DIMENSI TIGA · PDF fileadalah titik pusat bidang ABFE dan titik Q terletak pada rusuk HG...
Transcript of DIMENSI TIGA · PDF fileadalah titik pusat bidang ABFE dan titik Q terletak pada rusuk HG...
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 1
SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN
DIMENSI TIGA
Soal 1
Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. P adalah titik tengah CD.
Tentukan panjang EP!
Jawab:
Lihat gambar!
Panjang EP didapat dengan rumus Pythagoras
22 APEAEP
dari EAP yang siku-siku di A.
Panjang EA = rusuk = 4 cm sudah diketahui,
sedangkan panjang AP perlu dicari dahulu!
Dengan memperhatikan ADP yang siku-siku di D, maka
2041624 2222 DPADAP cm.
Sehingga 6362016)20(4 2222 APEAEP cm.
Sepertinya semangat belajar mulai tumbuh bersemi seiring dengan dikerjakannya
soal-soal yang mudah.
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 2
Soal 2
Balok ABCD.EFGH mempunyai ukuran AB = 12 cm, BC = 8 cm, dan AE = 6 cm. Titik P
adalah titik pusat bidang ABFE dan titik Q terletak pada rusuk HG sedemikian sehingga
HQ : QG = 3 : 1. Tentukan panjang PQ!
Jawab:
Lihat gambar!
Karena HQ = QG = 3 : 1 dan HQ = AB = 12 cm, maka:
Panjang 9124
312
13
3
HQ cm dan 312
4
112
13
1
QG cm.
Proyeksikan titik P dan Q ke bidang alas ABCD, sehingga memotong bidang alas di titik R
dan S. Proyeksikan S ke rusuk AB, namakan titik proyeksinya tersebut dengan titik U.
Namakan pula titik tengah QS dengan titik T.
QTP adalah segitiga siku-siku di T.1
SUR adalah segitiga siku-siku di U.
Perhatikan QTP , 22 TQPTPQ .
Panjang cm. 3cm 621 TQ Sedangkan panjang PT perlu dicari dahulu.
Panjang PT = panjang RS.
Perhatikan SUR , .22 USRURS
Panjang US = 8 cm, sedangkan panjang ARAURU
ABDS21
3691221 HQ cm.
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 3
Sehingga 7364983 2222 USRURS cm.
Maka 73 RSPT cm.
Jadi, 82973373 2222 TQPTPQ cm.
Soal 3
Kubus PQRS.TUVW mempunyai panjang rusuk 6 cm. Titik X terletak pada perpanjangan
garis SR, sedemikian sehingga SX : RX = 5 : 2. Tentukan panjang UX!
Jawab:
Perhatikan gambar!
Karena SX : RX = 5 : 2, maka SR : RX = 3 : 2.
Panjang SR = 6 cm , maka 4632 RX cm.
Perhatikan QRX siku-siku di R.
52163646 2222 RXQRQX cm.
Perhatikan UQX siku-siku di Q.
222224885236)52(6 2222 QXUQUX cm.
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 4
Soal 4
Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 5 cm. Tentukan jarak titik E ke rusuk BC!
Jawab:
Ingat definisi jarak titik ke garis !
Jarak titik P ke garis g adalah ruas garis PP’ yang tegak lurus garis g,
dimana titik P’ terletak pada garis g.
Sekarang lihat gambar di bawah!
Oooh…. Intinya harus
tegak lurus! Siiiiip deh!
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 5
Jarak titik E ke rusuk BC adalah EB, sebab EB tegak lurus BC.
Jadi, 2555 2222 ABEAEB cm.
Soal 5
Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk a cm. Berapa cm jarak titik G ke garis BD?
Jawab:
Perhatikan gambar di bawah!
Jarak titik G ke garis BD adalah GP, dengan P titik tengah BD. Sebab GP tegak lurus BD.
22 CGPCGP .
Panjang aCG cm, sedangkan 22
21
21 BCABACPC
22212
2122
21 aaaa cm.
Sehingga 22
4122
2122 2.)2( aaaaCGPCGP
6212
462
442
4222
42 aaaaaa cm.
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 6
Soal 6
Balok ABCD.EFGH mempunyai ukuran AB = 10 cm, BC = 8 cm dan CG = 6 cm.
Berapa cm jarak titik G ke garis BD?
Jawab:
Lihat gambar di atas! Jarak G ke garis BD adalah GP, tapi P bukan titik tengah BD
(bangun ruang yang diberikan adalah balok, bukan kubus, jadi P bukan titik tengah BD.
Berbeda dengan Soal 5)
Pertama, cari dulu GBP ( GBD ) dengan aturan cosinus pada GBD , yaitu:
BDBG
DGBDBGGBD
2cos
222
.
Hitung dulu panjang BG, BD, dan DG:
10100366468 2222 CGBCBG cm.
41241416464100810 2222 ADABBD cm.
34234413636100610 2222 CGDCDG cm.
Sehingga
412102
)342()412(10
2cos
222222
BDBG
DGBDBGGBD
415
16
4140
128
4140
136164100
.
Perhatikan ,GBP
BG
GPGBP sin
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 7
GBPBGGP sin
GBDBG sin (sebab GBDGBP )
Sudah diketahui 415
16cos GBD . Gunakan segitiga bantu untuk memperoleh nilai
.sin GBD
Maka 415
769sin GBD .
Akibatnya GBDBGGP sin
3152941
41
41
7692
41
7692
415
76910
412 cm.
Soal 7
Kubus KLMN.OPQR mempunyai rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik M ke diagonal ruang KQ!
Jawab:
Lihat gambar! Misalkan titik S adalah titik proyeksi tegak lurus titik M ke garis KQ.
Maka jarak yang diminta adalah MS. Panjang rusuk kubus r = 6.
Perhatikan:
363 rKQ cm (diagonal
ruang)
262 rKM cm (diagonal
bidang)
16
415
769
2561025
16)415( 22
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 8
Gunakan metode menghitung luas segitiga sewaktu di bangku SD:
KMQLuasKMQLuas
tinggialastinggialas 21
21
MSKQMQKM
MS 36626
36
626 MS
3
26
623
66
3
3
3
26 cm.
Alangkah senangnya mengingat kembali rumus waktu SD!
L = ½ x alas x tinggi
Soal 8
Tentukan besar BEG pada kubus ABCD.EFGH !
Jawab:
Panjang rusuk kubus tidak diketahui! Tapi tenang, jangan panik!
Kita misalkan saja panjang rusuk kubus = r.
Perhatikan bahwa:
2rBG (diagonal bidang)
2rBE (diagonal bidang) samasisi segitiga BEG
2rEG (diagonal bidang) 60 BEG .
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 9
Soal 9
Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk 11 cm. Tentukan jarak titik G ke bidang ABFE!
Jawab:
Definisi jarak titik ke bidang:
Jarak titik P ke bidang
adalah panjang ruas garis
yang melalui titik P dan
sebuah titik pada bidang
, sedemikian sehingga
ruas garis tersebut tegak
lurus bidang .
Pada gambar di samping,
jarak titik P ke bidang
adalah d.
Kembali pada soal,
jarak titik G ke bidang ABFE adalah GF, sebab GF tegak lurus bidang ABFE.
Jadi, jaraknya adalah GF = 11 cm.
Intinya:
Haruz tegak luruzz!!
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 10
Soal 10
Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik F ke bidang ACH!
Jawab:
Perhatikan gambar!
Misalkan P adalah titik tengah AC. Misalkan pula R adalah titik pada bidang atap EFGH
dengan PR sejajar CG. Dengan mempertimbangkan kesimetrisan bentuk, maka jarak
titik F ke bidang ACH adalah jarak titik F ke garis HP. Misalkan titik proyeksi tegak
lurus F ke garis HP adalah Q. Maka jarak yang diminta adalah jarak FQ.
Perhatikan:
26AC cm (diagonal bidang)
232621
21 ACAP cm.
26AH cm (diagonal bidang)
HPA siku-siku di P, maka 2222 )23()26( APAHHP
63541872 cm.
Dengan cara yang sama, 63PF cm. (Sadarilah PF = HP)
6CGPR cm.
26HF cm.
Untuk mendapatkan jarak FQ, gunakan:
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 11
HPFLuasHPFLuas
tinggialastinggialas 21
21
PRHFFQHP
62663 FQ
63
626 FQ
3433
12
3
12
63
236 cm.
Soal 11
Balok ABCD.EFGH mempunyai ukuran AB = 8 cm, BC = 4 cm dan CG = 4 cm. Tentukan
jarak titik B ke bidang ACGE!
Jawab:
Perhatikan gambar!
Jarak titik B ke bidan ACGE sama dengan jarak titik B ke garis AC. Misalkan proyeksi
tegak lurus titik B pada AC adalah M, maka jarak yang diminta adalah BM.
ABC siku-siku di B, maka 2222 48 BCABAC
54801664 cm.
Untuk menghitung garis tinggi BM, gunakan:
ABCLuasABCLuas
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 12
tinggialastinggialas 21
21
BCABBMAC
4854 BM
55
8
5
8BM cm.
Soal 12
Limas segiempat beraturan T.ABCD mempunyai panjang rusuk alas AB = BC = CD = DA =
8 cm dan panjang rusuk tegak TA = TB = TC = TD = 12 cm. Titik P adalah pusat bidang alas
ABCD. Tentukan jarak titik P ke bidang TBC!
Jawab:
Perhatikan gambar!
Misalkan E titik tengah BC. Perhatikan bahwa jarak P ke bidang TBC sama dengan jarak
P ke garis TE. Misalkan Q adalah titik proyeksi tegak lurus P ke garis TE. Maka jarak
yang diminta adalah panjang PQ.
Perhatikan:
24282
188
2
1
2
1
2
1 2222 BCABACAP cm.
Karena TPA siku-siku di P, maka:
7411232144)24(12 2222 APTATP cm.
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 13
Sementara itu,
482
1
2
1 ABPE cm.
Karena TEB siku-siku di E, maka:
2812816144412 2222 BETBTE cm.
Untuk mendapatkan garis tinggi PQ, gunakan:
TPELuasTPELuas
tinggialastinggialas 21
21
PQTETPPE
PQ 28744
28
744PQ
28
716
2
72
142
2
2
72 cm.
Soal 13
Bidang empat T.ABC mempunyai ukuran rusuk 12 cm. Tentukan tinggi bidang
empat tersebut (yaitu jarak titik T ke bidang alas ABC)!
Jawab:
Bidang empat (tetrahedron) adalah bangun
ruang yang terdiri dari empat bidang,
dengan semua rusuknya sama panjang,
merupakan limas segitiga beraturan.
Garis tinggi bidang empat adalah TP, dengan
P adalah titik berat segitiga ABC, yaitu
perpotongan garis-garis berat AD, BE, dan
CF.
Garis berat membagi sisi (rusuk) di
hadapannya menjadi dua bagian sama panjang. Jadi, AF = FB = 6 cm, BD = DC = 6 cm,
AE = EC = 6 cm.
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 14
Pertama, cari dulu panjang CF.
Karena CFB siku-siku di F, maka:
3633610836144612 2222 BFBCCF cm.
P adalah titik berat segitiga ABC, maka
34363
2
3
2 CFCP cm.
Karena TPC siku-siku di P, maka:
646169648144)34(12 2222 CPTCTP cm.
Jadi, tinggi bidang empat tersebut adalah 64 cm.
Soal 14
Balok KLMN.OPQR memiliki ukuran KL = 6 cm, LM = 5 cm, dan KO = 10 cm. Tentukan
sudut yang dibentuk oleh :
a) Garis PQ dengan garis KP
b) Garis PQ dengan OL
Jawab:
Lihat gambar!
a) Perhatikan bahwa:
POKLPQPOPQ
PLPQ bidang
(Inga: Jika garis g tegak lurus terhadap garis a dan garis b, maka garis g tegak lurus
terhadap bidang yang dibentuk oleh garis a dan garis b.)
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 15
KPPQPOKLKP
POKLPQ
bidang pada terletak
bidang
(Inga: Jika garis g tegak lurus bidang U, maka garis g tegak lurus
semua garis yang terletak pada bidang U tersebut)
Karena tegak lurus, maka sudut yang dibentuk oleh PQ dan KP adalah 90o.
b) Perhatikan bahwa garis PQ dan OL bersilangan, dan kedua garis itu tidak akan
berpotongan. Kalau begitu, bagaimana cara menentukan sudut antara kedua garis
tersebut?
Caranya adalah dengan menggeser-sejajar salah satu garis, hingga berpotongan dengan
garis yang satunya lagi. Pada soal, kita dapat menggeser sejajar garis PQ menjadi OR,
sehingga sudut antara PQ dan OL sama dengan sudut antara OR dan OL, yang besarnya
adalah 90o.
Soal 15
Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk 3 cm. Titik I terletak pada HG, sehingga HI = 1 cm.
Jika ACI , tentukan nilai tan .
Jawab:
Lihat gambar!
Misalkan proyeksi tegak lurus titik I ke bidang alas adalah titik J. Jelas DJ = HI = 1 cm.
Untuk mencari ACI , kita hitung dulu panjang ketiga sisi dari ACI .
Ini tips lho!
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 16
2333 2222 BCABAC cm.
139432 2222 GCIGIC cm.
22 IJAJAI
Panjang IJ = 3 cm, sedangkan 1013 2222 DJADAJ cm.
Sehingga:
199103)10( 2222 IJAJAI cm.
Gunakan rumus cosinus:
ICAC
AIICACACI
2cos
222
13232
)19()13()23(cos
222
266
191318
26
2
266
12 .
Gunakan segitiga bantu untuk mendapatkan nilai tan .
Ingatlah miring sisi
samping sisicos dan
samping sisi
depan sisitan
Jadi, .2
22
samping sisi
depan sisitan
2
26
22
426
2)26( 22
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 17
Soal 16
Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk r cm, bidang BDG membagi kubus menjadi
dua bagian, yang satu kecil dan yang lain besar. Berapakah perbandingan volume dua bagian
tersebut?
Jawab:
Lihat gambar!
Bidang BDG membagi kubus ABCD.EFGH menjadi dua bagian, yaitu:
dan
Volume bagian I adalah:
3
16
1
2
1
3
1tinggialas Luas
3
1rrrrV
Volume bagian II adalah:
333
1kubus total26
5
6
1rrrVVV
Jadi, perbandingan volumenya:
5:16
5:
6
1: 33
21 rrVV