Diktat Besar1
-
Upload
boundary-ahmad -
Category
Documents
-
view
112 -
download
10
Transcript of Diktat Besar1
Mekanika Kekuatan Material
BAB I
TEGANGAN SEDERHANA
1.1 PENDAHULUAN
Kekuatan Bahan (strength of material) memperluas pelajaran gaya yang
dimulai dengan Mekanika Teknik, tetapi terdapat perbedaan yang nyata antara
kedua materi tersebut. Pada dasarnya, bidang Mekanika membahas hubungan
antara gaya yang bekerja pada benda kaku (pada statika, benda dalam keadaan
setimbang, sedangkan pada Dinamika benda dipercepat tetapi dapat dibuat
setimbang dengan menempatkan gaya inersia).
Kekuatan bahan, membahas hubungan antara gaya luar yang bekerja dan
pengaruhnya terhadap gaya dalam benda. Selanjutnya, benda tidak lagi dianggap
sebagai kaku ideal; Deformasi walaupun kecil, merupakan sasaran utama.
1.2 ANALISA GAYA DALAM.
Salah satu masalah utama mekanika bahan adalah menyelidiki tahanan
dalam dari sebuah benda, yaitu hakekat gaya-gaya yang ada di dalam suatu
benda yang mengimbangi gaya-gaya luar yang terpakai. Untuk maksud ini. Kita
melakukan metoda pendekatan yang seragam dengan cara membuat Diagram
Benda Bebas (free body diagram), yaitu sebuah skets diagramatis yang lengkap
dari bagian struktur yang akan diselidiki dimana semua gaya luar yang bekerja
pada sebuah benda diperlihatkan pada masing-masing titik tangkapnya.
Gambar 1. Pengirisan sebuah benda
1
Mekanika Kekuatan Material
Sebuah benda stabil akan diam pada kesetimbangannya, maka gaya-gaya yang
bekerja padanya akan memenuhi persamaan keseimbangan statis. Bila gaya-gaya
yang bekerja pada sebuah benda seperti pada gambar 1.1.(a). memenuhi
keseimbangan statis dan semuanya terlihat dalam diagram benda bebas, maka
untuk menentukan gaya-gaya dalam yang dihasilkan oleh gaya luar dapat
diperoleh dengan menggunakan Metode Irisan (Method of Section).
Metode Irisan diperoleh dengan menggunakan sebuah bidang potong ABCD
sehingga memisahkan benda semula menjadi dua bagian yang berlainan.
Kemudian bila benda itu secara keseluruhan berada dalam keseimbangan, maka
setiap bagian dari masing-masing potongan itu juga berada dalam kesetimbangan.
Hasil proses tersebut dapat dilihat pada gambar 1.1.(a). dan 1.1.(b).
Dari langkah di atas diperoleh kesimpulan bahwa gaya-gaya luar yang
terpakai pada sebuah sisi potong tertentu haruslah diimbangi oleh gaya-gaya
dalam yang terbentuk dalam potongan tersebut, atau secara ringkas dapat
dikatakan bahwa gaya-gaya luar diimbangi oleh gaya-gaya dalam.
Secara umum gaya-gaya dalam diubah menjadi gaya dan kopel dan
diuraikan menjadi komponen normal dan tangensial terhadap penampang,
diperlihatkan dalam gambar 1.2.
Gambar 2. Komponen pengaruh gaya dalam pada bidang irisan.
Notasi yang digunakan pada gambar 1.2. menunjukkan penampang selidik dan
arah gaya atau komponen momen. Indek pertama menunjukkan muka dimana
komponen bekerja; Indek kedua menunjukkan arah komponen kusus. (misal : Pxy
berarti gaya pada muka X yang bekerja pada arah Y).
2
Mekanika Kekuatan Material
Setiap komponen merefleksikan pengaruh beban terpasang yang berbeda
dari setiap batang dan diberikan nama khusus sebagai berikut :
Pxx : Gaya aksial (Axial Force). Komponen ini mengukur kerja tarikan
atau tekan di penampang.
Pxy,Pxz : Gaya Geser (Shear force). Gaya ini adalah komponen tahanan total
akibat geseran salah satu sisi penampang suatu bagian terhadap
bagian lain. Resultan gaya geser biasanya disimbolkan dengan V.
Mxx : Torsi (torque). Komponen ini mengukur tahanan puntir batang dan
umumnya diberi simbol T.
Mxy,Mxz : Momen lentur (Bending Momen). Komponen ini mengukur
tahanan lentur batang terhadap sumbu Y dan Z (My atau Mz).
1.3 TEGANGAN (STRESS).
Gaya dalam yang bekerja pada bidang potong umumnya terdiri dari
bermacam-macam besaran dan arah. Dalam praktek keteknikan gaya-gaya
tersebut diuraikan menjadi tegak lurus dan sejajar terhadap irisan/potongan yang
sedang diselidiki.
Gaya yang bekerja tegak lurus atau normal terhadap irisan disebut
Tegangan Normal (Normal Stress) pada sebuah titik dan dilambangkan dengan
(sigma). Secara matematis didefinisikan sebagai berikut :
=
dimana F adalah gaya yang bekerja tegak lurus terhadap potongan dan A adalah
luas penampang dimana gaya bekerja.
Jenis Tegangan Normal :
1. Tegangan Tarik (Tensile Stress), adalah tegangan normal yang menghasilkan
tarikan (Traction atau Tension).
2. Tegangan Tekan (Compressive Stress), adalah tegangan normal yang
mendorong potongan tersebut.
3
Mekanika Kekuatan Material
Gaya yang bekerja sejajar dengan bidang irisan disebut Tegangan Geser
(Shearing stress) dilambangkan dengan (tau) dan secara matematis
didefinisikan
=
dimana V adalah komponen gaya yang sejajar dengan potongan.
1.4 TEGANGAN NORMAL (NORMAL STRESS)
Pada suatu pembebanan batang aksial lurus dalam gaya tarik, bila dibuat
potongan yang tegak lurus dengan sumbu batang maka tegangan yang bekerja
adalah merupakan tegangan maksimum. Sedangkan bidang potong yang tidak
tegal lurus dengan sumbu batang akan mempunyai permukaan yang lebih luas
untuk melawan gaya yang terpakai sehingga gayanya lebih kecil. Tegangan
maksimum merupakan besaran yang paling penting karena cenderung akan
menyebabkan kegagalan bahan.
Besarnya tegangan normal atau tegangan yang berlaku tegak lurus pada
potongan adalah :
= atau
Tegangan normal ini didistribusikan dengan merata pada luas penampang
A. Pada umumnya P adalah resultan sejumlah gaya pada suatu sisi dari suatu
potongan. Persamaan di atas berlaku dengan mengidealisasikan sifat dari bahan
yaitu setiap partikel bahan dianggap menyokong gaya sama besar.
1.5 TEGANGAN GESER RATA-RATA.
Dalam praktek akan kita temui berbagai kasus sebagaimana ditunjukkan
dalam gambar 1-3, dimana gaya-gaya yang diantarkan dari sebuah bagian benda
kepada benda yang lain adalah dengan menimbulkan tegangan-tegangan dalam
bidang sejajar dengan gaya terpakai. Jadi dengan mengganggap bahwa tegangan
yang bekerja dalam bidang potongan-potongan ini akan didistribusikan secara
merata, maka kita akan memperoleh hubungan tegangan sebagai berikut :
4
Mekanika Kekuatan Material
= atau
Dari pernyataan di atas diketahui bahwa tegangan geser berbeda dengan
tegangan tarik. Tegangan akibat tegangan geser adalah disebabkan oleh gaya yang
bekerja sejajar dengan luas penahan gaya, sedangkan tegangan tarik dan tekan
disebabkan oleh gaya yang tegak lurus terhadap luas bidang gaya. Oleh sebab itu
tegangan tarik dan tekan disebut Tegangan Normal, sedangkan tegangan geser
bisa disebut Tegangan Tangensial
Tegangan geser terjadi apabila beban terpasang menyebabkan salah satu
penampang benda cendrung menggelincir pada penampang yang bersinggungan.
Pada praktek sebenarnya tegangan geser tidak pernah terbagi secara merata,
sehingga persamaan di atas merupakan tegangan geser rata-rata.
1.6 MASALAH TEGANGAN NORMAL DAN GESER
Besarnya tegangan yang kita kehendaki dalam perhitungan kekuatan
meterial adalah Tegangan Maksimum, karena merupakan gangguan yang paling
besar pada kekuatan suatu bahan. Tegangan yang paling besar terdapat pada
potongan atau irisan yang luas penampangnya minimum serta gaya aksial yang
bekerja paling besar. Irisan-irisan seperti ini disebut irisan kritis (critical section).
Untuk kesetimbangan sebuah benda dalam ruangan, persamaan-persamaan
statika memerlukan penyelesaian dengan syarat-syarat sebagai berikut
di dalam kesetimbangan statika jumlah komponen yang tidak diketahui maksimal
tiga buah, bila lebih maka sudah termasuk kedalam statis tak tentu (statically
indeterminate).
1.7 TEGANGAN DUKUNG (BEARING STRESS)
5
Mekanika Kekuatan Material
Gbr 3. Tegangan Dukung pada Sambungan Keling.
Tegangan dukung adalah tegangan dalam yang disebabkan oleh tekanan
singgung antara benda yang berpisah. Pada gambar di atas, besarnya tegangan
yang berlebih menyebabkan pelat atau paku keling atau keduanya mulur. Dengan
mengasumsikan tegangan dukung (b) terdistribusi secara merata disepanjang luas
proyeksi bidang paku keling, maka besarnya beban dukung adalah :
Pb = Ab x b = (t x d).b
BAB II
6
Mekanika Kekuatan Material
REGANGAN SEDERHANA
Bila ingin mengamati perubahan panjang antara dua
buah titik pada suatu batang uji, maka pertama-tama
pilih dua buah titik pada jarak tertentu yang juga
disebut sebagai jarak ukur (gage distance) atau Lo.
Selanjutnya pada batang tersebut kita beri beban tarik
atau tekan, sehingga bahan tersebut mengalami
deformasi panjang sebesar L. Regangan () yang
terjadi pada batang tersebut didefinisikan sebagai :
= =
Regangan merupakan besaran tidak berdimensi,
namun dapat juga dinyatakan dalam (m/m).
2.1 DIAGRAM TEGANGAN REGANGAN
Diagram tegangan regangan tersebut secara sederhana dapat dilihat pada
gambar sebagai berikut :
Gambar 5. Diagram Tegangan Regangan
7
Gambar 4. Uji Tarik
Mekanika Kekuatan Material
Diagram tegangan regangan merupakan diagram yang menggambarkan
hubungan antara tegangan dan regangan yang dianggap tidak tergantung dari
ukuran dan panjang spesimen.
Pada diagram tegangan regangan ini digunakan skala ordinat (sumbu X)
untuk tegangan dan skala absisi (sumbu Y) untuk regangan.Secara Eksperimen
diterangkan bahwa diagram tegangan regangan sangat berbeda untuk bahan yang
berbeda. Bahkan untuk satu jenis bahan yang sama diagram tegangan
regangannya dapat berbeda pula, tergantung pada suhu pengujian, kecepatan
pengujian, dan sebagainya.
Dari diagram tegangan regangan di atas, dapat dilihat beberapa kondisi yang
penting :
Batas Proporsional,
Merupakan batas dimana tegangan sebanding dengan regangan. Sehingga
pada diagram ditunjukkan sebagai garis lurus. Nilai kesebandingan antara
tegangan regangan tidak berlaku diseluruh diagram tetapi berakhir sampai
batas proporsional.
Batas Elastis,
Adalah batas tegangan pada saat bahan tidak kembali lagi ke kedudukan
semula apabila beban dilepaskan. Setelah beban dilepaskan bahan masih
berdeformasi dan tidak kembali ke keadaan semula.
Titik Mulur,
Adalah titik dimana bahan memanjang mulur tanpa pertambahan beban.
Gejala mulur hanya terjadi pada baja struktur.
Kekuatan Mulur,
Sangat berhubungan dengan titik mulur. Untuk bahan yang tidak mempunyai
definisi mulur yang baik, kekuatan mulur ditetapkan dengan metoda
penggeseran, yaitu dengan menarik garis sejajar dengan garis elastis hingga
berpotongan dengan kurva tegangan regangan, biasanya 0,2% atau 0,002 m/m.
Tegangan Maksimum (kekuatan maksimum),
Merupakan ordinat tertinggi pada kurva tegangan regangan.
8
Mekanika Kekuatan Material
Kekuatan patah (tegangan pada patah),
Untuk baja struktur kekuatan patah lebih rendah dari kekuatan maksimum,
karena kekuatan patah dihitung dengan membagi beban patah terhadap luas
penampang asli. Hal ini merupakan kesalahan, karena disebabkan adanya
gejala pengecilan (necking). Karena patah terjadi, bahan meregang dengan
sangat cepat dan secara simultan bertambah kecil sehingga beban patah
sebenarnya terdistribusi sepanjang luas terkecil
2.2 HUKUM HOOKE
Hukum Hooke menyatakan bahwa tegangan () berbanding lurus dengan
regangan (). Pada diagram tegangan-regangan perbandingan tersebut merupakan
garis lurus, atau :
atau
dimana : = tegangan (N/m2),
= regangan (m/m), dan
E = Modulus Elastisitas (N/m2)
Secara fisis modulus elastisitas menyatakan kekakukan terhadap beban yang
diberikan pada bahan, dan nilai E merupakan sifat yang pasti dimiliki suatu bahan
2.3 DEFORMASI AKSIAL
Kita ketahui bahwa = (P/A) dan = (/L). Sehingga hukum Hooke dapat ditulis
dalam bentuk :
dimana : = deformasi total (m),
L = panjang mula-mula (m),
A = luas penampang (m2),
P = beban yang bekerja (N), dan
E = Modulus elastisitas (N/m2)
2.4 DEFORMASI GESER
9
Mekanika Kekuatan Material
Gaya yang bekerja dapat menyebabkan deformasi geser seperti gaya aksial
menyebabkan pepanjangan. Suatu elemen yang diberi gaya geser panjang sisinya
tidak berubah tetapi bentuknya berubah dari segi empat menjadi paralellogram
seperti gambar berikut :
Gambar 6. Deformasi geser.
Dari gambar kita ketahui :
nilai tan = (nilainya sangat kecil); sehingga :
Bila hukum hooke berlaku terhadap geser; maka hubungan antara tegangan geser
() dan regangan geser () adalah :
dimana G adalah modulus elastisitas geser atau modulus kekakuan. Bila diketahui
= (Vs/A) dan = (s/L), maka :
dimana : s = deformasi geser total,
Vs = gaya geser,
As = luas bidang geser,
L = panjang.
2.5 PERBANDINGAN POISSON
10
Mekanika Kekuatan Material
Dari pengujian diperoleh bahwa apabila batang diperpanjang dengan
tegangan aksial maka akan terdapat pengurangan besaran melintang.
Gambar 7. Regangan Benda Tiga Dimensi .
Simeon D. Poisson memperlihatkan perbandingan satuan deformasi atau
regangan mempunyai nilai yang tetap untuk tegangan dalam daerah batas
proporsional. Perbandingan poisson () didefinisikan sebagai :
dimana
x = regangan akibat tegdalam arah X,
y,z = regangan arah tegak lurus gaya
(-) =menunjukkan dimensi melintang berkurang bila x positip.
Resultante regangan dalam arah X dan Y :
;
sedangkan besar tegangan untuk kasus dwi sumbu :
;
sedangkan pada bidang tiga sumbu adalah :
;
;
BAB III
P U N T I R A N
11
Mekanika Kekuatan Material
3.1 METODA ANALISA MOMEN PUNTIR
Pendekatan yang dapat dilakukan untuk menganalisa bagian struktur yang
mendapat momen puntir adalah:
1. Keseimbangan sistem diselesaikan secara keseluruhan.
2. Gunakan metoda irisan, untuk membagi struktur menjadi dua bagian yang
terisolasi,
3. Pada bagian yang terpotong oleh bidang irisan, akan diperoleh momen puntir
dalam yang diperlukan untuk menjaga kesetimbang dari masing – masing
potongan tersebut.
4. Untuk mendapat momen puntir dalam pada batang statis tertentu, hanya
dibutuhkan satu persamaan statika, yaitu Mx = Nol (sumbu X adalah dibuat
sepanjang arah batang ).
5. Momen puntir dalam dari suatu bagian potongan yang diisolasi adalah
merupakan momen puntir luar dari irisan lainnya (arahnya berlawanan ).
Jadi dapatlah kita ketahui bahwa momen puntir luar dan momen puntir
dalam haruslah mempunyai nilai yang sama tetapi arahnya berlawanan.
Gambar 8. Momen Puntir pada sebuah potongan poros .
Pada gambar di atas, momen puntir sebesar 30 N.m pada titik C diimbangi pleh
dua momen puntir pada A dan B (20 Nm dan 10 Nm).
3.2 RUMUS PUNTIRAN
12
Mekanika Kekuatan Material
Pada material elastis, tegangan adalah
berbanding lurus dengan regangan dan
harganya berubah secara linier dari
sumbu pusat batang melingkar. Variasi
tegangan tersebut ditunjukkan pada
gambar di atas.
Tegangan geser maksimum (max) terjadi
pada titik yang terjauh dari titik pusat 0.
Apabila distribusi tegangan pada suatu irisan diketahui, maka perlawanan
terhadap momen puntir dalam bentuk tegangan dapat dinyatakan berikut:
pada suatu irisan tertentu max dan c konstan, sehingga :
Besarnya tegangan geser maksimum ( max) :
sedangkan tegangan geser suatu titik :
Rumus di atas merupakan rumus puntiran.
Ip adalah momen inersia polar dari penampung
melingkar pejal :
untuk silinder bolong :
13
Gambar 9. Tegangan Geser Maksimum
Gambar 10. Tegangan Geser Pada SilinderBolong
Mekanika Kekuatan Material
Contoh: Hitunglah tegangan geser puntir maksimum pada poros AC yang
diperlihatkan pada gambar. Anggaplah diameter poros dari AC
adalah 10 mm.
Gambar 11. Momen Puntir pada Sistem Poros.Jawab:
Diketahui :
Diameter poros (d) = 10 mm =0,01 m, momen puntir pada AC( TAC )=30
N.m,
Momen Inersia polar dari poros :
Ip = ( d4 ) / 32
= ( x 0.014 ) / 32
= 9,82 x 10-10 m4
Tegangan geser maximum yang terjadi :
max = ( T x c ) / Ip
= ( 30 x 0,005 ) )) / ( 9.82 x 10 –10 )
= 153 x 106 N / m2
Contoh : Sebuah tabung panjang dengan jari-jari luar (ro) 20 mm dan jari-
jari dalam (ri ) 16 mm, dipuntir sekitar sumbu longitudinalnya
dengan momen puntir sebesar 40 N.m.
Hitunglah tegangan geser pada tabung sebelah luar dan dalam
seperti pada gambar
14
Mekanika Kekuatan Material
Gambar 12. Momen Puntir pada Tabung Panjang.Jawab:
- Diketahui : c = ro = 20 mm = 0,020 m
b = ri = 16 mm = 0,016 m
- Momen Inersia polar tabung :
Ip = ( ( c4 – p4 ) ] / 2
= ( ( 0,024 - 0,0164 ) ] / 2
= 9,27 x 10-9 m4.
- Tegangan geser maximum :
max = ( T x c ) / Ip
= 40 x 0,02 ) / ( 9,27 x 16-9)
= 43,1 x 106 N / m2
3.3 DESAIN BATANG PUNTIRAN MELINGKAR
Bila momen puntir yang diteruskan oleh poros diketahui, dan tegangan
geser maximum (max ) telah dipilih, maka perbandingan yang berlaku pada poros
tersebut adalah :
Besarnya (Ip/c) adalah parameter yg menentukan kekuatan kenyal sebuah
poros. Untuk poros pejal besarnya adalah :
Batang yang mendapat gaya puntir sangat luas digunakan sebagai poros
putaran untuk menghantarkan daya. Hubungan antara Torsi dan Daya yang
dihantarkan ( Kw) :
f adalah frekwensi putaran poros ( Hertz ).
Bila poros berputar n rpm ( putaran permenit ) maka besarnya torsi adalah:
15
Mekanika Kekuatan Material
Contoh: Pilih sebuah poros padat untuk sebuah motor berdaya 8 Kw yang
bekerja pada frekwensi 30 Hz. Tegangan geser maximum terbatas pada
55000 KN / m2.
Jawab:
- Diketahui:
Daya yang dihantarkan 8 Kw.
Frekwensi ( f ) = 30 Hz.
max = 55000 KN / m2
- Torsi yang terjadi pada poros
T = [ ( 159 x Kw ) / f ]
= [ ( 159 x 8 ) / 30 ]
= 42,4 Nm
- Kekuatan kenyal poros:
( Ip / c ) = ( T / max )
= ( 42,4 / (55 x 106 )
= 0,771 x 10-6 m3
- Untuk poros yang padat :
( Ip / c ) = [ ( x c3 ) / 2 ]
Maka jari – jari terluar dari poros ( c ) adalah:
C3 = ( 2 / x ( Ip/ c )
= ( 2 / ) x ( 0,771 x 10-6 )
= 491 x 16-9 meter
c = 0,00789 meter
diameter poros
d = 2 x c
= 2 x 0,0789
= 15,8 mm
Secara praktis maka poros dengan diameter 16 mm dapat digunakan untuk
maksud diatas.
16
Mekanika Kekuatan Material
Contoh: Pilihlah poros padat yang dapat meneruskan daya 200 Kw tanpa
melebihi tegangan geser sebesar 70.106 N/m2. Salah satu dari poros
ini bekerja dengan putaran 20 rpm dan lainnya dengan 2000 rpm.
Jawab :
- Torsi yang terjadi pada tiap – tiap poros:
T1 = [ ( Kw x 9540 ) / N1 ]
= [ ( 200 x 9540 ) / 20 ]
= 95400 ( N.m )
T2 = [ ( Kw x 9540 ) / N2 ]
= [ ( 200 x 9540 ) / 20000 ]
= 95,4 ( N.m )
- Kekuatan kenyal poros:
( Ip / c )1 = ( T1 / max )
= ( 95400 / 70 x 106 )
= 1,36 x 10-3 ( m3)
( Ip / c )2 = ( T1 / max )
= ( 95,4 / 70 x 106 )
= 1,36 x 10-6 ( m3 )
Diameter dari poros :
( Ip / c ) = [ ( x d3 ) / 16 ]
atau :
d13 = ( 16 / ) x ( Ip / c )1
= ( 16 / ) x 1,36 x 10-3
d1 = 191 ( mm )
Jadi diameter poros yang bisa digunakan dI =191 mm; sedangkan untuk poros
kedua dengan cara yang sama diperoleh d2 = 19,1 mm.
17
Mekanika Kekuatan Material
3.4 SUDUT PUNTIR BATANG MELINGKAR
Gambar 13.Sudut Puntir pada Batang Melingkar.
Bila sudut kecil DAB = max , maka :
Busur BD = max . dx
Dan juga diketahui :
Busur BD = dc
Dari kedua persamaan tersebut :
max . dx = dc
Pers. sudut puntir relatif yang berdampingan berjarak kecil tak berhingga dx.
atau
Besarnya sudut puntir total antara dua potongan A dan B pada sebuah poros,
maka rotasi semua elemen haruslah dijumlahkan.
Besarnya sudut puntir pada suatu irisan dari sebuah poros dengan bahan
elastis adalah :
dimana :
Tx = Momen puntir,
Ipx = Momen inersia kutup, dan
= Sudut puntir.
18
Mekanika Kekuatan Material
Contoh: Hitunglah rotasi relatif dari irisan B-
B terhadap irisan A-A dari poros
yang padat yang terlihat pada
gambar, bila suatu momen puntir
konstan T diberikan.sepanjang
bahan tersebut. ( momen inersia
kutup dari luas penampang adalah
konstan ).
Jawab:
Dalam hal ini Tx = T dan Ipx = Ip; sehingga:
Persamaan diatas digunakan untuk mendesain poros – poros mengenai kekakuan (
stiffness ) yaitu pembatasan besar puntiran yang dapat terjadi disepanjang balok /
poros.
Persamaan ini di gunakan pada analisa gerak puntiran. Bentuk (Ip.G) adalah
merupakan kekakuan puntir dari poros tersebut. modulud elastisitas geser dalam
daerah elastis adalah :
Contoh:
Poros berjenjang seperti pada gambar, ditempelkan pada suatu dinding pada E;
tentukanlah besarnya rotasi pada ujung A bila kedua momen puntir B da D
diberikan. Anggap bahwa modulus geser G adalah 80 x 109 N / m2.
Gambar 15. Momen Puntir Pada Poros Bertingkat
19
Gambar 14. Momen Puntir Pada Silinder.
Mekanika Kekuatan Material
Jawab:
- Momen inersia kutub :
Ip ( AB )=Ip ( BC ) = [ (.d4) / 32]
Ip ( AB ) = [ (.{ 2,5 x 10-2 }4 ) / 32 ]
= 3,83 x 10-8 ( m4 )
Ip(CD)= Ip (DE )
= (/ 32 ) x ( do4 - di4 )
= (/ 32 ) x ( 52 – 2,52 )
= 57,5 x 10-8 ( m4 )
Besarnya momen puntir :
TAB = 0;
TBC = TBD = TCD = 150 ( N . m )
TDE = 1150 ( N . m )
Besarnya sudut puntir keseluruhan :
= 0,0125 + 0,0010 + 0,0098
= 0,0233 ( radian )
= 0,0233 x ( 360 / 2 ) o
= 1,33 ( o )
20
Mekanika Kekuatan Material
BAB IV
GAYA DAN MOMEN LENTUR PADA BALOK
4.1 JENIS TUMPUAN
Tiga macam tumpuan yang dikenal pada pembebanan balok dalam bidang
yang sama:
ROL atau PENGHUBUNG,
Gambar 16. Tumpuan penghubung dan rol
Rol/penghubung mampu melawan gaya dalam suatu garis aksi yang spesifik.
Dari gambar diatas diketahui:
1. Penghubung gambar (a) hanya dapat melawan gaya dalam arah AB saja.
2. Rol pada gambar (b) hanya dapat melawan gaya vertikal,
3. Rol pada gambar (c) hanya dapat melawan gaya yang tegak lurus terhadap
bidang CD.
PASAK ( PIN ).
Gambar 16. Tumpuan pasak / engsel
Reaksi tumpuan jenis pasak mempunyai dua komponen, yaitu arah vertkal
(V) & horizontal (H).
21
Mekanika Kekuatan Material
TUMPUAN JEPIT ( FIXED SUPPORT ).
Reaksi tumpuannya adalah terdiri dari tiga komponen, yaitu
arah Vertikal ( V ), arah Horizontal ( H ), dan Momen.
Gambar 17. Tumpuan Jepit
4. 2. KAIDAH DRAGMATIS PEMBEBANAN.
Jenis beban yang utama terdiri dari:
a. Beban terpusat.
Gambar 18. Pembebanan Terpusat
b. Beban terdistribusi secara merata
Gambar 19. Pembebanan Terdistribusi
c. Pembebanan hidrostatik
Gambar 20. Pembebanan Hidrostatik
22
Mekanika Kekuatan Material
4. 3. Klasifikasi Balok
Gambar 21. Klasifikasi Balok
4. 4. PERHITUNGAN REAKSI BALOK.
Persamaan kesetimbangan statika yang harus digunakan dalam melakukan
perhitungan reaksi– reaksi suatu balok adalah
1. Resultan gaya horizontal ialah nol (Fx = 0)
2. Resultan gaya vertikal adalah nol (Fy = 0)
3. Resultan momen adalah nol (Mz = 0)
4. 5. PENERAPAN METODA IRISAN.
Penelaahan setiap balok dimulai dengan membuat diagram benda bebas
(DBB). Gaya reaksi selalu dapat dihitung dengan mempergunakan persamaan
kesetimbangan, selama belok tersebut merupakan statis tertentu.
Metoda irisan selanjutnya dapat digunakan untuk setiap irisan dari balok
dengan mengerjakan konsep yang dipakai terdahulu, dimana bila benda secara
keseluruhan berada dalam kesetimbangan maka setiap bagian dari benda tersebut
berada pula dalam kesetimbangan.
23
Mekanika Kekuatan Material
Gambar 22. Penerapan Metoda Irisan
4. 6. GESER DALAM BALOK.
Untuk mempertahnkan segmen balok berada dalam kesetimbangan, maka
pada irisannya harus ada suatu gaya dalam vertikal V yang memenuhi
persamaan [Fy = 0 ].
Gaya dalam V yang bekerja tegak lurus pada sumbu balok dan gaya ini
disebut sebagai Gaya Geser (shearing force). Secara numeris gaya geser ini
adalah sama dengan jumlah aljabar dari semua komponen vertikal gaya – gaya
luar yang terisolasi tetapi dengan arah yang berlawanan.
Gambar 23. Definisi Geser Positif
4. 7 GAYA AKSIAL DALAM BALOK.
24
Mekanika Kekuatan Material
Bila gaya horizontal P bekerja terhadap irisan maka disebut Gaya Dorong
(thrust). Bila gaya tersebut menjauhi irisan dinamakan Gaya Tarik Aksial, dan
bila menuju irisan dinamakan Gaya Tekan.
Gambar 24. Gaya Aksial dalam Balok
4. 6. MOMEN LENTUR DALAM BALOK.
Persyaratan keseimbangan statis yang lain untuk persoalan planar adalah
[Mz = 0 ]. Dari persamaan yang sama diperoleh bahwa besar momen
perlawanan dalam adalah sama dengan momen luar. Momen ini cenderung untuk
melenturkan balok bidang beban dan hal ini biasanya disebut dengan
Momen Lentur (bending momen).
25
Mekanika Kekuatan Material
Gambar 25. Definisi Momen Lentur Positif
BAB V
26
Mekanika Kekuatan Material
LENTURAN MURNI BALOK
5.1 KONSEP DASAR
Bila segmen balok berada dalam kesetimbangan dibawah pengaruh
momen saja, maka keadaan ini disebut dengan Lenturan Murni (pure bending
atau flexure). Konsep dasar dalam menentukan rumus lenturan :
Semua gaya dalam balok akan diandaikan berada dalam keadaan tetap
(steady) dan diberikan pada balok tanpa kejutan dan tabrakan.
Semua balok diandaikan berada dalam keadaan stabil di bawah pengaruh
gaya-gaya terpakai.
Deformasi dianggap memberikan regangan yang berubah secara linier
terhadap sumbu netral.
Sifat-sifat bahan digunakan untuk menghubungkan regangan dan
tegangan.
Syarat-syarat keseimbangan digunakan untuk menentukan letak sumbu
netral dan tegangan-tegangan dalam.
Segmen balok yang akan dibahas ditunjukkan pada gambar di bawah ini :
Gambar 26. Sifat-sifat balok saat melentur
27
Mekanika Kekuatan Material
Tegangan normal pada suatu irisan balok yg dihasilkan oleh lenturan mempunyai
nilai yang besarnya berubah secara linier terhadap jaraknya dari sumbu. Tegangan
tersebut bekerja tegak lurus terhadap irisan balok.
Gambar 27. Distribusi tegangan irisan balok karena Momen Lentur
5.2. RUMUS LENTURAN.
Gambar 28. Balok dengan lenturan murni
Pada gambar di atas, menunjukkan suatu segmen balok yang menderita
momen lentur positif (M). Pada irisan X-X momen terpakai ini mendapat
perlawanan dari tegangan yang berubah secara linier terhadap sumbu netral.
Tegangan yang tertinggi akan terjadi pada titik yang paling jauh dari sumbu
netral. Pada gambar di atas, tegangan maximum (max) akan terjadi disepanjang
garis “ed”.
Tegangan lain yang bekerja pada daerah penampang dihubungkan dengan
suatu perbandingan jarak dari sumbu netral. Besarnya tegangan pada suatu luas
kecil tak berhinga dA dengan jarak y dari sumbu netral adalah:
dimana: c = jarak terjauh dari sumbu netral,
y = jarak luas dA terhadap sumbu netral.
Untuk kondisi keseimbangan, maka jumlah semua gaya yang bekerja pada
irisan balok tersebut NOL. Momen luar M mendapat perlawanan dari momen
28
Mekanika Kekuatan Material
lentur bagian dalam (yang dibentuk oleh tegangan luntur pada suatu irisan).
Harga momen luar dan momen dalam adalah sama besar dan berlawanan arah.
Momen lentur dalam ditentukan dengan menjumlahkan gaya – gaya yang
bekerja pada daerah kecil yang tak berhingga dA dikalikan dengan lengan yang
bersangkutan terhadap sumbu netral, sehingga :
Sedangkan tegangan yang terjadi pada jarak y dari sumbu netral adalah :
dimana M = Momen lentur dalam (Nm); I adalah momen inersia penampang (m4).
5.3. PERHITUNGAN MOMEN INERSIA.
Pada saat menggunakan rumus lenturan, terlebih dahulu harus ditentukan
momen inersia penampang (I).Langkah pertama untuk mendapatkan I adalah
mendapatkan titik berat dari daerah tersebut, kemudian melakukan integrasi y2.dA
terhadap sumbu Horizontal yang melalui titik berat daerah tsb.
Untuk mendapatkan momen Inersia I pada daerah yang terdiri dari
beberapa bentuk sederhana, dapat dilakukan dengan teorema sumbu sejajar
(rumus perpindahan), yaitu sebagai berikut:
Pada gambar, daerah yang diarsir mempunyai momen inersia Io terhadap
sumbu horizontal yang melalui titik berat yaitu:
Gambar 29. Referensi untuk Perhitungan Momen Inersia
Dimana besarnya y diukur dari sumbu titik berat.
29
Mekanika Kekuatan Material
Jadi teorema sumbu sejajar dapat dinyatakan bahwa : “Momen Inersia
suatu luas terhadap suatu sumbu adalah sama dengan momen Inersia luas yang
sama terhadap sumbu seajajar yang melalui titik luas, ditambah dengan hasil kali
dari luas yang sama dengan kuadarat jarak antara kedua sumbu.
Tabel 1. Momen Inersia Untuk berbagai Bentuk Geometris
Contoh :
30
Mekanika Kekuatan Material
Tentukan momen inersia I thd. Sumbu horizontal,
untuk luas pada gambar di samping.
Jawab:
- letak sumbu netral:
y = A1 . y1 + A2 . y2 + A3 . y3 + A4 . y4
A1 + A2 + A3 + A4
= 800 .10 + 300 . 35 + 300 . 35 + 400 . 55
800 + 300 + 300 + 400
= 28,3 mm ( dari bawah )
- Momen inersia keseluruhan:
Io = ( b . h3 ) / 12
= ( 40 .603 ) / 12
= 72 x 104 ( mm4 )
Ad = (40 x 60 ) ( 30 – 28,3)2
= ( 2400 ) x ( 1,7 )2
= 0,69 x 104 ( mm4 )
maka:
Izz = Io + A . d2
= 72 . 104 + 0,69 . 104
= 72,69 x 104 ( mm4 )
Momen inersia rongga dalam:
Io = ( b . h3 ) / 12
= ( 20 . 303 ) / 12
= 4,50 x 104 ( mm4 )
Ad2 = ( 20 x 30 ) x ( 35 – 28,3)2
= 2,69 x 104 ( mm4 )
maka:
31
Mekanika Kekuatan Material
Izz = Io + A .d2
= ( 4,5 x 104 ) + ( 2,69 x 104 )
= 7,19 x 104 ( mm4 )
- jadi momen inersia gabungan
I = ( 72,69 – 7,19 ) x 104
= 65,50 x 104 ( mm4 )
Contoh: Sebuah balok kayu kantilever dengan ukuran 0,3m x 0.4m mempunyai
berat 76 kg / m, memuat gaya terpusat keatas sebesar 20 KN pada
ujungnya seperti pada gambar. Tentukan tegangan lentur maximum
pada sebuah irisan 2m dari ujung beban.
Gaya reaksi Pada irisan dengan jarak 2 m :
Fy = 0: V = 20 – ( 0,75 x 2 )
= 20 – 1,5
= 18,5 KN
M = 0:M = (- 0,75x2x1) + (20x2)
= 38,5 KN . m.
Jarak serat terjauh dari sumbu netral pada penampang balok tersebut adalah 0,2
meter; sehingga c = 0,2m.
- momen inersia penampang:
Izz = ( b . h3 ) / 12
= 0,3 x 0,43 ) /12
= 16 x 10-4 ( m4 )
- Tegangan maximum
32
Mekanika Kekuatan Material
max = ( M . c ) / I
= (38,5 x 0,2 ) / ( 16 x 104 )
= 4813 ( KN / m2 )
Pengaruh tegangan lentur pada penampang balok:
1. Bagian atas balok ( titik A ) adalah TEKAN.
2. Bagian bawah balok ( titik B ) adalah TARIK.
5.4. LENTURAN PADA IRISAN TAK SIMETRIS
Gambar 30. Balok dengan irisan penampang tak simetris
Momen Myy yang mungkin sekitar sumbu y adalah:
5.5. LENTURAN TAK ELASTIS DARI BALOK.
Rumus lenturan Elastis yang diturunkan sebelumnya hanya berlaku
tegangan berbanding lurus dengan regangan. Untuk bahan yang tidak mematuhi
hukum HOOK ketentuan di atas tidak dapat diberlakukan.
5.6. BALOK DUA BAHAN.
Pada pembahasan sebelumnya balok dianggap terbuat dari satu macam
bahan yang homogen. Dalam praktek sering kita menemukan balok dengan
beberapa bahan yang berlainan. Misal balok kayu seringkali diperkuat dengan
ikatan – ikatan logam, dan balok beton diperkuat dengan batang – batang baja.
Sebuah balok yang simetris terbuat dari dua macam bahan dengan irisan
penampang seperti pada gambar ( a ); Bahan bagian luar (bahan 1) mempunyai
33
Mekanika Kekuatan Material
modulus elastisitas E1; dan modulus bahan bagian dalam (bahan 2) adalah adalah
E2.
Gambar 31. Balok Dua Bahan
Bila balok dihadapkan pada lenturan, irisan – irisan bidang datar. Karena itu
regangan haruslah berupa secara linier dari sumbu netral, seperti yang terlihat
gambar (b).
34
Mekanika Kekuatan Material
Untuk keadaan elastis, tegangan adalah sebanding dengan regangan, dan
distribusi tegangan dengan menganggap E1>E2, terlihat dalam gambar (c). Pada
permukaan sambungan kedua bahan di tujukkan suatu perubahan intensitas dari
tegangan.
Meskipun regangan pada permukaan kedua bahan adalah sama, tetapi
tegangan yang lebih tinggi terjadi pada bahan yang lebih kaku. Karena kekakuan
suatu bahan tergantung pada besarnya modulus elastisitas E.
Transportasi sebuah irisan dikerjakan dengan mengubah ukuran atau
dimensi irisan penampung yang sejajar disuatu sunbu netral adalah berdasarkan
pada perbandingan modulus elastisitas dari masing – masing bahan.
Misalnya bila irisan padanan dikehendaki didalam bahan 1 (bahan 1
sebagai patokan), maka ukuran bahan 1 tidak boleh berubah, sedangkan ukuran 2
berubah dengan perbandingan n. Dimana n = E1/E2 seperti ditunjukkan
olehgambar (D).
Pada bagian yang lain irisan transformasi tersebut adalah dari bahna 2;
maka ukuran bahan lain berubah dengan suatu perbandingan n1 = E1/ E2 seperti
pada gambar (e).
Contoh:
Tinjaualah sebuah balok campuran dengan irisan penampung seperti yang
terlihat pada gambar. Bagian atas dengan ukuran 150 X 250 mm terdiri dari
35
Mekanika Kekuatan Material
kayu ( Ew = 10000 Mpa). Bila balok ini dihadapkan dengan momen lentur
sebesar 0,03 MN . m terhadap sumbu horizontal, berapakah tegangan
maximum dalam baja dan kayu.
Penyelesaian :
- Harga perbandingan modulus elastis kedua bahan:
ns = ( Es / Ew )
= 200000 / 10000
= 20
jadi dengan menggunakan irisan kayu yang ditransformasikan ( dimensi kayu
tetap ), maka lebar dari pelat besi sebagaimana ditunjukkan pada gambar ( b )
adalah:
Is = ns . bs = 20 x 0,150 = 3 meter.
Letak sumbu netralnya adalah:
y = Aw . Yw + As . Ys
Aw + As
= ( 150 x 250 ) . 125 + ( 10 x 3000 ) . 255
( 150 x 250 ) + ( 10 x 3000 )
= 183 mm ( dari atas ).
Momen inersia terhadap sumbu titik berat :
Izz = {(bw . hw3) /12} + Aw.yw2 + {(bs.hs3)/12} + As.ys2
= ((150.2503 )/12 + 150.250)(58)2 + (3000x103)/12 +(3000x10 ) (72)2
= 478 x 10-6 ( m4 ).
Tegangan maksimum pada kayu :
(w)max = ( M . CA ) / I
= ( 0,03 x 0,183 ) / ( 478 x 10-6 )
36
Mekanika Kekuatan Material
= 11,5 ( Mpa ).
Tegangan maximum dalam baja:
(s)max = ns x {( M .CB ) / I}
= 20 x {(0,03.0,77)/(478.10-6)]
= 96,5 ( Mpa ).
BAB VI
TEGANGAN GESER BALOK
37
Mekanika Kekuatan Material
Tegangan geser pada balok berhubungan secara tidak terpisahkan dengan
perubahan momen lentur pada irisan-irisan yang saling bersebelahan.
6.1. GAYA GESER & MOMEN LENTUR.
Gambar32. Balok dengna irisan dx
Gambar di atas, menunjukkan suatu elemen dx diisolasikan dari balok dengan dua
irisan berdampingan yang diambil tegak lurus terhadap sumbu balok.
Pada irisan elemen dx tersebut, gaya geser dan momen lentur masing-
masing dapat berubah dari irisan yang satu keirisan berikutnya. Maka pada
permukaan elemen sebelah kanan perubahan gaya–gaya tersebut dapat dinyatakan
dengan V+dV dan M+dM. Sedangkan gaya aksial tidak dimasukkan karena pada
elemen ini ditinjau tidak mengandung gaya–gaya aksial.
Beban terdistribusi q(x) yang bekerja pada balok dan elemen dx ditinjau
positif bila bekerja dalam arah keatas. Pada posisi keseimbangan pada elemen
tersebut:
MA = 0;(M+dM)–M–(V+dV).dx + q.dx.(dx/2) = 0
atau:
MA= 0; dM – V . dx + q(x ).dx.(dx /2) =0
dM = {V + q (x) . (dx / 2)} . dx
dM = V + q (x) . (dx / 2)dx
pada x =0;
dM = V dx
dari penyederhanaan dan pengabaian diperoleh.
38
Mekanika Kekuatan Material
dM = V . dx atau dM / dx = V
Hal ini berarti bila suatu gaya geser bekerja pada sebuah irisan, maka akan ada
momen lentur pada irisan yang berdampingan.
Jika terdapat gaya geser maka perbedaan momen lentur pada irisan yang
berdampingan adalah sama dengan V . dx.
Bila tidak ada gaya geser yang bekerja. Maka tidak akan ada perbedaan
momen lentur.
6. 2 ALIRAN GESER ( SHEAR FLOW ).
Tinjauan sebuah balok yang terbuat dari beberapa papan continue seperti
anggota yang terpadu, maka diandaikan papan – papan tersebut dipererat oleh
baut – baut vertical.
Bila baut yang terlihat pada gambar 6-3 ( b ) dikenakan momen +MA pada
ujung A dan +MB pada ujung B, sehingga tegangan – tegangan lentur terbentuk
tegak lurus terhadap irisan.
Tegangan lentur itu berubah secara linier dari sumbu netral. Masing –
masing besarnya tegangan lentur tersebut tergantung pada besarnya y dari sumbu
netral, dimana besarnya tegangan lentur tersebut adalah:
A = - {( MA . yA ) / I}
B = - {( MB . yB ) / I}
Diketahui bahwa perkalian tegangan dengan luas adalah gaya: Maka gaya
pada ujung A dan B adalah:
FB = sluas {- ( MB . y) / I } .dA fghj
= ( MB / I ) . sluas ( y . dA) fghj
diketahui bahwa:
Q = sluas (y . dA) Fghj
= Afghj . y……………………………..( 6-3 )
Maka gaya masing – masing titik adalah:
FB = - ( MB . Q ) / I
FA = - ( MA . Q ) / I……………………..( 6-4 )
39
Mekanika Kekuatan Material
Bila MA MB, yang selalu terjadi apabila terdapat gaya geser dalam
irisan yang berdampingan, maka FA FB. Jadi terdapat gaya dorong atau tarik
yang lebih besar pada ujung papan dibandingkan pada bagian yang lainnya.
Jadi bila MA > MB; maka [ FB ] > [ FA ] dan kesetimbangan gaya horizontal
dapat dicapai dengan membangun gaya perlawanan horizontal R dalam baut
sehingga [ FB ] = [ FA ] + R.
Aliran geser adalah merupakan besaran yang secara fisis menyatakan
perbedaan antara gaya – gaya FB dan FB pada sebuah elemen balok dari satuan
panjang, atau:
q = dF / dx
= ( dM / dx ) . ( 1 / I ) . sluas ( y . dA )
= ( V . Afghj . y ) / I
jadi:
q = ( V. Q ) / I……………………………….( 6-4 )
dimana:
I = Momen inersia penampang terhadap sumbu netral,
V = Gaya geser total.
Q = y . dA
Besanya gaya geser yang bekerja adalah:
V = (dM / dx )……………………….( 6-5 )
Contoh:
Dua papan kayu yang panjang membentuk sebuah irisan T dari balok yang
terlihat dalam gambar bila balok ini meneruskan suatu gaya geser tetap sebesar
3000 N, tentukanlah jarak antar paku yang diperlukan antara kedua papan untuk
membuat balok berlaku sebagai satu kesatuan, anggap gaya geser yang dizinkan
setiap paku adalah 700 N / paku.
Letak sumbu netral:
Yc = {(A1 . y1) + A2 . y2)}
A1 + A2
40
Mekanika Kekuatan Material
= (500 . 200) . 25 + (50 . 20) . 150
(50 . 200) (50 . 200)
= 87,5 (mm)
Jarak.pusat benda 1 kesumbu netral.
y1 = yc – (0,5 x 50)
= 62,5 (mm)
I = b1.h13 +h 1.b1.y1
2 +b 2.h23 +b 2.h2y2
2
12
= 113,5 x 10-6 (mm4)
Besarnya momen statis:
Q = Afghj . y1
= (50 . 200 ) (62,5)
= 625 x 103 (mm3)
Maka besarnya aliran geser:.
q = (V . Q) / I
=(3000 . 625 x 10-6) / (113, 5 x 10-6)
= 16500 (N / m)
Jadi besarnya gaya yang harus dipindahkan dari sebuah papan kepapan yang lain
dalam setiap meter linier sepanjang balok adalah sebesar 16500 N.
Jarak paku yang dapat menahan gaya:
X = Vijin / q
= ( 700 ) / ( 16500 )
= 0,043 (meter)
Maka supaya geser tetap konstan pada irisan – irisan beruntundari balokmaka
masing – masing paku dipasang sejauh 43 mm.
6. 3 RUMUS TEGANGAN GESER BALOK.
Rumus tegangan balok diperoleh dengan memodifikasi rumus aliran geser.
Sebuah elemen balok diisolasi antara dua irisan berdampingan yang diambil tegak
41
Mekanika Kekuatan Material
lurus terhadapa sumbu balok. Kemudian dengan kita buat irisan khayal yang
melalui elemen tersebut sejajar dengan sumbu balok, sehingga kita peroleh
elemen baru sebagai mana gambar 6.4.
Pandangan samping dari elemen yang demikian dapat dilihat pada gambar
6.4 ( a ); dimana irisan longitudinal khayal dibuat pada jarak y1 dari sumbu netral
( dengan penampang balok sebagai mana gambar ( c ).
Bila gaya geser terdapat pada irisan melalui balok, maka momen lentur
yang berbeda terjadi pada irisan A dari pada B, Gaya longitudinal yang terjadi
sepanjang dx adalah:
dF = (dM / I) sluas { y. dA} fghj
= (dM / I ) . Afghj . y
Sehingga:
dF = (dM/ I .Q……………………………………( 6-6- )
Dalam sebuah balok padat, gaya yang melalui dF dapat terbentuk hanya
dalam bidang potongan yang diambil sejajar dengan sumbbu balok, oleh karena
itu dengan menggap tegangan geser terdistri busi secara merata melalui
potongan tersebut dengan lebar t, maka tegangan geser dalam bidang longitudinal
tersebut diperoleh dengan membagi dF terhadap luas ( t . dx ).
= dF / (dx . t)
= ( dM / dX ). {( Afghj . y ) / ( I . t )}
bila V = (dM / dx ) dan q = ( V . Q ) / I , maka :
= ( V . Q ) / ( I . t )……………………………( 6-8 )
dimana: V = Tegangan geser total pada irisan,
I = Momen lembam penampang terhadap sb. Netral
Q = Momen statis sekitar sumbu netral.
y = Jarak sumbu netral thd titik berat Afghj
t = Lebara potongan membujur khayal = tebal / lebar
Contoh: Turunkan ungkapan untuk distribusi tegangan geser dalam balok
berpenampang siku empat pada yang meneruskan gaya geser
vertical V.
Jawab:
42
Mekanika Kekuatan Material
Pada gambar ( a ) penampang balok terdapat potongan membujur sepanjang balok
pada jarak y1 dari sumbu netral sehungga mengisolasikan sebagian daerah fghj
dari penampang.
Diketahui t = b dan dA = b . dy, maka tegangan geser horizontal
pada y1 dari balok adalah:
= ( V. Q ) / ( I . t )
= { V / ( I . t )} . sluas { y . dA } fghj
= { V / ( I . t )} . sh/2 y . ( b . dy ) y1
= ( V / I ) . [(y2 / 2 ]h/2 y1
= ( V / 21 ) . {( h/2 ) 2 – ( y1 )2}
Persamaan diatas menunjukkan bahwa dalam balok yang
berpenampang siku empat kedua tegangan geser vertical dan horizontal berubah
secara parabolis dengan tegangan geser maximum bila bila y1 = NOL.
Pada gambar ( b ) ditujukkan bahwa max terjadi pada sumbu netral
balok, dan nilainya semakin kecil dengan bertambahnya jarak dari sumbu netral
sehingga tegangan gesernya berangsur – angsur menuju Nol. Besarny max tersebut
adalah:
max = ( V / 21 ) . {( h/2 )2 – ( 0 )}
= ( Vh2 ) / ( 81 )
= ( Vh2 ) / ( 8. { bh3 / 12})
= ( 12 . V . h2 ) / ( 8 . b . h3)
= ( 3V ) / ( 2 . b . h)
= ( 3V ) / ( 2A )
Cara lain dapat diperoleh secara lebih langsung, dimana nilai ( V . Q ) /
(I . t ) menjadi maximum; maka Q haruslah mencapai harga yang paling besar
yaitu diperoleh dengan meninjau separo daerah penampang sekitar sumbu netral
balok.
max = ( VQ ) / ( I t )
= V . Afghj . y
( I . t )
= V . ( bh / 2 ) . ( h / 4 )
43
Mekanika Kekuatan Material
( bh3 / 12 ) . t
max = V . ( bh 2 / 8 )
( b2 32 / 12 )
= V. b . h 2 . 12
b2 . h3 . 8
max = ( 3 / 2 ) . ( V / A )………………………..( 6-9 )
BAB VII
ANALISA TEGANGAN DAN REGANGAN BIDANG
7.1 METODA PERHITUNGAN
Tegangan adalah vektor orde tinggi, sebab selain memiliki besar dan arah
juga berhubungan dengan satuan luas dimana mereka bekerja. Dalam menghitung
44
Mekanika Kekuatan Material
tegangan normal dan geser terlebih dahulu harus mengubah tegangan tersebut
menjadi gaya, sehingga dapat ditambah dan dikurangkan secar vektorial.
Contoh: Hitunglah tegangan yang harus bekerja pada bidang AB dari pasak
kecil tak berhingga dengan sudut () = 22,5o untuk menjaga elemen
tersebut dalam keseimbangan.
Gambar33. Analisa Tegangan pada Bidang AB
ABC = bag . elemen irisan; = sudut pasak; x= 3 Mpa; y = 1 Mpa; = 2 Mpa
ABC adalah bidang irisan dimana tegangan pada permukaan AC dan BC dapat
kita ketahui.
Tegangan normal dan geser yang tidak di ketahui bekerja pada
bidang/permukaa AB dan kita lambangkan dengan dan Untuk mempermudah perhitungan kita misalkan luas permukaan yang
ditujukkan oleh garis AB adalah 1 m2 maka:
- Luas AC = 1 . Cos = 0,924 m2
- Luas BC = 1 . sin = 0,383 m2
Gaya F1, F2, F3, dan F4 diperoleh dengan mengalikan tegangan dengan
luas daerah yang bersangkutan
Gaya penyeimbang yang tidak diketahui adalah N yang bekerja tegak lurus
AB, dan S menyinggung bidang AB.
Dengan persamaan keseimbangan statis terhadap gaya – gaya yang bekerja
pada pasak maka besarnya N dan S adalah :
F1 = x . luas AC = 3 x 0,924 = 2,78 (MN)
45
Mekanika Kekuatan Material
F2 = y . luas AC = 2 x 0,924 = 1,85 (MN)
F3 = y . luas BC = 2 x 0,383 = 0,766 (MN)
F4 = x . luas BC = 1 x 0,383 = 0,383 (MN)
FN = 0;
N =F1.cos – F2.sin – F3.cos + F4sin
=2,78x0,78+1,85x0,924–0,77x0,924+0,38x0,38
= 1,29 (MN)
Fs = 0;
S = F1 . sin + F2 . cos – F3 . sin – F4 . cos
=2,78x0,38+1,85x0,924 – 0,77x0,38 – 0,38x0,924
= 2,12 (MN)
maka tegangan yang bekerja pada bidang AB :
= ( N / luas AB )
= (1,29 /I )
= 1,29 (MN)
= ( S / luas AB )
= 2,12 /I
= 2,12 ( MN)
7.2 TRANSFORMASI TEGANGAN BIDANG
46
Mekanika Kekuatan Material
Gambar34. Transformasi Tegangan Bidang
Tegangan geser positif didefinisikan bekerja dengan arah ke atas pada
permukaan sebelah kanan DE.
Transformasi tegangan dari sistem sumbu koordinat XY menjadi koordinat
X’Y’, dimana sudut menentukan letak sumbu X. Sudut nilainya positif bila
diukur dari sumbu X menuju sumbu y dengan arah berlawanan dengan arah jarum
jam.
Melalui bidang BC yang tegak lurus sumbu X memotong elemen tersebut
mengisolasikan irisan sebagaimana ditunjukkan pada gambar (b).
Bidang BC membuat sudut dengan sumbu vertikal, dimana bidang BC
mempunyai luas DA maka:
Luas permukaan BC = dA . sin
Luas permukaan AC = dA . sin
Bila tegangan dengan luas yang bersangkutan, maka dapat dibuat diagram
gaya yang bekerja pada pasak tersebut seperti gambar (c). Kemudian dengan
persamaan kesetimbangan statis untuk gaya yang bekerja pada pasak tersebut
maka kita peroleh tegangan x’ dan x’y’. yaitu:
* Fx’ =0;
x’ = x.cos2 + y.sin2 + 2.xy.sin.cos
sehingga :
dengan cara yang sama akan diperoleh :
47
Mekanika Kekuatan Material
Persamaan diatas adalah merupakan pernyataan umum untuk tegangan
normal dan geser pada bidang yang letaknya ditentukan oleh sudut dan tegangan
penyebabnya diketahui.
7.3 TEGANGAN UTAMA
Untuk mendapatkan bidang dengan tegangan normal yang maximum atau
minimum persamaan di atas, dideferensialkan terhadap sudut ; dan hasil
pedeferensialan tersebut disamadengankan NOL. Sehingga:
atau ditunjukkan pada gambar berikut :
pada bidang dimana tegangan normal (maximum atau minimum) terjadi, tidak
akan terdapat tegangan geser.
Bidang ini disebut sebagai bidang utama tegangan; dan tegangan yang
bekerja pada bidang ini disebut TEGANGAN UTAMA yaitu tegangan normal
maximum (1) dan tegangan normal minimum (2).
48
Mekanika Kekuatan Material
7. 4. TEGANGAN GESER MAXIMUM.
Untuk menentukan letak bidang dimana bekerja tegangan geser maximum
atau minimum dalam diagram cartesiusnya adalah:
Sehingga tegangan geser maksimumnya adalah :
atau :
7. 5. LINGKARAN TEGANGAN MOHR.
Gambar 35. Lingkaran Mohrn
Berdasarkan tegangan yang diberikan pada gambar (a), dapat diplot grafik dengan
koordinatnya dan (gb. b). Ordinat dari lingkaran adalah tegangan geser (x’y’)
dan absisnya adalah Tegangan Normal (x’); lingkaran ini dikenal sebagai
LINGKARAN MOHRN atau LINGKARAN TEGANGAN.
Dari gambar lingkaran Mohrn diperoleh kesimpulan penting sebagai
berikut:
1. Tegangan normal paling besar adalah 1 ; yang terkecil adalah2, dan
tegangan geser tidak terjadi pada salah satu sumbu utama.
49
Mekanika Kekuatan Material
2. Teg. geser terbesar (max) nilainya sama dengan jari-jari lingkaran yaitu
(1-2)/2; dan Teg. normal yang terjadi pada tegangan geser maximum adalah
(2+2)/2.
3. Bila 2=2 maka lingkaran mohrn berupa sebuah titik dan teg. gesernya
adalah NOL.
4. Bila (y+x)=0, maka pusat lingkaran mohrn akan berhimpit dengan titik
asal koordinat; dan terjadilah geser murni.
7.6. KONSTRUKSI LINGKARAN MOHRN.
Gambar36. Pembuatan lingkaran mohrn
Prosedur pembuatan lingkaran Mohrn;
1. Buat sketsa elemen dimana tegangan normal () dan tegangan geser ()
telah diketahui.
2. Buat sistem sumbu koordinat dimana sumbu mendatar adalah dan
sumbu tegaknya adalah .
3. Tentukan titik pusat lingkaran, yaitu pada sumbu mendatar (x+y)/2 dari
titik asal. Tegangan tarik adalah (+), sedangkan tegangan tekan adalah negatif
(-).
50
Mekanika Kekuatan Material
4. Dari elemen yang nilainya diketahui; maka gambarkan posisi titik A (x,
xy) (dari pusat)
5. Jarak titik pusat terhadap titik A merupakan jari – jari lingkaran (R).
sehingga
6. Gambar lingkaran, dengan jari-jari R.
7. Untuk menerangkan arah dan sikap tegangan yang bekerja pada bidang
miring adalah sebagai berikut:
Tariklah garis yang sejajar dengan bidang miring terssebut melalui titik A.
Tentukan letak titik B yang merupakan perpotongan garis dengan
lingkaran.
Tentukan letak titik S yang terletak secara vertikal pada sisi yang
berlawanan pada lingkaran dari titik B.
Titik S tersebut memberikan besarnya tegangan yang bekerja pada bidang
miring tersebut pada gambar besarnya adalah (+a) dan (-a ).
Contoh 2
Diberikan status tegangan di samping.
Buat lingkaran mohrnnya, dan tentukan tegangan utamanya.
Jawab :
- pusat lingkaran pada sb. : (-2+4)/2 = + 1 Mpa
- Koordinat titik A : (-2, -4).
51
Mekanika Kekuatan Material
- Jari-jari lingkaran :
= 5 Mpa
sehingga gambarnya sebagai berikut :
Berdasarkan gambar diperoleh :
1=+6Mpa; 2=-4 Mpa; max = 5 Mpa.
BAB VIII
DEFLEKSI BALOK
Sumbu sebuah balok akan terdefleksi (melentur) dari kedudukannya
semula bila berada di bawah pengaruh gaya terpakai.
52
Mekanika Kekuatan Material
Gambar 37. Deformasi Segmen Balok Dalam Lentur
8.1. KURVA REGANGAN & KURVA MOMEN
Sebuah segmen yang semula balok lurus diperlihatkan dalam keadaan
berdeformasi (gambar a). Sumbu defleksi dari balok yaitu kurva elastis, terlihat
melentur menjadi radius pada pusat O. Letak pusat O dapat diperoleh dengan
memperluas perpotongan setiap dua irisan yang berdekatan (misal A’B’ dan D’C’)
Dalam pandangan yang diperbesar dari elemen A’B’C’D’ (gambar b);
dapat kita lihat bahwa deformasi u dari setiap serat :
dimana :
= sudut dua irisan yang berdampingan.
Y = jarak dari sumbu ke serat yang diregangkan.
(positif arah ke atas).
Setelah dilakukan perhitungan secara matematis, diperoleh hubungan dasar antara
kurva elastis dan regangan linier, sebagai berikut :
dimana dan , maka :
8.2. PERSAMAAN DEFLEKSI BALOK ELASTIS
53
Mekanika Kekuatan Material
Hubungan diferensial antara beban terpakai, gaya geser dan momen
dinyatakan oleh persamaan :
Persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi :
8.3. SYARAT-SYARAT BATAS.
54
Mekanika Kekuatan Material
Gambar 38. Syarat Batas Pada Berbagai Tumpuan
Untuk menyelesaikan persoalan defleksi balok, terlebih dahulu kita harus tentukan
syarat-syarat batas :
1. Tumpuan apit atau jepit
Simpangan dan kemiringan dv/dx = NOL
Pada posisi x = a :
2. Tumpuan Rol atau Pasak.
Pada ujung yang ditinjau (posisi x = a) tidak ada defleksi dan tidak ada
momen
3. Ujung bebas.
Bebas dari momen dan geser, jadi :
4. Tumpuan Kendali.
Gerak vertikal bebas diperbolehkan.
Perputaran bagian ujung harus dicegah
Tidak mampu melawan setiap gesekan
8.4. PENYELESAIAN DEFLEKSI BALOK DENGAN INTEGRASI
LANGSUNG.
Dengan mengintegrasikan pers. defleksi di atas :
Bila diketahui , maka :
55
Mekanika Kekuatan Material
Harga C1, C2, C3 dan C4, ditentukan dari syarat-syarat batas.
Contoh 1:
Suatu momen lentur M1 diletakkan kepada ujung bebas sebuah kantilever dengan
panjang L dan kekakuan lentur yang tetap EI. Carilah persamaan kurva
elastisnya.
Jawab :
Berdasarkan diagram benda bebas, diketahui bahwa momen lentur dalam balok
adalah +M1, sehingga :
56
Mekanika Kekuatan Material
Pada x = 0; (0) = 0, Eiv(0) = C3 = 0, sehingga :
Tetapi v(0)=0; jadi EIv(0) = C4 = 0
Sehingga :
Tanda positif menujukkan bahwa defleksi yang disebab kan oleh M1 adalah ke
atas. Harga v yang terbesar terjadi pada x = L.
Contoh 2:
Sebuah balok sederhana menumpu suatu beban ke arah bawah yang terdistribusi
merata (wo). Kekakuan EI adalah konstan. Dapatkanlah kurva elastis nya.
Jawab :
Berdasarkan gambar :
sehingga akan diperoleh persamaan kurva elastis
tetapi v(0)=0; jadi EIv(0)=0=C4; dan v(L)=0.
57
Mekanika Kekuatan Material
Berdasarkan kesimetrisan, defleksi terbesar terjadi pada x = L/2; dimana :
syarat di atas digunakan untuk menentukan C3. Bila diketahui bahwa v’(L/2)=0;
maka :
sehingga diperoleh :
58