1

Dimensi Tiga(Proyeksi & Sudut)

2

Proyeksi Pada Bangun Ruang:

proyeksi titik pada garis proyeksi titik pada bidang

proyeksi garis pada bidang

3

Proyeksi titik pada garisDari titik P

ditarik garis m garis kgaris m memotong k di Q,

titik Q adalah hasil proyeksi

titik P pada k

P

Qk

m

4

ContohDiketahui kubus ABCD.EFGHTentukan proyeksititik A pada garis a. BC b.BDc. ET (T perpotongan AC dan BD).

A BCD

HE F

G

T

5

PembahasanProyeksi titik A pada

a. BC adalah titik

b. BD adalah titik

c. ET adalah titik

A BCD

HE F

G

T

B

TA’

A’(AC ET)

(AB BC)

(AC BD)

6

Proyeksi Titik pada BidangDari titik Pdi luar bidang Hditarik garis g H. Garis g menembus bidang H di titik P’.Titik P’ adalahproyeksi titik P di bidang H

H

P

P’

g

7

Contoh Diketahui kubus ABCD.EFGHa. Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah….b. Proyeksi titik C pada bidang BDG adalah….

A BCD

HE F

G

8

Pembahasana. Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah

b. Proyeksi titik C pada bidang BDG adalah CE BDG

A BCD

HE F

G

(EA ABCD)AP

P

9

Proyeksi garis pada bidangProyeksi sebuah gariske sebuah bidangdapat diperoleh dengan memproyek-sikan titik-titik yangterletak pada garis ituke bidang.H

A

A’

g

Jadi proyeksi garis g pada bidang H adalah g’

B

B’g’

10

Fakta-fakta1. Proyeksi garis pada bidang umumnya berupa garis2. Jika garis h maka

proyeksi garis h pada bidang berupa titik.

3. Jika garis g // bidang maka g’ yaitu proyeksi garis g pada dan sejajar garis g

11

Contoh 1 Diketahui kubus ABCD.EFGHa. Proyeksi garis EF pada bidang ABCD adalah….A B

CD

HE F

G

b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm, Panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah….

12

Pembahasana. Proyeksi garis EF pada bidang ABCD berarti menentukan proyeksi titik E dan F pada bidang ABCD, yaitu titik A dan B

A BCD

HE F

G

Jadi proyeksi EF pada ABCD adalah garis AB

13

Pembahasanb. Proyeksi garis CG pada bidang BDG berarti menentukan proyeksi titik C dan titik G pada bidang BDG, yaitu titik P dan G

A BCD

HE F

G

Jadi proyeksi CG pada BDG adalah garis PG dan panjangnya?

P

6 cm

14

A BCD

HE F

G •Panjang proyeksi CG pada BDG adalah panjang garis PG.

•PG = ⅔.GR = ⅔.½a√6 = ⅓a√6 = ⅓.6√6

PR

•Jadi panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah 2√6 cm

6 cm

15

Contoh 2Diketahui limasberaturanT.ABCDdengan panjang AB= 16 cm, TA = 18 cmPanjang proyeksi TApada bidang ABCDadalah….

T

AD C

B16 cm

18 cm

16

PembahasanProyeksi TApada bidang ABCDadalah AT’.Panjang AT’= ½AC = ½.16√2 = 8√2

T

AD C

B16 cm

18 cm

T’

Jadi panjang proyeksi TA padabidang ABCD adalah 8√2 cm

17

Sudut Pada Bangun Ruang:

Sudut antara dua garis Sudut antara garis dan bidang

Sudut antara bidang dan bidang

18

Sudut antara Dua GarisYang dimaksud dengan

besar sudut antara dua garis adalah

besar sudut terkecilyang dibentuk

oleh keduagaris tersebut

k

m

19

ContohDiketahui kubus ABCD.EFGH Besar sudut antaragaris-garis:a. AB dengan BGb. AH dengan AF c. BE dengan DFA B

CD

HE F

G

20

PembahasanBesar sudut antaragaris-garis:a. AB dengan BG = 900

b. AH dengan AF = 600 (∆ AFH smss)c. BE dengan DF = 900 (BE DF)

A BCD

HE F

G

21

P

QV

Sudut antara Garis dan Bidang

Sudut antara garis a dan bidang V

dilambangkan (a,V)adalah sudut antara

garis a dan proyeksinya pada V.

Sudut antara garis PQ dengan V = sudut antara PQ dengan P’Q = PQP’

P’

22

Contoh 1Diketahui

kubus ABCD.EFGHpanjang rusuk 6 cm.

Gambarlah sudutantara garis BG

dengan ACGE,

A BCD

HE F

G

6 cm

Kemudian hitunglah besar sudutnya!

23

PembahasanProyeksi garis BG

pada bidang ACGEadalah garis KG(K = titik potong

AC dan BD) A BC D

HE F

G

6 cm

Jadi (BG,ACGE) = (BG,KG) = BGK

K

24

PembahasanBG = 6√2 cm

BK = ½BD = ½.6√2 = 3√2 cm ∆BKG siku-siku di K

A BC D

HE F

G

6 cm

sinBGK =Jadi, besar BGK = 300

K

BGBK

21

2623

25

Contoh 2Diketahui

kubus ABCD.EFGHpanjang rusuk 8 cm.

A BCD

HE F

G

8 cm

Nilai tangens sudut antara garis CGdan bidang AFH adalah….

26

Pembahasantan(CG,AFH)

= tan (PQ,AP) = tan APQ =

=

A BCD

HE F

G

8 cm

P

Q

PQAQ

824

828.2

1

GCAC2

1

Nilai tangens sudut antara garis CGdan bidang AFH adalah ½√2

27

Contoh 3Pada limas

segiempat beraturan T.ABCD yang semua

rusuknya sama panjang,

sudut antara TA dan bidang ABCDadalah….

T

A BCD

a cm

a cm

28

Pembahasan• TA = TB = a cm• AC = a√2 (diagonal persegi)• ∆TAC = ∆ siku-siku samakaki

T

A BCD

a cm

a cm

sudut antara TA dan bidang ABCDadalah sudut antara TA dan ACyang besarnya 450

29

Sudut antara Bidang dan Bidang

Sudut antara bidang dan bidang

adalah sudut antaragaris g dan h, dimana

g (,) dan h (,).(,) garis potong bidang dan

(,)

g

h

30

Contoh 1 Diketahui kubus ABCD.EFGHa. Gambarlah sudut antara bidang BDG dengan ABCDb. Tentukan nilai sinus sudut antara BDG dan ABCD!

A BCD

HE F

G

31

Pembahasana. (BDG,ABCD) • garis potong BDG dan ABCD BD • garis pada ABCD yang BD AC • garis pada BDG yang BD GPA B

CD

HE F

G

Jadi (BDG,ABCD) = (GP,PC) =GPC

P

32

Pembahasanb. sin(BDG,ABCD) = sin GPC = = = ⅓√6A B

CD

HE F

G

Jadi, sin(BDG,ABCD) = ⅓√6

P

GPGC

x 6a

a

21 .6

6 66

21

33

Contoh 2Limas beraturan T.ABC, panjangrusuk alas 6 cm danpanjang rusuk tegak9 cm. Nilai sinus sudutantara bidang TABdengan bidang ABCadalah….

A

B

C

T

6 cm

9 cm

34

Pembahasan•sin(TAB,ABC) = sin(TP,PC) = sinTPC•TC = 9 cm, BP = 3 cm•PC = =•PT = =

A

B

C

T

6 cm

9 cm

P 22 36 cm 3327

22 39 cm 2672

3

35

• Lihat ∆ TPC PT = 6√2, PC = 3√3Aturan cosinusTC2 = TP2 + PC2 – 2TP.TC.cosTPC81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cosTPC

36√6.cosTPC = 99 – 8136√6.cosTPC = 18 cosTPC = =

A

B

C

T

9 cm

P

6√2

3√3 2 1

621

66x

12

6

36

• Lihat ∆ TPCcosP = Maka diperolehSin P =

Jadi sinus (TAB,ABC) =

12

6

12

√6

6 144 -

P 138

12138

12138

37

Contoh 3 Diketahui kubus ABCD.EFGH, pan- jang rusuk 4 cm Titik P dan Q berturut-turut di tengah-tengah AB dan AD. A BCD

HE F

G

Sudut antara bidang FHQP dan bi-dang AFH adalah . Nilai cos =…

4 cm

PQ

38

Pembahasan • (FHQP,AFH) = (KL,KA) = AKL = • AK = ½a√6 = 2√6 • AL = LM = ¼ AC = ¼a√2 = √2 • KL = = =3√2

A BCD

HE F

G4 cm

PQ

K

L

M22 MLKM

1824 2

39

Pembahasan• AK = 2√6 , AL = √2 KL = 3√2Aturan Cosinus:AL2 = AK2 + KL2 – 2AK.KLcos 2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cos24√3.cos = 42 – 2 24√3.cos = 40 cos =

K

L

MA

Jadi nilai cos = 395

395

40

T

D C

BA

Di bawah ini adalaha Limas segi empat beraturan dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukanlah nilai dari a. Sin sudut antara AT dan bidang ABCDb. Cos Sudut antara bidang TAB dan ABCDc. Cos Sudut antara bidang TAB dan TDC

41

TERIMA KASIH