MAKALAH

Bilangan Kompleks

Kelompok 7

Universitas Gajah Mada

Jurusan Teknik Elektro

2008

Matematika Teknik

BILANGAN KOMPLEKSKelompok 7

Anggota:

Dennis Adriansyah Ganda (34172)Raditya Putra (34140)

Teguh Iman Ramadhan (34084)

Efa Wakhidatus Solikhah (34160)

Munadiyan Nurhuda (34076)

Nurul Husna Ardiyanto (34154)

Supradi Sitepu (34148)

BAB IPENDAHULUAN

I. Tujuan

1. Mengetahui definisi dan konsep dasar tentang bilangan kompleks.

2. Mempelajari perhitungan bilangan kompleks.

3. Mengetahui beberapa penggunaan bilangan kompleks dalam kehidupan.

II. Latar Belakang

Dalam mempelajari mata kuliah yang ada, terkadang menemukan beberapa soal yang tergolong rumit sehingga sulit dihitung dengan penggunaan bilangan real. Maka dengan mempelajari bilangan kompleks diharapkan dapat menpermudah perhitungan.

BAB II

ISII. Definisi

Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri atas bilangan real dan bilangan imajiner yang dinotasikan dengan :

z = x + yi dimana x menunjukkan bilangan real dan y menunjukkan bilangan imajiner dengan satuan i dimana i2 = -1 II. Sifat Sifat1. Bila diketahui bilangan kompleks Z1 = x1 + y1i dan Z2 = x2 + y2i maka Z1 = Z2 jika dan hanya jika x1 = x2 dan y1 = y22. Bila diketahui bilangan kompleks Z1 = x1 + y1i dan Z2 = x2 + y2i maka :

Z1 + Z2 = (X1 + X2 ) + (Y1 + Y2 )I

Z1 . Z2 = (X1X2 Y1Y2) + (X1 Y2 + Y1 X2 )i (Penjumlahan dan Perkalian)3. Bilangan kompleks z = x + yi dengan himpunan semua bilangan kompleks dinotasikan C jadi

C = {z | z = x + yi , xR, yR }

Bila y = 0 maka z = bilangan real x

Bila x = 0 dan y 0 maka z = imajiner murni Bila x = 0 dan y = 0 maka z dinamakan satuan imajiner 4. Setiap penjumlahan dan perkalian dari bilangan kompleks juga menghasilkan bilangan kompleks

z1 + z2 C

z1 . z2 C

5. z1+z2= z2+z1 z1z2= z2z1 (Sifat Komutatif)

6. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3)(z1z2) z3= z1(z2z3) (Sifat Assosiatif)7. z1(z2+z3)=(z1z2)+(z1z3) (Sifat Distributif)8. Ada 0=0+i0 , sehingga z+0=z (0 elemen netral penjumlahan)Ada 1=1+i0 , sehingga z1=z (1elemen netral perkalian) (Element Netral)9. Untuk setiap z=x+iy(, ada z=xiy)sehingga z+(z)=0 (Lawan)10. Untuk setiap z=x+iy(, ada z-1=sehinggazz-1=1 (Kebalikan)

11. Kompleks Sekawan

Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis , didefinisikan sebagai = (x,y) = x iy.

Contoh:

sekawan dari 3 + 2i adalah 3 2i , dan sekawan dari 5i adalah 5i.

Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut : Teorema 1 :a. Jika z bilangan kompleks, maka :

1.

2.

3.

4.b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka :

1.

2.

3.

4. , dengan z20. Biasanya bilangan kompleks sekawan digunakan pada operasi pembagian bilangan kompleks. Contoh:

12. Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks

Karena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y), merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama bidang Argand atau bidang z. Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks z = x+iy = (x,y) dapat dipandang sebagai vektor z. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.

Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks Definisi 4 :

Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka modulus dari z, ditulis (z( = (x+iy( =

Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak dari titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks z1 =x1+iy1 dan z2 = x2+iy2 adalah

Selanjutnya apabila z1 =x1+iy1 dan r real positif,maka (z z1( = r merupakan lingkaran yang berpusat di titik z1 dengan jari-jari r.Bagaimanakah dengan (z z1( < r dan (z z1( > rGambarkanlah pada bidang z. Teorema 2 :

A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :

1.

2.

3.

4.

5.B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :

1.2.

3.

4.

5.1. Bukti: Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan Kompleks

Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y), bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,().

Adapun hubungan antara keduanya, dan adalah :

x = r cos( , y = r sin(,

sehingga ( = arc tan ( adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz didapat juga

Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah

z = (r, () = r(cos ( + i sin () = r cis (.

dan sekawan dari z adalah = (r, -() = r(cos ( - i sin ().Definisi 5 :

Pada bilangan kompleks z = (r, () = r(cos ( + i sin (), sudut ( disebut argument dari z, ditulis arg z. Sudut ( dengan 0 (( < 2( atau -( < ( ( ( disebut argument utama dari z, ditulis ( = Arg z. Pembatasan untuk sudut ( tersebut dipakai salah satu saja. Definisi 6 :

Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos (1 + i sin (1) dan z2 = r2(cos (2 + i sin (2) dikatakan sama, jika r1 = r2, dan (1 = (2. Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, () = r(cos ( + i sin () = r cis (, maka anda dapat menuliskan z dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = rei(, dan sekawannya adalah re-i(.BAB IIIPENUTUP1. Kesimpulan

2. Bilangan Kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan real dan bilangan imajiner yang dinotasikan dengan z = x + yi.3. Sifat Sifat Bilangan Kompleks Sifat Komutatif

Sifat Distributif

Sifat Assosiatif

Element Netral

Lawan dan Kebalikan

Sekawan Bilangan Kompleks

Interpretasi Geometri Bilangan Kompleks

4. Aplikasi bilangan kompleks salah satunya adalah dalam bidang fisika. EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

_1288592594.unknown

_1288592596.unknown

_1288592598.unknown

_1288592600.unknown

_1288592601.unknown

_1288592599.unknown

_1288592597.unknown

_1288592595.unknown

_1288592592.unknown

_1288592593.unknown

_1288592591.unknown