MAKALAHPERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL DAN MASALAH NILAI BATASBentuk komplek dari deret fourier, Metode varaibel terpisah, dan Integral fourier

OLEH:Kelompok Febrian ToniLusi Yendriani 1201280Kharida Aulia Bahri 1201295Yessy Nazir 1201300Nadiatur Rahma 1201302

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS NEGERI PADANG20151. Bentuk Kompleks dari Deret FourierKita tahu bentuk dari deret fourier adalah:(3.11)Dimana:

Misalkan:

Dan dari formula euler, kita tahu bahwa

dan

Dengan mensubsitusikan formula euler diatas, maka persamaan (3.11) menjadi:(3.12)Sederhanakan bentuk persamaan (3.12), kita punya(3.13)Kita misalkan

Maka diperoleh:

Konjugat dari Cn adalah:

Kita tunjukan bahwa

Kemudian, kita bisa tulis persamaan (3.13) menjadi

Kita jadikan n menjadi n, maka diperoleh(3.14)Dari persamaan diatas, bisa kita lihat bahwa:(3.15)Maka bentuk kompleks dari deret fourier adalah

Dimana

Kita misalkan Cn=2dn maka bentuk kompleks dari deret fourier adalah

Dimana

Contoh:Diberikan fungsi dengan batas interval .tentukan deret fourie bentuk kompleksnya.Jawab: Dari soal, kita tahu bahwa 2L=3-(-3)=6, maka L = 3, sehingga

Maka diperloleh deret fouriernya adalah

2. Metode Variabel Terpisah

Diberikan PD/MSA/MSAB linier homogen dengan variabel tak bebas u dan variabel bebasx dan t. Diasumsikan solusi berbentuk (, ) = () ( )Langkah-langkah:1. Substitusikan (, ) = () () ke PD2. Bagi hasilnya dengan f( ) ()3. Jika hasil (2) dapat dinyatakan sebagai jumlahan suku-suku yang tergantung dari x dan t saja, maka dengan konstanta pemisah ( ) akan didapat system (2) PDB4. Menggunakan cara:a. Gunakan syarat batas yang diberikan untuk menentukan syarat batas PD hasil (3)b. Selesaikan PD/MSB yang didapatc. Tentukan penyelesaian (,) = ()() kemudian tentukan penyelesaian umumnya5. Gunakan syarat awal yang diberikan dan selesaikan MSAB

Langkah 1 : Misalkan solusi dari PD adalah U(x,t) = f(x). g(t)Kemudian subtitusikan solusi ke PD, diperoleh(2)Langkah 2 : karena soilusi yang kita cari bukan solusi trivial maka u(x,t)=f(x).g(t) 0Kemudian persamaan (2) dibagi dengan f(x).g(t), sehingga diperoleh :

Jika disubstitusikan sebuah nilai ke variable x dan t terhadap persamaan di atas maka persamaan tersebut akan bernilai konstanta, maka : = (3)

Langkah 3 : dari persamaan 3 diperoleh - = (4) (5)Langkah 4 : karena pada langkah 3 diperoleh PDB yaitu Untuk (PDLO1)DiperolehFI : Kalikan FI dengan PD :

dt)=cg(t) =c untuk (PDLO2)diperoleh persamaan karakteristik : r2 + =0r = >0, diperoleh r1= r2= sehingga f(x) = Acos x + B sin x=0, diperoleh r1=r2=sehingga f(x) = A + B x