DERET BERKALA (TIME SERIES)(2) – TREND NON-LINIER

Matakuliah : KodeJ0204/Statistik EkonomiTahun : Tahun 2007Versi : Revisi

TIPE TREN NON-LINIER

Trend Kuadratik Trend Eksponensial Kurva Gompertz Kurva Pearl-Reed

Dalam jangka pendek trend yang linier dapat menggambarkan dengan baik gerakan trend deret berkala

Dalam jangka panjang umumnya trend akan non-linier

Salah satunya berbentuk parabola (kuadratik) Persamaan kuadratik:

Yi’ = a + bXi + cXi

2

Yi’ merupakan nilai trend yang ditaksir, Xi adalah waktu

a, b, c merupakan konstanta

TREND KUADRATIK

Persamaan normal trend kuadratik:

Disederhanakan menjadi:

dimana

4i

3i

2ii

2i

3i

2iiii

2iii

XcXbXnYX

XcXbXnYX

XcXbnaY

TREND KUADRATIK

4i

2ii

2i

2iii

2ii

ucuaYu

ubYu

ucnaY

0u0uXXu 3iiii

CONTOH TREND KUADRATIK

Tahun Deposit Uang u uY u2Y u2 u4 Y'

1949 71 -13 -923 11.999 169 28.561 133,645

1950 49 -11 -539 5.929 121 14.641 83,145

1951 71 -9 -639 5.751 81 6.561 53,965

1952 95 -7 -665 4.655 49 2.401 46,105

1953 128 -5 -640 3.200 25 625 59,565

1954 156 -3 -468 1.404 9 81 94,345

1955 192 -1 -192 192 1 1 150,445

1956 217 1 217 217 1 1 227,865

1957 301 3 903 2.709 9 81 326,605

1958 378 5 1.890 9.450 25 625 446,665

1959 520 7 3.640 25.480 49 2.401 588,045

1960 726 9 6.534 58.806 81 6.561 750,745

1961 804 11 8.844 97.284 121 14.641 934,765

1962 1.328 13 17.264 224.432 169 28.561 1.140,105

 Jumlah 5.036 0 35.226 451.508 910 105.742  

Berdasarkan data, dapat diperoleh persamaan normal berikut:

Solusi persamaan normal diatas adalah

a = 186,49; b = 37,71; c = 2,665 Diperoleh persamaan kuadratik sebagai berikut:

Yi’ = 186,49 +37,71 u + 2,665 ui2

Contoh: nilai trend kuadratik tahun 1949 menjadi:

Yi’ = 186,49 +37,71 (-13) + 2,665 (-13)2 = 133,645

CONTOH TREND KUADRATIK

)3(

)2(

)1(

c742.105a910508.451

b910226.35

c910a14036.5

CONTOH TREND KUADRATIK

0

200

400

600

800

1.000

1.200

1.400

1949

1950

1951

1952

1953

1954

1955

1956

1957

1958

1959

1960

1961

1962

Deposit Uang Nilai Perkiraan (Y')

TREND EKSPONENSIAL

Trend kuadratik menggambarkan tingkat pertambahan secara kurang lebih konstan (constant rate of increase)

Rasio perubahan yang konstan lebih sesuai digambarkan dengan persamaan trend eksponensial sebagai berikut:

Y’ = abX

Gambar kurva diatas akan menunjukkan pertambahan yang makin menaik

CONTOH TREND EKSPONENSIAL

Tahun PDB = Y

1963 410,8

1964 425,3

1965 429,9

1966 441,9

1967 448,0

1968 497,0

1969 531,0

1970 571,0

1971 611,0

1972 654,0

1973 707,0

300,0

350,0

400,0

450,0

500,0

550,0

600,0

650,0

700,0

750,0

1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973

PDB = Y

TREND EKSPONENSIAL

Bila persamaan eksponensial ditransformasi menggunakan logaritma, maka akan diperoleh rumusan:

log Y’ = log a + X log b Persamaan diatas menyatakan garis linier atas dasar

X dan log Y’ Jika Y’ = log Y’, a = log a, b = log b, maka persamaan

diatas menjadi persamaan trend linier biasa, yaitu

Y’ = a + bX

TREND EKSPONENSIAL

Persamaan normal yang terbentuk:

Disederhanakan menjadi:

karena

2ii

i

ii

i

X)b(logX)a(log

X)b(log)a(logn

YlogX

Ylog

2iii

i

u)b(logYlogu

)a(lognYlog

0ui

CONTOH TREND EKSPONENSIAL

Tahun PDB = Y u log Y u log Y u2 log Y' Y'

1963 410,8 -5 2,6136 -13,0682 25 2,5866 386,011

1964 425,3 -4 2,6287 -10,5148 16 2,6110 408,282

1965 429,9 -3 2,6334 -7,9001 9 2,6353 431,837

1966 441,9 -2 2,6453 -5,2906 4 2,6597 456,752

1967 448,0 -1 2,6513 -2,6513 1 2,6840 483,103

1968 497,0 0 2,6964 0,0000 0 2,7084 510,975

1969 531,0 1 2,7251 2,7251 1 2,7328 540,456

1970 571,0 2 2,7566 5,5133 4 2,7571 571,637

1971 611,0 3 2,7860 8,3581 9 2,7815 604,617

1972 654,0 4 2,8156 11,2623 16 2,8058 639,499

1973 707,0 5 2,8494 14,2471 25 2,8302 676,394

Jumlah     29,8014 2,6809 110    

Berdasarkan data diperoleh:

Sehingga akan diperoleh persamaan trend eksponensial berikut:

Log Y’ = 2,7084 + 0,02436 u (1968 = 0) Contoh: nilai trend eksponensial kuadratik tahun 1963

menjadi:

Log Y’ = 2,7084 + 0,02436 (-5) = 2,5866

Y’ = Antilog (2,5866) = 386,011

CONTOH TREND EKSPONENSIAL

02436,0blog7084,2alog

blog110680,2dan)a(log117925,29

CONTOH TREND EKSPONENSIAL

300,0

350,0

400,0

450,0

500,0

550,0

600,0

650,0

700,0

750,0

1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973

PDB = Y Nilai Perkiraan (Y')

PEMERIKSAAN KETEPATAN MODEL

Pemeriksaan ketepatan model berguna untuk mengetahui seberapa baik model yang dihasilkan

Dapat digunakan untuk membandingkan antar metode Metode yang bisa digunakan diantaranya adalah Mean

Absolute Deviation (MAD) dengan rumus

Contoh: Model Perkiraan untuk Deposit Uang

n

1t

'tt YY

n

1MAD

PEMERIKSAAN KETEPATAN MODEL

Contoh: Model Perkiraan untuk Deposit Uang

TahunDeposit

UangPerkiraan Trend

KuadratikPerkiraan Trend

Eksponensial|Yt - Yt'| Trend

Kuadratik|Yt - Yt'| Trend Eksponensial

1949 71 133,65 47,46 62,65 23,54

1950 49 83,15 60,33 34,15 11,33

1951 71 53,97 76,69 17,04 5,69

1952 95 46,11 97,49 48,90 2,49

1953 128 59,57 123,93 68,44 4,07

1954 156 94,35 157,54 61,66 1,54

1955 192 150,45 200,27 41,56 8,27

1956 217 227,87 254,58 10,87 37,58

1957 301 326,61 323,62 25,61 22,62

1958 378 446,67 411,38 68,67 33,38

1959 520 588,05 522,95 68,05 2,95

1960 726 750,75 664,77 24,75 61,23

1961 804 934,77 845,05 130,77 41,05

1962 1.328 1.140,11 1.074,23 187,90 253,77

MAD = 60,78 36,39

PEMERIKSAAN KETEPATAN MODEL

Contoh: Model Perkiraan untuk Deposit Uang

0

200

400

600

800

1.000

1.200

1.400

1949

1950

1951

1952

1953

1954

1955

1956

1957

1958

1959

1960

1961

1962

Deposit Uang Nilai Perkiraan dg Trend Kuadratik

Nilai Perkiraan dg Trend Eksponensial

SEKIAN &

SEE YOU NEXT SESSION