BAB VIII

PERBANDINGAN SEHARGA GARIS GARIS DALAM LINGKARAN

A. Perbandingan seharga garis garis dalam lingkaranTeorema 8.1. Garis tegaklurus dari dari sebuah titik pada lingkaran ke garis tengahnya

ialah pembanding tengah antara bagian-bagian garis tengah itu.

C

A D M B

Diketahui : Lingkaran (M,R) AB garis tengah CD ABBuktikan : AD : CD = CD : DB atau CD2 = AD x DBBukti : Pada ABC siku siku di CPerhatikan ADC CDB (Sd, Sd)Sehingga AD : CD = CD : DB Atau CD2 = AD x DB

Teorema 8.2. Jika pada sebuah titik pada lingkaran ditarik sebuah tali busur dan sebuah garis tengah, maka tali busur ini pembanding tengah antara garis tengah dan proyeksinya pada garis ini.

C

A D M B

Diketahui : Lingkaran (M,R) AB garis tengah AC tali busur CD ABBuktikan : AB : AC = AC : AD atau AC2 = AB x CDBukti : Pada ABC siku siku di CPerhatikan ABC ACD (Sd, Sd)Sehingga AB : AC = AC : AD Atau AC2 = AB x AD

Teorema 8.3. Jika dua tali busur berpotongan di dalam lingkaran , maka perkalian kedua bagian pada tali busur yang pertama sama dengan perkalian bagian-bagian pada tali busur yang kedua.

C B P 1 2

A

D

Diketahui : Lingkaran (M,R) AB dan CD berpotongan di PBuktikan : AP x PB = CP x PDBukti : Perhatikan APC dan DPB A = B (……………) P1 = P2 (……………)Sehingga APC DPB (Sd, Sd)Akibatnya AP :DP = PC: PBAtau AP x PB = PC x DP

Teorema. 8.4. Jika dari sebuah titik di luar lingkaran dibuat dua garis potong lingkaran, maka perkalian bagian bagian garis potong yang pertama sama dengan perkalian bagian bagian garis potong yang kedua

m B A n P D C

Diketahui : Lingkaran (M,R) Titik P di luar lingkaran Garis m memot lingk di A dan B Garis n memot lingk di C dan DBuktikan : PA x PB = PC x PDBukti : Lihat APD dan CPB B = D (……………) P = P (……………)Sehingga APD CPB (Sd, Sd)Akibatnya AP :CP = PD: PBAtau AP x PB = PC x PD

Teorema 8.5. Jika dari sebuah titik diluar sebuah lingkaran ditarik sebuah garis potongdan sebuah garis singgung, maka garis singgung ini menjadi pembanding tengah antara bagian bagian garis potong.

m C B P

n A

Diketahui : Lingkaran (M,R) Titik P di luar lingkaran Garis m memot lingk di B dan C Garis n menyinggung lingk di ABuktikan : PB : PA = PA : PC Atau PA2 = PB x PCBukti : Bila dianggap garis n memotong lingk di dua titik kembar A1 dan A2, maka menurut teorema 8.4. PA1 x PA2 = PB x PC

Atau PA2 = PB x PC

Catatan:1. Teorema 8.3 , 8.4 dan 8.5 dapat juga dikatakan sebagai berikut : Hasil perbanyakan

jarak-jarak P ke titik potong – titik potong A dan B dari suatu garis yang berputar pada P dengan sebuah lingkaran mempunyai harga konstan.

2. Jika hasil perbanyakan PA x PB dibei tanda positif atau negative maka hasil perbanyakan dianggap positif bila P di luar lingkaran dan negative jika P di dalam lingkaran.

3. Hasil perbanyakan tadi ditulis :

Yang disebut Kuasa (P,L) dari suatu titik P terhadap lingkaran L ialah hasil perbanyakan

A dan B adalah titik potong lingkaran itu dengan sebuah garis yang melalui P. Kuasa ini Positif jika P di luar lingkaran

Nol jika P pada lingkaran dan Negative jika P di dalam lingkaran

Torema 8.6. Kuasa sebuah titik P terhadap lingkaran (M,r) = PM2 – r2

M r B C A P

Diketahui : Lingkaran (M,r)Buktikan Bukti Buat garis melaluia P memotong lingkaran di A dan BKuasa titi P thd lingk (M,r) = = ( ).( ) = ( ).( ) = ( ).( ) = PC2 – CA2

= PM2 –MC2 – (MA2 – MC2) = PM2 – MA2

= PM2 – r2

Soal - Soal 123

B. Mengalikan Bangun- Bangun LingkaranTeorema 8.7. Jika sebuah lingkaran diperkalikan dengan k atau –k maka bangun hasilnya

sebuah lingkaran yang jari-jarinya k kali jari-jari lingkaran semula.

Lingkaran (M,r) diperkalikan k dengan pusat perkalian O diperoleh lingkaran (M1 ,r1 ) Lingkaran (M,r) diperkalikan -k dengan pusat perkalian O1 diperoleh lingkaran (M1 ,r1 )

A1

A r1

r O M O1 M1

B

B1

Titik O disebut titik kesebangunan luarTitik O1 disebut titik kesebangunan dalam

Teorema 8.8.1. Titik Kesebangunan luar O dari dua buah lingkaran M dan M1 terletak pada kepanjangan sentral , sedemikian rupa sehingga MO : M1O = r : r1

Teorema 8.8.2. Titik Kesebangunan dalam O1 dari dua buah lingkaran M dan M1 terletak pada sentral , sedemikian rupa sehingga MO1 : M1O1 = r : r1

Soal- Soal123