7/31/2019 Cauchy 2

1/7

Maka 1n h

x x . Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh

1n h

x x , n H

dengan mengambil 1 2 1sup , ,..., , ,1 ,H H H nM x x x x x x M n N

, makaterbukti nx terbatas.

Teorema 3.3.1 (Kriteria Kekonvergenan Cauchy)

( )n

X x barisan konvergen jika hanya jika ( )nX x barisan Cauchy

Bukti:

Lemma 3.3.1

Misalkan nX x barisan Cauchy. Akan ditunjukkan bahwa X konvergen ke suatu

bilangan Real. Dari Lemma 3.3.2, maka X terbatas. Dari Teorema Bolzano-

Weierstrass, maka terdapat barisan bagian 'kn

X x dari X yang konvergen ke suatu

bilangan real 'x . Jadi tinggal menunjukkan X konvergen ke 'x . Karena nX x

barisan Cauchy, maka 0 ( / 2)H N sehingga jika , ( / 2)n m H berakibat.

/ 2n m

x x (1)

Karena barisan bagian 'kn

X x konvergen ke 'x . ( / 2)K H yang memuat

himpunan 1 2, ,....n n sehingga ' / 2kx x .

Karena ( / 2)K H , dari (1) dengan m K berakibat / 2n kx x , ( / 2)n H .

Oleh karena itu, jika ( / 2)n H diperoleh ' 'n n k K x x x x x x

< / 2 / 2

Karena 0 sebarang, maka lim 'nx x . Jadi nx konvergen

Barisan Kontraktif (Contractive Sequence)

Definisi 3.3.2

7/31/2019 Cauchy 2

2/7

Barisan bilangan real nX x dikatakn kontraktif jika terdapat konstanta c , 0 1c sehingga

2 1 1n n n nx x c x x untuk semua n N . Bilangan c disebut konstanta dari barisan

kontraktif.

Teorema 3.3.2

Setiap barisan kontraktif adalah barisan Cauchy, Oleh karena itu konvergen

Bukti:

Dengan menggunakan Definisi 3.3.2, kita peroleh2 3

2 1 1 1 1 2 2 1...n

n n n n n n n nx x c x x c x x c x x c x x . Untuk m n , kita

selidikim n

x x dan gunakan ketaksamaan segitiga serta contoh 1.2.2, maka diperoleh:

1 1 2 1

...m n m m m m n n

x x x x x x x x

2 3 1

2 1( ... )m m n

c c c x x

1 1 2 2 1... 1n m n m nc c c x x

1 1

2 1 2 1

1 1

1 1

m nn nc

c x x c x xc c

Karena 0 1c , maka lim 0na (lihat contoh 3.1.4 (b)). Oleh karena itu ( )nX x

barisan Cauchy. Menurut Kriteria Konvergensi Cauchy, maka barisan ( )nX x konvergen.

Akibat 3.3.1

Jika ( )nX x barisan kontraktif dengan konstanta c, 0 1c dan jika ' : lim ,x X maka:

(i) 1 2 1' .1

n

n

cx x x x

c

(ii)1' .

1

n n n

cx x x x

c

Barisan Diverger, Limit Superior dan Limit Inferior

Definisi 3.3.3

( )n

X x barisan bilangan real

7/31/2019 Cauchy 2

3/7

(i)Barisan nx menuju dan ditulis lim nx , jika ,R K N sehingga n K berakibat nx

(ii)Barisan nx menuju dan ditulis lim nx , jika ,R K N sehingga n K berakibat nx

Teorema 3.3.3

Barisan bilangan bilangan real (xn) monoton divergen jika dan hanya jika barisan itu

tidak terbatas

(a)Jika (xn) barisan naik tak terbatas, maka lim nx (b)Jika (xn) barisan turun tak terbatas, maka lim nx

Teorema 3.3.4

Misal (xn) dan (yn) dua barisan bilangan real dan andaikan bahwa n nx y , n N .

(a)Jika lim nx , maka lim ny (b)Jika lim ny , maka lim nx

Teorema 3.3.5

Misal (xn) dan (yn) dua baris bilangan real positif dan L R , L R , serta

lim n

n

x Ly

lim nx jika dan hanya jika lim ny

Definisi 3.3.4

Misalkan nX x barisan bilangan real

Bilangan a dalam system ini diperluas R, dinamakan limit superior (xn) yang dinyatakan

dengan lim limsupn nx x adalah

1inf sup nk n ka x

Bilangan b dalam system ini diperluas R, dinamakan limit inferior (xn) yang dinyatakan

dengan lim liminf n nx x adalah

1

supinf nn kk

b x

7/31/2019 Cauchy 2

4/7

LIMIT FUNGSI

Teorema 4.1.1

Diberikan A himpunan bagian dari R. Bilangan c R titik cluster dari A jika hanya jika

terdapat barisan (an) di dalamA dengan na c untuk semua n N sehingga lim na c .

Bukti:

( ) Diketahui titikc titik limit dariA maka untuk setiap 0, : 0r x c A .

Misal 1 , c titk timbun, maka : 0x R x c A . Berarti ada

1 : 0 1a x R x c A

2

1 1ambil maka : 0

2 2

.

.

.

1 1maka :0n

a x R x c A

a x R x c An n

Jadi ada barisan na A , dengan na c . Tinggal menunjukkan bahwa lim na c

Ambil 0 , maka menurut akibat sifat archimedian, terdapat n N sehingga1

0n

.

Jadi terdapat K sehingga untuk n K berlaku1

na cn

. Dengan kata lain na c

( ) Diketahui lim , , ,n n na c a c n N a A . Akan ditunjukkan c titik timbun dari A.

Ambil 0 , maka K N , sehingga n K berlaku na c , artinya untuk

,n K

: 0na x x c (1)

n na A a A (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh : 0 nx x c A a . Terbukti c titik timbun dari

A.

7/31/2019 Cauchy 2

5/7

Definisi Limit Fungsi

Definis 4.1.1

MisalA himpunan bagian dariR, :f A R dan c titik timbun dariA.

L adalah limit dari f di c, jika diberikan ( )V L terdapat ( )V c sehingga jika x c adalah

sebarang titik dari ( )V c A makaf(x) termuat ( )V L .

Teorema 4.1.2

Jika :f A R dan c titik timbun dariA, maka fungsifdapat mempunyai hanya satu limit di

c (jikafmempunyai limit, maka limitnya tunggal).

Bukti:

Akan dibuktikan kontradiksi

Andaikan terdapat bilangan real ' "L L yang memenuhi definisi 4.1.1 dipilih 0 sehingga

( ')V L dan ( ")V L saling asing sebagai contoh, diambil sebarang yang kurang

1' "

2L L .

Maka dengan definisi 4.1.1, terdapat ' 0 sehingga jikax sebarang titik dalam A V c

dan x c , maka ( ) ( ')f x V L . Dengan cara yang sama, terdapat ' 0 sehingga jika x

sebarang titik dalam ' ( )A V c dan x c maka ( ) ( ")f x V L . Sekarang diambil yang

lebih kecil dari ' maupun " , dan dimisalkan ( )V c persekitaran yang bersesuaian

dengan c. Karena c titik limit A, terdapat paling sedikit satu titik 0x c sehingga

0 ( )x A V c . Akibatnya, 0f x haruslah di dalam ( ')V L dan ( ")V L . Dengan kata lain,

0( ) ( ') ( ")f x V L V L

. Kontrakdiksi dengan bahwa ( ')V L dan ( ")V L saling asing. Jadi

pengandaian bahwa ' "L L limit dari f di c adalah salah. Yang benar adalah ' "L L .

Terbukti.

Kriteria untuk Limit

Teorema 4.1.3

Misalkan :f A R dan c titik timbun dariA. Pernyataan di bawah ini ekivalen

i) lim ( )x c

f x L

ii) 0 0 sehingga jika x A dan 0 x c berakibat( )f x L

7/31/2019 Cauchy 2

6/7

Bukti:

( ) ( )i ii

Andaikanf mempunyai limitL di c, artinya jika diberikan 0 , terdapat 0 sehingga

x A yaitu di dalam ( ),V c x c nilai f (x) termuat dalam ( )V L , ( ),x V c x c artinya

0 x c

juga ( ) ( )f x V L artinya ( )f x L . Jadi terbukti bahwa

0 0 sehingga jika x A dan 0 x c berakibat ( )f x L

( ) ( )ii i

Jika kondisi (ii) terpenuhi, ambil ( ) : ( , )V c c c dan ( ) : ( , )V L L L . Dari (ii)

berakibat jika ( )x V c , dimana x A dan x c berakibat ( )f x V L . Menurut definisi

4.1.3, fmempunyai limitL di c atau lim ( )x c f x L .

Teorema 4.1.4 (Sequential Criteria)

Misalkan :f A R dan c titik cluster dariA. Pernyataan di bawah ini ekivalen

i) lim ( )x c

f x L

.

ii) ( )nx dalamA yang konvergen ke c sehingga nx c untuk semua n N barisan( ( ))nf x konevergen keL.

Bukti:

( ) ( )i ii

Asumsikan f mempunyai limit L di c, dan andaikan ( )nx barisan di dalam A dengan

lim nx c dan ,nx c n N . Akan ditunjukkan barisan ( ( ))nf x konevergen ke L. Misal

0 diberikan, maka dengan criteria , terdapat 0 sehingga jika x A memenuhi

0 x c , maka ( )f x L . Karena (xn) konvergen ke c berarti jika diberikan

0 ( )K N sehingga jika ( )n K berlakun

x c . Karena nx A diperoleh

( )nf x L . Jadi jika ( )n K maka ( )nf x L , dengan kata lain

( ( )) ,nf x L n

7/31/2019 Cauchy 2

7/7

( ) ( )ii i

Dengan menggunakan kontrapositive

Jika (i) tidak benar, maka 0 0 sehingga 0 ada x A dengan x c , x c

tetapi0( )f x L . Diambil

1

n , ada nx A dengan nx c ,

1nx c

n sehingga

berlaku0( )nf x L atau ( ( ))nf x tidak konvergen keL.