BIDANG MATEMATIKA SMP · Oleh karena 28 tidak mempunyai faktor ganjil selain 1, ... A. =74° ;...

Halaman 1 dari 18

MIFTAH MATHEMATICS REVOLUTION (MMR)

083831611481

SOLUSI

OLIMPIADE SAINS TINGKAT KABUPATEN/KOTA 2018

BIDANG MATEMATIKA SMP


SURABAYA

2018

Halaman 2 dari 18


083831611481

SOLUSI OSK SMP 2018

Oleh : Miftahus Saidin

1. Diketahui 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 adalah tiga bilangan bulat positif. Tiga bilangan terurut (𝑥, 𝑦, 𝑧) memenuhi

(3𝑥 + 𝑦)2𝑧 = 256 ada sebanyak ...

A. 6

B. 90

C. 91

D. 128

Jawaban : A

(3𝑥 + 𝑦)2𝑧 = 256 = 28

𝑥, 𝑦, dan 𝑧 adalah tiga bilangan bulat positif, maka 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≥ 1, akibatnya 3𝑥 + 𝑦 ≥ 4.

Oleh karena 28 tidak mempunyai faktor ganjil selain 1, maka 3𝑥 + 𝑦 dan 2𝑧 keduamya pasti bilangan

genap. Jadi, hanya ada 2 kemungkinan, yaitu :

(3𝑥 + 𝑦)2𝑧 = 44 ------> 3𝑥 + 𝑦 = 4 dan 2𝑧 = 4, diperoleh (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 1, 2)

(3𝑥 + 𝑦)2𝑧 = 162 ------> 3𝑥 + 𝑦 = 16 dan 2𝑧 = 2,

diperoleh (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 13, 1), (2, 10, 1), (3, 7, 1)(4, 4, 1), (5, 1, 1)

Jadi ada 6 solusi.

2. Rata-rata usia sepasang suami isteri pada saat mereka menikah adalah 25 tahun. Rata-rata usia keluarga

pada saat anak pertama mereka lahir adalah 18 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak kedua

lahir adalah 15 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak ketiga dan keempat lahir (kembar) adalah

12 tahun. Jika saat ini rata-rata usia enam orang ini adalah 16 tahun, maka usia anak pertama adalah

... tahun

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

Jawaban : C

Misalkan saat ini usia Ayah, Ibu, Anak pertama, Anak kedua, Anak ketiga, dan Anak keempat (dalam

tahun) berturut-turut adalah 𝐴, 𝐼, 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, dan 𝐴4.

Karena anak ketiga dan keempat kembar maka 𝐴3 = 𝐴4.

Rata-rata usia keluarga saat ini adalah 16 tahun, maka

𝐴 + 𝐼 + 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4 = 6(16) = 96

𝐴 + 𝐼 + 𝐴1 + 𝐴2 + 2𝐴3 = 96 ....................................................... (1)

Halaman 3 dari 18


083831611481

Pada saat anak ketiga dan keempat lahir (kembar), maka

usia Ayah = (𝐴 − 𝐴3) tahun

usia Ibu = (𝐼 − 𝐴3) tahun

usia Anak pertama = (𝐴1 − 𝐴3) tahun

usia Anak kedua = (𝐴2 − 𝐴3) tahun

usia Anak ketiga = usia Anak keempat = 0 tahun.

Rata-rata usia keluarga pada saat anak ketiga dan keempat lahir (kembar) adalah 12 tahun, maka

𝐴 − 𝐴3 + 𝐼 − 𝐴3 + 𝐴1 − 𝐴3 + 𝐴2 − 𝐴3 = 6(12) = 72

𝐴 + 𝐼 + 𝐴1 + 𝐴2 − 4𝐴3 = 72 ........................................................... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) :

𝐴 + 𝐼 + 𝐴1 + 𝐴2 + 2𝐴3 = 96

𝐴 + 𝐼 + 𝐴1 + 𝐴2 − 4𝐴3 = 72 −

6𝐴3 = 24, diperoleh 𝐴3 = 4.

Selanjutnya 𝐴3 = 4 disubtitusikan ke persamaan (1), diperoleh :

𝐴 + 𝐼 + 𝐴1 + 𝐴2 = 88 ...................................................................... (3)

Pada saat anak kedua lahir, maka



usia Anak pertama = (𝐴1 − 𝐴2) tahun

usia Anak kedua = 0 tahun.

Rata-rata usia keluarga pada saat anak kedua lahir adalah 15 tahun, maka

𝐴 − 𝐴2 + 𝐼 − 𝐴2 + 𝐴1 − 𝐴2 = 4(15) = 60

𝐴 + 𝐼 + 𝐴1 − 3𝐴2 = 60 ................................................................... (4)


𝐴 + 𝐼 + 𝐴1 + 𝐴2 = 88

𝐴 + 𝐼 + 𝐴1 − 3𝐴2 = 60 −


Selanjutnya 𝐴2 = 7 disubtitusikan ke persamaan (3), diperoleh :

𝐴 + 𝐼 + 𝐴1 = 81 ...................................................................... (5)

Pada saat anak pertama lahir, maka



usia Anak pertama = 0 tahun

Rata-rata usia keluarga pada saat anak pertama lahir adalah 18 tahun, maka

𝐴 − 𝐴1 + 𝐼 − 𝐴1 = 3(18) = 54

Halaman 4 dari 18


083831611481

𝐴 + 𝐼 − 2𝐴1 = 54 ........................................................................ (6)


𝐴 + 𝐼 + 𝐴1 = 81

𝐴 + 𝐼 − 2𝐴1 = 54 −


Jadi, usia anak pertama saat ini adalah 9 tahun.

3. Diketahui sisi-sisi trapesium adalah 5 cm, 7 cm, 7 cm, dan 13 cm. Pernyataan dibawah ini yang salah

adalah ...

A. Tinggi trapesium = √33

B. Tinggi trapesium = 2√6

C. Luas trapesium = 10√6

D. Luas trapesium = 9√33

Jawaban : C

Hanya ada 2 kemungkinan trapesium yang memenuhi, yaitu trapesium ABCD dan PQRS seperti pada

gambar di bawah ini.

Jadi, pernyataan yang salah adalah pernyataan C

A 5

B

F E C D 5

7 7

4 4

Q

S R

P

Tinggi trapesium ABCD

=𝐴𝐸 = √72 − 42 = √33.

Luas trapesium ABCD

= 1

2(𝐴𝐵 + 𝐶𝐷)𝐴𝐸

= 1

2(5 + 13)(√33)

= 9√33.

T U

Ambil titik T pada RS sehingga PT sejajar QR

Dari ∆𝑃𝑈𝑇 diperoleh :

𝑡2 = 49 − (6 − 𝑥)2 = 13 + 12𝑥 − 𝑥2

Dari ∆𝑃𝑈𝑇 diperoleh :

𝑡2 = 25 − 𝑥2

13 + 12𝑥 − 𝑥2 = 25 − 𝑥2, diperoleh 𝑥 = 1

Tinggi trapesium PQRS =𝑡 = √25 − 1 = 2√6.

Luas trapesium PQRS = 1

2(𝑃𝑄 + 𝑆𝑅)𝑡 = 20√6.

𝑥 6 − 𝑥

𝑡 7

7

7

7

5

Halaman 5 dari 18


083831611481

4. Bilangan prima 𝑝 dan 𝑞 masing dua digit. Hasil penjumlahan 𝑝 dan 𝑞 adalah bilangan dua digit yang

digitnya sama. Jika bilangan tiga digit 𝑟 merupakan perkalian 𝑝 dan 𝑞 maka dua nilai 𝑟 yang mungkin

adalah ...

A. 121 atau 143

B. 169 atau 689

C. 403 atau 989

D. 481 atau 121

Jawaban : C

Perhatikan bahwa bilangan prima 2 digit pasti bilangan ganjil sehingga

𝑝 + 𝑞 = 22, 44, 66, 88

Jika 𝑝 + 𝑞 = 22, maka pasangan (𝑝, 𝑞) yang memnuhi adalah (11,11)

Nilai dari 𝑟 yang memenuhi adalah 121.

Jika 𝑝 + 𝑞 = 44, maka pasangan (𝑝, 𝑞) yang memenuhi adalah (13, 31) dan permutasinya.

Nilai dari 𝑟 yang memenuhi adalah 403.

Jika 𝑝 + 𝑞 = 66, maka pasangan (𝑝, 𝑞) yang memenuhi adalah (13,53), (19, 47), (23, 43) dan

permutasinya. Nilai dari 𝑟 yang memenuhi adalah 689, 893, dan 989.

Jika 𝑝 + 𝑞 = 88, maka 𝑟 bukan bilangan tiga digit.

Jadi, jawaban C

5. Nilai sudut 𝑥 dan 𝑦 pada gambar berikut

adalah ....

A. 𝑥 = 74° ; 𝑦 = 104°

B. 𝑥 = 37° ; 𝑦 = 104°

C. 𝑥 = 74° ; 𝑦 = 114°

D. 𝑥 = 37° ; 𝑦 = 106°

61°

135°

2𝑥

𝑦

Halaman 6 dari 18


083831611481

Jawaban : D

𝟐𝒙 = 𝟕𝟒 ------> 𝒙 = 𝟑𝟕.

𝒚 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟕𝟒 = 𝟏𝟎𝟔.

6. Misalkan 𝑈𝑛 dan 𝑆𝑛 masing-masing menyatakan suku ke-𝑛 dan jumlah 𝑛 suku pertama dari suatu

barisan. Jika 𝑆𝑛 =𝑛2−𝑛

2𝑛 maka 𝑈2 − 𝑈4 + 𝑈6 = ⋯

A. 𝟔

𝟑𝟐

B. 𝟏𝟏

𝟑𝟐

C. 𝟏

𝟐

D. 𝟐𝟏

𝟑𝟐

Jawaban : B

Perhatikan bahwa :

𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + … … … + 𝑈𝑛−1 + 𝑈𝑛

𝑆𝑛−1 = 𝑈1 + 𝑈2 + … … … + 𝑈𝑛−1

𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1

𝑈2 = 𝑆2 − 𝑆1 =22 − 2

22 −12 − 1

21 =1

2− 0 =

1

2.

𝑈4 = 𝑆4 − 𝑆3 =42 − 4

24−

32 − 3

23=

3

4−

3

4= 0.

𝑈6 = 𝑆6 − 𝑆5 =62 − 6

26 −52 − 5

25 =15

32−

20

32= −

5

32.

𝑈2 − 𝑈4 + 𝑈6 =1

2− 0 −

5

32=

11

32.

7. Jika 𝑥 dan 𝑦 adalah bilangan genap dengan 𝑥 < 𝑦, maka bilangan genap yang lebih besar daripada 𝑥

dan lebih kecil dari pada y ada sebanyak .....

61°

61°

74° 74°

2𝑥

𝑦

Halaman 7 dari 18


083831611481

A. 𝑦 − 𝑥 − 2

2

B. 𝑦 − 2𝑥

2

C. 𝑦 − 2𝑥

D. 𝑦 − 𝑥 − 2

Jawaban : A

Misalkan 𝑥 = 2𝑚 dan 𝑦 = 2(𝑚 + 𝑘) dengan 𝑘 bilangan asli.

Bilangan genap yang lebih besar dari 𝑥 dan kurang dari 𝑦 adalah

2(𝑚 + 1), 2(𝑚 + 2), (2𝑚 + 3), … … … , 2(𝑚 + 𝑘 − 1)

Banyaknya bilangan genap yang lebih besar dari 𝑥 dan kurang dari 𝑦

= 𝑘 − 1 =2𝑚 + 2𝑘 − 2𝑚 − 2

2=

2(𝑚 + 𝑘) − 2𝑚 − 2

2=

𝑦 − 𝑥 − 2

2.

8. Diberikan bilangan asli dua digit. Peluang bahwa bilangan tersebut memiliki digit penyusun prima

dan bersisa 3 jika dibagi 7 adalah ....

A. 1

45

B. 1

30

C. 1

8

D. 1

4

Jawaban : A

Bilangan-bilangan dua digit yang bersisa 3 jika dibagi 7 adalah 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, 66, 73,

80, 87, dan 94.

Ada 2 bilangan yang digit-digit penyusunnya bilangan prima, yaitu 52 dan 73.

Ada sebanyak 90 bilangan 2 digit.

Jadi peluang bahwa bilangan tersebut memiliki digit penyusun prima dan bersisa 3 jika dibagi 7

adalah 2

90=

1

45

9. Perhatikan grafik berikut ini yang menampilkan profil PT ABC dari sisi jenis kelamin, usia, dan rata-

rata penjualan per minggu yang dihasilkan oleh stafnya. Diketahui semua staf di bawah 35 tahun

adalah pria dan semua staf 45 tahun ke atas adalah wanita. Dua pertiga dari staf berusia 35-44 tahun

adalah pria.

Halaman 8 dari 18


083831611481

Pembulatan persentase penjualan oleh staf pria PT ABC terhadap keseluruhan hasil penjualan adalah...

A. 81%

B. 76%

C. 71%

D. 66%

Jawaban : A

Hasil penjualan staf pria = 20 x 3500 + 40 x 4000 + 2/3 x 15 x 3500 = 265000.

Total hasil penjualan seluruh staf

= 20 x 3500 + 40 x 4000 + 2/3 x 15 x 3500 + 1/3 x 15 x 3000 + 10 x 3000 + 5 x 3500

= 327500

Persentase penjualan oleh staf pria =265000

327500× 100% = 80,9% ≈ 81%.

10. Diberikan jajar genjang ABCD dengan AB = 10 cm. Titik P berada di garis diagonal BD dan sebagai

titik potong garis BD dan AQ, serta titik Q terletak pada CD dan BP = 2DP. Panjang DQ adalah ... cm

A. 2

B. 𝟏𝟎

𝟑

C. 4

D. 5

𝛼

4500

4000

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

45

40

35

30

25

20

15

10

5

0

Rata-rata penjualan per m

inggu (dalam

rib

uan rup

iah)

Jum

lah staf

< 25 25 − 34 35 − 44 45 − 54 54 +

Usia staf

Jumlah Staf

Penjualan oleh Staf Pria

Penjualan oleh Staf Wanita

Halaman 9 dari 18


083831611481

Jawaban : D

Perhatikan gambar di bawah ini !

Perhatikan bahwa dua sudut pada ∆𝐷𝑃𝑄 dan ∆𝐵𝐴𝑃 sama, akibatnya ∆𝐷𝑃𝑄 ~ ∆𝐵𝐴𝑃 sehingga berlaku

𝐷𝑄

𝐴𝐵=

𝐷𝑃

𝐵𝑃=

1

2

diperoleh 𝐷𝑄 =1

2𝐴𝐵 = 5 cm.

11. Diketahui tabel distribusi nilai siswa kelas A dan kelas B sebagai berikut.

Pernyataan berikut ini yang benar adalah ...

A. Median nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B

B. Mean nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B

C. Modus nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B

D. Jawaban A, B, dan C salah

Kelas A

Nilai Frekuensi

65 4

70 3

75 6

80 7

85 6

90 5

95 4

100 1

Kelas B

Nilai Frekuensi

65 6

70 4

75 6

80 3

85 7

90 6

95 2

100 2

𝛼

𝛼 𝜑

𝜑

A

D C Q

P

B

Halaman 10 dari 18


083831611481

Jawaban : A

Jadi, median nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B.

12. Untuk pada sebuah laci terdapat bebrapa kaos kaki berwarna putih dan berwarna hitam. Jika dua kaos

kaki diambil secara acak, maka peluang terpilihnya kedua kaos kaki berwaran putih adalah 1

2. Jika

banyaknya kaos kaki berwarna hitam adalah genap, maka paling sedikit kaos kai berwarna putih

adalah ...

A. 12

B. 15

C. 18

D. 21

Jawaban : B

Misalkan 𝑝 dan ℎ berturut-turut adalah banyaknya kaos kaki putih dan hitam.

Peluang terambil 2 kaos kaki putih = 1

2 maka

𝐶2𝑝

𝐶2𝑝+ℎ

=1

2 ⟶

𝑝(𝑝 − 1)

(𝑝 + ℎ)(𝑝 + ℎ − 1)=

1

2 ⟶ 2𝑝2 − 2𝑝 = 𝑝2 + 2𝑝ℎ + ℎ2 − 𝑝 − ℎ

Kelas A

Nilai (𝑥) Frekuensi(𝑓) 𝑓 ∙ 𝑥

65 4 260

70 3 210

75 6 450

80 7 560

85 6 510

90 5 450

95 4 380

100 1 100

jumlah 36 2920

Mean nilai kelas A =2920

36= 81,111

Median nilai kelas A = 80

Modus nilai kelas A = 80

Kelas B

Nilai (𝑥) Frekuensi(𝑓) 𝑓 ∙ 𝑥

65 6 390

70 4 280

75 6 450

80 3 240

85 7 595

90 6 540

95 2 190

100 2 200

jumlah 36 2885

Mean nilai kelas A =2885

36= 80,138

Median nilai kelas A = 80

Modus nilai kelas A = 85

Halaman 11 dari 18


083831611481

𝑝2 − (2ℎ + 1)𝑝 + ℎ − ℎ2 = 0 ⟶ 𝑝 =2ℎ + 1 + √8ℎ2 + 1

2

Karena ℎ genapa maka ℎ = 2, 4, 6, 8, ….

Untuk ℎ = 2 ⟶ 𝑝 =5+√33

2 (𝑝 bukan bilangan bulat. Jadi, tidak memenuhi)

Untuk ℎ = 4 ⟶ 𝑝 =9+√129

2 (𝑝 bukan bilangan bulat. Jadi, tidak memenuhi)

Untuk ℎ = 6 ⟶ 𝑝 =13+√189

2= 15.

Jadi, nilai minimum dari 𝑝 = 15.

13. Diketahui 𝐹 = {9, 10, 11, 12, 13, … … … , 50} dan 𝐺 adalah himpunan bialangan-bilangan yang angota-

anggotanya dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan tiga atau lebih bilangan asli berurutan.

Anggota 𝐺 ∩ 𝐹 sebanyak ...

A. 14

B. 26

C. 29

D. 36

Jawaban : C

Penjumlahan tiga atau lebih bilangan asli berurutan dapat ditulis menjadi

𝑛 + 1 + 𝑛 + 2 + … + 𝑛 + 𝑘, dengan 𝑛 bilangan bulat non negatif dan 𝑘 ≥ 3

𝑛 + 1 + 𝑛 + 2 + … … … + 𝑛 + 𝑘 = 𝑛𝑘 +𝑘(𝑘 + 1)

2=

𝑘(2𝑛 + 𝑘 − 1)

2

Perhatikan bahwa 𝑘 dan 2𝑛 + 𝑘 − 1 salah satunya genap dan salah satunya harus ganjil, karena 𝑘 ≥ 3

dan 𝑛 + 2𝑘 − 1 ≥ 5 maka 𝑘(2𝑛+𝑘−1)

2 tidak mungkin merupakan bilangan prima atau bilangan berbentuk

2𝑙 , 𝑙 = 1, 2, 3, ….

Jadi, 𝐺 ∩ 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐹| 𝑥 bukan bilangan prima, 𝑥 juga bukan bilangan berbentuk 2𝑙, 𝑙 = 0, 1, 2, 3, … … }

(𝐺 ∩ 𝐹)𝑐 = {11, 13, 16, 17, 19, 23, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47} → 𝑛((𝐺 ∩ 𝐹)𝑐) = 13.

Banyaknya anggota himpunan = 𝑛(𝐹) − 𝑛((𝐺 ∩ 𝐹)𝑐) = 42 − 13 = 29.

14. Kubus ABCD PQRS memiliki sisi-sisi yang panjangnya 4 cm. Jika E adalah titik tengah PQ dan F adalah

titik tengah QR maka luas daerah ACFE adalah ... cm2

A. 16

B. 18

C. 32

D. 64

Halaman 12 dari 18


083831611481

Jawaban : B

Perhatikan gambar berikut !

dengan pythagoras diperoleh :

𝐴𝐶 = √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √42 + 42 = 4√2

𝐴𝐸 = 𝐹𝐶 = √𝐶𝑅 + 𝑅𝐹2 = √42 + 22 = 2√5

𝐸𝐹 = √𝐸𝑄2 + 𝑄𝐹2 = √22 + 22 = 2√2

ACFE trapesium sama kaki seperti pada gambar berikut

Dengan pythagoras diperoleh

𝑇𝐸 = √𝐴𝐸2 − 𝐴𝑇2 = √20 − 2 = 3√2

Luas ACFE = 1

2(𝐴𝐶 + 𝐸𝐹)(𝑇𝐸) =

1

2(4√2 + 2√3)(3√2) = 18.

15. Jika −1 < 𝑥 < 𝑦 < 0 maka berlaku

A. 𝑥𝑦 < 𝑥2𝑦 < 𝑥𝑦2

B. 𝑥𝑦 < 𝑥𝑦2 < 𝑥2𝑦

C. 𝑥𝑦2 < 𝑥2𝑦 < 𝑥𝑦

D. 𝑥2𝑦 < 𝑥𝑦2 < 𝑥𝑦

Jawaban : D

Perhatikan bahwa :

−1 < 𝑥 < 𝑦 < 0 < 1

𝑥 < 𝑦 < 1

A

C

B

D

Q P

S R

F

E

4

4

4

2

2

4 2

2

U T

E F

C A

2√2

2√2 √2 √2

2√5 2√5

Halaman 13 dari 18


083831611481

Karena 𝑥 dan 𝑦 negatif maka 𝑥𝑦 positif, akibatnya jika ketiga ruas dari pertidaksamaan di atas

dikalikan dengan 𝑥𝑦 maka tidak merubah tanda dari pertidaksamaan.

𝑥2𝑦 < 𝑥𝑦2 < 𝑥𝑦

16. Diketahui grafik fungsi bernilai riil 𝑓 dan 𝑔 seperti pada gambar

Jumlah semua nilai 𝑥 yang memenuhi 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = −1 adalah ...

A. −3 − √2

B. −1

C. 0

D. 2

Jawaban : B

Fungsi 𝑓 yang mewakili gambar pada soal adalah

𝑓(𝑥) = {𝑥 − 2, untuk 𝑥 ≥ 0

−𝑥 − 2, untuk 𝑥 < 0

Fungsi 𝑔 yang mewakili gambar pada soal adalah

𝑔(𝑥) = {−𝑥, untuk 𝑥 > 0𝑥 + 2, untuk 𝑥 < 0

Fungsi 𝑓 − 𝑔 yang mewakili gambar pada soal adalah

𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = {2𝑥 − 2, untuk 𝑥 > 0

−2𝑥 − 4, untuk 𝑥 < 0

Jika 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = −1 maka

Untuk 𝑥 > 0, 2𝑥 − 2 = −1, diperoleh 𝑥 =1

2

Untuk 𝑥 < 0, −2𝑥 − 4 = −1, diperoleh 𝑥 = −3

2

Jumlah semua nilai 𝑥 adalah 1

2−

3

2= −1

2

−

2

−2

𝑥

𝑦

−2

2

𝑦

𝑥

−2

2

𝑓

𝑔

Halaman 14 dari 18


083831611481

17. Menjelang tahun baru harga sebuah kacamata dipotong (di diskon) dua kali seperti yang dinyatakan

pada tanda di samping. Seorang pembeli membayar sebesar Rp. 168.750,00 untuk kacamata tersebut.

Berapakah harga kacamata tersebut sebelum dipotong harganya?

A. Rp. 262.500,00

B. Rp. 281.250,00

C. Rp. 375.000,00

D. Rp. 421.675,00

Jawaban : C

Misalkan harga kacamata sebelum di diskon adalah 𝑘 rupiah maka

(100% − 50%)(100% − 10%)𝑘 = 168750

(50%)(90%)𝑘 = 168750

diperoleh 𝑘 = 375000.

Jadi, harga kacamata sebelum di diskon adalah Rp. 375.000,00

18. Jika 0 < 𝑎 < 1 dan grafik fungsi kuadrat 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 1)2 + 2𝑎 berada dibawah grafik fungsi

𝑦 = (𝑎2 + 2𝑎)(𝑥 + 1) − 2𝑎(2𝑎 + 1), maka nilai 𝑥 yang memenuhi adalah ....

A. 0 < 𝑥 < 3

B. 𝑎 < 𝑥 < 3

C. 𝑎 + 1 < 𝑥 < 3

D. 3 < 𝑥 < 3 + 𝑎

Jawaban : C

𝑦1 = 𝑎(𝑥 − 1)2 + 2𝑎 berada dibawah grafik 𝑦2 = (𝑎2 + 2𝑎)(𝑥 + 1) − 2𝑎(2𝑎 + 1) maka 𝑦2 − 𝑦1 > 0

((𝑎2 + 2𝑎)(𝑥 + 1) − 2𝑎(2𝑎 + 1) ) − (𝑎(𝑥 − 1)2 + 2𝑎) > 0

𝑎(𝑥2 − (𝑎 + 4)𝑥 + 3𝑎 + 3) > 0

karena 𝑎 > 0 maka 𝑥2 − (𝑎 + 4)𝑥 + 3𝑎 + 3 > 0 ⟺ (𝑥 − 3)(𝑥 − 𝑎 − 1) > 0

faktor-faktornya adalah 𝑥 = 3 atau 𝑥 = 𝑎 + 1. Selanjutnya bisa dicek dengan garis bilangan

sehingga diperoleh 𝑎 + 1 < 𝑥 < 3

19. Jika 1

𝑛−

1

3𝑛+

𝑛

3−

1

2𝑛=

3

2𝑛 maka jumlah semua nilai 𝑛 yang mungkin adalah ....

A. 2

B. 1

C. 0

D. −1

Diskon

50% + 10%

3 𝑎 + 1

+ − −

Halaman 15 dari 18


083831611481

Jawaban : C

1

𝑛−

1

3𝑛+

𝑛

3−

1

2𝑛=

3

2𝑛 ⟺

𝑛

3+

6 − 2 − 3

6𝑛=

9

6𝑛 ⟺

𝑛

3=

8

6𝑛=

4

3𝑛 ⟺ 𝑛2 = 4

diperoleh 𝑛 = 2 atau 𝑛 = −2

Jumlah semua nilai 𝑛 adalah 2 − 2 = 0.

20. Perhatikan segitiga ABC dan lingkaran pada gambar dibawah !

Jika segitiga ABC sama sisi dengan CD = 6 cm, maka luas daerah lingkaran dalam adalah ....

A. 16𝜋

B. 12𝜋

C. 9𝜋

D. 4𝜋

Jawaban : B

Karena ABC sama sisi maka BC = 2 CD = 12.

Luas ABC = 𝐵𝐶2

4√3 =

144

4√3 = 36√3 cm.

𝑠 =1

2 keliling ABC = 18 cm.

Jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC = 𝑟 =Luas 𝐴𝐵𝐶

𝑠=

36√3

18= 2√3

Luas lingkaran dalam segitiga ABC = 𝜋𝑟2 = 12𝜋.

21. Salah satu contoh situasi untuk sistem persamaan 2𝑥 + 𝑦 = 10000 dan 𝑥 + 3𝑦 = 20000 adalah ...

A. Dua orang siswa membeli pulpen dan buku tulis seharga Rp. 10.000,00. Salah seorang siswa

tersebut membeli pensil dan tiga buku tulis seharga Rp. 20.000,00. Berapakah harga masing-

masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?

A

B C

F E

D

Halaman 16 dari 18


083831611481

B. Dua orang siswa membeli pulpen dan tiga buah buku tulis seharga Rp. 10.000,00. Selain itu, dia

juga membeli dua buah pulpen dan sebuah buku tulis untuk adiknya seharga Rp. 20.000,00.

Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?

C. Seorang siswa akan membeli dua buah pulpen dan tiga buah buku tulis. Siswa tersebut memiliki

uang Rp. 30.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?

D. Seorang siswa membeli sebuah pulpen dan tiga buku tulis seharga Rp. 20.000,00. Selain itu, dia

juga membeli dua buah pulpen dan sebuah buku tulis untuk adiknya seharga Rp. 10.000,00.

Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?

Jawaban : D

Misalkan harga 1 buah pulpen adalah 𝑥 rupiah dan harga 1 buah buku adalah 𝑦 rupiah.

Seorang siswa membeli sebuah pulpen dan tiga buku tulis seharga Rp. 20.000,00, maka

𝑥 + 3𝑦 = 20000

Dia juga membeli dua buah pulpen dan sebuah buku tulis seharga Rp. 10.000,00, maka

2𝑥 + 𝑦 = 10000

22. Pada suatu data terdapat 25 bilangan bulat positif. Bilangan terbesar pada data tersebut adalah 55.

Median dari data adalah 30. Rata-rata terbesar yang mungkin dari data tersebut adalah ...

A. 40

B. 42

C. 45

D. 50

Jawaban : B

Misalkan data diurutkan menjadi

𝑥1 𝑥2 𝑥3 … … … 𝑥12 𝑥13 𝑥14 … … … 𝑥24 𝑥25

Rata-rata terbesar yang mungkin dicapai ketika 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = … … … = 𝑥12 = 𝑥13 = median = 30

dan 𝑥14 = 𝑥15 = 𝑥16 = … … … = 𝑥24 = 𝑥25 = data terbesar = 55.

Jadi, rata-rata terbesar = 30×13+55×12

25=

1050

25= 42.

23. Perhatikan gambar berikut !

A

B

(0,2)

(4,4)

𝑥

𝑦

Halaman 17 dari 18


083831611481

Persamaan garis hasil transformasi rotasi R(𝑂, 180°) dilanjutkan percerminan 𝑦 = −𝑥 terhadap garis

AB adalah ...

A. 𝑦 = 2𝑥 + 4

B. 𝑦 = 2𝑥 − 4

C. 𝑦 = −2𝑥 + 4

D. 𝑦 = −2𝑥 − 4

Jawaban : B

Persamaan garis pada soal adalah

𝑦 − 2

4 − 2=

𝑥 − 0

4 − 0 ⟺

𝑦 − 2

2=

𝑥

4

Jika (𝑥, 𝑦) dirotasi R(0, 180°) maka bayangannya adalah (𝑥′, 𝑦′) = (−𝑥, −𝑦).

Jika (𝑥′, 𝑦′) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥 maka bayangannya adalah

(𝑥′′, 𝑦′′) = (−𝑦′, −𝑥′) = (𝑥, 𝑦). Sebagai ilustrasi, perhatikan gambar dibawah ini !

Jadi, 𝑥 = 𝑦′′ dan 𝑦 = 𝑥′′ sehingga persamaan garis menjadi

𝑥′′ − 2

2=

𝑦′′

4

Ekivalen dengan

𝑥 − 2

2=

𝑦

4

diperoleh 𝑦 = 2𝑥 − 4.

24. Sebuah wadah memuat 5 bola merah dan 3 bola putih. Seorang mengambil bola-bola tersebut

sebanyak 3 kali, masing-masing dua bola setiap pengambilan tanpa pengembalian. Peluang bahwa

pada setiap pengambilan, bola yang terambil berbeda warna adalah ...

𝑎

𝑏

−𝑎

−𝑏

𝑦 = −𝑥

𝑏 𝑥

𝑎

𝑦

(𝑎, 𝑏)

Selanjutnya dicerminkan terhadap y=−x

(−𝑎, −𝑏)

−

(𝑏, 𝑎) Bayangan akhir

Titik awal

Halaman 18 dari 18


083831611481

A. 1

448

B. 7

280

C. 1

56

D. 1

7

Jawaban : D

Peluang terambil 2 bola beda warna dari masing-masing pengambilan adalah

𝐶3 1 × 𝐶5 1

𝐶8 2

×𝐶2 1 × 𝐶4 1

𝐶6 2

×𝐶1 1 × 𝐶3 1

𝐶4 2

=1

7

25. Semua bilangan riil 𝑥 yang memenuhi pertidaksamaan 𝑥 + 3 − 4√𝑥 − 5 ≥ 5 adalah ....

A. 5 ≤ 𝑥 ≤ 14

B. 𝑥 ≤ 6 atau 𝑥 ≥ 14

C. 5 ≤ 𝑥 ≤ 6 atau 𝑥 ≥ 14

D. 0 ≤ 𝑥 ≤ 6 atau 𝑥 ≥ 14

Jawaban : C

𝑥 + 3 − 4√𝑥 − 5 ≥ 5 ⟺ (√𝑥 − 5 − 2)2

− 1 ≥ 0 ⟺ (√𝑥 − 5 − 2 − 1)(√𝑥 − 5 − 2 + 1) ≥ 0

Diperoleh akar-akarnya 𝑥 = 14 atau 𝑥 = 6.

Ingat bahwa bilangan yang di dalam akar tidak boleh negatif, sehingga 𝑥 − 5 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ 5.

Selanjutnya bisa dicek dengan garis bilangan

sehingga diperoleh 5 ≤ 𝑥 ≤ 6 atau 𝑥 ≥ 14.

6 5 14

BIDANG MATEMATIKA SMP · Oleh karena 28 tidak mempunyai faktor ganjil selain 1, ... A. =74° ;...

Documents

Transcript of BIDANG MATEMATIKA SMP · Oleh karena 28 tidak mempunyai faktor ganjil selain 1, ... A. =74° ;...