Satuan tak berdimensiDari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Belum DiperiksaLangsung ke: navigasi, cari

Dalam analisis dimensional, satuan tak berdimensi adalah satuan yang tidak memiliki unit fisis melainkan hanyalah bilangan. Bilangan itu pada umumnya didefinisikan sebagai produk atau rasio atau satuan yang memiliki unit.

Contoh yang lebih mudah untuk dipahami adalah ketika seorang penyortir buah-buahan di suatu industri mengatakan bahwa setiap dua puluh buah apel terdapat satu apel busuk. Maka rasio apel busuk dengan apel secara keseluruhan adalah 1/20. Bilangan tersebut adalah satuan tak berdimensi. Contoh lainnya dalah ilmu keteknikan dan fisika adalah pengukuran sudut bidang miring. Sudut umumnya diukur menggunakan rasio panjang dan tinggi yang selalu spesifik setiap sudut. Rasio tersebut, panjang dibagi tinggi, adalah satuan tak berdimensi.

Satuan tak berdimensi digunakan secara luas dalam bidang matematika, fisika, teknik, dan ekonomi dalam kehidupan sehari-hari.

Satuan tak berdimensi tidak memiliki unit fisis yang berhubungan. Namun kadang-kadang penulisan rasio unit yang saling meniadakan, seperti g/kg, di mana keduanya adalah satuan massa, hal itu cukup membantu untuk menjelaskan bahwa suatu bilangan sedang dihitung dengan proses demikian.

Nama Simbol Bidang aplikasiBilangan Abbe V Optik; Tingkat dispersi material optik

Albedo αKlimatologi, astronomi (reflektivitas permukaan suatu benda)

Bilangan Archimedes Ar Gerakan fluida akibat dari perbedaan massa jenisBerat atom M KimiaBilangan Bagnold Ba Aliran material solid seperti pasirBilangan Biot Bi konduktivitas antara permukaan dan volume benda solidBilangan Bodenstein Distribusi waktu diamBilangan Bond Bo Kapilaritas yang dikendalikan oleh gaya apung

Bilangan Brinkman BrTransfer kalor akibat konduksi dari permukaan ke fluida kental

Bilangan Brownell Katz Kombinasi dari bilangan kapilaritas dan bilangan BondBilangan kapilaritas Ca Aliran fluida akibat dari tegangan permukaanKoefisien gesek statik μs Gesekan dua permukaan solid pada keadaan diamKoefisien gesek kinetis μk Gesekan dua permukaan solid pada gerakan translasiFaktor Colburn J Koefisien transfer kalor tak berdimensiBilangan Courant-Friedrich-Levy

ν Persamaan numerik dari hyperbolic PDE

Bilangan Damkohler Da Skala reaksi waktu terhadap fenomena perpindahanFaktor gesekan Darcy Cf or f Aliran fluidaBilangan Dean D Aliran fluida pada pipa atau selat bengkok

Bilangan Deborah De rheologi dari fluida viskoelastikDesibel dB rasio dua intensitas suaraKoefisien gerak Cd resistansi aliranBilangan Euler e MatematikaBilangan Eckert Ec Transfer kalor konvektifBilangan Ekman Ek geofisika (gaya gesek (viskositas))

Elastisitas (ekonomi) EDigunakan untuk mengukur bagaimana respon permintaan dan penawaran terhadap perubahan harga

Bilangan Eötvös Eo  ???Bilangan Ericksen Er Perilaku aliran kristal cairBilangan Euler Eu hidrodinamika (tekanan terhadap inersia)Faktor gesekan Fanning f Aliran fluida di pipaKonstanta Feigenbaum α,δ Teori chaosKonstanta kualitas struktur

α elektrodinamika kuantum

bilangan-f f optik, fotografiBilangan Foppl–von Karman

Penekukan lapisan tipis

Bilangan Fourier Fo Transfer kalorBilangan Fresnel F difraksi celahBilangan Froude Fr Perilaku gelombang dan permukaanGain elektronik (sinyal output terhadap sinyal input)Bilangan Galilei Ga Aliran kekentalan yang dikendalikan oleh gravitasiRasio Golden matematika dan estetikaBilangan Graetz Gz Aliran panasBilangan Grashof Gr Konveksi bebasBilangan Hatta Ha Peningkatan adsorpsi akibat dari reaksi kimiaBilangan Hagen Hg Konveksi yang dipaksaGradien hidrolik i Aliran air tanahBilangan Karlovitz pembakaran turbulensiBilangan Keulegan–Carpenter

KCrasio gaya perpindahan terhadap inersia benda keras dalam osilasi aliran fluida

Bilangan Knudsen Kn Perkiraan kontinu dalam fluidaKt/V KedokteranBilangan Kutateladze K Aliran dua fase yang saling berlawanan

Bilangan Laplace LaAliran konveksi bebas dalam fluida yang tak dapat bercampur

Bilangan Lewis Le Rasio persebaran massa dan termalKoefisien gaya angkat CL Gaya angkat pada airfoil pada berbagai sudut datangParameter Lockhart-Martinelli

χ Aliran gas basah

Bilangan Lundquist SRasio resistansi waktu pada gelombang Alfven melintasi waktu dalam plasma

Bilangan Mach M Dinamika gasBilangan magnetik Reynolds

Rm magnetohidrodinamika

Koefisien kekasaran Manning

n Aliran terbuka (aliran yang dikendalikan oleh gravitasi

Bilangan Marangoni MgAliran Marangoni akibat dari deviasi tekanan permukaan termal

Bilangan Morton Mo  ???Bilangan Nusselt Nu transfer kalor dengan konveksi yang dipaksaBilangan Ohnesorge Oh Atomisasi cairan, aliran MarangoniBilangan Péclet Pe adveksi–masalah difusiBilangan Peel adhesi dari struktur mikro dengan substratpH pH Kimia (kologaritma dari aktvitas ion H+ terlarut)

Pi πmatematika (rasio dari keliling lingkaran terhadap diameternya)

Rasio Poisson ν Elastisitas (dimuat pada arah transversal dan longitudinal)

Faktor dayaelektronika (besar daya riil terhadap daya dalam perhitungan)

Bilangan daya Np Konsumsi daya oleh agitator

Bilangan Prandtl Prtransfer kalor Konveksi (ketebalan termal dan momentum batas lapisan)

Koefisien Pressure CP Tekanan yang terjadi pada titik pada airfoilRadian rad pengukuran sudutBilangan Rayleigh Ra Gaya apung dan gaya viskositas pada konveksi bebasIndeks Refraktif n elektromagnetisme, optikaBilangan Reynolds Re Perilaku aliran (inersia terhadap viskositas)Masa jenis relatif RD hidrometer, perbandingan materialBilangan Richardson Ri Efek gaya apung pada kestabilan aliranSkala Rockwell Tingkat kekerasan mekanisBilangan Rossby Ro Gaya inersia pada geofisika

Bilangan RouseZ atau P

Transpor sedimen

Bilangan Schmidt Sc Dinamika fluida (transfer massa dan difusi)Bilangan Sherwood Sh Transfer massa dengan konveksi yang dipaksaBilangan Sommerfeld Pelumasan batasBilangan Stanton St Transfer panas pada konveksi yang dipaksaBilangan Stefan Ste Transfer panas ketika terjadi perubahan faseBilangan Stokes Stk Dinamika partikelTegangan ε Sains material, elastisitasBilangan Strouhal Sr Aliran bergelombang dan kontinuBilangan Taylor Ta Aliran fluida berotasi

Bilangan Ursell Unonlinearitas dari gelombang gravitasi permukaan pada lapisan fluida dangkal

Faktor van 't Hoff i Analisa kuantitatif (Kf dan Kb)Parameter Wallis J* Kecepatan nondimensional dalam aliran multifaseBilangan kecepatan pembentukan api

Kecepatan pembakaran berlapis relatif terhadap gas hidrogen

Bilangan Weber WeAliran multifase dengan permukaan bergeombang yang kuat

Bilangan Weissenberg Wi Aliran viskoelastikBilangan Womersley α Aliran bergelombang dan kontinu

[sunting] Satuan tak berdimensi bernilai tetap (konstan)

Beberapa konstanta fisika dasar seperti kecepatan cahaya dalam ruang vakum, konstanta gravitasi semesta, konstanta Planck, dan lain sebagainya hanya memiliki satu nilai. Kegunaan dari satuan tak berdimensi fisis ini tidak dapat dipisahkan dari sistem, nilainya ditentukan dari hasil eksperimen.

Dimensionless quantityFrom Wikipedia, the free encyclopedia

Jump to: navigation, search

In dimensional analysis, a dimensionless quantity is a quantity without an associated physical dimension. It is thus a "pure" number, and as such always has a dimension of 1. Dimensionless quantities are widely used in mathematics, physics, engineering, economics,

and in everyday life (such as in counting). Numerous well-known quantities, such as π, e, and φ, are dimensionless.

Dimensionless quantities are often defined as products or ratios of quantities that are not dimensionless, but whose dimensions cancel out when their powers are multiplied. This is the case, for instance, with the engineering strain, a measure of deformation. It is defined as change in length over initial length but, since these quantites both have dimensions L (length), the result is a dimensionless quantity.

A dimensionless quantity is not always a ratio; for instance, the number of people N in a room is a dimensionless quantity.

Contents

[hide]

1 Properties 2 Buckingham π theorem

o 2.1 Example 3 Standards efforts 4 Examples 5 List of dimensionless quantities 6 Dimensionless physical constants 7 See also 8 References 9 External links

[edit] Properties

Even though a dimensionless quantity has no physical dimension associated with it, it can still have dimensionless units. It is sometimes helpful to use the same units in both the numerator and denominator, such as kg/kg, to show the quantity being measured (for example, to distinguish a mass ratio from a volume ratio). The quantity may also be given as a ratio of two different units that have the same dimension (for instance, light years over meters). This may be the case when calculating slopes in graphs, or when making unit conversions. Such notation does not indicate the presence of physical dimensions, and is purely a notational convention. Other common dimensionless units are % (= 0.01), ppt (= 10−3), ppm (= 10−6), ppb (= 10−9), and angle units (radians, grad, degrees). Units of amount such as the dozen and the gross are also dimensionless.

The -dimensionless- ratio of two quantities with the same dimensions has the same value regardless of the units used to calculate them. For instance, if body A exerts a force of magnitude F on body B, and B exerts a force of magnitude f on A, then the ratio F/f will always be equal to -1, regardless of the actual units used to measure F and f. This is a fundamental property of dimensionless proportions and follows from the assumption that the laws of physics are independent of the system of units used in their expression. In this case, if the ratio F/f was not always equal to -1, but changed if we switched from SI to CGS, for instance, that would mean that Newton's Third Law's truth or falsity would depend on the system of units used, which would contradict this fundamental hypothesis. The

assumption that the laws of physics are not contingent upon a specific unit system is also closely related to the Buckingham π theorem. A formulation of this theorem is that any physical law can be expressed as an identity (always true equation) involving only dimensionless combinations (ratios or products) of the variables linked by the law (e.g., pressure and volume are linked by Boyle's Law -they are inversely proportional). If the dimensionless combinations' values changed with the systems of units, then the equation would not be an identity, and Buckingham's theorem would not hold.

[edit] Buckingham π theorem

Another consequence of the Buckingham π theorem of dimensional analysis is that the functional dependence between a certain number (say, n) of variables can be reduced by the number (say, k) of independent dimensions occurring in those variables to give a set of p = n − k independent, dimensionless quantities. For the purposes of the experimenter, different systems which share the same description by dimensionless quantity are equivalent.

[edit] Example

The power consumption of a stirrer with a given shape is a function of the density and the viscosity of the fluid to be stirred, the size of the stirrer given by its diameter, and the speed of the stirrer. Therefore, we have n = 5 variables representing our example.

Those n = 5 variables are built up from k = 3 dimensions which are:

Length: L (m) Time: T (s) Mass: M (kg).

According to the π-theorem, the n = 5 variables can be reduced by the k = 3 dimensions to form p = n − k = 5 − 3 = 2 independent dimensionless numbers which are, in case of the stirrer:

Reynolds number (a dimensionless number describing the fluid flow regime) Power number (describing the stirrer and also involves the density of the fluid)

[edit] Standards efforts

The CIPM Consultative Committee for Units contemplated defining the unit of 1 as the 'uno', but the idea was dropped.[1][2][3][4]

[edit] Examples

Consider this example: Sarah says, "Out of every 10 apples I gather, 1 is rotten.". The rotten-to-gathered ratio is (1 apple) / (10 apples) = 0.1 = 10%, which is a dimensionless quantity. Another more typical example in physics and engineering is the measure of plane angles. An angle is measured as the ratio of the length of a circle's arc subtended by an angle whose vertex is the centre of the circle to some other length. The ratio, length divided by length, is dimensionless. When using radians as the unit, the length that is compared is the length of the

radius of the circle. When using degree as the units, the arc's length is compared to 1/360 of the circumference of the circle.

[edit] List of dimensionless quantities

All numbers are dimensionless quantities. Certain dimensionless quantities of some importance are given below:

NameStandard symbol

Definition Field of application

Abbe number V optics (dispersion in optical materials)

Activity coefficient γchemistry (Proportion of "active" molecules or atoms)

Albedo αclimatology, astronomy (reflectivity of surfaces or bodies)

Archimedes number Ar motion of fluids due to density differences

Arrhenius number α Ratio of activation energy to thermal energy [5]

Atomic weight M chemistry

Bagnold number Ba flow of bulk solids such as grain and sand.[6]

Bejan number(thermodynamics)

Bethe ratio of heat transfer irreversibility to total irreversibility due to heat transfer and fluid friction[7]

Bejan number(fluid mechanics)

Be dimensionless pressure drop along a channel[8]

Bingham number Bm Ratio of yield stress to viscous stress[5]

Biot number Bi surface vs. volume conductivity of solids

Bodenstein number residence-time distribution

Bond number Bo capillary action driven by buoyancy [9]

Brinkman number Brheat transfer by conduction from the wall to a viscous fluid

Brownell-Katz number

combination of capillary number and Bond number

Capillary number Ca fluid flow influenced by surface tension

Coefficient of static friction

μs friction of solid bodies at rest

Coefficient of kinetic friction

μk friction of solid bodies in translational motion

Colburn j factor dimensionless heat transfer coefficient

Courant-Friedrich-Levy number

ν numerical solutions of hyperbolic PDEs [10]

Damkohler number Da reaction time scales vs. transport phenomena

Damping ratio ζ the level of damping in a system

Darcy friction factor Cf or f fluid flow

Dean number D vortices in curved ducts

Deborah number De rheology of viscoelastic fluids

Decibel dB ratio of two intensities, usually sound

Drag coefficient Cd flow resistance

Dukhin number Duratio of electric surface conductivity to the electric bulk conductivity in heterogeneous systems

Euler's number e mathematics

Eckert number Ec convective heat transfer

Ekman number Ek geophysics (frictional (viscous) forces)

Elasticity (economics)

Ewidely used to measure how demand or supply responds to price changes

Eötvös number Eo determination of bubble/drop shape

Ericksen number Er liquid crystal flow behavior

Euler number Euhydrodynamics (pressure forces vs. inertia forces)

Fanning friction factor

f fluid flow in pipes [11]

Feigenbaum constants

α,δ chaos theory (period doubling) [12]

Fine structure constant

α quantum electrodynamics (QED)

f-number f optics, photography

Foppl–von Karman number

thin-shell buckling

Fourier number Fo heat transfer

Fresnel number F slit diffraction [13]

Froude number Fr wave and surface behaviour

Gain electronics (signal output to signal input)

Galilei number Ga gravity-driven viscous flow

Golden ratio mathematics and aesthetics

Graetz number Gz heat flow

Grashof number Gr free convection

Hatta number Haadsorption enhancement due to chemical reaction

Hagen number Hg forced convection

Hydraulic gradient i groundwater flow

Karlovitz number turbulent combustion turbulent combustion

Keulegan–Carpenter number

KCratio of drag force to inertia for a bluff object in oscillatory fluid flow

Knudsen number Knratio of the molecular mean free path length to a representative physical length scale

Kt/V medicine

Kutateladze number K counter-current two-phase flow

Laplace number La free convection within immiscible fluids

Lewis number Le ratio of mass diffusivity and thermal diffusivity

Lift coefficient CLlift available from an airfoil at a given angle of attack

Lockhart-Martinelli parameter

χ flow of wet gases [14]

Lundquist number Sratio of a resistive time to an Alfvén wave crossing time in a plasma

Mach number M gas dynamics

Magnetic Reynolds number

Rm magnetohydrodynamics

Manning roughness coefficient

n open channel flow (flow driven by gravity) [15]

Marangoni number MgMarangoni flow due to thermal surface tension deviations

Morton number Mo determination of bubble/drop shape

Nusselt number Nu heat transfer with forced convection

Ohnesorge number Oh atomization of liquids, Marangoni flow

Péclet number Pe advection–diffusion problems

Peel number adhesion of microstructures with substrate [16]

Pi πmathematics (ratio of a circle's circumference to its diameter)

Poisson's ratio νelasticity (load in transverse and longitudinal direction)

Porosity φ geology

Power factor electronics (real power to apparent power)

Power number Np power consumption by agitators

Prandtl number Prconvection heat transfer (thickness of thermal and momentum boundary layers)

Pressure coefficient CP pressure experienced at a point on an airfoil

Q factor Qdescribes how under-damped an oscillator or resonator is

Radian rad measurement of angles

Rayleigh number Rabuoyancy and viscous forces in free convection

Refractive index n electromagnetism, optics

Reynolds number Re Ratio of fluid inertial and viscous forces[5]

Relative density RD hydrometers, material comparisons

Richardson number Ri effect of buoyancy on flow stability [17]

Rockwell scale mechanical hardness

Rolling resistance coefficient

Crr Vehicle dynamics

Rossby number Ro inertial forces in geophysics

Rouse number Z or P Sediment transport

Schmidt number Sc fluid dynamics (mass transfer and diffusion) [18]

Shape factor Hratio of displacement thickness to momentum thickness in boundary layer flow

Sherwood number Sh mass transfer with forced convection

Sommerfeld number boundary lubrication [19]

Stanton number St heat transfer in forced convection

Stefan number Ste heat transfer during phase change

Stokes number Stk particle dynamics

Strain ε materials science, elasticity

Strouhal number St or Srnondimensional frequency, continuous and pulsating flow [20]

Taylor number Ta rotating fluid flows

Ursell number Unonlinearity of surface gravity waves on a shallow fluid layer

Vadasz number Vagoverns the effects of porosity φ, the Prandtl number and the Darcy number on flow in a porous medium

van 't Hoff factor i quantitative analysis (Kf and Kb)

Wallis parameter J* nondimensional superficial velocity in multiphase flows

Weaver flame speed number

laminar burning velocity relative to hydrogen gas [21]

Weber number We multiphase flow with strongly curved surfaces

Weissenberg number

Wi viscoelastic flows [22]

Womersley number α continuous and pulsating flows [23]

[edit] Dimensionless physical constants

Certain fundamental physical constants, such as the speed of light in a vacuum, the universal gravitational constant, and the constants of Planck and Boltzmann, are normalized to 1 if the units for time, length, mass, charge, and temperature are chosen appropriately. The resulting system of units is known as natural. However, not all physical constants cannot be eliminated in any system of units; the values of the remaining ones must be determined experimentally. Resulting constants include:

α, the fine structure constant, the coupling constant for the electromagnetic interaction; μ or β, the proton-to-electron mass ratio, the rest mass of the proton divided by that of the

electron. More generally, the rest masses of all elementary particles relative to that of the electron;

αs, the coupling constant for the strong force; αG, the gravitational coupling constant.

[edit] See also

Similitude (model) Orders of magnitude (numbers) Dimensional analysis Normalization (statistics) and standardized moment, the analogous concepts in statistics

[edit] References

1. ̂ "BIPM Consultative Committee for Units (CCU), 15th Meeting" (PDF). 17–18 April 2003. http://www.bipm.fr/utils/common/pdf/CCU15.pdf. Retrieved 2010-01-22.

2. ̂ "BIPM Consultative Committee for Units (CCU), 16th Meeting" (PDF). http://www.bipm.fr/utils/common/pdf/CCU16.pdf. Retrieved 2010-01-22.

3. ̂ "An ontology on property for physical, chemical, and biological systems.". http://www.ncbi.nlm.nih.gov/entrez/query.fcgi?cmd=Retrieve&db=pubmed&dopt=Abstract&list_uids=15588029&query_hl=3.

4. ̂ René Dybkaer. "An ontology on property for physical, chemical, and biological systems". http://www.iupac.org/publications/ci/2005/2703/bw1_dybkaer.html.

5. ^ a b c "Table of Dimensionless Numbers" (PDF). http://www.cchem.berkeley.edu/gsac/grad_info/prelims/binders/dimensionless_numbers.pdf. Retrieved 2009-11-05.

6. ̂ Bagnold number7. ̂ S. Paoletti, F. Rispoli, E. Sciubba, Calculation of exergetic losses in compact heat exchanger

passager, ASME AES-Vol. 10-2, 1989, pp. 21-29.8. ̂ S. Bhattacharjee and W.L. Grosshandler, The formation of wall jet near a high temperature

wall under microgravity environment, ASME MTD-Vol. 96, 1988, pp. 711-716.9. ̂ Bond number10. ̂ Courant-Friedrich-Levy number11. ̂ Fanning friction factor12. ̂ Feigenbaum constants13. ̂ Fresnel number14. ̂ Lockhart-Martinelli parameter15. ̂ Manning coefficientPDF (109 KB)16. ̂ Peel number17. ̂ Richardson number18. ̂ Schmidt number19. ̂ Sommerfeld number20. ̂ Strouhal number21. ̂ Weaver flame speed number22. ̂ Weissenberg number23. ̂ Womersley number

[edit] External links

John Baez , "How Many Fundamental Constants Are There?" Huba, J. D., 2007, NRL Plasma Formulary: Dimensionless Numbers of Fluid Mechanics. Naval

Research Laboratory. Pp. p. 23, p. 24 and p. 25 Sheppard, Mike, 2007, "Systematic Search for Expressions of Dimensionless Constants using

the NIST database of Physical Constants." Biographies of 16 scientists having dimensionless numbers of heat and mass transfer named

after them.

Bilangan AbbeDari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Belum DiperiksaLangsung ke: navigasi, cari

Bilangan Abbe dalam fisika dan optika juga dikenal dengan Bilangan V, adalah ukuran dispersi suatu material dalam hubungannya dengan indeks bias (variasi indeks bias dengan panjang gelombang). Dinamai sesuai dengan nama Ernst Abbe (1840-1905), ahli fisika berkebangsaan Jerman yang mendefinisikan hal tersebut.

Diagram bilangan Abbe berdasarkan komposisi material optis dan indeks bias, ditandai dengan titik merah

Bilangan Abbe dari suatu material, V, didefinisikan sebagai:

di mana nD, nF, dan nC adalah indeks bias dari suatu material pada garis panjang gelombang D, F, dan C Fraunhofer (589,2 nm, 486,1 nm, dan 656,3 nm). Nilai dispersi yang rendah, yang berarti rendah abrasi kromatiknya, berarti material tersebut mempunyai nilai bilangan Abbe yang tinggi.

Definisi lainnya yang dapat digunakan adalah:

dengan nd adalah indeks bias pada panjang gelombang garis kuning helium (587,5618 nm).

Dapat juga didefinisikan sebagai:

dengan e adalah hijau merkuri pada 546,073 nm, sedangkan F' dan C' adalah garis biru dan merah kadmium pada panjang gelombang 480,0 nm dan 643,8 nm.

Bilangan Abbe digunakan untuk mengklasifikasikan kaca dan material optis lainnya. Seperti contoh, kaca flint memiliki V < 50 dan kaca crown memiliki V > 50. Range nilai V bervariasi, berkisar 20 untuk kaca flint berdensitas tinggi, sekitar 30 untuk kaca polikarbonat, lebih dari 65 untuk kaca crown berdensitas rendah, dan di atas 85 untuk kaca fluor-crown. Bilangan Abbe hanya diaplikasikan pada cahaya tampak.

Diagram Abbe dibuat dengan menempatkan bilangan Abbe Vd dari suatu material terhadap indeks bias nd. Material optis lalu dikategorikan melalui komposisi bahannya dan posisinya dalam diagram. Pengkategorian dapat berupa kode huruf dan nomor seperti yang digunakan pada katalog Kaca Schott, atau menggunakan kode kaca 6 digit.

Tabel di bawah ini adalah daftar panjang gelombang standar berdasarkan Pye di mana nilai n biasanya ditentukan. Seperti contoh, nD berdasarkan tabel adalah 589,3 nm, karena D adalah warna kuning pada garis spektrum Natrium.

λ dalam nm Symbol Fraunhofer Sumber cahaya Warna365.01 i Hg ultraviolet404.66 h Hg violet435.84 g Hg biru479.99 F' Cd biru486.13 F H biru546.07 e Hg hijau587.56 d He kuning589.3 D Na kuning643.85 C' Cd merah656.27 C H merah706.52 r He merah768.2 A' K merah852.11 s Cs Inframerah1013.98 t Hg Inframerah

[sunting] Referensi

Perhitungan bilangan Abbe terhadap berbagai jenis kaca L. D. Pye, V. D. Frechette, N. J. Kreidl: "Borate Glasses"; Plenum Press, New York,

1977

eDari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Belum DiperiksaLangsung ke: navigasi, cari

e

e adalah bilangan dimana gradien (kemiringan) dari fungsi f(x)=ex pada setiap titiknya sama dengan nilai (tinggi) fungsi tersebut pada titik yang sama.

Konstanta matematika e adalah basis dari logaritma natural. Kadang-kadang disebut juga bilangan Euler sebagai penghargaan atas ahli matematika Swiss, Leonhard Euler, atau juga konstanta Napier sebagai penghargaan atas ahli matematika Skotlandia, John Napier yang merumuskan konsep logaritma untuk pertama kali. Bilangan ini adalah salah satu bilangan yang terpenting dalam matematika, sama pentingnya dengan 0, 1, i, dan π. Bilangan ini memiliki beberapa definisi yang ekivalen; sebagain ada dibawah.

Nilai bilangan ini, dipotong pada posisi ke-30 setelah tanda desimal (tanpa dibulatkan), adalah:

e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352

[sunting] Definisi

Bilangan NusseltDari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas(Dialihkan dari Bilangan nusselt)

Belum DiperiksaLangsung ke: navigasi, cari

Bilangan Nusselt adalah rasio pindah panas konveksi dan konduksi normal terhadap batas dalam kasus pindah panas pada permukaan fluida; bilangan Nusselt adalah satuan tak berdimensi yang dinamai menggunakan nama Wilhelm Nusselt. Komponen konduktif diukur di bawah kondisi yang sama dengan konveksi dengan kondisi fluida stagnan atau tidak bergerak.

Aliran panas konduksi dan konveksi sifatnya sejajar satu sama lainnya dan terhadap permukaan normal terhadap bidang batas, sehingga

di mana:

L = panjang karakteristik kf = konduktivitas termal fluida h = koefisien pindah panas konvektif

Pemilihan panjang karakteristik harus searah dengan ketebalan dari lapisan batas. Contoh dari panjang karakteristik misalnya diameter terluar dari silinder pada aliran yang mengalir di luar silinder, tegak lurus terhadap aksis silinder. Selain itu, panjang papan vertikal terhadap konveksi alami yang bergerak ke atas dan diameter bola yang berada di dalam aliran konveksi juga merupakan panjang karakteristik. Untuk bangun yang lebih rumit, panjang karakteristik bisa dihitung dengan membagi volume terhadap luas permukaannya.

Untuk konveksi bebas, rataan bilangan Nusselt dinyatakan sebagai fungsi dari bilangan Rayleigh dan bilangan Prandtl. Dan untuk konveksi paksa, rataan bilangan Nusselt adalah fungsi dari bilangan Reynolds dan bilangan Prandtl. Hubungan empiris untuk berbagai geometri terkait konveksi menggunakan bialangan Nusselt didapatkan melalui eksperimen.

Pindah massa terkait dengan bilangan Nusselt adalah bilangan Sherwood.

Bilangan ReynoldsDari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Belum DiperiksaLangsung ke: navigasi, cari

Dalam mekanika fluida, bilangan Reynolds adalah rasio antara gaya inersia (vsρ) terhadap gaya viskos (μ/L) yang mengkuantifikasikan hubungan kedua gaya tersebut dengan suatu kondisi aliran tertentu. Bilangan ini digunakan untuk mengidentikasikan jenis aliran yang berbeda, misalnya laminar dan turbulen. Namanya diambil dari Osborne Reynolds (1842–1912) yang mengusulkannya pada tahun 1883.

Bilangan Reynold merupakan salah satu bilangan tak berdimensi yang paling penting dalam mekanika fluida dan digunakan, seperti halnya dengan bilangan tak berdimensi lain, untuk memberikan kriteria untuk menentukan dynamic similitude. Jika dua pola aliran yang mirip secara geometris, mungkin pada fluida yang berbeda dan laju alir yang berbeda pula, memiliki nilai bilangan tak berdimensi yang relevan, keduanya disebut memiliki kemiripan dinamis.

Daftar isi

[sembunyikan]

1 Rumusan 2 Nilai tipikal 3 Lihat pula 4 Bacaan lanjutan 5 Pranala luar

[sunting] Rumusan

Rumus bilangan Reynolds umumnya diberikan sebagai berikut:

dengan:

vs - kecepatan fluida, L - panjang karakteristik, μ - viskositas absolut fluida dinamis, ν - viskositas kinematik fluida: ν = μ / ρ, ρ - kerapatan (densitas) fluida.

Misalnya pada aliran dalam pipa, panjang karakteristik adalah diameter pipa, jika penampang pipa bulat, atau diameter hidraulik, untuk penampang tak bulat.

[sunting] Nilai tipikal

Spermatozoa ~ 1×10−2

Aliran darah di otak ~ 1×102

Aliran darah di aorta ~ 1×103

Batas munculnya aliran turbulen ~ 2,3×103 pada aliran pipa hingga 106 untuk lapisan batas

Lemparan bola (pitch) di Major League Baseball ~ 2×105

Orang berenang ~ 4×106

Paus Biru ~ 3×108

Kapal besar (RMS Queen Elizabeth 2) ~ 5×109

[sunting] Lihat pula

Persamaan Darcy-Weisbach Hukum Hagen-Poiseuille Persamaan Navier-Stokes Teorema perpindahan Reynolds

Teorema TaylorDari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Belum Diperiksa

Langsung ke: navigasi, cari

Fungsi eksponensial y = ex (garis merah kontinu) dan polinomial Taylor orde empat di sekitar titik asal (garis hijau putus-putus)

Dalam kalkulus, teorema Taylor memberikan barisan pendekatan sebuah fungsi yang diferensiabel pada sebuah titik menggunakan suku banyak (polinomial). Koefisien polinomial tersebut hanya tergantung pada turunan fungsi pada titik yang bersangkutan. Teorema ini juga memberikan estimasi besarnya galat dari pendekatan itu. Teorema ini mendapat nama dari matematikawan Brook Taylor, yang menyatakannya pada tahun 1712, meskipun hasilnya sudah ditemukan pertama kali tahun 1671 oleh James Gregory

Daftar isi

[sembunyikan]

1 Teorema Taylor dalam satu variabel o 1.1 Pernyataan o 1.2 Estimasi suku sisa

2 Pembuktian: satu variabel 3 Catatan kaki 4 Rujukan 5 Pranala luar

Topik dalam kalkulus

Teorema dasarLimit fungsiKekontinuan

Kalkulus vektorKalkulus matriks

Teorema nilai purata

Turunan

Kaidah darabKaidah hasil-bagi

Kaidah rantaiTurunan implisitTeorema TaylorLaju berhubungan

Tabel turunanIntegral

Tabel integralIntegral takwajarPengintegralan

dengan:bagian per bagian, cakram, silinder,

substitusi,substitusi

trigonometri,pecahan parsial

[sunting] Teorema Taylor dalam satu variabel

Teorema Taylor menyatakan sembarang fungsi mulus dapat dihampiri dengan polinomial. Contoh sederhana penerapan teorema Taylor adalah hampiran fungsi eksponensial ex di dekat x = 0:

Hampiran ini dinamakan hampiran Taylor orde ke-n' terhadap ex karena menghampiri nilai fungsi eksponensial menggunakan polinomial derajat n. Hampiran ini hanya berlaku untuk x mendekati nol, dan bila x bergerak menjauhi nol, hampiran ini menjadi semakin buruk. Kualitas hampiran dinyatakan oleh suku sisa:

Lebih umum lagi, teorema Taylor berlaku untuk setiap fungsi yang dapat diturunkan ƒ, dengan hampiran untuk x di dekat titik a, dalam bentuk:

Suku sisa adalah perbedaan antara fungsi dan polinomial hampirannya:

Meskipun rumus eksplisit untuk suku sisa ini jarang digunakan, teorema Taylor juga memberikan estimasi nilai sisanya. Dengan kata lain, untuk x cukup dekat terhadap a, suku sisa haruslah cukup kecil. Teorema Taylor memberikan informasi persis seberapa kecil suku sisa tersebut.

[sunting] Pernyataan

Pernyataan cermat teorema ini adalah sebagai berikut: bila n ≥ 0 adalah bilangan bulat dan f adalah fungsi yang terturunkan kontinu pada selang tertutup [a, x] dan terturunkan n + 1 kali pada selang terbuka (a, x), maka

Di sini n! melambangkan n faktorial dan Rn(x) adalah suku sisa, melambangkan beda antara polinomial Taylor derajat-n terhadap fungsi asli. Suku sisa Rn(x) tergantung pada x, dan kecil bila x cukup dekat terhadap a. Ada beberapa pernyataan untuk suku sisa ini.

Bentuk Lagrange [1] dari suku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan ξ antara a dan x sedemikian sehingga

Ini mengungkapkan teorema Taylor sebagai perampatan teorema nilai rata-rata. Sebenarnya, teorema nilai rata-rata digunakan untuk membuktikan teorema Taylor dengan suku sisa bentuk Lagrange.

Bentuk Cauchy [2] suku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan ξ antara a dan x sehingga

Secara umum, bila G(t) adalah fungsi kontinu pada selang tertutup [a,x], yang terturunkan dengan turunan tidak nol pada (a,x), maka ada suatu bilangan ξ antara a dan x sehingga

Ini mengungkapkan teorema Taylor sebagai generalisasi teorema nilai rata-rata Cauchy.

Bentuk di atas terbatas pada fungsi riil. Namun bentuk integral [3] dari suku sisa juga berlaku untuk fungsi kompleks, yaitu:

dengan syarat, seperti yang biasa ditemui, fn kontinu mutlak dalam [a, x]. Ini menunjukkan teorema ini sebagai perampatan teorema dasar kalkulus.

Secara umum, suatu fungsi tidak perlu sama dengan deret Taylor-nya, karena mungkin saja deret Taylor tersebut tidak konvergen, atau konvergen menuju fungsi yang berbeda. Namun, untuk banyak fungsi f(x), kita dapat menunjukkan bahwa suku sisa Rn mendekati nol saat n mendekati ∞. Fungsi-fungsi tersebut dapat dinyatakan sebagai deret Taylor pada persekitaran titik a, dan disebut sebagai fungsi analitik.

[sunting] Estimasi suku sisa

Versi umum teorema Taylor lainnya berlaku pada selang (a − r, a + r) tempat variabel x mengambil nilainya. Perumusan teorema ini memiliki keuntungan bahwa mungkin

mengendalikan ukuran suku-suku sisa, dan dengan demikian kita dapat menghitung hampiran fungsi yang sahih pada seluruh selang, dengan batas yang cermat untuk mutu hampirannya.

Versi yang cermat untuk teorema Taylor dalam bentuk ini adalah sebagai berikut. Misalkan ƒ adalah fungsi yang terturunkan kontinu n kali pada selang tertutup [a - r, a + r] dan terturunkan n + 1 kali pada selang terbuka (a − r, a + r). Bila ada konstanta positif riil Mn sedemikian sehingga |ƒ(n+1)(x)| ≤ Mn untuk semua x ∈ (a − r, a + r), maka

di mana fungsi sisa Rn memenuhi ketidaksamaan (dikenal sebagai estimasi Cauchy)

untuk semua x ∈ (a − r, a + r). Ini disebut sebagai estimasi seragam galat pada polinomial Taylor yang terpusat pada a, karena ini berlaku seragam untuk setiap x dalam selang.

Bila ƒ adalah fungsi mulus pada [a − r, a + r], maka konstanta positif Mn ada untuk tiapn = 1, 2, 3, … sedemikian sehingga | ƒ(n+1)(x)| ≤ Mn untuk semua x ∈ (a − r, a + r). Tambahan lagi, jika mungkin memilih konstanta ini, sehingga

as

maka ƒ adalah fungsi analitik pada (a − r, a + r). Secara khusus, suku sisa pada hampiran Taylor, Rn(x) cenderung menuju nol secara seragam saat n→∞. Dengan kata lain, fungsi analitik adalah limit seragam dari polinomial Taylornya pada sebuah selang.

[sunting] Pembuktian: satu variabel

Berikut adalah bukti teorema Taylor dengan suku sisa integral[4]

Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa

yang dapat disusun ulang menjadi:

Sekarang kita dapat melihat bahwa penerapan integrasi parsial menghasilkan

Persamaan pertama diperoleh dengan memisalkan dandv = dt; persamaan kedua

didapatkan dengan mencatat bahwa ; yang ketiga didapatkan dengan mengeluarkan faktor yang sama.

Bila integrasi parsial ini diteruskan didapatkan:

Dengan mengulangi proses ini, kita dapat menurunkan teorema Taylor untuk nilai n yang lebih tinggi.

Proses ini dapat diformalkan dengan menerapkan teknik induksi matematika. Jadi misalkan teorema Taylor berlaku unutk n tertentu, yaitu, misalkan

Kita dapat menulis ulang integral dengan integrasi parsial. Sebuah antiturunan (x − t)n sebagai fungsi dari t diberikan sebagai −(x−t)n+1 / (n + 1), sehingga

Mensubstitusikan ini dalam (*) membuktikan teorema Taylor untuk n + 1, dan karenanya untuk semua n bilangan bulat non-negatif.

Suku sisa dalam bentuk Lagrange dapat diturunkan dengan teorema nilai rata-rata untuk integral dengan cara berikut:

di mana ξ adalah suatu bilangan dari selang [a, x]. Integral terakhir dapat dievaluasi langsung, yang menghasilkan

Secara lebih umum, untuk tiap fungsi G(t), teorema nilai rata-rata menjamin eksistensi ξ dalam selang [a,x] yang memenuhi

Bilangan Kapilaritas (Ca)

17 09 2010

Sebelumnya, kita membahas tentang fluida yang dapat bercampur, makanya dia ada difusi dan segala macam itu. Nah, untuk fluida yang immiscible atau tidak bisa bercampur, ada tegangan permukaan γ yang mempengaruhi dinamika permukaan kedua fluida. Sebagai contoh, gambar berikut ini…

menunjukkan ketidakstabilan kapilaritas dalam aliran mikrofluida dua fase (gambar: aliran air yang ditembakkan ke aliran minyak).

Pembentukan droplet dalam aliran dua fase

Sistem mikrofluida dapat didesain untuk membentuk emulsi droplet yang terkontrol pada fluida yang tidak dapat bercampur. Caranya dengan menginjeksikan air dalam aliran minyak pada sebuah saluran pertigaan atau yang berbentuk T. Seandainya tidak ada tegangan antar permukaan antara air dan minyak, maka keduanya akan mengalir secara berdampingan. Namun karena ada tegangan yang bekerja yaitu

1. Tegangan permukaan yang berusaha mengurangi permukaan kontak kedua fluida

2. Tegangan viskos yang memperpanjang dan menarik permukaan mengikuti aliran

maka sebagai hasil dari keseimbangan kedua tegangan tersebut akan terbentuk droplet (tetesan kecil air) dengan jari-jari R, dengan karakteristik

di sini kita telah mengenal bilangan kapilaritas (Ca)

yaitu parameter tak berdimensi yang terkait dengan peristiwa persaingan antara tegangan permukaan dan tegangan viskos.

Mengontrol fluida dengan permukaan berpola

Gaya kapilaritas cenderung membawa fluida membasahi saluran mikro ketika energi antarmuka padat-cair (solid-liquid, antara dinding dan cairan, γsl) lebih rendah daripada energi antarmuka padat-gas (solid-gas, antara dinding dan gas, γsg). Dalam hal ini fluida kedua dianggap gas untuk mempermudah, namun bisa saja bukan gas tetapi cairan yang berbeda.

Jika kita mempunyai saluran berjari-jari w, meniskus pada antarpermukaan fluida-gas menimbulkan tekanan Laplace Δp~γ/w, di mana Δγ= γsl- γsg merepresentasikan energi total per area yang dihasilkan atau terbuang ketika permukaan fluida meningkat. Tekanan ini menggerakkan kolom fluida sepanjang z dalam saluran melalui aliran Poiseuille dengan kecepatan

Di sini bilangan kapilaritas menentukan dinamika yang terjadi (Ca~w/z). Karena panjang kolom z berubah seiring dengan bergeraknya permukaan, fluida bergerak dengan kecepatan yang rendah mengikuti persamaan Washburn

Kemampuan dinding saluran untuk bisa basah dapat digunakan untuk mengontrol gerak kapilaritas. Sifat hidrofobik dari dinding saluran dapat dimanfaatkan untuk membatasi fluida, dan membentuk kanal tanpa dinding.

Permukaan berpola dapat digunakan dalam saluran tertutup untuk memanipulasi beberapa fluida yang tidak dapat bercampur dalam satu jalur. Jika fluida digerakkan menggunakan tekanan yang cukup rendah, tekanan kapilaritas menjaga permukaan tetap terletak pada tepi

saluran berpola (Δp≤γ/w). Jika fluida melampaui tekanan kritis ini, maka fluida terdesak ke dalam daerah hidrofobik. Sifat ini dimanfaatkan untuk membuat pressure-sensitive gate seperti contoh berikut

Pada gambar di atas, saluran yang tengah bersifat hidrofilik, saluran bawah agak hidrofobik dan saluran atas paling hidrofobik.

(a) Tekanan yang diberikan di bawah tekanan kritis, air mengalir melewati saluran tengah

(b) Tekanan ditingkatkan, air mengalir melalui saluran tengah dan bawah

(c) Tekanan ditingkatkan lagi sehingga air terpaksa melewati saluran atas.

Memanipulasi fluida dengan gaya kapilaritas

Manipulasi energi antarpermukaan solid-liquid

Contoh: Droplet panjang sepanjang L berada dalam saluran dengan radius w. Permukaan saluran tidak homogen: yang z<0 hidrofobik (γL

sl) dan yang z>0 hidrofilik (γRsl>γL

sl). Droplet ini secara energi ingin bergerak ke permukaan yang hidrofilik, dan bergerak dengan kecepatan U menambah energi antarmuka yang tersimpan sebesar ~ΔγwY, di mana Δγ=γL

sl-γR

sl. Energi ini hilang pada disipasi viskos. Dengan mengasumsikan bahwa energi kapilaritas dilepaskan untuk mengimbangi disipasi viskos, maka

Di sini kita melihat bahwa secara natural bilangan kapilaritas meningkat karena tegangan kapilaritas diimbangi dengan tegangan viskos. Dalam kasus ini, droplet bergerak dengan kecepatan U~Δγw/ηL.

Permukaan dengan gradien keterbasahan

(a) Gradien suhu → sejumlah fluida dalam saluran mikro bergerak untuk mengurangi total energi antarpermukaan, sehingga pada saluran dengan gradien suhu, droplet bergerak ke arah yang lebih dingin.

(b) Fluida mengandung zat kimia yang dapat bereaksi, mengurangi keterbasahan permukaan.

(c) Fluida terdesak oleh fluida lain yang meninggalkan lapisan pada permukaan, yang mengurangi energi permukaan keseluruhan.

(d) Permukaan yang sensitif terhadap cahaya, menimbulkan gradien keterbasahan.

Electrowetting

Tegangan (energi per satuan luas atau gaya per satuan panjang) berhubungan dengan masing-masing permukaan: solid-liquid γsl, solid-gas γsg, liquid-gas γlg≡γ. Masing-masing

memberikan gaya pada garis kontak ketiga fase, dan pada keseimbangannya memenuhi persamaan Young

γsg-γsl-γcosθeq=0

Ketika beda potensial V diberikan antara tetesan dengan alasnya, permukaan solid-liquid pun menjadi semacam kapasitor, dengan kapasitansi per satuan luas c (gambar (b)). Semakin besar permukaan solid-liquid ini, semakin besar total kapasitansinya, yang menyebabkan berkurangnya energi elektrostatik dan melebarkan tetesan. Tegangan electrowetting ini memiliki keseimbangan gaya yang baru yaitu

sedangkan sudut kontak berubah mengikuti persamaan Lippmann

Manipulasi tegangan permukaan liquid-liquid

Gambar di atas menunjukkan peristiwa pergerakan droplet secara thermocapillary, electrocapillary, dan solutocapillary pada manipulasi tegangan permukaan dengan menggunakan dua jenis cairan.

(a) Perbedaan suhu pada larutan yang biru menggerakkan droplet ke arah suhu yang lebih tinggi.

(b) Droplet digerakkan oleh medan listrik.

(c) Perbedaan konsentrasi surfaktan (zat yang dapat menurunkan tegangan permukaan) yang digunakan sebagai cairan penggerak, menggerakkan droplet ke arah konsentrasi surfaktan yang lebih tinggi.