JUDUL BUKU : STATISTIK TEORI DAN APLIKASI

EDISI ENAM

PENGARANG BUKU : J.SUPRANTO

PENERBIT/TAHUN TERBIT : PENERBIT ERLANGGA, JAKARTA 2000

RINGKASAN BUKU

Menurut Websters’s New World Dicitionary, data berarti sesuatu yang

diketahui atau dianggap. Dengan demikian data dapat memberikan gambaran

tentang suatu keadaan atau persoalan. Data tentang sesuatu pada umumnya

dikaitkan dengan tempat dan waktu. Kegunaan data pada dasarnya adalah untuk

membuat keputusan oleh para pembuat keputusan (decision makers). Statistik

dapat membantu kita dalam (1) menjabarkan dan memahami suatu hubungan,

(2) mengambil keputusan lebih baik, (3) menangani perubahan.

Dalam Pemecahan Masalah Secara Statistik ada beberapa langkah-langkah

dasar yang dapat dilakukan yaitu :

(1) Mengidentifikasi masalah atau peluang,

(2) Mengumpulkan fakta yang tersedia,

(3) Mengumpulkan data orisinil yang baru,

(4) Mengklasifikasikan dan mengikhtisarkan data,

(5) Menyajikan Data,

(6) Menganalisis Data.

Data juga mempunyai syarat yang harus dipenuhi untuk menghasilkan

keputusan yang baik,yaitu Objektif, Representatif (mewakili), Kesalahan

Sampling (sampling error) kecil, Tepat Waktu, Relevan.

Data-data yang ada dapat dikumpulkan dari sumber-sumber internal dan

eksternal, dan data orisinil baru dapat diperoleh dari wawancara secara pribadi

dan kuesioner. Setelah data diperoleh kita perlu membahas tentang metode

penarikan data secara rinci. Akan tetapi, perlu diperhatikan bahwa semua data

yang akan ditarik akan berupa hasil perhitungan atau hasil pengukuran oleh suatu

instrumen.

Data juga dapat dikelompokkan antara lain, Data Menurut Sifatnya

dibedakan antara Data Kualitatif dan Data Kuantitatif, Data Menurut Sumbernya

dibedakan menjadi Data Internal dan data Eksternal, Data Menurut Cara

Memperolehnya dibedakan menjadi Data Primer dan Data Sekunder, dan Data

Menurut Waktu Pengambilannya dibedakan menjadi Data Cross Section dan Data

Berkala.

Dalam arti sempit, Statistik berarti data ringkasan berbentuk angka

(kuantitatif) sedangkan dalam arti luas berarti suatu ilmu yang mempelajari cara

pengumpulan, pengolahan/pengelompokan, penyajian dan analisis data serta cara

pengambilan kesimpulan dengan memperthitungkan unsur ketidakpastian

berdasarkan konsep probabilitas. Tetap dalam bukunya Statistical Theory In

Research, Anderson and Bancrof mengatakan Statistika adalah ilmu dan seni

pengembangan dan penerapan metode yang paling efektif sehingga kemungkinan

kesalahan dalam kesimpulan dan estimasi yang diperkirakan dengan

menggunakan penalaran induktif berdasarkam matematika probabilitas.

Bab 2 menjelaskan tentang Pengumpulan dan Pengolahan Data. Tujuan

pengumpulan data yaitu untuk mengetahui jenis elemen (unit terkecil dari objek

penelitian), karakteristik (sifat-sifat yang dilakukan oleh elemen), populasi dan

sampel. Dalam statistik ada dua cara untuk memperoleh data yaitu cara Sensus

(pengumpulan data apabila seluruh elemen populasi diselidiki satu persatu), data

yang diperoleh disebut Parameter. Yang kedua adalah cara Sampling (cara

pengumpulan data apabila diselidiki adalah elemen sampel dari suatu populasi),

data yang diperoleh merupakan Data Perkiraan. Dibandingkan dengan sensus.

Pengumpulandata degancara sampling membutuhkan biaya yang jauh lebih

sedikit, memerlukan waktu yang lebih cepat, tenaga yang tidak terlalu banyak dan

dapat menghasilkan cakupan data yang lebih luas serta terperinci. Dalam

pengambilan sampel ada dua cara yang sering dipakai yaitu secara acak dan

bukan acak. Alat yang dipakai untuk memperoleh keterangan dari objek yaitu

daftar pertanyaan (questionnaire), wawancara, observasi, melalui pos/alat

komunikasi lain dan alat ukur lainnya. Akan tetapi hal yang terpenting dalam

pengumpulan data adalah merancang kuesioner (daftar isian yang berupa satu

set pertanyaan yang tersusun secara sistematis dan standar sehingga pertanyaan

yang sama dapat diajukan kepada setiap responden). Sistematis yang dimaksud

adalah bahwa item-item pertanyaan disusun menurut logika (logical sequence)

sesuai dengan maksud dan tujuan pengumpulan data. Sedangkan yang dimaksud

dengan standar adalah setiap item pertanyaan mempunyai pengertian,konsep,dan

definisi yang sama. Ada dua tujuna utama dalam membuat kuesioner suatu survei

yang baik yaitu:

1. memperoleh informasi/data yang berhubungan dengan maksud dan tujuan

survei

2. mengumpulkan informasi dengan kecermatan dan ketelitian yang dapat

dipertanggungjawabkan.

Secara umum metode pengolahan data dibedakan menjadi dua yaitu

pengolahan data decara manual (yang dilakukan untuk jumlah obesrvasi yang

tidak terlalau banyak dan memerlukan waktu yang sangat lama karena harus

menelitisatu persatu dari setiap obesrvasi) dan pengolahan data secara

elektronik (dengan menggunakan komputer).

Bab 3 menjelaskan tentang Penyajian Data. Data dapat disajikan dengan

Tabel dan Grafik. Penyajian data dalam bentuk tabel adalah penyajian dalam

kumpulan angka-angka yang disusun menurut kategori-kategori,sehingga

memudahkan untuk pembuatan analisis data. Ada beberapa bentuk tabel yaitu :

(1) Tabel Satu Arah (one way table),tabel yang memuat keterangan mengenai satu

hal/karakteristik saja,

(2) Tabel Dua Arah (two way table),tabelyang menunjukkan hubungan dua

hal/karakteristik,

(3) Tabel Tiga Arah (three way table),tabel yang menunjukkan tiga

hal/karakteristik.

Penyajian data dalam bentuk grafik adalah penyajian dalam bentuk gambar

yang menunjukkan secara visual data berupa angka yang dapat memudahkan

pengambilan kesimpulan dengan cepat. Ada beberapa bentuk grafik yaitu :

(1) Grafik Garis Tunggal (single line chart),grafik yang terdiri dari satu garis

untuk menggambarkan perkembangan dari suatu karakteristik,

(2) Grafik Garis Berganda (multiple line chart),grafik yang terdiri dari beberapa

garis untuk menggambarkan perkembangan beberapa hal sekaligus,

(3) Grafik Garis Komponen Berganda (multiple component line chart),mirip

dengan grafik berganda tetapi garis yang terakhir menggambarkan jumlah dari

komponen-komponen,

(4) Grafik Garis Persentase Komponen Berganda (multiple percentage component

line chart),mirip dengan grafik garis berganda kecuali masing-masing nilai

komponen dinyatakan dalam persentase sehingga garis terakhir merupakan garis

yang menunjukkan nilai 100%,

(5) Grafik Garis Berimbang Neto (net balanced line),grafik yang nilai-nilai selisih

dengan garis timbangan dapat diberi warna yang berbeda untuk menilai selisih

positif dan negatif,

(6) Grafik Batangan Tunggal (single bar chart)

(7) Grafik Batangan Berganda (multiple bar chart)

(8) Grafik Batangan Komponen Berganda (multi component bar chart)

(9) Grafik Batangan Persentase Komponen Berganda (multiple percentage

component bar chart)

(10) Grafik Batangan Berimbang Neto (net balanced bar chart)

(11) Grafik Lingkaran Tunggal (single pie chart)

(12) Grafik Lingakaran Berganda (multi pie chart)

(13) Grafik Peta (cartogram chart)

(14) Grafik gambar (pictogram chart)

Bab 4 menjelaskan tentang Distribusi Frekuensi. Distribusi frekuensi

menunjukkan banyaknya item dalam setiap kategori atau kelas. Dalam distribusi

frekuensi terdapat frekuensi relatif dari suatu kelas adalah proporsi item dalam

setiap kelas terhadap jumlah kesuluruhan item data tersebut. Jika sekelompok data

memiliki n observasi.maka frekuensi relatif dari kategori atau kelas akan

diberikan sebagai berikut.

Frekuensirelatif dari suatukelas= Frekuensi kelasn

Ada tiga hal yang perlu diperhatikan dalam menentukan kelas bagi distribusi

frekuensi untuk data kuantitatif yaitu :

1. Jumlah Kelas

Pada tahun 1926 H.A. Sturges menulis artikel dengan judul “The Choice

of a Class Interval” yang mengemukakan rumus untuk menentukan

banyaknya kelas yaitu :

k = 1 + 3,322 log n

2. Interval Kelas

Pemilihan interval kelas dan jumlah kelas sebenarnya tidak independen.

Semakin banyak jumlah kelas berarti semakin kecil interval kelas dan

sebaliknya.

c = Xn± X 1

k

3. Batas Kelas

Batas kelas bawah menunjukkan kemungkinan nilai data terkecil pada

suatu kelas sedangkan batas kelas atas mengidentifikasi kemungkinan nilai

data terbesar dalam suatu kelas.

Sering kali data dari tabel disajikan dalam bentuk grafik misalnya dalam

bentuk histogram/grafik batangan,frekuensi poligon dan frekeunsi kurva. Grafik

batangan biasanya digunakan untuk menyajikan datayang bukan merupakan tabel

frekuensi. Dalam analisis ekonomi,khususnya pada masalah pemerataan

pendapatan dikenal suatu kurva yang disebut Kurva Lorenz. Pada dasarnya

kurva ini sama dengan kurva frekuensi kumulatif. Dalam kurva ini ditunjukkan

pembagian pendapatan yang sama sehingga menunjukkan keadilan atau makin

tidak sama, makin tidak adil. Pembagian pendapatan yang tidak sama atau kurang

merata disebut dengan Income Gap yaitu jurang pemisah antara yang

berpendapatan tinggi dengan yang berpendapatan rendah. Apabila income gap

semakin besar sering terjadi kekacauan yang menimbulkan pemberontakan.

Bab 5 menjelaskan tentang Ukuran Pemusatan. Rata-rata (average) adalah

nilai yang mewakii himpunan atau sekelompok data (a set of data). Nilai rata-rata

umumnya cenderung terletak di tengah suatu kelompok data yang disusun

menurut besar kecilnya nilai. Rata-rata yang sering digunakan dalam ukuran

pemusatan adalah Rata-rata Hitung (arithmetic mean), Rata-rata Ukur (geometric

mean) dan Rata-rata Harmonis (harmonic mean).

Rata-rata Hitung

Apabila kita mempunyai nilai variabel X, sebagai hasil pengamatan sebanyak

N kali, yaitu X1, X2,. . ., Xi, . . . , XN maka :

a) Rata-rata sebenarnya (populasi)

µ = 1N∑i=1

N

Xi

b) Rata-rata Perkiraan (sampel)

X= 1n∑i=1

n

Xi

BEBERAPA SIFAT/CIRI RATA-RATA HITUNG

Rata-rata hitung memiliki beberapa sifat yaitu :

I. Jumlah deviasi atau selisih kelompok nilai terhadap nilai terhadap

rata-ratanya sama dengan nol.

II. Jumlah deviasi kuadrat dari suatu kelompok nilai terhadap nilai k

akan minimum jika k = X .

III. Apabila ada kelompok nilai :

Kelompok Pertama sebanyak f1 nilai dengan rata-rata X 1

Kelompok Kedua sebanyak f2 nilai dengan rata-rata X 2

Kelompok ke-i sebanyak fi nilai rata-rata dengan rata-rata X i

IV. Apabila k adalah sembarang nilai yang merupakan nilai rata-rata

asumsi/anggaran dan di merupakan deviasi dari nilai Xi terhadap k

(di = Xi – k,i = 1,2,.......,n)

V. Jika suatu kelompok data sangat heterogen, maka rata-rata hitung

tidak dapat mewakili masing-masing nilai dari kelompok tersebut

dengan baik. Rata-rata hitung hanya dapat mewakili dengan

sempurna atau nilainya tepat bila kelompok datanya homogen.

MEDIAN (DATA TIDAK BERKELOMPOK)

Apabila ada sekelompok nilai sebanyak n diurutkan mulai dari yang

terkecil Xi sampai dengan yang terbesar Xn, maka nilai yang ada ditengah disebut

Median.

Untuk n Ganjil ditulis : n= 2k + 1

Untuk n Genap ditulis : median = 12 (Xk + Xk+1)

MEDIAN (DATA BERKELOMPOK)

Secara Geometrik, median juga merupakan nilai X dari absis (sumbu

horizontal) sesuai dengan jarak tegak lurus yang membagi suatu histogram

menjadi dua daerah sama luasnya. Jadi seluruh observasi seolah-olah dibagi

menjadi dua,setengah di sebelah kiri median (yang terdiri dari observasi yang

nilainya sama atau lebih kecil dari median) dan setengah di sebelah kanan median

(yang terdiri dari observasi yang nilainya sama atau lebih besar dari median)

med = L0 + c { n2−(∑ fi ) 0

fm }MODUS

Modus dari suatu kelompok nilai adalah nilai kelompok tersebut yang

mempunyai frekuensi tertinggi atau nilai yang paling banyak terjadi didalam suatu

kelompok nilai. Apabila data sudah dikelompokkan dan disajikan dalam tabel

frekeunsi maka dalam mencari modusnya digunakan rumus :

Modus = L0 + c { (f 1 ) 0( f 1 )0+ (f 2 ) 0 }

dimana,

L0 = nilai batas bawah, kelas yang memuat modus

fm0 = frekeunsi kelas yang memuat modus

(f1)0 = fm() – f(m0-1) (selisih frekeunsi kelas yang memuat modus dengan

frekeunsi kelas sebelumnya)

(f2)0 = fm() – f(m0+1) (selisih frekeunsi kelas yang memuat modus dengan

frekeunsi kelas sesudahnya)

C = besarnya jarak antara nilai batas atas dan nilai batas bawah dari

kelas yang memuat modus

PERBANDINGAN ANTARA RATA-RATA, MEDIAN, DAN MODUS

Apabila distribusi frekuensi mempunyai kurva yang simetris dengan satu

puncak saja, maka letak rata-rata X , median dan modus adalah sama yaitu X =

mod = med. Bila kurva menceng ke kanan, maka nilai rata-rata adalah yang paling

besar,diikuti dengan median, lalu modus. Bila kurva menceng ke kiri, maka nilai

rata-rata paling kecil, diikuti median lalu modus. Tetapi bila distribusinya tidak

terlalu melenceng maka terdapat hubungan :

rata-rata – modus = 3 (rata-rata – median) atau,

modus = rata-rata – 3 (rata-rata – median)

RATA-RATA UKUR

Untuk mencapai rata-rata ukur dapat digunakan rumus :

G = n√ X ₁× X ₂ .. . Xn

Log G = ∑ log Xi

n

G = antilog (∑ log Xi

n )

RATA-RATA HARMONIS

Rata-rata Harmonis (RH) dari n angka, X1, X2, . . ., Xn adalah nilai yang

diperoleh dengan jalan membagi n dengan jumlah kebalikan dari masing-masing

X tersebut di atas. Rumusnya adalah sebagai berikut :

RH =

n

∑i=1

n1Xi

Bila kita berbicara tentang median, maka nilai ini seolah-olah membagi

kelompok dan menjadi 2 bagian yang sama. Artinya 50% dari kelompok data ini

mempunyai nilai sama atau lebih kecil dari median, sedangkan 50% lainnya

mempunyai nilai yang sama atau lebih besar dari median tersebut. Nilai median

merupakan salah satu dari nilai observasi/ pengamatan. Untuk kelompok data

dimana n ≥ 4, kita tentukan tiga nilai, katakanlah Q1, Q2, Q3, yang membagi

kelompok data tersebut menjadi 4 bagian yang sama yaitu setiap bagian memuat

data yang sama. Nilai-nilai tersebut dinamakan kuartil pertama, kedua dan

ketiga. Pembagian itu adalah sedemikian rupa sehingga nilai 25% data sama atau

lebih kecil dari Q1, 50% data sama atau lebih kecil dari Q2, 75 % data sama atau

lebih kecil dari Q3.

KUARTIL, DESIL, PERSENTIL (DATA BERKELOMPOK)

Kuartil merupakan ukuran yang membagi sekelompok nilai menjadi empat

bagian yang sama. Rumus Kuartil yaitu :

Qi = L0 + c { ¿4−(∑ fi ) 0

fq }, i = 1,2,3

dimana :

L0 = nilai batas bawah, kelas yang memuat kuartil ke-i

n = banyaknya observasi

∑ (f1)0 = jumlah frekeunsi dari semua kelas sebelum kelas yang

mengandung kuartil ke-i

fq = frekeunsi dari kelas yang mengandung kuartil ke-i

c = besarnya kelas interval yang mengandung kuartil ke-i atau jarak

nilai batas bawah (atas) dari suatu kelas terhadap nilai batas bawah (atas)

kelas berikutnya

i = 1,2,3

in = i kali n

Desil merupakan ukuran yang membagi sekelompok nilai menjadi 10

bagian yang sama. Rumus desil yaitu :

Di = L0 + c { ¿10

−(∑ fi ) 0

fd }Persentil adalah ukuran yang membagi sekelompok nilai menjadi 100

bagian yang sama. Rumus persentil yaitu :

Pi = L0 + c { ¿100

−(∑ fi ) 0

fp }dimana :

L0 = nilai batas bawah, kelas yang memuat desil ke-i (persentil ke-i)

n = banyaknya observasi

∑ (f1)0 = jumlah frekeunsi dari semua kelas sebelum kelas yang

mengandung desil ke-i (persentil ke-i)

fd = frekeunsi dari kelas yang memuat desil ke-i

fp = frekeunsi dari kelas yang memuat persentil ke-i

c = besarnya kelas interval yang memuat desil ke-i (persentil ke-i)

Bab 6 menjelaskan tentang Ukuran Variasi atau Dispersi. Ada beberapa

macam ukuran variasi atau dispersi, misalnya nilai jarak (range), rata-rata

simpangan (mean deciation), simpangan baku (standard deviation), dan koefisien

variasi (coefficient of varitation). Diantara ukuran variasi tersebut simpangan

baku yang sering dipergunakan, khususnya untuk keperluan analisis data. Dispersi

dipelajari untuk membandingkan sebaran data dari dua informasi distribusi nilai.

Misalnya untuk membandingkan tingkat produktivitas dari dua perusahaan.

Meskipun kita mengetahui bahwa produksi rata-rata dari dua perusahaan mobil

adalah 20 mobil sehari, namun kita tentu tidak dapat langsung mengatakan bahwa

tingkat produksi mereka identik. Kita perlu melihat bagaimana sebaran nilai

(jumlah produksi harian) dari kedua perusahaan tersebut. Mungkin perusahaan

pertama cenderung lebih homogen, dalam arti bahwa jumlah produksi harian tidak

jauh dari kisaran rata-rata. Mungkin pula pperusahaan kedua ternyata cenderung

memiliki tingkat distribusi produksi yang lebih heterogen, yang berarti bahwa

jumlah produksi harian sangat beragam dan menyebar jauh disekitar rata-rata.

PENGUKURAN DISPERSI DATA TIDAK DIKELOMPOKKAN

Nilai Jarak

Diantara ukuran variansi yang paling sederhana dan paling mudah

dihitung ialah nilai jarak (range). Bila suatu kelompok nilai sudah disusun

menurut urutan yang terkecil (X1) sampai dengan yang tersebar (Xn), maka untuk

menghitung nilai jaraj dapat digunakan rumus :

Nilai Jarak = Nilai Maksimum (Xn) – Nilai Minimum

(X1)

Rata-rata Simpangan

Rata-rata simpangan adalah rata-rata hitung dari nilai absolut simpangan

yang dirumuskan :

RS = in∑ |Xi−X|

sedangkan simpangan terhadap median dapat dirumuskan :

RS = in

∑ |Xi−Med|

Simpangan Baku

Diantara ukuran dispersi atau variasi, simpangan baku adalah yang paling

banyak dipergunakan, karena mempunyai sifat-sifat matematis yang sangat

penting dan berguna sekali untuk pembahasan teori dan analisis. Simpangan baku

adalah salah satu ukuran dispersi yang diperoleh dari akar kuadrat positif varians.

Varians adalah rata-rata hitung dari kuadrat simpangan setiap pengamatan

terhadap rata-rata hitungnya. Simbol dari varians populasi adalah σ 2 dimana

rumusnya adalah :

σ 2 = i

N ∑

i=1

N

( Xi−μ )2

Dimana (X−μ) adalah simpangan deviasi dari observasi terhadap rat-rata

sebenarnya. Dirumuskan sebagai berikut :

S2 = i

n ±1 ∑i=1

N

( Xi−X )2

Dimana ( Xi−X ) adalah simpangan deviasi dari obseravasi terhadap rata-

rata sampel. Rumus dan simbol dari simpangan baku populasi adalah :

σ=¿ √∑i=1

N

( Xi−μ ) 2

N

dimana σ merupakan simpangan baku dari X.

PENGUKURAN DISPERSI DATA DIKELOMPOKKAN

Nilai Jarak

Untuk data yang berkelompok, nilai jarak (NJ) dapat dihitung dengan dua cara

yaitu :

a) NJ = Nilai tengah kelas akhir - Nilai tengah kelas pertama

b) NJ = Batas atas kelas terakhir – Batas bawah kelas pertama

Simpangan Baku

Untuk data yang berkelompok dan sudah disajikan dalam tabel frekeunsi,

rumus simpangan baku populasi adalah :

σ = √∑i=1

k

fi ( Mi−μ )2

N

Mi = nilai tengah dari kelas ke-i, i = 1,2, . . . , k.

atau

σ=c √∑i=1

k

fidi2

N±(∑i=1

k

fidi

N)

2

, untuk kelas interval yang sama

dimana :

c = besarnya kelas interval

fi = frekeunsi kelas ke-i

di = deviasi = simpangan dari kelas ke-i terhadap titik asal asumsi

dan

σ=√ 1N {∑

i=1

k

fiMi2−(∑

i=1

k

fiMi)2

N }untuk kelas interval yang tidak sama, Mi = nilai tengah kelas ke-i.

Untuk data sampel diperoleh simpangan baku sampel dengan rumus :

S = c √∑i=1

k

fidi2

n± 1−[∑i=1

k

fidi

n−1 ]2

untuk kelas yang sama,

dan

S = √ 1n−1 {∑

i=1

k

fiMi2−(∑

i=1

k

fiMi)2

n−1 } untuk kelas tidak sama.

Variabel X yang mempunyai rata-rata µ dengan simpangan baku σ . Jadi,

Xiσ

merupakan nilai baku dari Xi, dan Zi = Xi−μ

σ merupakan nilai simpangan atau

deviasi yang baku. Simpangan baku yang sudah dibahas diatas mempunyai satuan

yang sama dengan satuan data aslinya. Hal ini menjadi suatu kelemahan kalau kita

ingin membandingkan dua kelompok data, misalnya harga 10 mobil dengan harge

10 ekor ayam atau berat 10 ekor gajah dengan berat 10 ekor semut. Walaupun

nilai simpangan baku untuk berat gajah atau harga mobil lebih besar, nilai ini

belum tentu lebih heterogen atau lebih bervariasi daripada harga semut atau harga

ayam. Untuk keperluan perbandingan dua kelompok nilai dipergunakan Koefisien

Variasi (KV) yang bebas dari satuan data asli dimana rumusnya adalah :

KV = σμ × 100%, untuk populasi

kv = SX

×100%, untuk sampel

Jika ada dua kelompok data dengan KV1 dan KV2, dimana KV1 > KV2,

maka kelompok pertama lebih bervariasi atau lebih heterogen daripada kelompok

kedua.

UKURAN KEMENCENGAN DAN KERUNCINGAN KURVA

Apabila kita mempunyai sekelompok data sebanyak n: X1,X2,....,Xn, maka

yang disebut momen dengan momen ke-r (Mr) adalah :

Mr = 1n

∑i=1

n

X ir . . . untuk data tak berkelompok

Untuk data yang sudah dikelompokkan menjadi k kelas, dengan Mi

merupakan nilai tengah kelas ke-i, maka rumus momen ke-r (Mr) yaitu :

x

yQ

QQ 1

Mr = 1n ∑

i=1

k

fiM ir . . . untuk data berkelompok

Untuk r = 1, maka M1 merupakan rata-rata hitung. Momen tersebut

merupakan terhadap titik asal, sedangkan momen terhadap rata-rata hitung

adalah :

Mr = in∑i=1

n

( Xi−X )r. . . untuk data tak berkelompok

Mr = in∑i=1

k

fi ( Mi−X )r . . . untuk data berkelompok

Untuk r = 2, maka M2 merupakan varians(kuadrat dari simpangan baku =

S2). Momen ketiga dan keempat yaitu M3 dan M4 bergunan untuk mengukur

kemencengan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari suatu distribusi

frekuensi.

Ukuran Kemencengan Kurva (Skewness)

Kurva yang tidak simetris dapat menceng ke kiri atau ke kanan. Di dalam

kurva yang tidak simetris, letak median, modus dan rata-rata (X ) sama. Ukuran

tingkat kemencengan menurut Pearson yaitu :

Kurva Simetris Kurva Menceng ke Kiri Kurva

Menceng ke Kanan

TK = X−mod

S

dimana :

X = rata-rata hitung

Mod = modus

S = simpangan baku

atau

TK = 3 ( X−med )

S

Ukuran tingkat kemencengan dapat juga dihitung berdasarkan momen

ketiga dengan rumus :

α 3=M 3

S3 = 1nS3 ∑

i=1

n

( X i−X )3 . . . untuk data tak berkelompok

atau

α 3=M 3

S3 = 1nS3 ∑

i=1

k

f i ( M i−X )3. . . untuk data berkelompok

Semakin besar α 3, maka kurva suatu distribusi semakin menceng atau

miring.

Ukuran Keruncingan Kurva (Kurtosis)

Dilihat dari tingkat keruncingannya kurva distribusi frekeunsi dibagi

menjadi 3 yaitu mesokurtis, leptokurtis dan platykurtis yang bentuk kurvanya

adalah :

Untuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva distribusi

dipergunakan α 4,yaitu moment coefficient of kurtosis yang rumusnya sebagai

berikut :

α 4 = M 4

S4 = 1n∑i=1

n

( X i−X )4

S4

. . . (untuk data tidak berkelompok)

α 4 = M 4

S4 = 1n∑i=1

k

f i ( M i−X )4

S4

. . . (untuk data berkelompok)

Bab 7 menjelaskan tentang Analisis Korelasi dan Regresi Liniear

Sederhana. Didalam perencanaan, selain data masa lampau dan masa sekarang,

juga diperlukan data hasil ramalan yang menggambarkan kemampuan di masa

yang akan datang. Apabila dua variabel X dan Y mempunyai hubungan, maka

nilai variabel X yang sudah diketahui dapat dipergunakan untuk memperkirakan /

menaksir Y. Ramalan pada dasarnya merupakan perkiraan mengenai terjadinya

suatu kejadian. Variabel Y yang nilainya akan diramalkan disebut variabel tidak

bebas (dependent variabel), sedangkan variabel X yang nilainya dipergunakan

untuk meramalkan nilai Y disebut variabel bebas (independent variabel). Jadi

analisis korelasi ini memungkinkan kita untuk mengetahui sesuatu di luar hasil

penyelidikan, misalnya dengan ramalan kita dapat mengetahui terjadinya suatu

kejadian baik secara kualitatif maupun kuantitatif.

KOEFISIEN KORELASI DAN KEGUNAANYA

Hubungan dua variabel ada yang positif dan negatif. Hubungan X dan Y

dikatakan positif apabila kenaikan (penurunan) X pada umumnya diikuti oleh

kenaikan (penurunan) Y. Sebaliknya dikatakan negatif apabila kenaikan

(penurunan) X pada umumnya diikuti oleh penurunan (kenaikan) Y. Jadi apabila

antara variabel X dan Y terdapat hubungan, maka bentuk diagram pencarnya

adalah mulus / teratur dimana yang pertama menunjukkan gerakan diagram

pencar dari kiri bawah ke kanan atas (hubungan positif), sedangkan yang kedua

bergerak dari kiri atas ke kanan bawah (hubungan negatif). Apabila bentuk

diagram pencar tidak teratur, artinya kenaikan/penurunan X pada umumnya tidak

diikuti oleh naik turunnya Y, maka dikatakan X dan Y tidak berkorelasi. Kuat dan

tidaknya hubungan antara X dan Y apabila dapat dinyatakan dengan fungsi

liniear, diukur dengan suatu nilai yang disebut Koefisien Korelasi. Nilai koefisien

korelasi ini paling sedikit -1 dan paling besar 1. Jadi, jika r = koefisien korelasi,

maka nilai r dapat dinyatakan sebagi berikut :

-1 ≤ r ≤ 1

Cara menghitung r adalah sebagai berikut :

r =

∑i=1

n

x i y i

√∑i=1

n

x i2 √∑

i=1

n

y i2

Dapat juga disebut dengan koefisien korelasi Pearson.

Untuk menghitung koefisein korelasi data yang sudah berkelompok dapat dicari

dengan rumus :

r = n (∑ uvf )−(∑ uf u ) (∑ vf v)

√n(∑u2 f u )−(∑ uf u )2√n (∑ v2 f v )−(∑ vf v )2

Koefisien korelasi anatar Rank dapat dihitung dengan rumus :

1 - 6∑ d i

2

n (n2−1 )

dimana di = selisih dari pasangan rank ke-i ;

n = banyaknya pasangan rank

rumus ini disebut rumus Spearman.

KOLERASI DATA KUALITATIF

Untuk data yang kualitatif yang dipergunakan dalam mengukur kuatnya

hubungan disebut Contingency Coefficient (Koefisien Bersyarat) yang

mempunyai pengertian sama seperti koefisien korelasi. Untuk menghitung nilai

koefisien bersyarat (Cc) digunakan rumus :

Cc = √ X2

X2+n

TEKNIK RAMALAN DAN ANALISIS REGRESI

Tujuan utama subbab ini adalah bagaimana menghitung suatu perkiraan

atau persamaan regresi yang akan menjelaskan hubungan antara dua

variabel.Pembahasan terbatas pada regresi sederhana, yaitu mengenai hubungan

antara dua variabel yang biasanya cukup tepat dinyatakan dalam suati garis lurus.

Diagram Pencar (Scatter Diagram)

Setelah ditetapkan bahwa terdapat dua hubungan logis diantara variabel,

maka untuk mendukung analisis lebih jauh, barangkali tahap selanjutnya adalah

menggunakan grafik. Grafik ini disebut Diagram Pencar, yang menunjukkan titik-

titik tertentu. Setiap titik memperlihatkan sesuatu hasil yang kita nilai sebagai

variabel tak bebas (dependent) maupun bebas (independent). Diagram Pencar ini

memiliki dua manfaat yaitu :

(1) Membantu menunjukkan apakah terdapat hubungan yang bermanfaat

antara dua variabel,

(2) Membantu menetapkan tipe persamaan yang menunjukkan hubungan

antara kedua variabel tersebut.

Persamaan Regresi Liniear

Persamaan regresi linear dapat dihitung dengan rumus :

Y’ = a + b X

dimana

a = Y pintasan, (nilai Y’ bila X = 0)

b = kemiringan dari regresi atau koefisien regresi, yang mengukur

besarnya pengaruh X terhadap Y kalau X naik satu unit

X = nilai tertentu dari variabel bebas

Y’ = nilai yang diukur atau dihitung pada variabel tidak bebas

Penggunaan Persamaan Regresi dalam Peramalan

Tujuan utama penggunaan persamaan regresi adalah untuk memperkirakan nilai

dari variabel tak bebas pada nilai variabel bebas tertentu. Persamaan regresi dalam

ramalan dapat dihitung dengan rumus:

Y’ = 1,02 + 5,14 (x)

Bab 8 menjelaskan tentang Regresi Liniear Berganda dan Regresi

Nonliniear. Dalam bab 7 telah dibahas tentang korelasi antara dua variabel X dan

Y yang sering diberi simbol rxy atau r saja.

rxy = ∑ Xi .Yi

√∑ x i2 .∑ y i

2

Jikalau kita ingin mengetahui kuatnya hubungan anatara variabel Y

dengan beberapa variabel X lainnya, maka kita menggunakan suatu koefisien

kolerasi yang disebut koefisien korelasi linear berganda (KKLB)Untuk

Koefisien Korelasi Liniear Berganda dapat dihitung dengan rumus :

KKLB = √ r 1 y2 +r 2 y

2 −2 r1 y r2 y r12

1−r122

Apabila KKLB dikuadratkan, maka akan diperoleh koefisien penentuan

(KP) berganda, yaitu suatu nilai untuk mengukur besarnya sumbangan dari

variabel X terhadap variasi Y,dimana rumusnya adalah :

KP = R y .122

Koefisien Korelasi Parsial

Apabila variabel Y berkorelasi dengan X1 dan X2, maka koefisien korelasi

anatara Y dan X1 (X2 konstan), antara Y dan X2 (X1 konstan), dan antara X1 dan X2

(Y konstan) disebut Koefisien Korelasi Parsial (KKP) dengan rumus sebagai

berikut :

r1y.2 = r1 y−r2 y r12

√1−r2 y2 √1−r12

2

(Koefisien korelasi parsial X1 dan Y, kalau X2 konstan)

r2y.1 = r2 y−r1 y r12

√1−r1 y2 √1−r12

2

(Koefisien korelasi parsial X2 dan Y, kalau X1 konstan)

r12.y = r12−r1 y r2 y

√1−r1 y2 √1−r2 y

2

(Koefisien korelasi parsial X1 dan X2, kalau Y konstan)

TREND PARABOLA

Garis trend pada dasarnya adalah garis regresi dimana variabel bebas X

merupakan variabel waktu. Baik garis regresi maupun trend dapat berupa garis

lurus maupun tidak lurus. Persamaan garis trend parabola adalah sebagai berikut :

Y’ = a + bX + cX2 (X = waktu)

TREND EKSPONENSIAL (LOGARITMA)

Trend Eksponensial sering dipergunakan untuk meramalkan junlah

penduduk, pendapatan nasional, produksi, hasil penjualan, dan kejadian-kejadian

lain yang perkembangan/pertumbuhannya meningkat secara geometris. Trend

Eksponensial mempunyai bentuk persamaan seperti Y’ = abx atau Y’ = aXb.

TREND EKSPONENSIAL YANG DIUBAH

Seperti yang telah diuraikan sebelumnya, trend eksponensial mempunyai

persamaan yang masing-masing melalui proses transformasi menjadi bentuk

liniear dalam semi log dan sepenuhnya log yaitu:

(semi log)

Y’0 = a0 + bo X Y’0 = log Y’

a0 = log a

b0 = log b

(log)

Y’0 = a0 + b X Y’0 = log Y’

a0 = log a

X0 = log X

Bentuk Y’ = abX dapat dikonversi dengan jalan menambah bilangan

konstanta k. Dengan demikian, persamaannya menjadi :

Y’ = k + abX

Karena bentuk trend eksponensial yang diubah tidak dapat dijadikan

bentuk linear dengan jalan transformasi, maka untuk memperkirakan atau

menghitung nilai koefisien a dan b tidak dapat digunakan metode kuadrat

terkecil (least square method).

TREND LOGISTIK

Trend Logistik biasanya dipergunakan untuk mewakili data yang

menggambarkan perkembangan / pertumbuhan yang mula-mula cepat sekali,

tetapi kemudian melambat, dimana kecepatan pertumbuhannya makin berkurang

sampai tercapai suatu titik jenuh. Contoh bentuk trend logistik adalah sebagai

berikut :

Y’ = k

1+10a+bX , dimana : k,a dan b konstan, biasanya b < 0.

TREND GOMPERTZ

Trend Gompretz biasanya dipergunakan untuk meramalkan jumlah

penduduk pada usia tertentu. Bentuk daripada Trend ini adalah :

Y’ = kabX , dimana k,a, dan b konstan.

Untuk mengenali jenis trend baik linear, parabola, eksponensial, logistik

maupun Gompertz, kita harus membuat diagram pencar. Dengan melihat diagram

pencar kita bisa menentukan jenis trend apa yang cocok atau tepat untuk

meramalkan.

Bab 9 menjelaskan tentang Analisis Data Berkala. Data berkala (time

series data) adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk

menggambarkan perkembangan suatu kegiatan. Analisis data berkala

memungkinkan kita untuk mengetahui perkembangan suatu atau beberapa

kejadian serta hubungan atau pengaruhnya terhadap kejadian lainnya. Gerakan /

variasi data berkala terdiri dari empat komponen yaitu sebagai berikut :

(1) Gerakan Trend Jangka Panjang, yaitu suatu gerakan yang

menunjukkan arah perkembangan secara umum (kecendrungan

menaik/menurun). Garis trend ini berguna untuk membuat ramalan yang

diperlukan bagi perencanaan (T).

(2) Gerakan/Variasi Siklis, yaitu gerakan/variasijangka panjang disekitar

garis trend (berlaku untuk data tahunan) dan disimbolkan dengan C

(cycle).

(3) Gerakan/Variasi Musiman, yaitu gerakan yang mempunyai pola

tetap dari waktu ke waktu yang disimbolkan dengan S (seasonal).

(4) Gerakan/Variasi yang Tidak Teratur, yaitu gerakan/variasi yang

sifatnya sporadis, disimbolkan dengan I (irregular).

Apabila gerakan trend, siklis, musiman, dan acak masing-masing diberi

simbol T, C, S, dan I, maka data berkala Y merupakan hasil kali dari 4 komponen

tersebut yaitu :

Y = T × C × S × I

MENENTUKAN TREND

Ada beberapa metode yang umum digunakan untuk menggambarkan garis

trend, ada beberapa metode yang bisa digunakan yaitu :

Metode Tangan Bebas

Adapun langkah-langkah yang digunakan dalam metode ini adalah :

(1) Buat sumbu tegak Y dan sumbu mendatar X,

(2) Buat Scatter Diagram, yaitu kumpulan titik-titik koordinat (X, Y); X =

variabel waktu,

(3) Dengan jalan observasi langsung terhadap bentuk Scatter Diagram.

Cara menarik Garis Trend dengan tangan bebas meruoakan cara yan

paling mudah, tetapi sifatnya sangat subjektif.

Metode Rata-rata Semi

Cara dengan metode ini memerlukan langkah-langkah sebagai berikut :

(1) Data dikelompok menjadi dua, masing-masing kelompok harus

mempunyai jumlah data yang sama,

(2) Masing-masing kelompok dicari rata-ratanya,

(3)Titik absis harus dipilih dari variabel X yang berada di tengah masing-

masing kelompok,

(4)Titik koordinat terdiri dari b) dan c) dimasukkan kedalam persamaan

Y=a+bX

Metode ini tidak memerlukan grafik, kita dapat mempreloeh nilai ramalan

langsung dari persamaan.

Metode Rata-rata Bergerak

Rata-rata bergerak sering dipergunakan untuk memuluskan fruktuasi yang

terjadi dalam data tersebut. Proses pemulusan ini disebut pemulusan data

berkala. Apabila rata-rata bergerak dibuat dari data tahunan atau bulanan

sebanyak n waktu maka rata-rata bergerak disebut rata-rata bergerak tahunan atau

bulanan dengan orde n.

Metode Kuadrat Terkecil

Garis trend linear dapat ditulis sebagai persamaan garis lurus :

Y’ = a + bX

Di mana Y’ = data berkala (time seri data)

X = waktu

a dan b = bilangan konstan

Untuk mencari persamaan trend garis lurus dengan metode kuadrat terkecil

dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:

Cara 1

Untuk mengadakan perhitungan diperlukan nilai tertentu pada variabel

waktu (X) sedemikian rupa, sehingga jumlah nilai variabel waktu adalah nol.

∑i=1

n

X i=0

a) Untuk n ganjil → n=2k+1

b) Untuk n genap → n=2k

Cara 2

Cara lain untuk menentukan garis trend lurus adalah dengan menentukan

periode awal dari variabel waktu X = 1, jadi tidak perlu lagi membuat ∑ X i=0.

Garis trend lurus dengan cara ini dapat dicari dengan rumus :

a=Y−b X

b=n∑ X iY i−∑ X i Y i

n∑ X i2−¿¿¿

Bab 10 menjelaskan tentang Indeks Musiman dan Gerakan Siklis.

Gerakan musiman (seasonal movement or variation) adalah gerakan yang teratur

sehingga fluktuasinya terjadi pada waktu-waktu yang sama atau sangat

berdekatan. Untuk keperluan analisis, sering kali data berkala dinyatakan dalm

bentuk angka indeks. Apabila kita ingin menunjukkan ada / tidaknya gerakan

musiman, perlu dibuat indeks musiman (seasonal index). Dalam menghitung

angka indeks musiman, ada beberapa metode yang dapat dilakukan yaitu :

1. Metode Rata-rata Sederhana (simple average method)

2. Metode Relatif Bersambung (link relative method)

Untuk menggunakan metode relatif bersambung, data bulanan yang asli

mula-mula dinyatakan sebagai presentase dari data pada bulan yang

mendahuluinya. Persentase-persentase yang didapat dengan cara demikian disebut

relatif bersambung. Jadi, relatif bersambung menghubungkan data pada bulan

yang mendahuluinya. Dalam metode ini dapat dihitung denga dua cara yaitu :

(1) Dengan menggunakan rata-rata,

(2) Dengan menggunakan median berdasarkan rata-rata.

3. Metode Rasio terhadap Trend (ratio to trend method)

Dalam metode ini, data asli untuk setiap bulan dinyatakan sebagai

persentase dari nilai-nilai trend bulanan. Rata-rata (median) dari persentase ini

merupakan indeks musiman. Apabila rata-rata indeks ≠ 100% atau jumlahnya

tidak = 1.200%, perlu diadakan penyesuaian.

4. Metode Rasio terhadap Rata-rata Bergerak (ratio to moving

average method)

Dalam metode ini, harus dihitung terlebih dahulu rata-rata bergerak selama

12 bulan. Karena hasil perhitungan rata-rata bergerak 12 bulan ini terletak antara

dua bulan yang berdekatan, tidak terletak pertengahan bulan, maka harus dibuat

rata-rata bergerak dua bulan yang didasarkan atas data rata-rata bergerak 12 bulan

tersebut. Yang terakhir ini sering disebut rata-rata bergerak 12 bulan terpusat.

MENGHILANGKAN PENGARUH MUSIMAN DAN TREND

Apabila kita ingin menghilangkan pengaruh musiman terhadap data

berkala, maka setiap nilai (data asli) bulanan dari tahun ke tahun harus dibagi

dengan indeks musiman.

GERAKAN SIKLIS DAN CARA MENGUKURNYA

Seperti kita ketahui, data berkala diberi simbol Y = TCSI. Apabila dibagi

dengan S, maka :

YS

=TCSIS

= TCI (bebas pengaruh musiman) yang kemudian kalau dibagi

denagn T:

YST

=TCIT

= CI (bebas pengaruh musiman dan trend).

MENEMUKAN UKURAN MUSIMAN DENGAN PENGGUNAAN

REGRESI BERGANDA

Pada bab terakhir kita akan mengetahui bahwa metode kedua, yaitu yang

lebih kompleks untuk menemukan indeks musiman adalah metode yang cukup

memadai untuk data yang memiliki trend kuat. Akan tetapi, kita dapat

menggabungkan pengetahuan pada data dan membutuhkan pekerjaan yang lebih

sederhana dibandingkan metode kedua.

Dengan data yang disajikan kita dapat membangun persamaan regresi dari rumus:

Y=a+b1t+b2 S2+b3 S3+b4 S4

Dimana :

Y (= Y topi)

t = periode waktu

S j = variabel indikator yang menunjukkan musim semi, panas, dan

gugur.

Bab 11 menjelaskan tentang Angka Indeks. Angka indeks pada dasarnya

merupakan suatu angka yang dibuat sedemikian rupa sehingga dapat

dipergunakan untuk melakukan perbandingan antara kegiatan yang sama dalam

dua waktu yang berbeda. Tujuan pembuatan angka indeks adalah mengukur

secara kuantitatif terjadinya perubahan dalam dua waktu yang berlainan. Di dalam

membuat angka indeks diperlukan dua macam waktu, yaitu :

(1) waktu dasar (base period),yaitu waktu di mana suatu kegiatan

diperlukan sebagai dasar perbandingan,

(2) waktu yang bersangkutan atau sedang berjalan (current period),

yaitu waktu dimana suatu kegiatan (kejadian) dipergunakan sebagai dasar

perbandingan terhadap kegiatan pada waktu dasar.

INDEKS HARGA RELATIF SEDERHANA DAN AGREGATIF

Indeks harga relatif sederhana (simple relative price index) ialah indeks

yang terdiri dari satu macam barang saja, baik untuk indeks produksi maupun

indeks harga. Indeks agregatif merupakan indeks yang terdiri dari beberapa

barang. Indeks agregartif memungkinkan untuk melihat persoalan secara

agregatif, yaitu secara keseluruhan, bukan melihat satu per satu.

Rumus indeks harga sederhana (simple index) adalah:

I t , 0=Pt

P0

×100 %

Dimana: I t , 0=indeks harga pada waktu t denganwaktu dasar 0

Pt=harga pada waktu t

P0 = harga pada waktu 0

Rumus untuk menghitung indeks produksi sama seperti untuk menghitung

indeks harga hanya huruf p-nya saja diganti dengan q.

I t , 0=qt

q0

× 100 %

Dimana: I t , 0=indeks harga pada waktu t denganwaktu dasar 0

q t=harga pada waktu t

q0 = produksi dalam waktu 0

INDEKS AGREGATIF TIDAK TERTIMBANG

Digunakan untuk unit-unit yang mempunyai satuan yang sama. Indeks ini

diperoleh dengan jalan membagi hasil penjumlahan harga pada waktu yang

bersangkutan dengan hasil penjumlahan harga pada waktu dasar. Dapat

dirumuskan sebagai berikut:

I t , 0=∑ Pi

∑ P0

×100 %

INDEKS AGREGATIF TERTIMBANG

Indeks agregatif tertimbang ialah indeks yang dalam pembuatannya telah

dipertimbangkan faktor-faktor yang akan mempengaruhi naik turunnya angka

indeks tersebut.

Timbangan yang akan dipergunakan untuk pembuatan indeks biasanya :

1. Kepentingan Relatif (relative importance)

2. Hal-hal yang ada hubungannya atau ada pengaruhnya terhadap naik-

turunnya indeks tersebut.

Kelemahan dari Indeks ini adalah :

1. Satuan atau unit harga barang sangat mempengaruhi indeks harga.

2. Tidak memperhitungkan kepentingan relatif barang-barang yang

tercakup dalam pembuatan indeks.

INDEKS RATA-RATA HARGA RELATIF

Indeks rata-rata harga relatif dinyatakan oleh persamaan berikut:

I t , 0=1n [∑ p t

p0

× 100 %]

Dimana, n adalah banyaknya jenis barang.

Ada beberapa rumus angka indeks tertimbang, yaitu rumus Laspeyres dan

rumus Passche, yaitu nama dari penemunya.

I t , 0=∑ Piq0

∑ P0 q0

× 100 %

(rumus indeks harga agregatif tertimbang)

Dimana: L = indeks Laspeyres

pt=harga waktu t

p0=harga waktu0

q0=harga waktu0 , sebagaitimbangan

I t , 0=∑ P0q t

∑ P0 q0

× 100 %

(rumus indeks produksi agregatif tertimbang)

Dimana: q t=produksi waktu t

q0=produksi waktu0

p0=harga waktu0 , sebagai timbanga

Pt ,0=∑ Pt q t

∑ P0 qt

×100 %

(rumus indeks harga agregatif tertimbang)

Dimana: P=indeks Paasche

pt=harga waktu t

p0=harga waktu0

q t=produksi waktu t , sebagai timbangan

Pt ,0=∑ Pt q t

∑ Pt q0

×100 %

(rumus indeks produksi agregatif tertimbang)

Dimana: q t=produksi waktu t

q0=produksi waktu0

Pt = harga waktu t, sebagai timbangan

VARIASI DARI INDEKS HARGA TERTIMBANG

Rumus Laspeyres baik dalam praktek, lemah dalam teori, sedangkan

rumus Paasche baik dalam teori sukar penggunaannya dalam praktek. Sampai

akhirnya muncul Irving Fisher dengan rumusnya yang baru:

I=√ L× P

¿√ pt q0

p0q0

×p t q t

p0 qt

×100 %

Rumus lainnya dimunculkan oleh Drobisch yaitu :

I= L+P2

¿(∑ pt q0

∑ p0q0

+∑ pt q t

∑ p0 q t)×100%

ANGKA INDEKS BERANTAI

Dalam membuat indeks berantai,terlebih dahulu harus ditentukan

berapa satuan waktu dasar. Rumus yang digunakan untuk mencapai Indeks

Berantai yaitu :

I t , t−1=q t

qt−1

×100 %

Dimana: q t=ekspor tah un t

q t−1=ekspor tahunt−1

Keuntungan menggunakan angka indeks ini adalah :

1. Memungkinkan kita untuk memasukkan komoditi-komoditi baru

yang diperlukan sebagai timbangan,

2. Apabila sudah dibuat indeks berantai dengan waktu dasar yang

berubah-ubah, kita dapat menurunkan dari indeks berantai tersebut

suatu indeks pada tahun-tahun tertentu dengan waktu dasar yang

tetap.

PENENTUAN DAN PENGGESERAN WAKTU DASAR

Tujuan utama pembuatan angka indeks adalah untuk melakukan

perbandingan mengenai suatu kegiatan pada waktu yang berbeda. Ada beberapa

syarat yang perlu diperhatikan dalam menentukan waktu dasar yaitu :

1. Waktu sebaiknya menunjukakan keadaan perekonomian yang stabil,

dimana harga tidak berubah dengan cepat sekali.

2. Waktu jangan terlalu jauh dibelakang, usahakan paling lama 10

tahun atau lebih baik kurang dari 5 tahun.

3. Waktu dimana terjadi peristiwa penting.

4. Waktu dimana tersedia data untuk keperluan timbangan.

Jika waktu dasar dari angka indeks dianggap sudah out of date karena

sudah terlalu lama atau terlalu jauh ketinggalan, maka perlu diadakan penggeseran

waktu dasar (shifting the base period). Ada dua cara untuk melakukan pergeseran,

yaitu :

1. Apabila data asli masih tersedia, maka angka pada waktu atau tahun

tertentu yang akan dipakai sebagai tahun dasar yang baru itu diberi

nilai 100%, sedangkan angka-angka lainnya dibagi dengan

angkadari waktu tersebut, kemudian dilakukan dengan 100%.

2. Indeks pada tahun yang akan dipilih sebagai waktu dasar diberi nilai

100%, kemudian angka indeks pada tahun-tahun lainnya dibagi

dengan indeks dari tahun dasar baru, dan mengalikannya dengan

100%. Cara ini sering digunakan apabila data aslinya sudah tidak

ada lagi.

PENGUJIAN ANGKA INDEKS DAN PENDEFLASIAN DATA BERKALA

Kesempurnaan angka indeks biasanya dilihat dari kenyataan apakah

indeks yang bersangkutan memenuhi beberapa kriteria pengujian (test criteria).

Indeks ideal dari Fisher secara teoritis lebih baik daripada indeks Laspeyres atau

Paasche karena indeks ideal lebih banyak memenuhi kriteria pengujian daripada

Laspeyres dan Paasche. Beberapa kriteria pengujian adalah time reversal test, dan

factor reversal test.

Suatu indeks dikatakan memenuhi time reversal test, apabila memenuhi

persamaan sebagai berikut :

I t , 0× I 0 , t=1

(indeks belum dinyatakan dalam persentase)

Dimana: I t , 0=indeks waktu t denganwaktudasar 0

I 0 ,t=¿ indeks waktu 0 dengan waktu dasar t

Sedangkan pada factor reversal test, langkah awal pengujiannya adalah

mencari nilai.

v=p ×q

Dimana: v=nilai

p=harga per satuan

q=banyaknya barangdalam satuan

Pendeflasian Data Berkala

Data berkala (time series data), menujukkan perkembangan mengenai

kegiatan dari waktu ke waktu. Untuk mendapatkan data berkala yang riil (real

term), dan pendapatan nyata (real wages,real income), angka-angka tersebut

harus dibagi dengan indeks biaya hidup (cost of living index).

Bab 12 menjelaskan tentang Probabilitas. Secara umum, probabilitas

merupakan peluang bahwa sesuatu akan terjadi. Secara lengkap, probabilitas

didefenisikan sebagai berikut :

“Probability”is a measure of a likelihood of the occurance of a

random event. (Mendenhall dan Reinmuth, 1982)

Terjemahan bebasnya:

“Probabilitas” ialah suatu nilai yang dipergunakan untuk mengukur

tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak.

Dalam mempelajari probabilitas, ada 3 yang harus diketahui:

eksperimen, hasil (outcome), dan kejadian atau peristiwa (event).

PENDEKATAN PERHITUNGAN PROBABILITAS

Ada dua pendekatan dalam menghitung probabilitas yaitu pendekatan

yang bersifat objektif dan subjektif. Probabilitas objektif dibagi menjadi dua

yaitu :

1. Pendekatan Klasik

Perhitungan probabilitas secara klasik didasarkan pada asumsi

bahwa seluruh hasil dari suatu eksperimenmempunyai

kemungkinan (peluang) yang sama. Dapat dirumuskan sebagai

berikut:

a) P ( A )= xn

b) P ( A )=1−P( A)

Dimana: x = frekuensi relatif kejadian i

n = ukuran sampel (jumlah observasi)

2. Konsep Frekeunsi Relatif

Pendekatan yang mutakhir adalah perhitungan yang didasarkan

atas limit dari frekuensi relatif. Perhitungan probabilitaas dengan

pendekatan frekuensi relative yaitu:

P ( X i )=limn →∞

f i

n

Dimana: f i = frekuensi relatif kejadian i

X i = kejadian i

n = total jumlah observasi

Probabilitas Subjektif, didasarkan atas penilaian seseorang dalam

menyatakan tingkat kepercayaan. Hal ini biasanya terjadi dalam bentuk opini atau

pendapat yang dinyatakan dalam suatu nilai probabilitas.

KEJADIAN/PERISTIWA DAN NOTASI HIMPUNAN

Hasil yang berbeda-beda dari suatu eksperimen disebut titik sample.

Sedangkan himpunan dari seluruh kemungkinan hasil disebut ruang sample.

Ruang sample merupakan himpunan hasil eksperimen. Suatu himpunan

merupakan kumpulan yang lengkap atas elemen-elemen sejenesi tetapi dapat

dibedakan satu sama lain.

Hasil eksperimen dapat berbeda-beda, sehingga pada umumnya hasil

eksperimen bersifat acak, di mana kita sering menggunakan istilah variabel acak

untuk maksud perhitungan probabilitas terjadinya hasil suatu eksperimen.

1. Notasi Himpunan

Himpunan dari seluruh kejadian yang ada disebut himpunan

semesta (universal set). Himpunan bagian yang paling kecil

dari suatu himpunan disebut himpunan kosong (null set).

2. Komplemen Suatu Kejadian

3. Interseksi Dua Kejadian

4. Union Dua Kejadian

5. Beberapa Aturan/Hukum dalam Himpunan

a. Hukum penutup (Law of Closure)

Untuk setiap pasang himpunan A dan B, terdapat himpunan-

himpunan yang unik yaitu himpunan A∪B=A ∩ B

b. Hukum komutatif (Commutative Law)

A∪B=B∪A dan A ∩ B=B ∩ A

c. Hukum asosiatif (Associative Law)

( A∪B )∪C=A∪(B∪C )

( A ∩ B ) ∩C=A ∩(B ∩C)

d. Hukum distributif (Distributive Law)

A ∩ ( B∪C )= ( A ∩ B )∪ ( A ∩C )

A∪ ( B∩ C )= ( A∪B ) ∩( A∪C )

e. Hukum identitas (Identity Law)

Ada himpunan ∅ dan S yang unik, sedemikian rupa sehinggauntuk setiap

himpunan A selalu berlaku persamaan A ∩ S=A dan A ∩∅=A .∅=¿ himpunan

kosong.

f. Hukum komplementasi (Complementation Law)

g. Bersesuaian dengan setiap himpunan A ada himpunan

A,

yang unik sedemikian rupa sehingga A ∩ A=∅ dan A∪ A=S .

BEBERAPA ATURAN DASAR PROBABILITAS

1. Aturan Penjumlahan

Untuk menerapkan aturan penjumlahan ini, harus dilihat dari jenis

kejadiannya apakah bersifat saling meniadakan (mutually exclusive) atau tidak

saling meniadakan.

a. Kejadian saling meniadakan

Disebut juga dengan penjumlahan khusus yang dapat diartikan bahwa

kejadian dimana jika sebuah kejadian terjadi, maka kejadian yang kedua adalah

kejadian yang saling meniadakan.

P ( A∪B )=P ( A )+P (B )

P ( A∪B∪C )=P ( A )+P (B )+P (C )

P ( A1∪A2∪…∪ Ak )=∑ P (A i)

b. Kejadian tidak saling meniadakan

P ( A∪B )=P ( A )+P (B )−P( A ∩ B)

2. Aturan Perkalian

Aturan perkalian diterapkan secara berbeda menurut jenis kejadiannya.

Ada dua jenis kejadian dalam hal ini, yaitu :

a. Kejadian Tak Bebas / Bersyarat

Adalah probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat bahwa B sudah

terjadi atau akan terjadi. Pada umumnya probabilitas bersyarat dirumuskan

sebagai berikut :

P (B/A) ¿P (A ∩B)

P( A )

P (A/B) ¿P (A ∩B)

P(B)

b. Probabilitas Kejadian Interseksi

Rumus yang digunakan dalam probabilitas ini adalah :

P ( A ∩B )=P ( A ) P(B/A) =P(B)P(A/B)

3. Kejadian Bebas (Independent Event)

Dua kejadian atau lebih dikatakan merupakan kejadian bebas apabila

terjadinya kejadian tersebut tidak saling. Dua kejadian A dan B dikatakan bebas,

apabila kejadian A tidak mempengaruhi atau sebaliknya.

P(A/B) = P(A)

P(B/A) = P(B)

P( A ∩ B) = P(A)P(B) = P(B)P(A)

4. Probabilitas Marjinal

Untuk mencari probabilitas marjinal dapat dirumuskan sebagai berikut :

P(R) =∑ P ( Si ) P ¿¿R/Si)

5. Rumus Bayes

Seorang ahli matematika dari Inggris, Thomas Bayes (1702 – 1761),

mengembangkan teori untuk menghitung probabilitas tentang sebab-sebab

terjadinya suatu kejadian (causes) berdasarkan pengaruh yang dapat diperoleh

sebagai hasil observasi. Teori Bayes ini bertujuan untuk memecahkan masalah

pembuatan keputusan yang mengandung ketidakpastian (decision making under

uncertainty). Rumus Bayes dapat ditulis :

P ¿/A)¿P ( Ai ) P( A

A i

)

∑i=1

k

P ( A i ) P ( AA i

)

PERMUTASI DAN KOMBINASI

Permutasi adalah suatu pengaturan atau urutan beberapa elemen atau

objek dimana urutan itupenting ( AB ≠ BA ), sedangkan Kombinasi adalah

susunan dari beberapa elemen dimana urutan tidak diperhatikan ( AB = BA ).

Permutasi dapat dirumuskan sebagai berikut :

mPm=m! → permutasi m objek diambil m setiap kali

mP x=m!

(m−x ) ! → permutasi m objek diambil x setiap kali

Kombinasi dapat dirumuskan sebagai berikut :

mC x=m!

x! (m− x ) ! , kombinasi m objek diambil x setiap kali

KELEBIHAN BUKU :

Buku ini menjelaskan tentang teori statistika dan penerapan aplikasinya

secara gamblang. Pada buku ini dilengkapi dengan istilah-istilah penting,

ringkasan rumus, dan lampiran dasar-dasar matematika untuk statistik sehingga

lebih membantu mahasiswa untuk memahami konsep-konsep yang ada pada

setiap bab. Selain itu pada buku ini juga dilengkapi dengan penerapan Statistik

pada aplikasi komputer, seperti pada Bab 3, Bab 4, Bab 5, Bab 7, Bab 8 dan Bab

9. Dengan adanya penerapan pada aplikasi komputer tersebut, mahasiswa dapat

mahir dan lebih mengetahui secara mendalam cara menggunakan Statistik dengan

teknologi komputer sehingga dapat mempercepat proses pengolahan atau

pengoperasian data statistik yang ada.

KEKURANGAN BUKU :

Dalam buku ini kesalahan atau kekurangan data hampir jarang ditemui, hal

ini dikarenakan buku ini merupakan buku edisi yang ke tujuh dimana buku ini

telah menerima berbagai macam saran dan kritikan dari berbagai pihak. Akan

tetapi dari segi visual atau penampilan setiap teks, gambar atau grafik pada pada

buku ini hanya sebagian saja yang dilengkapi dengan cetakan yang berwarna.

Akan lebih baik jika buku ini mencetak teks dan gambarnya dalam cetakan penuh

warna sehingga tidak membuat para pembaca atau mahasiswa yang membaca

buku ini sedikit jenuh.