D E S A I NFA K TO R I A L 𝟐 𝒌

A R U M H A N D I N I P R I M A N D A R I

PENDAHULUAN

• Desain faktorial digunakan secara luas dalam percobaan yang melibatkan beberapa faktor dimana di dalamnya

penting dikaji efek bersama dari faktor-faktor tersebut pada respon.

• Salah satu desain faktorial yang penting, karena sering digunakan dalam penelitian, adalah percobaan menggunakan k

faktor yang masing-masing memiliki 2 taraf/level.

• Taral/level dapat berupa kuantitatif: temperatur, tekanan, waktu; maupun kualitatif: dua mesin, dua operator, tinggi-

rendah, dll.

• Pengulangan lengkap dari desain tersebut membutuhkan 2 x 2 x … x 2 = 2k observasi, dan disebut desain faktorial 2k.

• Asumsi dalam bab ini:

– faktornya tetap

– desainnya random

– asumsi normal terpenuhi

• Desain faktorial 2k secara khusus berguna dalam tahapan awal suatu

eksperimen, ketika terdapat banyak faktor yang harus diinvestigasi.

• Desain ini memberikan banyak pengujian terkecil dengan k faktor yang dapat

dikaji dalam desain faktorial lengkap.

• Akibatnya, desain ini secara luas digunakan dalam factor screening

experiments.

FAKTORIAL 2𝑘

• Misalkan kita menggunakan dua faktor: A dan B (masing-masing memiliki 2

taraf). Desain ini disebut desain faktorial 22.

• Secara praktis, kita sebut dua taraf sebagai rendah dan tinggi.

• Contoh:

Suatu investigasi akan efek konsentrasi reaktan dan jumlah katalis dalam

konfersi pada suatu proses kimia.

A: konsentrasi reaktan (15% dn 25%);

B: katalis (2 pound dan 1 pound).

DATA

Faktor Kombinasiperlakkuan

UlanganTotal

A B 1 2 3

- - A rendah, B rendah 28 25 27 80

+ - A tinggi, B rendah 36 32 32 100

- + A rendah, B tinggi 18 19 23 60

+ + A tinggi, B tinggi 31 30 29 90

UlanganB

TotalRendah Tinggi

A

Rendah

1 28 18

2 25 19

3 27 30

Tinggi

1 36 31

2 32 30

3 32 29

SECARA GEOMETRI

• Apabila digambar dalam segiempat:

– keempat kombinasi diwakilkan oleh huruf kecil;

– Pada kombinasi taraf yang keduanya tinggi: dinotasikan dengan huruf kecil dari keduanya;

– Pada kombinasi taraf tinggi-rendah: dinotasikan dengan huruf kecil faktor yang tinggi;

– Pada kombinasi yang rendah-rendah: dinotasikan dengan (1).

GAMBAR

PENGARUH

• Pengaruh utama faktor A:

𝐴 =1

2𝑟𝑎𝑏 + 𝑎 − 𝑏 − (1)

• Pengaruh utama faktor B:

𝐵 =1

2𝑟𝑎𝑏 + 𝑏 − 𝑎 − (1)

• Pengaruh interaksi AB:

𝐴𝐵 =1

2𝑟𝑎𝑏 + 1 − 𝑎 − 𝑏

PENGARUH

• Sehingga percobaan dalam contoh menjadi:

𝐴 =1

2 ∙ 390 + 100 − 60 − 80 = 8.33

𝐵 =1

2 ∙ 390 + 60 − 100 − 80 = −5

𝐴𝐵 =1

2 ∙ 390 + 80 − 100 − 60 = 1.67

• Efek A positif: peningkatan A dari level rendah ke level tinggi akan meningkatkan konversi.

• Efek B negatif: peningkatan jumlah katalis ke dalam proses kimia, akan menurunkan konversi.

• Pengaruh interaksinya relatif kecil

PERHITUNGAN

2

k

2

k

2

k

ab a b (1)JKA

2 r

ab b a (1)JKB

2 r

ab (1) a bJKAB

2 r

2

k

2ijk

YFK

2 r

JKT Y FK

JKG JKT JKA JKB JKAB

TABEL ANOVA

SV db JK KT F

A 1 JKA KTA KTA/KTG

B 1 JKB KTB KTB/KTG

AB 1 JKAB KTAB KTAB/KTG

Galat … JKG

Total abr-1

STANDAR ORDER

• Dalam menulis kombinasi perlakuan, baiknya dalam urutan: (1), a, b, ab.

• Pengurutan ini disebut standard order atau Yates’ order.

• Menggunakan order ini, koefisien kontras yang digunakan pada estimasi efek

adalah:

Faktor A B AB

(1) -1 -1 +1

𝑎 +1 -1 -1

𝑏 -1 +1 -1

𝑎𝑏 +1 +1 +1

DESAIN 23

• Misalkan: kita menggunakan 3 faktor A, B, C sehingga kita melakukan 23 desain.

• Tanda “+” dan “-” untuk tinggi dan rendah.

• Standard order untuk perlakuan: (1), a, b, ab, c, ac, bc, abc.

A B AB C AC BC ABC

(1) - - + - + + -

𝑎 + - - - - + +

𝑏 - + - - + + +

𝑎𝑏 + + + - - - -

𝑐 - - + + - + +

𝑎𝑐 + - - + + - -

𝑏𝑐 - + - + - - -

𝑎𝑏𝑐 + + + + + + +

DESAIN 23 SECARA GEOMEETRIK

PENGARUH FAKTOR

• Contoh: menentukan pengaruh faktor A

• Pengaruh faktor A:

𝐴 =1

2𝑘−1𝑟− 1 + 𝑎 − 𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑐 − 𝑐𝑏 + 𝑎𝑐𝑏

• Jumlah kuadrat A

𝐴 =1

2𝑘𝑟− 1 + 𝑎 − 𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑐 − 𝑐𝑏 + 𝑎𝑐𝑏 2

• Pengaruh faktor B, C, dan interaksi, dapat ditentukan lewat matriks desain 23.

PENGARUH FAKTOR DAN INTERAKSI SECARAGEOMETRIK

LATIHAN 1

• A : reaktan (15% dan 25%)

• B : katalis (1 pound dan 2 pound)

CombinationReplicate

TotalI II III

A rendah, B rendah 28 25 27 80

A tinggi, B rendah 36 30 32 98

A rendah B tinggi 18 20 23 61

A tinggi, B tinggi 32 30 29 91

LATIHAN 2

• Efek dari persentasi karbonisasi (A), tekanan pengoperasian (B), kecepatan antrian (C) pada

tinggi minuman bersoda. Misalkan terdapat 2 taraf karbonisasi, sedemikian sehingga desain

faktorialnya menjadi 23 dengan 2 kali perulangan.

– Tentukan rumus setiap pegaruh perlakuan (dengan aturan Yate’s)

– Tentukan rumus JK-nya

DATA LATIHAN 2

Kombinasi RunFaktor Deviasi Tinggi

A B C Ulangan 1 Ulangan 2

A, B, C rendah (1) -1 -1 -1 -3 -1

A tinggi a 1 -1 -1 0 1

B tinggi b -1 1 -1 -1 0

A, B tinggi ab 1 1 -1 2 3

C tinggi c -1 -1 1 -1 0

A, C tinggi ac 1 -1 1 2 1

B, C tinggi bc -1 1 1 1 1

A, B, C tinggi abc 1 1 1 6 5

Taraf dari faktor:A (%) : 10 dan 12B (psi) : 25 dan 30C (b/min) : 200 dan 250

DATA UNTUK R

A B C U1 U2

-1 -1 -1 -3 -1

1 -1 -1 0 1

-1 1 -1 -1 0

1 1 -1 2 3

-1 -1 1 -1 0

1 -1 1 2 1

-1 1 1 1 1

1 1 1 6 5

1. Copy, kemudian paste tabel tersebut ke dalamnotepad.

2. Simpan dalam .txt

FAKTORIAL 23 DENGAN R

> softdrink = read.table("D:\\Subjects\\Rancangan Percobaan\\Rancob

R\\softdrink.txt", header = TRUE)

> softdrink.df = data.frame(respon = c(softdrink$U1, softdrink$U2),

rbind(softdrink[,1:3], softdrink[,1:3])) # membuat data frame data

> softdrink.df[,2:4] = lapply(softdrink.df[,2:4], factor) # mengubah

kolom 2-4 menjadi faktor

> hasil = aov(respon ~ A*B*C, data = softdrink.df)

> summary(hasil)

Input data

ANOVA

HASIL

FUNGSI LAPPY

• Fungsi lappy digunakan untuk mengaplikasikan suatu FUNGSI ke setiap anggota X. Hasilnya

adalah daftar yang memiliki panjang yang sama dengan X.

• Sintaks: lapply (x, FUN, …)

Dimana:

𝑥: merupakan obyek/data

FUN: fungsi yang akan diaplikasikan ke-𝑥

Contoh:

> x <- list(a = 1:10, beta = exp(-3:3))

> lapply(x, mean) # merata-ratakan a dan beta

FUNGSI RBIND

• Fungsi rbind digunakan untuk menggabungkan obyek berdasarkan baris

• Sintaks: rbind(x, y, z, …)

Dimana

𝑥, 𝑦, 𝑧, … : merupakan obyek yang akan digabungkan berdasarkan baris