Bilangan Bulat Tgl 2 Nov

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Bilangan dahulunya digunakan sebagai simbol untuk menggantikan

suatu benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa

memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk

simbol. Selain itu, bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk

mengingat jumlah. Namun, dalam perkembangannya setelah para pakar

matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat

untuk mendefinisikan bilangan. Hal yang sangat penting bagi kehidupan dan

tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan sehari-hari, kita akan selalu

bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan

baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan

hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya.

Ketika bilangan maupun proses berhitung sudah semakin penting,

maka suatu suku bangsa mulai mensistematiskannya, ini dilakukan dengan

mengurutkan bilangan kedalam kelompok tertentu, ukuran kelompok

ditentukan oleh proses pemasangan anggota. Misalkan sebuah bilangan,

namakan b, dipilih sebagai basis untuk berhitung dan nama bilangan diurutkan

oleh bilangan 1,2,….,b. Nama bilangan yang lebih besar dari b diperoleh dari

kombinasi bilangan yang sudah ada.

Bilangan yang pertama kali dikenal manusia adalah bilangan asli. Hal

ini karena secara alamiah manusia akan melihat berbagai benda/objek dan

kemudian untuk keperluan tertentu mereka harus menghitungnya. Mereka

memiliki, uang, kambing, anak, pohon, saudara, dan lain-lain. Untuk

menghitung benda-benda tersebut bilangan yang digunakan adalah bilangan

asli.

Bilangan asli yang sudah dikenal tentu harus dilengkapi dengan suatu

aturan untuk mengoperasikan bilangan tersebut. Operasi tersebut adalah

penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Kita sudah mengetahui

bahwa bilangan asli bersifat tertutup terhadap penjumlahan. Artinya,

1

penjumlahan dua bilangan asli akan menghasilkan bilangan asli. Tetapi tidak

demikian dengan pengurangan. Kita akan mendapati bahwa jika sebuah

bilangan asli dikurangi dengan bilangan asli hasilnya belum tentu bilangan

asli. Sebagai contoh, 5 - 5 = 0. Perluasan ini kemudian dikenal sebagai

bilangan cacah.

Perkembangan selanjutnya, bilangan cacah pun ternyata tidak dapat

sepenuhnya merepresentasikan objek dalam dunia nyata. Dalam dunia nyata

ada orang yang memiliki uang, ada orang yang tidak memiliki uang, dan

bahkan ada orang yang memiliki utang. Keadaan pertama dapat kita tulis

dengan bilangan asli, sedangkan keadaan kedua bisa kita tulis dengan bilangan

0. Bagaimana dengan keadan yang ketiga jika yang menjadi kerangka acuan

adalah keberadaan uang. Hal ini akan membawa kita pada perluasan sistem

bilangan cacah menjadi menjadi bilangan bulat. Oleh karena itu dalam

makalah ini kami membahas mengenai bilangan bulat.

1.2 Rumusan Masalah

1.2.1 Bagaimana pengertian bilangan bulat?

1.2.2 Bagaimana hubungan antara dua bilangan bulat?

1.2.3 Bagaimana operasi bilangan bulat?

1.2.4 Bagaimana perpangkatan pada bilangan bulat positif?

1.2.5 Bagaimana operasi hitung campuran pada bilangan bulat?

1.2.6 Bagaimana perbedaan karakteristik antara bilangan cacah, asli, dan

bulat?

1.3 Tujuan

1.3.1 Untuk mengetahui pengertian bilangan bulat.

1.3.2 Untuk mengetahui hubungan antara dua bilangan bulat.

1.3.3 Untuk mengetahui operasi bilangan bulat.

1.3.4 Untuk mengetahui perpangkatan pada bilangan bulat positif.

1.3.5 Untuk mengetahui operasi hitung campuran pada bilangan bulat.

1.3.6 Untuk mengetahui perbedaan karakteristik antara bilangan cacah, asli,

dan bulat.

2

bilangan bulat negatif bilangan bulat positif bilangan 0

BAB II

PEMBAHASAN

2.1. Pengertian Bilangan Bulat

Sistem bilangan bulat tercipta sebagai perluasan sistem bilangan cacah

untuk mendapatkan bilangan yang tertutup terhadap operasi pengurangan.

Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari:

Bilangan bulat positif {1, 2, 3, 4, 5, …}

Bilangan nol : 0

Bilangan bulat negatif { …,-5,-4,-3,-2,-1}

Himpunan Bilangan bulatℤ = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … }

Garis bilangan bulat :

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan bilangan ganjil :

Bilangan bulat genap { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … }

Bilangan yang habis dibagi dengan 2

Bilangan bulat ganjil { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … }

Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa 1

Untuk setiap bilangan bulat mempunyai 2 karakteristik yaitu

a. Karakteristik tanda yang terdiri atas tanda positif dan tanda negatif.

b. Karakteristik kuantitas.

Contoh:

Bilangan 4 memiliki tanda positif dan kuantitasnya 4.

Bilangan (-7 ) memiliki tanda negatif dan kuantitasnya 7.

3

Definisi :

Sistem bilangan bulat terdiri atas himpunan ℤ = { … , -2, -1, 0, 1, 2, …}

dengan operasi biner penjumlahan dan perkalian, untuk a, b, dan c sebarang

bilangan bulat, maka berlaku sifat :

1. Tertutup terhadap operasi penjumlahan. Ada dengan tunggal ( a + b)

2. Tertutup terhadap operasi perkalian. Ada dengan tunggal ( a × b )

3. Sifat komutatif terhadap operasi penjumlahan a + b = b + a

4. Sifat komutatif terhadap operasi perkalian a × b = b × a

5. Sifat asosiatif terhadap penjumlahan ( a + b ) + c = a + ( b + c)

6. Sifat asosiatif terhadap operasi perkalian ( a × b ) × c = a × ( b × c )

7. Sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan a × ( b + c ) = ( a × b ) +

( a × c ).

8. Sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan ( a + b )× c = ( a × c ) +

( b × c ).

9. Untuk setiap a, ada tunggal elemen 0 dalam ℤ sehingga a + 0 = 0 + a = a,

0 disebut elemen identitas terhadap operasi penjumlahan pada bilangan bulat.

10. Untuk setiap a, ada tunggal elemen 1 dalam ℤ sehingga a × 1 = 1 × a = a,

1 disebut elemen identitas terhadap operasi perkalian pada bilangan bulat.

2.2 Hubungan antara Dua Bilangan Bulat

Perhatikan garis bilangan di atas.

Pada garis bilangan tersebut, makin ke kanan letak bilangan, makin

besar nilainya. Sebaliknya, makin ke kiri letak bilangan, makin kecil

nilainya. Sehingga dapat dikatakan bahwa untuk setiap p, q bilangan bulat

berlaku:

a. Jika p terletak di sebelah kanan q maka p > q dan (p – q)

menghasilkan bilangan positif.

b. Jika p terletak di sebelah kiri q maka p < q dan (p – q)

menghasilkan bilangan negatif.

4

Contoh:

Pada suatu garis bilangan, bilangan (– 4) terletak di sebelah kiri

bilangan 3 sehingga ditulis – 4 < 3 atau 3 > – 4.

Adapun bilangan (– 4) terletak di sebelah kanan (– 6) sehingga ditulis

– 4 > – 6 atau – 6 < – 4.

Jika kedua kalimat di atas digabungkan maka diperoleh – 6 < – 4 < 3

atau 3 > – 4 > – 6.

2.3 Sifat dan Operasi Bilangan Bulat

1. Sifat dan Operasi Penjumlahan Bilangan Bulat

I. Sifat Operasi Penjumlahan Bilangan Bulat

a. Sifat komutatif penjumlahan

Untuk sebarang bilangan bulat p dan q berlaku:

p + q = q + p

Contoh: 15 + (–6) = –6 + 15

b. Sifat asosiatif penjumlahan

Untuk sebarang bilangan bulat p, q, dan r maka berlaku:

(p + q) + r = p + (q + r)

Contoh: ((–3) + 4) + (–5) = –3 + (4 + (–5))

c. Sifat tertutup pada penjumlahan

Penjumlahan bilangan bulat pasti menghasilkan bilangan bulat juga.

Sifat ini disebut sifat tertutup. Jadi, untuk sembarang bilangan bulat p

dan q, maka (p + q) ∈ℤ dengan ℤ himpunan bilangan bulat.

Contoh: –12 + 8 = –4;

–12 dan 8 bilangan bulat

–4 juga bilangan bulat

d. Unsur identitas pada penjumlahan

Untuk sembarang bilangan bulat p, maka p + 0 = 0 + p = p

0 adalah unsur identitas (elemen netral) pada penjumlahan.

Contoh: –15 + 0 = 0 + (–15) = –15

5

5

=

3 (2)

+

II. Operasi penjumlahan pada bilangan bulat yaitu:

a. Jika a dan b adalah bilangan bulat positif, bagaimana kita

menyelesaikan a + b ?

Penyelesaian:

Misalkan c adalah bilangan bulat yang menyatakan a + b, yaitu

c = a + b

Contoh:

1. 3 + 2 =…

Penyelesaian dengan menggunakan garis bilangan

Dari gambar di atas diperoleh 3 + 2 = 5

Penyelesaian dengan menggunakan gambar

Dari ilustrasi di atas menambahkan kartu positif sebanyak 2

pada 3 buah kartu positif yang telah ada. Dengan demikian

diperoleh 5 buah kartu positif.

b. Jika a dan b adalah bilangan bulat positif, bagaimana kita

menyelesaikan – a + (– b ) ?

Penyelesaian:

Misalkan c adalah bilangan bulat yang menyatakan – a + (–b ),

yaitu:

c = – a + (–b ) maka

c + b = – a + (–b ) + b

c + b = – a + ( (–b ) + b )

c + b = – a + 0

( c + b ) + a = – a + a

6

-5-2

-5+(-2)= -7

(–5) –2

+

=

–7

( c + b ) + a = 0

c + ( b + a ) = 0

c + ( a + b ) = 0

c +( a + b ) + (– (a + b)) = – ( a +b)

c + (( a + b ) + (– (a + b) ) = – (a + b)

c + 0 = – ( a + b)

c = – ( a + b)

Karena c = – a + (–b ) maka –a + ( – b ) = – ( a + b).

Jadi, jika a dan b bilangan bulat positif, maka

– a + ( – b ) = – ( a + b).

Contoh: –5 + (–2) =…

Penyelesaian menggunakan garis bilangan

Dari gambar di atas diperoleh –5 + (–2) = –7

Penyelesaian menggunakan gambar

7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

Dari ilustrasi di atas:

Menambahkan kartu negatif sebanyak 2 pada 5 kartu negatif yang

telah ada. Dengan demikian, diperoleh 7 kartu negatif.

Secara matematis:

Misalkan c adalah bilangan bulat yang menyatakan –5 + (–2), yaitu

c = –5 + (–2) maka

c + 2 = –5 + (–2) + 2

c + 2 = –5 + ( (–2) + 2 )

c + 2 = –5 + 0

(c + 2) + 5 = –5 + 5

( c + 2 ) + 5 = 0

c + ( 2 + 5 ) = 0

c + ( 5 + 2 ) = 0

c +( 5 + 2 ) + (– (5 + 2)) = – ( 5 +2)

c + ((5 + 2 ) + (– (5 + 2) ) = – (5 + 2)

c + 0 = – ( 5 + 2)

c = – ( 5 + 2)

Karena c = –5 + (–2 ) maka –5 + (–2) = – (5 + 2) = –7

c. Jika a dan b bilangan bulat positif dengan a < b, bagaimana

menyelesaikan a + ( – b ) ?

Penyelesaian:

Karena a < b maka ada c > 0 sedemikian sehingga b = a + c.

Berdasarkan hal tersebut maka dari b = a + c didapat c = b – a.

a + (–b) = a + (– (a + c))

= a + ((–a) + (–c))

= (a + (–a)) + (–c)

= 0 + (–c)

= (–c)

karena c = b – a , maka a + (– b )= (–c) = – ( b – a )

8

3

–4

3+(-4)=-1

3 (-4)

(-1)

+

=

Model Pembuat Nol

Contoh: 3 + (– 4)=…

Penyelesaian menggunakan garis bilangan

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Dari ilustrasi garis bilangan di atas diperoleh 3 + (– 4) = –1


Dari ilustrasi di atas diperoleh:

Menambahkan kartu negatif sebanyak 4 pada 3 kartu positif yang

telah ada. Kemudian memasangkan kartu positif dan kartu negatif,

dimana setiap kartu yang berpasangan bernilai 0. Dengan demikian,

tersisa 1 kartu negatif.

Secara matematis:

Karena 3 < 4 maka ada c > 0 sedemikian sehingga 4 = 3 + c.

Berdasarkan hal tersebut maka dari 4 = 3 + c didapat c = 4 – 3

3 + (– 4 ) = 3 + ( – (3+c))

= 3 + ((–3) + ( –c))

= ( 3 + (– 3) )+ (–c )

9

4 (-2)

+

=

2

Model Pembuat Nol

= 0 + (–c)

= (–c)

karena c = 4 – 3 , maka 3 + ( – 4 )= (–c) = – ( 4 – 3 )= –1

d. Jika a dan b bilangan bulat positif dengan b < a, bagaimana

menyelesaikan a + (–b )?

Penyelesaian :

Karena b < a maka ada c > 0 sedemikian sehingga a = b + c.

Berdasarkan hal tersebut maka dari a = b + c didapat c = a – b

a + (–b ) = b + c + ( – b )

= b + (–b) + c

= 0 + c

= c

karena c = a – b, maka a + (–b ) = c = a – b

Contoh:

4 + (–2)=…


Menambahkan kartu negatif sebanyak 2 pada 4 kartu positif yang

telah ada. Kemudian memasangkan kartu positif dan kartu negatif,

dimana setiap kartu yang berpasangan bernilai 0. Dengan demikian,

tersisa 2 kartu positif.

10

Secara matematis:

Karena 2 < 4 maka terdapat c > 0 sedemikian sehingga 4 = 2 + c.

Berdasarkan hal tersebut maka dari 4 = 2 + c didapat c = 4 – 2

4 + (–2 ) = 2 + c + (–2)

= 2 + (–2) + c

= 0 + c

= c

karena c = 4 – 2, maka 4 + (–2 ) = c = 4 – 2 = 2

2. Sifat dan Operasi Pengurangan Bilangan Bulat

I. Sifat operasi pengurangan bilangan bulat

a. Lawan dari p adalah –p

Penjumlahan sembarang bilangan bulat dengan lawannya selalu

bernilai 0. Jadi, untuk sembarang bilangan bulat p berlaku

p + (–p) = –p + p = 0.

Contoh:

24 + (–24)= –24 + 24 = 0

b. Mengurangi dengan suatu bilangan sama dengan menambah

dengan lawan pengurangnya. Jadi, untuk sembarang bilangan bulat

p dan q selalu berlaku p – q = p + (– q).

Contoh:

8 – 4 = 8 + (–4) = 4

c. Mengurangi suatu bilangan dengan bilangan negatif sama dengan

menambah dengan lawan bilangan itu . Jadi, untuk sembarang

bilangan bulat p dan q selalu berlaku p – (–q) = p + q.

Contoh:

4– (–2) = 4 +2 = 6

–9 – (–10)= – 9 + 10 = 1

d. Pengurangan pada bilangan bulat tidak bersifat asosiatif. Untuk

sembarang bilangan bulat p, q,dan r maka ( p−q )−r≠p−(q−r )

dengan p≠q≠0

11

–

2 6

Contoh: (–10 – 5) - 2 ≠ -10 – (5 - 2))

e. Pengurangan pada bilangan bulat tidak bersifat komutatif. Untuk

sembarang bilangan bulat p, q maka ( p−q )≠(q−p) dengan

p≠q≠0

Contoh: (–10 – 5) ≠ 5 – (–10).

f. Pengurangan pada bilangan bulat bersifat tertutup, karena

pengurangan dua bilangan bulat pasti bilangan bulat juga. Jadi,

untuk setiap p, q ∈ ℤ maka (p – q) ∈ ℤ dengan ℤ himpunan

bilangan bulat.

Contoh : – 17 – (– 19) = – 17 +19

= 2

(– 17) dan (– 19) bilangan bulat, 2 juga bilangan bulat.

II. Operasi pengurangan pada bilangan bulat yaitu:

a. Jika a dan b adalah bilangan bulat positif, bagaimana kita

menyelesaikan a – b ?

Penyelesaian:

Misalkan c adalah bilangan bulat yang menyatakan a – b, yaitu

c = a – b

Contoh:

1). 2 – 6 =…

Penyelesaian dengan garis bilangan

Dari gambar di atas diperoleh 2 – 6 = –4

Penyelesaian dengan gambar

12

(-4)

Dari ilustrasi diatas diperoleh:

Karena yang ada kartu positif sebanyak 2. Sedangkan, yang

diambil kartu positif sebanyak 6. Hal ini belum bisa dilakukan.

Untuk itu, ditambahkan dulu kartu positif dan kartu negatif yang

berpasangan sampai bisa diambil kartu positif yang diinginkan.

Dengan demikian, didapat ilustrasi gambar seperti di bawah ini.

Sehingga yang tersisa, kartu negatif sebanyak 4.


2 – 6 artinya 2 diambil 6 tersisa –4.

Jadi, 2 – 6 = –4

b. Jika a dan b adalah bilangan bulat positif, bagaimana kita

menyelesaikan – a – (–b ) ?

Penyelesaian:

Misalkan c adalah bilangan bulat yang menyatakan – a – (–b ),

yaitu:

c = – a – (–b ) maka

c – b = – a – (–b ) – b

c – b = – a – ( (–b ) + b )

13

-

26

(–5) –2

– =

(–3)

c – b = – a – 0

c – b = – a

c – b + a = –a + a

c – b + a = 0

c – ( b – a ) = 0

c – ( b – a ) + (b – a) = b – a

c = b – a

Karena c = – a – (–b ) maka –a – ( – b ) = (b – a).

Jadi, jika a dan b bilangan bulat positif, maka

– a – ( – b ) = (b – a)

Contoh: –5 – (–2)=…


Dari ilustrasi diatas:

Mengambil kartu negatif sebanyak 2 pada 5 kartu negatif yang telah

ada. Sehingga didapat 3 kartu negatif.

Secara matematis:

Misalkan c adalah bilangan bulat yang menyatakan –5 – (–2), yaitu

c = – 5 – (–2 ) maka

c – 2 = – 5 – (–2 ) – 2

c – 2 = – 5 – ( –2 + 2 )

c – 2 = ( – 5 ) – 0

c – 2 = –5

c – 2 + 5 = – 5 + 5

c – 2 + 5 = 0

c – ( 2 – 5 ) = 0

c – ( 2 – 5 ) + (2 – 5) = (2 – 5)

14

6 –1

–

6 –1

c = (2 – 5)

Karena c = – 5 – (–2 ) maka –5 – ( – 2 ) = (2 – 5) = – 3 .

c. Jika a dan b bilangan bulat positif , bagaimana menyelesaikan

a – ( – b ) ?

Penyelesaian:

Misalkan c = a – (– b). maka

c – b = a – (-b) –b

c – b = a- ((-b) + b)

c – b = a – 0

c – b = a

c – b – a = a – a

c – (b +a) = 0

c – (b +a) + (b + a)= (b + a)

c = b +a

karena c = a – (-b) , maka a - (– b )= c = b + a

Contoh: 6 – (–1)=…

Penyelesaian:

Karena yang ada kartu positif sebanyak 6. Sedangkan, yang

diambil kartu negatif sebanyak 1. Hal ini belum bisa dilakukan.

Untuk itu, ditambahkan dulu kartu positif dan kartu negatif yang

berpasangan sampai bisa diambil kartu negatif yang diinginkan.

Dengan demikian, didapat ilustrasi gambar seperti dibawah ini.

15

7

Jadi, yang tersisa kartu positif sebanyak 7.

Jadi, dari gambar di atas diperoleh 6 – (–1) = 7.

Secara matematis:

Misalkan c = 6 – (– 1). maka

c – 1 = 6 – (–1) –1

c – 1 = 6 – ((–1) + 1)

c – 1 = 6 – 0

c – 1 = 6

c – 1 – 6 = 6 – 6

c – (1 +6) = 0

c – (1 + 6) + (1 + 6) = 1 + 6

c = 1 + 6

karena c = 6 – (–1) , maka 6 – (– 1 ) = c = 1 + 6 = 7

3. Sifat dan Operasi Perkalian Bilangan Bulat

I. Sifat Operasi Perkalian Bilangan Bulat

a. Sifat tertutup pada perkalian

Perkalian bilangan bulat pasti menghasilkan bilangan bulat

juga. Jadi, untuk sembarang bilangan bulat p dan q, maka (p × q) ∈ ℤ dengan ℤ himpunan bilangan bulat.

Contoh: (– 8) × 9 = – 72;

(– 8) dan 9 bilangan bulat

(–72) juga bilangan bulat

b. Sifat komutatif pada perkalian

Untuk sembarang bilangan bulat p dan q berlaku

p × q = q × p

16

Contoh:

9 × (–7) = (–7) × 9

(–8) × (–12) = (–12) × (–8)

c. Sifat asosiatif perkalian

Untuk sembarang bilangan bulat p, q, dan r berlaku

( p × q ) × r = p × ( q × r )

Contoh: ((–6) × 7) × (–8) = (–6) × (7 × (–8))

d. Unsur identitas pada perkalian

Untuk sembarang bilangan bulat p, maka: p × 1 = 1 × p = p.

1 adalah unsur identitas (elemen netral pada perkalian)

Contoh: (–10) × 1 = 1 × (–10) = –10

e. Perkalian bilangan 0

Untuk sembarang bilangan bulat p, maka: 0 × p = p × 0 = 0

Contoh: 23 × 0 = 0 × 23 = 0

f. Sifat distributif

Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan


p × (q + r) = ( p × q) + ( p × r)

Contoh: (–5) × (9 + (–1)) = ((–5) × 9) + ((–5) × (–1))

Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan


p × (q – r) = (p × q) – (p × r)

Contoh: 7 × ((–10) –12) = (7 × (–10)) – (7 × 12)

II. Operasi Perkalian Bilangan Bulat

Arti perkalian

2 × 3 = 3 + 3

= 6

4 × 5 = 5 + 5 + 5 + 5

= 20

n × b = b + b+ b+ b…b, sampai n suku

17

× × × × × × ×

a. Perkalian antara dua bilangan bulat positif

2 × 5 = 5 + 5

= 10

4 × 3 = 3+ 3 + 3 + 3

= 12

Jadi, untuk bilangan bulat a, b berlaku

a × b = ab

b. Perkalian bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif

3 × (–6) = (–6) + (–6) + (–6)

= –18

4 × (–12) = (–12) + (–12) + (–12) + (–12)

= –48


a × ( -b) = – ab

c. Perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif


(-a) × b = – (ab)

d. Perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat negatif

18

× × × × ×

×

×


(-a) × ( –b) = ab

4. Sifat dan Operasi Pembagian Bilangan Bulat

I. Sifat Operasi Pembagian Bilangan Bulat

a. Pembagian pada bilangan bulat tidak bersifat komutatif

Untuk sembarang bilangan bulat p dan q, dengan p, q ∉{0,1},

maka:

p : q ≠ q : p

Contoh: 12 : (–6) ≠ (–6) : 12

b. Pembagian pada bilangan bulat tidak bersifat asosiatif

Untuk sembarang bilangan bulat p, q, dan r dengan p, q, r ∉{0,1}

maka:

(p : q) : r ≠ p : (q : r)

Contoh: ((–48) : 8): (–2) ≠ (–48) : (8 : (–2))

c. Pembagian pada bilangan bulat tidak bersifat tertutup, karena

pembagian dua bilangan bulat tidak selalu menghasilkan bilangan

bulat.

Terdapat p, q ∈ℤ sehingga (p : q) ∉ℤ dengan ℤ himpunan

bilangan bulat.

Contoh: (–4) : 8 = −1

2 ; (–4) dan 8 bilangan bulat.

Sedangkan (−12 )∉bilangan bulat

19

d. Hasil bagi bilangan bulat dengan 0, hasilnya adalah tidak

terdefinisi

Jika a adalah bilangan bulat, maka:

a : 0 → tidak terdefinisi (~)

0 : a → 0 (nol)

Contoh:

1. 5 : 0 = tidak terdefinisi ( ~)

2. 0 : 2 = 0

II. Operasi Pembagian Bilangan Bulat

Operasi pembagian merupakan kebalikan dari operasi perkalian

18 : 3 = 6 6 × 3 = 18

36 : 4 = 9 9 × 4 = 36

Jadi, untuk bilangan bulat a, b, dan c berlaku

a: b= c c × b = a

a. Pembagian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif

– 18 : 6 = – 3 – 3 × 6 = –18

– 32 : 4 = – 8 – 8 × 4 = – 32

– 45 : 9 = – 5 – 5 × 9 = – 45

Jadi untuk bilangan bulat a, b, dan c berlaku

( –a): b= c c × b =( –a)

b. Pembagian bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif

18 : (– 3) = –6 – 6 × (– 3) = 18

36 : (– 4) = – 9 – 9 × (- 4) = 36

24 : (– 6) = – 4 – 4 × (– 6) = 24

Jadi untuk bilangan bulat a, b, dan c berlaku

a : (–b)= c ….. c × ( –b) = a

c. Pembagian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat negatif

–18 : (– 3) = 6 . 6 × (– 3) = –18

– 42 : (–6) = 7 . 7 × (– 6) = – 42

–72 : (– 8) = 9 . 9 × (– 8) = –72

20

Jadi, untuk bilangan bulat a, b, dan c berlaku

-a: (– b)= c … c × ( – b) = –a

2.4 Perpangkatan Bilangan Bulat Positif

1. Pengertian Perpangkatan Bilangan

Kuadrat atau pangkat dua suatu bilangan adalah mengalikan suatu

bilangan dengan bilangan itu sendiri. Lebih lanjut, perpangkatan suatu

bilangan artinya perkalian berulang dengan bilangan yang sama.

Perhatikan perpangkatan bilangan pokok 2 berikut.

21 = 2

22 = 2 × 2 (22 dibaca 2 kuadrat atau 2 pangkat 2)

= 4

23 = 2 × 2 × 2 (23 dibaca 2 pangkat 3)

= 8

2n = 2 × 2 × 2 × …× 2 (2n dibaca 2 pangkat n)

sebanyak n faktor

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk sebarang

bilangan bulat p dan bilangan bulat positif n, berlaku

pn = p × p × p × …× p

sebanyak n faktor

dengan p disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat (eksponen). Untuk

p ≠ 0 maka p0 = 1 dan p1 = p. Pada pembahasan kali ini, kita hanya akan

membahas perpangkatan bilangan bulat dengan pangkat bilangan bulat

positif.

2. Sifat-Sifat Bilangan Bulat Berpangkat Bilangan Bulat Positif

a. Sifat perkalian bilangan bulat berpangkat bilangan bulat positif

Perhatikan perkalian bilangan bulat berpangkat berikut.

32 × 33 = (3 × 3) × ( 3 × 3 × 3)

21

2 faktor 3 faktor

= (3 × 3 × 3 × 3 × 3)

5 faktor

.= 35

Jika m, n bilangan bulat positif dan p bilangan bulat maka

pm × pn = (p × p × p ×…× p) × ( p × p × p × …× p)

m faktor . n faktor

= p × p × p ×…× p × p × p × p ×…× p

(m+n) faktor

= pm+n

Jadi, pm × pn = pm+n

b. Sifat pembagian bilangan bulat berpangkat bilangan bulat positif

Untuk memahami sifat pembagian bilangan berpangkat,

perhatikan pembagian bilangan bulat berpangkat berikut:

55 : 53 = (5 × 5 × 5 × 5 × 5) : (5 × 5 × 5)

5 faktor 3 faktor

= 5 × 5

= 52


pm : pn = ( p × p × …× p) : (p × p ×…× p)

m faktor n faktor

= ( p × p × …× p)

(m-n) faktor

= pm-n

Jadi, pm : pn = pm-n

22

c. Sifat perpangkatan bilangan bulat berpangkat bilangan bulat positif

Untuk memahami sifat perpangkatan bilangan bulat berpangkat

perhatikan hal berikut:

(22)3 = (22) × (22) × (22)

= (2 × 2) × ( 2 × 2) × ( 2 × 2)

2 faktor 2 faktor 2 faktor

= (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2)

6 faktor

= 26


(pm)n = (pm) × (pm) × …× (pm)

n faktor

= (p × p × …× p) × (p × p × …× p) × (p × p × …× p)

m faktor m faktor m faktor

n faktor

= (p × p × …× p × p × p × …× p × p × p × …× p)

(m × n) faktor

= pm×n

Jadi, (pm)n = p m×n

d. Sifat perpangkatan bilangan bulat positif dalam perkalian atau

pembagian

Sifat perpangkatan bilangan bulat positif dalam perkalian

Untuk memahami sifat perpangkatan dalam perkalian,

perhatikan uraian berikut:

(5 × 2)3 = 103 = 10 × 10 × 10 = 1.000

23

(5 × 2)3 = 53 × 23 = 125 × 8 = 1.000

(2 × 3)2 = 62 = 6 × 6 = 36

(2 × 3)2 = 22 × 32 = 4 × 9 = 36

Berdasarkan uraian di atas, dapat kita tuliskan sebagai berikut:

Jika m bilangan bulat positif dan p, q bilangan bulat maka

(p × q)m = (p × q) × (p × q) × … × (p × q)

m faktor

= (p × p × …× p) × (q × q ×…× q)

m faktor m faktor

= pm × q m

Jadi, (p × q)m = pm ×q m

Sifat perpangkatan bilangan bulat positif dalam pembagian

Untuk memahami sifat perpangkatan dalam pembagian,

perhatikan uraian berikut:

(8 : 2)3 = 43 = 4 × 4 × 4 = 64

(8 : 2)3 = 83 : 23 = 512 : 8 = 64

(6 : 3)2 = 22 = 2 × 2 = 4

(6 : 3)2 = 62 : 32 = 36 : 9 = 4

Berdasarkan uraian di atas, dapat kita tuliskan sebagai berikut:

Jika m bilangan bulat positif dan p, q bilangan bulat maka

(p : q)m = (p : q) × (p : q) × … × (p : q)

m factor

= (p × p × …× p) : (q × q ×…× q)

m faktor m faktor

= pm : q m

Jadi, (p : q)m = pm : q m

24

3. Kuadrat dan Akar Kuadrat serta Pangkat Tiga dan Akar Pangkat

Tiga Bilangan Bulat Positif

a. Kuadrat dan akar kuadrat bilangan bulat positif

Kalian telah mengetahui bahwa a2 = a × a di mana a2 dibaca a

kuadrat atau a pangkat dua. Jika a = 2 maka a2 = 2 × 2 = 4. Hal ini

dapat ditulis √a2 = √4 = √22 = 2. √4dibaca akar pangkat dua dari 4

atau akar kuadrat dari 4.

Contoh : √81 = b 81 = 92 = 9 × 9 b = 9

√20= b 20 = b2 b = nilainya tidak bulat

√20=√4×5=√4×√5=2√5Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut. a2 = b sama

artinya dengan √b=a.

b. Pangkat tiga dan akar pangkat tiga bilangan bulat positif

Di bagian depan telah dijelaskan bahwa operasi perpangkatan

merupakan perkalian berulang dengan unsur yang sama. Hal ini juga

berlaku pada bilangan berpangkat tiga a3 = a × a × a. Bentuk a3 disebut

pangkat tiga dari a.

Jika a = 2 maka a3 = 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Hal ini dapat ditulis pula

bahwa 3√8=2 dan dibaca akar pangkat tiga dari 8 = 2.

a3 = b sama artinya dengan 3√b=a

Contoh:

3√27=b 27 = 33 = 3 × 3 × 3 b = 3

3√54=.. . 3√27×2=

3√27×3√2 = 33√2

2.5 Operasi Hitung Campuran pada Bilangan Bulat

Dalam menyelesaikan operasi hitung bilangan bulat, terdapat dua hal

yang perlu kalian perhatikan, yaitu:

1. Tanda operasi hitung

2. Tanda kurung

25

Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat terdapat

tanda kurung, pengerjaan yang berada dalam tanda kurung harus dikerjakan

terlebih dahulu.

Apabila dalam suatu operasi hitung bilangan bulat tidak terdapat

tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut.

1. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi

yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

2. Operasi perkalian (×) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang

terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

3. Operasi perkalian (×) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi

penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasi perkalian (×) dan

pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+)

dan pengurangan (–).

Contoh:

1. 4 x 5 – 6 : 2

Penyelesaian:

(4 x 5) – 8 : 2 = 20 – 8 : 2

= 20 – 4

= 16

2. Tina memiliki 60 permen lolipop, dia memberikannya secara merata

kepada 3 orang keponakannya yaitu Ika, Ulan, dan Gunarta. Kemudian

adik Ika yang bernama Dwi datang meminta bagian permen. Karena Dwi

menangis merengek meminta permen, Ika, Ulan, dan Gunarta masing-

masing memberikan 4 bagian permennya kepada Dwi. Berapakah sisa

permen yang dimiliki Ika?

Penyelesaian:

Dari soal diatas, diketahui bahwa 60 permen Tina dibagikan

kepada 3 orang keponakannya, ini berarti Ika, Ulan, dan Gunarta masing-

masing memiliki 20 permen. Karena Dwi menangis, Ika, Ulan, dan

Gunarta masing-masing memberikan 4 buah permennya kepada Dwi

sehingga masing-masing permen yang dimiliki mereka dikurangi 4 buah.

Jadi permen yang dimiliki Ika sekarang adalah 60 : 3 – 4 = 16.

26

3. Semula Andi memiliki 10 buah kelereng. Saat bermain kelereng bersama

teman-temannya, Andi menang dan jumlah kelerangnya menjadi 3 kali

lipat dari semula. Kemudian keesokan harinya ibu Andi membelikan

Andi 5 buah kelereng. Akan tetapi karena kecerobohan Andi, 2 buah

kelereng hilang. Berapakah kelerang yang dimiliki Andi sekarang?

Penyelesaian:

Dari soal di atas, diketahui bahwa mula-mula Andi memiliki 10

kelereng, karena menang dalam permainan, kelereng Andi menjadi 3 kali

semula. Ini berarti jumlah kelereng Andi menjadi 10 x 3 = 30. Kemudian

karena ibunya membelikan 5 buah kelereng dan karena 2 kelerengnya

hilang, ini berarti kelereng yang dimiliki Andi sekarang adalah 10 x 3 + 5

– 2 = 33.

2.6 Perkembangan Antara Bilangan Asli, Cacah, dan Bulat

Secara sederhana, sejarah bilangan dapat dimulai dengan bilangan asli.

Bilangan asli merupakan bilangan yang pertama kali dikenal manusia. Hal

ini, karena secara alamiah manusia akan melihat berbagai benda/objek dan

kemudian untuk keperluan tertentu mereka harus menghitungnya. Mereka

memiliki, uang, kambing, anak, pohon, saudara, dan lain-lain. Untuk

menghitung benda-benda tersebut bilangan yang digunakan adalah bilangan

asli. Tentu saja mereka tidak menyadari bahwa bilangan yang mereka

gunakan untuk menghitung tersebut adalah bilangan asli. Penamaan tersebut

dilakukan setelah jaman modern untuk keperluan pengembangan ilmu

pengetahuan. Dengan demikian, kita dapat mendefinisikan bahwa bilangan

asli adalah bilangan yang digunakan untuk menghitung. Notasi himpunan

bilangan asli adalah ℕ. Anggota bilangan asli adalah ℕ ={1,2,3,…}.

Bilangan asli yang sudah dikenal tentu harus dilengkapi dengan suatu

aturan untuk mengoperasikan bilangan tersebut. Operasi tersebut adalah

penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Kita sudah

mengetahui bahwa bilangan asli bersifat tertutup terhadap penjumlahan.

Artinya, penjumlahan dua bilangan asli akan menghasilkan bilangan asli.

Tetapi tidak demikian dengan pengurangan. Kita akan mendapati bahwa jika

27

sebuah bilangan asli dikurangi dengan bilangan asli hasilnya belum tentu

bilangan asli. Sebagai contoh, 5 - 5 = 0. Jelas bahwa bukan anggota bilangan

asli. Oleh karena itu, sistem bilangan asli harus diperluas dengan

menyertakan 0 sebagai anggota. Perluasan ini kemudian dikenal sebagai

bilangan cacah.

Perkembangan selanjutnya, bilangan cacah pun ternyata tidak dapat

sepenuhnya merepresentasikan objek dalam dunia nyata. Dalam dunia nyata

ada orang yang memiliki uang, ada orang yang tidak memiliki uang, dan

bahkan ada orang yang memiliki utang. Keadaan pertama dapat kita tulis

dengan bilangan asli, sedangkan keadaan kedua bisa kita tulis dengan

bilangan 0. Bagaimana dengan keadaan yang ketiga jika yang menjadi

kerangka acuan adalah keberadaan uang. Hal ini akan membawa kita pada

perluasan sistem bilangan cacah menjadi menjadi bilangan bulat. Perluasan

bilangan bulat dapat juga dijelaskan dengan operasi pada dua bilangan bulat.

Dengan operasi pengurangan, ternyata diketahui bahwa jika dua bilangan

cacah dikurangkan maka hasilnya belum tentu bilangan cacah. Sebagai

contoh, 6 – 4 = 2 dan 2 masih merupakan bilangan cacah, tetapi 4 – 6 tidak

ada interpretasinya dalam bilangan cacah. Selanjutnya digunakan bilangan

negatif untuk menyatakan hasil 4 – 6. Dengan demikian, karena 4 – 6

merupakan kebalikan dari 6 –4, maka 4 – 6 = –2. Gabungan bilangan cacah

dengan bilangan negatif ini yang kemudian membentuk bilangan bulat.

Notasi himpunan bilangan bulat adalah ℤ , dan anggota bilangan bulat adalah ℤ ={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}.

Perhatikan bahwa -2 tidak hanya dihasilkan dari 4 – 6, tetapi dapat

juga dihasilkan dari 5 – 7, 10 – 12, 20 – 22 dan masih banyak lagi.

Berdasarkan hal tersebut, setiap bilangan bulat mewakili suatu hasil

pengurangan dalam cacah. Sebagai contoh, bilangan 2 mewakili hasil-hasil

dari {2 – 0, 3 – 1, 4 – 2, …}. Bilangan –3 mewakili hasil-hasil dari {0 – 3, 2,

5, 7 – 10, …}. Hal ini berarti anggota himpunan bilangan bulat adalah hasil

operasi pengurangan pada bilangan cacah.

Bilangan bulat yang disertai dengan operasi penjumlahan dan

perkalian membentuk struktur tertentu dalam matematika. Struktur yang

28

dimiliki bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan, sistem bilangan bulat

membentuk grup yang komutatif (grup abelian). Hal ini berarti terhadap

penjumlahan bilangan bulat bersifat tertutup, asosiatif, memiliki unsur

identitas, memiliki invers (lawan) dan komutatif. Terhadap perkalian,

bilangan bulat memiliki sifat, tertutup, komutatif, asosiatif, dan mempunyai

unsur identitas. Dengan demikian, sistem bilangan bulat memiliki sifat yang

lebih lengkap daripada sistem bilangan sebelumnya.

Skema perkembangan bilangan bulat

Bilangan Asli

Bilangan Cacah

Bilangan Bulat

29

BAB III

PENUTUP

3.1 Simpulan

Sistem bilangan bulat tercipta sebagai perluasan sistem bilangan cacah

untuk mendapatkan bilangan yang tertutup terhadap operasi pengurangan.

Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari:

Bilangan bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …)

Bilangan nol : 0

Bilangan bulat negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1)

Untuk setiap bilangan bulat mempunyai 2 karakteristik yaitu

a. Karakteristik tanda yang terdiri atas tanda positif dan tanda negatif.

b. Karakteristik kuantitas.

Hubungan antara dua bilangan bulat p, q yaitu

a. Jika p terletak di sebelah kanan q maka p > q dan (p–q) menghasilkan

bilangan positif.

b. Jika p terletak di sebelah kiri q maka p < q dan (p–q) menghasilkan

bilangan negatif.

Terdapat 4 operasi pada bilangan bulat yaitu: operasi penjumlahan,

pengurangan, perkalian, dan pembagian.

Kuadrat atau pangkat dua suatu bilangan adalah mengalikan suatu

bilangan dengan bilangan itu sendiri. Lebih lanjut, perpangkatan suatu

bilangan artinya perkalian berulang dengan bilangan yang sama.

3.2 Saran

Dalam matematika, bilangn bersifat sangat mendasar sehingga mendasari

hampir semua cabang matematika. Maka dari itu, sebaiknya pembaca dapat

mengaplikasikan bilangan dengan kehidupan sehari-hari sehingga dapat

memudahkan dalam mempelajari bilangan.

30

Bilangan Bulat Tgl 2 Nov

Documents

Transcript of Bilangan Bulat Tgl 2 Nov