...+ xk)a+1

=

X

n1+n2+...+nk=a

✓a

n1, n2, ..., nk

◆xn11 xn2

2 ...xnkk

!(x1 + x2 + ...+ xk)

=

X

n1+n2+...+nk=a

✓a

n1, n2, ..., nk

◆xn1+11 xn2

2 ...xnkk

!

+

X

n1+n2+...+nk=a

✓a

n1, n2, ..., nk

◆xn11 xn2+1

2 ...xnkk

!

+

X

n1+n2+...+nk=a

✓a

n1, n2, ..., nk

◆xn11 xn2

2 ...xnk+1k

!

=

✓xa+11 + axa1x2 + · · ·+

✓a

n1, n2, ..., nk

◆xn1+11 xn2

2 ...xnkk

◆

+

✓xa1 + axa�1

1 x22 + · · ·+

✓a

n1, n2, ..., nk

◆xn1+11 xn2+1

2 ...xnkk

◆+ · · ·

16

+

✓xa1 + axa�1

1 xk + · · ·+

✓a

n1, n2, ..., nk

◆xn11 xn2+1

2 ...xnk+1k

◆.

Kemudian, misalkan: ni + 1 = di, 8i 2 {1, 2, 3, ..., k} denganmenggunakan persamaan (2.4) dihasilkan

(xa+11 + xa+1

2 + ...+ xa+1k ) + (a+ 1)xa1x2 + ...+ (a+ 1)xa1xk + · · ·+

✓a

d1�1, d2, ..., dk

◆+

✓a

n1, d2�1, ..., dk

◆+

✓a

d1, d2, ..., dk�1

◆�

(xd11 xd22 ...xdkk )

=

✓a+ 1

a+ 1, 0, ..., 0

◆xa+11 +

✓a+ 1

a+ 1, 0, ..., 0

◆xa+12 + · · ·+

✓a+ 1

d1, d2, ..., dk

◆(xd11 xd22 ...xdkk )

=X

d1+d2+...+dk=a+1

✓a+ 1

d1, d2, ..., dk

◆(xd11 xd22 ...xdkk ).

Berdasarkan persamaan (2.4) dengan menggunakan kembali definisidi = ni, 8i 2 {1, 2, 3, ..., k} menghasilkan persamaan:

(x1 + x2 + ...+ xk)a+1

= (x1 + x2 + ...+ xk)a(x1 + x2 + ...+ xk)

=X

n1+n2+···+nk=a+1

✓a+ 1

n1, n2, ..., nk

◆xn22 xn2

2 · · ·xnkk .

Contoh 2.12.3 Misalkan untuk n = � berlaku persamaan berikut:

(c1 + c2 + ...+ ck)� =

X

n1+n2+...+nk=�

✓�

n1, n2, ..., nk

◆zn11 zn2

2 ...znkk .

[V (z)]� = (1 + c1z + c2z2 + c3z

3 + c4z4 + · · · )�

= 1 +

✓�

1,↵� 1, ..., 0, 0

◆c1z +

✓�

� � 1, 0, 1, ..., 0, 0

◆c2z

2

17

+

✓�

� � 2, 2, ..., 0, 0

◆c21z

2 +

✓�

� � 1, 0, 0, 1, ..., 0, 0

◆c3z

3

+

✓�

� � 2, 1, 1..., 0, 0

◆(c1c2)z

3 +

✓�

� � 3, 3, ..., 0, 0

◆c31z

3 + · · ·

[V (z)]� = 1 + �c1z + [�c2 +�(� � 1)

2c21]z

2 + [�c3 +�(� � 1)

2(c1c2)

+�(� � 1)(� � 2)

6c31]z

3 + · · · .

2.13 Integral PoissonTeorema 2.13.1 Misalkan u adalah fungsi harmonik dalamQ = {|z � z0| < R0}.

u(z0 + reit) =1

2⇡

Z 2⇡

0

R2� r2

R2 � 2Rrcos(✓ � t) + r2u(z0 +Ri✓)d✓,

dimana 0 < r < R < R0, 0 t 2⇡.

Bukti. Diketahui z0 = 0 dan u dikatakan harmonik dalam |z| < R0, umempunyai harmonik konjugasi v pada |z| < R0, sehinggaf = u+iv merupakan fungsi yang analitik pada |z| < R0. Sedemikiansehingga 0 < |z0| < R0, 0 < r < R < R0, dan 0 t 2⇡ menjadiz0 = reit,dengan formula integral Cauchy diperoleh

f(reit) = f(z0) =1

2⇡i

Z

|z|=R

f(z)

z � reitdz. (2.4)

Misalkan titik konjugasi pada z0 adalah R2

r eit, jadi persamaan teoremaChauchy-Goursat diperoleh

0 =1

2⇡i

Z

|z|=R

f(z)

z � R2

r eitdz. (2.5)

Berdasarkan persamaan (2.6) dan persamaan (2.7) diperoleh

f(reit) =1

2⇡i

Z

|z|=Rf(z)[

1

z � reit�

1

z � reit]idz,

18

dimana z = Rei✓, 0 ✓ 2⇡.

f(reit) =1

2⇡i

Z 2⇡

0f(Rei✓)[

1

Rei✓ � reit�

1

Rei✓ � reit]iRei✓d✓

(2.6)

=1

2⇡

Z 2⇡

0

R2� r2

R2 � 2Rrcos(✓ � t) + r2f(Rei✓)d✓. (2.7)

Setelah itu, persamaan (2.9) digabungkan dengan bagian real danbagian imajiner diperoleh

u(z0 + reit) =1

2⇡

Z 2⇡

0

R2� r2

R2 � r2Rrcos(✓ � t) + r2u(z0 +Ri✓)d✓.

2.13.1 Fungsi StieltjesFungsi stieltjes digunkan pada pembahasan untuk membuktikan

teorema dan digunakan lemma pada fungsi herglozt untuk menentukanbatas koefisien awal di kelas H↵

⌃ dan H⌃(�).

Definsi 2.13.1.1 Misalkan f(z) ⌘R10

dt p(t)1+zt dengan p(t) � 0,8t � 0

dan berlaku an =R10 dt p(t)tn. Oleh karena itu, f(z) merupakan

fungsi analitik dalam U sehingga f(z) ! 0 dan |z| ! 1 dikatakanStieltjes apabila memenuhi fungsi Herglotz.

Contoh 2.13.1.2 Diberikan f(z) =R10

dt p(t)1+(x+iy)t)

1+at�ibt1+at�ibt , f(z)

analitik karena memiliki turunan, yaitu f 0(z) = �R10

p(t)dt t1+zt2

f(z) =

Z 1

0

dt p(t)

1 + (x+ iy)t)

1 + at� ibt

1 + at� ibt

=

Z 1

0

dt p(t)(1 + at� ibt)

(1 + at)2 + b2t2

Im f(z) =

Z 1

0

dt p(t)t

(1 + at)2 + b2t2.

Oleh sebab itu, Im f(z) ! b atau Im (�f(z)) ! �b.Fungsi Herglotz dalam domain U adalah fungsi yang analitik pada

19

semua titik di z. Jika f(z) analitik maka herglotz berlaku

f(z) =1X

n=0

anzn, z 2 U

substitusi z = rei✓menjadi

f(z) =1X

n=0

anrnein✓, z 2 U

Im f(z) =1X

n=0

anrnsin(n✓)

untukP1

0 anrnsin(n✓)

n sin ✓ � sin(n✓) untuk 0 ✓ ⇡

n sin ✓ ± sin (n✓) menjadi sin ✓

Z ⇡

0d✓ sin (n✓) sin(m✓) =

(0, untukn 6= m

2, jikan = m

n sin ✓ ± sin (n✓) menjadi⇡

2,

Z ⇡

0d✓

⇡

2a1r ±

⇡

2anr

n

an = 0 untuk n > 1

Setiap f(z) 2 U(0, 1) diubah menjadi suatu integral Poisson - Stieltjesberikut

f(z) =

Z 2⇡

0

eit + z

eit � zdµ(t), (2.8)

dengan syarat dµ(t) � 0 danRdµ(t) = 1.

20

Lemma 2.13.1.3 Jika '(z) kelas fungsi analitik dalam U denganbagian real positif, diberikan sebagai berikut:

'(z) = 1 + c1z + c2z2 + c3z

3 + ...+ cnzn, (z 2 U).

dimana |cn| 2 untuk setiap n 2 N. Berdasarkan persamaan (2.10)akan dibuktikan jika '(z) maka |cn| 2.

Bukti. Perhatikan persamaan berikut

eit + z

eit � z= 1 + 2

1X

n=1

e�intzn (2.9)

dari persamaan (2.11) dapat diperoleh integral Poisson dengankoefisien sebagai berikut

|cn| = 2

Z 2⇡

0eintdµ(t), n = 1, 2, 3, ...

|cn| = 2(1)

|cn| = 2.

Jadi, diperoleh nilai |cn| 2 dengan syaratR 2⇡0 eintdµ(t) = 1.

Sehingga '(z) menjadi

'(z) =1 + z

1� z= 1 + 2

1X

n=1

zn.

2.14 Fungsi UnivalenSuatu fungsi analitik digolongkan berdasarkan hasil

pemetaannya, yaitu fungsi yang surjektif, injektif, dan bijektif. Padasub bab ini dibahas fungsi analitik yang termasuk fungsi injektif ataudikenal sebagai fungsi univalen. Fungsi Univalen digunakan sebagaidasar untuk mendefinisikan fungsi bi-univalen.

Definisi 2.14.1 Misalkan z 2 U dimana U := {z : |z| < 1} . Fungsif(z) yang analitik dalam U disebut univalen jika dan hanya jikamemenuhi kondisi f(z1) 6= f(z2), 8z1, z2 2 U dengan z1 6= z2.

21

Contoh 2.14.2 Diberikan f(z) = z + 3 di domainU := {z : |z| < 1}. f(z) adalah fungsi univalen. Fungsi f(z)dikatakan univalen jika z1 6= z2 maka f(z1) 6= f(z2).

2.14.1 Fungsi Bi-UnivalenFungsi bi-univalen digunakan untuk menentukan subkelas bi-

univalen di kelas H↵⌃ dan H⌃(�).

Definisi 2.14.1.1 Misalkan U adalah domain dalam C. Fungsi f(z)dikatakan fungsi bi-univalen jika dan hanya jika f(z) dan inversnyamerupakan fungsi yang analitik di U.Contoh 2.14.1.2 Diberikan f(z) = 2z + 1 di domainU. f(z) adalah fungsi analitik sehingga f�1(z) harus analitik di U.Akan dibuktikan f(z) dan f�1(z) memiliki turunan

f(z) = 2z + 1

f 0(z) = 2

dan

f�1(z) =z � 1

2

f 0�1(z) =2

4

f 0�1(z) =1

2.

Jadi, f(z) adalah fungsi bi-univalen karena terbukti f(z) dan f�1(z)analitik di U.

22

BAB IIIHASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini dibahas subkelas dari fungsi bi-univalen, yaitukelas H↵

⌃ dan H⌃(�) untuk menentukan koefisien awal.

3.1 Menentukan Batas Koefisien pada Kelas H↵⌃

Misalkan A merupakan himpunan fungsi analitik. S adalahhimpunan bagian dari A, S menunjukkan kelas fungsi darinormalisasi f(z). Kemudian dihasilkan normalisasi f(z) oleh deretTaylor-Maclaurin

f(z) = z +1X

n=2

anzn, (z 2 U) (3.1)

dan g(w) = f�1(w) sehingga dihasilkan fungsi g(w), yaitu

g(w) = w � a2w2 + (2a22 � a3)w

3 + · · · . (3.2)

Diberikan kelas fungsi bi-univalen ⌃, suatu fungsi termasukdalam kelas ⌃ apabila memenuhi syarat

⌃ = {f 2 S|f dan f�1 univalen di domain U}.

H↵⌃ adalah subkelas fungsi bi-univalen dari kelas ⌃ orde ↵ pada

domain U.

Definisi 3.1.1 Suatu fungsi f(z) pada persamaan (3.1) termasuk dikelas H↵

⌃ (0 < ↵ 1) jika memenuhi kondisi

f 2 ⌃ dan |arg(f 0(z))| ↵⇡

2, (z 2 U; 0 < ↵ 1)

dan g(w) = f�1(w)

|arg(g0(w))| <↵⇡

2, (z 2 U; 0 < ↵ 1),

dimana fungsi g(w) diketahui

g(w) = w � a2w2 + (2a22 � a3)w

3 + · · · .

23

Contoh 3.1.2 Diberikan f(z) = ez , akan dibuktikan apakah f(z)termasuk fungsi di kelas H↵

⌃.Langkah 1f(z) merupakan fungsi yang termasuk kelas ⌃ karena f(z) danf�1(z) analitik di domain U.

f(z) = 1 + z +z2

2+ z

z3

6+

z4

24+ · · ·

f 0(z) = 1 + z +z2

2+

z3

6+ · · ·

dan

f�1(z) = 1� z �z2

2�

z3

6�

z4

24� · · ·

f 0�1(z) = �1 + z �z2

2�

z3

6� · · · .

Buktikan apakah f(z) memenuhi syarat |arg(f 0(z))| ↵⇡2

f 0(z) = 1 + z +z2

2+

z3

6+ · · ·

|arg(f 0(z))| ↵⇡

2⇡

4

↵⇡

2,

karena f(z) memenuhi syarat |arg(f 0(z))| ↵⇡2 maka f(z)

termasuk di kelas ⌃.Langkah 2Jika g(w) dan g�1(w) analitik di domain U, maka g(w) merupakanfungsi yang termasuk di kelas ⌃.

g(w) = 1� w �w2

2�

w3

6�

w4

24� · · ·

g0(w) = �1� w �w2

2+

w3

6� · · ·

g�1(w) = 1 + w +w2

2+

w3

6+

w4

24+ · · ·

24

g0�1(w) = �1 + w +w2

2�

w3

6+ · · · .

Selain itu, buktikan apakah g(w) memenuhi syarat |arg(g0(w))| < ↵⇡2

g0(w) = �1� w �w2

2+

w3

6� · · ·

|arg(g0(w))| <↵⇡

2⇡

4<

↵⇡

2.

Jadi, f(z) merupakan fungsi yang termasuk di kelas H↵⌃ karena syarat

dari Definisi (3.1.1) terpenuhi.

Contoh 3.1.3 Diberikan f(z) = z1�z2 akan dibuktikan apakah f(z)

termasuk fungsi di kelas H↵⌃.

Langkah 1f(z) merupakan fungsi yang termasuk kelas ⌃ karena f(z) danf�1(z) analitik di domain U.

f(z) =z

1� z2

f 0(z) =1 + z2

(1� z2)2

dan

f�1(z) =z

1 + z2

f 0�1(z) =1 + z2

(1 + z2)2.

Buktikan apakah f(z) memenuhi syarat |arg(f 0(z))| ↵⇡2

f 0(z) =1 + z2

(1� z2)2

|arg(f 0(z))| ↵⇡

2

25

dan

|arg(g0(w))| <↵⇡

2.

Sehingga diperoleh

f 0(z) = [Q(z)]↵ dan g0(w) = [L(w)]↵, (3.4)

dimana fungsi f 0(z),Q(z), g0(w), dan L(w) adiketahui

Q(z) =1 + f(z)

1� f(z)= 1 + c1z + c2z

2 + · · · , (3.5)

f 0(z) = 1 + 2a2z + 3a3z2 + 4a4z

3 + · · · (3.6)

dan

L(w) =1 + g(w)

1� g(w)= 1 + l1w + l2w

2 + · · · , (3.7)

g0(w) = 1� 2a2w + 3(2a22 � a3)w2 + · · · , (3.8)

dengan syarat Q(z) dan L(w) memenuhi kondisi

Re(Q(z)) > 0 (z 2 U) dan Re(L(w)) > 0 (w 2 U)

dengan menggunakan Teorema (2.12.3) dihitung persamaan (3.5)pangkat ↵

[Q(z)]↵ = (1 + c1z + c2z2 + c3z

3 + · · · )↵

= 1 +

✓↵

1,↵� 1, ..., 0, 0

◆c1z +

✓↵

↵� 1, 0, 1, ..., 0, 0

◆c2z

2

+

✓↵

↵� 2, 2, ..., 0, 0

◆c21z

2 +

✓↵

↵� 1, 0, 0, 1, ..., 0, 0

◆c3z

3

+

✓↵

↵� 2, 1, 1..., 0, 0

◆(c1c2)z

3 +

✓↵

↵� 3, 3, ..., 0, 0

◆c31z

3

+ · · ·

[Q(z)]↵ = 1 + ↵c1z +

✓↵c2 +

↵(↵� 1)

2c21

◆z2

27

+

✓↵c3 +

↵(↵� 1)

2c1c2 +

↵(↵� 1)(↵� 2)

6c31

◆z3 + · · ·

dan berdasarkan Teorema (2.12.3) dihitung persamaan (3.7)pangkat ↵

[L(w)]↵ = (1 + l1w + l2w2 + l3w

3 + l4w4 + · · · )↵

= 1 +

✓↵

1,↵� 1, ..., 0, 0

◆l1w +

✓↵

↵� 1, 0, 1, ..., 0, 0

◆l2w

2

+

✓↵

↵� 2, 2, ..., 0, 0

◆l21w

2 +

✓↵

↵� 1, 0, 0, 1, ..., 0, 0

◆l3w

3

+

✓↵

↵� 2, 1, 1..., 0, 0

◆(l1l2)w

3 +

✓↵

↵� 3, 3, ..., 0, 0

◆l31w

3

+ · · ·

[L(w)]↵ = 1 + ↵l1w +

✓↵l2 +

↵(↵� 1)

2l21

◆w2

+

✓↵l3 +

↵(↵� 1)

2l1l2 +

↵(↵� 1)(↵� 2)

6l31

◆w3 + · · · .

Setelah itu, estimasi koefisien berdasarkan persamaan (3.4) denganmenggunakan persamaan (3.5) dan (3.6) untuk z dan menggunakanpersamaan (3.7) dan (3.8) untuk w diperoleh

2a2 = ↵c1, (3.9)

3a3 = ↵c2 +↵(↵� 1)

2c21 (3.10)

�2a2 = ↵l1, (3.11)

3(2a22 � a3) = ↵l2 +↵(↵� 1)

2l21. (3.12)

Kemudian eliminasi persamaan (3.9) dan persamaan (3.11) diperoleh

c1 = �l1 dan 8a22 = ↵2(c21 + l21), (3.13)

28

Setelah itu, substitusi persamaan (3.10) ke persamaan (3.12) dihasilkan

6a22 �

✓↵c2 +

↵(↵� 1)

2c21

◆= ↵l2 +

↵(↵� 1)

2l21

6a22 =

✓↵c2 +

↵(↵� 1)

2c21

◆+ ↵l2 +

↵(↵� 1)

2l21

6a22 = ↵(c2 + l2) +↵(↵� 1)

2(c21 + l21)

6a22 = ↵(c2 + l2) + ↵(↵� 1)4a22↵2

6a22 = ↵(c2 + l2) + 4a22 �4↵2

2

↵

6a22 =↵2(c2 + l2) + ↵(4a22)� 4a22

↵(3.14)

Sehingga dihasilkan koefisien z

a22 =↵(↵(c2 + l2) + 4a22)� 4a22

6↵

a22 =↵2

2(↵+ 2)(c2 + l2).

Oleh karena itu, berdasarkan Lemma (2.13.1.3) maka berlaku

|c2| 2 dan |l2| 2,

diperoleh batas koefisien untuk |a2|

|a22| =↵2

2(↵+ 2)(|c2|+ |l2|)

|a22| =↵2

(↵+ 2)(2)

|a2| = ↵

s2

(↵+ 2).

29

Jadi, terbukti Teorema (3.1.4) batas koefisien untuk |a2| adalah

|a2| ↵

r2

(↵+ 2).

Selanjutnya estimasi batas koefisien pada |a3| dengan eliminasipersamaan (3.10) dan persamaan (3.12), dihasilkan

6a3 � 6a22 = ↵c2 +↵(↵� 1)

2c21 �

✓↵l2 +

↵(↵� 1)

2l21

◆.

Setelah itu, substitusi nilai 6a22 dari persamaan (3.14)

6a3 � 6a22 = ↵c2 +↵(↵� 1)

2c21 �

✓↵l2 +

↵(↵� 1)

2l21

◆

6a3 = ↵c2 +↵(↵� 1)

2c21 �

✓↵l2 +

↵(↵� 1)

2l21

◆

+↵2(c2 + l2) + ↵(4a22)� 4a22

↵

a3 =↵c26

+↵(↵� 1)

12c21 �

✓↵l2 +

↵(↵� 1)

12l21

◆

+↵2(c2 + l2) + ↵(4a22)� 4a22

6↵

Kemudian substitusi a22 dari persamaan (3.13) dan diperoleh

c21 = l21,

sehingga dihasilkan koefisien untuk |a3|

|a3| =1

4↵2

|c21|+1

6↵(|c2|+ |l2|).

Berdasarkan Lemma (2.13.1.3) maka berlaku

|c2| 2 dan |l2| 2,

selanjutnya substitusi Lemma (2.13.1.3) ke koefisien untuk |a3|,dihasilkan

|a3| 1

4↵24 +

1

6↵4

|a3| ↵(3↵+ 2)

3.

30

3.2 Menentukan Batas Koefisien pada Kelas H⌃(�)

Diberikan H adalah subkelas dari A ✓ C yang terdiri dari fungsiyang univalen di domain U. Suatu fungsi termasuk di kelas ⌃ jika fdan f�1 merupakan fungsi analitik, ⌃ merupakan kelas dari fungsibi-univalen. H⌃(�) adalah subkelas fungsi bi-univalen dari kelas ⌃dengan orde � pada domain U.

Definisi 3.2.1 Suatu fungsi f(z) pada persamaan (3.1) termasuk dikelas H⌃(�) (0 � < 1) jika dipenuhi syarat

f 2 ⌃ dan Re(f 0(z)) > � (z 2 U; 0 � < 1)

dan g(w) = f�1(w)

Re(g0(w)) > � (w 2 U; 0 � < 1),

dimana fungsi g diberikan

g(w) = a1w � a2w2 + (2a22 � a3)w

3 + · · · .

Contoh 3.2.2 Diketahui f(z) = 11�z akan dibuktikan apakah f(z)

termasuk fungsi dalam kelas H⌃(�).Langkah 1f(z) merupakan fungsi yang termasuk kelas ⌃ karena f(z) danf�1(z) analitik di domain U.

f(z) = 1 + z � z2 + z3 � z4 + · · ·

f 0(z) = 1� 2z + 3z2 � 4z3 � · · ·

dan

f�1(z) = 1� z + z2 � z3 + z4 � · · ·

f 0�1(z) = �1 + 2z � 3z2 + 4z3 � · · · .

Buktikan apakah f(z) memenuhi syarat Re(f 0(z)) > �

f 0(z) = 1� 2z + 3z2 � 4z3 � · · ·

Re(f 0(z)) > �

1 > �

31

karena f(z) memenuhi syarat Re(f 0(z)) > � maka f(z) termasukkelas ⌃.Langkah 2Jikag(w) dan g�1(w) analitik di domain U, maka g(w) merupakanfungsi yang termasuk kelas ⌃.

g(w) = 1� w + w2� w3 + w4 + · · ·

g0(w) = �1 + 2w � 3w2 + 4w3� · · ·

dan

g�1(w) = 1 + w � w2 + w3� w4

� · · ·

g0�1(w) = 1� 2w + 3w2� 4w3 + · · · .

Selanjutnya akan dibuktikan apakah g(w) dan memenuhi syaratRe(g0(w)) > �

g0(w) = �1 + 2w � 3z2 + 4z3 � · · ·

Re(g0(w)) > �

�1 < �.

Jadi, f(z) merupakan fungsi yang tidak termasuk kelas H⌃(�) karenasyarat Re(g0(w)) > � tidak terpenuhi.

Contoh 3.2.3 Akan dibuktikan apakah f(z) = z + 7 termasuk fungsidi kelas H⌃(�).Langkah 1f(z) merupakan fungsi yang termasuk kelas ⌃ karena f(z) danf�1(z) analitik di domain U.

f(z) = z + 7

f 0(z) = 1

dan

f�1(z) = z � 7

f 0�1(z) = 1.

Buktikan apakah f(z) memenuhi syarat Re(f 0(z)) > �

f 0(z) = 1

32

Re(f 0(z)) > �

1 > �,

karena f(z) memenuhi syarat Re(f 0(z)) > � maka f(z) termasukkelas ⌃.Langkah 2g(w) merupakan fungsi yang termasuk kelas ⌃ karena g(w) dang�1(w) analitik di domain U.

g(w) = w � 7

g0(w) = 1

dan

g�1(w) = w + 7

g0�1(w) = 1.

Selanjutnya akan dibuktikan apakah g(w) dan memenuhi syaratRe(g0(w)) > �

g0(w) = 1

Re(g0(w)) > �

1 > �.

Jadi, f(z) merupakan fungsi yang termasuk kelas H⌃(�) karena syaratdari Definisi (3.2.1) terpenuhi.

Teorema 3.2.4 Jika f(z) pada persamaan (3.1) termasuk fungsi dalamkelas H⌃(�) maka diperoleh batas koefisien |a2| dan |a3|, yaitu

|a2|

r2(1� �)

3dan |a3|

(1� �)(5� 3�)

3. (3.15)

Lemma 3.2.5 Jika f(z) 2 A berlaku persamaan

|�f 0(z)� 1

�| < 1 (z 2 U)

maka f(z) univalen dalam U dan karenanya f(z) 2 S. Diberikan H

adalah kelas dari f(z) 2 S maka berlaku

|�f 0(z)� 1

�| > � (z 2 U).

33

dimana � adalah bilangan real dengan 0 � < 1 dan H(1) = H.Jadi, H(�) ⇢ H ⇢ S. Oleh karena itu, untuk f(z) 2 H(�) menjadi

Re|�f 0(z)

�| > 1� � (z 2 U).

Bukti. Berdasarkan Definisi (3.2.1) dan Lemma (3.2.5) dihasilkan

Re�f 0(z)

�= � + c

dan

Re�f 0(z)

�= � + l

dimana c, l adalah bilangan real positif. Setelah itu, substitusic = (1� �)Re(Q(z)) dan l = (1� �)Re(L(w)), dihasilkan

f 0(z) = � + (1� �)Q(z) (3.16)

dan

g0(w) = � + (1� �)L(w), (3.17)

dimana fungsi Q(z) dan L(w) adalah

Q(z) =1 + f(z)

1� f(z)= 1 + c1z + c2z

2 + · · ·

dan

L(w) =1 + g(w)

1� g(w)= 1 + l1w + l2w

2 + · · · ,

dengan syarat Q(z) dan L(w) memenuhi kondisi

Re(Q(z)) > 0 (z 2 U) dan Re(L(w)) > 0 (w 2 U).

Kemudian dihitung persamaan f 0(z) = � + (1� �)Q(z)

f 0(z) = � + (1� �)Q(z)

= � + (1� �)�1 + c1z + c2z

2 + c3z3 + · · ·+ cnz

n�

= � + 1� � + (1� �)c1z + (1� �)c2z2 + (1� �)c3z

3

+ · · ·+ (1� �)cnzn

34

= 1 + (1� �)c1z + (1� �)c2z2 + (1� �)c3z

3,

dan dicari g0(w) = � + (1� �)L(w)

g0(w) = � + (1� �)L(w)

= � + (1� �)�1 + l1w + l2w

2 + l3w3 + · · ·

�

= � + 1� � + (1� �)l1w + (1� �)l2w2 + (1� �)l3w

3

+ · · ·+ (1� �)lnwn

= 1 + (1� �)l1w + (1� �)l2w2 + (1� �)l3w

3.

Setelah itu, estimasi koefisien dari persamaan (3.16) dan (3.17)diperoleh

f 0(z) = 1 + 2a2z + 3a3z2 + 4a4z

3 + · · · .

� + (1� �)Q(z) = 1 + (1� �)c1z + (1� �)c2z2 + (1� �)c3z

3

dan

g0(w) = 1� 2a2w + 3(2a22 � a3)w2 + · · ·

� + (1� �)L(w) = 1 + (1� �)l1w + (1� �)l2w2 + (1� �)l3w

3,

dengan cara yang sama pada pembuktian Teorema (3.1.4), untukmembandingkan koefisien z

2a2 = (1� �)c1, (3.18)3a3 = (1� �)c2, (3.19)

�2a2 = (1� �)l1, (3.20)

dan

3(2a22 � a3) = (1� �)l2. (3.21)

Oleh karena itu, berdasarkan persamaan (3.18) dan persamaan (3.20)dihasilkan

c1 = �l1 dan 8a22 = (1� �)2(c21 + l21), (3.22)

dengan menggunakan persamaan (3.21) dan (3.19), dihasilkankoefisien 6a22

6a22 = 3a3 + (1� �)l2,

35

6a22 = (1� �)c2 + (1� �)l2,

6a22 = (1� �)(c2 + l2).

Sehingga diperoleh batas koefisien untuk |a2|, yaitu

|a22| (1� �)

6(|c2|+ |l2|),

|a22| 1� �

64,

|a22| 2(1� �)

3

|a2|

r2(1� �)

3.

Jadi, terbukti batas koefisien untuk |a2| pada Teorema (3.2.4) adalah

|a2|

r2(1� �)

3.

Selanjutnya, menentukan batas koefisien untuk |a3| denganeliminasi persamaan (3.21) dari persamaan (3.19) dihasilkan

6a3 � 6a22 = (1� �)(c2 � l2),

Kemudian substitusi nilai 6a22 diperoleh

6a3 =6

8(1� �)2(c21 + l21) + (1� �)(c2 � l2).

Berdasarkan Lemma (2.13.1.3) diketahui bahwa |cn| 2, makaberlaku

|c1| 2, |l1| 2, |c2| 2 dan |l2| 2.

Kemudian diperoleh koefisien 6|a3|

6|a3| 6

8(1� �)2(4 + 4) + (1� �)(4)

6|a3| 3

4(1� �)28 + (1� �)4.

Sehingga dihasilkan koefisien |a3|

|a3| 3(1� �)2(1� �)2

3,

36

|a3| (1� �)(3(1� �) + 2

3,

|a3| (1� �)(3� 3� + 2)

3,

|a3| (1� �)(5� 3�)

3.

Jadi, dihasilkan batas koefisien untuk |a3|

|a3| (1� �)(5� 3�)

3.

Contoh 3.2.6 Diketahui f(z) = z/1� z akan dibuktikan apakah f(z)termasuk fungsi di kelas H↵

⌃ dan H⌃(�).Langkah 1Dibuktikan apakah f(z) merupakan fungsi yang analitik.

f(z) =z

1� z

f 0(z) =1

(1� z)2

karena turunan fungsinya ada maka f(z) merupakan fungsi analitik.Langkah 2Normalisasi f(z) dengan deret Taylor-Maclaurin

f(z) = a1z + a2z2 + a3z

3 + a4z4 + a5z

5 + . . .

Kemudian tentukan f(z) fungsi yang analitik dengan mencari f 0(z),yaitu

f 0(z) = a1 + 2a2z + 3a3z2 + 4a4z

3 + . . .

dan g(w) = f�1(w)

g(w) = a1w � a2w2 + (2a22 � a3)w

3 + (�5a32 + 5a2a3 � a4)w4 + . . .

Sehingga dihasilkan turunan dari g(w)

g0(w) = a1 � 2a2w � 3(2a22 � a3)w2 + 3(�5a32 + 5a2a3 � a4)w

2 + . . .

37

Setelah itu, estimasi koefisien f 0(z) = [Q(z)]↵ dan g0(w) =[L(w)]↵

f 0(z) = a1 + a22z + a33z2 + a44z

3 + a55z4 + . . .

[Q(z)]↵ = 1 + ↵c1z +

✓↵c2 +

↵(↵� 1)

2c21

◆z2 + · · · .

Sehingga dihasilkan estimasi koefisien z

2a2 = ↵c1 (3.23)

3a3 = ↵c2 +↵(↵� 1)

2c21 (3.24)

dan

g0(w) = a1 � 2a2w � 3(2a22 � a3)w2 + 3(�5a32 + 5a2a3 � a4)w

2 + . . .

[L(w)]↵ = 1 + ↵l1w +

✓↵l2 +

↵(↵� 1)

2l21

◆w2 + · · · .

Kemudian diperoleh estimasi koefisien w

�2a2 = ↵l1 (3.25)

3(2a22 � a3) = ↵l2 +↵(↵� 1)

2l21. (3.26)

Oleh karena itu, berdasarkan persamaan (3.23) dan (3.25) dihasilkan

c1 = �l1 (3.27)

8a22 = ↵2(c21 + l21) (3.28)

Setelah itu, substitusi persamaan (3.24) ke persamaan (3.26), diperolehkoefisien 6a22

6a22 �

✓↵c2 +

↵(↵� 1)

2c21

◆= ↵l2 +

↵(↵� 1)

2l21

6a22 =

✓↵c2 +

↵(↵� 1)

2c21

◆+ ↵l2 +

↵(↵� 1)

2l21

38

6a22 = ↵(c2 + l2) +↵(↵� 1)

2(c21 + l21)

6a22 = ↵(c2 + l2) + ↵(↵� 1)4a22↵2

6a22 = ↵(c2 + l2) + 4a22 �4↵2

2

↵

6a22 =↵2(c2 + l2) + ↵(4a22)� 4a22

↵(3.29)

Sehingga dihasilkan koefisien a22

a22 =↵(↵(c2 + l2) + 4a22)� 4a22

6↵

a22 =↵2

2(↵+ 2)(c2 + l2).

Oleh karena itu, berdasarkan Lemma (2.13.1.3) maka

|c2| 2 dan |l2| 2,

diperoleh batas koefisien untuk |a2|

|a22| =↵2

2(↵+ 2)(|c2|+ |l2|)

|a22| =↵2

(↵+ 2)(2)

|a2| = ↵

s2

(↵+ 2).

Jadi, terbukti Teorema (3.1.4) untuk batas koefisien |a2|, yaitu

↵

s2

(↵+ 2).

Selanjutnya, estimasi batas koefisien |a3| dengan eliminasipersamaan (3.24) dan persamaan (3.26) diperoleh

6a3 � 6a22 = ↵c2 +↵(↵� 1)

2c21 �

✓↵l2 +

↵(↵� 1)

2l21

◆.

39

Selanjutnya substitusi nilai 6a22 dari persamaan (3.29)

6a3 � 6a22 = ↵c2 +↵(↵� 1)

2c21 �

✓↵l2 +

↵(↵� 1)

2l21

◆

6a3 = ↵c2 +↵(↵� 1)

2c21 �

✓↵l2 +

↵(↵� 1)

2l21

◆

+↵2(c2 + l2) + ↵(4a22)� 4a22

↵

a3 =↵c26

+↵(↵� 1)

12c21 �

✓↵l2 +

↵(↵� 1)

12l21

◆

+↵2(c2 + l2) + ↵(4a22)� 4a22

6↵

Kemudian substitusi a22 dari persamaan (3.28) dan diperoleh

c21 = l21.

Sehingga diperoleh batas koefisien |a3|, yaitu

|a3| =1

4↵2

|c21|+1

6↵(|c2|+ |l2|).

Berdasarkan Lemma (2.13.1.3) maka berlaku

|c2| 2 dan |l2| 2.

Jadi, dihasilkan batas koefisien untuk |a3|

|a3| 1

4↵24 +

1

6↵4

|a3| ↵(3↵+ 2)

3.

Batas koefisien pada kelas H⌃(�) Berdasarkan Definisi (3.2.1) danLemma (3.2.5) dihasilkan

f 0(z) = � + (1� �)Q(z)

= � + (1� �)�1 + c1z + c2z

2 + c3z3 + · · ·+ cnz

n�

= � + 1� � + (1� �)c1z + (1� �)c2z2 + (1� �)c3z

3

40

+ · · ·+ (1� �)cnzn

= 1 + (1� �)c1z + (1� �)c2z2 + (1� �)c3z

3 + · · · ,

f 0(z) = 1 + 2a2z + 3a3z2 + 4a4z

3 + · · ·

� + (1� �)Q(z) = 1 + (1� �)c1z + (1� �)c2z2 + (1� �)c3z

3 + · · ·

dan

g0(w) = � + (1� �)L(w)

= � + (1� �)�1 + l1w + l2w

2 + l3w3 + · · ·+ lnz

n�

= � + 1� � + (1� �)l1w + (1� �)l2w2 + (1� �)l3w

3

+ · · ·+ (1� �)lnwn

= 1 + (1� �)l1w + (1� �)l2w2 + (1� �)l3w

3 + · · · ,

g0(w) = 1� 2a2w + 3(2a22 � a3)w2 + · · ·

� + (1� �)L(w) = 1 + (1� �)l1w + (1� �)l2w2 + (1� �)l3w

3 + · · · .

Kemudian estimasi koefisien f 0(z) = � + (1 � �)Q(z) dan g0(w) =� + (1� �)L(w)

2a2 = (1� �)c1, (3.30)3a3 = (1� �)c2, (3.31)

�2a2 = (1� �)l1, (3.32)

dan

3(2a22 � a3) = (1� �)l2. (3.33)

Oleh karena itu, berdasarkan persamaan (3.30) dan persamaan (3.32)dihasilkan

c1 = �l1 dan 8a22 = (1� �)2(c21 + l21), (3.34)

dengan menggunakan persamaan (3.31) dan (3.33) diperoleh koefisien6a22

6a22 = 3a3 + (1� �)l2,

41

6a22 = (1� �)c2 + (1� �)l2,

6a22 = (1� �)(c2 + l2).

Sehingga diperoleh batas koefisien untuk |a2|

|a22| (1� �)

6(|c2|+ |l2|),

|a22| 1� �

64,

|a22| 2(1� �)

3

|a2|

r2(1� �)

3.

Jadi, terbukti batas koefisien untuk |a2| pada Teorema (3.2.4), yaitu

|a2|

r2(1� �)

3.

Kemudian ditentukan batas koefisien untuk |a3| dengan eliminasipersamaan (3.31) dan (3.33) dihasilkan

6a3 � 6a22 = (1� �)(c2 � l2),

Kemudian substitusi nilai 6a22 dihasilkan

6a3 =6

8(1� �)2(c21 + l21) + (1� �)(c2 � l2).

Berdasarkan Lemma (2.13.1.3) diketahui bahwa |cn| 2, makaberlaku

|c1| 2, |l1| 2, |c2| 2 dan |l2| 2.

Kemudian diperoleh koefisien 6|a3|

6|a3| 6

8(1� �)2(4 + 4) + (1� �)(4)

6|a3| 3

4(1� �)28 + (1� �)4.

Sehingga dihasilkan koefisien untuk |a3|

|a3| 3(1� �)2(1� �)2

3,

42

|a3| (1� �)(3(1� �)) + 2

3,

|a3| (1� �)(3� 3� + 2)

3,

|a3| (1� �)(5� 3�)

3.

Jadi, fungsi f(z) = z1�z termasuk di kelas H↵

⌃ atau H⌃(�).

Contoh 3.2.7 Diberikan f(z) = 12 log

⇣1+z1�z

⌘akan dibuktikan apakah

f(z) termasuk fungsi di kelas H↵⌃ dan H⌃(�).

Langkah 1Dibuktikan apakah f(z) merupakan fungsi yang analitik.

f(z) =1

2log

✓1 + z

1� z

◆

f 0(z) =1

(z + 1)(�z + 1)


f(z) = a1z + a21

3z3 + a3

1

5z5 + . . . .

Kemudian tentukan f(z) fungsi yang analitik dengan mencari f 0(z),yaitu

f 0(z) = a1 + a2z2 + a3z

4 + . . .

dan g(w) = f�1(w)

g(w) = a1w � a21

3w3 + (2a22 � a3)

1

5w5 + . . .

Sehingga dihasilkan turunan dari g(w) adalah

g0(w) = a1 � a2w2 + (2a22 � a3)w

4 + . . .

Setelah itu, estimasi koefisien f 0(z) = [Q(z)]↵

f 0(z) = a1 + a2z2 + a3z

4 + . . .

43

[Q(z)]↵ = 1 + ↵c1z +

✓↵c2 +

↵(↵� 1)

2c21

◆z2

+

✓↵c3 +

↵(↵� 1)

2c1c2 +

↵(↵� 1)(↵� 2)

6c31

◆z3

+

✓↵c4 +

↵(↵� 1)

2c1c2 +

↵(↵� 1)(↵� 2)

6c1c2c3

◆z4

+

✓↵(↵� 1)(↵� 2)(↵� 3)

24c41

◆z4 + · · · .

a1 + a2z2 + a3z

4 + . . . = 1 + ↵c1z +

✓↵c2 +

↵(↵� 1)

2c21

◆z2

+

✓↵c3 +

↵(↵� 1)

2c1c2 +

↵(↵� 1)(↵� 2)

6c31

◆z3.

Sehingga dihasilkan estimasi dari koefisien z

a2 = ↵c2 +↵(↵� 1)

2c21

a3 =

✓↵c4 +

↵(↵� 1)

2c1c2 +

↵(↵� 1)(↵� 2)

6c1c2c3

◆

+

✓↵(↵� 1)(↵� 2)(↵� 3)

24c41

◆

dan estimasi koefisien g0(w) = [L(w)]↵

g0(w) = a1 � a2w2 + (2a22 � a3)w

4 + . . .

[L(w)]↵ = 1 + ↵l1w +

✓↵l2 +

↵(↵� 1)

2l21

◆w2

+

✓↵l3 +

↵(↵� 1)

2l1l2 +

↵(↵� 1)(↵� 2)

6l31

◆w3

+

✓↵l4 +

↵(↵� 1)

2l1l2 +

↵(↵� 1)(↵� 2)

6l1l2l3

◆w4

+

✓↵(↵� 1)(↵� 2)(↵� 3)

24l41

◆w4 + · · · .

44

Kemudian diperoleh estimasi dari koefisien w

�a2 = ↵l2 +↵(↵� 1)

2l21

(2a22 � a3) =

✓↵l4 +

↵(↵� 1)

2l1l2 +

↵(↵� 1)(↵� 2)

6l1l2l3

◆

+

✓↵(↵� 1)(↵� 2)(↵� 3)

24l41

◆.

Berdasarkan estimasi koefisien f 0(z) = [Q(z)]↵ dang0(w) = [L(w)]↵ diperoleh

2a2 = ↵(c2 � l2) +

✓↵(↵� 1)

2

◆(c21 � l21)

Berdasarkan Lemma (2.13.1.3) diketahui bahwa |cn| 2 untuk setiapn � 1, yaitu

|c1| 2, |l1| 2, |c2| 2 dan |l2| 2.

dihasilkan batas koefisien untuk |a2|

2|a2| ↵(|c2|+ |� l2|) +

✓↵(↵� 1)

2

◆(|c21|+ |� l21|)

2|a2| ↵(4) +

✓↵(↵� 1)

2

◆(4)

2|a2| 4↵+ 2 (↵(↵� 1))

|a2| 2↵+ (↵(↵� 1)) .

Setelah itu, menentukan batas koefisien |a3| dengan menggunakanhasil estimasi dari koefisien z dan w

(2a22 � a3) =

✓↵l4 +

↵(↵� 1)

2l1l2 +

↵(↵� 1)(↵� 2)

6l1l2l3

◆

+

✓↵(↵� 1)(↵� 2)(↵� 3)

24l41

◆

a3 = 2a22 �

✓↵l4 +

↵(↵� 1)

2l1l2 +

↵(↵� 1)(↵� 2)

6l1l2l3

◆

45

+

✓↵(↵� 1)(↵� 2)(↵� 3)

24l41

◆

a3 = 2

✓↵(c2 � l2)

2+

✓↵(↵� 1)

4

◆(c21 � l21)

◆

�

✓↵l4 +

↵(↵� 1)

2l1l2 +

↵(↵� 1)(↵� 2)

6l1l2l3

◆

+

✓↵(↵� 1)(↵� 2)(↵� 3)

24l41

◆

a3 =

✓↵(c2 � l2) +

✓↵(↵� 1)

2

◆(c21 � l21)

◆

�

✓↵l4 +

↵(↵� 1)

2l1l2 +

↵(↵� 1)(↵� 2)

6l1l2l3

◆

+

✓↵(↵� 1)(↵� 2)(↵� 3)

24l41

◆


|c1| 2, |l1| 2, |c2| 2, |l2| 2, |l3| 2dan |l4| 2.

dihasilkan koefisien untuk |a3|

|a3| =

✓↵(|c2|+ |� l2|) +

✓↵(↵� 1)

2

◆(|c21|+ |� l21|)

◆

�

✓↵|l4|+

↵(↵� 1)

2|l1||l2|+

↵(↵� 1)(↵� 2)

6|l1||l2||l3|

◆

+

✓↵(↵� 1)(↵� 2)(↵� 3)

24|l41|

◆

|a3| = 4↵+ 4 (↵(↵� 1))�

✓2↵+ ↵(↵� 1)2 +

4(↵(↵� 1)(↵� 2))

3

◆

+

✓2(↵(↵� 1)(↵� 2)(↵� 3))

3

◆

|a3| = 4↵2� 4�

✓2↵+ 2↵2

� 2 +4(↵3

� 3↵2 + 2↵)

3

◆

+

✓2(↵4

� 6↵3� ↵2 + 6↵)

3

◆

46

|a3| =2↵4

3�

16↵3

3+

12↵2

3+

4↵

3� 2

|a3| =2↵4

� 16↵3 + 12↵2 + 4↵� 6

3.

Jadi, diperoleh batas koefisien |a3| adalah

|a3| =2↵4

� 16↵3 + 12↵2 + 4↵� 6

3.


f 0(z) = � + (1� �)Q(z)

= � + (1� �)�1 + c1z + c2z

2 + c3z3 + · · ·+ cnz

n�

= � + 1� � + (1� �)c1z + (1� �)c2z2 + (1� �)c3z

3

+ · · ·+ (1� �)cnzn

= 1 + (1� �)c1z + (1� �)c2z2 + (1� �)c3z

3,

dan

g0(w) = � + (1� �)L(w)

= � + (1� �)�1 + l1w + l2w

2 + l3w3 + · · ·

�

= � + 1� � + (1� �)l1w + (1� �)l2w2 + (1� �)l3w

3

+ · · ·+ (1� �)lnwn

= 1 + (1� �)l1w + (1� �)l2w2 + (1� �)l3w

3.

Setelah itu, estimasi koefisien dari f 0(z) = � + (1 � �)Q(z) dang0(w) = � + (1� �)L(w) diperoleh

f 0(z) = a1 + a2z2 + a3z

4 + . . .

� + (1� �)Q(z) = 1 + (1� �)c1z + (1� �)c2z2 + (1� �)c3z

3

dan

g0(w) = a1 � a2w2 + (2a22 � a3)w

4 + . . .

� + (1� �)L(w) = 1 + (1� �)l1w + (1� �)l2w2 + (1� �)l3w

3.

47

Kemudian estimasi koefisien f 0(z) = � + (1 � �)Q(z) dan g0(w) =� + (1� �)L(w)

a2 = (1� �)c2 (3.35)a3 = (1� �)c4 (3.36)

�a2 = (1� �)l2 (3.37)

dan

(2a22 � a3) = (1� �)l4, (3.38)

dengan menggunakan persamaan (3.35) dan persamaan (3.37),dihasilkan

c2 = �l2 dan 4a22 = (1� �)2(c21 � l21).

Berdasarkan persamaan (3.36) dan (3.38) diperoleh koefisien 2a22

2a22 = a3 + (1� �)l4,

2a22 = (1� �)c4 + (1� �)l4,

2a22 = (1� �)(c4 + l4).

Sehingga diperoleh batas koefisien untuk |a2|

|a22| (1� �)

2(|c4|+ |l4|)

|a22| (1� �)

24

|a22| 2(1� �)

|a2| p2(1� �).

Jadi, tidak terbukti batas koefisien untuk |a2| pada Teorema (3.2.4).Selanjutnya, berdasarkan persamaan (3.38) akan ditentukan

batas koefisien |a3|

2a22 � a3 = (1� �)l4,

Kemudian substitusi nilai 2a22 dihasilkan

a3 = (1� �)(c4 + l4)� (1� �)l4

48

a3 = (1� �)c4.

Berdasarkan Lemma (2.13.1.3) diketahui bahwa |cn| 2 makaberlaku

|c1| 2, |l1| 2, |c2| 2 dan |l2| 2.

Kemudian diperoleh batas koefisien untuk |a3|

|a3| (1� �)|c4|

|a3| (1� �)2.

Jadi, fungsi f(z) = 12 log

⇣1+z1�z

⌘tidak termasuk ke dalam kelas H

↵⌃

atau H⌃(�) karena tidak dipenuhi Teorema (3.1.4) dan Teorema(3.2.4).

Contoh 3.2.8 Dibuktikan apakah f(z) = �log(1�z) termasuk fungsidi kelas H↵

⌃ dan H⌃(�).Langkah 1Dibuktikan apakah f(z) merupakan fungsi yang analitik.

f(z) = �log(1� z)

f 0(z) =1

(1� z)


f(z) = a1z + a21

2z2 + a3

1

3z3 + . . . .

Kemudian mencari f 0(z)

f 0(z) = a1 + a2z + a3z2 + . . .

dan g(w) = f�1(w)

g(w) = a1w � a21

2w2 + (2a22 � a3)

1

3w3 + . . .

49

dan dihasilkan turunan dari g(w), yaitu

g0(w) = a1 � a2w + (2a22 � a3)w2 + . . . .

Setelah itu, estimasi koefisien f 0(z) = [Q(z)]↵

f 0(z) = a1 + a2z + a3z2 + . . .

[Q(z)]↵ = 1 + ↵c1z +

✓↵c2 +

↵(↵� 1)

2c21

◆z2 + · · · .

Sehingga dihasilkan estimasi dari koefisien z

a2 = ↵c1

a3 = ↵c2 +↵(↵� 1)

2c21

dan estimasi koefisien g0(w) = [L(w)]↵

g0(w) = a1 � a2w + (2a22 � a3)w2 + . . .

[L(w)]↵ = 1 + ↵l1w +

✓↵l2 +

↵(↵� 1)

2l21

◆w2 + · · · .

Kemudian diperoleh estimasi dari koefisien w

�a2 = ↵l1

(2a22 � a3) = ↵l2 +↵(↵� 1)

2l21.

Berdasarkan estimasi koefisien f 0(z) = [Q(z)]↵ dang0(w) = [L(w)]↵, dihasilkan

c1 = �l1

2a22 = ↵(c2 + l2) +

✓↵(↵� 1)

2

◆(c21 + l21).


|c1| 2, |l1| 2, |c2| 2, dan |l2| 2.

50

Sehingga dihasilkan batas koefisien untuk |a2|

|2a22| = ↵(|c2|+ |l2|) +

✓↵(↵� 1)

2

◆(|c21|+ |l21|)

|2a22| = ↵(4) +

✓↵(↵� 1)

2

◆(8)

|a22| = 2↵+ 4 (↵(↵� 1))

|a2| =p2↵+ 4 (↵(↵� 1)).


f 0(z) = � + (1� �)Q(z)

= � + (1� �)�1 + c1z + c2z

2 + c3z3 + · · ·+ cnz

n�

= � + 1� � + (1� �)c1z + (1� �)c2z2 + (1� �)c3z

3

+ · · ·+ (1� �)cnzn

= 1 + (1� �)c1z + (1� �)c2z2 + (1� �)c3z

3,

dan

g0(w) = � + (1� �)L(w)

= � + (1� �)�1 + l1w + l2w

2 + l3w3 + · · ·

�

= � + 1� � + (1� �)l1w + (1� �)l2w2 + (1� �)l3w

3

+ · · ·+ (1� �)lnwn

= 1 + (1� �)l1w + (1� �)l2w2 + (1� �)l3w

3.

Setelah itu, estimasi koefisien f 0(z) = � + (1� �)Q(z) dan g0(w) =� + (1� �)L(w) dihasilkan

f 0(z) = a1 + a2z + a3z2 + . . .

� + (1� �)Q(z) = 1 + (1� �)c1z + (1� �)c2z2 + · · · .

dan

g0(w) = a1 � a2w + (2a22 � a3)w2 + . . .

51

� + (1� �)L(w) = 1 + (1� �)l1w + (1� �)l2w2 + · · · .

Sehingga dihasilkan estimasi koefisien z dan w

a2 = (1� �)c1, (3.39)a3 = (1� �)c2, (3.40)

�a2 = (1� �)l1, (3.41)

dan

(2a22 � a3) = (1� �)l2, (3.42)

dengan menggunakan persamaan (3.39) dan persamaan (3.41)dihasilkan

c1 = �l1 dan 4a22 = (1� �)2(c21 � l21).

Berdasarkan persamaan (3.40) dan (3.42), diperoleh

2a22 = a3 + (1� �)l2,

2a22 = (1� �)c2 + (1� �)l2,

2a22 = (1� �)(c2 + l2),

dihasilkan batas koefisien untuk |a2|, yaitu

|a22| (1� �)

2(|c2|+ |l2|),

|a22| (1� �)

24,

|a22| 2(1� �)

|a2| p2(1� �).

Jadi, tidak terbukti batas koefisien untuk |a2| pada Teorema (3.2.4).Selanjutnya, menentukan batas koefisien untuk |a3| dengan

menggunakan persamaan (3.45)

2a22 � a3 = (1� �)l4.

Kemudian substitusi nilai 2a22, dihasilkan

a3 = (1� �)(c4 + l4)� (1� �)l4

52

a3 = (1� �)c4.

Berdasarkan Lemma (2.13.1.3) diketahui bahwa |cn| 2 makaberlaku

|c1| 2, |l1| 2, |c2| 2 dan |l2| 2.

Kemudian dihasilkan batas koefisien untuk |a3|

|a3| (1� �)|c4|

|a3| (1� �)2

|a3| 2(1� �).

Jadi, fungsi f(z) = �log(1 � z) tidak termasuk ke dalam kelas H↵⌃

atau H⌃(�) karena tidak dipenuhi Teorema (3.1.4) dan Teorema(3.2.4).

53

BAB IVKESIMPULAN DAN SARAN

4.1 KesimpulanBerdasarkan tujuan pembahasan skripsi ini dapat diambil

kesimpulan bahwa

1. Hasil estimasi batas koefisien pada kelas H↵⌃, yaitu

|a2| ↵

r2

(↵+ 2), |a3|

↵(3↵+ 2)

3.

2. Hasil estimasi batas koefisien untuk kelas H⌃(�) menghasilkanketaksamaan berikut

|a2|

r2(1� �)

3, |a3|

(1� �)(5� 3�)

3.

4.2 SaranPada skripsi ini hanya dibahas batas koefisien awal pada

subkelas bi-univalen H↵⌃ dan H⌃(�) untuk mencari koefisien awal

dari subkelas yang berbeda dengan orde yang sama akan dihasilkannilai yang berbeda. Pada penelitian selanjutnya disarankan untukmembahas koefisien awal pada subkelas fungsi bi-univalen yangberbeda.

55

DAFTAR PUSTAKA

Arifin, M. M. 2018. Ketaksamaan Pada Koefisien Awal untukBeberapa Subkelas Pada Fungsi Bi-Univalen (Kelas T⌃(µ) danKelas T ↵

⌃ ). Malang: FMIPA UB.

Brannan, dkk. 1970. Coefficient Estimates for a Class of StarlikeFunction. Canadian Journal of Mathematics. Vol. 22: 476-485.

Churchill, R. V and Brown, J. W. 1899. Functions of complexvariables. New York : McGraw-Hill.

Duren, P. L. 1983. Univalent Functions. New York: Springer-VerlagNew York Inc.

Lewin, M. 1967. On a Coefficient Problem for Bi-UnivalentFunctions. Proceedings of the American Mathematical Society.Vol. 18: 63-68.

Netanyahu, E. 1969. The Minimal Distance of The Image Boundaryfrom The Origin and The Second Coefficient of a UnivalentFunction in |z| < 1. Computers and Mathematics withApplications. 32: 100-112.

Srivastava, H. M, dkk. 2010. Certain Subclasses of Analytic andBi-Univalent Functions. Applied Mathematics Letters. 23:1188-1192.

Tokarzewski, S, dkk. 2009. Estimation of a Stieltjes functionexpanded to Taylor series at complex conjugate points. Journalof Computational and Applied Mathematics. 233: 835–841.

Wagner, G. C. 2014. Basic Combinatorics. Knoxville: University ofTennessee.

57

repository.ub.ac.idrepository.ub.ac.id/179273/1/Agus Dwi Aryati.pdf · LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI...

Documents

Transcript of repository.ub.ac.idrepository.ub.ac.id/179273/1/Agus Dwi Aryati.pdf · LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI...