DINAMIKA ROTASI DAN KESEIMBANGAN BENDA TEGAR · PDF file2 (b) Partikel B dan C terletak pada...

1
http://atophysics.wordpress.com
BAB
DINAMIKA ROTASI DAN KESEIMBANGAN BENDA TEGAR
Contoh 5.1 Pemahaman konsep torsi
(a) Tentukan torsi terhadap poros O oleh gaya 20 N pada gambar di bawah ini.
Jawab:
Garis kerja gaya 20 N adalah garis g. Garis yang ditarik dari titik O tegak lurus terhadap
garis g, memotong g di titik L (lihat gambar). Dengan demikian lengan torsi adalah = OL.
OLP siku-siku:
m
OPOL
5,1)(3
30sin
2
1
o
==
==
Gaya 20 N cenderung memutar tongkat OP searah jarum jam terhadap poros O (torsi
bertanda -). Dengan demikian momen gaya adalah
= -
(b) Tentukan torsi tiap gaya dan torsi totalnya terhadap poros o.
Jawab:
Untuk menghitung torsi gaya 8,0 N, lebih baik jika gaya itu diuraikan menjadi komponen-
komponen (lihat gambar di bawah) menjadi 8 cos 37o dan 8 sin 37
o.
Lengan momen dan momen tiap gaya ditunjukkan pada table berikut. Gaya (N) Lengan Torsi Torsi
5,0
20
8 cos 37o
8 sin 37o
10,020,0
20,04,0
2
1
2
1
==
==
xOB
xOA
OC = 0,10
OD = 0,20
-0,20 x 5,0 = -1,0
-0,10 x 20 = -2,0
-0,10 x 8 cos 370 = -0,64
+0,20 x 8 sin 370 = +0,96
Searah jarum jam
Searah jarum jam
Searah jarum jam
Berlawanan jarum jam
Jarum jam
Contoh 6.2 Pengertian momen inersia
Seorang ahli mesin sedang mendesain suatubagian mesin yang terdiri dari tiga penyambung
yang dihubungkan oleh tiga topangan ringan (lihat gambar). Ketiga penyambung dapat
dianggap sebagai partikel yang dihubungkan oelh batang-batang ringan (massanya dapat
diabaikan).
(a) Berapa momen inersia bagian mesin ini terhadap poros melalui A?
(b) Berapa momen inersia terhadap poros yang bertepatan dengan batang BC?
Jawab:
(a) Partikel A terletak pada poros sehingga jarak partikel ini terhadap poros A sama dengan
nol (rA = 0).
AC2 = AB
2 BC
2 = 0,50
2 0,30
2 = 0,16 AC = 4,016,0 = m. Jarak partikel B dan
C terhadap poros A dapat dihitung dengan Persamaan (6-7).
2222
CC
i
BBAAii rmrmrmrmI ++==
= 0 + (0,10 kg) (0,50 m)2 + (0,20 kg) (0,40 m)
2
= ,057 kg m2

2
(b) Partikel B dan C terletak pada poros BC sehingga momen inersia yang dihasillkan
keduanya sama dengan nol. Jadi, hanya partikel A yang menghasilkan momen inersia
terhadap poros BC, dengan rA = AC = 0,40 m.
==i
AAii rmrmI22
= (0,30 kg) (0,40 m)2
= 0,048 kg m2
Contoh 6.3 Menentukan momen inersia batang (satu dimensi)
Sebuah batang homogen memiliki masa M dan panjang L. Tentukan momen inersia batang
terhadap poros melalui:
(a) titik tengah batang;
(b) titik ujung batang.
Gambar 6.9 Bayangkan batang homogen terdiri atas berbagai elemen dx yang memiliki
koordinat x terhadap poros. Untuk poros melalui titik tengah batang (titik O), koordinat x
mulai dari -/2 sampai dengan (kasus b).
Jawab:
Bayangkan batang homogen terdiri atasa berbagai elemen dx yang memiliki koordinat x
terhadap poros. Momen inersia batang dapat dihitung dengan persamaan (6-8).
I = r2 dm
dengan r = x dan dxL
Mdm = (lihat persaman (6-9)), maka persamaan menjadi
=
= dxxdx
L
MrI
L
M22
=
3
3x
L
MI
(a) Untuk poros melalui titik tengah batang (kasus (a) pada Gambar 6.9), sumbu tegak yang
melalui O adalah YO dan tampak bahwa koordinat x mulai dari x = L/2 sampai dengan
x = +L/2. Karena titik tengah batang yang diperoleh dari Persamaan (6-10) adalah
I
2/
2/
3
3
L
L
x
L
M
=
[ ]33 )2/()2/(3
LLL
M=
)8/8/(3
33LL
L
M+=
2
3
12
1
8
2
3ML
L
L
M==
= (sesuai dengan Tabel 6.1 (a))
(b) Untuk poros melalui titik ujung batang (kasus (b) pada gambar 6.9), sumbu tegak yang
melalui P adalah YP dan tampak bahwa koordinat x mulai dari x = 0 sampai dengan x =
L. Karena itu, momen inersia batang terhadap poros melalui titik ujung batang yang
diperoleh dari Persamaan (6-10) adalah

3
I
L
x
L
M
0
3
3
=
)0(3
3 = LL
M
3
3
1ML= (sesuai dengan Tabel 6.1 (b))
Contoh 6.4 Kaitan torsi dengan percepatan sudut pada gerak melingkar berubah
beraturan m
Sebuah batu gerinda 2,0 kg yang memiliki jari-jari 10 cm diputar pada rad/s. Motor dipadamkan
dan sebuah pahat ditekankan pada permukaan batu gerinda dengan suatu gaya yang memiliki
komponen tangensial 2,0 N (lihat gambar). Berapa lama diperlukan oleh batu gerinda untuk
berhenti sejak gaya diberikan?
Jawab:
Massa M = 2,0 kg
Jari-jari R = 10 cm = 10 x 10-2
m
= 0,10 m
Kecepatan sudut awal 0 = 120 rad/s Pada saat motor dipadamkan, bekerja gaya gesek tangensial F = 2 N menghasilkan momen
gaya yang memberikan perlambatan sudut yang akhirnya memberhentikan putaran batu gerinda. Batu gerinda berbentuk silinder pejal, sehingga sesuai Tabel 6.1 (f), momen
inersianya adalah
22
2
12
2
1m kg 0,01m) kg)(0,10 2,0( === MRI
Torsi yang dihasilkan oleh gaya tangensial F dengan lengan torsi R adalah
N m 0,20N) m)(2 0,10( === RF
Tanda negatif diberikan karena momen gaya berlawanan dengan arah putaran batu gerinda.
Momen gaya menghasilkan percepatan sudut sesuai dengan percepatan sudut tetap
dan kecepatan sudut awal 0 = 120 rad/s diperlambat oleh = -20 rad/s sampai berhenti
((t) = 0)
(t) = 0 + t
ssrad
sradtt 6
/20
)/120(0)(2
0 =
=
=
Jadi, diperlukan waktu 6 s sejak motor dipadamkan sampai batu gerinda berhenti.
Contoh 6.5 Silinder pejal menggelinding menuruni bidang miring
Sebuah silinder penjal homogen dengan jari-jari R dan massa M menggelinding dari puncak
bidang miring seperti pada gambar. Tentukan kelajuan silinder pada saat tiba di dasar bidang
(nyatakan dalam g dan h).
Strategi : Tinjau silinder pejal m, gambar gaya-gaya yang bekerja padanya. Gunakan = I untuk gerak rotasi silinder dan F = ma untuk gerak tranlasi silinder menuruni bidang.

4
Jangan lupa =R
a. Akhirnya, kelajuan silinderdi dasar bidang dihitung dengan
persamaan dihitung dengan persamaan kinematika translasi: v2 ,220 xav + dengan
v0 = dan x = panjang lintasan yang ditempuh silinder.
Jawab:
Perhatikan gambar (a) gaya-gaya yang bekerja pada silinder pejal adalah: gaya gesekan f,
gayaberat g, gaya normalN.baik mg maupun Nmelalui titik poros O sehingga tidak
menyebabkan gerak rotasi. Satu-satunya gaya yang menyebabkan silinder berotasi terhadap
poros O adalah gaya gesekanf, dengan momen OP = jari-jari R. Penggunaan hukum II Newton
untuk rotasi silinder memberikan
Maf
R
aMRfR
MRfR
I
2
1
2
2
1
2
2
1
)(
)(
=
=
=
=
R
a
MRfI
=
=
pejal)silinder (bentuk 22
1
Perhatikan gambar (b), gaya-gaya N dan Mg cos tidak menyebabkan gerak tranlasi silinder
menuruni bidang hanyalah Mg sin (arah positif) dan f (arah negatif). Penggunaan hukum II Newton untuk gerak tranlasi silinder memberikan
F = ma +Mg sin - f = Ma
Mg sin - 2
1Ma = Ma (substitusi f =
2
1Ma dari (*1))
Mg sin 3
sin2
2
3 ga
Ma=
Akhirnya, dengan menerapkan persamaan kinematika v2 = xav + 220 dengan keadaan awal
diam di puncak bidang (v0 = 0) dan keadaan kahir di dasar bidang,
3
4
3
4
sin3
sin220
2
2
2
2
0
2
ghv
ghv
hgv
xavv
==
+=
+=
Misalkan g = 10 m/s2 dan h = 6 m, maka
mv 5483
)6)(10(4===
Contoh 6.6 Dua benda bergantungan pada katrol melalui seutas tali
Sebuah katrol, massa M dan jari-jari R, dililitkan dengan seutas tali. Pada ujung-ujung tali
terikat benda yang massanya m1, dan m2 (m2 > m1). Tentukan percepatan masing-masing benda
bila:
(a) katrol dapat dianggap licin sehingga tali meluncur pada katrol;

5
(b) katrol tidak licin sehingga katrol mengalami gerak rotasi.
Jawab:
(a) untuk kasus katrol licin, katrol tidak berputar bersama tali (katrol diam), sehingga = 0. Kita tinjau dahulu diagram gaya pada katrol (Gambar (c)). Karena m2 > m1, maka katrol
cenderung berotasi searah jarum jam (seandainya katrol tidak lacin). Karena itu kita
tetapkan arah searah jarum jam adalah positif. Dengan demikian gaya T1 menghasilkan
momen T1R (berlawanan arah jarum jam) dan gaya T2 menghasilkan momen +T1R (searah
jarum jam). Hukum II Newton untuk gerak rotasi memberikan
= I = 0 sebab = 0 T1R + T2R = 0 atau T1 = T2 = T
Tinjauan diagram gaya pada benda m1 (Gambar (b)) dan benda m2 (Gambar (d)).
Karena m2 > m1, maka m1 akan bergerak ke atas dan m2 akan

DINAMIKA ROTASI DAN KESEIMBANGAN BENDA TEGAR · PDF file2 (b) Partikel B dan C terletak pada...

Documents

Transcript of DINAMIKA ROTASI DAN KESEIMBANGAN BENDA TEGAR · PDF file2 (b) Partikel B dan C terletak pada...