SOAL CONTOH 38.1

Sebuah electron denngan energy kinetik sebesar

20 GeV (yang disebut sebagai electron 20 GeV)

dapat ditunjukkan memiliki laju = 0, 999 999

999 67 . apabila elektron seperti itu mempercepat

pulsa cahaya menuju bintang terdekat di luar

sistem tata surya (Proxima Centauri, 4,3 tahun

cahaya, atau 4,0 × 1016

m). dengan berapa lam

pulsa cahaya akan mencapai sasaran?

PENYELESAIAN : Apabila L adalah jarak ke

bintang, perbedaan waktu tempuh adalah

.

Sekarang sangat dekat dengan yang dapat kita

ambil = didalam penyebut dari ekspresi ini

(tetapi bukan didalam pembilang!). Apabila kita

melakukan itu, maka kita mendapatkan

.

( )

.

.

SOAL CONTOH 38.2

Anda berada didalam pesawat uang-alik yang

melintasi bumi dengan kelajuan relative sebesar

. Setelah perjalanan selama 10,0 tahun

(waktu anda), anda berhenti di pos LP13, berputar,

dan kemudian kembali ke Bumi dengan kelajuan

relatif yang sama. Perjalanan waktu kembali

memakan waktu 10,0 tahun (waktu anda). Berapa

lama waktu perjalanan yang diperllukan menurut

pengukuran yang dibuat di Bumi? (Abaikan

sembarangan pengaruh yang ditimbulkan oleh

percepatan yang terkait dengan penghentian dan

perputaran).

PENYELESAIAN : Pada perjalanan keluar,

mulai dan akhir perjalanan terjadi pada lokasi

yang sama didalam kerangka acuan kita, yaitu

pada pesawat Ulak-alik kita. Oleh karena itu,

Anda mengukur waktu tepat o untuk perjalanan,

yang diketahui 10,0 tahun. Pers. 38.6 memberikan

kita waktu yang berpadanan ketika di ukur di

dalam kerangka acuan Bumi:

√ .

√ .

.

Pada perjalanan kembali, kita memiliki situasi

yang sama. Dengan demikian perjalanan

keseluruhan membutuhkan 20 tahun dari waktu

anda, tetapi

= (2)(224 tahun) = 448 tahun.

Dari waktu Bumi. Dengan kata lain, Anda sudah

berusia 20 tahun sementara Bumi berusia 448

tahun. Meskipun anda tidak dapat berjalan kemasa

lalu, (sejauh yang kita tahu). Anda dapat berjalan

kemasa depan, misalkan, Bumi dengan

menggunakan gerak relatif kelajuan tinggi untuk

menyesuaikan laju pada waktu yang dilalui.

SOAL CONTOH 38.3

Partikel elementer yang diketahui sebagai kaon

positif (K+) memiliki waktu hidup rata-rata

sebesar 0,1237 ketika stasioner, yaitu apabila

waktu hidup diukur didalam kerangka diam kaon.

Apabila kaon positif dengan kelajuan sebesar

0,990c relatif terhadap kerangka acuan

laboratorium yang dihasilkan, seberapa jauh

partikel-partikel itu dapat melintas didalam

kerangka itu selama waktu hidupnya?

PENYELESAIAN : Didalam laboratorium, jarak

d yang dilalu oleh sebuah kaon dihubungkan

dengan kelajuannya v(= 0,990c) dan waktu

tempuhnya oleh . (Pernyataan ini

tidak melibatkan relativitas karena semua besaran

diukur didalam kerangka acuan yang sama).

Apabila relativitas khusus tidak diaplikasikan,

waktu tempuh akan tepat 0,1237 waktu hidup

dari partikel tersebut. Dengan demikian, jarak

tempuh akan menjadi

(Jawaban salah)

Namun, relativitas khusus diaplikasikan dalam

waktu tempuh dari kaon didalam kerangka

laboratorium adalah dilasi waktu hidupnya .

Dengan Pers. 38.6, kita dapat menemukan dari

waktu tepat kaon o (=0,127 ), seperti yang

terukur di dalam kerangka acuan diamnya :

√ .

√ .

Ini adalah tujuhkali lebih lama dari pada waktu

hidup tepat kaon. (Perhitungan ini melibatkan

relativitas karena kita harus mengubah data dari

kerangka diam partikel ke kerangka laboratorium).

Sekarang kita dapat mencari jarak tempuh di

dalam kerangka laboratorium sebagai

(Jawaban)

Ini sekitar tujuh kali jawaban pertama kita (yang

salah). Eksprimen seperti yang diuraikan disini,

yang membuktikan relativitas khusus, menjadi hal

rutin di laboratorium fisika beberapa puluh tahun

yanng lalu.

SOAL CONTOH 38.4

Didalam gambar 38.8, pesawat sally (di titik A)

dalam pesawat sam (panjang tepat L0 = 230 In)

melintas satu sama lain dengan kelajuan relatif

konstanta v. sally mengukur sebuah interval waktu

sebesar 3.57 µs untuk pesawat yang melintasinya

(dari lintasan titik B ke lintasan titik C). berapa

parameter kelajuan B antara sally dan pesawat

tersebut?

PENYELESAIAN: Apabila kelajuan relatif v

antara Sally dan Sam bernilai, misalkan kurang

dari 0,1c, kita mungkin melihat situasi ini didalam

bab 2, dimana kita akan menyatakan bahwa

sebuah pesawat sepanjang L dan kelajuan v

melintasi Sally di dalam interval waktu

(Tidak ada relativitas yang dilibatkan dalam

pernyataan ini)

Akan tetapi, disini kita mungkin memiliki suatu

masalah relativistik, dengan v >0,1c. didalam

kasus ini, kita tahu bahwa panjang L yang akan

Sally ukur bukan merupakan panjang Tepat L0

dari pesawat tersebut, tetapi suatu panjang

terkontraksi, yang diberikan oleh Pers. 38.9:

√ .

(Pernyataan ini melibatkan relativitas karena kita

mentransformasikan data antara kerangka Sally

dan Sam). Menurut Sally, waktu yang dibutuhkan

untuk melintasi sekarang ditulis sebagai

√

Penyelesaian untuk dan kemudian subtitusi data

yang diberikan setelah sedikit proses aljabar, kita

dapatkan

√ .

√ .

Dengan demikian, kelajuan relatif antara Sally

dan pesawat adalah 21% dari kelajuan cahaya.

Perhatikan hanya gerak relatif dari Sally dan Sam

yang diperhatikan disini; apakah salah satunya

relatif stasioner terhadap, misalkan, sebuah

stasiun luar angkasa tidak relevan. Didalam

gambar 38.8 kita ambil Sally menjadi stasioner,

tetapi kita akan mengganti pesawat menjadi

stasioner, dengan Sally terbang melintasinya.

Tidak akan ada yang berubah dalam hasil kita.

SOAL CONTOH 38.5

Karena terkejut dengan ledakan supernova, anda

yang berada dalam pesawat mempercepat laju

pesawat agar menjauh dari ledakan. Anda

berharap dapat berlari lebih cepat dari bahan

kelajuan tinggi yang menyembur mengarah pada

anda. Faktor Lorentz anda yang relatif terhadap

kerangka acuan inersia dari bintang lokal adalah

22,4.

(a) Untuk mencapai jarak aman, anda

menghitung kebutuhan anda untuk menempuh

9,00 X 1016

m ketika diukur ke dalam kerangka

acuan dari bintang lokal. Berapa lama

penerbangan akan berlangsung, ketika diukur di

dalam kerangka itu ?

PENYELESAIAN : Panjang L0 = 9,00 X 1016

m

adalah panjang tepat di dalam kerangka acuan dari

bintang lokal karena dua ujungnya diam di dalam

kerangka itu. gambar 38.6 menyatakan bahwa

dengan faktor Lorentz sepanjang itu, kelajuan

anda relatif terhadap bintang lokal adalah v ≈ c.

Jadi, dengan pendekatan ini, untuk bergerak

sepanjang L0 membutuhkan waktu

.

.

= 3,00X 108 s = 9,49 tahun

(b) Berapa lama pesawat itu terbang menurut

anda (di dalam kerangka acuan anda)?

PENYELESAIAN : dari kerangka acuan anda,

jarak yang anda tempuh adalah panjang

terkontrasi L yang melintasi anda pada kelajuan

relatif v ≈ c. Pers. 38.9 menyatakan bahwa L=L0 /

ᵞ. Jadi, waktu yang anda ukur untuk melintasi

panjang terkontraksi itu adalah

⁄

(

)

= 1,339 X 107 s = 0,424 tahun

Ini adalah waktu tepat karena bintang dan ujung

dari lintasan terjadi pada titik yang sama di dalam

kerangka acuan (pada pesawat anda). Anda dapat

memeriksa kebenaran dari kedua jawaban tersebut

dengan mensubtitusikan ke dalam pers. 38.8

(untuk dilatasi waktu ) dan penyelesaian untuk ᵞ.

SOAL CONTOH 38.6

Sebuah pesawat ruang angkasa dari bumi dikirim

untuk mengecek titik terjauh bumi di planet

P1407, yang satelitnya menampung sebuah

pasukan tempur dari reptulian yang sering

bermusuhan. Ketika pesawat itu mengikuti garis

lurus, pertama kali meninggalkan planet dan

kemudian meninggalkan satelit. Pesawat

mendeteksi gelombang mikro energi tinggi

meledak pada dasar satelit reptulian dan 1,10 s

kemudian, sebuah ledakan pada titik terjauh bumi,

yaitu 4,00X 108

m dari dasar reptulian ketika

diukur dari kerangka acuan pesawat.reptulian

dengan jelas diserang di titik terjauh bumi; jadi

pesawat ruang angkasa tersebut mulai

mempersiapkan penyerangan dengannya.

(a) Kelajuan dari pesawat relatif terhadap

bidang planet dan satelit adalah 0,980c. Berapa

jarak antara ledakan dengan letusan dan interval

waktu antara keduanya ketika diukur di dalam

kerangka inersia planet-satelit (dan dengan

demikian menurut penghuni stasiun tersebut)?

PENYELESAIAN : Keadaan tersebut di

tunjukkan di dalam gambar 38.10, dimana

kerangka planet-satelit S’ dipilih menjadi

bergerak dengan kecepatan positif (ke kanan). (ini

adalah pilihan sembarang: sebagai ganti, kita

dapat memilih kerangka planet-satelit menjadi

stasioner. Kemudian kita akan menggambar v di

dalam gambar 38.10 ketika ditarik ke kerangka S

dan mengarah ke kiri ; v kemudian akan menjadi

besaran negatif. Hasil akan menjadi sama).

Subscrip e dan b masing-masing menyatakan

letusan dan ledakan. Kemudian data diberikan,

semua di dalam kerangka acuan tanpa tanda petik,

adalah

m

Dan s

Di sini ∆x’ adalah besaran positif karena di dalam

gambar 38.10, koordinat xe untuk letusan lebih

besar daripada koordinat xb untuk ledakan; ∆t juga

merupakan besaran positif karena waktu te dari

ledakan lebih besar (kemudian ) dari pada waktu

tb dari ledakan.

Kita mencari ∆x’ dan ∆t’, yang kita akan

dapatkandengan mengubah data kerangka S yang

diberikan pada kerangka planet-satelit S’. Karena

kita meninjau sepasang kejadian. Kita memilih

persamaan transformasi dari tabel 38.2, yaitu pers.

1’ dan 2’:

.

Dan

).

Di sini, v=+0,980c, dan faktor Lorentz adalah

√ ⁄

√ ⁄

.

Jadi, pers. 38.20 menjadi

∆x’ = (5,0252)X[4,00X108 m –

(+0,980)(3,00X108m/s)(1,10s)]

=3,85X108 m,

Dan pers.38.21 menjadi

]

=-1,04 s

(b) Apa arti dari tanda minus di dalam nilai

yang terhitung untuk ∆t’ ?

PENYELESAIAN : ingat kembali bagaimana

kita pada awalnya mendefinisikan waktu antara

ledakan dan letusan: agar

konsisten dengan pilihan notasi itu, definisi kita

dari ∆t’ harus menjadi te’ - tb’ ; dengan demikian,

kita menentukan bahwa

s.

Ini menyatakan bahwa te’ - tb’; yaitu, didalam

kerangka acuan planet-satelit, ledakan terjadi 1,04

s setelah letusan bukan 1,10s sebelum letusan

ketika terdeteksi di dalam kerangka pesawat

tersebut.

(c) Apakah ledakan menyebabkan letusan,

atau apakah letusan menyebabkan

ledakan ?

PENYELESAIAN : rangkaian yang terukur di

dalam kerangka acuan plenet-satelit adalah

berlawanan terhadap kejadian yang terukur di

dalam kerangka pesawat. Di dalam salah satu

keadaan, apabila terdapat hubungan sebab akibat

antara dua kejadian, informasi harus berjalan dari

satu kejadian untuk menyebabkan kejadian yang

lain. Sekarang kita periksa kelajuan dari informasi

yang dibutuhkan. Di dalam kerangka pesawat,

kelajuan ini adalah

Tetapi kelajuan itu tidak mungkin karena ini

melebihi c. Di dalam kerangka planet-satelit,

kelajuan menjadi 3,70X108 m/s, juga tidak

mungkin. Maka, tidak ada suatu kejadian yang

dapat terjadi menyebabkan kejadian yang lain;

artinya, kedua kejadian adalah kejadian yang tidak

saling terkait. Dengan demikian pesawat ulang-

alik seharusnya tidak menghadapi reptulian.

y. y’

s s’ v

x x’

satelit Pelanet

(Ledakan) (Letusan)

SOAL CONTOH 38.7

Gambar 38.11 menunjukkan suatu kerangka

acuan inersia S di mana kejadian 1 (sebuah batu

dilempar ke atas oleh sebuah truk pada koordinat

x1 dan t1 ) menyebabkan kejadian 2 (batu

menabrak anda pada koordinat x2 dan t2). Apakah

terdapat kerangka acuan inersia lain S’ yang mana

kejadian itu dapat diukur dengan membalik urutan

kejadian sehingga efeknya terjadi sebelum

penyebabnya ? (dapatkah anda dilukai sekarang

sebagai hasil dari kejadian dari kejadian yang

akan datang)?

PENYELESAIAN : untuk mendapatkan

pemisahan temporal ∆t’ dari sepasang kejadian di

dalam kerangka S’ apabila kita memiliki data

untuk kerangka S, kita gunakan pers. 2’ dari tabel

38.2:

)

Ingat kembali bahwa v adalah kecepatan relatif

antara S dan S’. Kita ambil kerangka S menjadi

stasioner; kerangka S’ kemudian memiliki

kecepatan v.

Aturan ∆t=t2 – t1. Kemudian ∆t adalah besaran

positif dan menjadi konsisten dengan notasi ini,

kita harus memiliki ∆x=x2 – x1 dan ∆t=t2 ‘– t1’

seperti gambar 38.11 tunjukan, ∆x adalah besaran

positif karena x2>x1.

kita tertarik di dalam kemungkinan bahwa ∆t’

adalah besaran negatif, yang akan berarti bahwa

waktu t1’dari kejadian 1 lebih lama (lebih

besar)dari pada waktu t2‘ dari kejadian 2. Dari

pers. 38.22, kita melihat bahwa ∆t dapat menjadi

negatif hanya apabila

.

Keadaan ini dapat disusun kembali untuk

menghasilkan keadaan yang ekuivalen

⁄

y

● ●

s (x1,t1) (x2,t2)

x

Gambar 38.11 soal contoh 38.7. kejadian 1 pada

koordinat ruang (x1,t1)menyebabkan kejadian 2

pada koordinat ruang waktu (x2,t2). Dapatkah

urutan dari penyebab dan kejadian dibalik di

dalam kerangka acuan lain ?

Perbandingan ∆x/∆t adalah kelajuan pada saat

informasi (di sinimelalui sebuah batu) merambat

dari kejadian 1 untuk menghasilkan kejadian 2.

Kelajuan itu tidak dapat melebihi c. (informasi

dapat berjalan pada c apabila datang melalui

cahaya; tentunya batu berjalan lebih lambat). Jadi,

(∆x/∆t)/c harus paling besar 1. Dan v/c tidak dapat

sama dengan atau melebihi 1. Dengan demikian,

sisi kiri dari ketaksamaan terakhir harus kurang

dari 1. Ketaksamaan tidak dapat dipenuhi.

Jadi, tidak terdapat kerangka S’ di dalam kejadian

2 yang terjadi sebelum penyebabnya, yaitu

kejadian 1. Secara lebih umum, meskipun urutan

kejadian yang tidak terkait kadang-kadang dapat

dibalik di dalam relativitas (seperti d dalam soal

contoh 38.6), kejadian yang melibatkan penyebab

dan akibat tidak akan pernah dapat dibalik.

SOAL CONTOH 38.8

(a) Berapa energi total E dari sebuah elektron

2,53 Mev?

PENYELESAIAN : Dari Pers. 38.34 kita

memiliki

Dari Tabel 8.1, untuk sebuah elektron adalah

0,511Mev; maka

(Jawaban)

(b) Berapa momentum ?

PENYELESAIAN : Dari Pers. 38.38,

,

Kita dapat menulis

.

Kemudian

√

,

Dan, memberikan momenum di dalam satuan

energi dibagi oleh c, kita memperoleh

(Jawaban)

(c) Berapa faktor Lorentz untuk elektron?

PENYELESAIAN : Dari Pers. 38.34 kita

memiliki

.

Dengan dan

, kemudian kita memiliki

. (Jawaban)

SOAL CONTOH 38.9

Sebagian besar energi proton yang terdeteksi di

dalam sinar kosmik datang dari ruang yang

memiliki energi kinetik yang sangat

mengherankan sebesar (enerrgi

yang cukup untuk menghangatkan air sebanyak

satu endok teh menjadi beberapa derajat).

(a) Hitunglah faktor Lorentz dan kelanjutan v.

PENYELESAIAN : Penyelesaian Pers. 38.33

untuk , kita memperoleh

(Jawaban)

Di sini kita gunakan 938 MeV untuk energi diam

proton.

Nili terhitung ini untuk sangat besar sehingga

kita dapat menggunakan definisi dari (Pers.

38.7) untuk mendapatkan v. Coba hal itu;

kalkulator Anda akan menyampaikan pada Anda

bahwa secara efektif sama dengan 1 dan dengan

c. Sebenarnya, v hampir sama dengan c, tetapi kita

peroleh dengan pertama kali menyelesaikan Pers.

38.7 untuk 1- . Untuk memulai kita tulis

√

√

√ ,

Di mana kita sudah menggunakan kenyataan

bahwa sangat dekat sama dengan 1 sehingga 1+

sangat dekat dengan 2. Penyelesaian untuk 1-

kemudianmenghasilkan

jadi

dan karena ,

.

(Jawaban)

(b) Andaikan bahwa proton merambat di

sepanjang Galaksi Bimasakti dengan diameter

( tahun cahaya). Secara hampir,

beberapa lama proton mengitari diameter itu

ketika diukur dari kerangka acuan bersama Bumi

dan galaksi?

PENYELESAIAN : Kita baru saja melihat

bahwa proton ultrarelativistik ini berjalan pada

kelauan yang hampir dari c. Dengan definisi tahun

cahaya, cahaya menggunakan tahun,

dan proton ini seharusnya menempuh waktu yang

hampir sama. Jadi, dari kerangka acuan Galaksi

Bimasakti-Bumi kita perjalanan terjadi selama

tahun

(c) Berapa lama perjalanan yang

dilakukan ketika diukur dalam kerangka diam

proton?

PENYELESAIAN Karena awal perjalanan dan

akhir perjalanan terjadi pada lokasi yang sama

didalam kerangka diam proton, yaitu bersamaan

dengan proton itu sendiri apa yang kita lihat

adalah waktu tepat dari perjalanan tersebut. Kita

dapat menggunakan persamaan dilasi waktu (Pers.

38.8) untuk mentransformasikan dari kerangka

Bumi- Galaksi Bimasakti ke kerangka diam

proton :

9,7 detik. (Jawaban0

Di dalam kerangka itu, perjalanan terjadi selama

98.000 tahun. Di dalam kerangka proton,

perjalanan terjadi selama 9,7 detik! Seperti yang

dijanjikan di awal bab ini, gerak relatif dapat

mengubah laju pada saat waktu berlalu, dan di sini

kita memiliki sebuah cotoh ekstrem.

SOAL CONTOH 41.1

Di dalam magnet dalam percobaan Stern-Gerlach,

gradien medan magnetik melalui berkas

yang dilewatkan adalah 1,4 T/mm dan panjang w

dari lintasan berkas yang melalui magnet adalah

3,5 cm. Suhu oven di mana perak diuapkan diatur

sehingga kelajuan v yang paling mungkin untuk

atom dalam berkas adalah 750 m/s. Tentukan

pembelokan vertikal d dari subberkas yang lain

ketika muncul dari magnet. (Massa M dari atom

perak adalah kg dan momen magnetik efektifnya

adalah 1,0 magneton Bhor, atau

J/T.)

PENYELESAIAN : Percepatan vertikal dari

atom perak ketika melewati magnet, dari hukum

kedua Newton dan Pers 41.12 adalah,

.

Dengan menggerakkan secara horizontal pada

kelajuan v, setiap atom perak melewati panjang w

dari magnet dalam waktu t=w/v. Pembelokan

vertikal dari sembarang atom ketika

membersihkan magnet kemudian adalah

(

)

(

) .

Denganmembuat untuk pembelokan

maksimum dan memasukan data yang diketahui

kemudian menghasilkan

(

)

.

.

( )

. (Jawaban)

Pemisahaan antara dua subberkas adalah dua kali

hasil ini, atau 0,16 mm. Pemisahan ini tidak besar

tetapi mudah diukur.

SOAL CONTOH 41.2

Tetesan air digantungkan di dalam medan

magnetik B sebesar 1,80 T dan medan

elektromagnetik bolak-balik diaplikasikan,

frekuensinya diatur untuk menghasilkan

perputaran spin proton di dalam air. Komponen

dari momen dipol magnetik proton terukur

sepanjang arah B adalah .

Anggap bahwa medan magnetik lokal diabaikan

dibandingkan dengan B. Beraoa frekuensi f dan

panjang gelombang dari medanbolak-balik?

PENYELESAIAN : DARI Pers. 41.13,kita

memiliki

(

)

.

.

(Jawaban)

Panjang gelombang yang bersesuaian adalah

.

(Jawaban)

Frekuensi dan panjang gelombang ini berada

dalam daerah gelombang radio pendek dari

spektrum elektromagnetik.

SOAL CONTOH 42.1

Pada bab 41, kita gunakan pers. 41.21,

Untuk menghubungkan populasi N, Atom-atom

pada tingkat energi Ex terhadap populasi N0 pada

tingkat energi E0, di mana atom-atom merupakan

bagian dari system pada suhu T (dalam Kelvin).

Konstanta k adalah konstanta Boltzman (8,62 x

10-5

ev/K, dari pers.20.21).

Kita dapat menggunakan persamaan yang sama

untuk menetukan kemungkinan bahwa sebuah

elektron dalam isolator akan melompati celah

energy Eg dalam gambar 42.4a. untuk melakukan

hal tersebut, kita tetapkan Ex- E0 = Eg , kemudian

NX/N0 adalah perbandingan jumlah electron yang

persis di atas celah energy terhadap jumlah

electron yang persis di bawah celah energy.

Berapa probabilitasnya bahwa, pada suhu ruang

(300 K), sebuah electron pada bagian atas pita

valensi dalam intan akan melompati celah Eg yang,

utnuk intan , besarnya adalah 5,5 ev?

PENYELESAIAN : untuk intan, eksponen

dalam pers. 42.1 adalah

( ⁄ )

Maka probabilitas yang dibutuhkan adalah

(jawaban)

Tidak mengherankan intan merupakan isolator

yang baik. Walaupun intan sebesar bumi,

kesempatan untuk elektron tunggal melompati

celah pada suhu 300 K makin lama makin kecil.

SOAL CONTOH 41.3

Hitunglah untuk jumlah unsur dalam enam

periode horizontal dari tabel periodik dalam

bentuk banyaknya subkulit.

PENYELESAIAN : Seperti Lampiran G

perlihatkan, jumlah enam unsur dalam enam baris

horizontal adalah 2, 8, 8, 18, 18, dan 32. Banyak

subkulit tergantung hanya pada bilangan kuantum

l dan 2(2l + 1). Jadi,

BIANGAN KUANTUM

ORBITAL L

BANYAK

SUB KULI 2(2l+1)

0 2

1 6

2 10

3 14

NOMOR

PERIODE

UNSUR

DALAM

PERIODE

JUMLAH

BANYAK

SUBKULIT

1 2 2

2,3 8 2+6=8

4,5 18 2+6+10=18

6 32 2+6+10+14=32

Kita dapat menghitung untuk setiap periode

horizontal dalam bentuk subkulit tertutup dengan

cara ini:

SOAL CONTOH 41.4

Berkas elektron 35 keV menumbuk target

molybdenum, menghasilkan sinar X yang

spektrumnya diperlihatkan dalam gambar 41.4

Berapa panjang gelombang putusnya ?

PENYELESAIAN : Dari pers. 41.15, kita

memilki

λmin =

=

( )

)

= 3,55 X 10-11

m = 35,5 pm

(jawaban)

Anggap bahwa satu dari elektron yang datang

kehilangan energi kinetik dengan jumlah yang

kecil sehingga energinya direduksi dari 35,0 keV

menjadi 20,0 keV. Berapa panjang gelombang λ

yang bersesuaian dari foton kemudian akan

dihasilkan jika elektron kehilangan seluruh energi

kinetik yang tersisa dalam tumbukan berhadapan

tunggal dengan sebuah atom ?

PENYELESAIAN : Kita melakukan perhitungan

seperti dalam (a), substitusikan 20,0 keV untuk

35,0 keV. Hasilnya adalah

λmin = 62, 1 pm.

(jawaban)

panjang gelombang ini lebih besar dari pada

panjang gelombang minimum yng dihitung dalam

(a) karena sedikit energi yang terlibat.

SOAL CONTOH 41.5

Target kobalt ditembaki dengan elektron dan

panjang gelombang dari spektrum sinar X

karakteristik diukur. Terdapat juga spektrum

karakteristik kedua yang redup, yang ditimbulkan

oleh pengotoran dalam kobalt. Panjang

gelombang dari garis K adalah 178,9 pm

(kobalt) dan 143,5 pm (pengotor). Apakah jenis

pengotorannya ?

PENYELESAIAN : Marilah kita aplikasikan

persamaan 41.19 baik pada kobalt (Co) maupun

pengotor (X). Dengan mensubstitusikan

λ untuk f,

kita mendapatkan

√

λ = CZCo - C dan √

λ =

CZx - C

Dengan membagi persamaan pertama dengan

persamaan kedua menghasilkan

√λ

λ =

Dengan mensubstitusikan data yang diketahui,

dan ZCo = 27 menghasilkan

√

=

Penyelesaian untuk peubah, kita mendapatkan

bahwa

Zx = 30,0

(jawaban)

Dengan melihat sekilas pada tabel periodik dapat

dikenali bahwa pengotor tersebut adalah seng

(Zn).

CONTOH SOAL 41.6

(a) Hitung konstanta C dalam pers. 41.19.

PENYELESAIAN : Dengan membandingkan

pers. 41.18 dan pers.41.19 menyatakan bahwa

C = √ = 4,96 X 107 Hz

1/2

(jawaban)

(b) Buktikan dari plot Moseley dari gambar

41.17 bahwa C adalah kemiringan garis

lurus dalam gambar tersebut.

PENYELESAIAN : Jika kita mengukur garis hg

dan gj dalam Gambar 41.17, kita mendapatkan

bahwa

C =

=

= 4,96 X 107

Hz1/2

(jawaban)

Kedua hasil ini benar-benar bernilai sama.

Kesamaan itu tidaklah sebaik garis selain Kα

dalam spektrum sinar X; untuk mendapatkan

keduanya, seseorang harus membuat perhitungan

yang lebih teliti pada efek yang melingkupi

elektron ketika elektron menghasilkan garis.

SOAL CONTOH 41.7

Dalam laser helium-neon dari Gambar 41.21,

kerja laser terjadi diantara dua keadaan tereksitasi

dari atom neon. Namun, pada beberapa laser

(lasing) terjadi diantara keadaan dasar dan

keadaan tereksitasi, seperti disarankan dalam

Gambar 41.20

(a) Tinjau laser yang memancar pada panjang

gelombang λ = 550 nm. Jika inversi populasi tidak

dihasilkan, berapa perbandingan populasi atom

pada keadaan Ex dengan populasi atom pada

keadaan dasar E0 ?

PENYELESAIAN : Dari pers. 41.21

perbandingannya adalah

Nx /N0 = e-(Ex-E0)/kT

(41.222)

Pemisahan antara dua tingkat energy harus

(

)

Energi rata-rata dari agritasi kT untuk atom pada

suhu ruangan (300 K) adalah

(

)

Dengan mensubtitusikan dua hasil terakhir ke

dalam Pers. 41.22 menghasilkan

⁄

⁄

(Jawaban)

Ini Adalah jumlah yang sangat kecil. Hal ini

menjadi tidak masuk akal. Atom yang agitasi

termal rata-ratanya hanya 0,0259 eV tidak akan

member energy 2,26 eV ke atom yang lain dalam

suatu tumbukan.

(b) Untuk kondisi dari (a), pada suhu

berapakah perbandingan ⁄ menjadi

½?

PENYELESAIAN : Dengan melakukan

substitusi ini ke Pers. 41.22, mengambil logaritma

asli dari kedua ruas persamaan, dan

menyelesaikan untuk T mengahasilkan

⁄

(Jawaban)

Suhu ini lebih panas daripada permukaan

Matahari. Jelas bahwa jika kita balik populasi dari

dua tingkat ini, diperlukan beberapa mekanisme

spesifikasi untuk mendapatkan hal ini. Meskipun

tinggi, tidak ada suhu yang akan menghasilkan

invers populasi.

SOAL CONTOH 42.2

Sebuah kubus tembaga memiliki panjang rusuk

1,00 cm. di dalam pita yang terisi sebagian pada

Gambar 42.2b , berapa banyaknya N keadaan

kuantum dalam jangkauan energi dari E=5,000 ev

hingga E=5,010 ev? (nilai energi ini sangat dekat

sehingga kitta dapat mengasumsikan kerapatan

keadaan N(E) adalah konstan pada interval.)

PENYELESAIAN : Kita dapat menentukan

banyaknya keadaan N dari

(

)

(

) (

) (

)

Atau N=N (E) ∆EV,(42.7)

Dengan ∆E = 0,010 ev dan V adalah volume

sample kubus. Dari persamaan 42.2 dengan

E=5,000 ev, kita dapatkan

√

= (8 √ )(9,11x10-31

kg)3/2

= 9,48 x 1046

m-3

J-1

= 1,52 x 1028

m-3

ev-1

.

Karena V=a3

, dengan a adalah panjang rusuk

kubus , pers. 42.7 menghasilkan

N=N (E) ∆EV a3

= (1,52 x 1028

m-3

ev-1

) (0,010 ev) (1 x 10-2

m)3

= 1,52 x 1020

(jawaban)

Ini adalah jumlah keadaan yang sangat banyak

tetapi itulah yang diharapkan. Walaupun semua

keadaan ini terdapat dalam jangkauan energi yang

lebarnya hanya 0,01 ev, keadaan ini berasal dari

jumlah atom yang sangat banyak yang

membentuk sampel kita.

SOAL CONTOH 42.3

(a) Berapa probabilitas bahwa keadaan

kuantum yang memiliki energi 0,10 ev di atas

energi Fermi akan ditempati electron ? asumsikan

bahwa suhu sampel adalah 800 K.

PENYELESAIAN : kita dapat menentukan P(E)

dari pers. 42.3 akan tetapi, sebelum itu kita

menghitung eksponen (tak berdimensi) dalam

persamaan tersebut:

⁄

Dengan menyisipkan eksponen kedalam

persamaan 42.3 kita dapatkan

(b) Berapa probabilitas penempatan untuk

satu keadaan yang energinya 0,01 ev di

bawah energy Fermi?

PENYELESAIAN : eksponen dalam Pers. 42.3

memiliki nilai mutlak yang sama seperti pada (a),

tetapi sekarang bernilai negatif. Jadi, dari

persamaan ini

Untuk keadaan di bawah energi Fermi, kita sering

kali lebih tertarik dalam probabilitas bahwa

keadaan tidak ditempati. Ini kira-kira 1-P(E) atau

19%. Perhatikan bahwa nilai ini sama seperti

probabilitas penempatan dalam (a).

SOAL CONTOH 42.4

Kerapatan bilangan n0 dari elektron konduksi di

dalam silikon murni pada suhu ruang adalah 1016

m-3

. asumsikan bahwa , dengan mengotori kisi

silikon dengan fosfor , kita dapat meningkatkan

jumlah ini dengan faktor satu juta (106) . berapa

fraksi dari atom silikon yang harus kita gantikan

dengan atom fosfor ?(ingatlah bahwa pada suhu

ruang , agitasi termal sangat efektif yang pada

dasarnya setiap atom fosfor mendonorkan electron

“ekstra”-nya ke pita konduksi).

PENYELESAIAN : kerapatan bilangan dari

elektron konduksi yang ditambahkan melalui

pengukuran akn sama dengan np , yaitu kerapatan

bilangan atom fosfor yang ditambahkan. Kita

menginginkan kerapatan bilangan elektron total di

dalam pita konduksi setelah pengotoran , sebelum

dan sesudah ditambahkan elektron , menjadi 106

n0. Jadi,

106 n0=n0+np

Maka

np=106 n0-n0 ≈ 10

6 n0

= (106) (10

16 m

-3)=10

22 m

-3

Ini menjelaskan bahwa kita harus menambahkan

1022

atom fosfor pada setiap meter kubik silikon.

Kerapatan bilangan dari atom silikon didalam kisi

silikon murni mungkin ditentukan dari

Denga NA adalah konstanta Avogadro (6,02 x 1023

mol-1

), d adalah massa jenis silicon (2.330

kg/m3 ), dan A adalah masa molar silicon (28,1

g/mol atau 0,081 kg/mol.). pensubstitusian nilai-

nilai ini menghasilkan

Fraksi yang kita cari kira-kira

Jika itu hanya menggantikan satu atom silikon

dalam lima juta atom fosfor, kerapatan elektron di

dalam pita konduksi akan ditingkatkan oleh faktor

satu juta.

Bagaimana campuran fosfor yang sedikit ini dapat

mengakibatkan suatu efek yang tampaknya

besar ? jawabannya begini, walaupun efek ini

sangat penting, efek ini tidak “besar”. Kerapatan

bilangan dari elektron konduksi adalah 1016

m-3

setelah pengotoran. Namun untuk tembaga,

kerapatan bilangan elektron konduksi (diberikan

dalam table 42.1 ) sekitar 1029

m-3

. jadi, stelah

pengotoran, kerapatan bilangan dari elektron

konduksi di dalam silikon tetap lebih kecil

daripada logam tertentu, misalnya tembaga

dengan faktor sekitar 107.

SOAL CONTOOH42.5

Sebuah LED dibuat penghubung p-n yang

didasarkan pada material semikonduktor Ga-As-P

tertentu, yang memiliki celah energy sebesar 1,9

eV. Berapa panjang gelombang dari cahaya yang

dipancarkan?

PENYELESAIAN : Jika kita asumsikan bahwa

transisi terjadi dari bagian bawah pita konduksi ke

bagian atas valensi, maka berlaku Pers. 42.9. Dari

persamaan ini

( )

.

(Jawaban)

Cahaya dengan panjang gelombang sebesar ini

adalah cahaya merah.