8/22/2019 Bab v Intergral

1/7

BAB V

INTEGRAL TAK TENTU

5.1 PENGERTIAN INTEGRAL TAK TENTU

Jika )(xf ditentukan, maka setiap fungsi )(xF sedemikian hingga

)()(' xfxF = disebut Integral Tak Tentu (ITT) dari )(xf . Integral tak

tentu dari suatu fungsi yang ditentukan adalah tidak tunggal, misalnya:

1,2, 333 + xxx adalah integral tak tentu dari 23)( xxf = karena

2333 3)1()2()( xdx

xddx

xddxxd =+==

Semua integral tak tentu dari 23)( xxf = adalah termasuk dalam cx +3 ,

dimana c adalah konstanta sebarang yang disebut konstanta integrasi. Jelaslah

bahwa jika )(xF suatu integral tak tentu dari )(xf , maka cxF +)( juga

merupakan integral tak tentu dari )(xf dan ditulis secara umum sebagai berikut:

+= cxFdxxf )()(

5.2 SIFAT-SIFAT INTEGRAL TAK TENTU

Sifat-sifat Integral Tak Tentu:

1. = dxxfkdxxkf )()(

2. { } = dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

5.3 RUMUS-RUMUS INTEGRAL TAK TENTU

Beberapa rumus Integral Tak Tentu:

1. 1;1

1 1 ++

= + ncxndxxnn

2. += cxdx

3. =cdx0 (konstanta sebarang)

22

8/22/2019 Bab v Intergral

2/7

4. += cxdxx ||ln1

5. += cedxexx

6. += caa

dxax

x

ln; a >0, 1a

7. += cxxdx cossin

8. += cxxdx sincos

9. += cxxdx tansec2

10. += cxxdxx sectansec

Contoh:

1. cxcxdxx +=++

= +4133

4

1

13

1

2. cxcxdxx +=++

=+

23

1

2

13

2

1

12

1

2

1

3. dxxx cossin3

misalkan: xy sin= dxxdy cos=

maka cxcydyydxxx +=+== 4433 sin

41

41cossin

5.4 INTEGRASI PARSIAL

Jika )(xfu = dan )(xgv = adalah fungsi-fungsi yang differensiabel,

maka

Rumus Integrasi Parsial

Rumus ini sangat berguna terutama jika integral terdiri dari fungsi-fungsi

transcendent, misalnya: xxx tanarc,sinarc,ln atau hasil kali seperti

.ln,cos,sin,2

xxxxxexexx

Cara memakai rumus ini adalah sebagai berikut:

23

= vduuvudv

8/22/2019 Bab v Intergral

3/7

(1) dv dipilih sehingga v mudah dicari

(2) vdu harus menjadi lebih mudah daripada udv

Contoh:

Selesaikan dxexx

!

Penyelesaian:

Rumus Integrasi Parsial: = vduuvudv

Misalkan:

dxduxu ==

=== xxx edxevdxedv

Maka:

cexedxexedxex xxxxx +==

Soal-soal Latihan

1. Selesaikan dxxx cos

!

2. Selesaikan dxxx sin !

3. Selesaikan dxxex cos !

4. Selesaikan dxxln !

5. Selesaikan + dxxx 1 !

6. Selesaikan 259 2x

dx!

7. Selesaikan 241 xdx

!

8. Selesaikan 102xdx

!

6.1 INTEGRAL TERTENTU

24

8/22/2019 Bab v Intergral

4/7

Yang dimaksud dengan Integral Tertentu dari f(x) dengan batas bawah

ax = dan batas atas bx = a(

8/22/2019 Bab v Intergral

5/7

[ ]

3

13

1)9(6

1 3

2

14

23

23

21

9

14

1

9

1

41

2

0

=

=

=

=+

u

duudxx

2. Selesaikan =22

22ln

ln

ln

e

e

e

ex

xd

xx

dx!

Penyelesaian:

Substitusi xu ln=

Perubahan batas:

2

1

2 ==

==

uex

uex

Jadi ( ) ======2

1

21

21

2

1

2221

1

ln

ln

ln

22

uu

du

x

xd

xx

dxe

e

e

e

6.3 INTEGRAL TAK WAJAR

Integral tak wajar adalah integral suatu fungsi yang berbentuk:

(1)

a

dxxf )( atau

b

dxxf )( atau

dxxf )( ,

integral pada selang-selang tak hingga.

(2) b

a

dxxf ,)(

integral yang integrannya menjadi tak hingga dalam selang integrasi.

Integral Pada Selang Tak Hingga:

a

dxxf )( atau

b

dxxf )( atau

dxxf )(

Pada definisi b

a

dxxf ,)( diasumsikan bahwa selang [a, b] berhingga.

Jika f kontinu pada selang [ )+,a , maka didefinisikan integral tak wajar

+

a

dxxf )(sebagai sebuah limit dengan cara:

26

8/22/2019 Bab v Intergral

6/7

+

=b

ab

a

dxxfdxxf )(lim)(

Jika limit ini ada, integral tak wajar disebut konvergen dan nilai limit

adalah nilai integral itu.. Jika limitnya tidak ada, maka integral tak wajar disebut

divergen, dalam kasus ini tidak mempunyai nilai.

Contoh:

Hitung +

1x

dx!

Penyelesaian:

[ ] +====+++

+

||lnlim||lnlimlim 111

lxx

dx

x

dx

l

l

l

l

l

Jadi, integral divergen.

Integral Yang Integrannya Menjadi Tak Hingga: b

a

dxxf )(

Jika fkontinu pada selang [ )ba, tetapi gagal mempunyai sebuah limit

bilax mendekati b dari kiri [misalnya, jika +)(xf atau )(xf ], maka

didefinisikan integral tak wajar b

a

dxxf )( sebagai sebuah limit dengan cara:

=l

abl

b

a

dxxfdxxf )(lim)(

Contoh:

Hitung

1

0 1 x

dx!

Penyelesaian:

Integral tersebut adalah tak wajar sebab integran mendekati + jika x

mendekati limit pada 1 dari kiri. Sehingga:

27

8/22/2019 Bab v Intergral

7/7

[ ] ll

l

lx

x

dx

x

dx0

10

1

1

0

12lim1

lim1

=

=

2212lim1

=+=

ll

Soal-soal Latihan

9. =

0

....sin. xdxx

10.

=+

2

1

0

.....sin2 dxxx

11. =+1

0

2....dx13.3 xx

12. =

0

....dxcos.2sin xx

13. =1

0

6....)1(5 dxxx

28