BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

24
1 BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik sesuatu yang tidak definisikan dan merupakan suatu ide yang abstrak. Titik dilambangkan dengan “.” Garis Lihat juga ruas garis. Kalau kita mengatakan “garis”, maka sebenarnya kita membicarakan sesuatu yang abstrak. Karena itu, untuk menunjukkan suatu garis diperlukan suatu model seperti contoh berikut: Gambar ini adalah model garis yang kita beri nama Garis AB. Panjang garis tidak terbatas. Karena sifatnya yang tidak terbatas itu, maka gambar (model) garis diberi panah di kedua ujungnya. Garis AB dinyatakan dengan lambang AB . Di samping itu, apabila kiita menyebut garis, maka di dalamnya terkandung pengertian garis lurus. Setiap garis harus kita bayangkan sebagai garis lurus. Nama Garis: Huruf A dan B yang dicantumkan pada haris mewakili titik-titik pada garis itu dan sekaligus menjadi namanya. Perhatikan gambar berikut ini. Nama untuk garis di sebelah ini ada dua, yaitu: Garis AB dan garis BA. Ditulis: AB atau BA . Berapa buah garis yang tampak dalam gambar ini? Jawabnya: hanya satu. Tetapi satu garis mungkin mempunyai banyak nma, sepertyi terlihat pada gambar. A B A B A D B C

Transcript of BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

Page 1: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

1

BAB I

TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT

Titik

sesuatu yang tidak definisikan dan merupakan suatu ide yang abstrak. Titik

dilambangkan dengan “.”

Garis

Lihat juga ruas garis. Kalau kita mengatakan “garis”, maka sebenarnya kita

membicarakan sesuatu yang abstrak. Karena itu, untuk menunjukkan suatu garis

diperlukan suatu model seperti contoh berikut:

Gambar ini adalah model garis yang kita beri

nama Garis AB. Panjang garis tidak terbatas.

Karena sifatnya yang tidak terbatas itu, maka

gambar (model) garis diberi panah di kedua

ujungnya.

Garis AB dinyatakan dengan lambang AB . Di samping itu, apabila kiita

menyebut garis, maka di dalamnya terkandung pengertian garis lurus. Setiap garis

harus kita bayangkan sebagai garis lurus.

Nama Garis:

Huruf A dan B yang dicantumkan pada haris mewakili titik-titik pada garis itu

dan sekaligus menjadi namanya.

Perhatikan gambar berikut ini.

Nama untuk garis di sebelah ini ada dua, yaitu:

Garis AB dan garis BA. Ditulis: AB atau BA .

Berapa buah garis yang tampak dalam gambar

ini? Jawabnya: hanya satu. Tetapi satu garis

mungkin mempunyai banyak nma, sepertyi

terlihat pada gambar.

A B

A B

A D B C

Page 2: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

2

Garis ini mempunyai banyak nama. Nama-nama itu adalah:

AD , AC , AB , BC , BD , CD , DC , DB , DA , CB , dan BA .

Jadi setiap pasang titik yang terletak pada garis itu bolah dipakai untuk menamai

garis.

Sifat-sifat Garis

1. Jika diketahui dua titik sembarang dalam ruang, maka melalui kedua titik itu

dapat dibuat tepat satu garis saja.

2. Suatu garis dapat diperpanjang secara tak terbatas di kedua arahnya.

3. Suatu garis mungkin mempunyai banyak nama.

Sinar

Sinar dalam arti geometri adalah suatu ruas garis yang bermula dari suatu titik

pangkal memanjang tak terbatas ke satu arah. Walaupun sinar terbentuk dari ruas

garis, kita tidak boleh menyebutnya “uas garis”, tetapi cukup “sinar” saja, atau

“sinar garis”.

Membentuk sinar dimulai dari salah satu

titik dari ruas garis seperti tampak pada

gambar (1).

Pada gambar (2) sinar dimulai dari titik

A sampai melampaui titik B memanjang

tak terbatas. Sinar ini dinamakan “Sinar

AB” lambangnya: AB .

Kalau titik pangkalnya B, sepert terlihat

pada gambar (3) maka sinar itu

dinamakan sinar BA ditulis: BA .

Sinar AB tidak sama dengan sina BA,

sebab:

a. Titik pangkalnya berbeda.

b. Arahnya tidak sama

Gb (1)

Gb (2)

A

B AB

Gb (3)

B

A BA

Page 3: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

3

Kurva

Garis, ruas garis adalah bentuk-bentuk kurva yang sederhana. Kurva dapat

digambar dengan bermacam-macam bentuk. Bentuknya bisa teratur, bisa juga

tidak teratur.

Dikenal 4 maca kurva yaitu:

a. Kurva sederhana tertutup

b. Kurva sederhana tidak tertutup

c. Kurva tidak sederhana tertutup

d. Kurva tidak sederhana tidak tertutup

Contoh kurva sederhana tertutup:

Contoh kurva sederhana tidak tertutup:

Contoh kurva tidak sederhana tertutup:

Contoh kurva tidak sederhana tidak tertutup:

Page 4: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

4

Bidang:

Bidang tidak didefinisikan. Tetapi bidang dapat dipandang sebagai himpunan

titik-titik.

Yang dimaksud dengan bidang adalah bidang datar, yaitu bangun yang dapat kita

bayangkan sebagai suatu yang datar seperti permukaan cermin, permukaan meja,

dan lain-lain.

Sifat-sifat Bidang

a. Bidang tidak mempunyai batas

b. Berdimensi dua, artinya mempunyai panjang dan lebar.

c. Mempunyai arah yang lebih dari dua arah.

d. Tidak mempunyai tebal.

Untuk menggambarkan bidang diperlukan model seperti berikut:

Bidang ini disebut bidang atau bidang

ABC.

Pengertian Sudut

Sudut dapat dibentuk oleh dua buah sinar garis

yang memiliki titik pangkal yang sama

(berimpit). Sudut di samping dibentuk oleh sinar

AB dan sinar AC dengan titik pangkal A.

Garis AC dan AB disebut kaki sudut.

Titik A disebut titik sudut.

Daerah yang diarsir disebut daerah sudut, yang

selanjutnya disebut besar sudut.

A C

B

B

C

A

Page 5: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

5

Sudut Siku-siku

Sudut siku-siku dapat dibuat dengan menggunakan kertas dengan cara berikut ini:

1. Ambillah sehelai kertas yang bentuknya sembarang (bagian tepinya tidak

harus lurus), seperti Gambar (i)

2. Lipatlah kertas tadi sehingga salah satu tepinya lurus, seperti Gambar (ii).

3. Kemudian lipatlah satu kali lagi, sedemikian sehingga bagian yang satu dari

tepi lurus tadi saling berimpit dengan bagian lainnya, maka terjadilah sudut

siku-siku, seperti Gambar (iii).

Sudut siku-siku dapat pula digambar

dengan dua garis yang saling tegak

lurus. Garis PQ dan RQ merupakan garis

yang saling tegak lurus.

PQ tegak lurus RQ atau RQ tegak lurus

PQ.

Arah Vertikal dan Arah Horizontal

Jika sebuah batu diikat dengan tali, lalu

digantung pada suatu tempat seperti

pada gambar maka arah tali merupakan

arah vertikal.

Q R

P

Page 6: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

6

Tiga buah pensil terletak di atas meja.

Posisi ketiga pensil tersebut merupakan

arah horizontal.

Menamakan Sudut

Nama suatu sudut dapat diambil dari nama titik sudutnya, sedangkan untuk nama

sudut dengan menggunakan tiga huruf, nama titik sudutnya diletakkan di tengah-

tengah dua huruf lainnya.

Simbol untuk sudut adalah .

Perhatikan gambar di samping, nama sudut pada

gambar itu bisa dituliskan dengan dua cara,

yaitu:

1. Dengan satu huruf yaitu sudut B atau B

2. Dengan tiga huruf, yaitu sudut ABC ditulis

ABC atau sudut CBA ditulis CBA.

Menggambar dan Mengukur Sudut

Kita telah mengenal alat-alat dan penggunaannya dalam pengukuran.

Misalnya:

• Untuk mengukur panjang menggunakan mistar atau pita ukur.

• Untuk mengukur panas menggunakan termometer.

• Untuk mengukur massa menggunakan neraca.

• Untuk mengukur sidut menggunakan busur derajat.

Gambar busur derajat

Busur derajat adalah alat untuk

mengukur besar sudut dengan

menggunakan satuan derajat.

A

C

B

Page 7: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

7

Contoh:

Menggambar ABC = 50O

1. Buatlah salah satu kaki sudutnya, yaitu AB.

2. Letakkan busur derajat pada garis AB sedemikian hingga titik tengah busur

derajat berimpit dengan titik B, dan garis lurus yang melalui titik tengah busur

itu berimpit dengan garis AB. Jadi, yang berimpit dengan garis AB adalah

garis lurus yang melalui titik tengah busur, bukan bagian tepi bawah busur

derajat.

3. Perhatikan angka nol pada busur derajat yang terletak pada garis BA, apakah

terletak di dalam atau di luar? Jika letak angka nolnya di dalam, maka angka

50 yang digunakan juga yang berada di bagian dalam. Jika angka nol (0)

terletak di bagian luar maka angka 50 yang digunakan juga yang berada di

bagian luar.

Perhatikan gambar berikut.

Untuk mengukur besar sudut dan gambar yang diketahui, misalnya PQR pada

gambar. Perhatikan langkah-langkah berikut ini.

1. Impitkan titik tengah busur derajat dengan titik Q sehingga kaki sudut QP

berimpit dengan garis yang melalui titik nol (0) dan titik tengah busur derajat.

2. Perhatikan nol (0) pada busur derajat yang terletak pada garis QP, di luar atau

di dalam? Jika angka nol berada di bagian dalam, maka perhatikan angka pada

bagian dalam yang terletak pada kaki sudut QR. Ternyata angka 60O. Jadi,

PQR = 60°.

Page 8: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

8

Jenis-jenis Sudut

Perhatikan gambar berikut P merupakan sudut siku-siku, sehingga besar P =

90O.

Sudut seperti A disebut sudut lancip

Sudut seperti B disebut sudut tumpul

Sudut lancip besarnya antara 0O dan 90O

Sudut tumpul besarnya antara 90O dan 180O

Sudut siku-siku besarnya 90O

Sudut lurus besarnya 180O

Besar sudut satu putaran penuh adalah 360O

Perlu diketahui bahwa sudut yang besarnya antara 180O dan 360O disebut sudut

refleks.

Sudut lancip

Sudut refleksi

Sudut tumpul

Sudut refleksi

Sudut siku-siku

Sudut refleksi

Page 9: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

9

Sudut yang Saling Berpenyiku (Berkomplemen)

Perhatikan gambar berikut:

PQR = 90O

PQR = SQR = PQS

PQR = SQR = 90O

Pasangan PQR dan SQR disebut pasangan

sudut yang saling berpenyiku

Jadi, PQR merupakan penyiku dari SQR

SQR merupakan penyikut dari PQR

Jika dua sudut berjumlah 90O maka sudut yang satu merupakan penyikut dari

sudut yang lain. Dua sudut demikian disebut pasangan sudut yang saling

berpenyiku.

Contoh:

Perhatikan gambar di samping!

a. Jika PQR = 30O hitunglah besar SQR!

b. Jika x = 40O hitunglah y!

Jawab:

a. PQR + SQR = 90O

30O + SQR = 90O

SQR = 60O

b. x + y = 90

40 + y = 90

y = 50

P Q

S R

P Q

S R

Page 10: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

10

Sepasang Sudut yang Saling Berpelurus (Bersuplemen)

AOC dan BOC pada gambar (i) diletakkan sedemikian hingga kaki sudut OC

berimpit. Ternyata AOC dan BOC membentuk sudut lurus AOB.

Maka AOC dan BOC dikatakan saling berpelurus, sehingga AOC + BOC

= 180O.

Jadi, dua sudut yang saling berpelurus jumlahnya 180OC. Dan karena AOC dan

BOC saling berpelurus, maka:

AOC pelurus dari BOC, atau

BOC pelurus dari AOC

Skala

Untuk menggambar suatu benda yang sesuai dengan ukurannya tidak selalu dapat

dilakukan, sebab ada benda yang ukurannya lebih besar dari pada ukuran tempat

menggambar.

Agar gambar yang kita buat sebangun dengan bendanya, maka gambar diperkecil

ukurannya dengan menggunakan skala tertentu.

Kala 1 : 5 artinya tiap-tiap 1 cm pada gambar mewakili jarak 5 cm pada keadaan

sebenarnya.

Skala 1 : 400 artinya tiap-tiap 1 cm pada gambar mewakili jarak 400 cm atau 4 m

pada keadaan sebenarnya.

Skala 1 : 8.000.000 artinya tiap-tiap 1 cm pada gambar mewakili jarak 8.000.000

cm atau 80 km pada keadaan sebenarnya.

A O O B

C C

B

C

A O

i ii

Page 11: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

11

Contoh:

1. Skala suatu gambar adalah 1 cm mewakili 40 m. Berapa cm harus digambar

bila jarak sebenarnya 120 m?

Jawab:

1 cm mewakili 40 m.

120 m diwakili oleh 40

120 = 3 cm.

2. Skala suatu gambar adalah 1 cm mewakili 50 km.

a. Jika jarak dua kapal 250 km, berapa cm jarak tersebut pada gambar?

b. Jika jarak pada gambar 4 cm, berapa jarak sebenarnya?

Jawab:

1 cm mewakili 50 cm.

a. 250 km diwaliki oleh 50

250 = 5 cm.

b. Jarak sebenarnya = 4 x 50 km

= 200 km

Sudut Elevasi

Sudut elevasi suatu titik B terhadap titik

A yang lebih rendah adalah sudut lancip

antara arah AB dan garis horinsontal

(mendatar) yang melalui A. BAC

disebut sudut elevasi.

Contoh:

Seorang anak berdiri pada titik O yang berjarak 60 m dari pangkal sebatang

pohon. Ia mengukur sudut elevasi puncak pohon tadi dari O besarnya 35O.

Berapakah kira-kira tinggi pohon?

Jawab.

Untuk menjawab soal itu kita harus membuat sketsanya dan menentukan

skalanya.

Page 12: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

12

Gambar di samping adalah sketsa dari

keadaan di atas.

Kita gunakan skala berikut:

1 cm mewakili 10 m, sehingga 60 m

diwakili oleh 10

60= 6 cm.

Gambar skalanya:

Urutan menggambar:

1. Gambar OA = 6 cm.

2. Buatlah di titik O sudut AOB

besarnya 35O dan pada titik A sudut

yang besarnya 90O, sehingga kedua

kaki berpotongan di titik B.

3. Ukurlah panjang AB.

4. Panjang AB kira-kira 4,2 cm.

5. Jadi, tinggi pohon kira-kira =

4,2 x 10 m = 42 m.

Sudut Depresi

Seorang pilot helikopter melihat suatu tanda yang terletak di tanah yang

mendatar. Sudut antara arah pengamatan pilot ke tanda di tanah dengan arah

horisontal disebut sudut depresi.

Hal tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

CBA disebut sudut

depresi

CBA = DAB

Page 13: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

13

Contoh Penggunaan:

Pada sebuah helikopter yang sedang terbang, pilotnya melihat tanda di tanah yang

letaknya 200 m dari titik di tanah yang berada tepat di bawah helikopter dengan

sudut depresi = 40O.

Tentukanlah kira-kira ketinggian posisi helikopter tersebut!

Jawab:

Sketsa

Gambar di samping adalah sketsa dari

keadaan di atas.

Skala yang akan digunakan adalah:

1 cm mewakili 40 m.

200 m diwakili oleh 40

200 = 5 cm.

Gambar Skala

Langkah-langkah membuat gambar

skala:

1. Tarik garis OA = 5 cm

2. Buat di titik A sudut yang besarnya

40° dan di titik O sudut yang

besarnya 90O, sehingga kedua kaki

berpotongan di B.

3. Ukurlah panjang OB.

Panjang OB kira-kira 4,2 cm.

4. Tinggi helikopter kira-kira

= 4,2 x 40

= 168 m.

A O

B C

200 m

40O

40O

Page 14: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

14

CATATAN

Cara mengambar 2 buah garis yang saling tegak lurus dengan menggunakan

penggaris dan segi tiga siku-siku.

Sediakan penggaris 30 cm atau 20 cm dan penggaris segi tiga!

Amatilah gambar-gambar berikut!

Langkah ke-1

Gambar garis AB

Langkah ke-2

Impitkan salah satu sisi tegak

segitiga dengan garis AB

Lalu gambarlah garis CD .

Garis CD tegak lurus pada

garis AB , ditulis CD ⊥AB

Sudut BDC adalah sudut siku-

siku

GARIS SEJAJAR

1. Pengertian Garis Sejajar

Jika kita menggambar dua buah garis, maka ada tiga kemungkinan yang

terjadi, yaitu kedua garis sejajar, berimpit, atau berpotongan.

a. Dua buah garis disebut sejajar jika kedua garis itu terletak pada satu bidang,

tetapi tidak memiliki titik persekutuan walaupun kedua garis itu diperpanjang.

Garis a dan b terletak pada

satu bidang datar. Garis a dan

b sejajar ditulis a // b

a

b

Page 15: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

15

b. Dua buah garis disebut berimpit jika kedua garis itu terletak pada satu bidang

dan banyaknya titik persekutuan tak terhingga.

Garis a dan b terletak pada bidang yang

sama. Garis a dan b berimpit.

Demikian pula halnya dengan garis BC

berimpit dengan garis AD karena titik B dan

C terletak pada garis AD.

c. Dua buah garis disebut berpotongan jika kedua garis itu memiliki satu titik

persekutuan. Titik ini disebut titik potong (titik persekutuan).

Garis a dan b terletak pada bidang yang

sama. Garis a dan b berpotongan di titik T

(yang juga terletak pada bidang yang sama).

Garis g dan h juga dikatakan berpotongan

sebab jika diperpanjang kedua garis itu akan

bertemu di M.

2. Sifat-Sifat Garis Sejajar

a. Melalui Satu Titik di Luar Sebuah Garis dapat Ditarik Tepat Sejajar

dengan Garis yang Sejajar dengan Haris itu

Melalui suatu titik di luar sebuah garis dapat ditarik tepat satu garis

yang sejajar dengan garis itu. Perhatikan Gambar berikut ini.

Gambar (i) menunjukkan sebuah garis a dan titik P yang terletak di luar garis

a. Gambar (ii) menunjukkan tiga garis yang dibuat melalui titik F, yaitu garis

b, c, dan d. Dari gambar tersebut terlihat bahwa garis c dan d berpotongan

dengan a, sedangkan garis b tidak. Garis b sejajar dengan garis a (b // a).

a = b

A

B

C

D

T b

a

M

h

g

P

a

(i) (ii)

a // b

(P

d

a

b c

Page 16: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

16

Melalui satu titik di luar sebuah garis dapat ditarik tepat satu garis yang sejajar

dengan garis itu.

b. Jika Satu Garis Memotong Salah Satu dari Dua Garis Sejajar, maka

Garis tersebut akan Memotong juga Garis yang Kedua

Perhatikan berikut ini.

Gambar (i) menunjukkan garis a sejajar dengan garis b (a // b). Garis c

memotong garis a dititik A. Apakah garis c juga memotong garis b? Misalkan

garis c memotong garis a di titik A dan garis c tidak memotong garis b. Hal ini

berarti bahwa c // b.

Dengan demikian, melalui titik A terdapat dua garis a dan c yang

sejajar dengan garis b. Hal ini tidak sejalan dengan sifat a. Jadi, tidak mungkin

garis c tidak memotong garis b atau dengan perkataan lain garis c memotong

garis b pula (lihat gambar (ii)).

Jika garis a, b, dan c terletak pada satu bidang, a // b dan garis c memotong

garis a, maka tentunya garis c memotong pula garis b.

c. Jika sebuah Garis Sejajar dengan Dua Buah Garis, maka Kedua Garis

itu sejajar juga Satu Sama Lainnya

Perhatikan gambar berikut ini.

c

a

A

b

(i) (ii)

c

a

A

b

B

b

a

c

Page 17: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

17

Garis a sejajar dengan garis b dan c (a // b dan a // c). Apakah garis b

sejajar garis c? Andaikan garis b tidak sejajar garis c, maka garis b

berpotongan dengan garis c. Karena a // b, maka menurut sifat b, garis c juga

akan memotong garis a. Hal ini tidak sejalan dengan yang diketahui bahwa a

// b dan a // c, sehingga haruslah b // c.

3. Sudut-sudut yang Terjadi jika Dua Garis Sejajar Dipotong oleh Sebuah

Garis

Perhatikan Gambar berikut, garis a sejajar garis b dipotong oleh garis c di

titik A dan B, maka terjadilah delapan buah sudut, yaitu A1, A2, A3, A4,

B1, B2, B3, dan B4.

a. Sudut-sudut sehadap

Pasangan-pasangan sudut sehadap, yaitu:

(i) A1 dan B1

(ii) A2 dan B2

(iii) A3 dan B3

(iv) A4 dan B4

b. Sudut-sudut dalam Berseberangan

Pasangan-pasangan sudut dalam berseberangan, yaitu:

(i) A1 dan B3

(ii) A2 dan B4

B

A 2 1

4 3

2 1 4 3

b

a

Page 18: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

18

c. Sudut-sudut luar berseberangan

Pasangan-pasangan sudut luar berseberangan, yaitu

(i) A3 dan B1

(ii) A4 dan B2

d. Sudut-sudut Dalam Sepihak

Pasangan-pasangan sudut dalam sepihak, yaitu:

(i) A1 dan B4

(ii) A2 dan B3

e. Sudut-sudut Luar Sepihak

Pasangan-pasangan sudut luar sepihak, yaitu:

(i) A4 dan B1

(ii) A3 dan B2

4. Hubungan Sudut-sudut pada Dua Garis Sejajar yang Dipotong oleh sebuah

Garis

Perhatikan gambar berikut:

a. Hubungan Sudut-Sudut Sehadap

Aksioma: Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, maka sudut-

sudut sehadapnya sama besar.

Dengan demikian, dari gambar di atas diperoleh pasangan sudut sehadap yang

sama besar, yaitu:

A1 = B1

A2 = B2

B

A 2 1

4 3

2 1 4 3

b

a

Page 19: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

19

A3 = B3

A4 = B4

Aksioma Kebalikannya: Jika dua buah garis dipotong oleh garis lain sehingga

sudut sehadapnya sama besar, maka garis-garis itu sejajar.

Catatan:

(i) Aksioma (axioma) ialah patokan (pangkal) yang tidak diragukan lagi

kebenarannya, sehingga kebenarannya tidak perlu dibuktikan.

(ii) Teorema (dalil) ialah patokan yang menghendaki bukti kebenaran.

b. Hubungan Sudut-sudut Dalam Berseberangan

Teorema 1: Jika dua buah garis sejajar dipotong garis lain, maka sudut-sudut

dalam berseberangan sama besar.

Perhatikan Gambar di atas, garis a // b dipotong c di titik A dan B. Tunjukkan

bahwa A1 = B3.

Bukti:

A1 = B1 (sudut sehadap)

B1 = B3 (sudut bertolak belakang)

Maka A1 = B3 (terbukti)

Sebagai latihan coba kamu buktikan /tunjukkan bahwa A2 = B4.

Teorema kebalikannya: Jika dua buah garis dipotong oleh garis lain dan

ternyata sudut dalam berseberangannya sama besar,

maka dua garis itu sejajar.

c. Hubungan Sudut-sudut Luar Berseberangan

Teorema 2: Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, maka sudut-

sudut luar berseberangan sama besar.

Perhatikan Gambar di atas, garis a // b dipotong garis c di titik A dan B.

Tunjukkan bahwa A3 = B1.

Bukti:

Page 20: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

20

A3 = A1 (sudut bertolak belakang)

A3 = B3 (sudut dalam berseberangan)

B3 = B1 (sudut bertolak belakang)

Maka A3 = B1 (terbukti).

Sebagai latihan, coba kamu buktikan bahwa (sudut luar berseberangan)

A4 = B2.

Teorema kebalikannya: Jika dua buah garis dipotong oleh garis lain dan

ternyata sudut-sudut luar berseberangan sama

besar, maka dua garis itu sejajar.

Dari Gambar 4.9, andaikan A3 = B1 (sudut-sudut luar berseberangan),

maka a // b.

d. Hubungan Sudut Dalam Sepihak

Teorema 3: Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, maka sudut

dalam berjumlah 180°.

Perhatikan Gambar di atas, garis a // b dipotong garis c di titik A dan B.

Tunjukkan bahwa A1 + B4= 180°

Bukti: A1 = B1 (sudut sehadap)

B1 + B4 = 180o (sudut berpelurus)

Maka A1 + B4 = 180° (terbukti)

Sebagai latihan coba kamu buktikan bahwa A2 + B3 = 180° (sudut-sudut

dalam sepihak).

Teorema kebalikannya: Jika dua buah garis dipotong oleh garis lain dan

ternyata sudut dalam sepihak jumlahnya 180°,

maka kedua garis itu tentu sejajar

Page 21: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

21

e. Hubungan Sudut Luar Sepihak

Teorema 4: Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, maka sudut

luar sepihak berjumlah 180°.

Perhatikanlah Gambar di atas, yang menunjukkan garis a sejajar garis b

dipotong garis c dititik A dan B. Tunjukkan bahwa A4 + B1 = 180° (A4

dan B1 sudut-sudut luar sepihak).

Bukti:

A1 = B1

A1 + A4 = 180o (sudut berpelurus

A1+ B1 = 180o (sudut sehadap)

Maka A4 + B1 = 180o (terbukti)

Teorema kebalikannya: Jika dua buah garis dipotong garis lain dan

ternyata sudut luar sepihaknya jumlahnya 180°,

maka kedua garis itu tentu sejajar.

Contoh:

1. Perhatikan gambar berikut!

Jika A1 = 50O, tentukan sudut=sudut lainnya!

Penyelesaian:

B1 = A1 (sudut sehadap)

= 50o

A1 + A2 = 180O (sudut berpelurus)

A

B

2 1 4 3

2 1 4 3

a

b

Page 22: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

22

A2 = 180O – A1

A2 = 180O – 50O

= 130O

B2 = A2 (sudut sehadap)

= 130o

A3 = A1 (sudut bertolak belakang)

= 50o

B3 = A3 (sudut sehadap)

= 50o

A4 = A2 (sudut bertolak belakang)

= 130o

B4 = A4 (sudut sehadap)

= 130o

2. Perhatikan gambar berikut!

Tentukan ABC, DCE, CDE dan CED

Penyelesaian:

ABC = 180O – BAC – ACB

= 180O – 20O – 110O

= 50O

DCE = ACB (sudut bertolak belakang)

= 110O

CDE = CAB (sudut dalam berseberangan)

= 20O

CED = ABC (sudut dalam berseberangan)

= 50O

Page 23: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

23

Mengukur Besar Sudut Jam (Besar Sudut yang Terbentuk antara Jarum

Pendek dan Jarum Panjang)

Contoh:

Berapa besar sudut yang terbentuk antara jarum

pendek dan jarum panjang pada jam di samping

jika jam menunjukkan pukul 13.30.

Jawab:

= (4 x 30) + (2

1 x 30)

= 120 + 15

= 135O

Besar sudut yang terbentuk antara jarum pendek

dan jarum panjang gambar di samping adalah

90O artinya 30 + 30 + 30 atau 3 x 30 = 90O

Sekarang jika jarum jam menunjukkan pukul 09.12 menit, berapakah besar sudut

yang terbentuk antara jarum pendek dan jarum panjang?

Jawab:

Gambar jam yang menunjukkan pukul 09.12

kita hitung dahulu sudut yang pendek dari puku;

10 sampai pukul 14, yaitu 4 jam berarti 4 x 30 =

120O. terus lebihnya 2 menit. Setiap lima menit

jarum panjang membentuk sudut 30O. jadi

dalam 1 menit jarum panjang akan membentuk

sudut 6O. Sedangkan jarum pendek satu kali

putaran atau pergantian jam membentuk sudut

30O. Berarti setiap 1o jam pendek membentuk

sudut

O

2

1.

12

6

3 9

2

1 11

10

5

4 8

7

12

6

3 9

2

1 11

10

5

4 8

7

12

6

3 9

2

1 11

10

5

4 8

7

Page 24: BAB I TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT Titik

24

Dari soal tersebut di atas dapat diselesaikan sebagai berikut:

= (4 x 30O) x (2 x 6O) + (30 – (12 x O

2

1)

= 120O + 12O + 24O

= 156O

Atau

= (4 x 30O) + (2 x 6O) + 48 x O

2

1)

= 120O + 12O + 24O

= 156O

Sebagai latihan tentukan besar sudut yang terbentuk antara jarum pendek dan jarum

panjang pada soal berikut!

1. Pukul 10.12

2. Pukul 13.27

3. Pukul 13.33