ANALISA NUMERIK & PEMROGRAMAN

ANALISA NUMERIK & PEMROGRAMANI.PENDAHULUAN

1.1. Umum

Metode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahanpermasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan (arithmatic).

Metode numerik mampu menyelesaikan suatu sistem persamaan yang besar, tidak linier dan sangat kompleks yang tidak mungkin diselesaikan secara analitis.

llmu metode numerik adalah milik semua ahli dari berbagai bidang, seperti bidang teknik (sipil, mesin, elektro, kimia, aeronotika, dan sebagainya), kedokteran, ekonomi, sosial, dan bidang ilmu lainnya. Berbagai masalah yang ada dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan dapat digambarkan dalam bentuk matematik dari berbagai fenomena yang berpengaruh. Misalnya gerak air dan polutan di saluran, sungai dan laut, aliran udara, perambatan panas, defleksi suatu plat dan balok, dan sebagainya dapat digambarkan dalam bentuk matematik. Biasanya fenomena yang berpengaruh tersebut cukup banyak dan sangat kompleks, dan untuk menyederhanakannya dilakukan beberapa anggapan sehingga beberapa fenomena yang kurang berpengaruh dapat diabaikan. Meskipun telah dilakukan penyederhanaan, namun sering persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan seeara analitis. Untuk itu maka diperlukan metode numerik untuk menvelesaikan persamaan tersebut.

Hasil dari penyelesaian numeris merupakan nilai perkiraan atau pendekatan dari penyelesaian analitis atau eksak. Karna merupakan nilai pendekatan, maka terdapat kesalahan terhadap nilai eksak. Nilai kesalahan tersebut harus cukup kecil terhadap tingkat kesalahan yang ditetapkan.

1.2. Kesalahan (error)

Penyelesaian secara numeris dari suatu persamaan matematik hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis. Berarti dalam penyelesaian numerik tersebut terdapat kesalahan terhadap nilai eksak.

3 macam kesalahan dalam penyelesaian numerik:

Kesalahan bawaanKesalahan bawaan adalah kesalahan dari nilai data. Kesalahan tersebut bisa terjadi karena kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala dsb.

Kesalahan pembulatanKesalahan pembulatan terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan. Kesalahan ini terjadi apabila bilangan perkiraan digunakan untuk menggantikan bilangan eksak. contoh:8632574dapat dibulatkan menjadi 86330003,1415926dapat dibulatkan menjadi 3,14

Kesalahan pemotonganKesalahan pemotongan terjadi karena tidak dilakukannya hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar. Contoh:

1.3. Kesalahan Absolut dan Relatif

Hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan kesalahan dapat diberikan dalam bentuk berikut ini:

p = p* + Eedimana :p:nilai eksakp*:nilai perkiraanEe:kesalahan terhadap nilai eksak(Indeks e menunjukkan bahwa kesalahan dibandingkan terhadap nilai eksak) Dapat disimpulkan bahwa kesalahan adalah perbedaan antara nilai eksak dan nilai perkiraan, yaitu :

Ee = p - p*(1.1)

Bentuk kesalahan seperti diberikan oleh Persamaan (1.1) disebut dengan kesalahan absolut. Kesalahan absolut tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan. Besarnya tingkat kesalahan dapat dinyatakan dalam bentuk kesalahan relatif, yaitu dengan membandingkan kesalahan yang terjadi dengan nilai eksak.

(1.2)dengan

adalah kesalahan relatif terhadap nilai eksak.Kesalahan relatif sering diberikan dalam bentuk persen seperti berikut ini:

(1.3)Karena pada penyelesaian numerik, tidak menghasilkan nilai eksak, maka biasanya kesalahan dinyatakan berdasarkan nilai perkiraan terbaik dari nilai eksak, sehingga:

(1.4)dengan : Ea :kesalahan terhadap nilai terbaik : nilai perkiraan terbaik

Didalam metode numerik, sering dilakukan pendekatan seeara iteratif.

:nilai perkiraan pada iterasi ke n

: nilai perkiraan pada iterasi ke n + 1