Cauchy 2

download Cauchy 2

of 7

Transcript of Cauchy 2

  • 7/31/2019 Cauchy 2

    1/7

    Maka 1n h

    x x . Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh

    1n h

    x x , n H

    dengan mengambil 1 2 1sup , ,..., , ,1 ,H H H nM x x x x x x M n N

    , makaterbukti nx terbatas.

    Teorema 3.3.1 (Kriteria Kekonvergenan Cauchy)

    ( )n

    X x barisan konvergen jika hanya jika ( )nX x barisan Cauchy

    Bukti:

    Lemma 3.3.1

    Misalkan nX x barisan Cauchy. Akan ditunjukkan bahwa X konvergen ke suatu

    bilangan Real. Dari Lemma 3.3.2, maka X terbatas. Dari Teorema Bolzano-

    Weierstrass, maka terdapat barisan bagian 'kn

    X x dari X yang konvergen ke suatu

    bilangan real 'x . Jadi tinggal menunjukkan X konvergen ke 'x . Karena nX x

    barisan Cauchy, maka 0 ( / 2)H N sehingga jika , ( / 2)n m H berakibat.

    / 2n m

    x x (1)

    Karena barisan bagian 'kn

    X x konvergen ke 'x . ( / 2)K H yang memuat

    himpunan 1 2, ,....n n sehingga ' / 2kx x .

    Karena ( / 2)K H , dari (1) dengan m K berakibat / 2n kx x , ( / 2)n H .

    Oleh karena itu, jika ( / 2)n H diperoleh ' 'n n k K x x x x x x

    < / 2 / 2

    Karena 0 sebarang, maka lim 'nx x . Jadi nx konvergen

    Barisan Kontraktif (Contractive Sequence)

    Definisi 3.3.2

  • 7/31/2019 Cauchy 2

    2/7

    Barisan bilangan real nX x dikatakn kontraktif jika terdapat konstanta c , 0 1c sehingga

    2 1 1n n n nx x c x x untuk semua n N . Bilangan c disebut konstanta dari barisan

    kontraktif.

    Teorema 3.3.2

    Setiap barisan kontraktif adalah barisan Cauchy, Oleh karena itu konvergen

    Bukti:

    Dengan menggunakan Definisi 3.3.2, kita peroleh2 3

    2 1 1 1 1 2 2 1...n

    n n n n n n n nx x c x x c x x c x x c x x . Untuk m n , kita

    selidikim n

    x x dan gunakan ketaksamaan segitiga serta contoh 1.2.2, maka diperoleh:

    1 1 2 1

    ...m n m m m m n n

    x x x x x x x x

    2 3 1

    2 1( ... )m m n

    c c c x x

    1 1 2 2 1... 1n m n m nc c c x x

    1 1

    2 1 2 1

    1 1

    1 1

    m nn nc

    c x x c x xc c

    Karena 0 1c , maka lim 0na (lihat contoh 3.1.4 (b)). Oleh karena itu ( )nX x

    barisan Cauchy. Menurut Kriteria Konvergensi Cauchy, maka barisan ( )nX x konvergen.

    Akibat 3.3.1

    Jika ( )nX x barisan kontraktif dengan konstanta c, 0 1c dan jika ' : lim ,x X maka:

    (i) 1 2 1' .1

    n

    n

    cx x x x

    c

    (ii)1' .

    1

    n n n

    cx x x x

    c

    Barisan Diverger, Limit Superior dan Limit Inferior

    Definisi 3.3.3

    ( )n

    X x barisan bilangan real

  • 7/31/2019 Cauchy 2

    3/7

    (i)Barisan nx menuju dan ditulis lim nx , jika ,R K N sehingga n K berakibat nx

    (ii)Barisan nx menuju dan ditulis lim nx , jika ,R K N sehingga n K berakibat nx

    Teorema 3.3.3

    Barisan bilangan bilangan real (xn) monoton divergen jika dan hanya jika barisan itu

    tidak terbatas

    (a)Jika (xn) barisan naik tak terbatas, maka lim nx (b)Jika (xn) barisan turun tak terbatas, maka lim nx

    Teorema 3.3.4

    Misal (xn) dan (yn) dua barisan bilangan real dan andaikan bahwa n nx y , n N .

    (a)Jika lim nx , maka lim ny (b)Jika lim ny , maka lim nx

    Teorema 3.3.5

    Misal (xn) dan (yn) dua baris bilangan real positif dan L R , L R , serta

    lim n

    n

    x Ly

    lim nx jika dan hanya jika lim ny

    Definisi 3.3.4

    Misalkan nX x barisan bilangan real

    Bilangan a dalam system ini diperluas R, dinamakan limit superior (xn) yang dinyatakan

    dengan lim limsupn nx x adalah

    1inf sup nk n ka x

    Bilangan b dalam system ini diperluas R, dinamakan limit inferior (xn) yang dinyatakan

    dengan lim liminf n nx x adalah

    1

    supinf nn kk

    b x

  • 7/31/2019 Cauchy 2

    4/7

    LIMIT FUNGSI

    Teorema 4.1.1

    Diberikan A himpunan bagian dari R. Bilangan c R titik cluster dari A jika hanya jika

    terdapat barisan (an) di dalamA dengan na c untuk semua n N sehingga lim na c .

    Bukti:

    ( ) Diketahui titikc titik limit dariA maka untuk setiap 0, : 0r x c A .

    Misal 1 , c titk timbun, maka : 0x R x c A . Berarti ada

    1 : 0 1a x R x c A

    2

    1 1ambil maka : 0

    2 2

    .

    .

    .

    1 1maka :0n

    a x R x c A

    a x R x c An n

    Jadi ada barisan na A , dengan na c . Tinggal menunjukkan bahwa lim na c

    Ambil 0 , maka menurut akibat sifat archimedian, terdapat n N sehingga1

    0n

    .

    Jadi terdapat K sehingga untuk n K berlaku1

    na cn

    . Dengan kata lain na c

    ( ) Diketahui lim , , ,n n na c a c n N a A . Akan ditunjukkan c titik timbun dari A.

    Ambil 0 , maka K N , sehingga n K berlaku na c , artinya untuk

    ,n K

    : 0na x x c (1)

    n na A a A (2)

    Dari (1) dan (2) diperoleh : 0 nx x c A a . Terbukti c titik timbun dari

    A.

  • 7/31/2019 Cauchy 2

    5/7

    Definisi Limit Fungsi

    Definis 4.1.1

    MisalA himpunan bagian dariR, :f A R dan c titik timbun dariA.

    L adalah limit dari f di c, jika diberikan ( )V L terdapat ( )V c sehingga jika x c adalah

    sebarang titik dari ( )V c A makaf(x) termuat ( )V L .

    Teorema 4.1.2

    Jika :f A R dan c titik timbun dariA, maka fungsifdapat mempunyai hanya satu limit di

    c (jikafmempunyai limit, maka limitnya tunggal).

    Bukti:

    Akan dibuktikan kontradiksi

    Andaikan terdapat bilangan real ' "L L yang memenuhi definisi 4.1.1 dipilih 0 sehingga

    ( ')V L dan ( ")V L saling asing sebagai contoh, diambil sebarang yang kurang

    1' "

    2L L .

    Maka dengan definisi 4.1.1, terdapat ' 0 sehingga jikax sebarang titik dalam A V c

    dan x c , maka ( ) ( ')f x V L . Dengan cara yang sama, terdapat ' 0 sehingga jika x

    sebarang titik dalam ' ( )A V c dan x c maka ( ) ( ")f x V L . Sekarang diambil yang

    lebih kecil dari ' maupun " , dan dimisalkan ( )V c persekitaran yang bersesuaian

    dengan c. Karena c titik limit A, terdapat paling sedikit satu titik 0x c sehingga

    0 ( )x A V c . Akibatnya, 0f x haruslah di dalam ( ')V L dan ( ")V L . Dengan kata lain,

    0( ) ( ') ( ")f x V L V L

    . Kontrakdiksi dengan bahwa ( ')V L dan ( ")V L saling asing. Jadi

    pengandaian bahwa ' "L L limit dari f di c adalah salah. Yang benar adalah ' "L L .

    Terbukti.

    Kriteria untuk Limit

    Teorema 4.1.3

    Misalkan :f A R dan c titik timbun dariA. Pernyataan di bawah ini ekivalen

    i) lim ( )x c

    f x L

    ii) 0 0 sehingga jika x A dan 0 x c berakibat( )f x L

  • 7/31/2019 Cauchy 2

    6/7

    Bukti:

    ( ) ( )i ii

    Andaikanf mempunyai limitL di c, artinya jika diberikan 0 , terdapat 0 sehingga

    x A yaitu di dalam ( ),V c x c nilai f (x) termuat dalam ( )V L , ( ),x V c x c artinya

    0 x c

    juga ( ) ( )f x V L artinya ( )f x L . Jadi terbukti bahwa

    0 0 sehingga jika x A dan 0 x c berakibat ( )f x L

    ( ) ( )ii i

    Jika kondisi (ii) terpenuhi, ambil ( ) : ( , )V c c c dan ( ) : ( , )V L L L . Dari (ii)

    berakibat jika ( )x V c , dimana x A dan x c berakibat ( )f x V L . Menurut definisi

    4.1.3, fmempunyai limitL di c atau lim ( )x c f x L .

    Teorema 4.1.4 (Sequential Criteria)

    Misalkan :f A R dan c titik cluster dariA. Pernyataan di bawah ini ekivalen

    i) lim ( )x c

    f x L

    .

    ii) ( )nx dalamA yang konvergen ke c sehingga nx c untuk semua n N barisan( ( ))nf x konevergen keL.

    Bukti:

    ( ) ( )i ii

    Asumsikan f mempunyai limit L di c, dan andaikan ( )nx barisan di dalam A dengan

    lim nx c dan ,nx c n N . Akan ditunjukkan barisan ( ( ))nf x konevergen ke L. Misal

    0 diberikan, maka dengan criteria , terdapat 0 sehingga jika x A memenuhi

    0 x c , maka ( )f x L . Karena (xn) konvergen ke c berarti jika diberikan

    0 ( )K N sehingga jika ( )n K berlakun

    x c . Karena nx A diperoleh

    ( )nf x L . Jadi jika ( )n K maka ( )nf x L , dengan kata lain

    ( ( )) ,nf x L n

  • 7/31/2019 Cauchy 2

    7/7

    ( ) ( )ii i

    Dengan menggunakan kontrapositive

    Jika (i) tidak benar, maka 0 0 sehingga 0 ada x A dengan x c , x c

    tetapi0( )f x L . Diambil

    1

    n , ada nx A dengan nx c ,

    1nx c

    n sehingga

    berlaku0( )nf x L atau ( ( ))nf x tidak konvergen keL.