Bahan AjarMATEMATIKA

“Bersungguh-sungguhlah dlm mencari ilmu”

MATEMATIKAMATEMATIKASMA KELAS X semester 2SMA KELAS X semester 2

SMA NEGERI 3 TEMANGGUNG

PERNYATAAN, NILAI KEBENARAN, DAN KALIMAT TERBUKASKEMA SEDERHANA

KALIMAT

KALIMAT DEKLARATIFMENERANGKAN SESUATU

KALIMAT TERBUKAMEMUAT VARIABEL

KALIMAT BUKAN DEKLARATIF

TAK MENERANGKAN SESUATU

PERNYATAAN

BUKAN PERNYATAAN

NILAI KEBENARAN

SALAH BENAR

DATA EMPIRIK/ FAKTA

DATA TAK EMPIRIK/ PEMBUKTIAN

JIKA DIGANTI VARIABEL

DENGAN KONSTANTA

• TENTUKAN MANAKAH YANG MERUPAKAN PERNYATAAN BUKAN PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA1. 111 habis dibagi 3 :

2. 3 merupakan bilangan ganjil :

3. Tutuplah pintu itu:

4. Letak SMA N 3 Tmg. jauh:

5. Nasi soto tenda biru enak:

6. Akar persamaan x2 –x+8= 0.adalah bilangan real. :

( pernyataan (s) ) kalimat deklaratif

( pernyataan (b) ) kalimat

deklaratif( bukan pernyataan ) kalimat bukan

deklaratif( bukan pernyataan ) kalimat deklaratif

( bukan pernyataan ) kalimat deklaratif

( pernyataan (s) kalimat deklaratif

6. x+6= 8 : X є a : ( Kalmat tebuka )akan menjadi pernyataan benar jika x = 2ingat : x+6 = 8 X є a

x = 8 – 6 x = 2

sehingga jika x = 2 disubstitusikan : (2) + 6 = 8 ( B )akan menjadi Pernyataan salah jika x ≠ 2sehingga jika x = 3 disubstitusikan : (3) + 6 = 8 ( S )

Skema 3

LATIHAN

1. TENTUKAN KALIMAT KALIMAT BERIKUT YANG MERUPAKAN PERNYATAAN, BUKAN PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA

a. JUMLAH DUA BILANGAN GANJIL MERUPAKAN BILANGAN GENAP

b. SUNGAI AMAZON TERLETAK DI BENUA AFRIKAc. 4 X (6+5) = 4 X 6 + 4 X 5d. BIARLAH REFORMASI TETAP BERJALANe. APAKAH DUA GARIS SEJAJAR TIDAK BERPOTONGAN ?f. X2 – X – 2 = 0g. 3X ≤ - 3

INGKARAN , DISJUNGSI, KONJUNGSI, IMPLIKASI DAN BI IMPLIKASI

pp ~p~pBBSS

SSBB

I. INGKARAN / NEGASIINGKARAN DAN PERNYATAAN p ADALAH ATAU ~ P ;

TABEL KEBENARANNYA

CONTOH (1)a. INGKARAN DARI “BAJU ITU BERWARNA MERAH” ADALAH

“BAJU ITU TIDAK BERWARNA MERAH”b. NEGASI DARI “4 + 5 = 10 “ADALAH

4 + 5 ≠ 10

p

DISJUNGSI DARI P DAN q ADALAH “ p ٧ q “ DIBACA P ATAU q TABEL KEBENARAN DISJUNGSI

pp qq ppvv q q

BBBBSSSS

BBSSBBSS

BBBBBBSS

DISJUNGSISKEMA 5 SKEMA 5

KESIMPULANP P ٧٧ q HANYA AKAN SALAH JIKA P DAN q HANYA AKAN SALAH JIKA P DAN Q KEDUANYA SALAHQ KEDUANYA SALAH

CONTOH : TENTUKAN NILAI KEBENARAN DARI a. JAKARTA ADA DI INDONESIA ATAU 2+2 = 4

JAWAB :MISAL: P: “ JAKARTA ADA DI INDONESIA (B) atau q : “ 2+2=4 (B)SEHINGGA p p ٧٧ qq BERNILAI BENAR.

Contohb. 3 -1 = 1 atau 2 + 1 = 4Jawab : misal :p : 3 – 1 = 1 : (s)

q : 2 + 1 = 4 : (s)sehingga p ٧ q bernilai salah

APLIKASI DISJUNGSIJadi disjungsi pada kejadian sehari – hari atauseperti pada jaringan listrik ( switching)

PQ

Hubungan paralel “ P “ P ٧٧ q “q “

KONJUNGSI

M B S

SKEMA 6 SKEMA 6

PP QQ P P ۸ qqBBBBSSSS

BBSSBBSS

BBSSSSSS

KESIMPULANKonjungsi “p۸q” Harga benar jika keduanya dari P P DAN Q bernilai benarDAN Q bernilai benar

CONTOH : TENTUKAN NILAI KEBENARAN DARI a. 5 x 2 = 10 dan 20 adalah bilangan genap

JAWAB P : 5 x 2 = 10 : (B) Q : 20 ADALAH BILANGAN GENAP : (B)

JADI P۸Q BERNILAI BENAR

LanjutanLanjutan ContohContoh

b. 3 -1 = 1 atau 2 + 1 = 4b. 3 -1 = 1 atau 2 + 1 = 4Jawab : misal p : 3 – 1 = 1Jawab : misal p : 3 – 1 = 1 : (s): (s)

q : 2 + 1 = 4q : 2 + 1 = 4 : (s): (s)SEHINGGA P P ۸۸ qq BERNILAI SALAHKONSEP DASAR KONJUNGSI PENERAPAN pada jaringan listrik ( switching)

P QSUSUNAN SERI “P۸Q”

1.1. CARILAH NILAI –NILAI X AGAR SETIAP KALIMAT BERIKUT CARILAH NILAI –NILAI X AGAR SETIAP KALIMAT BERIKUT MENJADI DISJUNGSI YANG BERNILAI BENARMENJADI DISJUNGSI YANG BERNILAI BENAR

a.a. X – 3 = 5 – 3X ATAU 999 ADALAH BILANGAN PRIMAX – 3 = 5 – 3X ATAU 999 ADALAH BILANGAN PRIMAJAWAB MISAL :P(X) : X – 3 = 5-3JAWAB MISAL :P(X) : X – 3 = 5-3 : KALIMAT TERBUKA: KALIMAT TERBUKA

q : 99 adalah bilangan prima ( s)q : 99 adalah bilangan prima ( s)

Agar p(x) v q bernilai benar Agar p(x) v q bernilai benar makamaka

SKEMASKEMA 6 6

DISJUNGSIDISJUNGSI

Maka p(x) haruslah bernilai benarSehingga p(x) : x -3 = 5 – 3x

x + 3x = 5 +3 4x = 8

x = 2Jadi p(x) akan menjadi pernyataan bernilai benar jika x = 2

P(x) : 5log x = 1 q : 2 bukan bilangan prima jawabP(x) : 5log x = 1 ( KALIMAT TERBUKA ) q : 2 bukan bilangan prima (s)Agar “{p(x) V q}” disjungsi bernilai benar

Maka p(x) haruslah bernilai B

Sehingga p(x) : 5log x = 1 x= 5’ = 5Jadi p(x) akan menjadi pernyataan bernilai benar jika x = 5

LanjutanLanjutan Latihan/Latihan/disjungsidisjungsi

Carilah nilai x agar setiap kalimat berikut ini menjadikonjungsi yang benar1. 1 – 3x = 2x – 4 dan log 2 + log 3 = log 6Jawab :Misal p(x) : 1 -3x = 2x -4 : kailmat terbuka

q : log 2 +log 3 = log 6 : (B)Agar “ p(x) ۸۸ q” konjungsi ysng bernilai benarq” konjungsi ysng bernilai benar : maka : maka ::P(x)P(x) : 1 – 3x = 2x-4: 1 – 3x = 2x-4 haruslah bernilai benarharuslah bernilai benarSehingga Sehingga : p(x): p(x) : 1 – 3x = 2x – 4: 1 – 3x = 2x – 4

- 5x = - 5- 5x = - 5x = 1x = 1

P(x) akan bernilai benar jika x =1P(x) akan bernilai benar jika x =12.2. 22xx = 16 dan = 16 dan 22log 16 =4log 16 =4JawabJawabMisal p(x) : 22xx = 16 = 16

q : 22log 16 =4log 16 =4 (B)(B)Agar “ p(x) ۸۸ q” konjungsi ysng bernilai benarq” konjungsi ysng bernilai benar : maka : maka ::P(x)P(x) : 2: 2xx = 16 = 16 haruslah bernilai benarharuslah bernilai benarSehingga Sehingga : p(x): p(x) : 2: 2xx = 16 = 16

22xx = 2 = 244 x = 4x = 4Sehingga P(x) akan bernilai benar jika x =4Sehingga P(x) akan bernilai benar jika x =4

Contoh / Contoh / konjungsikonjungsi

Kerjakanlah I. Lengkapilah tabel kebenaran

berikut

II. Tentukan nilai kebenaran yang mungkin terjadi dari pernyataan yang menyusunnya

a.a. P P ۸ ~ q~ qb.b. ~ P ~ P ۸ qqc.c. ~ (P ~ (P ۸ q)q)d.d. ~ (~ (~~P P ۸ ~ q)~ q)e.e. ~ (P ~ (P V q) q)II.II. ~ (~PV~ q)~ (~PV~ q)

PP QQ ~ ~ PP ~ ~ QQ ~ ~ P P ۸ ~~ q q ~ ~ P P V ~~ q q

BBBBSSSS

BBSSBBSS

SSSSBBBB

SSBBSSBB

SSSSSSBB

SSBBBBBB

LatihaLatihann

PP QQ P P ۸ qq P P V q q ~ ~ PP ~ ~ QQ ~ (~ (P P ۸ q)q) ~ (~ (P P V q) q) ~ ~ P P ۸ ~~qq ~(~ ~(~ P P ۸ ~~q)q) ~ ~ P P v ~~qq ~(~ ~(~ P P v ~~q)q)

BBBBSSSS

BBSSBBSS

BBSSSSSS

BBBBBBSS

SSSSBBBB

SSBBSSBB

SSBBBBSS

SSSSSSBB

SSSSSSBB

BBBBBBSS

SSBBBBBB

BBSSSSSS

Jawab no II I. Lengkapilah tabel kebenaran

berikut

PP QQ P P - q qBBBBSSSS

BBSSBBSS

BBSSBBBB

IMPLIKASI JIKA P MAKA Q DITULIS ‚ P => Q“P DISEBUT ANTESEDEN / HIPOTESIS

Q DISEBUT KONSEKUEN / KESIMPULAN

Tabel kebenaran omplikasi

SKEMA 8SKEMA 8

Kesimpulan •Implikasi p => q akan bernilai salah jika •P : bernilai benar dan •Q bernilai salah

Contoh : (1)Tentukan nilai kebenaran implikasi berikut“jika 3 faktor dari 6 maka 6 habisdibagi 2JawabP : 3 faktor dari 6 (B)Q : 6 habis dibagi 2 (B)Jadi p – q bernilai benar

LATIHANLATIHANCARILAH NILAI X AGAR KALIMAT BERIKUT

BERNIALI SALAHJIKA 4X – 5 = 2X + 1, MAKA LOG 5 +LOG 6 = LOG 11JAWAB Misal p(x) : 4X – 5 = 2X + 1

q : LOG 5 +LOG 6 = LOG 11Agar p(x) –q berniali salahMaka p(x) 4X – 5 = 2X + 1 haruslah bernilai benarSehingga p(x) : 4x -5 = 2x+1

4x - 2x = 1 +5 2x = 6

x = 3Jadi p(x) – q bernilai salahJika p(x) bernilai benar untuk x = 3

BI - IMPLIKASI

KESIMPULAN

JIKA PERNYATAAN P DAN Q DAPAT DISUSUN DENGAN MENGGUNAKAN KATA HUBUNG

“JIKA DAN HANYA JIKADITULIS DI BACA P JIKA DAN HANYA Q"" QP

PP QQBBBBSSSS

BBSSBBSS

BBSSSSBB

"" QP

SKEMA 9SKEMA 9

Bi – implikasi akan bernilai benar jika pernyataan yang menyusunnya bernilai

sama

Tabel kebenaranTabel kebenaran

ContohTentukan nilai kebenaran pernyataan berikut :

2m-n = 2m – 2n jika dan hanya jika 25 – 2 = 23

Jawab :Misal p : 2m-n = 2m – 2n : (S) q : 25 – 2 = 23 : (B)

"" QP Bernilai salah

Tentukan HP dari (x>0) <=> (2x > 4) bernilai benarjawab :

Misal p : (x>0) q : (2x > 4)

Agar p --- q bernilai benar :Ada 2 kemungkinan :1. P : benar ; berarti x > 0 ..(1)

Q : benar ; berart 2x > 4 ..(2)

Ini berarti x > 2

0 2

2. P : salah ; berarti x ≤ 0 ..(1)Q : salah ; berart 2x ≤ 4 ..(2)

0 2

Ini berarti x ≤ 2

Hp = { x|x>2 atau x ≤ 0}

Untuk latihan lihat lks 10 no 5

ANDI HANDOYO MATEMATIKAMATEMATIKA

SMA NEGERI 3 TEMANGGUNG

Misal pernyataan P (p,q,r,…..) equivalen dengan Q (p,q,r,…), maka ditulis P (p,q,r,…..) Ξ Q (p,q,r,…),

Contoh : tunjukan bahwa ~(p Λ ~q) Ξ ~p v q jawab

PP QQ ~P~P ~ q~ q P P ΛΛ~ q~ q ~ (P ~ (P ΛΛ~ q)~ q) ~ P ~ P VV q qBBBBSSSS

BBSSBBSS

SSSSBBBB

SSBBSSBB

SSBBSSSS

BBSSBBBB

BBSSBBBB

PERNYATAAN MAJEMUK YANG EQUIVALENPERNYATAAN MAJEMUK YANG EQUIVALEN

IDENTIK

JADI TAMPAK BAHWA : ~((P Λ~ q) Ξ ~ P V q

Jawabperhatikan tabel kebenaran berikut :PP QQ p → qp → q q → pq → p ~P~P ~ P ~ P VV q q P P ↔↔ q q (p → q ) (p → q ) ΛΛ (q → (q →

pp))BBBBSSSS

BBSSBBSS

BBSSBBBB

BBBBSSBB

SSSSBBBB

BBSSBBBB

BBSSSSBB

BBSSSSBB

LatihaLatihan n

Tunjukan bahwa :1. p → q Ξ ~ P V q2. p → q Ξ (p → q ) Λ (q → p)

identik ( a)

identik ( b)

1. ~(PΛQ)Ξ~P V ~Q2. ~(PVQ)Ξ~P Λ ~Q3. ~(P→Q)Ξ~P Λ ~Q4. (P↔Q)Ξ P ↔ ~QΞ ~P ↔ Q

PP QQ P P ΛΛ q q ~ (P ~ (P ΛΛ q) q) ~~PP

~ q~ q ~ P ~ P VV~ ~ qq

BBBBSSSS

BBSSBBSS

BBSSSSBB

SSBBBBBB

SSSSBBBB

SSBBSSBB

SSBBBBBB

LatihaLatihan n

Jawab

1. AKAN DI TAMPILKAN : ~(P~(PΛΛQ) Q) ΞΞ ~P V ~Q ~P V ~Q

IDENTIK

PP QQ ~P~P ~ q~ q P P VV q q ~ (P ~ (P ΛΛ q) q) ~ P ~ P ΛΛ ~ q ~ q

BBBBSSSS

BBSSBBSS

SSSSBBBB

SSBBSSBB

BBBBBBSS

SSSSSSBB

SSSSSSBB

IDENTIK

CONTOH:1 Tentukan konvers, invers dan kontra posisi dari pernyataan berikut

:1. Jika hari hujan maka saya tidak bersekolah

SKEMA : 17SKEMA : 17

IMPLIKASIIMPLIKASIP P → Q→ Q

INVERSINVERS

~P → ~ Q ~Q → ~ P

Q → P

INVERSINVERS

KONVERSKONVERS

KONVERSKONVERS

KONTRAPOSISIKONTRAPOSISI

KONTRAPOSISIKONTRAPOSISI

Konversjika saya tidak sekolah maka hari ini hujan

Inversjika hari hujan maka saya kesekolah

Kontra posisijika saya kesekolah maka hari tidak hujan

Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari suatu pernyataan :

(p Λ q ) → (q V r) jawab Implikasi : (p Λ q ) → (q V r) Konvers : (q v r ) → (p Λ q) Invers : ~(p Λ q ) → ~ (q V r)

kontraposisi : ~ (q V r) → ~(p Λ q)

Kuantor universal dan kuantor exsistensial Simaklah prnyataan berikut

1. “Semua siswa sma n 3 temanggung kelas X1 adalah siswa yang pandai”

Pernyataan di atas mengandung / menggunakan kata “ semua atau setiap” ddan selanjutnya disebut pernyataan berkuantor universal (umum)

2. “beberapa siswa sma n 3 temanggung kelas X1 pandai”

Ini artinya : ada siswa sma n 3 temanggung kelas X1 adalah siswa yang pandai

Pernyataan di atas mengandung / mengunakan kata “ beberapa atau ada dan selajutnya disebut “ pernyataan berkuantor exsistensial ( khusus )

“Semua siswa sma n 3 temanggung kelas X1 pandai”

Equivalen dengan “ jika x adalah siswa sma n 3 temanggung

kelas X1maka x adalah siswa yang pandai

Dari contoh pernyataan kuator universal di atas : dapat dinotasikan :Vx, x єA → x є B Atau Vx, p(x)

V ( dibaca semua atau setiapJadi :

Semua A adalah B “ equivalen dengan opernyataan implikasi : Jika XєA, maka xєB

Lambang Э di baca ada atau beberapa Jadi pernyataan dari “ beberapa siswa sma n 3 temanggung

kelasX1 pandai”Equivalen dengan pernyataanSekurang – kurangnya ada siswa sma n 3

temangung kelas X 1 pandai

Dari contoh pernyataan kuantor exsistensial di atas : dapat Dari contoh pernyataan kuantor exsistensial di atas : dapat dinotasikan :dinotasikan :

Эx, x єA → x є B Atau Эx, p(x)

Perhatikan peta konsep berikut :

Skema Skema 1313

KUANTOR

INGKARAN~[Vx, P(x)]

KUANTOR UNIVERSAL

Vx, P(x)

KUANTOR EXSISTENSIAL

Эx, P(x)

INGKARAN~[Эx, P(x)]

Эx~ P(x)

Vx ~P(x)

a. “ semua bilangan prima bukan bilangan genapJawab :• Merupakan pernyataan kuantor universal yang bernilai (salah)

“tidak semua bilangan prima bukan bilangan genap”Atau “ ada bilangan prima adalah bilangan genap” Jadi jelas bahwa ~p bernilai benarb. Beberapa orang kaya tidak hidup bahagia Jawab :Merupakan pernyataan kuantor exsistensial ( salah ) jadi pernyataan ingkarannya • “ tidak ada orang kaya tidak hidup bahagia• Semua orang kaya hidup bahagia

Skema Skema 1414

Perhatikan1. Argumentasi yang sah

a Λ b → e

2. Argumentasi yang tidak saha Λ b → e

3. Argumentasi dikatakansah jika premis – premisnya benar, maka konklusinya benar

Metode penarikan ksimpulan :1. Modus ponen :

Misal : premis 1 : p→q

premis 2 : p Jadi kesimpulan : q

PP QQ p → qp → q (q → p)(q → p)ΛΛpp [[(p → q ) (p → q ) ΛΛPP]] → q → qBBBBSSSS

BBSSBBSS

BBSSBBBB

BBSSSSSS

BBBBBBBB

[(p → q) Λ p] →qKita priksa pada tabel kebenaran :

Kesimpulan/Tautologi

JADI MODUS PONEN ADALAH ARGUMENTASI YANG SAH