dinamika-fluida-i-dasar-mekanika-fluida.pdf

8/21/2019 dinamika-fluida-i-dasar-mekanika-fluida.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-fluida-i-dasar-mekanika-fluidapdf 1/190

1

Bagian I. DASAR MEKANIKA FLUIDA



Mekanika Kontinum 2

BAB

1Mekanika Kontinum

1.1 Pendahuluan

Tujuan utama dari bab ini adalah menurunkan persamaan-persamaan dasar yang

menjelaskan gerak dari sebuah ‘benda’ solid atau fluida dari prinsip-prinsip dasar fisika.

Dalam ilmu mekanika, gerak sebuah ‘benda kaku (rigid)’ dijelaskan atau diprediksikan

dengan menggunakan hukum Newton ke dua. Berbeda dengan ‘benda rigid’ di mana

tidak terdapat ‘gerakan relatif’ di antara bagian-bagian dari benda tersebut, ‘benda’ yang

akan dipelajari ini terdiri dari bagian-bagian yang dapat bergerak secara relatif.

‘Benda rigid’ ‘Benda yang akan dipelajari’

Di bawah ini adalah beberapa cara yang mungkin dipakai untuk mendapatkan

persamaan-persamaan yang menjelaskan gerak di ‘benda’ tersebut :

1. Dinamika molekuler (Molecular Dynamics):

Dalam metoda ini ‘benda’ dianggap terdiri dari molekul-molekul yang gerakannya

diatur oleh hukum Newton kedua. Metoda ini adalah metoda yang paling tepat



Mekanika Kontinum 3

untuk digunakan karena setiap benda terdiri dari molekul-molekul. Namun, metoda

ini sulit diterapkan karena alasan-alasan sebagai berikut

dt

xd m F i

ii

2

=

)(),( oioi t xt x•

kondisi awal

Untuk menyelesaikan persamaan di atas dibutuhkan kondisi awal dari molekul i.

Untuk sebuah molekul, diperlukan enam kondisi awal (tiga posisi awal dan tiga

kecepatan awal). Untuk menjelaskan gerak sebuah benda yang terdiri dari N

molekul, dibutuhkan 6N kondisi awal. Namun untuk satu mol gas, misalnya,

terdapat sekitar 1020 molekul. Jadi tidak mungkin kita mengetahui kondisi awal dari

molekul-molekul yang membentuk benda tersebut. Sehingga persamaan di atas

tidak dapat diintegrasikan. Kesimpulan : walaupun metoda ini merupakan metoda

yang paling tepat untuk memodelkan ‘benda’ yang akan dipelajari, namun metoda

ini sangat sulit untuk diterapkan.

2. Mekanika Statistik :

Metoda ini menggunakan prinsip-prinsip statistik dan teori kemungkinan untuk

mengatasi persoalan banyaknya kondisi awal yang perlu diketahui, seperti yang

dijelaskan di atas. Dalam metoda ini sifat-sifat ‘benda’ dijelaskan dengan

menggunakan f : ‘ statistical distribution function’ yang didefinisikan sebagai berikut.

);,...,;,...,( 11 t P P x x f f nn= P i : momentum i

=nn dP dP dx fdx ...... 11 kemungkinan molekul-molekul dalam sistem mempunyai

koordinat dan momentum antara xi, P i dan xi + dxi, P i + dP i (kemungkinan molekul

satu mempunyai koordinat antara x1 dan x1 + dx1 dan momentum antara P 1 dan P 1 +

dP 1, molekul dua mempunyai koordinat antara x2 dan x2 + dx2 dan momentum

antara P 2

dan P 2

+ dP 2

, … dan seterusnya).



Mekanika Kontinum 4

Evolusi dari f sendiri dijelaskan dengan persamaan

0);,...,;,...,( 11 =

dt

t P P x xdf nn (Teorema Louiville)

Fungsi distribusi f dapat digunakan untuk menghitung nilai rata-rata seperti,

∫= fdvn , ∫== fvdvn

uv1

.

Nilai-nilai seperti n dan uv ≡ adalah nilai makroskopik atau nilai yang dapat diukur

secara langsung. Persamaan-persamaan makroskopik didapatkan dari persamaan

Louiville (mengambil ‘moment’ dari persamaan diatas) yaitu dengan mengalikan

persamaan Liouiville dengan vn

(n = 0, 1, 2) kemudian mengintegrasikan hasilnya. Namun, karena f merupakan fungsi dari seluruh molekul yang ada dalam sistem,

persamaan yang didapat sangatlah kompleks dan sulit untuk diintegrasikan.

Namun, untuk kasus ‘low density gas’ di mana interaksi antara molekul-molekul

dapat diabaikan sehingga ),( v x f f = ( f hanya fungsi dari koordinat dan kecepatan

dari sebuah molekul), persamaan yang didapat menjadi lebih sederhana. Persamaan

yang didapat disebut ‘persamaan Boltzmann’. Namun, sekali lagi persamaan inihanya dapat diterapkan untuk kasus ‘low density gas’.

3. Mekanika Kontinum (Continuum Mechanics)

Metoda ini adalah metoda yang akan kita pergunakan. Dalam metoda ini struktur

molekul dari zat atau ‘benda’ diabaikan dan ‘benda’ dianggap sebagai suatu

kesatuan yang kontinyu yang bagian-bagiannya dapat bergerak secara relatif.

Yang dimaksud dengan kontinyu disini adalah benda tersebut merupakan suatu

kesatuan apabila dilihat secara makroskopik. Contohnya adalah sebuah papan tulis

atau sekumpulan gas. Kita ketahui bahwa papan tulis yang dibuat dari kayu,

misalnya, terbentuk dari kumpulan molekul-molekul yang terpisah-pisah (diskrit).

Namun, mata kita tidak melihat kenyataan tersebut. Apa yang kita lihat adalah

suatu kesatuan yang kontinyu. Demikian pula dengan sekumpulan gas. Gas

tentunya terdiri dari molekul-molekul yang terpisah-pisah, namun kita tidak

merasakan hal tersebut. Udara yang sekarang ada disekitar kita, misalnya, “terasa”



Mekanika Kontinum 5

seperti sesuatu yang kontinyu. Dengan kata lain kita tidak merasakan benturan-

benturan setiap molekul secara terpisah-pisah.

Model continuum tidak dapat diterapkan apabila ukuran dari bagian ‘benda’ yang

dipelajari hampir sama dengan dimensi karakteristik dari molekul-molekul ‘benda’

tersebut. Dimensi karakteristik yang biasa dipakai dalam gas adalah ‘mean free

path’ . adalah jarak rata-rata yang dilalui sebuah molekul sebelum

bertumbukan dengan molekul lainya.

)(Λ Λ

ρ

1≈Λ . Jika tekanan gas sangat rendah,

seperti di atmosfer bagian atas, Λ dapat saja sebanding dengan gas yang dipelajari

dan model kontinum tidak dapat digunakan.

1.2 Kinematika

Seperti dijelaskan di atas, model kontinum mengangap ‘benda’ sebagai sesuatu yang

kontinyu. Benda kontinum biasanya dianggap terdiri dari bagian-bagian yang disebut

‘material element ’. Ukuran elemen-elemen ini sangat kecil, dari sudut pandang

makroskopik, tetapi didalamnya terdapat banyak sekali molekul sehingga walaupun

kecil elemen-elemen tersebut adalah sebuah kontinum.

Asumsi kontinum menganggap setiap titik dalam ruang yang dipelajari diduduki oleh

‘benda tersebut’. Sehingga terdapat ‘korespondensi satu-satu’ antara ruang dan benda

kontinum. Hal ini memungkinkan kita untuk menjelaskan harga dari sebuah variabeldengan menggunakan dua sudut pandang yang berbeda. Contohnya misalkan kita

menyatakan kecepatan dari sebuah ‘material element ’. Yang mempunyai kecepatan itu

adalah ‘material element ’ tersebut. Tetapi karena setiap titik dalam ruang diduduki oleh

bagian dari benda kontinum, kita dapat meyatakan bahwa kecepatan dari ‘material

element ’ tersebut adalah kecepatan pada sebuah titik dalam ruang yang diduduki oleh

‘materal element ’ pada saat itu.

Hukum-hukum dasar fisika (seperti hukum Newton II) dituliskan untuk sebuah partikel

atau benda rigid yang seluruh elemen dari benda tersebut bergerak dengan kecepatan



Mekanika Kontinum 6

yang sama. Benda continuum yang akan kita pelajari adalah benda yang elemen-

elemennya atau bagian-bagiannya dapat bergerak dengan kecepatan yang berbeda (ada

gerakan relatif antarelemen-elemen di benda continuum). Oleh karena itu, kita harus

lebih berhati-hati dalam menerapkan persamaan-persamaan dasar fisika untuk benda

kontinum yang akan kita pelajari. Misalnya kita harus mengetahui apa artinya turunan

waktu )(dt

d dari sebuah benda yang bagian-bagiannya dapat bergerak dengan kecepatan

yang berbeda. Hal-hal seperti itulah yang akan dibahas dalam bagian ini.

1.2.1 Sudut Pandang Lagrangian dan Eularian

Karena adanya ‘korespondensi satu-satu’ antara benda kontinum dan ruang, maka gerak

benda kontinum dapat dijelaskan sebagai berikut :

Benda kontinum, kita bayangkan, terdiri dari bagian-bagian kecil yang kita sebut

‘material element ’. Material element ini kita beri label ζ. Karena adanya

korespondensi satu-satu maka ada ‘mapping ’ χ yang menghubungkan setiap ‘materialelement ’ ζ dengan setiap titik x dalam ruang. Sehingga dapat kita nyatakan :

)(ζ χ = x dan )(1 x−= χ ζ

Artinya : titik x dalam ruang adalah titik yang diduduki oleh partikel ζ dan ζ adalah

material element yang berada di titik x dalam ruang.

Apabila kita perkenalkan sebuah sistem koordinat seperti di atas maka kita dapat

tuliskan persamaan di atas sebagai berikut :

)(ζ χ = x , )(1 x−= χ ζ



Mekanika Kontinum 7

Artinya : posisi x dalam ruang adalah posisi yang diduduki oleh partikel ζ dan ζ adalah

material element yang berada di posisi x dalam ruang.

Gerak dari benda kontinum adalah :

),( t x ξ χ = dan ),(1 t x−= χ ξ

hubungan diatas menjelaskan dimana posisi ( x ) dari ξ pada waktu t atau ξ adalah

partikel/material element yang berada di posisi x pada waktu t .

Posisi awal dari partikel )(ξ ξ dapat pula kita gunakan untuk alternatif penulisan

persamaan di atas,

),( t x ξ χ = (2.1)

),(1 t x−= χ ξ (2.2)

Persamaan (2.1) menjelaskan deformasi dari sebuah material element yang awalnya

berada di posisi ξ sedang (2.2) adalah menelusuri posisi awal dari material element

yang yang pada waktu t berada di posisi x .

Asumsi : Dengan adanya1−

χ maka kita asumsikan bahwa gerakan benda kontinum

adalah gerakan yang kontinyu dan “ single valued ” (material element tidak

dapat dipecah dan menempati 2 tempat yang berbeda juga 2 material element

berbeda tidak dapat menempati posisi yang sama).

Persamaan (2.1) dan (2.2) menjelaskan 2 sudut pandangan berbeda yang dapat kita

gunakan dalam mempelajari mekanika benda kontinum. Apabila kita gunakan (2.1) kita

mengikuti gerak dari sebuah material element yang kita beri label ξ . Sudut pandang ini

disebut sudut pandang Lagrangian. Sudut pandang seperti inilah yang digunakan

apabila kita menuliskan hukum Newton II untuk sebuah partikel/benda rigid (kita ikuti

gerakan dari partikel/benda rigid tersebut).

Sedangkan (2.2) menjelaskan sesuatu yang sama dengan (2.1) tetapi dengan

menggunakan sudut pandang yang berbeda. Disini kita perhatikan sebuah titik danmengamati “material element ” yang berada dititik tersebut pada waktu t . Untuk



Mekanika Kontinum 8

mengamati gerakan dari benda kontinum maka kita perlu mengamati seluruh titik dalam

ruang yang pada waktu tertentu diduduki oleh bagian-bagian berbeda dari benda

kontinum. Disini variabel yang independen adalah x dan t . Sudut pandang seperti ini

disebut sudut pandang Eulerian.

Dengan persamaan (2.1) dan (2.2) kita dapat menyatakan harga dari sebuah variabel F

dengan menggunakan 2 sudut pandang yang berbeda;

F(x,t) = F[x( ,t)] = F( ,t)ξ ξ

Artinya harga variabel F diposisi x pada waktu t adalah harga F dari partikel yang

berada di x pada waktu t.

Jadi kita dapat menyatakan harga F , yang sebenarnya merupakan sesuatu yang dimiliki

oleh partikel, adalah harga disuatu posisi pada ruang. Ini dimungkinkan karena adanya

korespondensi satu-satu yang merupakan konsekuensi dari asumsi bahwa “benda”

dianggap suatu yang kontinum.

1.2.2 Turunan Material

Sekarang kita akan lihat konsekuensi dari kesamaan antara 2 sudut pandang,

Lagrangian dan Eulerian, dalam mengevaluasi turunan waktu dari sebuah kuantitas

),( t F ξ . Turunan waktu dari ),( t F ξ yang diobservasi oleh pengamat yang bergerak

bersama material element ξ adalah,

( )

tan

3

1

( , ) ( , ),kons

i

ii

dF F t F x t t dt t t

x F F F u F

t x t t

ξ

ξ

ξ ξ

=

∂ ∂ ⎡ ⎤≡ = ⎣ ⎦∂ ∂

∂∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + ∑ = + ⋅∇⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Di manaξ

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂=

t

xu (perubahan waktu dari koordinat partikel ξ ). Kuantitas F bisa

merupakan skalar, vektor, atau tensor dengan orde yang lebih tinggi lainnya. Sekarang

kita akan menuliskan kembali hasil di atas yaitu,



Mekanika Kontinum 9

( ) F ut

F

dt

dF ∇⋅+

∂

∂= (2.3)

Arti dari suku sebelah kiri telah dijelaskan di atas. Hukum-hukum dasar fisika biasanya

dituliskan dengan menggunakan turunan yang mengikuti benda yang bergerak ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ F

dt

d .

Karena kita dapat menggunakan sudut pandang lainnya (Eulerian) maka turunan

tersebut yang juga disebut “turunan material” atau “turunan substansial” dapat

dituliskan seperti dalam persamaan (2.3). Suku pertama disebelah kanan berarti

turunan waktu dari F di sebuah titik. Suku inilah mempunyai harga nol dalam kasusSteady. Suku kedua di sebelah kanan menjelaskan perubahan waktu dari F yang

diakibatkan oleh pergerakan material element di daerah di mana terdapat . F ∇

1.2.3 Reynold Transport Theorem

Di subbagian ini, kita akan mempelajari cara untuk mengevaluasi turunan material dari

integral volume dari sebuah kuantitas F. Ini akan sangat berguna pada waktu kitamembahas dinamika benda kontinum nanti.

Untuk generalitas, kita misalkan volume dapat berubah-ubah (V=V(t)) dan juga

permukaannya bergerak dengan kecepatan v . Jadi permasalahannya adalah

?),()(

=∫ dV t x F dt

d

t V

Kita mulai dari definisidt

d :

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−∆+

∆→∆= ∫ ∫∫

∆+ )( )()(

)()(1

0

lim),(

t t V t V t V

dV t F dV t t F t t

dV t x F dt

d

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

lim 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0V t V t t V t V t V t

d F t dV F t t dV F t t dV F t t dV F t dV

t dt t +∆

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= + ∆ − + ∆ + + ∆ −⎢ ⎥⎨ ⎬

∆ → ∆ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭∫ ∫ ∫ ∫ ∫



Mekanika Kontinum 10

Perhatikan 2 suku terakhir di sebelah kanan

[ ] [ ]dV

t

F dV

t

t F t t F

t dV

t

t F t t F

t t V t V t V ∫∫∫ ∂

∂=

∆

−+∆

→∆

=

∆

−+∆

→∆ )()()(

)()(

0

lim)()(

0

lim

Jadi

∫ ∫∫−∆+ ∂

∂+∆+

∆→∆=

)()( )()(

)(1

0

lim)(

t V t t V t V t V

dV t

F dV t t F

t t dV t F

dt

d

Di mana,

∫∫∫ ∆+−∆+≡∆+∆+−∆+ )()()()(

)()()(t V t t V t V t t V

dV t t F dV t t F dV t t F

adalah perubahan F yang disebabkan oleh perubahan volume

Untuk mengevaluasi integral ini (disebabkan oleh perubahan V ), kita perhatikan sketsa

di atas. Gambar pertama adalah volume pada waktu t dan yang kedua pada waktu

. Gambar yang paling kanan adalah kedua volume tersebut apabila kita

tumpukkan volume V(t) “di dalam” volume V

( t t ∆+ )

( )t t ∆+ . Perbedaan antara kedua volume

tersebut adalah daerah yang bertitik-titik dan harga volume didaerah ini adalah

. Untuk mendapatkan volume di daerah ini, kita perhatikan bagian kecil

dari daerah tersebut dan ini digambarkan di bagian bawah dalam sketsa di atas. Dari

sketsa tersebut jelaslah bahwa volume daerah tersebut adalah

∫−∆+ )()( t V t t V

dV

( )dS t nv ∆⋅ ˆ . Dengan

demikian maka,




∫∫∫ ⋅=⋅∆+→∆

=∆+∆→∆

−∆+ )()()()(

ˆ)(ˆ)(0

lim)(

1

0

lim

t S t S t V t t V

dS nvt F dS nvt t F t

dV t t F t t

Akhirnya kita gunakan integral-integral ini dan hasilnya adalah

dS nvt x F dV T

t x F dV t x F

dt

d

t S t V t V

⋅+

∂

∂= ∫∫∫

)()()(

),(),(

),( (2.4)

Persamaan terakhir dikenal dengan sebutan Reynolds Transport Theorem.

Contoh: F = 1 ⇒ ( ) ( )∫∫∫ ∇=⋅=)()()(

.ˆt V t S t V

dV vdS nvdV dt

d

Apabila V(t) sangat kecil )()( t V t V δ → maka

( ) V V dt

d

V ⋅∇=δ

δ

1

1.2.4 Deformasi benda kontinum

Di subbagian berikut ini kita akan mempelajari deformasi dari sebuah benda kontinum.

Benda kontinum adalah benda yang tidak rigid. Jadi bagian-bagian dari benda ini dapat

bergerak secara relatif. Gerak relatif ini menyebabkan terjadinya deformasi benda

kontinum. Kita akan mempelajari deformasi dan laju perubahan dari deformasi

tersebut. Ini nantinya akan berguna dalam memahami gerakan benda kontinum dan juga

dalam menentukan persamaan konstitutif yang akan kita bahas nanti.

Untuk mempelajari deformasi kita akan amati 2 atau 3 titik didalam benda kontinum

(point P dan Q atau point P ,Q,dan R) sebelum dan sesudah deformasi. Nanti akan

ditunjukkan bahwa perubahan bentuk atau deformasi dijelaskan oleh sebuah matrix C .

Sedangkan ‘rate’ dari deformasi dijelaskan oleh matrix D .

Deformasi itu sendiri menyebabkan perubahan panjang dari sebuah segmen dalam

kontinum. Selain itu deformasi juga menyebabkan terjadinya perubahan sudut antara

dua segmen.




i) Deformation Gradien Tension : F

ξ3 , x3 Q: x (ξ + dξ,t) ε + dε

dx= dx l Q0

dξ = dξ L ξ + dξ

P: x(ξ,t)

ε P0

ξ

ξ2 , x2

ξ1 , x1

l : unit vektor di arah p pada waktu t

L : unit vektor di arah Q P • pada waktu 0=t

Untuk mempelajari deformasi benda kontinum, kita perhatikan 2 buah titik P dan Q di

dalam material. Pada Waktu t , titik P berada di posisi x dan Q berada di posisi xd x + .

Sedangkan pada waktu t = 0 (awalnya), titik P berada di posisi ξ , dan Q berada di posisi

ξ ξ d + . Sekarang kita akan mempelajari hubungan antara dx dan d ξ , yaitu vektor yang

menghubungkan titik P dan Q pada waktu t dan t = 0. Karena PQ sangat dekat, maka

untuk menentukan posisi Q pada waktu t , maka kita dapat menggunakan ekspansi

Taylor ,

( ) ( ) ( )2,

,, ξ θ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ +⋅

∂

∂+=+ d

t xt xt d x .

Sehingga,

( ) ( ) ξ ξ

ξ

ξ ξ ξ d

t x

t xt d x xd ⋅

∂

∂=−+=

,

,,




Apabila kita definisikanξ

ξ

∂

∂≡

t x F

,, maka

ξ d F xd ⋅= .

Tensor orde dua F disebut juga “Deformation Gradien Tensor”. Dengan

menggunakan invers dari F ,

ξ ξ d d F F xd F =⋅=⋅ −− 11

di mana x

F ∂

∂=

− ξ 1

• Stretch Ratio

Sekarang kita akan lihat bagaimana panjang dari PQ , atau panjang dari sebuah

‘material line’ berubah karena deformasi. Pertama-tama kita tuliskan dx

) Ld F d F xd ˆξ ξ ⋅=⋅=

karena Ld d ˆξ ξ = (lihat gambar di atas!). Tetapi l dx xd ˆ= sehingga,

L F dxd l ˆ⋅= ξ

Sekarang, kita cari panjang PQ pada waktu t ,

( ) ( ) ( )

L F F L

d

dx

L F L F dx

d d L F l xd l dx

T

⋅⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=

2

2

ξ

ξ ξ

atau

( )ˆ ˆ L L C λ = ⋅ ⋅ ˆ L di mana F F C T ≡ dan ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ≡

ξ λ

d

dx

Dari persaman di atas dapat dilihat bahwa λ atau rasio dari panjang PQ pada waktu t

dan t = 0, dapat dihitung apabila F diketahui.




• Perubahan Sudut

M d d ˆ'' ξ ξ =

mdy yd ˆ=

Selain mengalami perubahan panjang, benda kontinum juga dapat mengalami

perubahan sudut antara 2 material line dan deformasi. Sekarang kita akan lihat

bagaimana sudut antara 2 material line ini berubah. Untuk itu, kita tampilkan sebuah

titik baru, yaitu titik R. Sudut antara PQ dan R pada waktu t adalah,

dy

yd

dx

xd

ml ⋅=⋅= ˆˆ

cosθ

Namun, ξ d F xd ⋅= dan'

ξ d F yd ⋅= . Kita dapat gunakan F yang sama untuk xd

dan yd , karena F adalah fungsiξ dan t atau harganya tergantung dari titik P . Dengan

demikian maka,

( ) ( )( )

( ) ( )

' '

'

ˆ ˆcos

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

T

T T

F d F d d d l m F F

dx dy dx dy L F F M d d

L F F M dx dy L M

ξ ξ ξ ξ θ

ξ ξ

λ λ

⋅ ⎛ ⎞⋅ ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⋅ ⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

atau

( )( ) ( ) M L

M C L M L

ˆˆ

ˆˆˆ,ˆcos

λ λ θ

⋅⋅=

Jadi, sama seperti perubahan panjang, perubahan sudut ditentukan oleh F .

R

0

P

Q0

Ф

d ’

dξ

R

dy

ө

dx

Q

P




ii) Velocity Gradient Tensor : u∇

Di i), kita telah pelajari deformasi dari material line. Sekarang kita akan pelajari ‘rate’

dari deformasi tersebut. Pertama-tama kita akan lihat turunan material dari F

( ) ( )ξ ξ ξ ξ ξ

ξ

∂

∂

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂=

x

x

ut xuu

dt

dxt x

dt

d F

dt

d ,,

F u F dt

d ∇=

• Rate Dari Perubahan Panjang ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

dt

dx

Mari kita lihat turunan material dari vektor PQ

( ) ( ) ( ) ξ ξ ξ d F ud dt

F d d F

dt

d xd

dt

d ⋅∇=⋅=⋅=

Namun, karena l dx xd ˆ= , maka,

( ) ( )

dt

l d dxl

dt

dxd xd

dt

d ˆˆ +=

sehingga,

( ) ( ) ξ d F udt

l d dxl

dt

dxd ⋅∇=+

ˆˆ (D.B. 1)

Sekarang kita cari( )dt

dxd , dan ini kita dapatkan dengan mengambil dot product

persamaan di atas,

( ) ( ) dxl ul xd ul d F ul l dt

l d dx

dt

dxd ˆˆˆˆˆˆ

⋅∇⋅=⋅∇⋅=⋅∇⋅=⋅+ ξ

karena maka1ˆˆ =⋅ l l

( ) 0ˆ

ˆ2ˆˆ ==⋅dt

l d l l l

dt

d atau 0

ˆˆ =

dt

l d l

Jadi,

( )

l ul dt

dxd

dxˆˆ1

⋅∇⋅=




Dari persamaan di atas, kita lihat bahwa ‘rate’ dari perubahan panjang PQ tergantung

dari harga u∇ . Oleh karena itu, mari kita lihat u∇ secara lebih mendalam. Pertama-

tama u∇ dapat kita tuliskan sebagai berikut,

( )( ) ( )( )

Ω

∇−∇+∇+∇=∇ T

D

T uuuuu2

1

2

1

Dari bentuknya, dapat dilihat bahwa matriks D adalah matriks yang simetrik dan Ω

adalah matriks antisimetrik.

Sekarang kita lihat xd xd ⋅Ω⋅2 ,

( )

( )0

2

=

⋅∇⋅−⋅∇⋅=

⋅∇−∇⋅=⋅Ω⋅

xd u xd xd u xd

xd uu xd xd xd T

T

ˆ ˆ 0l l ⋅ Ω ⋅ = .

Dengan demikian, maka ‘rate’ dari perubahan panjang adalah

( ) ( ) l Dl l Dl l ul dt dxd

dxˆˆˆˆˆˆ1 ⋅⋅=⋅Ω+⋅=⋅∇⋅=

atau

( )l Dl

dt

dxd

dxˆˆ1

⋅⋅=

• Rate Dari Perubahan Sudut ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

dt

d θ

Untuk melihat ‘rate’ dari perubahan sudut, kita ambil turunan material dari

.ml ˆˆcos ⋅=θ

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =−= m

dt

d l ml

dt

d

dt

d

dt

d ˆˆˆˆsincos θ

θ θ

ml ˆˆsin ×=θ dan l dt

d ˆ dapat ditemukan dengan mengambil dot product persamaan

(DB.1) dengan l dt

d ˆ . Hasilnya adalah,




( ) l l ul l udt

l d ˆˆˆˆˆ

⋅∇⋅−⋅∇=

Dengan demikian, maka,

( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]muul ml muml ul ml dt

d T ˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆ

1⋅∇+∇⋅−⋅⋅∇⋅+⋅∇⋅

×

−=

θ

Dengan menggunakan Ω+=∇ Du dan 0ˆˆ =⋅Ω⋅ l l ,

( ) ( ) ( )[ ]m Dl ml m Dml Dl ml dt

d ˆˆ2ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆ

1⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅

×

−=

θ

Jadi, sama sepertidt

dx,

dt

d θ juga bergantung dari D . Sehingga dapat disimpulkan

bahwa kontribusi D di dalam u∇ adalah dalam perubahan panjang dan sudut. Jadi, D

menjelaskan gerakan relatif dari bagian-bagian benda yang membuat benda menjadi

tidak rigid.

Contoh :

1. PQ // sehingga1e l edx

xd ˆ1 == . Jadi ( ) 11

1 Ddx

dt

d

dx =

* adalah perubahan waktu dari strain yang paralel denganii D 1e

2. yd // dan d 1e x // sehingga dan2e 2ˆˆ el = 0ˆˆˆˆ

1 =⋅⇒= ml em

212 Ddt

d −=

θ

* adalah21 D21 dari perubahan waktu dari sudut antara 2 segmen yang tadinya //

dengan dan axis.1e 2e

• Rate of Rotation )Ω

Kita telah buktikan sebelumnya, bahwa apabila kita dekomposisikan tensor u∇ menjadi

Ω+=∇ Du , maka D menjelaskan bagaimana panjang sebuah segmen dan sudut

antara 2 buah segmen berubah. Sekarang kita akan lihat kontribusi dari Ω ,




⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂

⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛

∂∂−

∂∂⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛

∂∂−

∂∂

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂

=Ω

0

0

0

21

3

2

2

3

3

1

1

3

2

3

3

2

2

1

1

2

1

3

3

1

1

2

2

1

x

u

x

u

x

u

x

u

xu

xu

xu

xu

x

u

x

u

x

u

x

u

Dari matriks Ω di atas, jelaslah bahwa Ω hanya mempunyai 3 independen komponen.

Sekarang kita tuliskan dan perhatikan vektor u×∇≡ω .

3

2

1

1

22

1

3

3

11

3

2

2

3 ˆˆˆ e xu

xu

e xu

xu

e xu

xu

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂∂−

∂∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂∂−

∂∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂∂−

∂∂=ω

Apabila kita perhatikan dengan seksama, maka jelaslah bahwa komponen-komponen

dari ω adalah komponen-komponen independent dari Ω . Bahkan, apabila kita

definisikan tensor maka seperti di bawah ini, maka kita dapatkan,ijk ∈

k ijk ij ω ∈−=Ω 2

1

di mana

.⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

===

=∈

)(,1

)231,312,123(,1

),,(,0

cyclictidak

cyclicatau

ik k j ji

ijk

Juga apabila A dan B adalah vektor, maka,

ik jijk e B A B A ˆ∈=×

sehingga,

( ) xd xd xd ud a×⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =×−=⋅Ω≡ ω ω

2

1

2

1.

Di mana( )aud adalah salah satu suku dari,

( ) ( )a s ud ud xd xd D xd uud +≡⋅Ω+⋅=⋅∇=




Dalam mekanika partikel, hubungan antara kecepatan partikel Q Qu yang diamati dari

rangka acuan I (diam) dan II (bergerak dan berputar dengan Ω ) adalah,

II daridilihat II I QQQ xU U ×Ω+=

Jadi, du( α ) adalah kecepatan relatif terhadap sebuah titik di mana ada "rigid body

rotation" dengan kecepatan angular ω 2

1 .

u∇ : Kesimpulan tentang

Dengan mendekomposisikan u∇ menjadi D & Ω kita dapat melihat bahwa u∇

menjelaskan bagaimana benda kontinum (benda yang tidak rigid) bergerak. Bagian-

bagian dari benda kontinum dapat bergerak secara relatif (sudut antara 2 segmen dapat

berubah, panjang antar segmen dapat berubah) dan gerakan relatif ini dijelaskan oleh D.

Selain itu benda kontinum dapat juga berotasi seperti benda rigid. Rotasi ini dijelaskan

oleh Ω . Lebih tepatnya Ω menjelaskan perubahan waktu dari rotasi tersebut

(kecepatan angular).

• Strain Tensor

Seringkali dalam engineering, deformasi benda dijelaskan dengan menggunakan apa

yang disebut dengan “Strain Tensor ”. Untuk itu kita perhatikan hal-hal berikut ini.

Pertama-tama perhatikanlah selisih antara panjang awal dan akhir yang dinyatakan

sebagai,

2 2 ( ) ( ) ( )T ds dS d x d x d d F d F d d d d F F I d ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ − = ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ξ

atau1 1 1 12 2 ( ) ( ) ( ( ) )T ds dS d x d x d d d x d x F d x F d x d x I F F d xξ ξ

− − − −− = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅

Green/Lagrangian Strain Tensor didefinisikan sebagai,

)(2

1 I F F T

−=Σ

Sedangkan Almansi/Eulerian Strain Tensor didefinisikan sebagai,

))((21 11 −−−= F F I T ε




Dari definisinya terlihat bahwa Green strain tensor adalah tensor yang berbanding

terbalik dengan panjang pada konfigurasi awal (dS), sedangkan Almansi strain tensor

berbanding terbalik dengan panjang pada konfigurasi saat itu (ds).

Definisi-definisi diatas dapat pula dituliskan dengan menggunakan vektor perpindahan ε

(lihat sketsa pada awal sub bagian ini) dimana,

ξ ε d d xd +=

sehingga,

1d x d x F d x x

ε −∂= ⋅ + ⋅

∂ atau d x F d d d

ε ξ ξ ξ

ξ

∂= ⋅ = ⋅ +

∂

Dari kedua persamaan terakhir dapat dilihat bahwa,

x I F

∂

∂−=

− ε 1 dan I F +

∂

∂=

ξ

ε

Akhirnya Green dan Almansi strain tensor dapat dinyatakan seperti,

)(2

1

ξ

ε

ξ

ε

ξ

ε

ξ

ε

∂

∂⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂=Σ

T T

dan )(2

1

x x x x

T T

∂

∂⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂=

ε ε ε ε ε

Dari definisinya terlihat bahwa kedua tensor diatas adalah tensor orde 2 yang simetris.

Karena kedua tensor tersebut adaah fungsi dari F maka kedua strain tensor tersebut

menjelaskan deformasi dari benda kontinuum. Kedua strain tensor diatas sering

digunakan didalam mekanika solid.

Banyak kasus dalam engineering dimana gradien dari vektor perpindahan amatlah kecil

( 1<<∂

∂

ξ

ε atau 1<<

∂

∂

x

ε ). Kasus-kasus seperti ini dikenal dengan sebutan kasus small

strain dan untuk kasus ini suku-suku terakhir yang terdapat Green dan Almansi strain

tensor dapat diabaikan. Untuk kasus ini,

)(2

1T

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂=Σ

ξ

ε

ξ

ε dan )(

2

1 T

x x ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂=

ε ε ε




Lebih jauh, apabila deformasi sangatlah kecil maka kita dapat gunakan approximasi,

ε ≈Σ

Untuk kasus-kasus seperti ini,

1 1

2 2

T T

d d u u D

dt dt x x x x

ε ε ε • •⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Σ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

Jadi turunan waktu dari Almansi Strain tensor pada kasus small strain adalah tensor D

yang menjelaskan gerakan relatif bagian-bagian benda kontinuum.

1.2.5 Rangka Acuan (Frame of Reference)

Untuk mempelajari fenomena mekanika, kita diharuskan memilih rangka acuan.

Rangka acuan adalah “tempat” di mana kita meletakkan koordinat sistem untuk

menentukan posisi dan juga “clock ” untuk menentukan waktu/ kapan sebuah fenomena

terjadi. Dalam mekanika klasik (mekanika Newton), hukum alam yang didapatkanumumnya akan berbeda apabila kita menggunakan rangka acuan yang berbeda. Namun

ada rangka-rangka acuan di mana hukum alam yang dituliskan relatif terhadap rangka-

rangka acuan tersebut mempunyai bentuk yang sama. Rangka acuan tersebut disebut

“inertial frame”. Dalam rangka acuan ini ruang menjadi homogenous dan isotropic,

sedangkan waktu menjadi homogenous. Dengan kata lain setiap waktu, posisi, dan

orientasi dalam ruang di rangka acuan tersebut adalah “sama” atau equivalen secara

mekanik.

Dalam mempelajari mekanika sebuah benda, kita harus memilih sebuah rangka acuan di

mana hukum-hukum mekanika yang dituliskan relatif terhadap rangka acuan tersebut

mempunyai bentuk yang paling sederhana. Oleh karena itu, kita perlu mempelajari

hubungan umum antara rangka acuan satu dengan lainnya. Inilah yang akan menjadi

topik dalam subbagian ini.




• Rangka acuan yang berputar

Hubungan yang pertama-tama kita akan pelajari adalah antara rangka acuan yang diam

( x1 ,x2 ,x3) dan yang berputar dengan kecepatan angular Ω ( x1`,x2`,x3`). Misalnya kita

akan mempelajari gerakan dari partikel Q. Lebih spesifiknya kecepatan dari partikel Q.

Apabila unit vektor untuk rangka acuan ( x1`,x2`,x3`) adalah (ê1 , ê2 , ê3) dan untuk rangka

acuan ( x1 ,x2 ,x3) adalah ( Ê 1 , Ê 2 , Ê 3) maka posisi Q adalah :

xQ = x1 Ê1 + x2 Ê 2 + x3 Ê 3 = x1’ ê1 + x2’ ê2 + x3’ ê3

Karena ( x1’ , x2’ , x3’ ) berputar maka êi = ê(t) sehingga :

( ) ( )dt

ed x

dt

ed x

dt

ed xe

dt

dxe

dt

dxe

dt

dx E

dx

dx E

dt

dx E

dt

dx

dt

xd

x x x x

Q 3'

32'

21'

1

,,xdaridilihatQkecepatan

3

'

32

'

21

'

1

,,xdaridilihatQkecepatan

33

22

11

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

321321

+++++=++=

Arti dari suku-suku dalam persamaan di atas, kecuali 3 suku terakhir, telah dituliskan.

Sekarang bagaimana dengan 3 suku terakhir? Untuk itu kita lihat hubungan antara ê1(t)

& ê1(t+ ∆t).

1

1

ˆtan

ˆ ( )

ded d

e t θ θ ≈ =

1 1ˆ ˆ ( )de e t d θ = sehingga 1

1

ˆˆ

de d e

dt dt

θ =

Karena arah d θ berlawanan dengan arah jarum jam, maka:

11 ˆ

ˆe

dt

ed ×Ω= dimana

d

dt

θ Ω ≡

Hubungan serupa juga berlaku untuk dt

ed

dt

ed 12ˆ

,

ˆ

sehingga :




ˆˆii

dee

dt = Ω × , i = 1, 2, 3

Dengan demikian maka:

( )1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ

I II

Q

Q Q

d xV V x e x e x e

dt ′ ′ ′

= = + Ω× + +

atau

I II II Q Q Q Q

d x V V x

dt = = + Ω×

di mana:

I QV : Kecepatan Q relatif terhadap rangka acuan yang diam.

II QV : Kecepatan Q relatif terhadap rangka acuan yang berputar.

II Q : Posisi Q relatif terhadap rangka acuan yang berputar.

Dalam penurunan di atas, kita pilih sebuah vektor ( X Q) yang menunjukkan posisi dari

titik Q. Namun, formula ini juga berlaku untuk sembarang vektor A yang merupakan

fungsi waktu. Sehingga hubungan antara turunan waktu A yang diamati dengan

menggunakan rangka acuan I & II adalah :

II II I

A Adt

d A

dt

d A

dt

d ×Ω+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ = (FR.1)

• Rangka acuan yang bergerak secara umum

Sekarang kita beralih ke rangka acuan yang lebih umum. Misalnya rangka I diam dan

rangka II bergerak & berputar relatif terhadap rangka I. Kita lihat posisi titik Q dilihat

dari kedua rangka acuan tersebut.




X I = X 0 + X II di mana

X I : Posisi Q dilihat dari I

X 0 : Posisi origin rangka II dilihat dari I.

X II : Posisi Q dilihat dari II

Untuk melihat kecepatan, kita ambil turunan waktu dari vektor-vektor di atas :

II I xdt

d x

dt

d x

dt

d += 0

dt

d X II adalah perubahan waktu dari vektor yang dilihat dari rangka acuan II, yaitu

rangka acuan yang berputar. Dengan demikian maka menurut (FR.1),

II I II Q Q

d I

x V xdt

= + Ω×

sehingga:

II I Q o QV V V x

II Q= + +Ω× (FR.2)

V 0 : Kecepatan titik O/ origin dari frame II

I QV : Kecepatan Q relatif terhadap frame I (diam)

II QV : Kecepatan Q relatif terhadap frame II

II Q : Posisi Q relatif terhadap frame II

Terakhir kita akan lihat hubungan antara akselerasi titik Q yang diamati dari rangka I &

II. Kita ambil turunan waktu dari (FR.2) maka,

0 I II II II Q Q Q Q

d d d d d V V V xdt dt dt dt dt = + + Ω × + Ω× x

& II Q

d d V

dt dt II Q x adalah turunan waktu vektor-vektor yang relatif terhadap II, maka :

II II II II II Q Q Q Q Q

d d V a V dan x V x

dt dt ≡ + Ω× = + Ω×

II Q

sehingga,

2 ( I II II II Q o Q Q Q Qa a a x V x= + + Ω× + Ω× + Ω× Ω× )

II (FR.3)

dimana,




oa : Percepatan titik O yang merupakan origin dari rangka acuan II

I Qa : Percepatan Q dilihat dari rangka acuan I (diam)

II Qa : Percepatan Q dilihat dari rangka acuan II

2 Ω × II QV : “Gaya” coriolis

Ω × (Ω × II Q ) : “Gaya” sentripetal

• Frame Indifference

Dua rangka acuan dinyatakan sebagai dua rangka yang “ frame indifference” apabila

para pengamat yang berada dikedua rangka acuan tersebut setuju tentang:

1. jarak antara dua titik sembarang

2. orientasi

3. waktu antara dua kejadian

4. tahapan dari dua kejadian

Hubungan antara dua rangka acuan (vektor yang diamati dari rangka acuan I diberi

simbol dengan superscript * sedangkan ragka acuan II tanpa superscript ) yang

memenuhi syarat-syarat di atas adalah:

x(t)Q(t)c x ⋅+=*, (FI)t-at =*

dimana Q menjelaskan rotasi benda rigid sehingga,

T QQ =−1

Hubungan antara t dan t* jelas memenuhi syarat 3 dan 4. Sekarang kita akan buktikan

bahwa hubungan antara x dan x* memenuhi syarat 1 dan 2. Misalkan terdapat dua titik

yang posisinya,

xQ(t)c x*⋅+= dan yQ(t)c y*

⋅+=

Jarak antara kedua titik tersebut adalah,

) y x( Q y x **−⋅=−

sehingga

) y x( QQ ) y x( ) y x( Q ) y x( Q y x T ** −⋅⋅−=−⋅⋅−⋅=−2




Karena1-T QQ = maka I QQT = dan

22

y x y x **

−=−

Sehingga jarak antara dua titik tersebut adalah sama di dua rangka acuan tersebut.

Demikian pula orientasi dari vektor yang menghubungkan kedua titik tesebut.

Sekarang kita lihat bagaimana hubungan antara dua buah skalar, vektor dan tensor orde

2 yang memenuhi syarat-syarat di atas.

1. Frame indifferent skalar.

Apabila sebuah skalar, b, adalah frame indifferent maka harganya tidak berubah

apabila b diamati dari dua rangka acuan yang berbeda.

bb* =

Tentunya, ini berlaku untuk setiap skalar karena harga dari sebuah skalar tidak

bergantung dari rangka acuan.

2. Frame indifferent vektor, dx.

Ini telah kita lihat dalam pembuktian di atas. Sebuah vektor yang menghubungkan

dua titik adalah frame indifferent apabila,

V QV * ⋅=

Transformasi di atas juga memastikan arah dari V tidak berubah dengan adanya

transformasi (F.I). Ini dapat dilihat di bawah

∗∗∗= ii eV V ˆ , iieV V ˆ=

iiT

ii eV eQQV )eQ( )V Q( eV ˆˆˆˆ ⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅ ∗∗

Dengan demikian komponen V* di rangka acuan * sama dengan komponen V di

rangka acuan yang satunya (misalnya, , , ).11 V V =∗22 V V =∗

33 V V =∗

3. Frame indifferent tensor orde 2.

Sebuah tensor orde 2, T , adalah tensor yang frame indifferent apabila tensor

orde 2 tersebut mentransformasikan vektor yang frame indifferent menjadi vektor

yang frame indifferent . Misalkan V dan W adalah vektor-vektor yang frame

indifferent sehingga,

V QV ⋅=∗

, W QW ⋅=∗




Apabila T adalah frame indifferent maka,

V T V ⋅= dan∗∗∗

⋅= W T V

Sekarang kita lihat bagaimana hubungan antara T dan∗T yang memenuhi syarat ini

∗∗∗⋅= W T V

)W Q( T V Q ⋅⋅=⋅ ∗

( ) ( )Q T W T Q W Q T T Q∗ ∗⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⎯⎯→ ⋅ = ⋅

Jadi T adalah frame indifferent apabila

T T QT Q∗=

Sama seperti vektor, komponen∗T di rangka acuan (*) sama dengan komponen T

di rangka acuan yang satunya.

ji jT T

i

jT

i ji

eT ee )QQT QQ( e

)eQ( )QT Q( eQ )eT ( e

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

⋅⋅=⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅ ∗∗∗

Ini berarti , ,...,dan seterusnya.1313 T T =∗ 2323 T T =∗

Dari diskusi di atas dapat disimpulkan bahwa, prinsip frame indifferent memastikan

bahwa harga dari sebuah kuantitas tidak bergantung dengan kecepatan atau gerakan

pengamat. Tidak semua vektor atau tensor memenuhi persyaratan untuk sebuah vektor

atau tensor yang frame indiferent . Berikut ini adalah contoh-contoh dari vektor dan

tensor yang tidak frame indifferent.

Contoh: x(t)Q(t)c x* ⋅+=

1. uQ xQc xdt

d u ⋅+⋅+==

∗∗ → u tidak frame indifferent

2. ( ) ( ) F Q xQξ

xQ(t)cξ

xξ

F ⋅=⋅∂

∂=⋅+

∂

∂=

∂

∂=

∗∗ → F tidak frame indifferent

F Q F Q F +=∗

, F uξ

u

ξ

x

dt

d F ∇=

∂

∂=

∂

∂= →

1−=∇ F F u




3.( ) ( ) ( )

T T T T QuQQQQ F F QQ F F Q

) F Q )( F Q F Q( F F F F u

∇+=+=

+===∇

−−

−∗−∗∗−∗

11

111

u∇∴ tidak frame indifferent

1.3 Dinamika

Dalam bab ini kita akan mulai mempelajari dinamika dari benda kontinum. Dengan

kata lain, kita akan mempelajari kenapa dan bagaimana benda kontinum bergerak.

Hukum-hukum yang akan didapatkan dari hukum-hukum dasar fisika seperti: hukum

kekekalan massa, momentum, energi (hukum termodinamika I), hukum termodinamika

II dan hukum kekekalan angular momentum. Dalam fisika dasar, hukum-hukum ini

dituliskan untuk sebuah benda rigid/ sistem yang tertutup yang mempunyai massa dan

bentuk yang tetap. Namun, dalam kasus benda kontinum, benda tersebut dapat

berubah-ubah bentuknya.

Oleh karena itu, untuk mendapatkan persamaan-persamaan dasar gerak benda kontinum

dari hukum-hukum dasar fisika, kita akan gunakan sebuah volume atur yang khusus.

Volume atur ini dapat berubah-ubah volumenya, namun selalu terdiri dari material

element-material element yang sama. Volume atur seperti ini disebut material volume

(V m).

Selain itu, hukum-hukum dasar fisika akan selalu berbentuk sama apabila dituliskandengan menggunakan rangka acuan inersial (inertial frame). Oleh karena itu dalam




menurunkan persamaan-persamaan dasar kita akan gunakan rangka acuan yang diam.

Setelah persamaan-persamaan dasar tersebut didapatkan, tentunya kita dapat tuliskan

persamaan-persamaan tersebut dalam rangka acuan yang bergerak dengan

menggunakan (FR.3).

1.3.1 Hukum Kekekalan Massa (Persamaan Kontinuitas)

Telah dijelaskan sebelumnya bahwa kita akan menggunakan volume atur yang disebut

material volume. Karena volume atur ini selalu terdiri dari elemen-elemen material

yang sama, maka kita dapatkan hukum kekekalan massa yaitu:

Massa dari sebuah “material volume” selalu tetap

Sekarang kita akan tuliskan prinsip dasar ini secara matematis. Pertama-tama kita

defenisikan apa yang disebut dengan massa jenis ( ρ). Massa jenis sebuah material

element i didefinisikan sebagai,

limi

ii

V i

m

V ε

ρ ∆ →

∆≡

∆

sehingga

∫=

)(t V m

dV m ρ

di mana m adalah massa dari material volume V m(t). Ini dilakukan karena tidak mudah

mendapatkan massa dari benda kontinum seperti fluida namun ρ dapat ditentukan

dengan lebih mudah. Dengan definisi di atas maka hukum kekekalan massa dapat

dituliskan secara matematis menjadi,

0=mdt

d ⇒ 0

)(

=∫ dV dt

d

t V m

ρ




Dengan menggunakan Reynold’s transport theorem.,

∫ ∫∫ =⋅+

∂

∂=

)( )()(

0ˆt V t S t V m mm

dS nudV t

dV dt

d ρ

ρ ρ

v dalam transport theorem. telah diganti menjadi u atau kecepatan material element . Ini

disebabkan karena permukaan S m(t) diduduki oleh material element yang bergerak

dengan kecepatan u. Apabila ρ & u adalah fungsi yang kontinyu (ini berlaku selama

tidak terdapat diskontinuitas dalam material volume. Contoh di mana fungsi ρ & u

tidak kontinyu adalah apabila terdapat shock wave & ini akan kita bahas nanti) maka

(*)&(**) dapat digunakan sehingga,

dV udV t

dS nudV t

dV dt

d

t V t V t S t V t V mm m mm

∫∫ ∫ ∫∫ ⋅∇+∂

∂=⋅+

∂

∂=

)()( )( )()(

ˆ ρ ρ

ρ ρ

ρ

Sehingga, hukum kekekalan massa menjadi,

∫ =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅∇+

∂

∂

)(

0t vm

dV ut

ρ ρ

Dengan menggunakan (**),

0ut

ρ ρ

∂+ ∇ ⋅ =

∂ (2.5.a)

Apabila kita jabarkan suku kedua sebelah kanan dalam persamaan terakhir didapatkan,

0=⋅∇+∇⋅+∂

∂uu

t ρ ρ

ρ

Akhirnya dengan menggunakan (2.3) persamaan terakhir dapat dituliskan seperti

dibawah ini.

0d

u

d t

ρ ρ + ∇ ⋅ = (2.5.b)

Persamaan (2.5.a) memungkinkan kita untuk memodifikasi Reynold’s transport theorem

seperti di bawah ini,

∫

∫ ∫∫∫

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅∇+

∂

∂+=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅∇+

∂

∂=⋅+

∂

∂=

)(

)( )()()(

ˆ

t V

t V t V t S t V

dV ut

F dt

dF

u F t

F dS nu F FdV

t FdV

dt

d

ρ ρ

ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ




Dengan demikian maka kita dapatkan sebuah teorema yang menyatakan bahwa untuk ρ

& F yang kontinyu,

∫∫ = dV dt dF FdV

dt d

t V

ρ ρ )(

.....(***)

1.3.2 Hukum Kekekalan Momentum (Hukum Newton II)

Sekarang kita akan tuliskan hukum II Newton untuk benda kontinum. Hukum ini

menjelaskan gerak dari benda kontinum & bunyinya adalah:

Perubahan waktu dari momentum sebuah “volume material” sama dengan gaya-gaya yang beraksi dipermukaan dan bagian dalam material volume tersebut.

Sebelum kita tuluskan prinsip diatas secara matematis, kita lihat bagaimana kita

menuliskan momentum dari “material volume”. Pertama-tama kita tuliskan momentum

untuk sebuah material element . Dari definisinya momentum sebuah material element

adalah-:

iii um M ∆≡

di mana Mi adalah momentum dari material element i. Seperti telah dijelaskan

sebelumnya, biasanya kita gunakan ρ untuk menggantikan m dalam benda kontinum.

iiii V uv

M ∆→∈∆

= ρ lim

sehingga

dV u M t V m

∫=)(

ρ

di mana M adalah momentum dari V m(t).




Sekarang kita tuliskan secara matematis prinsip di atas :

dV F dV u

dt

d M

dt

d

t V t V mm ∫∫ ==

)()(

ρ

di mana F adalah gaya / unit volume yang beraksi di permukaan & dalam V(t). Dalam

mekanika kontinum, dV F t V m

∫)(

biasanya dipecah menjadi 2 yaitu, F B & F S . F B adalah

gaya yang mempunyai aksi jarak jauh dan bereaksi secara langsung di dalam setiap

material element dalam V(t). Aksi gaya ini tidak disebabkan oleh interaksi antar

molekul. Gaya ini juga tidak membutuhkan medium untuk bereaksi (dapat bereaksi

dalam vakum). Contoh dari F B, adalah gaya gravitasi dan gaya elektromagnetik. Gaya-gaya ini biasanya dituliskan,

dV G F t V

B

m

)(

∫= ρ

FS adalah gaya-gaya interaksi antar molekul-molekul. Gaya ini adalah gaya yang

memenuhi hukum Newton III yaitu aksi = reaksi. Oleh karenanya, kontribusi total dari

bagian dalam material volume adalah nol. Yang tersisa adalah kontribusi dari

permukaan material volume. Dengan demikian maka gaya ini dapat dituliskan menjadi,

dS T F t S

n s

m

∫=)(

)ˆ(

di mana T ( ) n adalah gaya / unit area. Karena F S adalah gaya interaksi antar molekul,

gaya ini hanya beraksi jarak dekat ( short range force).

Dengan demikian maka hukum Newton II untuk sebuah material volume adalah,

∫ ∫∫ +=)( )(

)ˆ()( t V t S

nt V m mm

dS dV GdV udt d T ρ ρ

Sekarang kita akan lihat ‘traction force’ T ( ) n secara lebih mendalam. Dari diskusi

diatas, dapat dilihat bahwa T ( ) n = T ( ) n ( t xn ,,ˆ ). Yaitu, selain fungsi dari posisi &

waktu, T juga fungsi dari arah permukaan di mana T beraksi. Jadi T ( n ) ˆ sedikit berbeda

dengan variabel-variabel lain seperti ρ,u,G yang merupakan fungsi x & t saja.




Untuk melihat ketergantungan nT terhadap n , kita

tuliskan hukum Newton II untuk lapisan tipis dibawah ini

ˆ

( ) ( )

( )

∫

++∈+=∈∈

=

−∫∫∫∫∫

s

n dS T

s

n

s

n

c s s

dS T dS T dl T dS GdS udt

d

ˆˆ

ˆ

ρ ρ

Dimana C adalah keliling dari S . Sekarang kita ambil 0lim∈→ maka,

0)( )ˆ()ˆ( =+ −∫ dsT T n

s

n sehinga )ˆ()ˆ( nn T T −=−

Jadi ‘traction force’ yang beraksi di satu sisi dari sebuah lapisan tipis adalah negatif dari‘traction force’ yang beraksi di sisi yang berlawanan.

Langkah berikutnya adalah melihat

bagaimana )ˆ(nT berubah apabila ( x,t ) tetap

dan berubah. Untuk itu, kita lihat

sebuah titik dalam lapisan diatas.

Kemudian titik tersebut kita potongsedemikian rupa sehingga membentuk

‘tetrahedron’ yang terlihat di gambar

sebelah. Karena ‘tetrahedron’ ini adalah

representasi sebuah titik maka

n

)ˆ(nT , )1(−T , )2(−T , )3(−T adalah gaya-gaya traction di titik tersebut dan bukan merupakan

fungsi x dan t lagi. Dari hasil di atas telah kita lihat bahwa 0)ˆ( =∫ dsT s

n atau traction

force berada dalam keadaan equilibrium secara lokal. Sekarang kita gunakan kondisi

‘local equilibrium’ ini untuk tetrahedron diatas.

03)3(2)2(1)1()ˆ( =+++ −−− dsT dsT dsT dsT n

Karena )()( ii T T −=− maka,

03)3(2)2(1)1()ˆ( =−−− dsT dsT dsT dsT n

ds1, ds2, ds3 dapat dituliskan dengan menggunakan ds karena ds = ds sehingga,n




ˆ ˆi i ids e nds n ds= ⋅ =

di mana ni adalah komponen-komponen dari ataun 332211ˆˆˆˆ enenenn ++= . Dengan

menggunakan hubungan ini maka,

dsnT nT nT dsT n )( 3)3(2)2(1)1()ˆ( ++= atau ∑=

=3

1

)()ˆ(

j ji jn nT T

di mana i: komponen di arah , dan j: arah permukaan.ie

Dari hasil ini maka kita dapat mengambil beberapa kesimpulan. Pertama : dari

hubungan terakhir di atas dapat dilihat bahwa T(j)i adalah sebuah tensor orde dua

(matriks) dan matriks ini disebut ‘ stress tensor ’. Dengan demikian kita dapat

mendefinisikan jii jT σ ≡)( dimana σ adalah ‘ stress tensor ’. Kedua : T (1), T (2), T (3)

adalah ‘traction’ di permukaan yang normal terhadap . Dengan demikian makaeeee ˆ,ˆ,ˆ21

σ bukan merupakan fungsi namun fungsi xn dan t (karena T (1), T (2), T (3) adalah

traction di titik tertentu pada t tertentu). Jadi ketergantungan )ˆ(nT terhadap dapat

didekomposisikan dengan menggunakan

n

σ sehingga,

nt xt xnT T n ˆ),(),,ˆ()ˆ( ⋅= σ atau j jiin nT σ =)ˆ(

(Catatan : 23σ adalah ‘traction’ ( stress) yang beraksi di permukaan dua dan merupakan

komponen dari ‘traction’ tersebut di arah tiga).

Dengan menggunakanσ , kita dapat tuliskan hukum Newton II seperti,

∫ ∫∫ ⋅+=

)( )()( ˆt V t S

T

t V m mm dsndV GdV udt

d

σ ρ ρ

Apabila σ ρ ,,, Gu adalah fungsi-fungsi yang kontinyu maka kita dapat gunakan (***),

(*), dan (**) sehingga,

∫ ∫∫ ⋅∇+=)( )()( t V t V t V m mm

dV dV GdV dt

ud σ ρ ρ

0)()(

=⋅∇−−∫ dV Gdt

ud

t V mσ ρ ρ




Dengan menggunakan (**),

σ ρ ρ ⋅∇+= Gdt

ud (2.6.b) atau

( )u uu Gt ρ ρ ρ

∂σ + ∇ ⋅ = + ∇ ⋅

∂ (2.6.a)

Kedua persamaan terakhir adalah persamaan konservasi momentum yang harus

dipenuhi disetiap titik didalam kontinum apabila tidak terdapat diskontinuitas didalam

kontinuum tersebut.

1.3.3 Hukum kekekalan momentum sudut

Berikutnya kita akan tuliskan hukum kekekalan momentum sudut (angular momentum).

Bunyi dari hukum ini adalah:

Perubahan waktu dari angular momentum sebuah ‘material volume’ sama dengan total

moment yang beraksi di permukaan dan di bagian dalam ‘material volume’ tersebut.

Sekarang bagaimana menuliskan momentum sudut dari material volume. Kita mulaidari definisi momentum sudut dan tuliskan definisi ini untuk sebuah material element i,

lim limi i

oi i i i i i iV V

L x m u x uε ε

Vi ρ ∆ → ∆ →

= × ∆ = × ∆

dimana Loi adalah momentum sudut. Dengan demikian maka momentum sudut dari

V m(t) adalah,

∫ ×=)(t V m

dV u x L ρ

Dari mekanika kita ketahui bahwa untuk sebuah benda rigid,




V m x L ×≡ dan F xV mdt

d xV m x

dt

d L

dt

d ×=×+×=

Oleh karena itu, prinsip kekekalan momentum untuk benda kontinum adalah,

∫ ∫ ∫ ×+×=×)( )( )(

)ˆ(

t V t V t S

n

m m m

dS T xdV G xdV u xdt

d ρ ρ (AM)

Integran di dalam integral terakhir dapat dituliskan seperti,

il kl jijk T

n en xn xT x ˆˆ)ˆ( σ ε σ =⋅×=×

(lihat subbagian rate of rotation untuk definisi ijk ε ). Dengan demikian maka, suku

terakhir dalam persamaan (AM) menjadi,

ˆ( )

( ) ( ) ( )

,

( )

( ) ( )

ˆ ( ),

( )

( )

n ijk j kl l i ijk j kl l

s t s t V t

ijk jl kl ijk j kj l

V t Z

V t V t

T ds x n e ds x dV

x dV

ZdV x dV

ε σ ε σ

ε δ σ ε σ

σ

× = =

= +

= + × ∇ ⋅

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫

Perlu diingat bahwa kita telah menggunakan (*) dalam penurunan diatas sehingga

hubungan tersebut hanya dapat digunakan untuk σ yang kontinyu. Untuk u, ρ yang

kontinyu,

dV dt

ud xdV u x

dt

d dV u x

dt

d

t V t V t V mm in

∫∫ ∫ ×=×=×)()( )(

)( ρ ρ ρ

Hubungan terakhir dapat dituliskan karena

udt

d xuudV u xdt

d ×+×=× )( .

Dengan demikian maka prinsip kekekalan momentum sudut menjadi,

∫∫ =⋅∇−−×)()(

)(t V t V mm

dV Z dV Gdt

ud x σ ρ ρ

Menurut prinsip kekekalan momentum,integral disebelah kiri = 0 sehingga, 0)(

=∫ dv Z t V in

Dengan demikian maka,




Z = Є ijk σ kj = = 0

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−

−

21

13

32

12

31

23

σ

σ

σ

σ

σ

σ

sehingga

σ ij = σ ji atau T

=== σ σ .

Jadi prinsip kekekalan momentum angular menyatakan bahwa stress tensor =σ haruslah

simetrik.

Dalam menuliskan hukum kekekalan angular momentum di atas, kita secara implisittelah menggunakan asumsi bahwa material tidak mempunyai ‘body torque’ dan ‘ surface

torque’ . Material yang tidak mempunyai ‘body torque’ dan ‘ surface torque’ disebut

“nonpolar medium”. Medium ini adalah medium yang torsinya hanya disebabkan oleh

momen dari gaya-gaya yang beraksi dalam material tersebut.

Untuk ‘ polar medium’ , terdapat torsi yang disebabkan apabila terjadi kontak dengan

bagian lain ( surface torque) dan juga torsi yang disebabkan oleh bagian di luar material

volume dan external torque lainnya (body torque). Untuk medium ini

Z ≠ 0 sehingga T

==≠ σ σ . Kebanyakan material adalah “non-polar” dan medium seperti

inilah yang akan kita bahas di bab-bab setelah ini.

1.3.4 Analisa Stress

Pada subbagian ini, kita akan mempelajari stress lebih mendalam. Hal pertama yang

perlu kita perhatikan adalah stress adalah sebuah tensor. Oleh karena out, transformasi

harga stress dari satu sistem koordinat ke sistem lainnya harus mengikuti aturan-aturan

tertentu. Untuk itu, kita akan perhatikan beberapa hal di bawah ini. Apabila xi, g ,

adalah harga-harga dari komponen vektor x( xi) dan unit vektor ( g i) dari vektor x di

sistem koordiant yang baru sedangkan X I , G I adalah hal yang sama di sistem koordinat

yang lama maka harga sebuah vektor x adalah,

i I I i x x g X G= =




Hubungan di atas memastikan bahwa x adalah vektor yang sama walaupun diamati dari

dua sistem koordinat yang berbeda dan ini adalah syarat dari sebuah kuantitas untuk

menjadi tensor. Oleh karena itu maka,

( )i I I I i i

I i x x g X G g X A= ⋅ = ⋅ =

di mana i I I i

A G g ≡ ⋅ . Jadi hubungan antara komponen dari sebuah vektor di 2 buah

sistem koordinat yang berbeda adalah

i i I

I x A X =

Sekarang, bagaimana hubungan antara kedua unit vector G I dan g i. Karena

i

i I i I I I i i

x

g X G A X g = = maka,

i I I i

G A g =

Berikutnya kita lihat bagaimana hubungan antara komponen dari sebuah tensor orde 2

(stress, misalnya) yang dituliskan terhadap 2 sistem koordinat yang berbeda ( t ij dan T IJ ).

Apabila T adalah sebuah tensor orde 2 maka,

IJ ij I J i j

T T G G t g g = =

sehingga

IJ i j ij I J i j i j

T A A g g t g g = .

Dengan demikian maka hubungan yang kita cari adalah,

ij i j IJ I J t A A T =

sehingga apabila IJ σ dan ij

σ adalah stress komponen di 2 sistem koordinat yang

berbeda maka hubungan antara keduanya adalah,

IJ I J iji j A Aσ σ =

Principle Stress

Hukum kekekalan momentum sudut untuk kontinum nonpolar menyatakan bahwa stress

adalah tensor yang simetris,T

σ σ = . Dari matematika kita ketahui bahwa untuk

matriks yang simetris, terdapat sebuah basis (“principle axis”) di mana matriks tersebut




di basis itu adalah matriks diagonal. Selain itu, kita ketahui bahwa untuk menentukan

komponen-komponen dari matriks diagonal tersebut kita harus melakukan “eigenvalue

analysis”. Komponen dari matriks diagonal tersebut adalah nilai eigen dari matriks

original. Sedangkan vektor-eigen-nya membentuk basis untuk “ principle axis”.

Jadi secara matematis apabila ( )nT adalah gaya yang bekerja di sebuah permukaan maka

(di mana adalah arah normal dari permukaan),n

( )ˆ ˆnT nσ = ⋅ atau ( )ˆ ij jn iT nσ = .

Namun, apabila adalah “ principle axis”, maka tidak ada tegangan geser di permukaan

tersebut sehingga,

n

( ) 0

ij j ij j

ij ij j

n n

n

σ σδ

σ σδ

=

− =

Karena n j adalah komponen dari arah principle axis, maka n j ≠ 0 sehingga persamaan di

atas menyatakan bahwa

0ij ijσ σδ − =

Apabila kita jabarkan maka persamaan terkahir adalah,

3 2

1 2 3 0 I I I σ σ σ − + − =

di mana

( )

( )

( )

1

2

3

tr

1

2

det

ii

ii jj ij ij

ij

I

I

I

σ σ

σ σ σ σ

σ σ

= =

= −

= =

Solusi dari persamaan polinomial orde 3 di atas adalah 3 principle stress (σ (1), σ (2), σ (3))

yang merupakan komponen dari matrix diagonal. Sedangkan principle axis adalah

solusi dari persamaan,

( )( ) ( )0

k ij ij jk nσ σ δ − = .

Menyatakan komponen-komponen dari σ relatif terhadap principle axis tentunya

sangat membantu, karena relatif terhadap sistem koordinat ini hanya terdapat tegangan




normal (tegangan geser tentunya sama dengan nol karena 0ijσ = apabila i di sistem

koordinat ini).

j≠

Harga Maksimum atau Minimum dari Shear Stress

Apabila gaya di sebuah peermukaan kita tuliskan

komponennya relatif terhadap arah normal dan

tengensial dari permukaan tersebut maka

tegangan tangensial atau shearing stress dapat

dituliskan seperti (lihat gambar),

( ) ( )2 2

ˆ ˆn n s N T T σ σ = ⋅ −

Apabila axis yang kita gunakan adalah principle axis maka,

( ) 1 1ˆ 1nT nσ = , T n( ) 2 2ˆ 2n , T n( ) 3 3ˆ 3n σ = σ =

di mana axis telah kita pilih sedemikian rupa sehingga, σ 1 > σ 2 > σ 3. Dari ( )ˆ ˆnT nσ = ⋅ ,

kita lihat bahwa σ N adalah

( ) 2 2ˆ 1 1 2 2 3 3ˆn N T n n n nσ σ σ = ⋅ = + +2σ

Dengan demikian maka σ s2 menjadi,

( )2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 s n n n n n nσ σ σ σ σ σ σ = + + − + + .

Sekarang kita akan mencari harga minimum dan maksimum dari σ s. Namun, perlu

diingat bahwa,

2 2 2

1 2 3 1n n n+ + =

Dengan demikian maka untuk menentukan harga-harga minimum dan maksimum, kita

dapat gunakan metode “ Lagrange Multipliers”. Seperti kita ketahui prosedur dalam

metode ini adalah membentuk sebuah fungsi,

( )2 2 2

1 2 3 s F n nσ λ = − + + 2n

di mana λ adalah sebuah multiplier. Karena persamaan di atas adalah fungsi dari n1, n2,

n3, maka untuk menentukan harga minimum dan maksimum kita ambil




1

0 F

n

∂=

∂,

3

0 F

n

∂=

∂,

2

0 F

n

∂=

∂.

Apabila ini dilakukan maka didapatkan,

( )

( )

( )

2 2 2 2

1 1 1 1 1 2 2 3 3

2 2 2 2

2 2 2 1 1 2 2 3 3

2 2 2 2

3 3 3 1 1 2 2 3 3

2 0

2 0

2 0

n n n n

n n n n

n n n n

σ σ σ σ σ λ

σ σ σ σ σ λ

σ σ σ σ σ λ

⎡ ⎤− + + +⎣ ⎦

⎡ ⎤− + + +⎣ ⎦

⎡ ⎤− + + +⎣ ⎦

=

=

=

Selain itu, .12

3

2

2

2

1 =⊕⊕ nnn

Keempat persamaan terakhir dapat diselesaikan untuk mendapatkan n1, n2, n3, dan λ.

Satu set solusi adalah,

1

ˆ 0

0

n

±⎧ ⎫⎪ ⎪

= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

,

0

ˆ 1

0

n

⎧ ⎫⎪ ⎪

= ±⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

,

0

ˆ 0

1

n

⎧ ⎫⎪ ⎪

= ⎨ ⎬⎪ ⎪±⎩ ⎭

Untuk harga-harga ini,n 0 sσ = . Ini tentunya adalah harga minimum dari σ s. Satu set

solusi lagi adalah,

( )2 3

0

1ˆ di mana22

12

sn σ σ

σ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪

= ± =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪±⎪ ⎪⎩ ⎭

( )3 1

12

ˆ 0 di mana2

12

sn σ σ

σ

⎧ ⎫±⎪ ⎪

−⎪ ⎪= =⎨ ⎬

⎪ ⎪±⎪ ⎪⎩ ⎭

( )1 2

12

1ˆ di mana22

0

sn σ σ

σ

⎧ ⎫±⎪ ⎪

−⎪ ⎪= ± =⎨ ⎬

⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Karena σ 1 > σ 2 > σ 3 maka yang terakhir adalah yang memberikan harga σ n n s yang

tertinggi (maksimum).




1.3.5 Hukum Kekekalan Energi ( Hukum Termodinamika I)

Berikutnya kita akan tuliskan hukum termodinamika I untuk benda kontinum. Hukum

ini berbunyi,

Untuk sebuah “material volume” yang merupakan sistim tertutup,

perubahan waktu dari energi dalam dan energi kinetik sama dengan

perubahan waktu dari kerja yang dilakukan terhadap “material volume”

oleh gaya-gaya yang beraksi di permukaan dan dalam “material volume”

ditambah dengan perubahan waktu dari panas yang diberikan kepada

“material volume” tersebut.

Berikut ini adalah penjelasan tentang apa yang disebut dengan energi dalam (internal

energy). Energi dalam adalah total energi dari molekul-molekul. Energi ini mencakup:

energi kinetik translasi dan rotasi , energi dari vibrasi (vibrational energy), dan energi

elektronik yang disebabkan oleh pergerakan elektron disekitar nukleus dari molekul.

Energi kinetik translasi dan rotasi di sini adalah energi kinetik di luar energi kinetik

makroskopik. Walaupun dalam model kontinum kita mengabaikan struktur-struktur

molekul, energi-energi ini harus diikutisertakan di dalam penulisan hukum kekekalan

energi. Namun, energi-energi tersebut disatukan menjadi apa yang disebut dengan

energi dalam. Untuk sebuah material element , energi dalamnya adalah,

lim

lim

i

i

i iV

i i iV

e m

e V

iε

ρ

∆ →∈

∆ →∈

= ∆

= ∆ di mana adalah energi dalam per unit massa.ie

total energi dalam di dalam material volume adalah,

( )edV

t V m∫ ρ




Berikutnya adalah energi kinetik (makroskopik). Definisi dari energi kinetik dari sebuah

material element adalah,

2lim 2 lim

2 2i i

i ii V i V

m u KE u V ρ

∆ →∈ ∆ →∈∆= = i

i∆

Dengan demikian maka energi kinetik dalam V m(t) adalah,

dV u

t V m

∫)(

2

2 ρ

Sekarang kita beralih ke perubahan waktu dari kerja. Definisi dari power untuk sebuah

material element adalah,

ii iW F uδ ≡ ⋅

sehingga,

dS undV uGdV uGdS uT dV uGW t S

T

t V t V t S

n

t V mmmmm

∫∫∫∫∫ ⋅⋅+⋅+⋅=⋅+⋅=)()()()(

)ˆ(

)(

ˆσ ρ ρ ρ δ

Karena ( ) nuunT ˆˆ ⋅⋅=⋅⋅ σ σ maka,

( ) dS nudV uGW t S t V mm

∫∫ ⋅⋅+⋅=)()(

ˆσ ρ δ

Yang terakhir adalah perubahan waktu dari panas ( ). Ada 2 tipe perpindahan panas

dalam mekanika kontinum :

Qδ

i. Konduksi Panas: ini adalah perpindahan energi dari bagian yang lebih energetik

ke bagian tetangganya yang kurang energetik. Perpindahan energi ini

disebabkan oleh interaksi antar molekul. Sama seperti “ surface fence” yang juga

disebabkan oleh interaksi antar molekul, konduksi panas dituliskan sebagai

integral permukaan,

∫ ⋅−)(

ˆt S

dS nq

Tanda minus di depan integral diatas digunakan untuk menjamin apabila panas

masuk ke dalam sistem maka adalah positif sesuai konvensi dalam

termodinamik.

Qδ

ii. Radiasi : Apabila panas diberikan kepada zat maka “energy state” dari atom-

atom dan molekul-molekul naik ke “excited state”. Namun, ada kecenderungan




dari atom-atom molekul-molekul tersebut untuk kembali ke “energy state” yang

lebih rendah. Ini dilakukan dengan emisi energi. Energi ini dipindahkan oleh

gelombang elektromagnetik dan tidak membutuhkan medium. Perpindahan

energi seperti ini disebut radiasi dan langsung dapat dirasakan oleh setiap

material element dalam V(t). Contohnya adalah radiasi dari sinar matahari.

Perubahan energi ini dituliskan seperti di bawah ini,

∫)(t V

QdV ρ

di mana Q : Energi radiasi (rate)/unit massa.

Sekarang kita telah siap untuk menuliskan hukum termodinamika I untuk benda

continuum. Hukum ini adalah,

( ) ( )dV QuGdS nuqdV u

edt

d

t V t S t V mmm

∫∫∫ +⋅+⋅⋅+−=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

)()()(

2

ˆ2

ρ σ ρ

Apabila ,,,,,, Gque σ ρ dan Q kontinyu maka dengan menggunakan (***) dan (*),

( ) ( )[ ]dV QuGuqdV

u

edt

d

t V t V mm ∫∫ +⋅+⋅+−⋅∇=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

)()(

2

2 ρ σ ρ

Terakhir kita gunakan (**) untuk mendapatkan ,

( ) QquGuu

edt

d ρ ρ σ ρ +⋅∇−⋅+⋅⋅∇=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

2

2

2.6.b)

atau dengan menggunakan persamaan kontinuitas,

( ) QquGuuu

eu

et

ρ ρ σ ρ ρ +⋅∇−⋅+⋅⋅∇=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅∇+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

∂

∂

22

22

2.6.a)

1.3.6 Hukum Termodinamika II

Dalam termodinamika, hukum ke II untuk sebuah sistem tertutup dapat dituliskan secara

matematis seperti di bawah ini,

σ δ

+=

T

QdS , 0≥σ

dimana S adalah entropi. Hubungan diatas dapat pula dinyatakan sebagai




σ δ ~1+= Q

T dt

dS , 0~ ≥σ

Harga dari σ dan σ ~ adalah positif untuk proses yang “irreversible” dan nol untuk

proses yang internally reversible.

Sekarang kita akan tuliskan prinsip ini untuk benda kontinum. Untuk sebuah material

element , iiiii V s smS ∆=∆≡∆ ρ . Dengan demikian maka untuk sebuah material volume,

( )V t

S s ρ = ∫ dV

di mana s: entropi / unit mass. Kita telah lihat bahwa perubahan waktu dari panasadalah,

∫∫ +⋅−=)()(

ˆt V t S

QdV dS nqQ ρ δ

Dengan demikian maka hukum termodinamika II untuk benda kontinum adalah,

( ) ( ) ( )

ˆ

V t S t V t

q nd Q sdV dS dV

dt T T

ρ ρ σ

⋅= − + +∫ ∫ ∫ , 0~ ≥σ

atau

( ) ( ) ( )

ˆ0

V t S t V t

q nd Q sdV dS dV

dt T T

ρ ρ

⋅+ − ≥∫ ∫ ∫

Apabila ρ dan s adalah fungsi yang kontinyu maka (**) dapat digunakan sehingga,

( ) ( ) ( )

ˆ0

V t S t V t

q nds QdV dS dV

dt T T

ρ ρ

⋅+ − ≥∫ ∫ ∫

Pertidaksamaan ini memberitahukan kita proses-proses mana yang tidak reversible.

Seperti telah dipelajari dalam termodinamika, proses irreversible menyebabkan

terjadinya disipasi dari energi (“hilangnya” energi) dari sistem dan lingkungan.

Selanjutnya kita lihat “bentuk lokal” dari pertidaksamaan di atas. Seperti biasa, kita

asumsikan ,,,, T q s ρ dan Q adalah fungsi-fungsi yang kontinyu dan kita gunakan (*),

(**), (***) untuk mendapatkan,

2

1 10ds Qq q T

dt T T T ρ

ρ + ∇ ⋅ − ⋅∇ − ≥ (2.7.a)




Bentuk lain dari pertidaksamaan di atas (bentuk yang lebih berguna) didapat dengan

mengganti suku . Dari persamaan energi (2.6.6),q.∇

2

( ) ( ) (2

d uq u Q G u e

dt σ ρ ρ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ⋅ + + ⋅ − + )

Apabila kita ambil perkalian dot antara u dan persamaan momentum didapatkan,

2

( )2

d uu G

dt ρ σ u ρ = ⋅ ∇ ⋅ + ⋅

Dari kedua persamaan terakhir didapatkan,

( ) deq u Qdt

σ ρ ρ ∇ ⋅ = ⋅∇ ⋅ + −

Sekarang kita perhatikan suku ( ) uσ ⋅ ∇ ⋅ ,

1( ) ;

2

ji iij ij ji ij ji

j j i

uu uu

x x xσ σ σ σ σ

⎛ ⎞∂∂ ∂⋅∇ ⋅ = = + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

σ

1( )

2

:

jiij

j i

ij ij

uuu

x

D D

σ σ

σ σ

⎛ ⎞∂∂⋅∇ ⋅ = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

= =

di mana perkalian ‘ : ‘ didefinisikan seperti,

jiij B A B A ≡: .

Selain itu, kita telah gunakan hasil dari konservasi momentum sudut yaituT

σ σ = (Jadi

hanya berlaku untuk non–polar medium. Dengan demikian maka ,

: deq D Qdt

σ ρ ρ ∇ ⋅ = + −

Sekarang kita subtitusikan hasil terakhir ke dalam pertidaksamaan dan hasilnya adalah:

1: .

ds deT D q

dt dt T ρ ρ σ

⎡ ⎤⎛ ⎞− − − ∇ ≥⎜ ⎟⎢ ⎥

⎝ ⎠⎣ ⎦0T (2.7.b)

Pertidaksamaan terakhir sangat berguna untuk mendapatkan persamaan–persamaan

tambahan untuk melengkapi sistem persamaan kontinum.




Contoh: Kontinum di mana internal energi e mempunyai bentuk ( , )e e sε = .

Banyak benda kontinum mempunyai e seperti ini. Elastik solid dan Simple

Compressible Subtance (seperti gas, misalnya) mempunyai ε seperti di atas. Karena

),( see ε = , maka ,

: :

s s

d de e e ds e e ds D

dt dt S dt s dt ε ε

ε

ε ε

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Berikutnya σ dinyatakan sebagai,

viseqσ σ σ +=

dimanavis

σ adalah viscous stress daneq

σ adalah equilibrium stress (seperti tekanan p,

misalnya). Dengan demikian maka (2.7.b) menjadi :

1: :

eq vis

s

e ds eT D

s dt T ε

ρ σ ρ σ ε

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ ⎜ ⎟− + − + − ⋅∇⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 D q T ≥

Pertidaksamaan ini harus berlaku untuk proses apapun. Untuk memastikan ini maka,

eT

s ε

∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

,eq

s

eσ ρ

ε

⎛ ⎞∂= ⎜⎜ ∂⎝ ⎠

⎟⎟, 0

1: ≥∇⋅− T q

T Dvis

σ

Untuk fluida sederhana misalnya, dari termodinamika kita ketahui bahwa,

dE TdS pdV = −

Namun dari definisi ε terlihat bahwa iid V dV ε = sehingga,

ii ij ijdE TdS pVd TdS pV d ε δ ε = − = −

dan

ij

S ij

pV E

δ ε

−=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

Karena dandE mde≡1V

m ρ = maka,

ijij s

e pδ ε ρ

⎛ ⎞∂= −⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠





ijS ij

eq

p

e

δ ε ρ σ −=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

=

sedangkan persamaane

T s ε

∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

akan memberikan kita persamaan keadaan.

Akhirnya pada subbagian transport phenomena nanti, kita akan lihat bahwa

pertidaksamaan ,

1

: 0

vis

D q T T σ − ⋅∇ ≥

akan memberikan kita hubungan antara ,

( )vis vis Dσ σ = dan ( )q q T = ∇

Dengan demikian, pertidaksamaan 2.7.b dan ( ),e e s ε = membantu kita untuk

mendapatkan hubungan – hubungan konstitutif yang diperlukan untuk melengkapi

sistem persamaan kontinum.

1.3.7 Catatan tentang Termodinamika Benda Kontinum

Dalam menuliskan persamaan-persamaan dasar kontinum, kita telah gunakan variabel-

variabel seperti T , p, s, e dan lain lain. Variabel-variabel ini adalah variable-variabel

Termodinamika yang didefinisikan untuk sistem yang berada dalam keadaan setimbang.

Secara global, aliran fluida, misalnya, bukanlah suatu sistem yang setimbang menurut

definisi Termodinamika. Namun kita tetap dapat menerapkan prinsip-prinsip

termodinamika pada sistem fluida untuk keadaan yang lokal dan sesaat. Penjelasannya

adalah sebagai berikut:

Apabila dalam sistem terjadi ketidaksetimbangan , sistem tersebut memerlukan waktu

τ (relaxation time) untuk mencapai kesetimbangan kembali. Apabila waktu ( ) yang

dibutuhkan untuk suatu perubahan dalam fluida memenuhi kriteria ,

t ∆

1τ >>∆t




maka fluida dapat dianggap dalam keadaan stimbang secara lokal. Kriteria ini berlaku

di hampir setiap masalah yang dipelajari dalam mekanika kontinum karena 1τ , yang

merupakan sifat zat, mempunyai harga yang sangat kecil ( ,

misalnya).

s N ntranslatio1010

2

−≈τ

Apabila kriteria di atas tidak terpenuhi, seperti dalam khusus aliran di belakang shock

wave dalam aliran hypersonic misalnya. Untuk kasus seperti ini maka kita harus

menggunakan “non-equilibrium thermodynamics”.

1.3.8 Bentuk Integral dari Persamaan-persamaan Dasar untukVolume Atur Sembarang

Persamaan-persamaan integral yang telah didapatkan sebelum ini diturunkan dengan

menggunakan material volume di mana volume ini selalu terdiri dari elemen-elemen

yang sama. Dalam praktik, penggunaan persamaan-persamaan tersebut kadangkala

lebih mudah untuk menerapkan prinsip-prinsip dasar untuk sebuah daerah makroskopik

(volume atur) yang bukan material volume.

Misalkan volume atur tersebut (V(t)) yang dibatasi dengan permukaan S(t) dan bergerak

dengan kecepatan v. Sekarang kita tuliskan perubahan waktu dari momentum didalam

V(t),

( )∫∫∫ ⋅+

∂

∂=

∂

∂

)()()(

ˆ

t S t V t V

dS nvudV t

udV u

t dt

d ρ

ρ ρ (I.1)

Di mana di atas telah digunakan Reynolds Transport Theorem

Sekarang kita tuliskan hukum kekekalan momentum yang telah kita dapatkan untuk

“material volume” V m(t),

∫∫∫∫∫ ⋅+=⋅+∂

∂=

)()()()()(

ˆˆt S

T

t V t S t V t V mmmmm

dS ndV GdS nuudV t

udV u

dt

d σ ρ ρ

ρ ρ (I.2)




Kemudian kita pilih material volume V m(t) yang pada suatu saat (instantaneous) sama

dengan V(t) atau volume atur kita tadi yang bergerak dengan kecepatan v. Karena pada

waktu t kedua volume atur ini sama, maka:

V(t) = V m(t) dan S(t) = S m(t)

Tetapi ini tidak berarti perubahan waktu dari kedua volume atur tersebut sama, dengan

kata lain,

∫∫ ≠)()( t V t V m

udV dt

d udV

dt

d ρ ρ

Dengan demikian maka persamaan (I.2) dapat dituliskan menjadi,

∫∫∫∫ ⋅+=⋅+∂

∂)()()()(

ˆˆt S

T

t V t S t V

dS nGdV dS nuudV t u σ ρ ρ ρ (I.3)

Namun dari persamaan (I.1)

∫∫∫ ⋅−=∂

∂

)()()(

ˆt S t V t V

dS nvudV udt

d dV

t

u ρ ρ

ρ

Dengan menggabungkan kedua hasil diatas, (I.3) menjadi,

∫∫∫∫ ⋅+=⋅−+)()()()(

ˆˆ)(

t S

T

t V t S t V

dS ndV GdS nvuudV u

dt

d σ ρ ρ ρ

Dengan cara yang sama, kita dapat lakukan hal yang sama untuk persamaan integral

kontinuitas, energi, dan pertidaksamaan entropi. Sehingga untuk volume atur V(t) yang

bergerak dengan kecepatan v,

o 0ˆ)()()(

=⋅−+ ∫∫t S t V

dS nvudV dt

d ρ ρ …………………………………………... (A)

o ∫∫∫∫ ⋅+=⋅−+)()()()(

ˆˆ)(t S

T

t V t S t V

dS ndV GdS nvuudV udt d σ ρ ρ ρ …………………… (B)

o

∫∫

∫∫

⋅−⋅++⋅=

⋅−+++

)()(

)(

2

)(

2

ˆ)()(

ˆ))(2

()2

(

t S t V

t S t V

dS nqudV QuG

dS nvuu

edt

d dV

ue

dt

d

σ ρ

ρ ρ

……… (C)

o 0ˆ

ˆ)(

)()()()(

≥−⋅

+⋅−+ ∫∫∫∫t V t S t S t V

dV T

QdS

T

nqdS nvu s sdV

dt

d ρ ρ ρ …….…………. (D)




1.3.9 Diskontinuitas dalam benda kont inum (Jump Condition)

Dalam menurunkan persamaan-persamaan dasar dalam bentuk differensial, diasumsikan

bahwa u, ρ , σ , e, q dll adalah fungsi-fungsi yang kontinyu sehingga (*) & (**) dapat

dipergunakan. Namun dalam praktik seringkali ditemui persoalan-persoalan di mana

variabel-variabel tersebut tidak memenuhi asumsi di atas. Umumnya dalam persoalan-

persoalan tersebut asumsi di atas tidak terpenuhi hanya di sebuah permukaan ( singular

surface) di dalam atau yang merupakan bagian benda kontinum. Untuk mendapatkan

pesamaan-persamaan yang menjelaskan gerak dari kontinum kita harus menggunakan

persamaan dalam bentuk integral. Bentuk general dari persamaan-persamaan tersebut

adalah:

0ˆ)()(

)(

)()()(

∫∫∫∫ =+−⋅−+t S

n

t V t S t V

dS P PdV dS nvudV dt

d ρ ρπ ρπ ………(J)

dimana,

Persamaan π P P(n)

Massa 1 0 0

Momentum u G ( ) nT T n ˆˆ ⋅= σ

Momentum sudut x x u x x G ( )nT x ˆ×

Energy2

2ue + QuG +⋅ ( ) nquT n ˆˆ ⋅−⋅

Entropy sT

Q

T

nq ˆ⋅−




Persoalan semacam ini digambarkan di atas. Di daerah (1) & (2), u, ρ , σ , e, q dan

lain-lain adalah fungsi-fungsi kontinyu. Namun di permukaan Λ (Singular Surface)

terjadi lompatan harga-harga dari variabel-variabel di atas sehingga untuk daerah V 2 U

V 1 U (U adalah union) variabel-variabel tersebut bukanlah fungsi-fungsi yang

kontinyu. Untuk mendapatkan persamaan-persamaan yang menjelaskan hubungan

antara variabel-variabel di daerah (1) & (2) maka kita gunakan volume atur yang

bergerak bersama

Λ

Λ dengan kecepatan v. Karena Λ adalah permukaaan yang sangat

tipis maka ketebalan dari volume atur dapat kita pilih sedemikian rupa sehingga limit.t

0 (lihat gambar). Apabila ini dilakukan maka V 1 & V 2 0 (integral volume dalam

persamaan (J) adalah 0) sehingga kita dapatkan (juga S 1 & S 2 Λ ),

( ) ∫ =−⋅−)(

ˆ 0ˆ)(t S

n ds P nvu ρπ

Sekarang kita tinggal mengevaluasi integral di atas dengan mengingat bahwa

permukaan (1) adalah negatif dari permukaaan (2) atau

n

n 12ˆˆˆ nnn −== . Dengan

demikian maka,

( ) ( ) ( ) ( ) 012 111222 =+⋅−−−⋅−∫Λ ds P nvu P nvu nn π ρ π ρ

(suku memiliki tanda positif karena( )1n P nn ˆˆ1 −= )

Jadi

( ) ( )( ) ( ) ( ) 012111222 =−−⋅−−⋅− nn P P nvunvu

π ρ π ρ

atau

( ) ( ) 0ˆ =−⋅− n P nvu ρπ

di mana

[ ] 12 φ φ φ −≡

nvnuw

⋅−⋅≡ .

Apabila kita masukkan π dan untuk persamaan massa, momentum, energi dan

pertidaksamaan entropi maka,

( )n P




[ ] 0=w ρ ………………………………………………………………………… [a]

( ) 0=− nT uw ρ ………………………………………………………………… [b]

( ) 02

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ + nquT

uew n

ρ …………………………………………… ... [c]

0≥⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅+

T

nqws

ρ ……………………………………………………………… ..[d]

nvnuw

⋅−⋅≡ , [ ] 12 φ φ φ −≡

1.4 Hubungan Konstitutif

Sampai saat ini, kita tidak pernah membahas hal-hal yang berhubungan dengan sifat

(behaviour ) dari material (zat) yang kita pelajari. Persamaan persamaan yang

didapatkan bisa digunakan untuk zat apapun juga. Namun, intuisi kita memahami

bahwa udara dan besi, misalnya, akan mempunyai “response” yang berbeda terhadap

gaya yang sama. Bagaimana sebuah material merespon sebuah gaya, misalnya,haruslah diikutsertakan dalam penulisan persamaan momentum (yang menjelaskan

gerak benda tersebut). Demikian juga “response” dari material apabila terjadi/ terdapat

perbedaan temperatur di dalam material tersebut, haruslah diikutsertakan di dalam

persamaan energi. Respon material seperti yang dijelaskan di atas sebenarnya telah ada

di dalam beberapa suku dalam persamaan-persamaan yang telah kita dapatkan. Lebih

tepatnya respon material terdapat dalam suku-suku yang menjelaskan interaksi dalam

material tersebut, seperti σ dan q .

Fenomena interaksi antar molekul ini sangat tergantung dari struktur molekul-molekul

yang membentuk meterial tersebut. Oleh karenanya bentuk dari σ dan q tergantung

dari apakah benda yang kita pelajari itu adalah benda padat atau benda fluida (liquid &

gas). Selain itu keadaan material juga menentukan harga dari σ dan q . Harga σ dan

q akan berbeda untuk benda/ material yang berada dalam keadaan setimbang dengan




benda yang dalam keadaan tidak setimbang. Oleh karena itu, untuk mendapatkan σ

dan q kita harus mengetahui sifat-sifat dari material yang akan kita pelajari.

Pada umumnya, persamaan untuk σ dan q yang disebut juga persamaan konstitutif

haruslah memenuhi prisnsip-prinsip dasar di bawah ini :

a. Principle of Determination

Prinsip ini menyatakan bahwa σ dan q ditentukan oleh “sejarah” dari gerak

yang telah dilakukan oleh material tersebut dan tidak ditentukan oleh gerak yang

akan dilakukan.

b. Principle of Local Action

Prinsip ini menyatakan bahwa gerakan material diluar “neighbourhood ” dari

material point ξ dapat diabaikan dalam menentukan persamaan konstitutif.

c. Principle of Frame Indifference

Persamaan konstitutif untuk σ dan q haruslah tidak berubah “invariant ”

apabila terjadi perubahan rangka acuan (Lihat subbagian tentang frame

indifference).

Seperti telah dikatakan sebelumnya, untuk mendapatkan persamaan konstitutif kita

perlu mengenal sifat-sifat dari material yang akan kita pelajari lebih mendalam. Inilah

yang akan kita lakukan di tiga sub-bagian berikutnya. Karena buku ini adalah buku

tentang mekanika fluida, kita akan melakukan pembahasan ini khususnya untuk fluida.

1.4.1 Gaya antar molekul

Setiap benda yang ada di dalam alam semesta ini terbentuk oleh atom-atom. Atom-atom

ini sendiri terbentuk dari sebuah nukleus, yang terdiri dari proton dan neutron, yang

dikelilingi oleh elektron-elektron. Biasanya atom bergabung dengan atom-atom lainnya

baik yang sejenis maupun tidak sejenis, untuk membentuk molekul. Apakah sebuah

material itu solid , liquid atau gas tergantung dari struktur molekul-molekul yang

membentuknya.




Dalam solid , molekul satu berada pada jarak yang sangat dekat dengan molekul lainnya.

Selain itu, setiap molekul menduduki posisi tertentu dan posisi molekul-molekul ini

sangat teratur. Molelul-molekul di dalam solid hanya dapat bergerak (berosilasi) di

sekitar posisi tetapnya tersebut masing-masing. Kerapatan jarak antarmolekul juga

terdapat di dalam liquid . Namun, berbeda dengan solid , molekul-molekul liquid dapat

bergerak bebas. Gas mempunyai struktur molekul yang sangat berbeda. Jarak antara

molekulnya relatif sangat jauh bila dibandingkan dengan solid dan liquid .

Di dalam setiap material, terdapat gaya-gaya yang beraksi antar molekul. Gaya ini

disebut “intermolecullar force”. Apabila kita isolasi sepasang molekul, maka gaya yang

dirasakan oleh molekul satu akibat adannya molekul lainnya adalah fungsi dari jarak

antara kedua molekul tersebut (r ). Hasil eksperimen menunjukkan bahwa gaya tersebut

kurang lebih digambarkan di sketsa di bawah ini.

Apabila jarak antar molekul tersebut (r ) < r 0 maka gaya antar molekul tersebut adalah

gaya repulsive (Saling mendorong). Apabila r > r 0 maka gaya tersebut adalah gaya

attractive (saling tarik menarik). Hasil eksperimen menunjukkan bahwa r untuk solid

dan liquid adalah sekitar r 0 (r ~ r 0), sedangkan untuk gas r ~ 10 r 0. Karena untuk gas r ~

10 r 0 gaya antarmolekul sangat lemah sehingga gas sering kali diasumsikan sebagai

“gas ideal” di mana gaya antar molekulnya dapat diabaikan.




1.4.2 Material dalam keadaan equi librium

Apabila sebuah material dalam keadaan equilibrium maka benda tersebut secara

makroskopik berada dalam keadaan diam dan setiap titik dalam benda tersebut

mempunyai temperatur (T ) yang sama. Apabila sebuah solid dalam keadaan

equilibrium kemudian diberikan gaya luar, maka selama gaya luar tersebut tidak terlalu

besar, solid tersebut akan mencapai keadaan equilibrium yang kedua dan solid tersebut

akan berada dalam keadaan diam secara makroskopik. Apa yang terjadi secara

mikroskopik dapat dilihat dalam sketsa di bawah:

Misalkan solid tersebut mempunyai struktur seperti di sebelah kiri dalam sketsa di atas.

Kemudian solid tersebut di”tekan” dengan gaya F luar . Bentuk solid tersebut akan

berubah seperti gambar di kanan. Dalam keadaan equilibrium baru ini r AC < r o sehingga

terdapat gaya repulsive antara A dan C . Sedangkan r AB > r o sehingga terdapat gaya

attractive antara A dan B. Gaya-gaya antar molekul ini “melawan” deformasi yang

diakibatkan F luar sedemikian rupa sehingga ada kecenderungan untuk “mengembalikan”

molekul-molekul tersebut keposisi semula. Gaya-gaya antarmolekul inilah yan disebut

“ stress” (σ ) dalam solid dan dari contoh di atas dapat dilihat bahwa ( ) F σ σ = di mana

F adalah “deformation gradient ” yang disebabkan oleh F luar . Selain itu, dalam

keadaan equilibrium molekul-molekul dalam solid dapat berosilasi/ bergetar di sekitar

posisinya. Getaran ini akan bertambah dengan naiknya temperature, T . Pada T tertentu

getaran yang terjadi sedemikian rupa sehingga menyebabkan perubahan r yang cukup

signifikan. Ini tentunya akan menyebabkan gaya antar molekul. Oleh karena itu, σ

dapat dinyatakan sebagai ( , ) F T σ σ = untuk T yang cukup tinggi.




Hal yang sangat berbeda terjadi pada fluida (liquid dan gas) dan di sini lah perbedaan

yang mendasar antara kedua tipe material tersebut. Apabila fluida diberikan F luar maka

fluida tersebut akan terus bergerak sampai F luar berhenti beraksi. Dengan kata lain

fluida yang diberikan F luar tidak akan berada dalam keadaan diam. Oleh karena itu

untuk mempelajari sifat equilibrium dari fluida, kita lihat fluida yang diam tanpa ada

gaya-gaya luar. Berbeda dengan solid, molekul-molekul fluida dapat bergerak dengan

leluasa. Dalam keadaan equilibrium, molekul-molekul ini bergerak secara acak dan

“isotropic” (tidak mempunyai kecenderungan arah) sehingga secara makroskopik fluida

tersebut dalam keadaan diam. Apabila kita letakkan sebuah benda di dalam fluida maka

molekul-molekul dari fluida tersebut akan bertumbukkan dengan benda itu. Di bawah

ini adalah sketsa di mana “box yang sangat kecil” diletakkan di dalam gas. Titik-titik

hitam dalam gambar adalah molekul-molekul gas dan tanda panah menunjukkan arah

pergerakan molekul tersebut.

Ketika molekul-molekul ini bertumbukkan dengan “box”

tersebut, molekul-molekul ini “memberikan” momentum

kepada “box”. Perubahan waktu dari momentum per unitarea ini adalah “tekanan” ( p) yang dirasakan oleh “box”

tersebut. Karena molekul-molekul gas, dalam keadaan

equilibrium, bergerak secara isotropic maka tekanan yang

dirasakan oleh sisi kiri, kanan, atas, bawah, depan, dan belakang adalah sama.

Hubungan antara p dengan ρ dan T dapat dilihat dari penjelasan di atas. Kita ketahui

bahwa T adalah “ukuran makroskopik” dari kinetik energi molekul-molekul. Apabila T

bertambah maka kinetik energi juga bertambah sehingga tumbukan terjadi lebih sering.

Demikian pula dengan ρ yang merupakan “ukuran kerapatan” molekul-molekul. Jadi

dapat disimpulkan bahwa secara umum p = p( ρ ,T ).

Sedikit perbedaan terjadi apabila “box” di atas diletakkan dalam liquid. Dalam gas,

gerakan molekul yang menuju atau meninggalkan permukaan box tersebut independen

dari gerakan molekul lainnya (ideal gas). Dalam liquid ini tidak terjadi dan terdapat

gaya interaksi antar molekul sehingga gerakan sebuah molekul dipengaruhi oleh

gerakan molekul lainnya. Misalkan, karena sebuah molekul bertumbukan dengan




permukaan “box” maka jarak antara molekul tersebut dengan molekul tetangganya

berubah (r <r o, misalnya) dan ini menyebabkan gaya repulsive terhadap molekul tersebut

yang memberikan kontribusi kepada harga p di permukaan.

Dari pembicaraan di atas dapat disimpulkan bahwa σ fluida dalam keadaan diam

adalah pI σ = − karena p adalah gaya/ unit area yang disebabkan oleh “interaksi”

(tumbukan) antarmolekul. Tanda negatif di atas ditambahkan karena gaya ini

berlawanan (gaya kompresif) dengan arah normal dari permukaan tersebut.

1.4.3 Material Dalam Keadaan Non-equilibrium (TransportPhenomena)

Sebuah sistem yang berada dalam keadaan non-equilibrium mempunyai kecenderungan

untuk “membawa” sistem tersebut ke keadaan equilibrium. Dalam material ini

dilakukan dengan “menyebarkan matter ”, momentum, dan energi dari daerah di dalam

sistem yang mempunyai “kelebihan” “matter ”, momentum, dan energi ke daerah yang

kekurangan. Fenomena penyebaran ini disebut “transport phenomena”. Proses

“penyebaran” ini adalah proses yang irreversible sehingga menyebabkan disipasi

energi. Di bawah ini kita akan bahas fenomena-fenomena transport yang terjadi di

dalam fluida.

i) MomentumTransport

Untuk mempelajari momentum transport, misalkan kita mempunyai gas yang diletakkan

di antara 2 pelat A dan B. Pelat B dapat digerakkan dengan kecepatan U . Apabila U = 0

dan gas di antara kedua pelat tersebut berada dalam keadaan equilibrium maka gas




tersebut terlihat diam secara makroskopik. Meski demikian kita tahu bahwa molekul-

molekul gas bergerak terus menerus secara sembarang. Namun, karena gerakan-

gerakan molekul-molekul gas tersebut acak maka kecepatan rata-rata gas di arah x, y,

dan z adalah nol (gas dalam keadaan diam).

Sekarang kita gerakkan pelat B ke kanan dengan kecepatan U . Molekul-molekul yang

berada di sekitar pelat B (lapisan I) dan telah bertumbukkan dengan pelat tersebut

mendapatkan “tambahan” momentum di arah x. molekul-molekul ini kemudian

bergerak ke arah lapisan II dan melintasi perbatasan antara lapisan I dan II. Di lapisan

II sebagian molekul yang mempunyai kelebihan momentum di arah x ini akan

bertumbukan dengan molekul-molekul di lapisan ini dan dengan demikian “kelebihan”

momentum di arah x tadi ditransfer (transport ) ke lapisan ke-II. Molekul-molekul yang

sekarang berada di lapisan II sebagian akan bergerak ke lapisan I dan sebagian lagi

bergerak ke lapisan III dan men-transport -kan kelebihan momentum tadi ke lapisan III.

Demikianlah proses ini berlanjut ke lapisan-lapisan seterusnya dan momentum

di”transport ”kan ke lapisan-lapisan tersebut. Secara makroskopik, efek dari transfer

momentum ini menghasilkan gradien kecepatan seperti terlihat di sisi kiri dalam gambardi atas. Dalam kasus ini ada 2 hal yang memberikan kontribusi terhadapσ . Yang

pertama adalah tekanan p (seperti dalam keadaan equilibrium) dan yang kedua adalah

“interaksi” antarmolekul yang disebabkan oleh “penyebaran” momentum seperti yang

dijelaskan di atas. Stress yang kedua ini disebut “viscous stress”. Viscous stress ini

adalah manifestasi dari “perlawanan” gas terhadap ketidaksetimbangan yang disebabkan

oleh pergerakan dari pelat B. Dalam banyak hal, viscous stress ini mirip dengan gaya

gesek yang terjadi apabila kita menggeser sebuah benda diatas sebuah pemukaan.Pergeseran lapisan-lapisan fluida dalam gambar di atas, misalnya, dapat

diinterpretasikan sebagai akibat adanya gaya gesek antara lapisan satu dengan lainnya.

Penjelasan di atas diberikan untuk gas. Apabila fluida diantara pelat A dan B adalah

liquid maka selain “penyebaran” momentum seperti dijelaskan di atas terdapat pula

transport momentum yang disebabkan oleh gaya intermolecular . Misalnya, molekul-

molekul di lapisan I mempunyai kecenderungan untuk bergerak ke kanan karena adanya

“ekstra” x-momentum seperti dalam kasus di atas. Gerakan molekul-molekul di lapisan




I ini dapat meyebabkan pergerakan molekul-molekul di lapisan II ke arah yang sama

walaupun, karena suatu hal, molekul-molekul di lapisan I tidak “menyeberang” ke

lapisan II. Ini disebabkan karena adanya “intermolecular force” yang kuat di antara

molekul-molekul liquid tersebut (gaya ini gaya yang attractive) sehingga molekul-

molekul di lapisan II mendapatkan ekstra “ x-momentum” dan proses ini berlanjut ke

lapisan berikutnya. Jadi, fenomena momentum dalam liquid lebih kompleks

dibandingkan dengan fenomena yang sama yang terjadi di dalam gas. Selain ada

momentum transport yang disebabkan oleh pergerakan molekul antarlapisan, terdapat

pula transport yang disebabkan “intermolecular force” seperti dijelaskan sebelumnya.

Namun, secara makroskopik apa yang terjadi mirip dengan transport momentum dalam

gas, yaitu adanya kontribusi dari viscous stress di dalam σ .

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa secara umum σ dapat dinyatakan

sebagai pI σ τ = − + , di mana τ adalah viscous stress yang tidak memberikan

kontribusi apa pun apabila fluida berada di dalam keadaan equilibrium. Karena τ

disebabkan oleh adanya gradien dari kecepatan ( u∇ ) maka τ dapat dinyatakan sebagai

( )u∇= τ τ .

ii) Energy Transport

Sekarang kita akan beralih ke fenomena transport yang berikutnya yaitu energy

transport . Untuk itu, kita perhatikan gas di antara 2 pelat seperti sebelumnya. Apabila

T B=T A maka gas berada dalam keadaan equilibrium. Dalam kondisi ini temperatur di

setiap titik dalam gas adalah sama (T =T A). Karena temperatur adalah “ukuran” dari




)

rata-rata kinetik energi dari molekul-molekul di dalam gas maka dalam keadaan

equilibrium energi kinetik molekul-molekul tersebut secara rata-rata adalah sama.

Sekarang kita ubah temperatur pelat B menjadi T B>T A misalnya. Secara makroskopik

perubahan temperatur T B menyebabkan perubahan temperatur gas yang berada di dekat

pelat B (lapisan I). Dengan kata lain, naiknya T B menyebabkan bertambahnya energi

kinetik dari molekul-molekul di lapisan I. Seperti yang terjadi dalam kasus momentum

transport , ketika molekul-molekul ini “menyeberang” ke lapisan II dan bertumbukkan

dengan molekul-molekul lainnya, molekul-molekul ini “memindahkan” ekstra energi

yang diperoleh karena T B yang lebih tinggi, ke molekul-molekul lainnya di lapisan II.

Sekarang sebagian dari molekul-molekul di lapisan II bergerak ke lapisan III dan

sebagian lagi kembali ke lapisan I. Molekul-molekul yang bergerak ke lapisan III akan

bertumbukkan dengan molekul-molekul di lapisan ini dengan demikian “ekstra” energi

kinetik yang diperoleh dari oleh molekul-molekul ini ditransfer ke molekul-molekul di

lapisan III. Demikianlah proses “penyebaran” ekstra energi kinetik ini berlanjut ke

lapisan-lapisan berikutnya dan dengan demikian secara makroskopik akan terdapat

gradien temperatur ( di dalam gas tersebut. Proses ini mirip dengan proses

momentum transport yang dijelaskan sebelumnya, namun proses ini tidak harus

menyebabkan adanya gerakan makroskopik di dalam gas. Dengan kata lain proses in

dapat terjadi di dalam gas yang diam. Penjelasannya adalah sebagai berikut.

Bertambahnya energi kinetik berarti molekul-molekul tersebut bergerak lebih cepat.

Namun, molekul-molekul yang bergerak lebh cepat ini tetap bergerak secara acak

(random) karena proses ini tidak menyebabkan bertambahnya momentum di satu arah

saja melainkan bertambahnya momentum di semua arah (yang bertambah adalah

T ∇

222

z y x uuuu ++= ). Karena molekul-molekul ini tetap bergerak secara acak maka

secara makroskopik gas tersebut dapat saja berada dalam keadaan diam. Namun apabila

yang ditimbulkan cukup tinggi tentu saja gas tersebut akan mulai bergerak (dari

daerah yang mempunyai T yang tinggi ke daerah dengan T yang lebih rendah)

T ∇

Apabila fluida di antara pelat A dan B ini adalah liquid maka proses yang sama akan

terjadi namun, tentunya, lebih kompleks karena adanya “intermolecular force”.




Misalnya, sebuah molekul mempunyai kelebihan energi kinetik dan bergerak lebih

cepat. Karena adanya gaya tarik menarik yang kuat maka molekul ini akan menarik

beberapa molekul di sekitarnya. Sehingga molekul-molekul tersebut mendapatkan

“ekstra” energi kinetik.

Dari penjelasan di atas dapat dilihat bahwa transfer atau transport dari energi

antarmolekul yang dijelaskan oleh q secara umum dapat dinyatakan sebagai ( )T qq ∇=

karena energy transport ini secara makroskopik disebabkan adanya T ∇ di dalam fluida.

iii) Mass Transport

Selain transport momentum dan energi, ada satu fenomena transport lagi yang terjadi di

dalam ”fluida campuran”(fluida yang terdiri dari beberapa “ species”). Misalkan fluida

tersebut terdiri dari 2 species (titik hitam dan titik putih) seperti dalam gambar di atas.

Misalkan juga salah satu species (hitam) di lapisan I lebih banyak daripada species

lainnya (putih). Karena molekul-molekul dalam fluida (baik gas maupun liquid)

bergerak secara acak, baik putih maupun yang hitam, maka secara umum akan terdapat

flux dari salah satu species yang melewati perbatasan antara lapisan-lapisan tersebut(misalnya flux dari molekul hitam dari lapisan I ke lapisan II dan flux dari molekul

putih dari lapisan II ke I). Pergerakan molekul-molekul ini sedemikian rupa sehingga

terdapat kecenderungan untuk “meratakan” komposisi dari kedua jenis molekul tersebut

di setiap lapisan. Proses ini disebut juga proses difusi dan seperti telah dijelaskan

sebelumnya, adalah akibat dari adanya gerakan acak dari molekul-molekul dalam fluida.

Karena secara makroskopik proses ini terjadi akibat adanya gradien dari konsentrasi (C i)

dari salah satu “ species” maka flux ini i j dapat dinyatakan sebagai ( )iii C j j ∇=




iv) General Transport Phenomena

Dari penjelasan di atas (i s.d. iii) kita telah lihat bahwa fenomena transport disebabkan

oleh adanya gradien-gradien. Misalnya adanya u∇ menyebabkan momentum transport ,

menyebabkan energy transport . Namun, secara umum adanya satu gradien tidak

hanya mengakibatkan terjadinya satu jenis transport tetapi dapat menyebabkan berbagai

jenis transport. Contohnya, misalkan terdapat

T ∇

T ∇ di dalam sistem, selain

menyebabkan energy transport , T ∇ dapat pula menyebabkan terjadinya proses difusi

(mass transport ). Proses ini disebut juga “ sorret effect ”. Contoh lainnya adalah energy

transport yang disebabkan oleh adanya C ∇ (dufour effect ). Jadi secara umum, ∇ dapat

menyebakan “direct effect ”, seperti T ∇ menyebabkan energy transport , dan “coupled

effect ”, seperti yang menyebabkan mass transport .T ∇

Untuk fenomena-fenomena transport, kita dapat gunakan “thermodynamics of

irreversible process” untuk mendapatkan persamaan konstitutif. Prosedur dari

“thermodynamics of irreversible process” adalah sebagai berikut. Pertama, kita cari σ ~

dari pertidaksamaan entropi. σ ~ yang didapat harus dimanipulasi sedemikian rupa

sehingga berbentuk,

011~ ≥⋅=⋅= ∑ X J T

X J T i

iiσ

di mana komponen-komponen J adalah flux-flux seperti τ , q ,i

j dan komponen-

komponen X adalah gradien-gradien yang menyebabkan flux J tersebut, misalnya

u∇ , , .T ∇ C ∇

Contoh: untuk fluida satu species

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≡q

J τ

dan⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∇

∇≡

T

u X

Gradien-gradien ini dianggap tidak terlalu besar (fluida tidak terlalu jauh dari

equilibrium) sehingga ekspansi Taylor dapat digunakan. Dengan demikian maka kita

dapat nyatakan,

( ) ( ) ......0;,,;,, +∂

∂

== X C T p X

J X C T p J J ii




( J adalah fungsi p, T , C i karena variabel-variabel ini adalah variable keadaan untuk

keadaan equilibrium). Apabila kita definisikan

X

J

∂

∂≡Ω

maka

X J ⋅Ω=

di mana ( )iC T p ,,Ω=Ω .

Salah satu teorema fundamental dalam “thermodynamics of irreversible process” adalah

T Ω=Ω atau jiij Ω=Ω .

Hubungan ini disebut juga “Onsager reciprocal relation”. Selain itu terdapat sebuah

prinsip penting yang disebut “Curie’s principle” yang menyatakan bahwa,

Tidak ada “coupling ” antara tensor orde ganjil dengan tensor orde genap untuk

hubungan linear seperti X J ⋅Ω=

Metode “thermodynamics of irreversible process” hanya dapat digunakan untuk

mendapatkan persamaan konstitutif untuk proses yang irreversible. σ untuk elastic

solid , misalnya, adalah proses yang reversible sehingga metode ini tidak dapat

digunakan untuk mendapatkan persamaan konstitutif untuk kasus tersebut. Selain itu,

bentuk dari X J ⋅Ω= haruslah memenuhi prinsip-prinsip dasar untuk persamaan

konstitutif (a, b, c).

Catatan: Komponen-komponen dari Ω ij secara umum adalah tensor yang ordenya dapat

berbeda-beda karena komponen-komponen J dan X adalah tensor-tensor

dengan orde yang berbeda.

Contoh : Fluida homogen (satu species)

Kita akan lihat di bab berikutnya bahwa untuk fluida homogen,

( ) 0

11~

≥⋅∇⋅+⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛ ∇

⋅−= uT T

T

qT τ σ .




Dari sini dapat diidentifikasikan bahwa,

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧≡

q J

τ

dan ⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧

∇

∇≡

T

u

X

dengan demikian maka persamaan konstitutif adalah X J ⋅Ω= ,

T u ∇⋅Ω+∇Ω=12

11

:τ dan T uq ∇⋅Ω+∇⋅Ω=2221

.

“Onsager reciprocal relation” menyatakan bahwa Ω 12 = Ω 21. Namun, τ adalah tensor

orde genap sedangkan adalah vektor atau tensor orde satu (ganjil). Oleh karena itu,

menurut “Curie’s principle” tidak ada ada coupling antara

T ∇

τ dan T ∇ dan juga dengan

q atau u∇ . Dengan demikian maka,

02112

=Ω=Ω

sehingga

u∇Ω= :11

τ dan T q ∇⋅Ω=22

Hubungan antara τ dan u∇ dan q dengan T ∇ di atas telah memenuhi prinsip dasar a

dan b. Akan kita lihat nanti bahwa prinsip dasar c mengharuskan2211

& ΩΩ adalah

tensor-tensor yang isotropic.

1.4.4 Persamaan konsti tutif untuk fluida (“ satu spesies” )

Di subbagian ini kita akan lihat contoh dari penerapan prinsip-prinsip dasar untuk

persamaan konstitutif. Contoh yang akan dibahas adalah untuk fluida yang homogen

(hanya terdiri satu species sehingga ( 0=∇ iC ). Fluida inilah yang akan kita bahas

dalam buku ini.

i) Persamaan untuk heat conduction ( )−

q

Dari penjelasan di subbagian sebelum ini dapat disimpulkan bahwa untuk fluida yang

homogen dapat dinyatakan sebagai );,( T T pqq ∇=−−

. Penulisan sebagai fungsi p,

T , seperti di atas jelaslah telah memenuhi prinsip a) & b) ( principle of determinism

−

q

T ∇




& local action). Sekarang kita akan lihat bagaimana bentuk dari yang memenuhi

prinsip c) ( principle of material frame indifference).

Karena adalah sebuah vektor maka untuk memenuhi c) haruslah, (lihat subbagian

frame indifference)

−

q−

q

qQq ⋅= (c.1)

Karena adalah fungsi dari p, T ,−

q T ∇ kita harus cek apakah variabel-variabel ini

memenuhi prinsip c). Karena p & T adalah skalar maka, p* = p, T * = T , sekarang

bagaimana dengan T ∇

*

*

*** ˆ)ˆ()( ii

i

e x

T e

x

T T

∂

∂=

∂

∂=∇

Kita telah lihat sebelumnya bahwa T *=T dan ii eQe ˆˆ* ⋅= . Juga xi adalah skalar sehingga

x*i = xi. Dengan demikian maka,

T Qe xT QeQ

xT T i

ii

i

∇⋅=∂∂⋅=⋅

∂∂=∇ ˆ)ˆ()( ** .

Jadi,

);,())(;,( **** T QT pqT T pqq ∇⋅=∇=

sehingga persamaan (c.1) menjadi

);,();,( T T pqQT QT pq ∇⋅=∇⋅

Namun persamaan di atas adalah definisi dari fungsi yang isotropik untuk sebuah

vektor. Dengan demikian maka prinsip c) mengharuskan adalah sebuah fungsi yang

isotropik. Fungsi isotropik yang paling umum adalah

T T T pk q ∇∇= );,(~

Hukum konduksi Fourier yang kita kenal adalah kasus spesial dari hubungan di atas.

Hubungan inilah yang biasanya digunakan untuk fluida yang dibahas dalam subbagianini. Jadi




T T pk q ∇−=−

),( ( Fourier’s Law of heat conduction)

ii) Persamaan untuk σ (Newtonian Fluid)

Dari diskusi sebelumnya kita ketahui bahwa untuk fluida yang dibahas di sini σ dapat

dinyatakan sebagai,

);,( uT p ∇= σ σ

Seperti halnya , penulisan−

q σ seperti di atas telah memenuhi prinsip a) & b).

Sekarang kita lihat bagaimana bentuk dari σ yang memenuhi prinsip c). Untuk

memenuhi c) maka σ haruslah (lihat subbagian frame indifference)

T QQσ σ =*

(c.2)

Karena σ adalah fungsi dari p, T & u∇ , kita harus cek bagaimana bentuk dari *)( u∇

(kita telah lihat sebelum ini bahwa T* = T & p* = p). Dari salah satu contoh di

subbagian frame indifference,T T QuQQQu ⋅∇+=∇ *)( .

Karena Ω+=∇ Du maka *)( u∇ dapat dituliskan seperti,

T T T QQQ DQQQu Ω++=∇ *)(

Dari kedua persamaan terakhir di atas, jelaslah bahwa secara umum u∇ tidak memenuhi

prinsip c). u∇ akan memenuhi c) apabila 0=Q atau apabila kita pilih Ω−= QQ .

Untuk sementara kita pilih Ω−= QQ dan kita akan lihat nanti apa implikasi dari pilihan

ini. Dengan pilihan Q ini maka,

T Q DQu =∇ *)(

Dengan demikian maka,T Q DQuT puT p ,)(;,())(;( *****

∇=∇= σ σ σ

sehingga persamaan (c.2) menjadi,

T T Q DT pQQ DQT p );,(),,( σ σ = .




Namun, persamaan di atas adalah definisi dari fungsi yang isotropik dari sebuah tensor

orde 2. Dengan demikian, sekali lagi prinsip c) mengharuskan hubungan konstitutif

untuk sebuah fungsi yang isotropik. Fungsi isotropik yang paling umum untuk sebuah

tensor orde 2 adalah ,

D D D I .210 η η η σ ++= & ),,,,( D D Dii III II I T P η η = .

D D D III II I ,, adalah koefisien dari persamaan untuk “ principle value” D yaitu,

0)det( 23 =+++=+ D D D III m II m I m DmI

( apabila0,, = D D D III II I 0= D ).

Fluida dengan persamaan konstitutif seperti diatas disebut juga fluida: “ Rainner- Rivlin”

. Karena D adalah simetrik maka σ seperti di atas secara otomatis memenuhi

konservasi momentum sudut (T

σ σ = ).

Dari penjelasan fisis yang telah diberikan di bagian sebelumnya kita ketahui apabila

0=∇u ( 0= D ) maka I p−=σ atau σ untuk fluida yang diam adalah tekanan ( p).

Dengan demikan maka σ dapat dinyatakan sebagai,

D D D I p .)( 210 υ υ υ σ +++−=

dimana

),,,,( D D Dii III II I T pυ υ =

Sekarang kita akan kembali untuk melihat kembali interpretasi fisis dari pilihan kita

untuk Q . Dengan memilih Ω−= QQ , kita dapatkan persamaan (c.3). Dalam

persamaan ini tidak terdapat Ω dan kita telah lihat sebelumnya, bahwa Ω menjelaskan

rotasi benda rigid. Jadi dengan kata lain pilihan kita menyatakan bahwa Ω tidak

menyebabkan adanya stress (σ ). Ini tentunya sesuai dengan kenyataan fisis yang

sebenarnya karena rotasi benda rigid tidak menyebabkan adanya gerakan relatif antara

lapisan-lapisan dalam fluida. Dengan demikian maka pilihan kita tadi bukanlah pilihan

sembarang melainkan pilihan yang sesuai dengan kenyataan yang sebenarnya.




Persamaan (c.3) adalah bentuk umum untuk material (fluida) yang mempunyai

)( u∇= σ σ . ”Fluida Newtonian” adalah kasus spesial dari (c.3) di mana hubungan

antara σ & D adalah hubungan yang linier. Untuk Fluida Newtonian,

D I u I p λ σ 2)( +⋅∇+−=

Di mana ),( T pλ λ = disebut “ second viscosity coefficient ”

),( T p= disebut “ shear viscosity coefficient ”

Model “Fluida Newtonian” ini dapat digunakan untuk hampir semua fluida yang alami

seperti udara, air, dan gas& liquid lannya. Namun, terdapat pula fluida alami seperti

darah yang tidak dapat dimodelkan sebagai “Fluida Newtonian”.

Hubungan antara koefisien seperti λ &,k dengan p & T biasanya didapatkan dari

eksperimen. Untuk gas, koefisien ini dapat dihubungkan dengan properti–properti

mikroskopik dengan menggunakan teori kinetik. Kenyataan bahwa harga λ &,k

tidak didapatkan dari sistem persamaan adalah konsequensi dari penggunaan metode

kontinum.



Dasar Mekanika Fluida 70

BAB

2Dasar Mekanika Fluida

2.1 Sistem persamaan diferensial untuk fluida

Di subbagian sebelum ini, kita telah mendapatkan persamaan konstitutif untuk fluida.

Persamaan konstitutif ini menjelaskan hubungan antara tegangan ( stress) untuk fluida

dengan u∇ (deformasi). Apabila kita akan masukkan ekspresi untuk σ ini ke dalam

persamaan-persamaan dasar kontinum maka akan kita dapatkan sistem persamaan yang

menjelaskan gerak fluida.

Persamaan yang pertama dalam sistem persamaan ini adalah persamaan kontinuitas.

Karena dalam persamaan ini tidak terdapat σ maka persamaan ini tidak berubah, yaitu,

0=⋅∇+ udt

d ρ

ρ (a)

Persamaan yang kedua adalah persamaan momentum. Di sini terdapat

τ σ +−= I p

dimana τ adalah,

D I uuuu I T µ λ µ λ τ 2)()()( +⋅∇=∇+∇+⋅∇= .

Apabila kita substitusikan σ di atas ke dalam persamaan momentum untuk benda

kontinum, maka hasilnya adalah,




[ ] D I u pGdt

ud µ λ ρ ρ 2)( +⋅∇⋅∇+∇−= (b)

Persamaan diatas disebut juga persamaan Navier-stokes. Seringkali, dalam mempelajari

aliran fluida kita dapat gunakan asumsi µ dan λ adalah konstan. Apabila asumsi ini

dapat digunakan maka τ ⋅∇ menjadi,

[ ][ ]uuu

uuu T

2)()(

)()()(

∇+∇⋅∇+⋅∇∇=

∇⋅∇+∇⋅∇+⋅∇∇=⋅∇

µ λ

µ λ τ

Sehingga persamaan (b) menjadi,

uu pGdt

ud 2)()( ∇+⋅∇∇++∇−= µ µ λ ρ ρ

Sekarang kita beralih ke persamaan energi. Selain terdapat σ , dalam persamaan ini

juga terdapat q (heat conduction). Seperti telah dijelaskan sebelumnya, q untuk fluida

adalah,

T k q ∇−=

Dengan demikian maka persamaan energi menjadi,

2

( ) ( ) ( ) (2

d ue G u Q q pu

dt ρ ρ + = ⋅ + − ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅ ⋅ )uτ

atau

( ) )2()()()()()2

(2

u Duuu pT k QuGu

edt

d ⋅⋅∇+⋅∇⋅∇+⋅∇−∇⋅∇++⋅=+ µ λ ρ ρ (c)

Persamaan energi mempunyai beberapa bentuk alternatif. Salah dari bentuk alternatif

adalah persamaan yang menjelaskan perubahan waktu dari entropi sebuah fluid element .

Persamaan ini seringkali digunakan untuk menggantikan persamaan energi. Untuk

mendapatkan persamaan ini kita harus melakukan beberapa manipulasi terhadap

persamaan momentum dan energi. Dalam melakukan manipulasi itu, kita juga akan

mendapatkan persamaan yang menjelaskan laju perubahan energi kinetik dan energi

dalam dari sebuah fluid element. Kita mulai mulai proses manipulasi ini dengan

mengambil dot product persamaan (b) dengan ( ))(buu ⋅ dan hasilnya adalah,




)(2

2

τ ρ ρ ρ ⋅∇⋅+⋅+∇⋅−==⋅ uuG puu

dt

d

dt

ud u (KE)

Persamaan di atas adalah persamaan untuk energi kinetik.

Persamaan energi (c) dapat dijabarkan lebih lanjut,

uu puu pqQuGu

edt

d ⋅∇⋅+⋅∇⋅+∇⋅−∇−∇−+⋅=+ )()()()

2(

2

τ τ ρ ρ

Berikutnya persamaan ini akan kita kurangi persamaan (KE) dan hasilnya adalah,

uqu pQdt

de⋅∇⋅+⋅∇−⋅∇−= )(τ ρ ρ

Dari persamaan (a),dt

d u

ρ

ρ

1−=⋅∇ sehingga,

uqdt

d pQ

dt

de⋅∇⋅+⋅∇−+= )(τ

ρ

ρ ρ ρ (IE)

Persamaan di atas adalah persamaan untuk energi dalam (internal energy). Namun,

apabila kita mengingat hasil termodinamika, persamaan untuk perubahan waktu dari

internal energy dapat diturunkan dengan cara lain. Pertama-tama, hasil dari

termodinamika menyatakan bahwa untuk proses yang reversible,

ρ

ρ

ρ ρ

d pdsT d pdsT de +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

1

Sehingga,

dt

d p

dt

dsT

dt

de

rev

ρ

ρ ρ ρ +=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

di mana subscript “rev” adalah untuk mengingatkan kita bahwa hasil di atas adalah

untuk proses yang internally reversible. Apabila kita substitusikan hasil ini untukdt

de ρ

di persamaan (IE) maka hasilnya adalah,

uqQdt

dsT ⋅∇⋅+⋅∇−= )(τ ρ ρ

atau,

T u

T q

T Q

dt ds ⋅∇⋅+⋅∇−= )(τ ρ ρ (d)




Persamaan di atas menjelaskan perubahan waktu dari entropi (s). Masih banyak lagi

bentuk alternatif dari persamaan energi selain ketiga persamaan diatas (energi kinetik,

energi dalam, dan entropi). Bentuk-bentuk alternatif lainnya akan diturunkan di 2.2.1.

2.1.1 Konsekuensi Hukum Termodinamika II (Energy Dissipation)

Di subbagian sebelum ini kita telah mendapatkan persamaan yang menjelaskan laju

perubahan entropi untuk sebuah fluid element. Sekarang kita akan gunakan hasil

tersebut untuk melihat konsekuensi dari Hukum Termodinamika II untuk fluida.

Pertama-tama, mari kita ambil integral dari persamaan (d). Apabila ρ, s, Q, T , k , u , dan

τ adalah fungsi-fungsi yang kontinu dan dapat didiferensialkan maka (*) dan (**) dapat

digunakan dalam mengambil integral dari persamaan (d). Hasilnya adalah,

dV T

udV

T

T k dV

T

QdV

dt

ds

t V t V t V t V ∫∫∫∫

∇⋅+

∇⋅∇+=

)()()()(

)()( τ ρ ρ (x)

di mana V(t) adalah volume material dan kita telah subtitusikan T k q ∇−= .

Sekarang kita tuliskan Hukum Termodinamika II untuk benda kontinuum.

0ˆ

)()()(

≥−⋅

+ ∫∫∫ dV T

QdS

T

nqdV

dt

ds

t V t S t V

ρ ρ

Berikutnya substitusikan T k q ∇−= ke dalam Hukum Termodinamika II diatas dan

ubah menjadi integral volume dengan menggunakan (*) sehingga suku kedua dalam

integral diatas menjadi,

dV T

T k T k

T dV

T

T k dV

T

qdS

T

nq

t V t V t V t S ∫∫∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∇+∇⋅∇−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∇−⋅∇=⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∇=

⋅

)(

2

2

)()()(

)()(

1ˆ

Dengan demikian maka Hukum Termodinamika II menjadi,

0)()(

)()(

2

2

)()(

≥−∇

+∇⋅∇

− ∫∫∫∫ dV T

QdV

T

T k

T

T k dV

dt

ds

t V t V t V t V

ρ ρ

Sekarang kita substitusikan persamaan (x) ke dalam pertidaksamaan di atas dan hasilnyaadalah




0)()(

)()(

2

2

≥⋅∇⋅

+∇

∫∫ dV T

udV

T

T k

t V t V

τ (xx)

Hasil di atas menjadi persamaan untuk proses reversible dan pertidaksamaan untuk

proses irreversible. Seperti telah kita ketahui dari termodinamika, proses irreversible

merupakan proses yang menyebabkan adanya energi yang hilang atau “terdisipasi” di

dalam sistem (material volume). Dari hasil di atas dapat dilihat bahwa q dan τ adalah

sesuatu yang menyebabkan terjadinya disipasi (hilangnya) energi dalam sistem fluida.

Sebab apabila q = 0 dan τ = 0, maka proses menjadi reversible dan tidak ada energi

yang hilang.

Selain memberitahukan apa yang menyebabkan terjadinya disipasi energi, Hukum

Termodinamika II juga memberikan batasan terhadap harga-harga koefisien λ, µ, dan k .

Untuk melihat batasan ini kita akan jabarkan suku ))( u⋅∇⋅τ seperti di bawah ini,

( )

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=

∂

∂

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂=⋅∇⋅

i

j

j

i

i

j

j

i

i

j

j

i

k

k

i

j

j

i

i

j

j

i

i

j

j

i

k

k

j

i

i

j

j

iij

k

k

j

iij

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u x

u

x

u

x

u

x

u

x

uu

µ µ λ

µ λ

µ δ λ τ τ

2

1

2

1

2

1

22

2

Penulisan di atas menggunakan “notasi Einstein” untuk mempersingkat penulisan.

Apabila kita gunakan notasi vektor maka hasil di atas dapat dituliskan seperti:

( )

( ) Φ+⋅∇=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=⋅∇⋅

=

==

Φ≡

===∑∑∑

2

22

2

0

3

1,1

22

skalaradalah

23

1,1

23

1

µ λ

µ µ λ τ

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

uu

ji i

j

j

i

ji i

j

j

i

k k

k

di mana 0≥Φ

Apabila kita substitusikan hasil di atas ke dalam pertidaksamaan (xx), maka,




( ) ( )∫∫∫ ≥Φ+

⋅∇+

∇

)()(

2

)(

2

02t V t V t V

dV dV T

udV

T

T k µ λ

Karena T ≥ 0 dan ≥ 0 maka dapat dilihat dari pertidaksamaan di atas bahwa,Φ

k , λ, µ > 0

Ini menunjukkan bagaimana Hukum Termodinamika II mengharuskan koefisien-

koefisien (k , λ, µ) untuk selalu positif.

2.2 Persamaan-persamaan Pelengkap Sistem Persamaan

Fluida

Persamaan-persamaan (a), (b), dan (c) adalah persamaan dasar untuk fluida. Dari sistem

persamaan ini, dapat dilihat bahwa kita perlu mengetahui variabel ( ρ, u , p, e, T , k , λ,

dan µ) untuk menjelaskan gerak fluida ( G dan Q adalah variabel-variabel eksternal

yang biasanya diberikan dan tidak harus didapatkan dari sistem persamaan untuk

fluida). Sedangkan jumlah persamaan (a) sampai dengan (d) hanyalah 5 (enam)

persamaan (persamaan (b) adalah persamaan vektor yang mempunyai 3 komponen).Jadi hanya terdapat 5 persamaan untuk mendapatkan 10 variabel yang tidak diketahui

( ρ, u , p, e, T , k , λ, dan µ)

Jadi jelaslah bahwa persamaan (a) sampai dengan (c) tidak cukup untuk menyelesaikan

permasalahan ini. Kita membutuhkan lima persamaan lagi untuk melengkapi “sistem

persamaan” fluida. Dua persamaan ini didapatkan dari persamaan termodinamika, yaitu

persamaan keadaan seperti:

( ) ( ), & ,e e p T p T ρ = = (e)

Sedangkan 3 persamaan lagi adalah persamaan yang menjelaskan hubungan antara λ, µ,

k dengan variable-variable termodinamika seperti p dan T .

( ) ( ) ( ), , , , , p T k k p T p T λ λ µ µ = = = (f)

Dengan adanya persamaan (e) dan (f), maka lengkaplah sistem persamaan yang kita

miliki untuk menyelesaikan permasalahan mekanika fluida (persamaan (a), (b), (c), (e),




dan (f) ). Bentuk eksplisit dari persamaan (e) dan (f) sendiri tergantung dari jenis fluida

tersebut (misalnya fluida ideal atau benda cair).

Contoh: untuk perfect gas persamaan (e) adalah:

tan

,

konsT

eC

RT p

vv =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂=

= ρ

sehingga tankonsT C e v +=

Catatan: Sistem persamaan (a) sampai dengan (f) adalah sistem persamaan untuk

fluida yang homogeneous. Dengan kata lain fluida dianggap sejenis dan

tidak terjadi reaksi kimia. Apabila fluida tidak homogeneous dan komposisi

dari species yang membentuk fluida tersebut berbeda di setiap titik-titik,

maka dibutuhkan lagi persamaan tambahan untuk melengkapi sistem

persamaan, misalnya persamaan yang menjelaskan konsentrasi (Ci) dari

setiap species fluida tersebut. Dalam aerodinamika kasus fluida yang tidak

homogeneous terjadi dalam aliran hypersonic. Dalam aliran hypersonic dapat

terjadi proses disosiasi dan ionisasi di daerah-daerah yang mempunyaitemperatur, T , yang sangat tinggi.

2.2.1 Bentuk alternatif dari persamaan energi .

Dalam kasus-kasus tertentu, persamaan (c) bukanlah bentuk yang terbaik untuk

digunakan. Dalam kasus-kasus seperti ini kita dapat gunakan persamaan energi dalam

bentuk lain; yaitu dengan menggunakan variabel h (entalphi) untuk menggantikan

variabel e (internal energy). Definisi entalphy adalah:

ph e

ρ = +

Sehingga,

2

1 pdh de dp d ρ

ρ ρ = + −

dan




dh de dp p d

dt dt dt dt

ρ ρ ρ

ρ = + −

Sekarang kita substitusikan persamaan untukdt de dan hasilnya adalah:

( )dh dp

Q k T udt dt

ρ ρ τ = + ∇ ⋅ ∇ + ⋅∇ ⋅ + (g)

Selain bentuk persamaan energi seperti di atas, ada lagi bentuk alternatif dari persamaan

energi, yaitu persamaan untuk laju perubahan temperatur dari sebuah fluid element.

Bentuk alternatif persamaan energi seperti ini digunakan untuk menyelesaikan permasalahan perpindahan panas. Selain itu bentuk persamaan energi seperti ini juga

lebih nyaman untuk digunakan karena variabel temperatur adalah variabel yang dapat

langsung digunakan (tidak seperti energi dalam dan entalpi, misalnya).

Untuk mendapatkan bentuk alternatif persamaan energi ini kita mulai dari persaman

untuk energi dalam,

( ) ( ) ( )de

k T u p u Qdt ρ τ ρ = ∇ ⋅ ∇ + ⋅∇ ⋅ − ∇ ⋅ +

Sekarang kita akan ubah ekspresi untuk e dalam persamaan di atas dengan

menggunakan hasil dari termodinamika.

dv pv

sT dT

T

sT dv pdsT de

v⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂=−=

Turunan parsial untuk s dalam persamaan di atas dapat diubah dengan menggunakan

definisi untuk C v dan Helmholtz potensial ψ .

vv v v v

e e s sC T

T s T T

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≡ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

d pdv sdt , ψ = − −

sehingga

, sTT v

pv

ψ ψ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Karena

vT T v ∂∂

∂=

∂∂

∂ ψ ψ 22

maka,




v T

p s

T v

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Jadi persamaan untuk energi dalam dapat dituliskan seperti,

( ) ( ) ( )vv

dT p dvC k T u Q p u T p

dt T dt ρ τ ρ ρ

⎛ ⎞∂⎛ ⎞= ∇ ⋅ ∇ + ⋅∇ ⋅ + − ∇ ⋅ − −⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎝ ⎠

Karena ρ

1≡v maka u

dt

d

dt

dv⋅∇=−=

ρ

ρ

ρ

112

, maka persamaan untuk energi dalam

menjadi:

( ) ( )v v

dT pC k T u T u

dT T Q ρ τ ρ

∂⎛ ⎞= ∇ ⋅ ∇ + ⋅∇ ⋅ − ∇ ⋅ +

⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (h)

Bentuk persamaan energi di atas (g), lebih mudah digunakan karena bentuk ini kita

gunakan variabel T (bukan e atau h seperti sebelumnya) karena kondisi batas biasanya

diberikan dalam bentuk T = T wall atauwall n

T ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂

Satu lagi bentuk alternatif untuk persamaan energi, yaitu bentuk lain dari persamaan (g).

dari termodinamika kita tahu bahwa: dh Tds vdp= + .Apabila kita nyatakan

maka persamaan tersebut menjadi,

( )T p s s ,=

dpv p

sT dT

T

sT dh

T p⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂=

Sekarang,

p p p p

dh h s s

C T dT s T T

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≡ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ p

juga kita ketahui untuk hubungan diferensial untuk Gibbs potential ( g ):

dq vdp sdT = − atau

T p

qv ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂= dan

P T

q s ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂=

sehingga

T T p

v

p

s⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

dengan demikian persamaan untuk dh menjadi:




dp p

T dT C dh

dp

p

T dT C dh

T

p

T

p

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−+=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

∂

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ∂

+=

ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

1

1

1

Dengan menggunakan hubungan di atas, persamaan (g) menjadi:

( ) ( ) p

T

dT T dpC Q k T u

dt p dt

ρ ρ ρ τ

ρ

⎛ ⎞∂= + ∇ ⋅ ∇ + ⋅∇ ⋅ + ⎜ ⎟

∂⎝ ⎠ (i)

2.2.2 Kondisi batas yang harus dipenuhi

Untuk menyelesaikan sistem persamaan fluida dibutuhkan kondisi awal (initial

conditions) dan kondisi batas (boundary conditions). Kondisi-kondisi ini ditentukan

oleh permasalahan yang kita pelajari. Namun untuk kondisi batas kita dapat lebih

spesifik.

Untuk persamaan momentum (b), kondisi batasnya adalah :

( ),wall wall u x x t U = = ( =wall x posisi benda)

apabila terdapat benda di dalam aliran yang bergerak dengan kecepatan wall U . Dengan

kata lain kondisi batas ini menyatakan bahwa lapisan fluida yang berbatasan dengan

permukaan benda bergerak dengan kecepatan benda tersebut.

Untuk persamaan energi, kondisi batasnya biasanya diberikan untuk temperatur (T ).

Seperti telah kita lihat bentuk alternatif dari persamaan energi dapat dituliskan dengan

menggunakan T (persamaan (h) atau (i)). Apabila terdapat benda dalam aliran, maka

kondisi batas untuk persamaan energi adalah :

( ) wall wall T t x xT == ,

atau

( ),ˆ ˆwall

wall

T T k x x t k n n

∂ ∂⎛ ⎞= = ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠




Kondisi batas yang pertama menyatakan bahwa T dari lapisan fluida yang berbatasan

dengan benda adalah T benda. Sedangkan yang kedua menyatakan flux dari T di arah

(normal terhadap benda) dari lapisan fluida yang berbatasan dengan benda adalah flux

dari T di arah yang “keluar/masuk” benda tersebut. Karena

n

n T k q ∇−= , kondisi batas

yang kedua menjelaskan proses perpindahan panas atau heat transfer dari atau ke

permukaan benda.

Pada kasus-kasus tertentu, kedua kondisi batas untuk persamaan energi ini di gunakan

secara bergantian. Misalnya, kita mempelajari kasus dimana sebuah benda panas

dimasukkan kedalam suatu aliran fluida dengan temperatur yang lebih rendah. Dari

pengalaman sehari-hari kita ketahui bahwa pada saat-saat awal, temperatur benda

tersebut tidak banyak berubah sehingga pada saat-saat tersebut kondisi batas yang

digunakan adalah ( ),wall wall T x x t T = = . Namun, setelah selang waktu tertentu, mulai

ada transfer panas dari benda ke fluida sehingga temperatur benda (T wall ) turun. Pada

saat ini kondisi batas yang kita gunakan adalah ( ),ˆ ˆ

wall wall

T T k x x t k

n n

∂ ∂⎛ ⎞= = ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

. Transfer

panas ini terus berlangsung sampai pada akhirnya terjadi kesetimbangan antara

temperatur benda dan temperatur fluida disekitarnya dan pada saat itu proses

perpindahan panas berhenti sehingga kondisi batasnya adalah ( ), 0ˆ

wall

T k x x t

n

∂= =

∂.

Kondisi dimana qwall = 0 ini disebut Adiabatic wall condition.

2.3 Bentuk-bentuk non dimensional dari persamaan fluida

Persamaan-persamaan fluida dapat ditulis dalam bentuk nondimensional. Untuk itu,

pertama-tama kita definisikan variabel yang tidak berdimensi dibawah ini :

o ρ

ρ ρ ≡~ ,

ou

uu ≡~ ,

o p

p p ≡~ ,

oT

T T ≡~

,0

~

t

t t ≡ , τ

µ τ

oo

o

u

L≡~ ,

o L

x x ≡~ ,

ok

k k ≡~

, po

ov

vo

vv C

C

C

C C

γ =≡

~ ,

o g

GG ≡~

,vo

poo C

C ≡γ




Variabel-variabel di atas yang ber subscript “o” adalah variabel-variabel acuan, misalnya

adalah kecepatan “freestream”, adalah panjang dari benda (chord length dari

airfoil) dan lain-lain. Sekarang apabila kita ganti variabel-variabel misalnya

ou o L

o ρ ρ ρ ~= ,

dan seterusnya kedalam persamaan (a) dan (b), maka kita dapatkan :

( ) 0~~.~

~

~1=∇+

∂

∂u

t S t ρ

ρ ( )a~

( )1 1 1

t u e

uu u p

S t R R F

1

r

G ρ ρ ∂

+ ⋅∇ = − ∇ + ∇ ⋅ +∂

τ ρ )b~

di mana

∇=∂

∂=

∂

∂=∇

~1~

oo L x L x

Untuk persamaan energi, kita akan menggunakan persamaan (h) dan kita akan lakukan

ini untuk kasus besar Q = 0

( ) ( ) ( )vv

T pC u T k T u T

t t ρ τ

∂ ∂⎧ ⎫ ⎛ ⎞+ ⋅∇ = ∇ ⋅ ∇ + ⋅∇ ⋅ − ∇ ⋅⎨ ⎬ ⎜ ⎟∂ ∂⎩ ⎭ ⎝ ⎠

u .

Apabila kita subsitusikan variabel di atas ke dalam persamaan ini dan hasilnya lalu

dikalikanoo poo

oo

uT C

L

ρ

γ , maka :

( ) ( ) 0. .1. (

. . .

o r o r v v

vt e r u r

) B BT p

C C u T k T T uS t R P R P T R P

γ γ γ ρ ρ τ

∂ ∂⎛ ⎞+ ⋅∇ = ∇ ⋅ ∇ − ∇ ⋅ + ⋅∇ ⋅⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

e r

u ( )c~

di mana :

o

oot

L

ut S ≡

(Bilangan Strouhal),

o

oo

u P

u R

2 ρ ≡

(Bilangan Ruark)

o

oooe

Lu R

µ

ρ ≡

(Bilangan Reynolds),

oo

or L g

u F

2

≡ (Bilangan Froude)

o

o Por k

C P ≡

(Bilangan Prandtl),

oo

oor T k

u B

2µ

≡ (Bilangan Brinkman)

Selain angka-angka di atas kadangkala digunakan juga :

er e

R P P .≡ (Bilangan Peclet),r

r

c P

B E ≡ (Bilangan Eckert)




Catatan : Dapat dilihat dari definisi di atas bahwa harga tergantung dari jenis fluida

dan tidak bergantung dari aliran.

r P

Persamaan dasar fluida dalam bentuk nondimensional ini (persamaan ( )a~ -

persamaan ( )c~ )sangat berguna dalam hal-hal berikut :

1. Menyederhanakan persamaan tersebut. Misalnya apabila aliran yang dipelajari

mempunyai Re yang tinggi ( )∞→e R , maka dapat dilihat dari persamaan )b~

,

suku yang menjelaskan viscous stress dapat diabaikan. Juga karena Pr

biasanya mempunyai harga sekitar 1, maka suku yang menjelaskan konduksi panas dan viscous dissipation dapat diabaikan dalam persamaan ( )c~ .

2. Biasanya dalam melakukan eksperimen untuk mensimulasikan aliran di sekitar

benda kita membuat model yang lebih kecil daripada dimensi benda yang

sebenarnya. Persamaan ( ) ( )ca ~~ − memberitahu kita bahwa eksperimen dengan

model yang lebih kecil ini akan berhasil mensimulasikan aliran dengan tepat

apabila harga-harga parameter : r r r eut B P F R RS ,&,,,,,γ adalah sama seperti

pada aliran yang sebenarnya. Ini disebabkan variabel yang terdapat dalam

persamaan ( ) ( )ca ~~ − tidak berdimensi. Jadi apabila ada dua persoalan (aliran

disekitar benda dan aliran disekitar model), maka solusi dari persamaan

( ) ( )ca ~~ − untuk kedua aliran tersebut adalah sama apabila harga dari

parameter-parameter tersebut sama

2.3.1 Kasus Perfect Gas

Dalam aerodinamika biasanya kita mempelajari aliran udara. Udara dapat diasumsikan

sebagai perfect gas. Untuk perfect gas, kita dapat menggunakan parameter lain yang

lebih umum digunakan dalam aerodinamika seperti M (Mach number). Pertama-tama

kita mulai dari definisi Ru

00

2

000

0

2

00

P

u

P

u Ru

γ

ρ γ ρ =≡




Untuk perfect gas2 0 00

0

P a

γ

ρ = sehingga,

2

002

0

200 M

au Ru γ

γ == .

Sekarang kita lihat

2

0

0 0

r c

r P

U B

P C T ε ≡ =

Untuk perfect gas 10

0

0 −=

γ

γ RC p sehingga,

2

002

0

20

00

00

20 )1()1()1( M

au

RT u

c −=−=−= γ γ γ γ

ε .

Dengan demikian maka persamaan-persamaan (ã) s/d (ĉ) untuk perfect gas menjadi :

2

0 02

0 0 0 0 u⋅0

1( ) 0

1 1 1 1( )

( 1)1( ) ( ) ( 1) ( )

t

t e r

v vt e r e

uS t

uu u p G

S t M R F

M T C C u T k T P u

S t R P R

ρ ρ

ρ ρ τ ρ γ

γ γ γ ρ ρ γ τ

∂+ ∇ ⋅ =

∂

∂+ ⋅∇ = − ∇ + ∇ ⋅ +

∂

−∂+ ⋅∇ = ∇ ⋅ ∇ − − ∇ ⋅ + ⋅∇

∂

)d ~

Dari persamaan )d ~

dapat dilihat bahwa parameter-parameter “ Aerodynamics

Similarity” untuk perfect gas adalah : St, R e, Fr , Pr , Mo, γ.

Catatan: Dalam )d ~

suku T ~

υ

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂

T

p~

~didalam persamaan energi telah diubah sebagai

berikut:

T p

RT p RT p

~~

0

0 ρ ρ =⇒=

p p

p

p

RT

p

RT T

T

pT

T

pT ~~

~

~~~

~~

000

0 ≡===⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂ ρ ρ

ρ υ




2.4 Diskont inui tas dalam fluida

Pada bab I kita telah membahas bagaimana mendapatkan persamaan-persamaan

continuum apabila terdapat diskontiniutas. Persamaan-persamaan itu, untuk fluida

Newtonian adalah :

[ ] 0=w ρ ........................................................................................ (a)

0n)( =⋅+−− τ ρ I puw …………………………………………(b)

( ) 0n2

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−⋅+−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ + quu p

uew τ ρ …………………………(c)

ˆ0

q n ρws

T

⋅⎡ ⎤+ ≥⎢

⎣ ⎦⎥ ………………………………………………...(d)

dimana nv-nuw ˆˆ ⋅⋅≡

Diskontiniutas dapat digolongkan menjadi 2 jenis :

i) Tangensial Discontiunity

Untuk jenis ini tidak ada massa yang melewati permukaan diskontiniutas sehingga:

( ) ( ) nvunvu 0ˆˆ21 =⋅−=⋅− atau 0=w

Untuk kasus ini persamaan (a) lansung terpenuhi. Persamaan (b) dan (c) menjadi :

( )[ ] ( )[ ] nquτ I -pnquτ I -p

nτ I -pnτ I p

ˆˆ

ˆˆ

22221111

2211

⋅−⋅+=⋅−⋅+

⋅+=⋅+−

dan persamaan (d) menjadi :

0ˆ1

1

2

2 ≥⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − nT q

T q atau 0ˆ

2

2

1

1 ≤⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − nT q

T q

Apabila asumsi inviscid dan adiabatic dapat digunakan maka,

1 2 p p= (T.D.I)

dan dari definisi kasus ini maka :( 0≡w )

nunu ˆˆ21

⋅=⋅ (T.D.2)




Catatan:

a) Apabila kita gunakan (T.D.I) dan kembali ke persamaan (b) maka kita dapatkan :

[ ] 0=uw ρ

karena maka persamaan di atas menyatakan bahwa0≡w [ ]u ρ tidak harus sama

dengan nol. Sedangkan persamaan (d), [ ] 0= ρ w , jadi [ ] ρ tidak harus sama dengan

nol. Jadi ada 2 macam tipe tangential discontinuity:

1. Di mana 21 ρ ρ ≠ tetapi 21 uu = . Discontiniuty tipe ini dinamakan contact

discontinuity.

2. (21

) ρ ρ = tetapi21

uu ≠ . Karena nunu ˆ0ˆ21

⋅==⋅ maka discontinuity jenis

ini berarti komponen kecepatan yang sejajar dengan permukaan diskontiniutas

( II u )diskontinyu atau 21 II II uu ≠ . Discontinuity jenis ini disebut slip surface.

b) Untuk (d) ketidaksamaan menjadi persamaan [ ] 0= sw ρ , jadi untuk kedua tipe di

atas ( 1) dan 2) ), S1 tidak harus sama dengan S2.

ii) Normal Discontinuity

Untuk jenis ini ada mass flux ( )0≠w . Untuk discontinuity jenis ini persamaan-

persamaan terpenuhi apabila

( ) ( )

1 1 2 2

1 21 1 1 2 2 21 2

2 2

1 21 1 2 21 1 1 1 2 2 2 11 21 2

2 12 2 2 1 1 1

2 1

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ.2 2

ˆ ˆ

w w

w u p I n w u p I n

u uw e p u u q n w e p u u q n

q n q nw s w sT T

ρ ρ

ρ τ ρ τ

ρ τ ρ τ

ρ ρ

=

− − + ⋅ = − − + ⋅

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − + ⋅ − ⋅ = + − − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⋅ ⋅+ ≥ +

Karena adalah unit vector yang menunjukkan arah normal dari permukaan

diskontiniutas maka komponen persamaan kedua di atas yang sejajar dengan permukaan

diskontinuitas adalah,

n

1 1 //1 2 2 // 2w u w u ρ ρ =

atau




//1 // 2u u= .

Jadi untuk normal discontinuity komponen kecepatan yang sejajar dengan permukaan

(u // ) diskontiniutas harganya kontinyu. Apabila asumsi inviscid dan adiabatic dapat

digunakan maka persamaan di atas menjadi,

2211 ww ρ ρ = (ND.1)

n puw ρn puw ρ ˆˆ22221111 +=+ (ND.2)

nu pu

ew ρnu pu

ew ρ ˆ2

ˆ2

22

2

222211

2

1111 ⋅+⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⋅+⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ + (ND.3)

2 2 2 1 1 1w s w s ρ ρ ≥ (ND.4)

2.5 Effect dari Surface Tension

Apabila kita teteskan air di atas meja maka tetesan air tersebut akan membentuk

“setengah bola” seperti sketsa sebelah kiri di atas. Apabila kita mempunyai tabung

yang diisi oleh air maka permukaan air tersebut akan melengkung seperti sketsa di

sebelah kanan. Fenomena-fenomena ini disebabkan oleh apa yang disebut “surface

tension”.

Secara mikroskopik efek ini disebabkan oleh ketidakseimbangan gaya antar molekul

yang dialami oleh molekul-molekul disekitar permukaan. Misalkan dalam kasus tetesan

air (sketsa kiri). Kita ketahui bahwa “intermolecular force” dari molekul-molekul

tersebut saling tarik menarik. Molekul-molekul di sekitar permukaan mengalami gaya

tarik yang disebabkan oleh molekul-molekul air di satu sisi. Namun, di sisi lain terdapat




molekul-molekul udara yang mempunyai gaya tarik yang sangat lemah. Oleh karena itu

molekul-molekul di sekitar permukaan (titik-titik hitam dalam sketsa diatas) akan

“ditarik” oleh molekul-molekul air (lihat sketsa ditengah) dan permukaan air akan

membentuk “setengah bola”

Secara makroskopik, “tertarik”-nya molekul-molekul di sekitar permukaan ke salah satu

sisi dirasakan dengan adanya “surface tension”, yaitu gaya yang parallel dengan

permukaan. Sekarang kita lihat kesetimbangan gaya-gaya dipermukaan antara 2 fluida

yang berbeda. Permukaan antara 2 fuida yang berbeda adalah “tangential

discontinuity” dan apabila tidak terdapat “ surface tension” maka kesetimbangan gaya-

gaya di permukaan yang membatasi 2 fluida ini dijelaskan oleh persamaan yang palingatas dalam persamaan (TD) yaitu

∫∫ ⋅+−=⋅+−S S

dS n I pdsn I p ˆ)(ˆ)(2211 τ τ

atau

(1) (2)ˆ( )

S

F F n dS 0− ⋅ =∫

di mana

iii I p F τ +−≡)(

Apabila terdapat “surface tension” maka kita perlu tambahkan lagi satu gaya lagi

kedalam persamaan kesetimbangan diatas.

(1) (2) ˆˆ ˆ( )S C

F F n dS t n dl σ 0− ⋅ + × =∫ ∫ (ST.1)

Di mana τ : surface tension coefficient , : unit vektor arah normal dan : unit vektor

di arah yang sejajar dengan kurva c (sejajar dengan dl ).

n t




Sekarang kita akan ubah integral garis diatas menjadi integral area dengan

menggunakan salah satu versi dari stokes theorem yaitu

[ ]∫∫∫ ⋅∇−⋅∇=×=×S C C

dS n An Adl t Al d A ˆ)(ˆ)(ˆ

Dengan menggunakan teorema ini maka (ST.1) menjadi, )ˆ( n A σ −=

( )(1) (2)ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ( ))

S

F F n n n n n dS σ σ − ⋅ +∇ ⋅ − ∇⋅ =∫ 0

Sehingga,

nnnnn F F ˆ)ˆ(ˆ))ˆ((ˆ)()2()1(

⋅∇−⋅∇=⋅− σ σ (ST.2)

Sekarang kita akan jabarkan suku kanan dari (ST.2) lebih lanjut

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆn n n n n n n n n n nσ σ σ σ σ σ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ + ∇ ⋅ .

Karena dan n n maka suku pada ruas kiri menjadi

=

ˆ ˆ 0n n⋅∇ = ˆ ˆ 1⋅ =

( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆn n n nσ σ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇σ . Apabila kita gunakan aturan untuk “triple product”:

maka,( ) ( ) B AC C A BC B A ⋅−⋅=××

( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆn n n nσ σ σ ∇ ⋅ − ∇ = − × ∇ ×

sehingga ruas kiri menjadi

( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆn n n nσ σ ∇ ⋅ − ×∇ ×

Namun n∇ ⋅ adalah “mean curvature”

(kelengkungan rata-rata dari permukaan) atau

1 2

1 1n

R R

⎛ ⎞κ ∇ ⋅ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠≡

Dengan demikian maka kesetimbangan gaya-gaya

di permukaan (ST.2) menjadi

( ) ( )( ) ( )1 2 ˆ ˆ ˆ F F n n n nσκ σ ˆ− ⋅ = − × ∇ × (ST)

dengan ( )ii

F P I iτ = − + dan untuk kasus seperti sketsa di atas.0κ >




Suku terakhir di kanan dalam persamaan (ST) mempunyai arah yang sejajar dengan

permukaan. Untuk kasus inviscid , suku kiri dalam (ST) adalah ( )n p p ˆ12 − dan ini

adalah vektor di arah normal sama seperti nσκ . Dengan demikian dapat disimpulkan

bahwa untuk kasus inviscid ( ) ,0iτ = ( )ˆ ˆ 0n nσ × ∇ × = .

Apabila fluida 1 dan 2 dalam keadaan diam maka 0iτ = . Dengan demikian maka

persamaan (ST) menjadi:

σκ =− 12 p p (Laplace Formula)

Sekarang kita akan lihat rumus di atas secara mendalam dengan mengamati kasus-

kaasus di bawah ini:

1) Pemukaan yang datar: Untuk permuakaan yang datar sehingga

. Dengan demikian untuk permukaan datar kesetimbangan dijelaskan

oleh:

1 2, R R→ ∞ → ∞

0κ →

12 p p =

2) : positif apabila kelengkungan permukaan yang membatasi kedua fluida

adalah seperti dalam sketsa di bawah. Apabila positif

(

0κ > κ

κ

σ selalu positif) maka (tekanan lebih tinggi di

fluida dengan permukaan yang konvex)

2 1 P P >

3) Apabila tidak terdapat gaya eksternal (seperti gaya gravitasi) maka adalah

konstan. Oleh karena itu,

2& P P

1

1 2

1 1tankons

R R

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Untuk “permukaan bebas” seperti yang terdapat dalam kasus tetesan air hasil

diatas berarti berbentuk bola.

4) Apabila 1 adalah udara dan 2 adalah fluida yang berada dalam pengaruh gravitasi

maka: = konstan dan = kostan -1

P 2

P gz ρ , \dimana 2 adalah koordinat vertikal.




Untuk kasus ini kondisi equilibrium yang dijelaskan oleh persamaan Laplace

menjadi:

1 2

1 1tan

gz kons R R

ρ

σ + + =

2.6 Asumsi – asumsi yang Sering Digunakan

Telah kita saksikan bahwa persamaan–persamaan dasar fluida adalah persamaan–

persamaan yang sangat kompleks. Persamaan momentum, misalnya adalah persamaan

diferensial yang nonlinier. Oleh karena itu persamaan tersebut sangat sulit untuk

diselesaikan secara analitik. Apabila kita ingin menyelesaikan persamaan–persamaan

tersebut. Secara analitik maka kita harus menyederhanakan persamaan–persamaan

tersebut dengan mengasumsikan sesuatu. Berikut ini adalah asumsi-asumsi yang sering

digunakan.

2.6.1 Steady :

Asumsi ini menyatakan bahwa variabel–variabel aliran ( dll T peu ,,,,, ρ ) di setiap titik

dalam aliran tidak berubah dengan waktu sehingga0=

∂

∂

t . Perlu diingatkan asumsi ini

tidak menyatakan bahwa 0=dt

d .

2.6.2 Inviscid :

Asumsi ini menyatakan bahwa suku yang menjelaskan efek viskos dalam persamaan–

persamaan dapat diabaikan. Asumsi ini dapat digunakan apabila Re sangat tinggi.

Untuk kasus Re tinggi apabila kita lihat persamaan ( ) & ( ) maka suku-suku~

b~

c

τ ~

Re

1 ~

⋅∇ & u Br o ~)

~~(

Pr Re

⋅∇⋅τ

γ (Pr ~ 1)

menjadi sangat kecil & dapat diabaikan .




Selain itu apabila harga Re cukup tinggi, suku–suku dalam persamaan ( )~c , yaitu

)~~(

Pr Reqo ⋅∇

γ menjadi sangat kecil & dapat diabaikan ( karena Pr ~ 1). Karena

)( u∇= τ τ dan )( T qq ∇= maka asumsi ini tidak dapat digunakan di daerah di mana

terdapat u∇ dan T ∇ yang tinggi seperti daerah di dekat permukaan benda & dalam

shockwave.

Untuk aliran inviscid , persamaan momentum dan energi menjadi jauh lebih sederhana,

G pdt

ud

ρ ρ +−∇=

(persamaan Euler)

2

( ) ( ) (2

d ue G u Q

dt ρ ρ + = ⋅ + − ∇ ⋅ ) pu

Apabila kita bandingkan dengan persamaan umum untuk momentum persamaan Euler

adalah satu orde (di x ) lebih rendah. Oleh karena itu persamaan ini tidak memenuhi

kondisi batas (boundary condition) wall wall U t x xu == ),( . Kondisi batas kondisi batas

yang harus dipenuhi oleh persamaan Euler hanyalah sebagian dari kondisi batas yang

dipenuhi oleh persamaan Navier-stokes, yaitu

ˆ ˆ( , )wall wall u x x t n U n= ⋅ = ⋅

Sedangkan, kondisi batas lainnya yang menyatakan bahwa kecepatan aliran fluida

didekat permukaan benda yang mempunyai arah sejajar dengan permukaan benda

haruslah sama dengan kecepatan benda diarah tersebut tidak dapat dipenuhi. Dengan

kata lain, perbedaan kecepatan tangensial antara benda dan fluida didekat benda tersebut

(kondisi slip) diperbolehkan dalam aliran inviscid.

2.6.3 Adiabatik:

Asumsi ini menyatakan bahwa tidak ada panas yang masuk kedalam sistem. Dengan

demikian maka suku yang menjelaskan radiasi termal ( ρQ) dapat diabaikan dalam




persamaan energi. Selain itu asumsi ini juga berarti bahwa transfer panas dibatas-batas

fluida juga dapat diabaikan.

2.6.4 Isentropik:

Asumsi isentropic menyatakan bahwa aliran fluida adalah aliran yang inviscid &

adiabatic. Sehingga, untuk aliran isentropic persamaan (d) menjadi,

0=dt

dsT ρ atau 0=

dt

ds

Persamaan ini dapat digunakan untuk menggantikan persamaan energi dalam aliran

isentropic. Persamaan ini menyatakan bahwa entropi dari “ fluid element ” adalah

konstan sepanjang pergerakannya. Bentuk alternatif dari persamaan ini dapat dituliskan

sbb. Dari termodinamik, dpd ρ

1 Tdsh += sehingga

dt

dp

dsdt

dsT

dt

dh 1+= karena 0=

dt

ds

maka ,

dt

dp

dt

dh

ρ

1=

2.6.5 Konstan S (Homentropik):

Asumsi ini menyatakan bahwa entropi (s) adalah kontan di mana pun sehingga .

Karena

0=∇ s

dpd ρ

1 Tdsh += maka )0(;

11=∇∇=∇+∇=∇ sT p p sT h

ρ ρ .

Dengan demikian untuk aliran ini persamaaan momentum menjadi,

GhG pdt

du+−∇=+∇−=

ρ

1

Asumsi ini digunakan apabila entropi setiap fluid element mempunyai harga yang sama

pada daerah asal aliran (aliran dengan freestream yang seragam, misalnya) dan aliran

juga dapat diasumsikan sebagai aliran isentropic. Untuk aliran yang homentropik ada

sebuah teorema yang sangat berguna yaitu “Kelvin's Theorem”. Untuk mendapatkan

teorema ini kita mulai dari definisi “Circulation”( Γ ).




l d u ⋅=Γ ∫ di mana lintasan dalam integral adalah lintasan di dalam fluida. Sekarang

kita lihat turunan material dari Γ ,

∫ ∫ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+⋅=⋅= )

Γl

dt

d ul d

dt

dul d u

dt

d

dt

d (d .

Apabila kita perhatikan sketsa di sebelah dan

ingat bahwa l d berada dalam fluida maka,

ud dt

xd d

dt

l d == )()( d

dt

l d d l d

dt

d == ()()


02

)(

2

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ =⋅=⋅∫ ∫ ∫

ud ud ul d dt

d u ,

karena integral tertutup dari sebuah total differential adalah nol. Oleh karena itu maka

persamaaan untukdt

d Γ menjadi,

∫ ∫ ⋅⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

×∇=⋅=

Γ

s dsndt

ud

l d dt

du

dt

d ˆ

di mana persamaaan ini didapatkan dengan menggunakan teorema Stokes untuk aliran

yang homentropik & G adalah gaya yang konservatif ( G = - ∇ ) sehingga

)()( hhGhdt

ud −∇≡+−∇=+−∇= ψ .

Dengan demikian maka ∫ =⋅∇×∇−=Γ

0ˆ)( dsnhdt

d , karena 0=∇×∇ A untuk setiap

skalar A. Jadi kita telah dapatkan sebuah teorema

0=Γ

dt

d (Teorema Kelvin).

Sekali lagi lintasan dalam definisi Γ adalah lintasan di dalam fluida & daerah di dalam

lintasan tersebut hanya terdapat fluida (tidak ada benda lain). Apabila kita lihat definisi

dari & kita gunakan Stokes Theorem maka,Γ

( ) ∫∫ ∫ ⋅=⋅×∇=⋅≡Γ s sdsnwdsuul d u ˆˆ




Jadi pengertian dari teorema Kelvin adalah sebagai berikut. Apabila kita ikuti sebuah

kontur tertutup yang di dalamnya hanya berisi fluida & pada awalnya fluida tersebut

tidak mempunyai vortisitas, maka bagian–bagian dalam fluida tersebut tidak akan

mempunyai vortisitas seterusnya (apabila aliran fluida tersebut diasumsikan sebagai

aliran homentropik & G adalah konservatif ).

Kegunaan teorema ini adalah dalam mempelajari aliran uniform yang melewati sebuah

benda. Karena aliran jauh didepan benda tersebut adalah seragam maka aliran tersebut

tidak mempunyai ω pada awalnya. Jadi menurut teorema Kelvin pada saat bagian dari

fluida tersebut melewati benda maka ω – nya tetap nol & fluida tetap tidak mempunyai

ω . Kondisi 0=×∇= u dapat digunakan untuk mengganti persamaan momentum

untuk kasus– asus seperti ini. Teorema ini juga membawa kita kepada asumsi

selanjutnya yaitu asumsi irrotasional.

2.6.6 Ali ran Irrotasional (aliran potensial) & Rotasional :

Asumsi irrotasional menyatakan bahwa ω = 0. Dari pembahasan di 2.6.5 dapat dilihat

bahwa asumsi ini berlaku apabila aliran dapat diasumsikan sebagai aliran homentropik

dan tidak mempunyai vortisitas pada daerah asal aliran (freestream yang seragam,

misalnya). Dengan kata lain aliran irrotasional pasti aliran homentropik tetapi aliran

homentropik belum tentu aliran irrotasional. Karena aliran irrotasional pastilah aliran

yang homentropik maka asumsi irrotasional hanya dapat digunakan dalam kasus Re

yang tinggi dan setiap fluid element mempunyai harga entropi yang seragam pada

daerah asal aliran.

Persamaan momentum untuk aliran yang homentropik dapat dituliskan seperti di bawah

ini dengan menggunakan vector identity:

2

2

uu u uω ⋅∇ = × + ∇ (****)

Dengan identitas ini maka persamaaan momentum untuk aliran homentropik & G yang

konservatif menjadi,




)2

(2

Ψ++−∇=×+∂

∂ uhu

t

uω (R)

Sekarang kita akan gunakan persamaan (R) utk mendapatkan persamaan energi untuk

aliran irrotational & rotational.

a) Aliran Irrotational ( = 0)

Karena u×∇== 0 & untuk setiap skalar φ , 0)( =∇×∇ φ maka untuk aliran

irrotational u dapat dinyatakan sebagai φ ∇=u dimana φ disebut “potensial”.

Dengan definisi u ini maka persamaan (R) menjadi,

0))(2

1( 2 =Ψ+∇++

∂∂∇ φ φ

ht

sehingga,

)()(2

1 2 t f ht

=Ψ+∇++∂

∂φ

φ

Fungsi f(t) dapat kita masukkan ke dalam φ karena apabila kita redefinisikan,

maka)(''

t f += φ φ uu =∇=∇= φ φ ''

. Jadi persamaan diatas menjadi

Ψ+∇⋅∇++∂

∂φ φ

φ

2

1h

t = konstan di manapun didalam fluida

Persamaan di atas adalah persamaan energi untuk aliran irrotational atau dikenal

juga dengan “aliran potensial”.

b) Aliran Rotational )0( ≠ω

Untuk aliran yang steady maka persamaan (R) menjadi, )2

(2

Ψ++−∇=× uhuω

Sekarang kita ambil dot product persamaan di atas dengan u,

)2

()(2

Ψ++∇⋅−=×⋅ u

huuu ω

Karena u tegak lurus dengan u× maka,

)

2

(02

Ψ++∇⋅−= u

hu




Sekarang kita definisikan unit vector sebagaiu

u

∇≡

Dengan definisi ini maka,

)2

()2

(ˆ022

Ψ++∂

∂=Ψ++∇⋅=

uh

uh

Tetapi adalah unit vector yang menunjukkan arah streamline (lihat definisi ).

Maka persamaan di atas menjadi,

Η≡Ψ++2

2uh = konstan sepanjang streamline (Bernoulli Eqn)

Sekilas persamaan di atas sama dengan persamaan energi untuk aliran irrotational.

Namun, konstan di sebelah kanan dari kedua persamaan tersebut berbeda. Dalam

kasus irrotational konstan tersebut adalah konstan dimanapun!!!. Sedangkan dalam

kasus aliran rotasional konstan tersebut hanyalah konstan sepanjang streamline.

Persamaan Bernoulli di atas adalah persamaan Bernoulli yang lebih umum dari

persamaan Bernoulli untuk aliran incompressible yang kita kenal selama ini. Kita

dapat menggunakan persamaan di atas untuk mendapatkan persamaan Bernoulli

untuk kasus incompressible seperti yang dilakukan di bawah ini. Dari termodinamik,

dt

d p

dt

ds

dt

de ρ

ρ ρ

1−Τ=

Karena 0=dt

ds & persamaan kontinuitas maka

)( u pdt de ⋅∇=

ρ

Untuk kasus incompressible, 0=⋅∇ u sehingga 0=dt

de atau e adalah konstan

sepanjang streamline. Karena =+= ρ

peh (konstan sepanjang streamline)

ρ

p+ maka

persamaan Bernoulli di atas menjadi,

=Ψ++ 2

2

u p ρ konstan sepanjang streamline.




Persamaan di atas adalah persamaan Bernoulli yang kalian kenal selama ini.

2.6.7 Aliran incompressible

Dalam mekanika fluida, seringkali digunakan asumsi incompressible. Asumsi ini

menyatakan bahwa perubahan massa jenis terhadap waktu dari sebuah fluid element

adalah nol (massa jenis setiap fluid element adalah konstan selama pergerakannya).

Secara matematis, asumsi ini dapat dinyatakan seperti,

0

1=

dt

d ρ

ρ atau 0=⋅∇

u

di mana versi sebelah kanan diambil dengan memanfaatkan hukum kekekalan massa

(kontinuitas).

Sekarang yang menjadi pertanyaan adalah kapan asumsi ini dapat digunakan? Untuk itu,

kita perhatikan persamaan keadaan yaitu, ),( Τ= p ρ ρ sehingga,

dt

d

dt

dp

pdt

d Τ

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

Τ∂

∂+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=

ΡΤ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

111

dt

d

dt

dp

dt

d Τ−= β α

ρ

ρ

1

dimana dari termodinamika kita ketahui bahwa,

Τ

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂≡

p

ρ

ρ α

1 (α = isothermal compressibility)

Ρ

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

Τ∂

∂−≡

ρ

ρ β

1 ( β = coefficient of thermal expansion)

Sekarang kita nondimensionalkan persamaan diatas. Untuk itu selain nondimensional

variable , ρ ~ t ~ , p , Τ~

yang telah diperkenalkan sebelumnya, kita definisikan,0

~α

α α ≡

&0

~

β β

β ≡ .

Dengan menggunakan variabel-variabel tersebut, persamaan menjadi

t d d t d pd pt d d ~

~

~~

~

~~

~

~1 0000

ΤΤ−= β β α α ρ

ρ (a.i.1)




Dari termodinamik,

v

e eC

ν ρ

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞≡ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂Τ ∂Τ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

& de ds pdv= Τ −

sehingga

v

e e

s s ρ

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = Τ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Namun, properti dari partial derivative menyatakan,

( )1

1v

e s s

e s C ρ ρ ρ

⎛ ⎞∂Τ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂Τ ∂Τ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ρ

Τ

sehingga,

ρ

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

Τ∂

∂Τ=

sC v

Berikutnya kita perhatikan manipulasi matematis dibawah ini,

, s

s sd ds dT ds d

s ρ

ρ ρ ρ ρ

ρ Τ Τ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂Τ ∂ ∂Τ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

dT

dT dT s

d s

sd

s

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

Τ∂

∂+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

Τ∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂=

ΤΤ

ρ ρ

ρ

ρ ρ

ρ

dT s

sd

s

s s ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

Τ∂

∂⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

Τ∂

∂=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂−

ΡΤΤΤ

ρ ρ ρ

ρ

ρ 1

1−=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

Τ∂⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

Τ∂

∂⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂

Τ s

s

s ρ

ρ

ρ

.


vS T

S S C T T

T T ρ

ρ

ρ

⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂

∂

Apabila kita lakukan hal serupa untuk CP maka,

p P S T

h pC T

T T

⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

S

p

∂

∂




Sekarang kita perkenalkan V P C C ≡γ ,

2

2S T

S T

aS T

p S

T T p pa

pS T

T

ρ γ ρα

ρ ρ

ρ

⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞

− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=


2

o

ooo

a

γ α ρ =

Sedangkan dari definisi R u dan Br ,

2o oo

u

U p R

ρ = &2 Pr

o

oo

P

U T C Br

=

Akhirnya, apabila kita kembali ke (a.i.1),

21 1 Pr o o

d dp M

dt Ru dt Br dt

ρ γ α β

ρ

⎛ = −⎜

⎝ ⎠

dT B

⎞⎟

(a.i)

di mana

o

oo

U

M a≡ &

2 Pr Pr

o o

o o o

o P o o P

a

B C Br C Br

β β

γ α β

⎛ ⎞

≡ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ .

Dari (a.1) dapat dilihat bahwa asumsi incompressible terpenuhi apabila

(bilangan Mach dari aliran sangat rendah). Dari definisi bilangan Mach, maka jelaslah

bahwa asumsi ini terpenuhi apabila harga a

12 <<o M

0 sangat tinggi. Karena, s

pa ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=

ρ 0 maka

harga a0 akan tinggi apabila perubahan massa jenis yang disebabkan oleh perubahantekanan sangatlah kecil .

Untuk aliran incompressible di mana ,12 <<o M ( )T = & , apabila

perbedaan temperatur di daerah-daerah dalam fluida relatif kecil (ini biasanya terpenuhi

dalam aliran incompressible) maka,

( )T k k =

tankons= & tankonsk =




Apabila asumsi inkompresibel dapat digunakan, maka persamaan-persamaan fluida

menjadi lebih sederhana. Persamaan-persamaan (a) dan (b) untuk kasus inkompresibel

adalah:

0=⋅∇ u (I.1)

1u pu u G

t τ ρ ρ

⎛ ⎞∂+ ⋅∇ = −∇ + + ∇ ⋅⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

di mana ( ) ( )( )T I u u uτ λ µ = ∇ ⋅ + ∇ + ∇ .

Karena (I.1), maka τ menjadi,

( )( )T u uτ µ = ∇ + ∇

sehingga

2 2

0

u uτ µ µ =

⎛ ⎞⎛ ⎞∇ ⋅ = ∇ + ∇ ∇ ⋅ = ∇⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠u .

Substitusikan ke persamaan momentum maka,

uvG puut u 2. ∇++⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −∇=∇+

∂∂

ρ (I.2)

di mana ρ

≡v .

Karena ρ adalah konstan, maka untuk kasus ini yang tidak diketahui adalah u1, u2, u3

dan p. Sedangkan ρ, G, µ(ν ) diketahui. Jadi persamaan (I.1) dan (I.2) (4 persamaan)

adalah persamaan yang harus diselesaikan untuk mendapatkan u1, u2, u3 dan p. Dengan

kata lain, persamaan energi biasanya tidak dibutuhkan untuk menyelesaikan kasus

inkompresibel. Persamaan energi hanya dibutuhkan dalam kasus aliran yang

dipanaskan secara tidak uniform misalnya dan kasus-kasus konduksi lainnya.

2.7 Garis-garis aliran

Pemahaman secara fisis dari solusi persamaan-persamaan dasar bisasanya dilakukan

dengan bantuan garis-garis aliran. Selain membantu memahami fisik aliran, garis-garis

aliran juga sangat berguna dalam visualisasi eksperimen. Secara umum terdapat 3 tipe




garis-garis aliran yang biasa digunakan. Ketiga tipe ini adalah “streamline” (garis arus),

“pathline”(jejak arus) dan “streakline”. Di subbagian ini kita akan bahas ketiga garis-

garis aliran ini satu persatu.

2.7.1 Streamline

Streamline adalah garis-garis yang di mana pun sejajar dengan vektor kecepatan.

Konsep streamline sangat berguna untuk memahami fisik dari aliran steady. Konsep ini

tidak terlalu berguna dalam aliran unsteady karena vektor-vektor kecepatan berubah-

ubah setiap saat.

Dari penjelasan di atas, streamline dl didapatkan dengan mengevaluasi

0u dl × =

Apabila kita gunakan koordinat kartesian maka persamaan di atas menjadi,

2 3 3 2 0u dx u dx− = , 3 1 1 3 0u dx u dx− = , 1 2 2 1 0u dx u dx− =

atau

31 2

1 2 3

1uu u

dx dx dx ds= = ≡

di mana s adalah parameter yang diperkenalkan untuk memudahkan integrasi persamaan

di atas. Solusi dari persamaan di atas untuk streamline yang melewati titik 0 x= pada

waktu mepunyai bentuk0t =

( )0 , , x x x t s=

2.7.2 Pathline

Pathline adalah garis yang menjelaskan jejak dari sebuah partikel fluida. Karena

partikel fluida bergerak bersama fluida yang mempunyai kecepatan u, maka pathline

haruslah memenuhi

d xu

dt

=




Persamaan untuk pathline yang melintasi titik x0 pada waktu t 0 adalah solusi persamaan

di atas yang memenuhi kondisi awal ( )0t 0 x x= = . Secara umum solusi ini mempunyai

bentuk

( )0 , x x t =

2.7.3 Streakline

Streakline adalah garis yangmenjelaskan jejak dari partikel-partikel fluida yang

melewati sebuah titik x0 pada waktu t = τ (setiap partikel melewati titik ini pada waktu

yang berbeda). Dengan demikian persamaan untuk streakline didapatkan dengan

menyelesaikan persamaan

( ) 0, t

d xu x x

dt τ == = .

Streakline adalah garis yang terlihat apabila kita melakukan visualisasi aliran dengan

menggunakan asap atau “dye”

Catatan: Untuk kasus steady, streamline, pathline, dan streakline menghasilkan garis-

garis yang sama.

Contoh: Aliran 2-D (unsteady) yang mempunyai kecepatan

( )1 1

2 2

3

1 2

0

u x t

u x

u

= +

=

=

yang melewati titik (1,1)

a. Streamline

11

dxu

ds = , 2

2

dxu

ds =

substitusikan u1 dan u2 kemudian integrasikan didapatkan

1

s x e= dan 2

s x e=

sehingga persamaan untuk streamline adalah

1 2 x x=




b. pathline

11

dxu

dt

= , 22

dxu

dt

=

( )1

1 1

t t x c e += , 2 2

t x c e=

Apabila partikel fluida ini melewati (1,1) pada t = 0 maka, c1 = c2 = 1

( )1

1

t t x e += , 2

t x e=

Sehingga persamaan untuk pathline adalah 21 ln

1 2

x x x +=

c. streakline

Untuk kasus ini kondisi awalnya adalah

x1 = 1, x2 = 1, pada waktu t = τ

hasilnya adalah,

( ) ( )1 1

1

t t x e τ τ − + − += dan 2

t x e τ −= yang pada waktu t = 0 menjadi 21 ln

1 2

x x x −=

2.8 Aliran 2-D dan Fungsi Arus ( stream function)

Untuk kasus aliran 2-D, persamaan kontinuitas dapat dituliskan menjadi,

1 2

1 2

0u u

x x

ρ ρ ∂ ∂+ =

∂ ∂

Persamaan ini akan selalu terpenuhi apabila kita definisikan

1

2

u

x

ψ ρ

∂=

∂ dan 2

1

u

x

ψ ρ

∂= −

∂ (SF)

( 1 2, ) xψ disebut “fungsi arus “ atau “ stream function” dan fungsi ini sangat membantu

kita dalam menyelesaikan permasalahan aliran 2D.

Untuk kasus aliran incompressible, persamaan kontinuitas menjadi,

1 2

1 2

0u u

x x

∂ ∂+ =

∂ ∂

Untuk kasus ini fungsi arus didefinisikan sebagai,




1

2

u x

ψ ∂=

∂ dan 2

1

u x

ψ ∂= −

∂

Persamaan “momentum” (I.4) dapat kita manipulasi untuk mendapatkan persamaan

diferensial untuk ψ karena,

( ) ( ) ( ) ( )

00

u u u u uω ω ω ω ==

⎛ ⎞∇ × × = ∇ ⋅ + ⋅∇ − ⋅∇ − ∇ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ω

maka persamaan (I.4) menjadi,

( ) ( )2

u ut

ω

ω ω ν

∂

+ ⋅∇ − ⋅∇ = ∇∂ ω .

Karena uω = ∇ × maka persamaan di atas hanya terdapat satu variabel yaitu u.

Sekarang kita substitusikan (SF) untuk u di dalam persamaan di atas dan hasilnya

adalah,

( ) ( ) ( )2 2 2

1 2 2 1

0vt x x x x

4ψ ψ ψ ψ ψ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ψ ∇ − ∇ + ∇ − ∇

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = (SF 2)

Dari persamaan terakhir terlihat bahwa apabila kita mempelajari kasus aliran 2D dan

kita gunakan fungsi arus, kita tidak perlu bersusah-payah untuk menyelesaikan

persamaan kontinuitas dan cukup menyelesaikan persamaan (SF 2) untuk satu variable,

yaitu ψ . Ini tentunya disebabkan oleh definisi dari fungsi arus yang secara otomatis

telah memenuhi persamaan kontinuitas.

Sekarang kita akan melihat lebih dalam arti fisik dari fungsi arus. Pertama-tama,

streamline untuk aliran steady dapat ditemukan dengan menggunakan . Definisi

stream line adalah garis yang paralel dengan u atau 0=× ul d . Untuk aliran 2-D

persamaan 0=× ul d menjadi ( 1 1 2 2ˆ ˆd l dx e dx e= + ),

02112 =− dxudxu

Substitusikan (SF) untuk u1 dan u2 ,

022

11 =∂

∂

−∂

∂

− dx xdx x atau 022

11 =∂

∂

+∂

∂

= dx xdx xd ψ




Sehingga dapat disimpulkan bahwa ψ = konstan adalah kurva-kurva yang menjelaskan

streamline.

Sekarang kita akan hitung “mass flux” Q yang melintasi 2 streamline seperti dalam

sketsa di atas.

∫∫ ∫ =+−== B

A

B

A

d dxudxudl nuQ ψ ρ ρ ρ )()ˆ.( 2112

)( A BQ ρ −=

Jadi selisih dari harga ψ antara 2 streamline proporsional dengan “mass flux” Q yang

melewati kedua streamline tersebut.

2.9 Contoh-contoh solusi persamaan Navier Stokes untukaliran incompressible

Di dalam subbagian ini kita akan pelajari beberapa aliran viscous incompressible. Dua

kasus yang akan dibahas adalah aliran Couette dan aliran Poiseuille.

2.9.1 Ali ran Poiseuil le (aliran di dalam pipa) 2-D

Aliran ini biasanya terjadi di dalam pipa di mana terdapat gradien dari tekanan. Untuk

mempelajari aliran ini perhatikanlah sketsa di bawah ini. Karena pipa ini paralel dengan

x1 maka u2 = 0.




Selain itu karena pipa ini sangat panjang maka kecepatan aliran tidak mungkin berubah

di arah x1. Apabila variabel-variabel berubah di arah x1 maka kecepatan kecepatan ini

akan mempunyai harga tak berhingga di x1 → ∞. Dengan demikian maka dapat

disimpulkan bahwa u1 = u1 ( x2). Dari observasi ini maka persamaan kontinuitas dapat

dituliskan menjadi,

01

1 =∂

∂

x

u

sehingga u1 ≠ u1( x1). Hasil ini mengkonfirmasikan observasi di atas.

Persamaan x2 – momentum menjadi,

222

2 2

0du p dp

udt x dx

ρ µ ∂

= − + ⋅∇ ⇒ =∂

sehingga p = p( x1). Sekarang kita lihat persamaan x1 –momentum. Karena aliran ini

aliran steady maka,

2 2

1 1 11 2 2 2

1 2 1 1

u u p u uu u 1

2 x x x x x ρ µ

⎛ ⎞ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = − + +⎜ ⎟ ⎜

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟

⎠

sehingga,

2

1

2

1 2

p u

xµ

∂ ∂=

∂ ∂= konstan

Persamaan di atas = konstan karena di sebelah kiri p = p( x1) dan di sebelah kanan

u1 = u1( x2) dan tanda “=” hanya mungkin apabila suku kiri dan kanan adalah konstan.

Dengan demikian maka dapat disimpulkan bahwa,1

dp

dx= konstan dan persamaan di atas

dapat diintegrasikan 2 kali sehingga.

2

1 2 11

1

2

dp

u x C xdxµ

⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠2 2C +




di mana C 1 dan C 2 adalah konstan integrasi. C 1 dan C 2 dapat ditentukan dengan

menggunakan kondisi batas: u1( x2 = 0) = 0 dan u1( x2 = D) = 0

dan hasilnya adalah

C 2 = 0 dan C 1 =1

1

2

dp D

dxµ

⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Dengan demikian maka solusi untuk u1 adalah,

2

1 2

1

1(

2

dpu x

dxµ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠2 ) Dx− (PF)

Dari solusi ini kita dapat hitung kecepatan maksimum dan shear stress di dinding.

Kecepatan maksimum dapat ditentukan dengan mencari2

1

x

u

∂

∂= 0 (titik di mana ini

terjadi). Apabila ini dilakukan, maka akan didapat x2 =2

D sehingga,

2

1max

18

D dpu

dxµ

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Shear stress di dinding adalah

wall x

wall dx

u

=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂=

22

1µ τ

Dengan mengambil turunan parsial x2 dari (PF) dan masukkan x2 = 0 didapatkan

12wall

D dp

dxτ

⎛ ⎞

= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

2.9.2 Ali ran Couette

Aliran ini adalah aliran di antara 2 dinding seperti aliran Poiseuille tetapi dalam aliran

ini tidak terdapat gradien tekanan. Aliran ini dihasilkan dengan menggerakkan salah

satu dinding dengan kecepatan V (lihat sketsa di bawah).




Dinding atas mempunyai T = T 0 dan digerakkan dengan kecepatan U . Dinding bawah

mempunyai T = T wall dan tidak bergerak. Seperti halnya dengan aliran Poiseuille, karena

dinding ini sangat panjang di arah x1, 01

1 =∂

∂

x

u,

1

0 p

x

∂=

∂, 0

1

=∂

∂

x

T . Karena kedua dinding

ini paralel maka u2 = 0 dan u3 = 0. Dengan demikian maka persamaan kontinuitas

menjadi,

)(0 211

1

1 xuu x

u=⇒=

∂

∂

Sedangkan persamaan momentum diarah x2 dan x3 menjadi,

2

0 p

x

∂=

∂

3

0 p

x

∂=

∂

Karena1

0 p

x

∂=

∂ maka dapat disimpulkan bahwa p = konstan untuk aliran ini. Dengan

demikian persamaan x1-momentum menjadi

02

2

1

2

=∂

∂

x

uµ

Apabila kita integrasikan persamaan ini dan gunakan kondisi batas u1(x2 = 0) = 0 dan

u1( x2 = D) = 0 maka didapat

21u U

D⎛

= ⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (CT.1)

Dari hasil ini kita dapat hitungwall

wall x

u⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂

= 2

1

µ τ dan hasilnya adalah,




wall

U

Dτ µ = .

Sekarang kita beralih ke permasalahan “heat transfer“ untuk kasus ini. Untuk itu kita

gunakan persamaan (i) yang untuk kasus ini,

2

11 2 3 2

1 2 3 20 0

0

P

T T T T C u u u k

2

u

x x x x ρ τ

= =

=

⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂∂⎜ ⎟

⎝ ⎠ x

atau

0

2

2

1

2

2

2

=⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛

∂∂+

∂∂

xu

xT k

µ

Dari (CT.1), 1

2

u U

D

∂=

∂ sehingga persamaan di atas menjadi,

22

2

2

T U

k D x

µ ∂ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

∂ ⎝ ⎠

Apabila kita integrasikan persamaan ini didapatkan,

2 2

2 1 22

U T x ck D

µ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

2 x c (CT.2)

di mana adalah konstan–konstan dari integrasi.21 & cc

Sekarang kita lihat solusi ini untuk dua kasus penting yaitu,

(1) & (2)( ) ( ) wall T xT D xT ==== 022 02

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

x

T atau disebut juga adiabatic wall.

1. ( ) ( ) wall T xT D xT ==== 022

Apabila kita gunakan kondisi batas ini untuk (CT.2), solusi untuk T adalah,

2

2 2 2

2 wall

x xT U T

k D D

µ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Dengan mengingat definisik

C P p

r

µ = maka,

22

2 2

2r

wall p

U P x xT C D D

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

T + (CT.3)




Selain itu kita juga dapat hitung heat transfer di dinding,

2

21 22

T U xq k

y D D

µ ∂ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟

∂ ⎝ ⎠

.

Di dinding ( 2 0 & x D= ),

2

2 2wall wall

U U q

D

µ τ = =

2. 02

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

wall x

T (adiabatic wall condition) & awwall T T = . Dengan menggunakan

kondisi batas ini di = 0 didapat,2 x

2

2

22

aw

U T x

k D

µ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠ T

atau

22

2

2

r aw

p

PU xT T

C D⎛ ⎞

= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

(CT.4)

awT dapat dihitung dengan mengevaluasi (CT.4) di di mana0

2 = x

DT D xT == )( 2 .

2

2aw D r

p

U T T P

C = + (CT.5)

awT disebut juga “ adiabatic wall temperature “. dapat dihubungkan dengan

(total temperature) sebagai berikut.

awT

oT

Pertama – tama kita gunakan definisi dari di0T D x =2 .

2

02

D p

U T T

C = + (CT.6)

Dari persamaan (CT.5) dapat dilihat bahwa secara umum dapat dinyatakan

sebagai

awT

2

2

aw D

p

U T T r

C

= + (CT.7)




di mana r adalah “ recovery factor “. Sekarang kita eliminasi dari (CT.6) &

(CT.7) hasilnya adalah :

DT

( ) ( )2

0 12

aw p

U T T r

C − = −

Namun,2

2 p

U

C menurut (CT.6) adalah sama dengan ( ) DT T −0 jadi,

D

Daw

T T

T T r

−

−=

0

Dari hasil di atas dapat dilihat bahwa “r “ adalah ukuran dari perubahan yang

disebabkan oleh di dinding

0T

0q 02 = x .

2.10 Aliran dengan harga bilangan Reynold yang Rendah

Fluida yang bergerak dengan kecepatan yang sangat rendah mempunyai harga Re yang

sangat rendah. Untuk aliran semacam ini persamaan momentum dapat disederhanakan

seperti di bawah ini. Pertama-tama kita kalikan setiap suku dalam persamaan (b~

)

dengan Re dan hasilnya adalah

( ) G Fr

p Ru

uut

u

St

~~Re~~~~Re~~~~Re~

~~Re

0

ρ τ ρ ρ +⋅∇+∇−=∇⋅+∂

∂

Dengan definisi Re, St , Ru, dan Fr persamaan di atas menjadi,

( ) G

U

L g p

U

L puu

t

u

t

L ~~~~~~~~~~Re~

~~

00

2

000

00

00

00

2

00 ρ

µ

ρ τ

µ

ρ ρ

µ

ρ +⋅∇+∇−=∇⋅+

∂

∂

Apabila kita ambil lim Re→0 maka suku kedua dari persamaan di atas hilang. Dengan

demikian maka persamaan momentum dalam bentuk dimensional menjadi,

G pt

u ρ τ ρ +⋅∇+−∇=

∂

∂

Untuk aliran yang sangat lambat, perubahan ρ yang disebabkan oleh perubahan p sangat

kecil sehingga aliran dapat diasumsikan sebagai aliran incompressible. Untuk aliran ini,




u2∇=⋅∇ µ τ (lihat subbagian aliran incompressible) sehingga persamaan kontinuitas

dan momentum menjadi,

Gu pt

u

u

+∇+∇−=∂

∂

=⋅∇

21

0

υ ρ

(LRE 1)

Apabila −∇=G (G konservatif) dan kita ambil ( )momentum×∇×∇ maka hasilnya

adalah ( untuk setiap skalar A),0=∇×∇ A

( ) ( )( )uut ×∇×∇∇=×∇×∇

∂

∂ 2

ν

dari vektor analisis diketahui bahwa

( ) ( )( )uuu 2∇−⋅∇∇=×∇×∇

Apabila kita gunakan hubungan terakhir dan gunakan persamaan kontinuitas, persamaan

diatas menjadi,

ut

u 42 ∇=

∂

∂∇ ν (LRE)

Persamaan (LRE) adalah persamaan diferensial untuk kasus ini. Persamaan ini

diselesaikan dengan boundary condition,

( ) wall wall U t x xu == ,

Untuk kasus steady dan 0G = , persamaan (LRE) menjadi lebih sederhana. Selain itu

kita juga bisa dapatkan persamaan differensial untuk p dengan mengambil,( )momentum⋅∇

4 0u∇ = dan 02 =∇ p (LRE steady)

Persamaan (LRE) dan (LRE steady) adalah persamaan-persamaan yang relatif cukup

sederhana dan dapat diselesaikan secara analitik.




2.10.1 Drag dari bola yang bergerak dengan Kecepatan U

Salah satu solusi dari persamaan (LRE steady) adalah aliran di sekitar bola (sphere)

yang bergerak dengan kecepatan U =konstan. Apabila persoalan ini dilihat oleh

pengamat yang bergerak dengan kecepatan U maka aliran menjadi aliran steady.

Persoalan ini diselesaikan oleh G.G. Stokes pada tahun 1851. Solusi didapatkan dengan

(dengan menggunakan “Spherical Coordinate System”) melihat persoalan steady (aliran

di sekitar bola yang diam) dan hasilnya adalah,

( ) ( )r r r r eU ueU r

R

r

RU u

⋅+≡⋅+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=′

3

3

22

31cosθ

( ) ( )3

3

3sin 14 4 R Ru U U e u U er r θ θ θ θ θ ⎡ ⎤′ = − − + + ⋅ ≡ + ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦

Rr

nU p p

202

3

⋅−= ν

Apabila dan di atas dikurangir u′θ u′ r eU

⋅ dan θ eU

⋅ kita kembali ke persoalan semula.

Solusi ini dapat dicek dengan melihat apakah solusi ini memenuhi (LRE steady) dan

kondisi batasnya adalah: ( ) p p( ) 0== Rr u , ( ) 0=∞u , =∞ 0

Dari solusi ini kita dapat menghitung drag dari benda ini. Ini didapatkan dengan

mengambil integral : n

⋅σ di permukaan sphere, τ σ +−=⋅ I pn

.

( )

∫ ∫ −+−=⋅−=

sphere r rr

dS pdsn D θ τ θ τ θ σ θ

sincoscos




dimana

r

r rr U

∂∂= µ τ 2 dan ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −

∂∂+

∂∂= r

U U U r r

r r

θ θ

θ

θ µ τ 1

di permukaan sphere,

0=rr τ dan3

sin2

r U Rθ

µ τ θ = −

sehingga hasil integral di atas adalah,

RU D π 6= (Stoke’s Formula)

Untuk melihat limitasi dari formula di atas kita kembali ke sistem koordinat yang

bergerak bersama sphere. Dalam sistem koordinat ini, θ θ eueuU r r u

++= . Di daerah

yang agak jauh dari sphere, U u ≈ sedangkan ( )2

r eueuu r r ≈+∇=∇ θ θ

UR . Dengan

demikian maka2r

RU uu ≈∇⋅

2

dan3

2

r

URu ν ν ≈∇ . Asumsi di atas menyatakan bahwa

uuu ∇⋅>>∇ 2ν atau

23 r

RU

r

UR>>

2

ν sehinggaU

r ν

<< .

Jadi untukU

r ν ≈ atauU

r ν > hasil di atas tidak lagi valid . Untuk mendapatkan u di

daerah yang jauh dari sphere kita perlu memasukkan kembali suku u . Karena di

daerah ini maka suku ini dapat diaproksimasikan sebagai

u⋅∇

≈ U u U u⋅∇ . Dengan

demikian maka persamaan momentum menjadi

u puU 21∇+∇−=∇⋅ ν

ρ




Persamaan momentum di atas disebut juga Oseen Improvement . Dengan persamaan ini,

apabila kita selesaikan dan hitung drag dari sphere maka didapatkan,

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

ν

ν πµ

8

316

RUR D

Jadi dengan aproksimasi ini suku tambahan dalam formula untuk drag sebesar ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

ν 8

3UR

2.11 Strategi penyelesaian aliran Re tinggi di sekitar benda

Dalam aerodinamika kita biasanya dihadapi oleh permasalahan seperti yang

digambarkan di atas. Sebuah benda rigid diletakkan di dalam aliran. Aliran jauh di

depan benda tersebut adalah aliran yang uniform atau seragam. Sekarang kita akan

mencoba menggunakan asumsi-asumsi yang telah dibahas sebelum ini untuk

menyederhanakan persamaan (a), (b), dan (c). Dalam subbagian ini hanya akan

dijelaskan strategi untuk menyelesaikan persoalan seperti yang digambarkan di atas.

Pertama-tama karena Re sangat tinggi kita dapat gunakan asumsi inviscid di luar lapisan

batas. Apabila kita juga bisa menggunakan asumsi adiabatik, maka di luar lapisan batas

kita dapat menggunakan asumsi isentropic. Karena keadaan awal freestream seragam

(uniform) maka di luar lapisan batas alirannya adalah aliran homentropic.




Karena aliran di luar lapisan batas adalah aliran homentropik maka kita bisa gunakan

teorema Kelvin yang menyatakan bahwa 0=Γ

dt

d . Karena dsnw

∧

∫=Γ . untuk reducible

circuit c yang bergerak bersama fluida maka apabila kita mempunyai freestream yang

seragam/ uniform ( 0= ) ; seperti dalam kasus di atas, aliran di luar lapisan batas juga

mempunyai ( 0= ) . Dengan kata lain kita bisa gunakan asumsi irrotational untuk

aliran di luar lapisan batas.

Sekarang permasalahan yang digambarkan di atas menjadi permasalahan aliran

potensial di sekitar benda &lapisan batas. Jadi sekarang untuk sementara kita bisa

lupakan lapisan batas & menyelesaikan masalah aliran potensial di sekitar benda yang

permukaannya lapisan batas dari benda tersebut (lihat gambar).

Distribusi tekanan di “benda baru“ ini sama dengan distribusi tekanan untuk benda yang

asli. Ini disebabkan karena hasil dari teori lapisan batas yang menyatakan bahwa

0dp

dy = . Namun, hasil yang didapatkan/ solusi dari permasalahan aliran potensial di

sekitar “benda baru“ masih bermasalah seperti yang dapat kita lihat di bawah ini.

Apabila kita hitung dengan menggunakan circuit yang reducible yang menutupi

benda tersebut maka

Γ

∫∫ ===Γ ∧

0.. dsn xd uc

ω . Dengan kata lain benda tersebut tidak

mempunyai lift karena menurut teorema Kutta-Jukowski 0u ρ ∞= Γ = (kita akan

pelajari teorema ini di BAB 5). Jadi ada sesuatu yang tidak benar dengan strategi kita

dalam menyelesaikan masalah ini.




Kesalahan ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Tadi kita gunakan teorema Kelvin

untuk mengambil kesimpulan bahwa streamline yang awalnya tidak mempunyai

vortisitas akan seterusnya tidak mempunyai vortisitas (karena Γ konstan sepanjang

streamline). Namun, kita sebenarnya tidak dapat mengambil kesimpulan seperti di atas

untuk streamline yang menempel pada benda baru tadi. Karena kita tidak dapat

menggambarkan sebuah reducible circuit yang hanya menutupi fluida untuk streamline

yang menempel di “benda baru“ ( lihat gambar ).

Oleh karena itu, untuk streamline ini kita mengetahui apakah streamline tersebutrotasional & inilah yang sebenarnya terjadi. Lebih tepatnya terjadi “ flow separation” di

mana streamline tersebut “terlepas” dari permukaan “benda baru” (lihat gambar). Jadi di

daerah bagian belakang (wake) “benda baru” ada daerah di mana alirannya aliran

rotasional.

Sekarang apabila kita hitung untuk circuit c seperti gambar di atas, maka untuk yang

wake sangat tipis

Γ

12212121

.. φ φ φ φ −==∇=≈Γ ∫∫∫ −−− cccd xd xd u

Wake sangat tipis apabila benda tersebut benda slender (benda langsing) seperti airfoil.

Jadi tidak sama dengan nol atau “benda baru” kita mempunyai liftΓ . “Flow

separation” itu sebenarnya terjadi di dalam lapisan batas & disebabkan karena

0

baru benda permukaandi

>⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

dx

dp. Posisi dari flow separation dapat ditentukan apabila kita

mengetahui property dari lapisan batas.




Catatan: Di BAB 5 kita akan pelajari bahwa untuk benda 2 dimensi, untuk

mendapatkan solusi yang unik dari permasalahan aliran potensial di sekitar

benda kita harus memasukkan pembatas (“barrier ”) tipis seperti wake tadi.

Setelah ditambahkan “barrier” maka untuk mendapatkan solusi yang unik, kita

harus memberikan harga Γ . Dalam thin airfoil theory harga Γ diberikan di

“trailing edge” sesuai dengan apa yang disebut dengan kondisi Kutta.

Dalam praktik kita awalnya tidak mengetahui bentuk boundary layer & titik-titik di

mana ada flow separation. Namun, untuk mendapatkan solusi di lapisan batas kita

harus mengetahui distribusi tekanan di luar lapisan batas yang merupakan hasil dari

potential flow. Jadi permasalahan ini harus diselesaikan secara iteratif seperti berikut :

1. selesaikan masalah aliran potensial di sekitar benda

2. hasil dari 1 digunakan untuk menyelesaikan masalah lapisan batas sehingga

kita dapatkan bentuk “benda baru”

3. selesaikan masalah aliran potensial di sekitar benda baru

4. kembali ke 2 dan lanjutkan iterasi

Untuk benda yang tidak slender atau ‘bluff body’, flow separation terjadi lebih awal dari

pada yang terjadi pada slender body (lihat gambar). Sehingga “wake” benda tersebut

cukup tebal.

Untuk mengetahui atau mempelajari aliran sekitar ‘bluff body’ maka kita perlu

menghitung aliran dalam wake tersebut dengan menggunakan persamaan Navier-

Stokes.

Catatan: Karena wake dari ‘bluff body’ relative tebal maka drag benda tersebut lebih

disebabkan perbedaan tekanan antara bagian muka dan belakang. Drag yang




disebabkan oleh efek viscous tidak terlalu penting untuk benda seperti ini. Hal

sebaliknya terjadi untuk benda slender . Untuk benda ini mempunyai wake

yang tipis sehingga drag yang disebabkan oleh tekanan sangat kecil dan

kontribusi terbesar untuk drag didapatkan dari friction.

.



Vortisitas 120

BAB

3Vortisitas

3.1 Pendahuluan

Kita telah lihat disubbagian sebelum ini bahwa ada bagian-bagian dalam aliran dimana

0≠×∇ u atau bagian-bagian ini mempunyai vortisitas (vorticity). Bagian-bagian ini

sangat penting karena, seperti akan kita lihat nanti, vortisitas akan terbentuk pada setiap

aliran disekitar benda. Vortisitas juga menentukan besar gaya-gaya yang beraksi

apabila fluida mengalir disekitar benda. Oleh karena itu di bab ini kita akan

mempelajari vortisitas lebih mendalam.

3.2 Kinematika Vortisi tas

Seperti telah kita lihat sebelumnya vortisitas ( ) didefinisikan sebagai curl dari

kecepatan atau, u×∇≡ . Karena definisi ini, vortisitas mempunyai sifat-sifat

tertentu. Untuk setiap vektor, A, yang kontinu, ( ) 0=×∇⋅∇ A . Karena definisi dari

di atas maka,

( )0=×∇⋅∇=⋅∇ u atau 0=⋅∇



Vortisitas 121

Hasil ini menunjukkan tidak mungkin terdapat “ source/ sink ” dari vortisitas di dalam

fluida itu sendiri (persamaan diatas serupa dengan persamaan kontinuitas untuk aliran

inkompresibel).

Sekarang kita akan gunakan hasil di atas untuk mempelajari sifat-sifat dasar dari

vorticity. Untuk itu pertama-tama kita perkenalkan apa yang disebut dengan “vortex

line”. Vortex line adalah garis yang sejajar dengan arah dari ω . Kumpulan dari

beberapa vortex line membentuk “vortex tube”. (lihat gambar di bawah).

Sekarang kita akan ambil integral volume ω ⋅∇ , dimana volume V merupakan volume

dari vortex tube dalam gambar di atas.

dV V ∫ ⋅∇= ω 0 = dS n

S

ˆ⋅∫ω

atau

∫∫ ⋅+⋅=21

ˆˆ0 21

A

dS ndS n A

ω ω

sehingga,

∫ ∫ ⋅−=⋅2 1

ˆˆ12

A A

dS ndS n ω ω .

Namun,

∫ ∫ Γ≡⋅=⋅S

l d udS nω

sehingga,

∫ ⋅−=Γ1

ˆ11

A

dS nω dan ∫ ⋅=Γ2

ˆ22

A

dS nω



Vortisitas 122

Dengan demikian maka hasil di atas menyatakan bahwa,

21 Γ=Γ

atau sirkulasi (circulation) dari sebuah vortex tube adalah konstan sepanjang vortex tube

tersebut. Karena menjelaskan kekuatan dari vortex maka hasil ini berarti :Γ

1. Kekuatan dari sebuah vortex tube (vortex line) adalah konstan disetiap “cross-

section” –nya sepanjang vortex tube (line) tersebut.

2. Vortex tube (vortex line) tidak dapat berakhir di fluida (apabila berakhir difluida

maka dan ini bertentangan dengan hasil di atas). Vortex tube (vortex line)

harus membentuk kurva tertutup (closed loop) atau berakhir di ∞ .

0=Γ

Kedua hasil di atas disebut juga Helmholtz vortex theorem ke I dan II. Kedua teorema

ini berlaku umum (tidak ada asumsi aliran inviscid , isentropik dll dalam mendapatkan

hasil-hasil di atas).

3.3 Dinamika Vortisi tas

Setelah melihat kinematika dari vorticity, sekarang kita akan mulai mempelajari

dinamika dari vortisitas. Untuk itu kita membutuhkan persamaan diferensial yang

menjelaskan gerak dari vortisitas. Kita mulai dari persamaan momemtum,

( σ ρ

ω ⋅∇+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ψ+−∇=×+

∂

∂ 1

2

2uu

t

u ) (V.1)

di mana telah diasumsikan conservative body force Ψ−∇=G dan telah digunakan

“vector identity”2

2uuuu ∇+×=∇⋅ ω .

Sekarang kita ambil curl dari persamaan di atas ( )( )1.V ×∇ ,

( ) ( ) ( )σ ρ

σ ρ ρ

ω ⋅∇×∇+⋅∇×∇−=××∇+∂

∂ 112

ut

.

Dari analisis vektor,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ω ω ⋅∇−∇⋅−∇⋅+⋅∇=××∇ uuuuu .



Vortisitas 123

Jadi persamaan untuk di atas menjadi,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )σ

ρ σ ρ

ρ ω ω ω

ω

⋅∇×∇+⋅∇×∇−=⋅∇+∇⋅−∇⋅+∂

∂ 11

2uuu

t

dt

d

Persamaan di atas dapat disederhanakan dengan menggunakan persamaan kontinuitas

(persamaan (a)) karena,

( )udt

d

dt

d

dt

d

dt

d ⋅∇+=−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρ

ω ω

ρ

ρ

ρ

ω ω

ρ ρ

ω 112

Dengan demikian persamaan untuk menjadi,

( ) ( ) ( σ ρ ρ

σ ρ

ω ρ

ω ρ ⋅∇×∇−⋅∇×∇+∇⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 2

11u

dt

d ) (V)

Persamaan (V) menyatakan bahwa perubahan waktu dari vortisitas sebuah fluid

element (perubahan ini dilihat oleh pengamat yang bergerak bersama fluid element

tersebut) disebabkan oleh ketiga suku di sebelah kanan tanda “ = “. Sekarang kita lihat

arti fisik dari suku–suku tesebut .

a) ⋅ u∇

ω ω ω e= di mana ω e

adalah unit vector di arah

Dengan demikian maka, ( )ueu ∇⋅=∇⋅ ω ω ω ˆ . Namun, kita ketahui bahwa ( ue ∇⋅ω

)

adalah perubahan u diarah ω e

. Telah kita lihat sebelumnya bahwa u∇

menjelaskan deformasi dan rotasi dari sebuah material element ( fluid element ).

Apabila kita lihat sebuah “vortex line“ maka deformasi yang akan dialaminya adalah

perubahan panjang ( stretching) sedangkan rotasinya berupa “tilting “. Jadi u∇⋅

menjelaskan bagaimana “ vortex line “ dalam aliran tersebut mengalami “ stretching “

dan “tilting “. Oleh karena itu suku u∇⋅ disebut juga “vortex stretching term“

b) ( )σ ρ ρ

⋅∇×∇2

1

Suku ini tidak sama dengan nol apabila terdapat gradient ρ dan gradient ini tidak

sejajar dengan ( σ ⋅∇ ). Kita ketahui bahwa σ ⋅∇ adalah gaya/ unit volume yang



Vortisitas 124

beraksi pada permukaan fluid element . Adanya ρ ∇ berarti distribusi massa dalam

fluid element tidak seragam. Ini berarti “ center of mass “ tidak berada pada titik

yang sama dengan “ geometric center “ dari fluid element tersebut. Apabila ρ ∇

tidak sejajar dengan σ ⋅∇ maka akan terjadi rotasi dari fluid element tersebut,

sehingga fluid element tersebut mempunyai vortisitas. Untuk lebih memperjelas,

perhatikan dua sketsa di bawah ini).

Sketsa pertama memperlihatkan kasus dimana ρ ∇ sejajar dengan . Dari gambar

tersebut jelaslah bahwa kasus ini tidak akan menghasilkan rotasi dari fluid element

dan fluid element hanya terdorong ke bawah.

p∇

Sketsa berikutnya memperlihatkan kasus dimana ρ ∇ tidak sejajar dengan .

Dari sketsa tersebut jelaslah bahwa kasus ini akan menghasilkan rotasi dari fluid

element .

p∇

c) ( )σ ρ

⋅∇×∇1

Karena τ σ ⋅∇+−= I p dan 0=∇×∇ p maka kontribusi yang sesungguhnya dari

suku ini adalah ( τ ρ

⋅∇×∇1 ) . Suku ini tidak sama dengan nol apabila terdapat

gradien di arah yang tidak sejajar dengan arah dari ( τ ⋅∇ ). Jadi suku ini

menjelaskan torque dari fluid element yang diakibatkan oleh stress yang mempunyai



Vortisitas 125

“ spatial variation“ di arah tertentu. Apabila kita perhatikan segumpal fluida ,

tentunya kontribusi dari torque di dalam segumpalan itu adalah nol. Rotasi

gumpalan ini hanya disebabkan oleh torque σ ⋅∇×∇ di permukaan gumpalan

tersebut .

Dari diskusi di atas dapat disimpulkan bahwa perubahan waktu dari vortisitas yang juga

menjelaskan perubahan waktu dari rotasi sebuah fluid element disebabkan oleh tiga hal

yaitu: stretching dan tilting dari vortex line; adanya ρ ∇ yang tidak sejajar dengan

σ ⋅∇ ; dan adanya distribusi stress yang mempunyai variasi spatial tertentu. Karena

“stretching“adalah deformasi dan rotasi dari vortex line, maka suku ini bukanlah suku

yang menghasilkan vortisitas. Suku ini hanya memodifikasi distribusi vortisitas yang

sudah ada. Namun σ ρ ⋅∇×∇ dan σ ⋅∇×∇ adalah suku yang menyebabkan

timbulnyanya vortisitas. Torque yang dirasakan oleh fluid element karena adanya ρ ∇

yang tidak sejajar dengan σ ⋅∇ disebut “ Baroclinic torque“ Apabila ρ ∇ sejajar

dengan σ ⋅∇ maka fluida tersebut dikatakan sebagai “ Barotropic fluid “.

3.3.1 Hubungan antara dan s∇

Di dalam subbagian ini kita akan dapatkan hubungan antara vortisitas dan gradien dari

entropi. Pertama–tama kita asumsikan aliran inviscid . Dengan asumsi ini persamaan

momentum menjadi,

ψ ρ ρ ∇−−∇= pdt

ud di mana −∇=G

apabila kita gunakan ( **** ) maka persamaan ini menjadi ,

2

1 2u pu

t

u∇−∇−∇−=×+

∂

∂ψ

ρ ω

Dari termodinamik, dpTdsdh ρ

1+= sehingga,

H sT

u

h sT udt

u

∇−∇=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

++∇−∇=×+

∂

ψ ω 2

2



Vortisitas 126

di mana ψ ++=2

2uh H . Banyak kasus di mana H = konstan , termasuk dalam kasus

di mana terdapat shock wave. Untuk kasus di mana H = konstan atau dikenal dengan

sebutan kasus homenergetic,

sT udt

u∇=×+

∂ω

Apabila aliran adalah aliran steady maka,

sT u ∇=× (Teorema Crocco)

Hasil ini menyatakan bahwa apabila dalam aliran terdapat gradien entropi ( ) maka

aliran tersebut adalah aliran rotational (

s∇

0≠ ). Namun dalam aliran rotasional tidak

harus terdapat . Contohnya adalah kasus di mana s∇ 0=× u sehingga . 0=∇ s

3.3.2 Persamaan Vortis itas Untuk Ali ran Homentropik

Untuk aliran homentropik persamaan momentum adalah,

)( ψ +−∇=+−∇= hGhdt

ud di mana −∇=G .

Apabila kita ambil curl dari persamaan momentum ini maka didapatkan ,

0)( =××∇+∂

∂u

t ω

ω

atau

( ) ( ) 0=⋅∇+∇⋅− uudt

d ω ω

ω

di mana telah digunakan hasil–hasil dari vector analysis yang juga digunakan dalam

menurunkan persamaan umum untuk . Dengan menggunakan persamaan kontinuitas

persamaan di atas menjadi,

udt

d )()( ∇⋅=

ρ ρ (V.2)

Persamaan ini tentunya dapat pula didapatkan dari persamaan (V) dengan menggunakan

I p−=σ untuk kasus homentropik dan ( ) ( ) ρ ρ pS p p == , karena .konstan= s



Vortisitas 127

Apabila harga awal dari dan ρ diketahui maka persamaan (V.2) dapat diselesaikan.

Pertama–tama kita tuliskan

j j

ii C x

ξ ρ

ω

∂

∂= atau F C ⋅=

ρ ,

ξ ∂

∂=

x F

di mana C adalah sebuah vektor dan F adalah deformation gradient tensor . Sekarang

kita subtitusikan ρ

ini ke (V.2)

jij jkjk

i jij j

ij jij

i C F C F x

uC F C

dt

dF C F

dt

d

dt

d +∂

∂=+== )()(

ρ

ω

di mana telah digunakan F udt

F d ∇= (lihat subbagian deformasi dan rotasi benda

kontinum).

Namun, (V2) menyatakan bahwa:

k

i jkj

k

ik i

x

uC F

x

u

dt

d

∂

∂=

∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρ

ω

ρ

ω

Dengan demikian maka :

k

i jkj jij

k

i jkj

x

uC F C F

x

uC F

∂

∂=+

∂

∂ atau 0=

dt

dC F

j

ij

Karena 0≠ F maka

0== C dt

C d atau konstan=C

Berikutnya, misalkano

atauo

ρ adalah harga awal dari atau ρ untuk sebuah fluid

element . Karena ( ) I F t F ===0

0 maka,

C F C o

o

o =⋅= ρ

Dengan demikian maka, F F C o

⋅=⋅= ρ ρ

sehingga solusi dari (V.2) adalah

F o

o ⋅=

ρ

ω

ρ

ω (V.3)



Vortisitas 128

Dari solusi ini kita dapatkan Helmholtz theorem yang ke-3 :

” Untuk aliran homentropik, vortex line adalah material line atau vortex

bergerak bersama fluida.”

Bukti: misalkan pada awalnya sebuah material line d ξ sejajar dengan vortex line (ω 0)

atau d ξ = ω 0 .d σ di mana d σ adalah sebuah skalar dengan dimensi [ ] L [ (contoh : m.s

atau ft.s) karena vortex line ini bergerak maka panjangnya berubah menjadi

]S

σ ρ

ρ ω σ ω ξ d d F d F xd ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =⋅=⋅= 0

0

Dengan demikian maka vortex line pada waktu t (sejajar dengan ) tetap sejajar

dengan material line ( ) xd

(V.3) juga menyatakan apabila pada awalnya sebuah fluid element tidak mempunyai

( 00 = )maka fluid element tersebut seterusnya tidak akan mempunyai . Jadi (V.3)

adalah sama dengan Teorema Kelvin.

3.3.3 Persamaan vortisitas untuk aliran incompressible

Untuk aliran incompressible, ρ dapat dianggap konstan sehingga 0=∇ ρ . Dengan

demikian maka persamaan (V) menjadi :

( ) ( )τ ρ

ω ⋅∇×∇+∇⋅=1

udt

d

Karena untuk kasus ini u2∇=⋅∇ µ τ maka persamaan menjadi,

( ) ω υ ω 2∇+∇⋅= udt

d (V.4)

Dalam kasus aliran 2-D, ( ) 0=∇⋅ u karena tegak lurus dengan u∇ dalam kasus ini.

Dengan demikian maka untuk kasus ini (V.4) menjadi

ω υ 2∇=

dt

d

Karena untuk kasus 2D, ω hanya mempunyai satu arah,



Vortisitas 129

ω υ 2∇=dt

d

Persamaan terakhir adalah persamaan difusi (bandingkan dengan persamaan untuk

difusi massa dan konduksi panas). Jadi suku ω υ 2∇ menjelaskan proses difusi dari

vortisitas yang dilakukan oleh viscosity.

Dengan pengertian fisis dari suku ω υ 2∇ ini kita kembali ke (V.4). Persamaan ini

menjelaskan bahwa dalam aliran incompressible perubahan waktu dari vortisitas sebuah

fluid element disebabkan oleh “ stretching dan tilting ” serta proses difusi. Kedua proses

ini bukanlah proses yang “membangkitkan” vortisitas melainkan hanya mengubah

distribusi dari vortisitas.

3.4 Sumber dari vortisi tas

3.4.1 Pendahuluan

Setelah mendapatkan persamaan yang menjelaskan perubahan waktu dari vortisitas, kitaakan pelajari bagaimana vortisitas itu sendiri dibangkitkan. Untuk itu kita lihat kasus

aliran di sekitar benda di mana aliran “ freestream-nya” seragam, maka setiap fluid

element di dalam aliran ini pada awalnya tidak mempunyai vortisitas. Untuk aliran

homentropik, ini berarti fluid element – fluid element ini seterusnya tidak akan

mempunyai vortisitas selama pergerakannya (ini menurut (V3)). Namun, tentunya

aliran yang “sebenarnya” tidak dapat diasumsikan sebagai aliran homentropik diseluruh

domain fluida dan fluid element yang pada awalnya irotasional dapat menjadi rotasional

( )0≠ω .



Vortisitas 130

3.4.2 Sumber vortisitas didalam aliran

Untuk kasus aliran freestream yang supersonic, fluid element menjadi rotasional ketika

melintasi shock wave apabila shock yang terbentuk adalah “bow shock wave” atau shock

wave yang melengkung. Untuk kasus ini aliran di luar lapisan batas dan shock wave

dapat diasumsikan sebagai aliran inviscid . Oleh karenanya teorema Crocco berlaku

sehingga ,

sT u ∇=×

Akan kita lihat di bab tentang shock wave bahwa untuk shock wave yang “lurus”

(entropi di belakang shock ) adalah konstan. Namun, untuk shock yang melengkung,

adalah fungsi β di mana β adalah sudut antara shock dan free stream (lihat gambar

di atas). Dengan demikian maka untuk kasus bow shock wave terdapat sehingga

( )2 s

( )2 s

s∇

0≠× u . Karena aliran di depan shock adalah aliran irotasional 0=ω , maka jelaslah

bahwa fluid element menjadi rotational ketika melewati shock tersebut.

Pembentukan vortisitas dalam kasus ini

disebabkan oleh baroclinic torque yang terjadi di

dalam shock wave. Akan kita lihat di bab shock

wave bahwa untuk kasus ini tekanan “lebih peka”

terhadap β dibandingkan dengan ρ. Oleh karena

itu garis-garis yang menjelaskan konstan p akan

melintasi garis-garis konstan ρ di dalam shock wave (lihat gambar di atas!). Dengan

demikian maka ρ ∇ tidak sejajar dengan p∇ sehingga 0≠∇×∇ ρ p dan fluid element

mendapatkan baroclinic torque sehingga menjadi rotasional.

Untuk kasus aliran freestream yang mempunyai 1<< dan ρ = konstan kita telah

saksikan bahwa vortisitas sebuah fluid element berubah hanya disebabkan oleh

“ stretching ” dan difusi (persamaan (V.4)). Apabila sebuah fluid element yang pada

awalnya tidak mempunyai vortisitas, tentunya pada elemen tersebut tidak akan terjadi

“vortex stretching ”. Jadi dalam kasus aliran di mana ρ = konstan satu-satunya proses



Vortisitas 131

yang merubah vortisitas sebuah fluid element adalah proses difusi. Proses difusi ini

adalah proses “penyebaran” vortisitas dari daerah di mana tinggi ke daerah di mana

rendah. Jadi dalam kasus ini itu sendiri tidak terbentuk di tengah-tengah aliran,

seperti dalam kasus “ bow shock wave”. Tetapi terbentuk di daerah lain kemudian

didifusikan oleh viskositas ke tengah-tengah aliran. Untuk kasus ini, satu-satunya

kemungkinan adalah terbentuk di permukaan benda. Jadi “ source of vorticity” dalam

kasus ini adalah permukaan benda.

Pada umumnya permukaan benda adalah source of vorticity, baik dalam aliran 1<< ,

1< maupun 1> . Selain permukaan benda, ”permukaan bebas” atau

“ freesurface” juga merupakan source of vorticity. Contoh dari permukaan bebas adalah

permukaan air di sebuah kolam atau permukaan pembatas dua fluida yang berbeda.

3.4.3 Sumber vortisi tas di permukaan benda

Dalam pembahasan di subbagian sebelumnya telah kita lihat bahwa permukaan bendaadalah salah satu “ source of vorticity” atau sumber dari vortisitas. Dalam kasus aliran

di mana ρ =konstan, permukaan benda adalah satu-satunya source of vorticity. Oleh

karena itu vortisitas dibangkitkan di atas permukaan benda. Untuk mempermudah

diskusi kita akan pelajari kasus di mana konstan= ρ dan permukaan benda adalah

permukaan yang datar.

Persamaan vortisitas untuk kasus ini adalah permukaan (V.4) yaitu,

ω ν ω 2).( ∇+∇= u

dt

d

Apabila kita evaluasi persamaan ini di permukaan benda maka,

( )[ ] ( ) ( )[ ] 0000

0

)( ω ν ω ω ν ω ω

∇−⋅∇−∇⋅=∇⋅∇+∇⋅=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ uu

dt

d

( )[ ]00

0

J uwdt

dw⋅∇−∇⋅=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ (V.6)



Vortisitas 132

di mana telah didefinisikan000

.)( J w J ∇−≡ ν disebut juga vorticity flux di permukaan.

Selain itu subscript “0” dalam suku-suku di persamaan di atas menandakan harga dari

suku tersebut di permukaan benda.

Sekarang kita akan lihat harga dari suku-suku sebelah kanan (V.6). Permukaan adalah

permukaan datar yang bergerak dengan kecepatan )(0 t U . Karena kondisi batas untuk

kasus ini adalah )(),0( 01 t U t xu == maka,

0201

0 ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

x

u

x

u

(permukaan benda berada di bidang 21 x x − . Karena setiap titik dalam bidang ini

bergerak dengan kecepatan yang sama maka tidak ada gradien kecepatan di arah x1 dan

x2).

Persamaan kontinuitas untuk aliran konstan= ρ adalah 0=∇u . Apabila kita evaluasi

persamaan ini di permukaan maka didapatkan,

0

02

2

1

1

03

3 =⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

x

u

x

u

x

u

Jadi ( )0

u∇ adalah,

0)( u∇ =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂∂

∂

000

00

00

3

2

3

1

x

u

x

u

Sedangkan

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

0

2

1

0 ω

ω

ω

( 03 = karena 0

2

1

1

23 =

∂

∂−

∂

∂=

x

u

x

uω )



Vortisitas 133

Dengan demikian maka harga 0).().( 000 =∇=∇ uu , sehingga persamaan vortisitas

di permukaan untuk kasus ini (kasus 3-D) mirip dengan kasus 2-D yaitu,

00

J dt

d ⋅−∇=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ω

Sekarang kita perhatikan0

J .0

J adalah source of vorticity dalam kasus ini karena0

J

adalah flux yang keluar dari permukaan maka flux of vorticity dalam kasus ini adalah

0030)(

1

0

0

ˆˆ ω υ ∇

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⋅=⋅ J e J n

Untuk mendapatkan0

ˆ J n ⋅ , kita perlu melihat 0)(∇

Seperti telah kita lihat,21

0 x

u

x

u

∂

∂==

∂

∂dan 0

3

3 =∂

∂

x

u. Oleh karena itu maka,

032

1

2

31

2

2

2

3

1

2

32

1

2

31

1

2

2

3

2

2

32

2

2

31

2

2

0

00

)(

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂−

∂∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂ ∂

∂−

∂∂

∂−

∂∂

∂−

=∇

x x

u

x x

u

x

u

x x

u

x x

u x

u

x x

u

x x

u

ω

Dengan demikian maka

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎪

⎬

⎫

∂∂

∂−

∂∂

∂

∂∂

∂

∂−

−=⋅

32

1

2

31

2

2

2

3

12

2

3

2

2

0ˆ

x x

u

x x

u x

u

x

u

J n υ (V.7)

Jadi inilah vorticity flux yang keluar dari permukaan. Sekarang yang menjadi

pertanyaan adalah apa yang menyebabkan adanya vorticity flux di permukaan. Dengan

kata lain apa sumber vortisitas di permukaan benda.



Vortisitas 134

Untuk mencari “asal” dari vorticity flux ini, kita lihat persamaan momentum.

u p

dt

ud 21∇+∇−= υ

ρ

Karena )(),0( 01 t U t xu == maka di permukaan,

⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

∂

∂

∂

∂−

+∇−=

0

)(1

ˆ)(

ˆ2

3

1

2

2

3

2

2

030

3 x

u x

u

p xedt

t U d xe υ

ρ (V.8)

di mana telah digunakan21

0 x

u

x

u

∂

∂==

∂

∂dan 0

3

3 =∂

∂

x

u. Apabila kita bandingkan suku

terakhir (V.8) dengan suku kanan (V.7), komponen dan dari kedua suku tersebut

sama. Namun, kedua persamaan tersebut tidak mempunyai komponen yang sama.

Apabila kita bisa samakan kedua suku tersebut maka kita dapatkan source of vorticity

dari kasus ini.

1e 2e

3e

Untuk menyamakan kedudukan komponen di kedua suku ini, kita perhatikan3e 0)(τ

0)(τ =

⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂∂

∂+

∂

∂

∂

∂

∂

∂+

∂

∂∂

∂+

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

3

3

3

2

2

3

3

1

3

3

2

3

3

2

2

2

2

1

1

2

1

3

3

1

1

2

2

1

1

1

2

2

2

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u x

u

x

u

x

u

x

u

x

u x

u

dx

u

x

u

x

u

x

u

µ

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂

0

00

00

3

2

3

1

3

2

3

1

x

u

x

u x

u x

u

µ

Sekarang kita lihat gaya-gaya viscous, S nT )ˆ( , di permukaan



Vortisitas 135

( )( ) ( ) ( )

⎪⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪

⎨

⎧

∂

∂∂

∂

=⋅=⋅≡

0

ˆˆ3

2

3

1

3000ˆ xu

x

u

enT sn µ τ τ

Karena0)ˆ(

S nT hanya mempunyai komponen di dan saja maka dalam kasus ini

hanya terdapat “tangential stress”. Sekarang kita lihat,

1e 2e

( )( ) 3

32

1

2

31

2

2

22

3

1

2

12

3

2

2

0ˆ ˆˆˆ1

e x x

u

x x

ue

x

ue

x

uT sn ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂−

∂∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=×∇

µ

Apabila kita perhatikan hasil di atas maka terlihat bahwa komponen dari hasil di atas

mirip dengan komponen dalam (V.7) dan komponen ini lah yang kita cari. Dengan

demikian maka,

3e

3e

( )( )0ˆ3

32

1

2

31

2

2

ˆ1 s

nT e x x

u

x x

u×∇⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂−

∂∂

∂

ρ υ

Sehingga apabila kita gabungkan hasil ini dengan (V.8)

( ) ( )( )

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂

−∂∂

∂

∂

∂−

∂

∂−

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ×∇⋅+∇×+×

32

1

2

31

2

2

2

3

1

2

2

3

2

2

0ˆ

33030

3ˆˆ

1ˆˆ

x x

u

x x

u

x

u

x

u

T ee pe

dt

U d e

sn

ν ρ ρ

Apabila kita bandingkanpersamaan terakhir dengan (V.7) maka,

( ) ( )( )0ˆ

33

0

0303

ˆˆ1ˆˆ

snT

ee p

dt

U d e J e ×∇⋅−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∇+×−=⋅

ρ ρ

atau dengan menggunakan n ,ˆ

( ) ( )( )0ˆ000

ˆˆ1ˆˆ

snT

nn pdt

U d n J n ×∇⋅−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇+×−=⋅ ρ ρ

(V.9)



Vortisitas 136

Hasil terakhir ini sangat penting. Hasil ini menyatakan bahwa “ source of vorticity”

dalam aliran di mana ρ = konstan adalah :

1. akselerasi permukaan benda,

2. pressure gradient di permukaan benda,

3. tangential stress di permukaan benda.

Sekali lagi diingatkan bahwa (v.9) didapatkan untuk aliran di mana ρ = konstan dan

permukaan yang datar. Untuk kasus yang lebih umum di mana terdapat variasi harga ρ

dan permukaan yang melengkung,

( ) ( )( )[ ] ( )( )[ ]0ˆ

02

22

1

11

00ˆ

0

0

0

0ˆˆ

1

0

ˆ1

ˆˆ11

ˆˆ s

n s

n T nn x

x

nT nn pdt

U d n J n ×∇⋅⋅∇+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂∂

×+×∇⋅−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇+×−=⋅

ρ

τ

τ

ρ ρ ρ

di mana ρ0 adalah ρ di permukaan benda. Dua suku terakhir dalam persamaan ini

adalah kontribusi dari kompresibilitas (ρ≠konstan)dan kelengkungan permukaan.



Lapisan Batas 137

BAB

4Lapisan Batas

4.1 Pendahuluan

Seperti telah dijelaskan sebelumnya, aliran di sekitar benda untuk kasus di mana harga

Re sangat tinggi dapat diasumsikan sebagai aliran inviscid dan efek viskos pada

persamaan momentum dapat diabaikan. Selain persamaan momentum, efek viskos juga

terdapat pada persamaan energi. Pada persamaan tersebut, bilangan-bilangan yang

merupakan koefisien dari suku yang menjelaskan efek viskos adalah Re dan Pr dimana,

0

00Pr k

Cp= . Karena c p, µ, dan k adalah fungsi dari temperatur maka Pr juga fungsi dari

temperatur. Untuk gas harga dari Pr adalah selalu di sekitar satu (Pr~1)). Untuk liquid

harga Pr dapat lebih besar dari 1 bahkan untuk glycerine yang temperaturnya 20oC, Pr

= 7250. Namun ada juga liquid yang harga Pr -nya lebih kecil dari 1 seperti mercury

yang temperaturnya 20oC, Pr = 0.0044 .

Dari contoh-contoh harga Pr di atas dapat dilihat bahwa untuk aliran yang mempunyai

Re sangat tinggi maka harga RePr juga pada umumnya sangat tinggi. Oleh karena RePr

sangat tinggi maka suku ( ) u~~~ ⋅∇⋅τ pada persamaan energi dapat diabaikan karena suku



Lapisan Batas 138

ini proporsional dengan1

RePr . Tentunya, pengabaian ini hanya dapat dilakukan di

daerah dimana harga u~~

∇ tidak terlalu tinggi. Suku lain yang juga proporsional dengan

1

RePr dalam persamaan energi (c ) adalah suku q~

~⋅∇ . Suku ini juga dapat diabaikan di

luar daerah di mana ada ∇ T yang tinggi (karena T k q ∇−= ). Apabila aliran juga dapat

diasumsikan sebagai aliran adiabatic (Q = 0 dan 0boundary

q = ), maka suku-suku yang

menjelaskan perpindahan panas dan disipasi energi didalam persamaan (c ) dapat

diabaikan kecuali didaerah dimana terdapat ∇ T dan ∇ u yang tinggi.

Asumsi inviscid tidak dapat digunakan di daerah yang berdekatan dengan benda karena

adanya kondisi-kondisi batas untuk persamaan-persamaan momentum dan energi yang

menyatakan bahwa u = U wall , dan untuk persamaan energi, ada dua tipe kondisi batas

yaitu:

1. T = T wall (T = temperatur)

2. wall on qn

T =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂

= (n = unit normal terhadap permukaan benda)

Karena u dan T ataun

T

∂

∂ ditentukan oleh permukaan benda, maka akan selalu ada

gradien u dan T yang cukup tinggi di daerah ini. Oleh karena itu, asumsi inviscid tidak

dapat digunakan.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa aliran di sekitar benda di mana harga Re

sangat tinggi, maka asumsi inviscid hanya dapat digunakan di luar daerah tipis di sekitar

benda tersebut. Lapisan di dekat permukaan benda di mana terdapat ∇ T dan ∇ u yang

tinggi sehingga asumsi inviscid tidak dapat digunakan disebut boundary layer atau

lapisan batas.

Secara fisik lapisan batas adalah daerah didalam aliran dimana efek viskositas cukup

dominan. Kita telah lihat di Bab-bab sebelumnya bahwa efek viskositas menyebar

kedalam aliran melalui proses difusi. Seberapa jauh proses penyebaran ini tentunya juga ditentukan oleh proses konveksi yang juga terdapat didalam aliran. Pada aliran



Lapisan Batas 139

dengan Re yang tinggi, dimana efek inersia jauh lebih dominan dari pada efek

viskositas, proses konveksi lebih dominan dari pada proses difusi. Dengan demikian

efek viskos yang menyebar “keluar” dari permukaan benda tidak dapat tersebar cukup

jauh karena “terdorong” (dikonveksikan) oleh aliran. Ini mengakibatkan efek viskositas

terkonsentrasi pada daerah tipis di dekat permukaan benda (daerah lapisan batas).

Di Bab 3, kita melihat bahwa permukaan merupakan sumber dari vortisitas dalam

aliran. Kemudian viskositas menyebarkan vortisitas dari permukaan, tempat vortisitas

dibangkitkan, ke dalam aliran. Dari apa yang telah dibahas diatas, jelaslah bahwa pada

aliran dengan Re yang tinggi, vortisitas tidak dapat menyebar jauh dari permukaan benda. Pada aliran dengan freestream yang seragam dimana harga Re cukup tinggi,

vortisitas hanya terdapat didalam lapisan batas. Dengan demikian maka aliran diluar

lapisan batas dapat di asumsikan sebagai aliran irrotasional.

Hal serupa juga berlaku pada proses perpindahan panas yang disebabkan oleh adanya

perbedaan temperatur. Dalam proses ini, panas dikonveksikan dan di difusikan oleh

aliran sehingga apa yang telah dijelaskan sebelumnya juga berlaku pada kasus ini.

Secara umum, daerah dimana ∇ T mempunyai harga yang signifikan berbeda dengan

daerah dimana terdapat ∇ u yang tinggi. Dengan kata lain, ketebalan lapisan batas yang

disebabkan oleh adanya ∇ T yang cukup tinggi berbeda dengan lapisan batas yang

disebabkan oleh adanya ∇ u yang tinggi. Lapisan batas yang dsebabkan oleh adanya

harga ∇ u yang cukup tinggi disebut momentum boundary layer sedangkan yang

disebabkan oleh adanya ∇ T yang tinggi disebut thermal boundary layer . Sekali lagi

ketebalan dari kedua lapisan batas ini tidak harus sama seperti terlihat dalam sketsa

dibawah ini. Dalam bab ini kita akan mempelajari sifat-sifat aliran di dalam lapisan ini.

----- Thermal boundary layer

Momentum boundary layer



Lapisan Batas 140

4.2 Persamaan lapisan batas untuk aliran steady 2-D padapermukaan datar

Karena lapisan batass adalah lapisan yang sangat tipis, maka persamaan momentum (b)

dan persamaan energi (c) dapat disederhanakan sebagai berikut:

≡uδ tebal lapisan batas kecepatan

≡T δ tebal lapisan batas termal

Asumsinya adalah uδ «L dan T δ «L di mana L adalah panjang karakteristik dari

benda. Juga, permukaan benda adalah permukaan datar yang sejajar dengan x1 (lihat

gambar di halaman 11). Persamaan kontinuitas (2-D):

02

2

1

1

=∂

∂+

∂

∂u

xu

x ρ ρ (BL.1) (Steady 0=

∂

∂

t )

Sekarang, kita akan bandingkan besar suku-suku pada persamaan tersebut. Dalam

pembahasan dibawah ini simbol ~ menyatakan order of magnitude (estimasi besarnya

harga) suatu variabel/suku.

Karena ~ L dan ~1 x 2 x uδ dan u1 ~ U , maka,

L

U ~

u

u

δ

2 atau ~2u U L

u ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ δ

jadi « U atau « .2u 2u 1u

x1

x2



Lapisan Batas 141

Persamaan momentum diarah x1 dan x2 (untuk kasus 2-D) adalah,

x1:

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂∂+

∂∂

∂∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂∂+⋅∇

∂∂+

∂∂−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂∂+

∂∂

2

1

1

2

21

1

112

12

1

11 2

xu

xu

x xuu

x x p

xuu

xuu µ µ λ ρ (BL.2)

x2:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+⋅∇

∂

∂+⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

2

2

22

1

1

2

122

22

1

21 2

x

uu

x x

u

x

u

x x

p

x

uu

x

uu µ λ µ ρ (BL.3)

Di dalam lapisan batas, persamaan di atas dapat di sederhanakan dengan menggunakan

estimasi di bawah ini untuk membandingkan bagian-bagian atau suku-suku dalam

persamaan di atas

U u ~1 , L x

1~

1∂

∂, U

L

uu

δ ~2 ,

u x δ

1~

2∂

∂, Lu <<δ

Untuk persamaan momentum di arah x1:

2222

22

2~u

U

L

U

L

U

L

U

L

p

L

U

L

U

δ µ µ µ λ ρ ++++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

atau

222

2

~u

U

L

U

L

U

L

p

L

U

δ µ µ λ ρ +++−

Karena Lu <<δ maka 22u

U

L

U

δ << sehingga (BL.2) dapat disederhanakan menjadi,

2

1

212

12

1

11

x

u

x x

p

x

uu

x

uu

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂µ ρ (BL.4)

Untuk persamaan momentum di arah x2:

2 2

2~ 2u u

u u u

U U p U U U U

L L L L L L L L

δ δ ρ µ µ λ

u

µ δ δ δ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ − + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠δ



Lapisan Batas 142

pada persamaan di atas dapat dilihat bahwa besar dari suku-suku sebelah kanan “sama

dengan” adalah u

L

δ kali dari suku yang sama dalam x1 momentum. Karena u

L

δ << 1,

maka suku-suku ini dapat diabaikan. Hal yang sama juga dapat dilakukan untuk suku

kedua di sebelah kiri tanda “sama dengan”. Namun, suku pertama di sebelah kiri tanda

sama ”dengan” sangat besar (karenauδ

1) sehingga suku ini tidak dapat diabaikan.

Sedangkan suku-suku lain yan tersisa didalam persamaan tersebut mempunyai

orde ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

L

U

L

U u

uu

δ

δ δ 2~ . Apabila dibandingkan dengan suku terakhir dalam persamaan

x1 momentum (suku yang tidak kita abaikan), maka besar suku-suku ini adalah u

L

δ kali

lebih kecil dan karena itu dapat diabaikan. Dengan demikian persamaan x2 momentum

menjadi,

2

0 p

x

∂≅

∂ (BL.5)

Untuk persamaan energi, kita dapat gunakan persamaan enthalpi (h) yang dituliskan

seperti di bawah ini,

( ) qudt

dp

dt

dh⋅∇−⋅∇⋅+= τ ρ (h)

atau bentuk alternatifnya (persamaan (i)),

( ) qudt

dp

dt

d T

dt

dT c

T p ⋅∇−⋅∇⋅+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ = τ

ρ

ρ ρ (i)

Untuk aliran steady 2-D, persamaan (h) dan (i) menjadi

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂+Φ+

∂

∂+

∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

22112

2

1

1

2

2

1

1 x

T k

x x

T k

x x

pu

x

pu

x

hu

x

hu ρ

dan

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂+Φ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

22112

2

1

1

2

2

1

1 x

T k

x x

T k

x x

pu

x

pu

p

T

x

T u

x

T uc

T

p

ρ

ρ ρ

di mana,



Lapisan Batas 143

( )2

2

1

1

2

2

2

2

2

1

1

2

2

2

1

1 2 ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂=⋅∇⋅≡Φ

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

uu µ µ λ τ .

Sekarang kita bandingkan suku-suku dalam Φ .

2

22

2

2

2

2

2

2

2~δ

µ δ

µ µ λ U

L L

U

L

U

L

U +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++Φ

Jadi suku yang terbesar di dalam Φ adalah

22

2

1 ~ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

δ µ µ

U

x

u.

Sedangkan untuk ( )T k q ∇⋅∇=⋅∇ ,

22δ

kT

L

kT <<

sehingga yang terbesar adalah

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

22 x

T k

x

Untuk suku pu ∇⋅ ,

p L

U

x

pu ~

1

1∂

∂ dan 0

2

2 ≈∂

∂

x

pu

(karena persamaan x2 momentum menyatakan 02

≅∂

∂

x

p).

Jadi di dalam lapisan batas persamaan energi ((h) atau (i)) menjadi,

⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛

∂∂

∂∂+⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛

∂∂+

∂∂=⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛

∂∂+

∂∂

22

2

2

1

1

1

2

2

1

1 xT k

x xu

x pu

xhu

xhu µ ρ (BL.6.a)

atau

2

11 2 1

1 2 1 2 2

p

T

T T T p u T c u u u k

2 x p x x x

ρ ρ µ

ρ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ x

⎞⎟

⎠ (BL.6.b)

Persamaan (BL.6.a.) biasanya digunakan dalam kasus aliran kompresibel sedangkan

(BL.6.b.) dapat digunakan dalam kasus kompresibel maupun inkompresibel.



Lapisan Batas 144

Sekarang persamaan-persamaan yang dibutuhkan untuk menyelesaikan peersoalan

aliran dalam lapisan batas telah didapatkan. Persamaan-persamaan tersebut adalah :

02

2

1

1 =∂

∂+

∂

∂

x

u

x

u ρ ρ

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

2

1

212

12

1

11 x

u

x x

p

x

uu

x

uu µ ρ

02

=∂

∂

x

p

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

22

2

2

1

1

1

2

2

1

1 x

T k

x x

u

x

pu

x

hu

x

hu µ ρ

ATAU

2

11 2 1

1 2 1 2 2

p

T

T T T

2

p u T c u u u k

x x p x x x

ρ ρ µ

ρ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞

x

⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

∂⎟ ⎠

Dengan kondisi batas:

( )

( ) benda

inU xu

U xu

=→

=∞→

02

21

( )

( ) wall

x

wall

in

q x

T T xT

T xT

=∂

∂=→

=∞→

=02

2

2

2

k atau0

( , ) p T µ µ = ( ),k k p T = ( ),h h p T =

di mana U in adalah U di luar lapisan batas (solusi permasalahan aliran inviscid di

sekitar benda tersebut)

Catatan:

1. 02

=∂

∂

x

p, ini berarti tekanan di sebuah x1 di dalam lapisan batas = tekanan di

posisi x1 yang sama di daerah di luar lapisan batas di mana aliran dapat

diasumsikan inviscid dan adiabatic. Dengan kata lain tekanan di dalam lapisan

batas adalah sama dengan tekanan, p( x1), di luar lapisan batas.



Lapisan Batas 145

2. Di bagian teratas dari lapisan batas, u1 menjadi sama dengan U in(x1 ) (kecepatan

di luar lapisan batas), di mana U in( x1) adalah solusi dari persamaan Euler (di luar

lapisan batas aliran adalah aliran inviscid ).

1 1

1in pUin

x ρ

∂ ∂= −

∂ ∂

U (BL.7)

Untuk kasus aliran inkompresibel, persamaan di atas menjadi

2

1 12

inU p

x x ρ

⎛ ⎞ ⎛ ∂ ∂= − −⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎞⎟ sehingga

( )2

2

inU x p ρ + = konstan.

Persamaan (BL.7) dapat disubstitusikan ke persamaan momentum di arah x1

( )1

1

1 1

( ) in

indU x p U x

x d ρ ⎛ ⎞∂ =⎜ ⎟

∂⎝ ⎠ x

3. Dari diskusi di atas dapat dilihat bahwa solusi dari persamaan (BL) tergantung

dari keadaan di luar lapisan batas (U in( x)). Oleh karena itu, untuk mendapatkan

solusi yang tepat kita harus lakukan iterasi “inviscid ⇔ lapisan batas”.

4 Persamaan (BL) diturunkan untuk kasus aliran di dekat permukaan datar ( plane

wall ). Namun, dapat ditunjukkan bahwa persamaan (BL) juga dapat digunakan

untuk aliran 2-D secara umum (misalnya untuk aliran di dekat permukaan yang

melengkung, dll).

Untuk kasus permukaan melengkung dengan 1<< Rδ maka dapat ditunjukkan

bahwa satu-satunya perubahan terjadi adalah pada persamaan x2 – momentum

yang menjadi,

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=

2

2

1 1

x

p

R

u

ρ .

Jadi untuk kasus 1>> R , 02

≈∂

∂

x

p (sama seperti kasus permukaan datar).



Lapisan Batas 146

4.3 Lapisan batas inkompresible

Untuk kasus aliran inkompresible, persamaan (BL) dapat disederhanakan lebih lanjut

karena untuk kasus ini ρ = konstan dan µ = konstan dan k = konstan sehingga persamaan

BL menjadi,

1 2

1 2

2

1 1 11 2 2

1 2 1 2

22

11 2 2

1 2 2

0

inin

u u

x x

dU u u uu u U

x x dx x

T T uCp u u k

2

T

x x

ν

ρ µ

∂ ∂+ =

∂ ∂

∂ ∂ ∂+ = +

∂ ∂ ∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x

(BLI)

Kondisi-kondisi batas yang harus dipenuhi:

( )

( )

( )

( ) wall x

wall

in

wall

in

q x

T

k atauT xT

T xT

U xu

U xu

=∂

∂

=→

=∞→

=→

=∞→

=022

2

2

21

2

0

0

Catatan: dalam persamaan di atas 0=∂

∂

y

p telah diintegrasikan ke dalam suku,

dx

dU U in

in

Persamaan (BLI) adalah 3 persamaan untuk mencari 3 variabel yang tidak diketahui: u1,

u2, T . Dalam persamaan tersebut, persamaan energi (persamaan yang terakhir)

“terpisah” dari persamaan yang pertama dan kedua. Dengan kata lain persamaan energi

tidak dibutuhkan untuk menyelesaikan persamaan kesatu dan kedua (untuk u1 & u2). Ini

berbeda dengan kasus kompresible di mana persamaan-persamaan massa, momentum

dan energi harus diselesaikan secara bersamaan. Dalam kasus kompresible, persamaan

energi dibutuhkan dalam persamaan x- momentum karena µ = µ(T ). Oleh karena itu,

untuk mempelajari velocity boundary layer hanya diperlukan persamaan pertama dan

kedua saja.



Lapisan Batas 147

Apabila persamaan pertama dan kedua dinondimensionalkan dengan variabel-variabel

di bawah ini :

U~UU 0in = , 11 ~L x x = , Re/~L 22 x x = , 101 u~Uu = , Re/u~Uu 202 =

maka hasilnya adalah ;

2

2

1

2

12

12

1

11

2

2

1

1

~

~

~U~

U~

~

~~

~

~~

0~

~

~

~

x

u

xd

d

x

uu

x

uu

x

u

x

u

∂

∂+=

∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂

( ) I L B~~~

Dalam persamaan di atas tidak terdapat viskositas!!! Ini berarti solusi dari persamaan-

persamaan tersebut tidak bergantung pada Reynolds Number , ( Re), ( 21 u~danu~ bukan

fungsi Re). Jadi apabila kita mempunyai sebuah benda dengan bentuk tertentu, maka

kita cukup mendapatkan satu solusi untuk lapisan batas dari benda tersebut dengan

menggunakan persamaan (BLI). Solusi tersebut valid untuk Re berapapun selama

lapisan batas masih lapisan batas. laminar . Karena 1~ x ~ ( )1O , ~2 x uδ , ~2 x Re/ L

maka

uδ ~ Re/ L

Lapisan batas pelat datar (semi infinite)

Untuk kasus ini, = konstan. Karenanya( ) ∞= UU in x 0U

1

=∞

dx

d . Untuk kasus ini

persamaan BL.1 menjadi,

2

2

1

2

2

12

1

11

x

u

x

uu

x

uu

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂υ dan 0

2

2

1

1 =∂

∂+

∂

∂

x

u

x

u ( )1BLI.

Dari persamaan ( ) I L B~~~

dapat dilihat bahwa solusi dari persamaan (BL) harus

mempunyai bentuk ,

( 211

1~,~~ x x f

U uu

in

== ) & ( )υ ∞

===U Lu x x g

U uu

in221

22

~,~Re~



Lapisan Batas 148

Karena pelat adalah semi infinite, maka tidak ada panjang karakteristik L dalam kasus

ini. KarenanyainV

u1 haruslah fungsi dari kombinasi 21~dan~ x x yang tidak terdapat L

sehingga,

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ =

1

21

~

~~

x

x f

U

u

in

,⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ =

1

212 ~

~~~

x

x g xu ,

1

2

1

2

~

~

x

U x

x

x in

ν =

Untuk menyelesaikan (BLI. 1), dapat kita gunakan fungsi arus di mana,

2

1 xu

∂

∂= ,

1

2 xu

∂

∂−= , ~2 x δ ~

∞U

x1ν

Dengan sifat-sifat u1 dan u2 seperti dijelaskan di atas, maka bentuk haruslah

( ~ δ ∞V ~ ( )ξ f ),

( )ξ υ f U x in1= ,1

2 x

U x in

υ ξ =

sehingga,

( )ξ '1 f

U

u

in

= , ( ) f f

x

U u in −= '

2

2

1ξ

υ

di manaξ d

df f ≡'

Apabila u1 dan u2 disubstitusikan ke dalam (BLI. 1) maka hasilnya adalah,

0'''2'' =+ f f f (BLI.2)

Kondisi batas untuk kasus ini adalah

•

,01 =u 02

=u pada 02 = x

• pada∞= U u1 ∞→2 x

atau ,

( ) 00' = f , ( ) 00 = f , ( ) 1' =∞ f (BLI.3).

Dalam contoh ini, persamaan diferensial parsial (BLI. 1) diubah menjadi persamaan

diferensial biasa (BLI. 2) dengan menggunakan “Similarity Transformation” (dengan

menggunakan ξ dan ). Persamaan (BLI.3) dapat diselesaikan secara numerik. Hasil-



Lapisan Batas 149

hasil penting yang dapat diambil dari solusi ini adalah: Shear-Stress distribution ( )wτ ,

C D, dan ketebalan lapisan batas ( )δ .

( ) ( ) ( ) ( )0''1

3

0,2

2

2

0,

2

11 f

x

U

x x

u x x xw

υ µ

ψ µ µ τ ∞=

∂

∂=

∂

∂≡

( ) ( )

''

10''2''

2

2

1

11

010

2

11

2

dx xU x

f dx x

U x xU

F C

x x

w D

d ∫∫∞∞

===

∞

υ

τ ρ ρ

Solusi numerik dari persamaan (BLI. 3) memberikan ( ) 322.00'' ≈ f sehingga,

( )

x x

w f

f

U C Re

664.0

Re

0''2

2

1 2 ==≡∞ ρ

τ

x

d C Re

328.1=

Dari hasil numerik, pada posisi∞= U U 99.01 5=ξ

Sehingga,

5==

∞U

xυ

δ ξ ,

x x Re

5=

δ

Sekarang kita akan beralih ke persamaan energi. Seperti telah dijelaskan sebelumnya,

dalam kasus lapisan batas untuk aliran inkompresible, persamaan energi tidak

mempengaruhi solusi dari persamaan momentum ( ). Namun, solusi dari persamaan

energi tergantung dari (solusi persamaan momentum). Sekarang kita tuliskan

persamaan energi,

−u

−u

2

2

1

2

2

2

2

2

1

1 ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

x

u

C x

T

C

k

x

T u

x

T u

P P ρ

µ

ρ

Dengan menggunakan variabel ξ , persamaan di atas menjadi,

( )22

2

2

''Pr

2

Pr f

C

U f

d

dT

d

T d

P

∞−=+

ξ ξ



Lapisan Batas 150

di mana Pr adalah Prandtl Number . Kondisi batas persamaan ini adalah,

( ) ∞=→ T T 1ξ ( ) wall T T =→ 0ξ atau wall q

y

T k =

∂

∂→0ξ

solusi dari persamaan di atas biasanya dinyatakan sebagai superposisi dari 2 solusi,

( ) ( ) ( ) ( )ξ θ ξ θ ξ 2

2

12 P

wall C

V T T T T ∞

∞∞ +−+=

Di mana 1θ adalah solusi dari persamaan,

0'Pr 2

1'' 11 =+ θ θ f dengan ( ) 101 =θ , dan ( ) 01 =∞θ

dan 2θ adalah solusi dari persamaan,

( )2

22 ''Pr 2'Pr 2

1'' f f −=+ θ θ dengan ( ) 00'2 =θ , dan ( ) 02 =∞θ

Dengan kata lain 1θ adalah solusi dari persoalan lapisan batas di mana “Viscous

Dissipation” diabaikan dan terdapat perubahan temperatur (yang ditentukan!!!) antara

dinding dan aliran di luar lapisan batas. Sedangkan 2θ adalah solusi dari persoalan

lapisan batas di atas pelat yang diinsulasi sehingga 02

=∂∂ xT

Solusi untuk 21 dan θ θ adalah fungsi dari turunan (solusi untuk persamaan

momentum). Kita ketahui bahwa,

f

''f

'''f 2f -=

Sekarang kita atur ulang persamaan untuk ,1θ

''f lnd

dPr 'ln

d

d1 ξ θ

ξ = .

Apabila kita integrasikan maka, . Kemudian kita integrasikan sekali lagi

maka didapatkan,

Pr ''

1

'

1 )f (c=θ

∫∫∞

0

Pr

∞Pr

1

d)''f (

d)''f (=

ξ

ξ θ

ξ



Lapisan Batas 151

Apabila kita atur ulang persamaan untuk maka,2θ

Pr -2

2

Pr

2

)''(

Pr

-)''(

'

)()( f c

U

f d

d

p

∞=θ

ξ

sehingga,

η τ θ ξ

η

d d f f c

U

p∫ ∫

∞

= ][0

Pr -2Pr

2

2 )''()''(Pr )( ∞

Contoh: untuk kasus dimana Pr = 1

'f -1=1θ dan )'-1(Pr

2

1 )(2

2∞ f

c

U

p

=θ

Terlihat bahwa solusi umum untuk kasus ini (lapisan batas termal di atas pelat) akan

didapatkan apabila f telah ditemukan.

4.4 Lapisan batas kompresible

Untuk kasus lapisan batas di mana efek kompresibilitas tidak dapat diabaikan, sistem

persamaan lapisan batas harus diselesaikan secara serempak. Seperti telah dikatakan

sebelumnya, dalam kasus ini adalah fungsi dari temperatur. Sehingga untuk

menyelesaikan persamaan momentum kita memerlukan persamaan energi yang

merupakan persamaan yang menjelaskan tentang perubahan T . Namun kita tahu bahwa

untuk menyelesaikan persamaan energi kita memerlukan u yang perubahannya

dijelaskan oleh persamaan momentum. Jadi jelaslah untuk kasus ini ketiga persamaan

tersebut (massa, momentum, energi) harus diselesaikan secara bersamaan. Dengandemikian kasus ini menjadi lebih rumit bila dibandingkan dengan kasus inkompressibel.

Dalam bagian ini kita akan lihat salah satu contoh dari lapisan batas kompresible, yaitu

aliran kompresible di sekitar plat.

Lapisan batas pelat datar (kompresible)

Sama seperti kasus inkompresible, dalam kasus pelat datar konstan=∞ p sehingga

01

=dxdp . Oleh karenanya sistem persamaan yang harus diselesaikan adalah,



Lapisan Batas 152

0=x∂u∂

+x∂u∂

2

2

1

1 ρ ρ (CBL. 1)

)()(2

1

22

1

2

1

1

1 x∂u∂

x∂∂=

x∂u∂u+

x∂u∂u µ ρ (CBL. 2)

)()()(22

2

2

1

2

2

1

1 x∂Τ∂

k x∂∂

+x∂u∂

=x∂h∂

u+x∂h∂

u µ ρ

02

=dx

dp (CBL. 3)

Kondisi batas yang kita pilih untuk kasus ini adalah:

∞==∞→ U U xu in)( 21 , ∞2 T=)∞→x(T

0)0→( 2 = xu , wall2 T=)0→x(T

(pelat yang tidak bergerak dengan temperatur permukaan Twall)

Untuk lebih memudahkan penyelesaian kasus ini, kita rubah persamaan energi menjadi

persamaan untuk total enthalpy 2

121

0 u+h≈h . Pertama-tama kita kalikan persamaan

momentum x1 dengan u1,

)()(2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1 x∂u∂

x∂∂

u=2

u

x∂∂

u+2

u

x∂∂

u µ ρ

Kemudian persamaan ini kita tambahkan dengan persamaan energi (enthalpy) hasilnya

adalah,

)()()()(22

2

2

1

2

1

2

1

2

0

2

1

0

1 x∂Τ∂

k x∂∂

+x∂u∂

+x∂u∂

x∂∂

u=x∂h∂

u+x∂h∂

u µ µ ρ

Untuk perfect gas: dh = c p dT atau )u2

-h(dc1=dT 2

10

p

ρ sehingga persamaan energi

menjadi,

)()()()( )u2

1-h(

x∂∂

c

k

x∂∂

+x∂u∂

+x∂u∂

x∂∂

u=x∂h∂

u+x∂h∂

u 2

10

2 p2

2

2

1

2

1

2

1

2

0

2

1

0

1 ρ µ µ ρ

Kita dapat sederhanakan persamaan ini lebih lanjut dan hasilnya adalah:

][)(2

1

1

2

0

22

0

2

1

0

1

x∂

u∂u)

Pr

1-1(+

x∂

h∂

Pr x∂

∂=

x∂

h∂u+

x∂

h∂u µ

µ ρ (CBL. 4)



Lapisan Batas 153

Persamaan inilah (CBL. 4) yang harus diselesaikan bersama-sama dengan persamaan

(CBL. 1) s/d (CBL. 3) untuk mendapatkan solusi dari lapisan batas kompresibel untuk

pelat datar . (catatan: 212

10 u+h≈h karena 2

122 u<<u )

Untuk menyelesaikan sistem persamaaan di atas, kita tranformasikan persamaan-

persamaan tersebut dengan menggunakan “ similarity variabel ”,

1∞∞∞≡ xU ρ ξ , ∫2

02

∞

2≡

xdx

U ρ

ξ η , f 2= ξ ψ

sehingga,

∞

=≡U u

d df

f 1'ξ

dan∞0

0

h

h≡g

Hasil transformasi tersebut adalah,

0')'''(∞∞

=+ f f f µ ρ

ρµ (momentum x1)

0]')Pr

1-1[('''

Pr

1 ')(∞∞0∞

2

∞

∞∞

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++ f '' f

h

U g f g

µ ρ

ρµ

µ ρ

ρµ

Kondisi batas-nya menjadi,

0)0(f =→η , 0)0→(' =η f , , ,wallg)0→(g =η 1)→('f =∞η 1)∞→(g =η

Apabila kita lihat koefisien dari suku ke 3 persamaan energi,

2 2

220

2 22

1 1 1 1

1 1 11 12 2 ( -1) 22 ( -1) 2

p

U U h c T RT M h h vv vU

γ

γ γ ∞

∞ ∞

∞ ∞ ∞∞∞ ∞

∞ ∞∞

= = = = =+ + ++ +

Solusi dari persamaan di atas tentunya harus diselesaikan dengan menggunakan

komputer. Namun kita lihat bahwa parameter-parameter yang terdapat dalam

persamaan-persamaan dan kondisi batas di atas adalah )Pr,,,(∞

∞ T

T dan M wγ sehingga

dapat disimpulkan bahwa

)

T

TPr,,M,(cc

∞

w∞f f γ= dan )

T

TPr,,M,(

∞

w∞γδδ =



Lapisan Batas 154

4.5 Solusi keserupaan Falkner-Skan (Incompressible)

Kita telah lihat bahwa sangat sulit untuk menemukan solusi dari persamaan (BL) atau

(BLI). Untuk kasus yang paling sederhana yaitu kasus lapisan batas dari pelat datar

untuk kasus aliran incompressible, kita dapat mengubah persamaan diferensial parsial

menjadi persamaan diferensial biasa dengan mencari “ similiarity solution” dari

persamaan x,momentum. Karena persamaan yang menjelaskan lapisan batas untuk

kasus ini adalah persamaan diferensial biasa maka kasus ini menjadi mudah untuk

diselesaikan walaupun harus diselesaikan secara numerik. Jadi dari kasus ini kita dapat

simpulkan bahwa kasus-kasus dimana peramaan diferensial parsial dapat diselesaikandengan menggunakan “ similiarity solution” adalah kasus-kasus yang relatif mudah

secara matematis. Disubbagian ini kita akan lihat kasus-kasus apa saja yang dapat

diselesaikan dengan menggunakan “ similarity solution’ untuk aliran inkompresible.

Kita mulai dengan mengasumsikan bahwa ,

1 1 2

1

( , )'( )

( )in

u x x f

U x ξ = di mana 2

1( )

xξ

δ =

Karena,

2 2

1 22

20 0 0

( ) '( )

x x

in inin

u xdx U d U f d

x U

ξ ψ

ψ δ δ δ

∂= = =

∂∫ ∫ ∫ ξ ξ

( ( ) (0))inU f f ψ δ ξ = −

Karena 0= di x2=0 maka,

f(0) = 0 & ( )inU f ψ δ ξ = .

Dengan menggunakan ,maka untuk kasus aliran incompressible 2-D persamaan

kontinuitas selalu terpenuhi secara otomatis. Oleh karena itu,maka persamaan untuk

lapisan batas adalah,

2

1 11 2 2

1 2 1 1

inin

dU u uu u U

x x dx1u

xν

∂ ∂ ∂+ = +

∂ ∂ ∂ (FS.1)

1

2

u

x

ψ ∂=

∂

, 2

1

u

x

ψ ∂= −

∂



Lapisan Batas 155

Dari ( )inU f ψ δ ξ = , kita dapat tuliskan u2 sebagai fungsi dari U in , δ , f dan turunan-

turunannya.

[ ]' ' '

2

1

in inu f U U x

f ψ

δ ξ δ ∂= − = − +∂

Apabila kita subtitusikan U1 dan U2 ke persamaan (FS.1) maka didapatkan,

''' '' '2(1 ) 0 f ff f α β + + − = (FS.2)

di mana

1

( in

d U

dx)

δ α δ

ν ≡ dan

2

1

indU

dx

δ β

ν ≡ .

Untuk kasus di mana terdapat similarity solution, persamaan (FS.2) hanya tergantung

dari ξ . Dengan kata lain,untuk kasus-kasus ini maka α dan β haruslah konstan (bukan

fungsi x1). Sekarang kita akan gunakan kenyataan ini untuk menemukan kasus-kasus apa

saja yang dapat diselesaikan dengan menggunakan “ similarity solution”.

Dari definisi β α & , kita lihat bahwa

2

1

12 ( in

d U

dxα β δ

ν − = )

sehingga,

2

1 0

1(2 )( ) in x x U α β δ

ν − − = .

Apabila koordinat axis kita letakan sedemikian rupa sehingga 0=δ di x1 = 0 maka

00 = x

dan

1

in

K x

U

ν δ =

dimana K β α −≡ 2 =konstan.

Sekarang kita pilih K =1 apabila U in dan x1 searah dan K =-1 apabila U in dan x1

berlawanan.



Lapisan Batas 156

Dengan pilihan ini maka,

1

inU

ν δ

±= (FS.3)

Apabila kita subtitusikan δ ke definisi untuk β (2

1

)indU

dx

δ β

ν

≡ maka,

1

1

in

in

dU x

U dx β = ± atau 1

1

in

in

dU dx

x U β = ±

Karena β adalah konstan maka persamaan terakhir dapat diintegrasikan & hasilnya

adalah,

10 ( )m

in

xU U

L= (FS.4)

U0 = konstan, L = konstan. Dalam hubungan diatas,

1

2

, apabila & searah

- , apabila & berlawanan arah

in

in

U xm

U x

β

β

⎧= ⎨

⎩

Dengan menggunakan (FS.3)&(FS.4),persamaan(FS.2) dapat dituliskan menjadi,

0)'1('')1(2

1''' 2 =−+++ f m ff m f (FS)

Persamaan ini diselesaikan dengan menggunakan kondisi batas,

( )1 2 inu x U → ∞ = &2( 0) 0 xu = = atau,

(0) 0 f = '(0) 0 f =

'(1) 1 f =

Jadi hasil ini kita dapat kita simpulkan sebagai berikut . Apabila solusi inviscid dari

aliran sekitar benda adalah

1 1( ) ~ m

inU x x



Lapisan Batas 157

maka lapisan batas benda tersebut dijelaskan oleh persamaan (FS). Persamaan (FS)

disebut juga persamaan Falkner-Skan.

Untuk kasus di mana m>0 terdapat beberapa solusi:

a) m = 0 : kasus ini adalah kasus aliran disekitar pelat datar yang telah kita pelajari

sebelumnya

b) 0<m<1: Ini adalah kasus aliran di sekitar wedge.

c) 1<m<2 : Ini adalah kasus aliran menuju sebuah sudut.

d) m=1:Aliran stagnasi

4.6 Persamaan dalam bentuk integral untuk lapisan batas

Kita telah lihat bahwa untuk mendapatkan solusi dari persamaan-persamaan untuk

lapisan batas secara analitik bukanlah hal yang mudah. Dalam praktik, permasalahan

lapisan batas biasanya diselesaikan dengan menggunakan metoda aproksimasi. Metoda-

metoda ini berbasis dari “perasamaan integral” dari lapisan batas dan ini yang akan kita

dapatkan di dalam subbagian ini.

Kita mulai dari persamaan kontinuitas. Apabila kita ambil integral dari persamaan ini

dengan limit dari s/d02 = x δ =2 x maka



Lapisan Batas 158

020

2

22

01

1 =∂

∂+

∂

∂∫∫ dx

x

udx

x

u δ δ ρ ρ

12 2

01

0inin

u dx U x

δ ρ ρ ∂ + =∂∫ (karena 021 == uu di )02 = x

di mana in ρ dan adalah harga2inU ρ dan di2u δ =2 x . Kemudian ke dalam persamaan

di atas kita tambah dan kurangi ( )0

in in

d U dx

dx

δ

ρ ∫ , sehingga menjadi

( ) ( )1 2 2 20 0

1 1

0inin in in in in

d u U dx U dx U

x dx

δ δ

ρ ρ ρ ρ ∂

− + +∂∫ ∫ = .

Karena in ρ , , bukan fungsi makainU 1 x 2 x

( )12 2

01 1

1 0inin in in in in

in in

d u d U dx U

dx U dx

δ ρ ρ ρ

ρ

⎡ ⎤⎛ ⎞U δ ρ − + +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦∫ =

Apabila kita definisikan * 12

01

in in

udx

U

δ ρ δ

ρ

⎛ ⎞≡ −⎜

⎝ ⎠∫ ⎟ maka

( ) ( )*

21 1 0inin in in in in

d d

U U U dx dx ρ δ ρ ρ δ + − = (IM.1)

Dari (IM.1), apabila δ , , dan*δ in inU ρ diketahui, maka dapat dihitung. Informasi

ini diperlukan untuk menentukan modifikasi dari kondisi batas untuk persamaan

Euler yang disebabkan karena adanya lapisan batas (lihat pembahasan di 4.6.2).

2inU

( 2inU )

Berikutnya kita beralih ke persamaan momentum.

( ) ( )

( )( ) ( )( )

21 11 2 1 1 2

1 1 1 2

1 1 2 1 1 21 2 1

in in

in in

u uu u u u u

x x x x

U U u u U u u U u u

2 x x x

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

∂ ∂ ∂ ∂+ = +

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂= − + − + +

∂ ∂ ∂ x ρ ∂



Lapisan Batas 159

Sekarang kita ambil integral dari 02 = x s/d δ =2 x , dari persamaan momentum.1 x

( )( )

( )( )

1 1 2 2 1 2 1 2 2 20 0 0 01 2 1 1

inin in

dU dpu u U dx u u U dx u dx dx dx

x x dx dx x

δ δ δ δ

0 2

δ

ρ ρ ρ ∂ ∂

− + − + = − +

∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫ τ

∂

∂∫

di mana 1

2

uτ µ

∂≡

∂. Karena

2

0dp

dx = , maka

1

dp

dx bukan fungsi x2. Selain itu ( )2

0 x δ τ = =

sehingga,

2 12 1 2

1 10 0

1 inin in wall

in in in

dU d u u dpU dx u dx

dx U U dx dx

δ δ ρ

1

ρ ρ δ ρ

⎛ ⎞− + = − −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ τ

di mana ( )2 0wall xτ τ == .

Apabila kita definisikan,

* 1 12

01

in in in

u udx

U U

δ ρ θ

ρ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

maka persamaan di atas dapat kita tuliskan menjadi,

2 *

1

01 1 1

inin in wall

dU d d U u dx

dx dx dx

δ p ρ θ ρ δ − −∫ τ =

Sekarang kita jabarkan 20

1dxu∫δ

ρ

( )1 2 1 2 20 0 0

12

0

*

1

in in in in

in in in inin in

in in in in

u dx u U dx U dx

uU dx

U

U U

δ δ δ

δ

ρ ρ ρ ρ

ρ U ρ ρ δ

ρ

ρ δ ρ δ

= − +

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − +

∫ ∫ ∫

∫

Akhirnya persamaan integral momentum dapat dituliskan

2 * *

1 1 1

in inin in in in in in wall

dU dU d d U U U

dx dx dx dx

ρ

1

ρ θ ρ δ δ ρ τ ⎛ ⎞

+ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Namun, untuk aliran inviscid di luar lapisan batas,

1 1

inin in

dU dpU

dx dx ρ = −

Sehingga akhirnya persamaan di atas menjadi

2 * *

1 1

inin in in in wall dU d U U

dx dx ρ θ ρ δ τ + = (IM.2)



Lapisan Batas 160

Kita lanjutkan dengan persamaan energi. Persamaan yang paling baik untuk digunakan

di sini adalah persamaan untuk total enthalpi (lihat subbagian tentang compressible BL).

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂∂

∂∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂∂

∂∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂∂+

∂∂

22

2

2

1

2

1

2

1

2

02

1

01 x

T k

x xu

xu

xu

xh

u xh

u µ µ ρ

Kedua suku pertama di sebelah kanan “sama dengan” dapat digabung menjadi,

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1 u x

u

x x

u

x

u

xu µ µ µ

Dengan menggunakan persamaan kontinuitas dan definisi2dx

T k q

∂

∂−≡ dan

2

1

x

u

∂

∂= µ τ ,

maka persamaan untuk total enthalpi menjadi,

( ) ( ) ( )qu x

uh x

uh x

−∂

∂=

∂

∂+

∂

∂1

2

20

2

10

1

τ ρ ρ

Sekarang kita ambil integral dari persamaan di atas. Dengan mengingat bahwa

( ) 02 =→ δ τ x dan , hasilnya adalah,( ) 0021 =→ xu

( ) ( ) wall qhudxhu x in

=+∂

∂∫ 02

0201

1δ δ

δ

ρ ρ (IM)

karena ( ) 02 =→ δ xq dan ( ) wall q xq ≡→ 02 .

Di luar lapisan batas, biasanya konstan (kasus normal shock wave pun konstan

apabila shock diam). Oleh karena itu

inh0 in

h0

( ) ( )( ) 1

1

0001

1

01

1

u x

hhhu x

hu x inin

ρ ρ ρ ∂

∂+−

∂

∂=

∂

∂

Dari persamaan kontinuitas,

( ) 2

2

0

0

001

1

01

1

1 u x

hh

hhu

xhu

x in

in

in ρ ρ ρ

∂

∂−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

∂

∂=

∂

∂

sehingga,

( ) ( )01 11 0 2 0 2 0 2

0 01 1 0

1in in q

in

in in qin in

hd uu h dx U h dx h u

x dx U h

δ δ ρ ρ ρ

ρ

⎡ ⎤⎛ ⎞∂= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ ρ − .

Apabila kita substitusikan ke persamaan (IM), maka hasilnya adalah



Lapisan Batas 161

( )*

0

1inin in h wall

d U h q

dx ρ θ = − (IM.3)

dimana telah didefinisikan

* 01 12

00

1

in

hin in

hudx

U h

δ ρ θ

ρ

⎛ ⎞≡ − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

Persamaan-persamaan (IM.1), (IM.2), (IM.3) adalah persamaan untuk ,2inU wall τ , dan

sebagai fungsi dari , , dan . Metoda approximasi biasanya memberikan

approximasi untuk , , dan . Dari sini harga ,

wall q *

hθ *θ *δ

*

hθ *

θ *

δ 2inU wall τ , dan dapat

diestimasikan.

wall q

4.6.1 Interpretasi dari dan*δ θ

Di subbagian sebelah kita telah diperkenalkan dengan quantitas dan . disebut

“displacement thickness”. Sekarang kita akan lihat apa arti fisis dari dan . Sekali

lagi dan telah kita definisikan seperti

*δ

*θ

*δ

*δ

*θ

*δ *θ

*2* 1

20

1 x

in in

udx

U

ρ δ

ρ

⎛ ⎞≡ −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

*2* 1 1

20

1 x

in in in

u udx

U U

ρ θ

ρ

⎛ ⎞≡ −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

Dimana adalah sebuah titik dalam aliran yang berjarak dari permukaan

benda (definisi ini adalah definisi yang lebih umum, sebelumnya kita ambil sebagai

).

*

2 x *

22 x x =

*

2 xδ =*

2 x



Lapisan Batas 162

Untuk melihat arti fisis dari , kita lihat mass flow *

δ ( )m yang melintasi permukaan

(garis) dari s/d dalam gambar (A) di atas.02 = x *

22 x x =

*2

1 20

xm u ρ = ∫ dx

Apabila aliran ini tidak mempunyai lapisan batas (asumsi aliran inviscid digunakan

mulai dari permukaan benda), maka mass flow-nya ( )invm adalah

*2

20

x

inv in inm U ρ = ∫ dx

Jadi, lapisan batas menyebabkan berkurangnya mass flow sebesar

( )*2

1 20

x

inv in inm m m U u dx ρ ρ ∆ = − = −∫

Apabila kita tuliskan sepertim∆ in inm U ρ ∆ = Υ , maka

*2 1

20

1 x

in in

udx

U

ρ

ρ

⎛ ⎞Υ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

Namun, ini adalah definisi dari ** δ δ =Υ . Jadi, “ adalah ketinggian yang

proporsional dengan berkurangnya (mass flow) akibat adanya lapisan batas”.

*δ

m

Interpretasi lain dari adalah sebagai berikut. Di dalam gambar (B) terdapat sebuah

streamline, di luar lapisan batas, yang melintasi titik (1) dan (2). Sekarang kita hitung

di titik (1) dan (2).

*δ

m

( )

*2

21 0

x

in inm U ρ = ∫ dx

y

( )

*2

1 22 0

x

in inm u dx U ρ ρ = +∫

Karena titik (1) dan (2) dilintasi oleh garis ψ =konstan yang sama (streamline yang

sama), maka sehingga( ) ( )21 mm =

* *2 2

2 1 20 0

x x

in in in inU dx u dx U y ρ ρ ρ = +∫ ∫

*2 1

20

1 x

in in

u y d

U

ρ

ρ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ x

Namun, ini adalah definisi dari ( )* y *δ δ = . Oleh karena itu, maka “ adalah jarak

terdorongnya “external inviscid flow” yang disebabkan oleh adanya lapisan batas”.

*δ



Lapisan Batas 163

Dengan kata lain, bentuk effective yang harus kita gunakan dalam menghitung aliran

inviscid diluar lapisan batas adalah permukaan benda +δ* (lihat gambar dibawah)

Sekarang kita ke interpretasi dari θ*. Untuk itu kita kembali ke gambar (A) & hitung

“momentum flux” yang melintasi garis dari x2 = 0 s/d x2 = x2*. Momentum flux yang

melintasi garis dx2 adalah,

( ) 2

1 1 2 1 1dM dmu u dx u u dx ρ ρ = = = 2

Apabila aliran dianggap seluruhnya inviscid (tidak ada lapisan batas) maka “momentum

flux” untuk “mass flux” dm yang sama adalah

1 2inv in indM dmU u U dx ρ = = .

Dengan demikian, berkurangnya momentum flux untuk aliran dengan massa sebesar dm

yang disebabkan oleh adanya lapisan batas adalah

( )1 1( ) inv ind M dM dM u U u dx ρ ∆ = − = − 2

2

atau

*2

1 10

( )

x

inu U u dx ρ ∆ = −

∫

Apabila ∆ kita nyatakan seperti2

in inU y ρ ∆ ≡ maka,

*2

1 12

0(1 )

x

in in in

u uY d

U U x

ρ

ρ = −∫

Namun, ini adalah definisi dari *θ sehingga Y=θ . Dengan demikian maka *θ dapat

kita interpretasikan sebagai “jarak yang proporsional dengan berkurangnya momentum

flux yang diakibatkan oleh adanya lapisan batas”.



Lapisan Batas 164

*θ adalah salah satu kuantitas penting dalam teori lapisan batas karena *θ proporsional

dengan . Sebagai contoh adalah kasus aliran disekitar pelat datar (inkompresible).

Untuk kasus ini, persamaan (IM.inkompresible) menjadi,

d C

2

1

*in wall

d U

dx

θ ρ τ =

karena U in = konstan. Drag untuk pelat datar ini adalah

*

2 2

1 1

10 0

*

l

wall in in

d D dx U dx U

dx

θ θ

τ ρ ρ = = =∫ ∫ θ

Karena untuk kasus ini U in = U ∞ maka,

2

22

2 * 2

1

2

d

D U C

U l l U l

* ρ θ θ

ρ ρ

∞

∞∞

= = = atau2 *

d C l

θ =

Jadi C d dari kasus ini dapat kita hitung apabila *θ diketahui.

4.6.2 Interaksi Viscous-inviscid

Dalam praktiknya, permasalahan aliran disekitar benda yang mempunyai harga Re yang

tinggi diselesaikan dengan melakukan proses iterasi. Ini disebabkan karena solusi

persamaan lapisan batas tergantung dari solusi aliran inviscid diluar lapisan batas

melalui U in. Sedangkan solusi aliran inviscid tergantung dari kondisi batas yang harus

dipenuhi pada permukaan dimana asumsi inviscid dapat digunakan. Permukaan ini

yang tentunya berubah dengan adanya lapisan batas. Proses iterasi ini dapat dipahami

dengan memperhatikan pembahasan di paragraf berikut.

Pertama-tama, lapisan batas dianggap tidak ada dan aliran inviscid disekitar benda

diselesaikan untuk mendapatkan U in. Kemudian U in ini digunakan untuk menyelesaikan

persamaan lapisan batas. Namun, dengan adanya lapisan batas maka permukaan

dimana kondisi batas inviscid harus dipenuhi berubah (luas daerah inviscid berkurang

karena adanya lapisan batas) dan U in juga tentunya berubah. Ada dua cara untuk

memodifikasi kondisi batas aliran inviscid:



Lapisan Batas 165

• Mengubah permukaan benda dengan menambahkan *δ sehingga kondisi batas

inviscid ˆin wall u n U n⋅ = ⋅ dipenuhi di *δ seperti yang dibahas di 4.6.1.

• Mengubah kondisi batas inviscid yang harus dipenuhi dipermukaan benda

menjadi 2ˆ

ininu n U ⋅ = dimana adalah u2inU 2 di x2 = δ yang didapatkan dari solusi

persamaan lapisan batas (misalnya, dari (IM.1)).

Dengan menggunakan kondisi batas baru ini, permasalahan aliran inviscid diselesaikan

lagi untuk mendapatkan yang baru, yang kemudian digunakan untuk menyelesaikan

persamaan lapisan batas. Iterasi “viscous-inviscid” ini terus dilakukan sampai

mendapatkan solusi yang konvergen (

inU

*δ tidak berubah atau tidak berubah).2inU

4.7 Metoda Aproximasi untuk Lapisan Batas

Di subbagian ini kita akan membahas contoh dari metoda approximasi untuk

menyelesaikan permasalahan lapisan batas. Basis dari metoda ini adalah persamaan

integral lapisan batas. Karena kasus yang kita akan bahas di sini adalah kasus2

incompresible maka persamaan integral yang menjadi basis adalah persamaan (IM

incompresible).

4.7.1 Metoda Karman – Pohlhausen

Dalam metoda ini u1 diasumsikan mempunyai bentuk,

2 3 41 ...........( )in

ua b c d e k p

U ξ ξ ξ ξ = + + + + −

di mana

)( 1

2

x

x

δ ξ =



Lapisan Batas 166

Koefisien2 a, b, c, d, e, ditentukan dengan menggunakan kondisi2 batas. Karena ada 5

koefisien maka kita perlukan 5 kondisi batas untuk u1. Dua kondisi batas pertama adalah

kondisi batas yang biasa kita gunakan yaitu,

0)0,( 11 = xu , 1 1 1( , ) ( )inu x U xδ =

Kondisi batas ketiga didapatkan dengan mengevaluasi persamaan x1 –momentum di

.02 = x

2

1 11 2 2

1 2 1 2

inin

dU u uu u U

x x dx1u

ν ∂ ∂ ∂

+ = +∂ ∂ ∂

di x2 = 0 , u1 = 0 , u2 = 0 sehingga:

2

11,2

2 1

( 0) in inU dU u x

dxυ

∂= −

∂

Dua kondisi batas terakhir didapatkan dengan memastikan bahwa tidak akan terjadi

diskontinuitas di x2 = δ . Kondisi-kondisi ini adalah:

11,

2

( )u

x x

δ ∂

0=∂

dan2

1,2

2

( )uu x

x δ

∂0=

∂.

Dengan kondisi batas ini a, b, c, d, e menjadi:

0=a6

2 Λ

+=b 6

∆−=c

22

Λ+−=d

61

Λ−=e

di mana

2

1

1

( ) indU x

dx

δ

ν Λ ≡ .

Dengan koefisien-koefisien ini, maka 1

in

u

U

dalam ( K – P) menjadi

( )( )

1 1

33

( , ) ( ) ( )

(1 )1 (1 )(1 )

6

in in

F G

u u F G

U U

ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

= Λ = + Λ

−= − + − + Λ

Apabila kita gambarkan grafik F(ξ ) vs ξ dan )(ξ G vs ξ hasilnya dapat dilihat di

sketsa (A) dibawah ini.



Lapisan Batas 167

Apabila kita pilih beberapa harga Λ dan gambarkan grafik 1

in

u

U v ξ maka kita

dapatkan hasil seperti digambarkan disketsa (B). Untuk kasus 12Λ > ,1

1in

u

U > dan ini

tentunya tidak mungkin. Untuk kasus Λ <-12, 1 0in

u

U < dan ini adalah kasus dimana

terjadi separasi dari lapisan batas. Aliran di daerah setelah titik separasi x1 = x s tidak

dapat diselesaikan dengan persamaan (BLI). Dari penjelasan ini maka untuk lapisan

batas harga haruslah:Λ

-12< Λ <12

wall danτ θ δ **, dapat dituliskan sebagai fungsi dari Λ .

1

1 2

0

1 2

1 1 2

0

111, 0

2

3* (1 ) ( )

10 120

37* (1 ) ( )

315 945 9072

( / )( 0) (2

6

in

in in

in in inwall

u xd

U

u u xd

U U

U u U U u x

x ξ

δ δ δ δ

θ δ δ δ

µ τ µ µ

δ ξ δ =

Λ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Λ Λ⎛ ⎞= − = − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

∂∂ Λ= = =

∂ ∂

∫

∫

)+

(K- P.1 )

Persamaan ( K-P1) tentunya belum berguna sampai harga δ diketahui. Diperlukan

hubungan tambahan untuk menentukan harga2 wall τ θ δ *,*, . Hubungan ini didapatkan

dari persamaan momentum (IM.2) yang untuk kasus incompressible dapat dituliskan

seperti:

2 2

1 1

** * *1( ) (2 )2 *

in wall

inin

dU d

U dx dx U

τ θ θ δ θ

ν θ ν µ + + =



Lapisan Batas 168

Sekarang kita perkenalkan definisi-definisi berikut ini,

22 *

1

* indU dx

θ θ λ ν δ

⎛ ⎞≡ = Λ⎜ ⎟⎝ ⎠

, , *wall

in

l U

τ θ µ

≡ **

H δ θ

≡

Dengan menggunakan definisi-definisi diatas, persamaan integral momentum dapat

dituliskan menjadi,

1

1

1 (2 )2 in

in

d U l

dU dxdx

λ H λ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ = − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(K-P.4)

Perlu ditekankan disini bahwa persamaan (K-P.4) kita dapatkan langsung dari

persamaan integral momentum untuk lapisan batas incompressible hanya dengan

menggunakan definisi-definisi diatas. Dengan kata lain (K-P.4), hanyalah bentuk lain

dari persamaan integral momentum untuk aliran incompressible dan persamaan ini

berlaku umum.

Sekarang kita akan lihat bentuk dari λ , l, dan H , apabila kita gunakan metoda Karman –

Pohlhausen, dimana u1 diaproksimasikan dengan menggunakan persamaan (K-P).

Dalam aproksimasi ini,

2237

315 945 9072λ

⎛ ⎞Λ Λ= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠Λ

2

310 120

37

315 945 9072

H Λ⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠=⎛ ⎞Λ Λ

− −⎜ ⎟⎝ ⎠

2

26

37

315 945 9072

l

Λ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠=⎛ ⎞Λ Λ

− −⎜ ⎟⎝ ⎠



Lapisan Batas 169

Karena U in = U in (x1 ) sedangkan H = H ( Λ ), λ = λ ( Λ ) dan l = l ( Λ ) maka (K-P.4) adalah

persamaan diferensial yang solusinya adalah 1( )Λ = Λ

( )

. Dengan demikian maka,

prosudur penyesaian permasalahan lapisan batas menggunakan metoda ini adalah

sebagai berikut:

1. Subtitusikan U in (x1 ) ke dalam (K-P.4) dan selesaikan persamaan diferensial

tersebut untuk mendapatkan 1Λ = Λ .

2. Gunakan definisi2

1

indU

dx

δ

ν Λ ≡ dan hasil dari 1.) untuk mendapatkan 1( )δ .

3. Subtitusikan 1( )Λ dan 1( ) xδ ke dalam (K-P.1) untuk mendapatkan

wall danτ θ δ **,

(2 )l H

.

4.7.2 Metoda Thwaits

Persamaan (K-P.4) yang diturunkan di 4.7.1 adalah bentuk lain dari persamaan integralmomentum untuk aliran incompressible dan persamaan ini berlaku umum. Dalam

metoda Karman Pohlhausen kita lihat bahwa suku-suku sebelah kanan dari persamaan

ini, λ − + , adalah fungsi dari Λ sedangkan Λ adalah fungsi dari λ . Dengan kata

lain, hasil sebelumnya menunjukkan bahwa l dan H adalah fungsi dari λ .

Thwaits meneliti hasil-hasil experimen dari lapisan batas yang berbeda-beda dan

menemukan bahwa ketergantungan l dan H terhadap λ juga terjadi pada kasus lapisan

batas lainnya. Lebih spesifiknya ia menemukan bahwa untuk setiap lapisan batas yang

ia teliti,

( )2 (2 ) 0.45 6l H λ λ − + ≈ − .

Dengan demikian maka persamaan (K-P.4) dapat diaproksimasikan menjadi,

2

1

*

0.45 6in

d

U dx

θ

λ ν

⎛ ⎞≈ −

⎜ ⎟⎝ ⎠



Lapisan Batas 170

Dengan menggunakan definisi λ, persamaan diatas dapat dituliskan menjadi,

2 6

5

1

* 0.45ininU d U dx

θ ν

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ (Thwaits)

Persamaan diatas dapat diselesaikan untuk mendapatkan θ * apabila U in diketahui.

Namun, untuk mengintegrasikan persamaan ini kita perlu mengetahui kondisi awal dari

θ *. Setelah θ * didapatkan, λ dapat dihitung dengan menggunakan definisinya yaitu,

2

1

* indU

dx

θ λ

ν

≡

Kemudian harga λ ini digunakan untuk mendapatkan l dan H (ingat kedua variabel ini

adalah fungsi λ) dari grafik atau rumus-rumus dibawah ini:

Apabila 0< λ <0.1 Apabila -0.1< λ <0

2

2

0.22 1.57 1.8

2.61 3.75 5.24

l

H

λ λ

λ λ

= + −

= − +

* 0.0180.22 1.402

0.107

* 0.07312.088

* 0.14

wall

in

l U

H

τ θ λ λ

µ λ

δ

θ λ

≡ = + ++

≡ = ++

Dengan diketahuinya harga l dan H , harga wall τ dan δ* dapat dihitung.

Contoh 1: Lapisan batas pelat datar

Untuk kasus ini, U in = U ∞ = konstan sehingga persamaan Thwaits menjadi,

2

1

*

0.45

d

U dx

θ

ν ∞

⎛ ⎞=

⎜ ⎟⎝ ⎠

Integrasikan persamaan diatas,

2

1 1

1

0.450.45 0.67

Re x

1 x x

U U x

ν θ ν ∗

∞ ∞

= = =

Karena U in = konstan, λ = 0, l = 0.22, dan H = 2.61. Dari hasil-hasil ini maka,

11.75

Re x

xδ

∗ = ,21

2

0.657

Re

wall f

in x

C U

τ

ρ = =



Lapisan Batas 171

Hasil-hasil ini sangat dekat dengan hasil-hasil yang kita dapatkan dengan solusi

numerik ( lihat : flat plate Lapisan batas (incompressible)).

Contoh 2: Lapisan batas yang dimulai dari titik stagnasi

x1

x2

Untuk kasus ini kecepatan aliran inviscid disekitar titik stagnasi didapatkan dengan

melakukan ekspansi Taylor disekitar titik x1 = 0.

1

'

1 1

1 0

( ) ....in

inin

x

dU U x x U x

dx=

+ ≡ 1

Subtitusikan ke persamaan Thwaits didapatkan,

6

52 ' 6

' 511

1

*0.45in

in

U xd U x

dx

θ

ν

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Integrasikan persamaan terakhir,

6

52 ' 6

' 61

1

*0.075 tanin

in

U xU x kons

θ

ν = +

Untuk menapatkan harga konstanta dan ketebalan lapisan batas di titik stagnasi (θ 0), kita

evaluasi persamaan diatas di x1 = 0 dimana θ * = θ 0 sehingga didapatkan,

Konstan = 0 dan 0 '

0.075

inU

ν θ =



Lapisan Batas 172

4.8 Separasi Ali ran (Inkompresible)

Telah dijelaskan sebelumnya bahwa untuk aliran Re tinggi di sekitar benda, aliran di

luar lapisan batas dapat diasumsikan sebagai aliran potensial. Namun dalam praktek

sehari-hari, kita ketahui bahwa di bagian belakang dari benda selalu terdapat daerah di

mana 0ω ≠ .

Karena kita telah ketahui bahwa ω digenerasikan/ di”produksi” di permukaan benda

(daerah didalam lapisan batas) maka ω yang terdapat di daerah belakang haruslah

berasal dari lapisan batas. Dengan kata lain vortisitas yang berada di dalam lapisan

batas “keluar” dari lapisan tipis ini dan menembus ke daerah luar. Oleh karena itu

dalam proses ini terdapat streamlines yang meninggalkan permukaan dan menembus

daerah interior fluida. Fenomena inilah yang disebut flow separation atau ’’separasi

aliran’’.

Kita telah lihat di bagian sebelumnya bahwa di dalam lapisan batas, u2 << u1. Apabila

kondisi ini terpenuhi sepanjang permukaan benda maka fluida di dalam lapisan batas akan selalu berada di dekat permukaan benda (lapisan batas) dan separasi tidak akan

terjadi. Jadi dapat disimpulkan bahwa syarat untuk terjadinya separasi adalah

u2 (setidaknya) ~ u1

Secara matematis, syarat ini berarti bahwa titik di mana separasi terjadi adalah titik

“ singularity” dari persamaan (BL). (Titik singular dari sebuah persamaan adalah titik di

mana persamaan tersebut tidak lagi memberikan solusi yang mempunyai arti fisik yang

berarti. Persamaan (BL) mempunyai solusi yang berarti di daerah di mana u2 << u1



Lapisan Batas 173

karena persamaan tersebut didapatkan dengan menggunakan asumsi u2 << u1). Karena

di dalam lapisan batas

1

2

uu ~

Re

1

maka untuk “keluar” dari permukaan maka u2 harus naik sebesar kurang lebih Re .

Untuk kasus Re tinggi ini berarti u2 harus naik menjadi infinite.

Sekarang kita akan gunakan kenyataan bahwa titik separasi adalah titik di mana

persamaan (BL) menjadi singular untuk mempelajari fenomena separasi. Pertama-tama

kita definisikan titik di mana separasi terjadi adalah titik ( x s , 0). Jadi daerah x1 < x s adalah daerah di depan titik separasi. Kondisi yang harus dipenuhi u2 di x s adalah

∞=),( 22 x xu s (FS.1)

karena (FS.1) maka

1

2

2 s x x

u

x=

⎛ ⎞∂= ∞⎜ ⎟

∂⎝ ⎠

Dari persamaan kontinuitas 02

2

1

1 =

∂

∂+

∂

∂

x

u

x

u,

∞=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

= s x x x

u

11

1 atau 0

11

1 =⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

= s x xu

x (FS.2)

Sekarang kita definisikan :

u s (x2 ) ≡ u1 (x s ,x2 ).

Didaerah yang sangat dekat dengan x s, kita dapat gunakan expansi Taylor untuk

mendapatkan,

( ) ( )

( ) ( )

1 1

221 1

1 1 2

1 1

2

1 1 1

1...

2 s s

s s s

x x x x

s s

x x x x u u u u

u u

x x f x u u

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂1− = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− = −

+

atau

( ) ( ) ( )1221 x x x xuu s s −+= α (FS.3)

di mana

( )( )2

2 1 x f

x ≡α



Lapisan Batas 174

( )

( )1

2

1

1

2

2

2 x x

x

x

u

x

u

s −=

∂

∂−=

∂

∂ α

sehingga,

( )

( )1

22

x x

xu

s −=

β (FS.4)

di mana

( ) ( )2 2

2 2

d x x

dx

β α ≡ (FS.5)

Sekarang akan kita gunakan persamaan momentum untuk lapisan batas inkompresible ,

1

2

22

2

1

1 dx x x x ρ ∂∂∂1

2

11 1 dpuuu

uu ν −

∂=

∂+

∂

Dari persamaan (FS.3) dapat dilihat bahwa di x1 = x s ,

1

12 2

2 2 2 s

s

x x

22 2

1 suu x x berhingga

α ⎛ ⎞ ∂∂ ∂= ⊕ − =

x x x=

⎜ ⎟∂ ∂

Selain itu,

∂⎝ ⎠

1

1

dx

dp

ρ juga berhingga. Tetapi

1

11

x

uu

∂

∂ dan

2

12

x

uu

∂

∂ adalah tak berhingga

, x x s

>> suku kanan) sehingga,

(karena 2u → tak berhingga).

Jadi di daerah dekat x

( )2

1 = x s (suku kiri

02

2

1

1∂∂ x x

11 ≈∂

+∂ u

uu

u

Dari persamaan kontinuitas,

01

2

2

2

1

2

12

2

21 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=

∂

∂−

∂

∂

u

u

xu

x

uu

x

uu

Karena u1 ≠ 0 maka , 01

2

2

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

u

u

x atau

( )2

1

2

u

u≠ x fungsi (FS.6)



Lapisan Batas 175

Dari persamaan (FS.3) dan (FS.4),

( )( ) ( )12

2

1u2

x x xu xu

s s −= β

(suku yang terdapat α mempunyai koefisien x s-x1 yang jauh lebih kecil dari

( )1 s x− sehingga diabaikan). Karena (FS.6) menyatakan1u

22u

≠ fungsi ( x ) ,maka :

( )( ) s

s

A A xu

x

2

1

2

1konstan2 =⇒≡= β

β u

2

Jadi,

( )

( )1

22

2 x x

x Auu

s

s

−= (FS.7)

Dari (FS.5), :,2

sehinggadx

du A s=α

( ) ( )

( )1

2

2

21 x xdx

xdu A xuu s

s s −+= (FS.8)

Persamaan (FS.7) dan (FS.8) memberikan u1 & u2 sebagai fungsi x1 di dekat titik

parasi ( x1). Dari kedua persamaan tersebut dapat dilihat bahwa solusi persamaan (BL)se

(persamaan Prandt’l ) tidak memiliki arti fisik di daerah x1 >x s karena 1 x x s − menjadi

imajiner. Artinya: solusi dari persamaan Prandt’l hanya berlaku hingga x1 = x s.

Dari kondisi batas kita ketahui bahwa :

u1(x1 ,0) = 0 & u2(x1 ,0) = 0

maka dari persamaan (FS.7) dan (FS.8),

( )2

2 0

0 0, 0 sduu

⎛ ⎞ s

xdx

=

= = (FS)⎜ ⎟⎝ ⎠

Kedua kondisi ini harus dipenuhi di titik separasi!!!

presible telah disimpulkan bahwa

lusi dari persamaan (BL) adalah “serupa”/ ” similar ” untuk seluruh Re selama aliran

dalam lapisan batas adalah aliran laminar. Jadi, posisi x s adalah sama untuk seluruh Re

Dari diskusi di bagian tentang lapisan batas inkom

so



Lapisan Batas 176

karena solusi dari persamaan (BL) tidak mengalami perubahan variabel x1 untuk setiap

perubahan Re. Karena kondisi batas menyatakan u(x1 ,0) = 0, di permukaan benda,

persamaan momentum (x1) untuk lapisan batas menjadi,

010

2

2

1

2

22

1

==

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

xdx

dp

x

u

ρ ν

012 =

⎟⎟ ⎠

⎞⎛ dp⎜⎜⎝ x

dxsama dengan “ sign”Oleh karena itu “ sign” dari

2

2

2

1

2

x x

u⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂.

sama x2 d aka :Karena u1 > 0 & u1 naik ber i daerah di depan x s, m

0

0

2

2

1

2

2

>⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

= x x

u di sekitar x1 = x s

Sehingga dapat disimpuilkan bahwa,

0>

11

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= s x xdx

dp

Karena persamaan x2 momentum untuk lapisan batas adalah 02

=dxdp maka dapat

isimpulkan bahwa separasi aliran (separation flow) akan terjadi apabila:d

0>dx

dp atau

11

0indU

dx <

(di luar lapisan batas1

1 indU dpU = − )indx dx ρ

Di daerah di luar lapisan batas di m sial. Karena solusi

untuk aliran potensial di sekitar benda selalu terdapat 2 titik stagnasi, di depan dan

elakang, maka dapat disimpulkan bahwa separasi aliran akan terjadi di setiap kasus

ana alirannya adalah aliran poten

b

aliran di sekitar benda yang memiliki Re tinggi (pada titik stagnasi, u = 0. Apabila

terdapat 2 titik stagnasi, maka harus ada daerah di mana 0dU

dx < , yaitu di daerah

bagian belakang benda). Karena aliran di dalam lapisan batas lebih lambat dari di luar

maka ada daerah di dekat permukaan benda di mana u1 = 0 dan titik ini terdapat



Lapisan Batas 177

sebelum titik di mana U =0. Secara matematis ini berarti 02

1 =∂

∂

x

u di titik tersebut

sehingga terjadi separasi aliran di sebuah titik x1 = x s < x1 dimana U in = 0.

4.9 Titik-titik kri tis pada permukaan Benda

Kita telah lihat bahwa di titik (kasus 2-D) atau di garis (kasus 3-D) di permukaan di

mana separasi aliran terjadi u x1 S ( ,0) 0= dan

1

2dx

( ,0)

0

S du x

= . Karena “no-slip condition”

i permukaan benda maka kondisi pertama selalu terpenuhi di mana pun di permukaan

secara prinsip, prosedur untu

separasi adalah sbb. Dari persamaan (BL) atau (BLI), kita dapatkan solusi

d

benda. Namun, kondisi kedua hanya terpenuhi di titik–titik di permukaan di mana

terjadi flow separation. Jadi k menentukan posisi dan titik

dan 2 1 2( , )u x x . Dari solusi ini kita dapat hitung

1 1 2( , )u x x

).(1

02

1

2

x f x

u

x

=∂

∂

=

Kemudian apabila

kita nyatakan 0)(1

= x f maka solusi dari persamaan ini memberikan kita t

separ ).S

itik–titik

asi 1( , x x Perlu juga diingat bahwa 1 1

2

( ,0).wall τ = gan demikian maka

du x

dxµ Den

separasi alir ana hargaan terjadi di m .0=wall

τ

ukan secara prinsip

sangat sulit untuk dilakukan karena, seperti telah kita lihat, solusi dari persamaan (BL)

a itu informasi tentang titik

parasi dan separasi aliran biasanya didapat dengan melakukan “surface flow

Prosedur yang dijelaskan di atas dapat dilak . Namun, dalam praktik

atau (BLI) tidak dapat dicari secara analitik. Oleh karen

se

visualisation”, baik secara numerik maupun secara eksperimental. Oleh karena itu kita

perlu mempelajari aspek kualitatif dari separasi aliran karena dari aspek kualitatif inilah

kita dapatkan informasi tentang separasi aliran. Lebih spesifiknya kita perlu pelajari

“motif–motif” streamline di permukaan atau “wall-streamline pattern”, karena

informasi inilah yang kita dapatkan dari eksperimen.



Lapisan Batas 178

Di dalam subbagian ini kita akan gunakan koordinat axis seperti digambarkan di atas di

man 1 2& x x sejajar dengan permukaan sedangkan 3 adalah tegak lurus dengan

permukaan. Dalam koordinat sistem seperti ini separasi aliran terjadi di titik di mana

3

0 x

=∂

atauu∂

0

3

=∂

∂=

xwall µ τ

i dekat permukaan benda, “no-slip condition”

u

D3( 0)( 0) xu = = memungkinkan kita untuk

menyatakan, ( )1

3 3

lim konstan 0 di

0 wall s

u x x

x x τ

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟

→ ⎝ ⎠ di mana dalam hubungan di

L’Hospital rule” karenaatas telah digunakan “3( 0) 0 xu = = dan 3 0 x = . Oleh karena

hubungan di atas, maka kita dapat tuliskan3

u secara lokal sebagai ekspansi Taylor di x

koordinat atau,

3

u

u⎧ ⎫1

31 1 1 1

22 2 2 2

3

3 3 3 33

3

...

...

C x x

x a b c xu a b c x x

a b c xu x

= • +

⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

(WSL. 1)

Ini dapat dilakukan apabila solusi dari persamaan Navier-Stokes di permukaan adalah

“regular ” (tidak singular) dan ini adalah asumsi yang kita gunakan di sini. Koefisien –

koefisien s/d dapat kita tuliskan dengan menggunakan variabel aliran apabila

SL.1) kita subtitusikan ke dalam persamaan kontinuitas dan Navier–Stokes. Untuk

1a

3c

(W

aliran yang steady, kedua persamaan ini dapat dituliskan seperti (untuk aliran

inkompresible),



Lapisan Batas 179

0u∇ ⋅ = ,dan 2u u p u ρ µ ⋅∇ = −∇ + ∇

Namun, ada vector identity yang menyatakan bahwa,

( ) ( ) 2u u u∇ × ∇ × = ∇ ∇ ⋅ − ∇

Oleh karena itu, kedua persamaan tersebut dapat digabung sehingga,

( )( )u u p u ρ µ ω ⋅∇ + ∇ ∇ ⋅ − ∇ ×= −∇

u u P ν ω ⋅ ∇ = −∇ − ∇ × (WSL.2.a)

di mana.

p P ρ

≡

Apabila kita nyatakan

ξ

ω η

ζ

⎧ ⎫⎪ ⎪

≡ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(WSL.2.b)

usikan (WSL.1) ke (WSL.2) didapatkan,maka dengan mensubtit

( )2 13 3 30, 0,

2a b c

11 1 1 2 1

2 1 2 2 2

, , 2

, ,2

P a b c

a b

η η ν

ξ ξ ν

ξ η

⎫= = =

2 P c

⎪⎪⎪

= − = − ⎬= (WSL.3)⎪

− ⎪= = =⎪⎭

di mana “ subscript ” menyatakan turunan parsial di arah tertentu seperti, 1

1 x

η η

∂≡

∂,

2

2

ξ ξ

∂≡

∂

, dll.

“Wall-streamline” adalah garis–garis yang paralel terhadap vektor3 3

lim

0 x

u

x

⎛ ⎞ Denga

demikian maka arah dari wall-streamline (streamline di permukaan) dapat ditentukan

dengan m aan,

⎜ ⎟→ ⎝ ⎠

n

enyelesaikan persam

3

3

2

32 2 2 1 2 2

11 1 1 1 1 20

3 0

WSl x

x

u xdx u a x b x N

udx u a x b x D

x=

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ +

= = = ≡⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠



Lapisan Batas 180

Dari hubungan di atas, terlihat bahwa streamline mempunyai arah yang “well-defined ”

apabila N dan D tidak sama dengan nol. Di titik–titik di mana N = 0 = D disebut

“critical points” (pada titik–titik ini 2 10u u3 3 x

= = ). Pada titik-titik tersebut arah

streamline menjadi tak menentu atau “indeterminate”. Dari definisi “critical points”

maka jelaslah bahwa titik–titik separasi dan stagnasi adalah “critical points” (di titik

separasi,3 3

lim0

0 wall

u

x x τ = =

→). Sekarang kita akan lihat kemungkinan–kemungkinan

permukaan benda

pola garis aliran atau “ streamline pattern” di permukaan di sekitar “critical points”. Di

( )1 2 x plane− ,

1

3 1 1 1 1

2 2 2 22

x a b x x A

a b x xu

⎪ ⎪

3

u

x

⎧ ⎫

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎛ ⎞⎪ ⎪= ≡ ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎜ ⎟⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪

Karena u aka persamaan di atas adalah,

⎩ ⎭

x= dan m1 1 2 2u x=

1 x⎧ ⎫⎪ ⎪

3 1 1 1 1

2 2 2 22

3

x a b x x Aa b x x x

x

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ = ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥=⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪

⎪ ⎪⎩ ⎭

(WSL.4)

Pola dari wall-streamline dapat kita temukan apabila kita dapat menemukan solusi dari

WSL.4).

Dari matematika kita ketahui bahwa apabila ( )det 0 A ≠ maka eigenvalue dari ( )1 2, A λ λ

tidak sama dengan nol dan matriks tersebut dapat ‘‘di diagonalkan’’. Dengan kata lain

terdapat matriks T sehingga,

1 J T AT −= di mana 1

0 J

2

kasus A

0λ λ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

, atau 1

0 J

1

kasus B

1λ ⎡ ⎤

λ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

Kasus A atau Kasus B ditentukan oleh apakah A memiliki 2 atau 1 “linearly

independent eigenvectors”. Dengan adanya T , maka (WSL.4) dapat kita



Lapisan Batas 181

transformasikan sebagai berikut. Misalkan x T u= ⋅ di mana1

2

x x

x

⎧ ⎫≡ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ dan

1

2u⎩ ⎭

maka ( WSL.4) m njadi :

uu

⎧ ⎫= ⎨ ⎬

e

3

1 x A x

x= ⋅ ⇒ ( )

3

1T u A T u

x⋅ = ⋅ ⋅ atau,

( )1 1

3

1u T A T u T AT u J u

x

− −= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

Dengan demikian maka persamaan yang harus diselesaikan menjadi lebih sederhana

yaitu,

11 1

3

u x

uλ = , 2

2 2

3

uu

xλ =

(Kasus A )

atau,

11u uλ 1 2

3

u

x= 2

1 2

3

uu

xλ =

+

, (Kasus B ).

Dengan demikian maka pola dari wall-streamline di “bidang u1-u2” ditentukan oleh,

2

2 3 2

11 1 1

2

u

xd uuud uu

λ

λ

⎛ ⎞

⎜ ⎟⎛ ⎞ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟

( Kasus A )

3 x⎝ ⎠

2

2 3 1 2

1 11 1 1 2

3 2

1

1

u xd uu

u ud uu x u

λ

λ 1uλ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

( Kasus B )

Kasus A :

+

2 2 Solusi dari1 1d uu

κ =⎜ ⎟⎝ ⎠

adalahd uu⎛ ⎞

2 1u c u κ

= *

atau apabila di mana2 0u =1

0u = 2

1

κ λ

λ ≡ dan c adalah konstan integrasi.

a) 1 2dan Rλ λ ∈ ( 1, 2 adalah bilangan riil )

Untuk kasus ini maka apabila,



Lapisan Batas 182

κ >1:

κ =1:

0<κ <1:1

1 2

1uu

cκ = di mana

10

κ > . Jadi streamline untuk kasus ini sama dengan

kasus κ >1 dengan axis yang dibalik .

κ < 0: 1

1

cu

u κ

=

b) 1 2& C λ λ 1∈ ( 2 adalah bilangan komplek)

Untuk kasus ini

dan

12λ λ = . Apabila 1 iλ α β ≡ + maka,

( )11

3

ui u

xα β = +

, ( )2

2

3

ui u

xα β = −

(WSL.5)

Sekarang kita definisikan ,

( ) ( )1 211 1i u i uv ≡ + + −

( ) ( )1 221 1i u i uv ≡ − + +



Lapisan Batas 183

Dengan definisi ini maka ( WSL.5 ) menjadi,

11 2

3

21 2

3

v v v x

v v v x

α β

β α

= −

= +

Dari dua persamaan terakhir,

1 22 1

1 1

2

2

v vd v v v

d v v v

α β

1 2v v

κ β

κ α β

⎛ ⎞+⎜ ⎟ +⎝ ⎠= =

β

−⎛ ⎞−

⎜ ⎟⎝ ⎠

di mana α κ β

≡ rang kita. Seka tuliskan v dengan menggunakan (r ,θ )

koordinat.

1 dan v2

2 sinv r θ = cosr θ = dan1

v

Apabila kita cari dan maka,1v 2v

11 2

vv r v

r θ = − dan 2

2 1

vv r v

r θ = +


1 2

21 2

11 2

1 2

1

1

dr v v

v v dv r d dr dvv v v v

r d

κ θ

κ

θ

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠= =

− ⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

Dari persamaan di atas maka jelaslah bahwa,

1 dr

r d κ

θ = atau ir ce θκ = (WSL.6 )

κ = 0: r = u lingkaran dengan radius c.c ata



Lapisan Batas 184

κ ≠ 0: (WSL.6) adalah persamaan untuk “spiral”:

Kasus B

Untuk kasus ini1

Rλ ∈ . Solusi dari persamaan,

11

1 22

1d u u

d uu λ

⎛ ⎞⎜ ⎟ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

adalah1 2 2

1

1ln *c cu u u u

λ = +

2. Apabila kita gambarkan streamline

di u1-u2 plane maka bentuknya seperti,

Apabila pola-pola dibidang u1-u2 atau bidang v1-v2 ini kita transformasikan lagi ke

bidang x1- x2 lagi maka pola dibidang x1- x2 akan serupa dengan pola di bidang u1-u2.

atu-satunya perbedaan adalah untuk “ saddle point ” misalnya, perbedaan di kedua

ebut adalah seperti di sketsa di bawah ini.

S

bidang ters



Lapisan Batas 185

Jadi dapat disimpulkan bahwa solusi dari (WSL.4) di sekitar “critical point ”, yang

memberikan kita “wall-streamline pattern” di sekitar critical point ini, dapat berbentuk

node, focus, sadlle point, centre. Bentuk-bentuk yang didapatkan tergantung dari harga

λ1- λ2. Dari matematika harga λ1- λ2 dapat dihubungkan dengan matriks A karena,

( ) ( ) ( )( )1

2 2

1,2

14det

2tr A tr A Aλ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤= − ± −⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

(WSL)

di mana tr adalah “trace” dari A ”.

Sekarang hasil-hasil yang kita dapatkan dari matematika tadi dapat kita simpulkan didalam diagram di bawah ini,

Jadi apabila kita ketahui harga-harga dari komponen-komponen matriks A disekitar

ol ari wall-streamline di sekitar titik tersebut dapat kita

etahui dari diagram di atas.

asil dari “ surface flow visualization”, apabila kita melihat

ola-pola seperti dalam diagram di atas maka kita dapat simpulkan bahwa titik di sekitar

pola tersebut adalah “critical point ”. Kita tinggal tentukan apakah “critical point ”

tersebut adalah titik stagnasi atau separasi.

sebuah “critical point ” maka p a d

k

Dalam menginterprestasikan h

p



Lapisan Batas 186

4.9.1 Struktur-Struktur di Sekitar Critical Points

Di subbagian ini, kita akan lihat beberapa contoh dari penggunaan apa yang kita pelajari

di subbagian sebelah. Khususnya kita akan pelajari struktur-struktur di sekitar titik

separasi.

Separasi 2-D

Sebagai contoh pertama, kita akan melihat

separasi yang terjadi di aliran 2-D (“plane

flow”). Di sebelah, telah digambarkan apa

yang terjadi di sekitar titik separasimenurut “teori lapisan batas” (gambar B)

dan “Navier Stokes” (gambar A). Menurut

3

Jadi kejadian yang sebenarnya tentunya dijelaskan oleh

lusi dari persamaan Navier-Stokes”. Di subbagian sebelah kita telah dapatkan “ solusi

η = 0, P 1 = 0, ξ 1 = 0

teori lapisan batas, aliran di dekat permukaan secara tiba-tiba dibelokkan ke arah x .

Namun, perlu diingatkan di sini bahwa teori lapisan batas adalah aproksimasi dari

persamaan Navier-Stokes.

so

local ” persamaan Navier-Stokes di sekitar “critical point ” (WSL.1). Sekarang kita akan

gunakan solusi tersebut untuk menentukan sudut θ dalam gambar A.

Karena kasus ini adalah kasus 2-D, maka

Dengan demikian (WSL.1) menjadi,

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧

⎥⎥

⎥

⎦⎢⎢

⎢

⎣

=

⎪⎪⎭

⎪

⎬⎪⎪⎩

⎪

⎨ 3

2

2

2

3

3

3

20

2

x

x

xu

x

ξ

ν

⎤⎡−⎪

⎫⎪⎧

22 P uξ

θ engambil,dapat kita dapatkan dengan mSlope dari “ separation streamline” (s) atau

2

2

32

2

32

2232

32

0 2

2

2

2

ξ ν

ξ

ξ ν

ξ

−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

= x

x P x

x

x x P

x

3

2

3

3

02

3

2

3

1

1 ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= xu

xu

u

u

dx

dx

x

xSL



Lapisan Batas 187

karena di 01 = x , θ tan2

3

2

3 =≈⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

x

x

dx

dx

SL

maka persamaan di atas menjadi,

θ

ξ

ν

ξ

θ

tan2

2tan

22

2

−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

= P

atau2

23tan

P

νξ θ =

Dengan demikian apabila kita mempunya solusi dari lapisan batas maka ξ2 & P2 dapat

θ . Informasi tentang θ adalah sangat penting

karena θ adalah slope dari “ sep “Separation streamline” adalah

aliran rotasional (di antara streamline tersebut

dengan permukaaan) dengan aliran irrotasional (di atas streamline tersebut).

ditentukan sehingga kita dapat tentukan

aration streamline”.

streamline yang memisahkan antara

wall τ

sendiri sama dengan nol hanya di “titik separasi” ( 1 = x s) dan dari titik inilah

“ separation streamline” keluar meninggalkan permukaan membawa fluid element

dengan

x

0ω ≠ keluar lapisan batas.

Separasi yang terjadi di permukaan benda umumnya bukan separasi 2-D, seperti yang

dibahas di sebelah, namun separasi 3-D. Untuk mengerti perbedaan antara kedua jenis

separasi ini kita lihat contoh-contoh yang disketsakan di bawah ini :

Separasi 3-D

dua

Dalam kasus di mana terdapat “ separation bubble” ini, terdapat dua titik “critical

points”, yaitu titik separasi xS dan titik “attachment ” x A. Dalam gambar C, 2 wall-

streamline bertemu di xS untuk membentuk “ separation streamline” ( s). Streamline s

ini kemudian kembali lagi ke permukaan (di titik x A) kemudian terpecah menjadi



Lapisan Batas 188

ne ya ne s2).

dan attachment yang disketsakan dalam gambar C adalah kasus separasi

-D. Gambar D tidak mungkin menggambarkan separasi 2-D karena fluida diantara s1

r kearah x1. Oleh

karena itu kasus ini adalah kasus 3-D.

Selain perbedaan di atas, terdapat pula perbedaan tentang bagaimana vortisitas di

transportkan kedalam bubble. Untuk kasus 2-D, vortisitas dari lapisan batas hanya

dapat dipindahkan ke dalam “bubble” melalui cara difusi. Sebaliknya untuk kasus

separasi 3-D, vortisitas dapat masuk ke dalam “bubble” melalui konveksi yang terjad

arena terdapat fluida yang masuk langsung ke dalam bubble (fluida diantara s1 dan s2).

ational dengan aliran irrotattional. Dalam

asus separasi 3-D, kita butuhkan sebuah permukaan untuk memisahkan kedua daerah

hment seperti dalam contoh diatas. Gambar E

dalah pola disekitar critical point xS . Dari gambar ini terlihat bahwa terdapat “ saddle

point ” di dekat xS untuk kasus ini.

wall-streamline yang meninggalkan titik x A. Hal yang berbeda terjadi di gambar D.

Dalam gambar ini, streamline yang meninggalkan xS ( streamline s1) berbeda dengan

streamli ng menuju x A ( streamli

Kasus separasi

2

dan s2 akan terus menerus masuk ke dalam “bubble”. Dalam aliran 2-D ini tidak

mungkin terjadi karena ini akan melanggar kontinuitas. Agar tidak melanggar prinsip

kontinuitas maka, untuk aliran steady, fluida tersebut harus kelua

i

k

Untuk aliran dengan Re yang tinggi, proses konveksi jauh lebih dominan daripada

proses difusi. Oleh karena itu untuk aliran Re yang tinggi, proses separasi biasanya

diikuti dengan terbentuknya vortex-vortex. Separasi 2-D hanya terlihat dalam kasus-

kasus aliran dengan Re yang relative rendah.

Dalam kasus separasi 2-D terdapat sebuah streamline yaitu “ separation streaml ine”

yang memisahkan antara daerah aliran rot

k

ini. Permukaan ini disebut “ separation streamsurface”. Apabila dalam kasus separasi

2-D terdapat titik separasi ( separation point ) maka untuk separasi 3-D terdapat garis

separasi atau “ separation line”.

Sekarang kita akan lihat “wall-streamline pattern” yang terdapat di dekat “critical

points” untuk kasus separasi dan attac

a



Lapisan Batas 189

Terlihat pula bahwa, hanya terdapat dua streamline yang mencapai titik xS yaitu s1 dan

s2. Kedua streamline inilah yang kemudian bergabung di xS untuk membentuk

streamline yang meninggalkan permukaan. Wall-Streamline lainnya (selain s1 & s2),

hanya menuju” separation line”. Dari contoh ini maka jelaslah bahwa kita dapat

identifikasikan “ separation line” sebagai kurva yang dituju oleh wall-streamline.

Sepanjang “ separation line” (kecuali di xS ), τwall ≠ 0. Gambar F menunjukkan pola

wall-streamline” di sekitar critical point x A. Penjelasan untuk gambar ini serupa“

dengan penjelasan untuk gambar E namun arah dari tanda panah perlu diubah. Jadi

dalam gambar ini kita dapat identifikasikan “attachment line” sebagai kurva yang

ditinggalkan oleh wall-streamline.

Streamline yang terdapat di separation streamsurface disketsakan di gambar G. Di sini

terlihat bahwa seluruh streamline pada separation stream-surface ini berawal di titik xS

(critical point ). Streamline di permukaan ini harus berawal di titik xS karena kita harus

memenuhi prinsip kontinuitas.



Lapisan Batas 190

Selain “ saddle point ”, dapat pula terlihat “ focus” di sekitar critical point . “ Focus” di

permukaan benda menunjukkan bahwa terdapat sebuah vortex yang berawal di

permukaan benda tersebut.

dinamika-fluida-i-dasar-mekanika-fluida.pdf

Documents

Transcript of dinamika-fluida-i-dasar-mekanika-fluida.pdf