Pemodelan Difusi Oksigen di Jaringan Tubuhdengan Konsumsi Oksigen Linier Terhadap

Konsentrasi

Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.Jurusan Pendidikan Matematika

FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia

Jl. Dr. Setiabudhi 229, Bandung 40154

Ringkasan

Oksigen memegang peranan penting bagi kelangsungan metabolismesel di dalam jaringan (tissue) tubuh. Perpindahan oksigen dari darahke jaringan tubuh terjadi di pembuluh kapiler dengan cara difusi.Daerah kapiler-jaringan dapat direpresentasikan dengan model Silin-der Krogh. Berdasarkan model tersebut, diturunkan sebuah persamaandifusi yang menggambarkan penyebaran konsentrasi oksigen di suatujaringan dengan memperhatikan laju konsumsi oksigen yang meru-pakan fungsi linier terhadap konsentrasi. Persamaan difusi tersebutdiselesaikan pada keadaan tunak (steady state). Berdasarkan solusiyang diperoleh, semakin besar jarak dari sumber dinding kapiler kon-sentrasi oksigen semakin kecil.Kata kunci: Persamaan difusi, Silinder Krogh.

1 Pendahuluan

Sistem peredaran darah terdiri dari pembuluh arteri, kapiler, dan pem-buluh vena. Pembuluh arteri dan pembuluh vena masing-masing berfungsiuntuk mengantarkan darah dari dan ke jantung. Arteri (kecuali arteri pul-monalis) membawa darah yang kaya dengan oksigen ke seluruh jaringantubuh. Di kapiler, oksigen dan substansi lain seperti hormon serta nutrisiberdifusi ke jaringan (tissue) yang melingkupinya. Selanjutnya darah yangtelah kekurangan oksigen tersebut kembali ke jantung melalui pembuluh ve-na.

1

Unsur penting yang dibutuhkan oleh jaringan untuk melakukan metabolismeadalah oksigen. Mengingat pentingnya keberadaan oksigen untuk kelangsun-gan metabolisme sel tubuh, penyebaran konsentrasi oksigen dari suatu pem-buluh kapiler ke jaringan yang melingkupinya adalah hal yang menarik untukdikaji. Ketidakseimbangan antara ketersediaan oksigen dari pembuluh kapil-er dan kebutuhan oksigen di jaringan tubuh (circulatory shock) dapat be-rakibat fatal. Jika sel-sel di suatu jaringan tidak mendapat pasokan oksigen,maka sel-sel tersebut akan mati dan menimbulkan kerusakan jaringan. Seba-gai contoh, untuk jaringan otak, jika sel-selnya mengalami kekurangan ok-sigen maka dapat mengakibatkan turunnya (atau hilang) tingkat kesadaran;pingsan atau koma. Lebih jauh lagi, keadaan tersebut dapat mengakibatkankematian.

Terdapat banyak faktor yang dapat mengakibatkan ketidakseimbanganantara ketersediaan dan kebutuhan tersebut, antara lain kehilangan darahdalam jumlah besar, serangan jantung, serta keadaan yang dapat mengaki-batkan turunnya tekanan darah dengan tajam.

Dalam makalah ini, suatu model matematika akan dibangun untuk men-jelaskan proses penyebaran konsentrasi oksigen di kapiler dan jaringan yangmelingkupinya. Model matematika yang dikonstruksi memperhatikan lajukonsumsi oksigen di jaringan yang berupa fungsi linier terhadap konsentrasi.Selanjutnya, model matematika tersebut diselesaikan pada keadaan tunak(steady state).

2 Pemodelan

Pembuluh kapiler merupakan pembuluh darah yang berukuran palingkecil dari sistem sirkulasi darah dan membentuk jejaring yang kompleks.Dinding kapiler hanya tersusun dari sebuah lapisan sel, yaitu endothelium.Lapisan ini sangatlah tipis, sehingga molekul-molekul seperti oksigen, karbondioksida, dan air dapat melalui dinding ini dan memasuki jaringan dengancara difusi.

2.1 Model Kapiler-Jaringan

Untuk representasi daerah kapiler-jaringan, digunakan model silinderKrogh. Model silinder Krogh ini memperkenalkan konsep pengulangan struk-tur satuan sebagai representasi dari daerah kapiler-jaringan. Susunan silinderKrogh dapat dilihat pada Gambar 1. Sebagai akibat dari prinsip pengulan-gan struktur satuan, maka setiap kapiler bertanggungjawab untuk menyedi-akan nutrisi bagi jaringan yang melingkupi kapiler tersebut. Tentu saja ini

2

Gambar 1: Model Silinder Krogh.

adalah suatu penyederhanaan dari keadaan yang sebenarnya, dimana setiapbagian dari jaringan dapat disuplai oleh kapiler-kapiler lain yang tidak bera-da didekatnya, meskipun kapiler yang terdekatlah yang mendominasi suplainutrisi tersebut

Dengan menggunakan model ini dibuat beberapa asumsi:

1. Diasumsikan silinder Krogh merupakan model yang tepat secara ge-ometri, meskipun pada daerah yang lain, seperti daerah percabangan,kapiler tidak memiliki struktur geometri yang sederhana.

2. Jaringan yang menyelubungi kapiler sebenarnya terdiri dari materialyang berbeda dan reaksi kimia yang terjadi di dalam sel bertempatpada lokasi-lokasi tertentu.

3. Pada model ini, diasumsikan reaksi kimia yang terjadi di jaringan ter-distribusi secara kontinu.

4. Diasumsikan silinder kapiler-jaringan, mempunyai bentuk yang simetriterhadap sumbu.

5. Pada dinding luar silinder, material yang masuk ke sebuah silinder,diasumsikan sama dengan material yang keluar dari silinder tersebut,sehingga laju perpindahan material pada dinding luar jaringan adalahnol.

2.2 Persamaan Difusi

Daerah kapiler-jaringan digambarkan pada Gambar 5. Dimisalkan a adalahjari-jari dinding kapiler, dan b adalah jari-jari dinding luar jaringan.

Proses perpindahan material di kapiler dan jaringan terjadi secara difusi.Difusi dapat terjadi ke berbagai arah, antara lain arah radial, aksial, danangular. Pada pembahasan ini diasumsikan difusi terjadi hanya dalam arah

3

Gambar 2: Daerah kapiler jaringan.

radial. Berdasarkan model silinder Krogh, persamaan difusi untuk daerahjaringan adalah:

c

t= Dj

(1

r

c

r+

2c

r2

) g(c). (1)

dimanac : konsentrasi oksigen di daerah jaringan.ck : konsentrasi oksigen di kapiler.t : waktur : jari-jariDj : koefisien difusig(c) : Laju konsumsi oksigen.Berdasarkan Middleman (1972), laju komsumsi oksigen mengikuti hukum

kinetika Michaelis-menten, yang dinyatakan dengan:

g(c) =Ac

B + c, (2)

dengan A merupakan konstanta laju reaksi dan B adalah konstanta lajukesetimbangan.

Pada kurva g(c) terdapat suatu interval untuk nilai konsentrasi, dimanafungsi 2 mendekati fungsi g(c) = kc , dengan k suatu konstanta. Sehinggapersamaan 1 menjadi:

c

t= Dj

(1

r

c

r+

2c

r2

) kc. (3)

4

3 Keadaan Tunak

Persamaan difusi untuk daerah jaringan dengan konsumsi oksigen linier ter-hadap konsentrasi diberikan oleh:

Dj

(1

r

c

r+

2c

r2

)= kc. (4)

Dengan syarat batas:

Dj cr

= h(ck c) pada r = a, (5)

c

r(b) = 0. (6)

Di dalam kapiler, darah mengalir dari ujung arteri ke ujung vena sehingganilai konsentrasi oksigen tidak ditentukan oleh persamaan difusi, tetapi olehkondisi kesetimbangan, yaitu:

upia2dckdz

= 2piah(ck c), (7)

dimana nilai c dihitung pada r = a dan ck(0) = cin, dengan h menunjukkankoefisien ketahanan masssa, dan u merupakan kecepatan aliran darah dikapiler.

Masalah syarat batas (4)-(7) dapat dituliskan dalam bentuk tak berdi-mensi, dengan penskalaan: .

c = ccin, r = ar, z = az.

Sehingga persamaan difusi untuk daerah jaringan adalah:

2c

r2+

1

r

c

r= k2c, (8)

dimana k = (a2Dj

)12 . Persamaan konsentrasi untuk daerah kapiler adalah:

upiadckdz

= 2piah(ck c) pada r = 1. (9)

Syarat batas untuk persamaan (8) dan (9) diberikan oleh:

5

Gambar 3: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Aksial

c

r= 0 pada r =

b

a, (10)

c

r= ha

Dj(ck c) pada r = 1. (11)

ck = 1 pada z = 0. (12)

Solusi persamaan (9) dengan batas (12) adalah:

ck(z) = exp

[ 2$ +

(h

u)z

], (13)

dan penyebaran konsentrasi untuk daerah jaringan adalah:

c(r, z) =ck(z)

$ +

(I0(kr)K1(k

b

a) +K0(kr)I1(k

b

a)

), (14)

dimana =(Dj)

12

h, k = (a2

Dj)12 , I dan K adalah fungsi Bessel Termodifikasi,

serta

$ = I0(k)K1(kb

a) +K0(k)I1(k

b

a), (15)

= K1(k)I1(kb

a) I1(k)K1(k b

a). (16)

6

Gambar 4: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Radial

Gambar 3 dan 3 berturut-turut menunjukkan penyebaran oksigen dalamarah aksial dan radial untuk parameter b

a= 11, = 5sec1, Dj = 16002/sec,

h = 100/sec, cin = 0.2ml O2/ml darah, dan u = 400/sec.

Untuk daerah kapiler, penyebaran oksigen dalam arah radial telah di-asumsikan bernilai konstan. Sedangkan dalam arah aksial, semakin besarjarak dari inlet konsentrasi oksigen semakin kecil. Karena terdapat keta-hanan perpindahan massa pada dinding kapiler, maka penyebaran oksigenpada dinding kapiler tidak kontinu. Sejalan dengan bertambah besarnyajarak dari dinding kapiler, nilai konsentrasi oksigen di jaringan menurun.

4 Kesimpulan

Pada makalah ini telah dibangun suatu model tentang distribusi kon-sentrasi oksigen di daerah kapiler dan jaringan. Dalam pemodelan ini, per-samaan yang diperoleh diselesaikan dalam keadaan tunak. Pada daerahkapiler, semakin besar jarak terhadap ujung arteri (inlet), nilai konsetrasioksigen semakin kecil. Demikian juga dalam arah radial, semakin besar jarakterhadap dinding kapiler, konsentrasi oksigen di jaringan semakin kecil.

Pustaka

[1] Carslaw, H.S. dan Jaeger, J.C. 1959. Conduction Of Heat In Solids. NewYork. Oxford Clarendon Press.

7

[2] Holmes, Mark H. 1995. Introduction to Perturbation Method. New York.Springer-Verlag.

[3] Middleman, Stanley. 1972. Transport Phenomena in the CardiovascularSystem. New York. John-Wiley & Sons, Inc.

[4] Poulikakos. 1994. Conduction Heat Transfer. New Jersey. Prentice-Hall.

8