BAB X

LINGKARAN DAN SEGI EMPAT

A. SEGI EMPAT TALI BUSUR Definisi 10.1. Segi empat talibusur ialah segi empat yang keempat titik sudutnya terletak

pada ingkaran.Teorema 10.1. Dalam segi empat tali busur , sudut-sudut ang berhadapan berpelurus

sesamanya.

B C

A D

Diketahui ABCD segi empat tali busurBuktikan : A + C = 180o

Bukti : A =

C =

A + C = )

Atau

A + C = Keliling lingkaran= 180o

Akibat : Sudut luar sebuah sudut pada segiempat tali busur sama dengan sudut dalam berhadapan.

Teorema 10.2. Jika dua buah sudut yang berhadapan dalam sebuah segiempat berpelurus sesamanya , maka segi empat itu ialah segi empat tali busur

B C

A D P

B C

A D

Diketahui B + D = 180o

Buktikan : A, B, C, dan D terletak pada satu lingkaranBukti : Melalui tiga titik A, B, dan C senantiasa dapat digambarkan sebuah lingkaranKita umpamakan titik D tidak terletak pada lingkaran ini, maka lingkaran ini memotong garis AD di P Tentu B + P = 180o. sedangkan diketahui bahwa B + D = 180o

Jadi ini akan mengakibatkan bahwa P= D Perandaian bahwa D tidak terletak pada lingkaran itu, terbukti salah . Jadi D harus terletak pada lingkaran . Dengan perkataan lain ABCD segiempat talibusur

Teorema 10.3. (Teorema Ptolemeus). Dalam segiempat talibusur perkalian diagonal-diagonalnya sama dengan jumlah perkalian sisi-sisi yang berhadapan.

D

1 2 3

A E C

B

Diketahui ABCD segiempat talibusurBuktikan AC x BD = AB x DC + BC x ADBukti : Kita lukiskan CDE = ADBMaka1). DEC DAB

(krn ABD= ACD= AD dan D1= D2)

Akibatnya : EC : AB =DC :DB Atau EC x DB = AB x DC ………………… (1)

2). ADE BDC

(krn ADE= BDC dan DAE = DBC= DC)

Akibatnya : AE : BC =AD :BD Atau AE xBD =BC x AD ………………… (2)

Jika (1) dan (2) dijumlahkan maka diproleh :(1) EC x DB = AB x DC (2) AE x BD =BC x AD

(AE +EC) x BD = AB x DC + BC x AD atau AC x BD = AB x DC + BC x AD

PENGGUNAAN SEGIEMPAT TALIBUSURJika sisi segiempat talibusur adalah a, b, c, da. Menentukan kepanjangan dua sisi yang berhadapan :

D

c C d b x

A a B y E

Pd gbr E= E & DAE= BCE (??)Jadi ADE CBE

Akibat :

Atau

Shg 1) dx = ab +by

2) dy = bc + bx

Dari persamaan 1) dan 2) diperoleh :

dan

Soal : Dari sebuah segiempat talibusur sisi-sisinya ialah AB=52, BC=25 , CD=39 dan AD = 60. Hitunglah kepanjangan-kepanjangan BE da CE

b. Perbandingan diagonal :Dari gambar diatas dapat ditunjukkan bahwa DBE ACE mengapa ?

Jadi

c. Panjang diagonal

…………… dari no b diatas ……………………..…1)

AC x DB = ac + bd …Teorema Ptolemeus …. DB = ……...2)

Persamaan 2) Substitusikan ke 1) diperoleh

AC2 =

Soal : Hitunglah panjang diagonal sebuah segi-empat talibusur ABCD jika AB= 16, BC = 25 , CD = 33 dan AD = 60

d. Jari jari lingkaran luar Untuk menghitung jari-jari lingkaran luar segi empat tali busur, hitung dulu sebuah diagonalnya, missal diagonal AC, selanjutnya hitunglah jari-jari lingkaran luar

segitiga ABC dengan pertolongan rumus R = . R ini juga jari jari lingkaran luar

segi empat tali busur.e. Bila kita harus membuktikan suatu segi empat adalah segi empat tali busur , perhatikan

gambar-gambar di bawah ini, segi empat ABCD adalah segi empat tali busur , jika memenuhi salah satu darI :

D C

A BA+ C =180o

D C 1 2

A BA = C2

C B

A DABD= ACD

B

A C

DB= D = 90o

B r

A q C p s

D p x q = r x s

p q

s rp x q = r x s

B. SEGI EMPAT GARIS SINGGUNGDefinisi 10.2. Sebuah segi empat yang sisi-sisinya menyinggung sebuah lingkaran yang

dapat dilukiskan di dalam segi empat itu, namanya segi empat garis singgung.

Teorema 10.4. Jumlah dua sisi yang berhadapan sebuah segi empat garis singgung sama dengan jumlah kedua sisi yang lain.

B F C

E

A G H D

Diketahui : ABCD segi empat garis singgungBuktikan : AB + CD = AD + BCBukti :Karena AE= AH; BE=BF; CF= CG ; DG=DHMaka : AB + CD = (AE + EB) + (CG + DG) = (AH + BF) +( CF + DH) = (AH + HD) + (BF + FC) = AD + BC

Teorema 10.5. Jika pada segi empat jumlah sisi yang berhadapan sepasang-sepasang sama , maka segi empat itu ialah segi empat garis singgung.

C B

M

A E D

Diketahui segi empat ABCD,AB + CD = AD + BC Buktikan : ABCD segi empat garis singgungJika A dan B dibagi dua sama besar , dan garis baginya bertemu di M , maka M erupakan pusat lingkaran yang menyinggung sisi AB , BC dan AD.Diandaikan CD tidak menyinggung lingkaran, maka dari C dapat ditarik garis singgung CE, sehingga AB + CE = AE + BCSelanjutnya : AB + CD= AD + BC (diket) AB + CE = AE + BC (T 10.4 & Pengandaian) CD – CE = AD – AE atau CD – CE = EDJad pada ECD : Selisih dua sisi = sisi yang lainIni tidak mungkin , maka pengandaian :CD tidak mennyinggung lingkaran adalah SALAH.

Jadi haruslah CD menyinggung lingkaran