5.1 UmumHampir semua masalah simulasi realistik dalam masalah bisnis dan

industri membutuhkan penggunaan bilangan acak yang terdistribusi secara tidak

uniform. Namun pada saat ini marilah kita untuk sementara dalam masalah

simulasi elementer kita hanya membutuhkan bilangan yang terdistribusi secara

uniform. Hal ini untuk sementara sangat penting untuk mempermudah dalam

mengertikan model simulasi yang ada dalam bentuk elementer, seperti yang

dibahas pada bab ini.

5.2Game Of ChanceHampir semua masalah simulasi realistik dalam masalah bisnis dan industri

membutuhkan penggunaan bilangan acak yang terdistribusi secara tidak uniform.

Namun pada saat ini marilah kita untuk sementara dalam masalah simulasi

elementer kita hanya membutuhkan bilangan yang terdistribusi secara uniform.

Hal ini untuk sementara sangat penting untuk mempermudah dalam mengertikan

model simulasi yang ada dalam bentuk elementer, seperti yang dibahas pada bab

ini.

5.2.1 Main dengan Melempar dua mata DaduPermainan ini merupakan permaianan judi yang sering menggunakan

kartu, dadu dan sebagainya, dimana banyaknya dari permaian ini didasarkan pada

keluaran bilangan yang berdistribusi uniform. Meskipun nantinya tidak

43

BAB V

MASALAH SIMULASI ELEMENTER

Materi yang dibahas: Umum Game of Chance Aplikasi Simulasi bidang Bisnis Menghitung Integral

berdistribusi uniform dengan bantuan bilangan acak berdistribusi uniform bisa

diselesaikan dan untuk ini akan dibahas pada bagian lain.

Main dengan Melempar Dua Mata Dadu.

Untuk menang:

1. dua dadu lempar pertama keluar jumlah 7 atau 11

2. dua dadu lempar untuk kedua kali dengan catatan lemparan pertama

keluar 4,5,6,8,9 atau 10 sebelum 7

Untuk kalah:

1. Dua dadu pada lemaran pertama keluar 2,3 atau 12

1. dua dadu pada lemparan kedua dengan catatan lemparan pertama

keluar 4,5,6,8,9 atau 10 dan 7 pada lemparan kedua sebelum angka

lemparan pertama.

Untuk Jelasnya penyelesaian pemecahan masalah Game Of Chance ini periksa

flowchartnya Gambar 5.1.

Gambar 5.1 Flowchart Game of Chance jenis dadu

Sebuah contoh pemecahan soal permainan Simulasi dengan dadu

Tiga orang A, B dan C bermain dengan menggunakan 2 buah dadu yang

dilemparkan secara bersamaan dengan ketentuan sebagai berikut: C bertidank

sebagai Bandar, sedang A dan B adalah menebak dengan taruhan tertentu, setiap

urutan ganjil akan memasang taruhan sebesar Rp 200.000,- dan urutan perminan

44

Main

Input N ,KX ,IO

Print N ,K X,IO

Dum m y Rand(KX)

S um = 0

ForI 1 to n

Go S ub2

S um = Sum + Score

Isd IO = 1

Next I

P rint Sum

End

Prin I, Score

no

yes

Sub 1

X1 = 1+int6*rnd

X2 + 1 + int6*rnd

X1 + X 2

Return

yes

is X = 7 atau 11

is X = 2,3 atau 12

score = 1

Return

score = 0

yes

no

sub 2

go sub 1

K = X

G O S UB 1

IS X = K

IS X = 7

Return

no

genap A hanya kan memasang taruhan sebesar Rp. 100.000,- . Model aturan

permainannya adalah sebagai berikut:

1. A akan menang bila jumlah mata dadu yang keluar 5, 11 atau 12, bila

jumlah mata dadu yang keluar selain ini A akan kalah.

2. B akan menang bila jumlah mata dadu yang keluar 7, 9 arau 10 bila

jumlah mata dadu yang keluar selain ini B akan kalah.

3. C sebagai bandar bila A atau B yang menang maka uang bayarannya akan

dibayarkan dengan menggunakan A atau B yang kalah kalau ternyata

uamgnya kurang dari jumlah uang yang kalah maka kepada yang menang

akan tetap mendapat jumlah uang kemenangan yang akan dibayarkan oleh

C sebagai Bandar.

4. Yang perlu diingat sebagai kata kunci adalah jumlah uang untuk yang

menang dan jumah uang yang kalah akan sama.

Coba simulasikan untuk sebanyak 20 kali permainan dan cari jumlah uang

yang didapat atau yang harus dibayarkan oleh mereka: Untuk menentukan

mata dadu yang keluar mata dadu 1 (D1) gunakan kolom satu bilangan acak

yang tersedia, sedangkan untuk menentukan jenis mata dadu 2 (D2).

Untuk menjawab ini pertama harus diasumikan

bahwa ke dua dadu yang digunakan adalah seimbang

artinya peluang mata dadu yang keluar adalah sama

yaitu 1/6. Dari peluang ini akhirnya bisa dibuatkan

peluang kumulatifnya untuk menentukan mata dadu yang akan keluar dengan

bilangan acak yang didapatkan dari kol1 atau kol dari bilangan yang

digunakan. Untuk membuat model hasil simulasinya yang hasilnya ditaruh

dalam kolom-kolom, maka pertama harus diidentifikasi kolom yang

digunakan untuk mendapatkan hasil yang itu sebagai berikut:

1. Untuk kol1 digunakan untuk kolom repelikasi (20 baris)

2. Untuk kol2 untuk menaruh bilangan acak1

3. Untuk kol3 untuk dadu 1 (D1)

4. Untuk kol4 untuk acak2

5. Untuk kol5 untuk dadu 2 (D2)

6. Untuk kol6 menaruh nilai jumlah D1 dan D2

45

7. Untuk kol7 dipakai kolom hasil menangnya A

8. Untuk kol8 dipakai kolom hasil kalahnya A

9. Untuk kol9 dipakai kolom hasilnya menangnya B

10. Untuk kol10 dipakai kolom hasilnya kalahnya B

11. Untuk kol11 dipakai kolom uang yang didapat oleh C

12. Untuk kol12 dipakai kolom uang yang harus dikeluarkan oleh C

123456

Acak2 D1 Acak3 D2 M K M K M K1 0,479 3 0.770 5 8 -2 -1 32 0,883 6 0.679 5 11 1 -2 13 0,244 2 0.665 4 6 -2 -1 34 0,493 3 0.524 4 7 -1 2 -15 0,360 3 0.675 5 8 2 -1 -16 0,907 6 0.866 6 12 1 -2 17 0,043 1 0.338 3 4 -2 -1 38 0,896 6 0.291 2 8 -1 -2 39 0,477 3 0.471 3 6 -2 -1 3

10 0,449 3 0.700 5 8 -1 -2 311 0,086 1 0.355 3 4 -2 -1 312 0,496 3 0.535 4 7 -1 2 -113 0,753 5 0.161 1 6 -2 -1 314 0,010 1 0.109 1 2 -1 -2 315 0,394 3 0.935 6 9 -2 1 116 0,266 2 0.901 6 8 -1 -2 317 0,619 4 0.491 3 7 -2 1 118 0,898 6 0.349 3 9 -1 2 -119 0,659 4 0.331 2 6 -2 -1 320 0,663 4 0.069 1 5 1 -2 1

4 -24 8 -22 38 -4

A kalah sebesar 20 * Rp. 100.000 = Rp. 2.000.000,-B kalah sebesar 14 * Rp. 100.000 = Rp. 1.400.000,-C sebagai bandar dapat uang 34 * Rp. 100.000 = Rp. 3.400.000,-

0.334 – 0.5000.501 – 0.6660.667 – 0.8330.834 – 0.999

Peluang kumulatif Aturan ketentuan permainan sbb:

1. A menang keluar 5,11 dan 12

2. B mnenang keluar 7, 9 dan 10 3. C menang bila keluar 2,3,4,6 dan 8 dan pada keluarnya angka ini A dab klanh

DADU1 DADU2 CA B

0.000 – 0.1660.167 – 0.333

REP Nilai d1+d2

k = 20 k = 14 m = 34

Hasil simulasinya adalah sebagai berikut:

5.2.2 Simulasi Main Kartu Black Jack Dalam permainan ini :

Jack, Queen, & King mempunyai nilai 10 dan semua As bernilai

11, sedang semua kartu yang lain bernilai sesuai dengan angka

yang ada pada masing-masing kartu.

46

Cara bermain:

Kepada sejumlah pemain(N)

masing-masing dibagi 2 kartu. Satu

orang bertindak sebagai bandar,

kemenangan ditentukan melalui nilai

tertinggi yang didapat oleh pemain

atau bandar, dengan catatan nilai

tertinggi tidak melebihi 21.

Setiap pemain boleh mengambil 1 atau lebih kartu sisa di atas

meja. (Untuk lebih jelasnya tidak satu kartupun yang bisa diambil

lebih dari satu kali).

Untuk ini kartu yang terdiri dari 52 kartu diidentifikasikan sebagai

berikut:

C(I) ; I = 1,2,…,52.

I C(I) I C(I)12345678910111213

1.1(As Clapper)2.1(2 Clapper)3.1(3 Clapper)4.1(4 Clapper)5.1(5 Clapper)6.1(6 Clapper)7.1(7 Clapper)8.1(8 Clapper)9.1(9 Clapper)

10.1(10 Clapper)11.1(Jack Clapper)

12.1(Queen Clapper)

13.1(King Clapper)

14151617181920212223242526

1.2(As Diamond)2.2(2 Diamond)3.2(3 Diamond)4.2(4 Diamond)5.2(5 Diamond)6.2(6 Diamond)7.2(7 Diamond)8.2(8 Diamond)9.2(9 Diamond)

10.2(10 Diamond)11.2(Jack Diamond )

12.2(Queen Diamond)13.2(King Diamond )

2728293031323334353637

1.3(As Heart)2.3(2 Heart)3.3(3 Heart)4.3(4 Heart)5.3(5 Heart)6.3(6 Heart)7.3(7 Heart)8.3(8 Heart)9.3(9 Heart)10.3(10 Heart)11.3(Jack Heart)

4041424344454647484950

1.4(As Spade)2.4(2 Spade)3.4(3 Spade)4.4(4 Spade)5.4(5 Spade)6.4(6 Spade)7.4(7 Spade)8.4(8 Spade)9.4(9 Spade)10.4(10 Spade)11.4(Jack Spade)

47

3839

12.3(Queen Heart)13.3(King Heart)

5152

12.4(Queen Spade)13.4(King Spade)

Nilai masing-masing kartu ditentukan dengan:

V = INT(C(I)) dengan kendala tambahan sebagai berikut:

V = 10 bila INT(C(I)) > 10

V = 11 bila INT(C(I)) = 1

Macam kartu ditentukan dengan:

S = 10((C(I)) – INT(C(I)))

Bila S = 1 Clapper, S = 2 Diamond,

S = 3 Heart, S = 4 Spade

Kartu dipilih dengan membangkitkan bilangan acak I:

I = 1 + INT(NI*RND)

NI = jumlah kartu yang masih ada di atas meja yang

pada mulanya NI = 52.

Penyelesaian dengan menggunakan diagram alirnya bisa dilihat

pada diagram alir berikut:

Gambar 5.2 Flowchart simulasi dengan kartu remi

Sebuah contoh pemecahan simulasi dengan kartu

Empat orang A, B, C dan D bermain kartu dengan jenis permainan Black

Jack dengan menggunakan kartu remi satu set (52 kartu tentu tanpa jokernya).

Berturut setelah kartu dikocok ditaruh diatas meja kartu akan mulai oleh A, B, C

dan D setelah ada salah satu ada yang mendapatkan nilai 21 permainan akan

langsung dengan mengumpulkan semua kartu untuk dikocok yang seterusnya

48

DEAL

FO R K 2 = 1 TO N

SCORE K2 = 0

FO R K1 = 1 TO 2

GOSUB C AR DS

SCORE K2 =SCORE K2+V

IS SCORE K2>21

SCORE K2 =12

yes

NEXT K2,K1

RETURN

no

CA RDS

IS N I= 0 KA RTU HABIS

I = 1 + N I*RND

V = INT(C(I))

IS V > 10

V = 10

IS V = 1

RETURN

yes

no

v = 11

A

IS I<NI

A

A

FOR J = I+1 TO NI

C(J-1) = C(J)

N I = N I-1

RE TURN

no

yes

bermain lagi. Coba simulasikan sebanyak 29 kali dan buat laporan komposisi hasil

permainan empat orang ini.

Hasil simulasinya a menang 11 kali, B menang 9 kali, C menang 4 kali

dan D menang 5 kali; untuk hasil lengkap pemecahan masalahnya bias dilihat

pada LAMPIRAN 1

5.2.3 Random WalkModel simulasi dasar Random Walk Proses ini mengambil model suatu

gerakan acak di liuar angkasa, namun dalam soal berikut persoalan

disederhanakan, dengan menggunakan gerakan bebas pada bidang datar. Berikut

adalah sebuah contoh masalah yang penyelesaiannya dengan menggunakan logika

Random Walk Proses.

Seorang buta yang bisa berenang dengan baik, diceburkan ke dalam sebuah

kolam. Dalam berusaha orang ini menyeleamatkan diri dia berusaha berenang

untuk mencapai pinggiran kolam dengan arah sebarang. Dalam memecahkan

masalah bisa saja diasumsikan setiap kali dia bergerak, dia akan bergerak sejauh 1

unit dari tempat sebelumnya.

Setiap saat jarak dari tempat diceburkan semula bisa dihitung dengan rumus

sebagai berikut:

i menyatakan arah gerakan ke i yang diukur dari sumbu X pada koordinak

cartesian.

Jadi bila i sudah ditentukan maka jarak lokasi yang baru dengan titik awal

bisa ditentukan dengan:

xi = xi-1 + cos i

yi = yi-1 + sin i

Sedang diagram alir penyelesaian Random walk bisa dilihat pada diagram alir

pada halaman berikut:

49

Gambar 5.3 Flowchart simulasi random walk

Sebuah contoh pemecahan masalah Simulasi random walk

Coba simulasikan sebanyak 60x seorang buta yang jago berenang yang

dilemparkan ke sebuah kolam yang mempunyai ukuran timur barat sebanyak 10

dan utara selatan sebanyak 8, orang buta ini dilemparkan tepat di tengah-tengah

kolam yang ada. dari pengalaman sebelumnya didapatkan peluang dia beranag

sampai di pinggir utara 0.27,selatan 0.21, ke timur 0.30 dan ke barat 0.22.

untuk menentukan kemana arah si buta berenang gunakan peluang komulatif ke

timur adalah peluang yang terkecil dan bergerak searah jarum jam.

Coba uji hasil yang telah didapatkan ini dengan ketelitian sebanyak 10% apakah

peluang yang didapatkan benar.

Untuk mensimulasikan kemana arah gerakan dari arah si buta gunakan table

bilangan acak yang dibuat sendiri dari tabel1 kalau habis kolom 2 dst.dalam

mengerjakan ini gunakan 4 buah kertas kerja baru kemudian ditunjukkan hasil

simulasinya.

50

W ALK

XI-1 = 0YI-1 = 0

FOR I = 1 TO N

TETA = 2PHI*RND

XI = X I-1+COSTE TAYI = YI-1 +SIN

TETA

DI = akar jum lahkudrat dari xi dan

yi

PRINT I, XI,YI,DI

XI-1 = XIYI-1 = YI

END

Tahap-tahap menjawab:

-buat peluang komulatif untuk membuat gerakan arah si buta

-buat table bilangan acak di excel yang selanjutnya disimpan di word

-buat kertas kerja sebanyak 4

-buat hasil simulasi

-buat hasil pengujian peluang

Sebelum melaksanakan simulasinya pertama dibuat terlebih dahulu

peluang kumulatifnya seperti yang tercantum dalam soal dan didapatkan sebagai

berikut:

0.000 s.d 0.300 Timur0.301 s.d 0.510 Selatan0.511 s.d 0.733 Barat0.734 s.d 0.999 Utara

Peluang Kumulatif

Kertas kerjanya sebanyak 4 replikasi bisa dilihat pada LAMPIRAN 2.Berikut adalah hasil simualsi sebanyak 60 kali dilemparkan ke kolam renang

ReplikasiSampai

Timur Barat Utara Selatan1 1 2 1 3 14 1 5 1 6 17 1 8 1 9 1

10 111 1 12 1 13 1 14 1 15 1 16 1 17 1 18 119 1 20 1 21 122 1 23 1

51

24 125 1 26 1 27 1 28 129 1 30 1 31 1 32 133 1 34 1 35 1 36 1 37 1 38 1 39 1 40 141 1 42 1 43 144 1 45 1 46 147 1 48 1 49 1 50 1 51 1 52 153 154 1 55 1 56 157 1 58 1 59 160 1

Total 10 16 19 15 0.166 0.266 0.316 0.25

awal 0.300 0.220 0.270 0.210eror 0.134 -0.046 -0.046 -0.040

Dari hasil simulasi dengan 60 replikasi didapatkan error dengan hasil

percobaan sebelumnya ada yang melebihi 10% yaitu peluang sampai ke timur

52

13.4% lebih besar dari 10 % jadi peluang yang didapatkan sebelumnya tidak

sesuai dengan hasil simulasi yang dipecahkan dengan 60 kali replikasi.

5.3 Aplikasi Simulasi Bidang Bisnis Proses simulasi stokhastik sangat bermanfaat untuk menganalisa situasi

bisnis yang terkait dengan profit, return on investment dan sebagainya.

Contoh: soal

Untuk meramalkan keuntungan:

Sebuah perusahan mempekenalkan produk baru, dan untuk itu pemimpin

perusahan ingin meramalkan keuntungan per tahun. Diramalkan 35% harapan

menjual antara 40 ribu sampai dengan 60 ribu unit/tahun. 40% harapan menjual

antara 60 ribu sampai dengan 80 ribu unit/tahun dan 25% harapan menjual antara

80 ribu sampai dengan 100 ribu unit /tahun.

Didasarkan pada kondisi pasar sekarang, tampak bahwa perusahan akan

menjual < 40 ribu atau > 100 ribu unit per tahun.

Biaya produksi dan distribusi juga tidak pasti dan didapat angka sebagai berikut:

20% peluang cost antara $ 60 dan $70

35% peluang cost antara $ 70 dan $80

30% peluang cost antara $ 80 dan $90

15% peluang cost antara $ 90 dan $100

Yang pasti kalau dijual dengan harga $ 60 perusahaan pasti rugi, dan kalau

dijual dengan harga $ 100 perusahaan pasti untung.

Untuk mensimulasikan perlu definisi sebagai berikut:

S = harga jual per unit

C = ongkos produksi per unit

V = jumlah terjual tiap tahun

P = keuntungan tiap tahun p = (s-c)v

Dimana C & V (dan juga P) adalah acak dan S adalah decision

Variable(Variabel keputusan)

Untuk mensimulasikan ini maka:

Evaluasi V & C Untuk ini digunakan

53

U1 u distribusi (0,1) bila U1 tidak melebihi 35% V = 50 ribu

((40+60)/2 ribu)

Bila U1 melebihi 35% dan tidak melebihi 75% maka V = 70 ribu.

Bila U1 melebihi 75% maka V = 90 ribu sub(sales)

Untuk C digunakan U2 distribusi (0,1)

Bila U2 20% C = $ 65

Bila 20% < U2 55% $ 75

Bila 20% < U2 85% $ 85

Bila U2 > 85% C = $ 95

Diagram alirnya lihat dibawah:

Gambar 5.5 Flowchart simulasi bisnis

54

M ULAI

INPU T S ,N

FOR I = 1 TO N

GO SUB SALES

GOS UB C O ST

P = (S -C )*V

PR IN T I,S ,S ,V

GEN ERATESTA TISTIC AL

PR IN TSTA TISTIC AL

D ATA

EN D

SALES

U 1 = R ND

IS U1>35

IS U 1 >75

V = 90000

V = 50000

V = 70000

R ETUR N

R ETUR N

R ETU R N

no

no

yes

yes

C OST

U2 = RN D

IS U2>=20

IS U2>=55

IS U2>=85

C = 95

C = 65

C = 75

C = 85

no

no

no

yes

yes RETU RN

RETU RN

R ETUR N

yes

Dari persoalan diatas manajer menghendaki beberapa harapan dari

kebijkasanaan adalah Dalam 45 hari sedikitnya perusahaan mendapatkan untung

meskipun cukup kecil atau bila perlu menjual dengan harga semurah-murahnya

namun dalam 45 perusahaan masih bisa mendapat untung. Coba di tiga

kebijaksanaan manajer dalam menentukan harga jual produk dengan harga 70, 75,

dan 80.

Jawab:

1. Tahap 1 dan tahap 2 – Membuat peluang komulatif V ( Jumlah terjual tiap tahun) dan C (Ongkos Produksi per Unit)

Pel Kumulatif V Pel Kumulatif C0.000 s.d 0.350 50 Ribu 0.000 s.d 0.200 65 $0.351 s.d 0.750 70 Ribu 0.201 s.d 0.550 75 $0.751 s.d 0.999 90 Ribu 0.551 s.d 0.850 85 $

0.851s.d 0.999 95 $

2. Tahap 3 – Membuat kertas kerja /kebijaksanaan sebanyak 3 buah

Kebijaksanaan dengan harga jual 70$Replikasi Acak 1 V Acak 2 C Hasil

1 0.234 50000 0.372 75 ($250,000)2 0.428 70000 0.071 65 $350,000 3 0.436 70000 0.628 85 ($1,050,000)4 0.274 50000 0.391 75 ($250,000)5 0.493 70000 0.429 75 ($350,000)6 0.317 50000 0.004 65 $250,000 7 0.476 70000 0.496 75 ($350,000)8 0.653 70000 0.034 65 $350,000 9 0.046 50000 0.563 85 ($750,000)

10 0.413 70000 0.250 75 ($350,000)11 0.006 50000 0.185 65 $250,000 12 0.744 70000 0.387 75 ($350,000)13 0.908 90000 0.500 75 ($450,000)14 0.451 70000 0.603 85 ($1,050,000)15 0.758 90000 0.903 95 ($2,250,000)16 0.626 70000 0.305 75 ($350,000)17 0.720 70000 0.607 85 ($1,050,000)18 0.260 50000 0.550 75 ($250,000)19 0.278 50000 0.695 85 ($750,000)20 0.692 70000 0.328 75 ($350,000)21 0.081 50000 0.734 85 ($750,000)22 0.350 50000 0.226 75 ($250,000)23 0.095 50000 0.093 65 $250,000 24 0.413 70000 0.334 75 ($350,000)25 0.300 50000 0.038 65 $250,000

55

26 0.438 70000 0.481 75 ($350,000)27 0.197 50000 0.933 95 ($1,250,000)28 0.328 50000 0.427 75 ($250,000)29 0.897 90000 0.794 85 ($1,350,000)30 0.472 70000 0.041 65 $350,000 31 0.666 70000 0.904 95 ($1,750,000)32 0.040 50000 0.738 85 ($750,000)33 0.192 50000 0.624 85 ($750,000)34 0.055 50000 0.167 65 $250,000 35 0.446 70000 0.439 75 ($350,000)36 0.189 50000 0.759 85 ($750,000)37 0.182 50000 0.623 85 ($750,000)38 0.798 90000 0.543 75 ($450,000)39 0.772 90000 0.175 65 $450,000 40 0.570 70000 0.422 75 ($350,000)41 0.118 50000 0.989 95 ($1,250,000)42 0.634 70000 0.691 85 ($1,050,000)43 0.453 70000 0.000 65 $350,000 44 0.756 90000 0.304 75 ($450,000)45 0.271 50000 0.436 75 ($250,000)

TOTAL 2870000 3475 ($20,550,000)

Kebijaksanaan dengan harga jual 75$Replikasi Acak 1 V Acak 2 C Hasil

1 0.339 50000 0.554 85 ($500,000)2 0.943 90000 0.158 65 $900,0003 0.550 70000 0.536 75 $04 0.460 70000 0.667 85 ($700,000)5 0.035 50000 0.759 85 ($500,000)6 0.077 50000 0.523 75 $07 0.524 70000 0.582 85 ($700,000)8 0.867 90000 0.330 75 $09 0.674 70000 0.016 65 $700,00010 0.949 90000 0.880 95 ($1,800,000)11 0.947 90000 0.675 85 ($900,000)12 0.549 70000 0.576 85 ($700,000)13 0.417 70000 0.027 65 $700,00014 0.533 70000 0.586 85 ($700,000)15 0.453 70000 0.597 85 ($700,000)16 0.016 50000 0.715 85 ($500,000)17 0.705 70000 0.063 65 $700,00018 0.401 70000 0.267 75 $019 0.510 70000 0.762 85 ($700,000)20 0.883 90000 0.194 65 $900,00021 0.007 50000 0.295 75 $022 0.678 70000 0.255 75 $023 0.189 50000 0.266 75 $0

56

24 0.641 70000 0.959 95 ($1,400,000)25 0.927 90000 0.030 65 $900,00026 0.882 90000 0.797 85 ($900,000)27 0.763 90000 0.099 65 $900,00028 0.381 70000 0.666 85 ($700,000)29 0.122 50000 0.246 75 $030 0.738 70000 0.672 85 ($700,000)31 0.322 50000 0.230 75 $032 0.081 50000 0.660 85 ($500,000)33 0.407 70000 0.147 65 $700,00034 0.797 90000 0.409 75 $035 0.206 50000 0.514 75 $036 0.833 90000 0.521 75 $037 0.708 70000 0.131 65 $700,00038 0.694 70000 0.406 75 $039 0.713 70000 0.875 95 ($1,400,000)40 0.297 50000 0.380 75 $041 0.584 70000 0.045 65 $700,00042 0.354 70000 0.048 65 $700,00043 0.095 50000 0.956 95 ($1,000,000)44 0.911 90000 0.554 85 ($900,000)45 0.463 70000 0.048 65 $700,000

TOTAL 31300003485 ($6,700,000)

Kebijaksanaan dengan harga jual 80$

Replikasi Acak 1 V Acak 2 C Hasil1 0.384 70000 0.074 65 $1,050,0002 0.049 50000 0.551 85 ($250,000)3 0.694 70000 0.280 75 $350,0004 0.506 70000 0.692 85 ($350,000)5 0.044 50000 0.361 75 $250,0006 0.660 70000 0.067 65 $1,050,0007 0.165 50000 0.706 85 ($250,000)8 0.784 90000 0.516 75 $450,0009 0.919 90000 0.367 75 $450,000

10 0.085 50000 0.545 75 $250,00011 0.904 90000 0.126 65 $1,350,00012 0.001 50000 0.376 75 $250,00013 0.291 50000 0.149 65 $750,00014 0.609 70000 0.509 75 $350,00015 0.557 70000 0.154 65 $1,050,00016 0.544 70000 0.337 75 $350,00017 0.228 50000 0.962 95 ($750,000)18 0.624 70000 0.210 75 $350,00019 0.229 50000 0.402 75 $250,00020 0.147 50000 0.027 65 $750,000

57

21 0.621 70000 0.742 85 ($350,000)22 0.975 90000 0.610 85 ($450,000)23 0.558 70000 0.034 65 $1,050,00024 0.051 50000 0.439 75 $250,00025 0.414 70000 0.389 75 $350,00026 0.102 50000 0.190 65 $750,00027 0.082 50000 0.655 85 ($250,000)28 0.130 50000 0.042 65 $750,00029 0.334 50000 0.202 75 $250,00030 0.808 90000 0.022 65 $1,350,00031 0.276 50000 0.093 65 $750,00032 0.866 90000 0.780 85 ($450,000)33 0.163 50000 0.983 95 ($750,000)34 0.186 50000 0.467 75 $250,00035 0.881 90000 0.299 75 $450,00036 0.792 90000 0.050 65 $1,350,00037 0.257 50000 0.294 75 $250,00038 0.182 50000 0.385 75 $250,00039 0.106 50000 0.973 95 ($750,000)40 0.231 50000 0.642 85 ($250,000)41 0.666 70000 0.715 85 ($350,000)42 0.633 70000 0.720 85 ($350,000)43 0.758 90000 0.460 75 $450,00044 0.187 50000 0.428 75 $250,00045 0.578 70000 0.349 75 $350,000

TOTAL 2890000 $12,850,000

Kebijaksanaan harga jual Total Keuntungan/Kerugian70$ per unit ($20,550,000)75$ per unit ($6,700,000)80$ per unit $12,850,000

Kesimpulan:

1. Pada pengujian kebijaksanaan dengan harga jual $70 dengan lama jual 45

hari mendapatkan Kerugian sebesar $20,550,000.

2. Pada pengujian kebijaksanaan dengan harga jual $75 dengan lama jual 45

hari mendapatkan masih mendapatkan Kerugian sebesar $6,700,000

3. Untuk pengujian kebijaksanaan dengan harga jual $80 dengan lama jual 45

hari baru mendapatkan Keuntungan dengan total sebesar $12,850,000

Jadi dalam ini meskipun keiinginan manager menjual dengan

harga semurah-murahnya, namun masih dapat untuk dari hasil simulasi

diatas produk harus dijual dengan harga $ 80 supaya dapat untung karena

58

kalau dijual dengan harga $ 70 atau $ 75 dalam 45 hari perusahaan masih

merugi.

5.4 Menghitung Integral Metoda StOkhastik digunakan untuk memecahkan sebuah masalah

deterministikmurni. Prosedur ini sering disebut Metoda Monte Carlo.

Membutuhkan seperti halnya didepan tidak lebih dari pada membangkitkan

bilangan acak yang berdistribusi uniform.

Misal menghitung integral:

F(x0 merupakan kurva kontinyu pada batas a x b

Dalam menyelesaikan kasus ini dibutuhkan: 0 f(x) fmax

Metoda Monte Carlo selanjutnya adalah sebagai berikut:

a. Membangkitkan Ux yang harganya terletak antara a & b

b. Evaluasi f(x)

c. Membangkitkan Uy dengan harga antara 0 sampai dengan fmax (Ux

dan Uy merupakan koordinat)

d. Membandingkan Uy dengan f(Ux), bila Uy tidak melebihi f(Ux) maka

bisa disimpulkan bahwa (Ux,Uy) terletak pada kurva.

e. Langkah a sampai dengan d diatas diulangi N kali. Setelah selesai

mendapatkan semua bagian yang ada pada kurva maka Fract dihitung.

Maka Integralnya dihitung dengan :

I = FRACT*(B-A)*fmax

Hitungan cara ini hanya cukup teliti apabila nilai dari N diambil cukup

besar.

59

Diagram alirnya periksa gambar halaman berikut:

Gambar 5.6 Flowchart untuk menghitung integral

Sebetulnya metoda simulasi kurang efisien bila digunakan untuk

memecahkan masalah persamaan integral, lebih-lebih seperti integral

dari distribusi normal sebagai berikut:

60

STAR T

INPUT N

K = 0

FO R J = 1 TO N

Ux = A + (b-a)*rnd

uY = Fm ax*rnd

IS Uy<= F(Ux)

Next J

Fract = k/n

I = Fract*(b-a)Fm ax

PRINT N ,I

STO P

K =K +1 yes

no

Masalah pada simulasi hampir semua simulasi menggunakan bilangan

acak yang berdistribusi uniform, pada hal kita pada komputer hanya ada bilangan

pseudorandom number yang merupakan bilangan berdistribusi uniform (0,1).

Pada Bab ini akan dibahas bagaimana membangkitkan bilangan acak yang

tidak dikendalikan oleh bilangan berdistribusi uniform, tetapi semuanya akan

dibangkitkan dengan pertolongan bilangan berdistribusi uniform; beberapa

diantaranya sebagai berikut:

6.1 The Inverse Transformation Methode.

Berikut adalah sebuah fungsi peluang:

f(x) = fungsi densitas peluang

F(x) = distribusi peluang kumulatif yang harganya dicari dengan

menyelesaikan persamaan integral berikut:

Dimana: 0 F(x) 1

F(x)

Kurva berikut merupakan hubungan x & y

61

BAB VI

NONUNIFORM RANDOM VARIATE

The Inverse Transformtion Methode Distribusi Empiris Distribusi Eksponensial Distribusi Geometrik Simulasi Langsung Distribusi Gamma Distribusi Poisson Distribusi Normal Metode Rejection Distribusi Beta Memilih Fungsi Distribusi Latihan soal

Materi yang dibahas:

1.00

0.50

x

Gambar 6.1 Kurva untuk transformasi invers

Contoh:

Gunakan “inverse transformation method” pada fungsi densitas peluang

berikut: f(x) = x/4 pada batas-batas 1 x 3 untuk membangkitkan bilangan

acak X sebanyak sepuluh (10) dengan harga-harga U berturut-

turut: .35, .97, .22, .15, .60, .43, .79, .52, .81, .65

Jawab:

= (x2 –1)/8 untuk 1 x 3

8Y = x2 – 1 bisa diubah menjadi x2 = 8Y + 1

Dari sini X bisa didapat dengan:

Untuk bilangan acak yang pertama maka U1 = .35 masukkan kedalam

persamaan diatas akan didapatkan sebagai berikut: = 1.95

Dengan jalan yang sama sisanya dikerjakan dan semua hasilnya ditaruh pada

tabel berikut:

i Ui Xi

1 .35 1.95

62

2 .97 2.96

3 .22 1.66

4 .15 1.48

5 .60 2.41

6 .43 2.11

7 .79 2.71

8 .52 2.27

9 .81 2.73

10 .65 2.49

6.2 Distribusi Empiris

Dalam masalah-masalah nyata peluang yang akan terjadi dinyatakan dalam

empiris dari grup data sejumlah j(dimana j = 1,2,…,m); dengan batas batas

bawah XLj dan batas atas XUj sebagai berikut:

XLj X XUj dengan tinggi fj yang merupakan peluang

dimana

f1 + f2 +…+ fm = 1

Y1 = f1

Y2 = f1 + f2

Yj = f1 + f2 + … + fj

Ym = f1 + f2 + … + fm = 1

Harga Yj merupakan peluang bahwa harga X untuk kejadian acak tidak

melebihi Xuj jadi X bisa dibuat dengan mudah dengan bantuan bilangan acak

distribusi uniform U(0,1) dengan interpolasi linier sebagai berikut:

Bila metoda ini diterapkan pada komputer maka harga-harga a,b dan Yj

diinputkan sedang batas-batas interval XLj & XUj bisa dihitung dengan

rumus:

XLj = a + ((b-a)/m)*(j-1)

63

XUJ = a + ((b-a)/m)*j

Contoh:

Berikut adalah: distribusi empiris yang terkait dengan antisipasi batas-

batas ongkos produksi untuk produk baru:

Ongkos produksi/unit peluang kejadian

60-70 0.20

70-80 0.35

80-90 0.30

90-100 0.15

Bangkitkan 10 harga-harga acak untuk ongkos produksi dengan bilangan

acak U(0,1) sebagai berikut: .35, .97, .22, .15, .60, .43, .79, .52, .81, .65

Jawab:

Untuk menjawab soal diatas dimulai dengan mencari peluang distribusi

kumulatif untuk data yang bisa didapat dengan jalan sebagai berikut:

J Xlj Xuj Yj

1 60 70 .20

2 70 80 .55

3 80 90 .85

4 90 100 0.99

Bilangan acak I yang ada adalah:

.35 termasuk pada katagori 2

j = 2

X1 = 70 + [(.35-.20)/.55-.20)*(80-70)

= 74.29

U2 = .97 masuk katagori 4 j = 4

X2 = 90 + [(.97-.85)/(..99-.85)*(100-90)

= 98.00

Diagram alir penyelesaian masalah bisa dilihat pada halaman berikut

berikut contoh hasil perhitungan, coba lengkapi tabel hasil berikut:

I Ui Xi

1 .35 74.29

2 .97 98.00

64

1. .22

2. .15

3. .60

4. .43

5. .79

6. .52

7. .81

8. .65 83.33

Gambar 6.2 Flowchart untuk transformasi invers

6.3 Distribusi Eksponensial

Dalam simulasi sering kita butuh suatu bilangan berdistribusi exponensial

seperti yang sering digunakan model antrian(misalnya dalam kehidupan sehari-

hari: pada bank, airpot, pompa bensin dan sebagainya.

Bagaimana membangkitkan bilangan acak yang berdistribusi exponensial.

Untuk itu misal x = waktu. ∆x adalah peluang terjadinya kejadian acak

antara x dan (x + ∆x). positif diketahui sehingga peluang tidak akan terjadinya

kejadian dalam waktu ini adalah (1 - ∆x) Sekarang pertimbangan untuk interval

batas waktu yang besar 0 – x, dimana interval ini dibagi menjadi n dengan interval

∆x yang sama sehingga x = n*∆x.

65

D ISTR IB US I

G EN ER ATE U

FO R I = 1 TO N

isXUlj<=X<=Xuj

NEXT I

H ITUNG

R ETU R Nno

yes

Sehingga peluang tidak terjadinya kejadian acak pada batas waktu yang

ditentukan bisa ditulis dengan:

LIM (1 - ∆x)n = LIM (1 - ∆x)x/∆x∆x 0 ∆x 0

n ∞ = LIM [(1 - ∆x)-1/∆x]- x

∆x 0

= e- x dimana e adalah bilangan napier

Dari sini bisa didapat peluang terjadinya kejadian:

P(0 X x) = F(x) = 1 – e- x

Dengan fungsi densitas peluang :

f(x) = e- x

mean =µ = 1/

Untuk bisa menggunakan metoda inverse terlebih dahulu

selesaikan persamaan:

F(x) = 1 – e- x

Didapat x = -(1/)ln[1-F(x)]; karena F(x) berdistribusi uniform,

maka harga (1-F(x) juga berdistribusi uniform dan bisa ditulis

dengan cara berikut:

X = -1(1/)ln(U), X adalah bilangan acak yang terdistribusi

exponensial sedang U adalah bilangan terdistribusi uniform(0,1).

Bila dikehendaki dengan batas yang lain misalnya 0 < xo x maka

rumusnya akan menjadi: X = Xo –(1/)lnU dengan = 1/(µ-xo)Bila xo = 0 maka = 1/µ atau µ = 1/.

Contoh :

Bangkitkan bilangan yang berdistribusi exponensial dengan bilangan

berdistribusi uniform (0,1) sebagai berikut:

.35, .97, .22, .15, .60, .43, .79, .52, .81, .65 dengan xo = 2 dan µ = 6.

Untuk menjawab gunakan diagram alirdiabawah ini:

66

EKSP ONE NS IAL

G ENERATE U

X = X o -(1/ALP HA)lnU

RETURN

Gambar 6.3 Flowchart untuk pembangkitan distribusi eksponensial

= 1/(6-2) = .25

X1 = 2 – (1/.25)ln(.35) = 6.20

X2 = 2 –(1/.25)ln(.97) = 2.12

67

Dan seterusnya:

I Ui Xi

1 .35 6.20

2 .97 2.12

3 .22

4 .15

5 .60

6 .43

7 .79

8 .52

9 .81

10 .65 3.72

6.4 Distribusi Geometrik

Kadang dalam suatu percobaan kita membutuhkan bilangan acak berdistribusi

geometrik yaitu peluang untuk sukses P(0 p 1) sehingga peluang gagal kalau

disebu q maka harga q = 1 – p; sehingga didapat peluang x kali gagal dengan

sekali sukses akan menjadi:

f(x) = pqx dimana x adalah integer nonnegatif persamaan ini merupakan

persamaan densitas peluang untuk distribusi Geometrik dengan mean = µ = q/p

Distribusi kumulatifnya dinyatakan dengan:

F(x) = f(0) + f(1) + …+ f(x)

untuk f(0) = p dan p F(x) 1

Metoda inverse:?

Nyatakan distribusi dengan cara sebagai berikut:

P(X>0) = 1 – F(0) = 1 – p = q

P(X>1) = 1 – F(1) = 1-p – pq = q2

68

P(X>2) = 1 – F(2) = 1 – p – pq – pq2 = q3

.

P(X>x) = 1 – F(x) = qx+1

Dimana X adalah bilangan acak berdistribusi geometrik yang bisa ditulis

dengan cara berikut:

(1-F(x))/q = qx dimana F(x) merupakan bilangan uniform U(0,1)

sehingga fungsi [1-F(x)]/q merupakan bilangan uniform U(0,1) juga.

Bisa disimpulkan bahwa:

0 q 1

Untuk menggunakan metoda inverse ditulis dengan cara berikut:

U = qx; dimana U(0,1) maka bila dicari akan didapat sebagai

berikut:

X = INT(lnU/lnq)

Contoh:

Coba bangkitkan bilangan acak berdistribusi geometrik untuk sebuah

proses dengan peluang sukses p = .3. Gunakan bilangan acak U(0,1) berikut:

.35, .97, .22, .15, .60, .43, .79, .52, .81, .65.

Untuk menjawab gunakan diagram alir berikut:

Gambar 6.4 Flowchart untuk distribusi geomtrik

p = .3 maka q = 1 - .3 = .7

X1 = INT(ln.0.35/ln0.7) = 2

X2 = INT(ln.97/ln.7) = 0

69

GEOMETRIK

GENER ATE U

X = INT(lnu/lnq)

return

Berikut adalah hasilnya:

I Ui Xi

1 .35 2

2 .97 0

3 .22 4

4 .15 5

5 .60 1

6 .43 2

7 .79 0

8 .52 1

9 .81 0

10 .65 1

6.5 Simulasi Langsung Distribusi Gamma

Untuk selalu diingat bahwa penggunaan metoda transformasi inverse hanya

bisa digunakan bila pernyataan analitiknya untuk fungsi distribusi kumulatifnya

bisa didapat dan bisa dipecahkan secara explisit untuk x.

Banyak fungsi distribusi densitas peluang yang tidak bisa dipecahkan seperti

halnya densitas peluang distribusi Gamma, sehingga nilai gammanya bisa dicari

dengan simulasi langsung.

Contoh untuk distribusi gamma dengan densitas peluang sebagai berikut:

f(x) = ( x-1 e-x)/(-1)!

Persamaan densitas peluang ini tidak bisa dintegralkan secara analitik.

Dimana merupakan sebuah konstanta positif sedang merupakan sebuah

konstanta bulat positif.

Rata-rata distribusi ini adalah: µ = / dengan varian:

2 = /2 = µ/

sehingga bisa ditunjukkan bahwa vaiabel x diinterpretasikan sebagai jumlah

bilangan acak yang terdistribnusi exponensial dengan expexted value = 1/.

Sehingga x = x1 + x2 + … + x

Dimana:

f(xi) =e-xi ingat bentuk distribusi exponensial terdahulu

70

dimana Ui adalah distribusi (0,1) dan rumus diata bisa ditulis dengan cara

lain:

Untuk ini ingat sifat dari logarithma.

Contoh:

Coba bangkitkan 5 bilngan acak yang berdistribuasi gamma dengan = 1

dan = 2 dengan menggunakan bilangan U(0,1) sebagai berikut:

35, .97, .22, .15, .60, .43, .79, .52, .81, .65.

Jawab:

Rumus umum untuk memecahkan masalah bilangan acak berdistribusi

gamma adalah sebagai berikut:

Jadi kalau yang dibangkitkan sebanyak 5 bilangan acak maka Xg yang

dibangkitkan dimana g = 1,2,3,4,5

Dengan memasukkan kedalam persamaan akan didapat hasil sebagai berikut:

X1 = -(1/1)ln(.35*.97) = 1.08

X2 = -(1/1)ln(.22*.15) = 3.41

X3 = -(1/1)ln(.60*.43) = 1.35

X4 = -(1/1)ln(.79*.52) = 0.89

X5 = -(1/1)ln(.81*.65) = 0.64

Bila nilai dibatasi berharga bulat maka fungsai diatas sering juga disebut

berdistribusi ERLANG.

Pada kasus dimana = = 1 distribusi gamma akan menjadi distribusi

exponensial.

Diagram alirnya periksa gambar halaman berikut.

71

Gambar 6.6 Flowchart untuk distribusi Gamma

6.6 Distribusi Poisson

Distribusi Poisson sering terkait dengan distribusi exponensial dan sering

digunakan dengan yang terkait dengan waktu kedatangan dan waktu kepergian.

Khusunya bila waktu antara kejadian berikutnya terdistribusi exponensial; maka

jumlah kejadian yang terjadi pada interval waktu tertentu akan berdistribusi

Poisson dengan densitas peluang sebagai berikut:

f(x) = ((t)x)/x!)e-t

Dimana dan t konstanta positif;

µ = 2 = t

sedang x adalah bilangan bulat nonnegatif, karena x menyatakan jumlah kejadian

yang terjadi pada waktu t.

Bilangan acak distribusi Poisson tidak bisa dipecahkan dengan cara

analitik maka sebaiknya akan digunakan simlasi langsung. Dengan kendala:

dimana t ditentukan dan ti bilangan acak distribusi exponensial yang bisa

dinyatakan dengan :

ti = -(1/)lnUi

maka akan dicari harga terkecil k yang memenuhi ketidaksamaan berikut:

72

GAM MA

P = 1

FOR I = 1 TO beta

Ui)0,1)

P=P*U i

X = -1/ALPHAln p

RETURN

merupakan bilangan acak yang dicari.

Untuk mempermudah prosedur perhitungan persamaan diatas ditulis ulang

dengan cara lain:

Atau dengan cara lain

Dari persamaan terakhir exponensialkan ke dua sisinya dan di set t = 1

maka akan didapat hasil sebagai berikut:

Prosedur akan menjadi melaksanakan perkalian dari U(0,1) sampai

pertidaksamaan terakhir diatas terpenuhi.

Bilangan acak yang dicari adalah satu kurangnya dari sejumlah Uis yang

dipakai untuk memenuhi pertidaksamaan diatas.

Berikut adalah diagram alir yang digunakan untuk memecahkan masalah

mencari bilangan acak berdistribusi Poisson dengan catatan dalam contoh soal ini

di set t = 1:

Gambar 6.7 Flowchart untuk distribusi Poisson

73

PO ISSO N

F = e(eksP-lam da

P = 1

I = 1

U(0,1)

P = P*U i

IS P < F

X = X-1

RETUR N

I =I +1 yes

no

Contoh:

Coba bangkitkan bilangan acak yang berdistribusi Poisson dengan = 1.5

dengan menggunakan bilangan U(0,1) sebagai berikut:

.35, .97, .22, .15, .60, .43, .79, .52, .81, .65, .20, .57, .10.

Jawab:

Karena di set t = 1 dari persamaan: e- = e-1.5 = 0.223

Sehingga bilangan acak yang dicari dengan mudah bisa dicari dengan cara

mengalikan berturut-turut bilangan acaka dari yang pertama: misalny untuk

mendapatkan bilangan acak yang pertama kalikan tiga bilangan uniform yang

pertama seperti: .35*.97*.22 = .075 < .223; karena bilangan Ui yang digunakan

sebanyak 3 maka bilangan acaka yang dicari adalah X1 = (3-1) = 2.

Hasil bilangan acaka yang lain didapatkan: X2 = 0; X3 = 2; X4 = 3 dan X5

= 1 silahkan dicoba mencari sendiri.

6.7 Distribusi Normal

Dalam keadaan hidup sehari-hari distribusi normal paling sering

digunakan, baik dalam perhitungan nilai maupun lain-lainnya. Distribusi Normal

berbentuk simetri dengan densitas peluang berbentuk bell:

Dimana = nilai rata-rata dan = standard deviasi.

Seperti halnya fungsi gamma, Poisson maka distribusi normal juga tidak

diintegralkan langsung; sehinga kita menggunakan simulasi langsung.

Untuk sekedar mempemudah dalam pemecahan masalah distribusi normal

maka diambil nilai = 1. Sehingga akan didapat nilai standard normal Z dimana

Z = (x-)/ sehingga persamaan diatas akan menjadi:

Fungsi densitas peluang ini adalah distribusi standard normal.

“Central Limit Theorem” dengan sample size yang besar akan menjadi

distribusi normal atau bisa aianggap distribusi normal.

74

Dalam hal khusus, bila rata-rata sampel didapat dari sejumlah N bilangan acak

U(0,1) adalah besar:

maka:

Dengan mengacu pada persamaan distribusi normal sebelumnya; maka

distribusi yang diatas ini akan merupakan persamaan distribusi normal dengan

menset N lebih besar dari 10.

Persamaan terakhir diatas pembilang dan penyebutnya dibagi dengan N

maka akan didapat hasil sebagai berikut:

Dari persamaan terkhir untuk lebih mempermudah di set N = 12; sehingga

persamaan akan berubah menjadi:

Dari rumus ini untuk mencari Z maka jumlahkan saja sebanyak 12 U(0,1)

dan hasilnya dikurangi dengan 6.

Selanjutnya bila dikehendaki membangkitkan bilangan acak berdistribusi

normal dengan rata-rata = dan standard deviasi = maka denga mudah bisa

dicari dengan persamaan berikut:

X = + Z

Contoh:

Coba bangkitkan 1 sebuah bilangan acak berdistribusi normal dengan rata-rata =

5 dan standard deviasi = 2. Dengan menggunakan bilangan uniform U(0,1)

sebagai berikut: .35, .97, .22, .15, .60, .43, .79, .52, .81, .65, .20, .57.

Jawab:

Dari hasil penjumlahan diatas bisa dicari bilangan standard normal Z nya

Z = (6.26 – 6) = .26

X = + Z

= 5 + 2*.26

= 5.52

75

Untuk membangkitkan bilangan acak berdistribusi normal masih bisa

dengan menggunakan cara lain yaitu dengan rumus:

a. Z = (-2lnU1)1/2 sin(2U2)

b. Z = (-2lnU1)1/2 cos(2U2)

Kedua rumus diatas ini memberikan hasil blangan acak yang berdistribusi

standard normal. Sehingga untuk membangkitkan bilangan acak berdistribusi

normal dengan rata-rata dan standard deviasi dengan rumus:

X = + Z

Contoh:

Coba bangkitkan bilangan acak berdistribusi normal dengan = 5 dan =

2 dengan menggunakan bilangan uniform U(0,1) sebagai berikut:

.35, .97, .22, .15, .60, .43, .79, .52, .81, .65, .20, .57.

Jawab:

Z1 = (-2ln.35)1/2sin(2.97) = -.27 X1 = 5 + 2*(-.27) = 4.46

Z2 = (-2ln.22)1/2sin(2.15) = 1.41 X2 = 5 + 2*(-.27) = 4.46

.

Z6 = (-2ln.20)1/2sin(2.57) = -.76 X6 = 5 + 2*(-.76) = 3.48

6.8 Rejection Methode

Metoda ini memberikan prosedur umum untuk membangkitkan bilangan

acak dengan suatu distribusi tertentu yang densitas peluangnya kontinyu dan

“bounded” pada suatu daerah tertentu dimana dengan batas:

0 f(x) fmax; pada interval a x b.

Dengan menggunakan metoda Monte Carlo untuk menghitung integral.

Untuk mendapatkan bilangan acak X ditempuh dengan cara sebagai berikut:

a. Bangkitkan sepasang bilangan acak U1 dan U2 dengan menggunakan

bilangan acak berdistribusi U(0,1).

b. Carilah sebuah bilangan acak Z pada interval a x b dengan rumus:

Z = a + (b-a)*U1

c. Hitung densitas peluang pada titik z f(z)

76

d. Hitung harga acak Y yang berdistribusi uniform dalam interval 0 y

fmax dengan rumus: Y = fmax*U2 (Z dan Y merupakan koordinat

di ruang contoh)

e. Bandingkan Y dengan f(z):

1). Bila Y f(z) X = Z

2). Bila Y > f(z) tolak teruskan ke step a lagi.

f. Untuk mendapatkan sebuah bilangan acak yang diinginkan prosedur a

sampai dengan e dilaksanakan terus sampai titik 5a terpenuhi atau

terlaksana.

6.9 Distribusi Beta

Untuk meberikan ilustrasi penggunaan metoda rejection, maka kita lihat

densitas peluang sebuah distribusi Beta dengan densitas peluang sebagai berikut:

f(x) = ((1+2-1)!x1-1(1-x) (2-1))/((1-1)!( 2-1)!)

dimana 1dan 2 adalah bilangan bulat positif dan 0 x 1 rata-rata distribusi

ini adalah:

= 1/(1+2) dan varian = 2 = 2/(1+2)*(1+2+1)

Sedang variabel acak bisa dintrpretasikan dengan:

x = x1/(x1+x2) dimana x1 = variabel gamma dengan parameter (1,1)

sedang x2 adalah variabel gamma dengan para meter (2,2).

Contoh:

Cara termudah membangkitkan bilangan acak berdistribusi Beta adalah

dengan menggunakan metoda simulasi langsung, untuk itu coba bangkitkan

beberapa bilangan acak berdistribusi beta dengan 1 = 2 dan 2= 3 yang

dibangkitkan dengan pertolongan bilangan U(0,1) sebagai berikut: :

35, .97, .22, .15, .60, .43, .79, .52, .81, .65, .20, .57.

Jawab:

Z = Ui karena a = 0 dan b = 1 ( 0 x 1)m sehingga densitas

peluangnya bisa ditulis menjadi:

dengan harga maximum pada x = 1/3.

77

Dari sini didapat fmax = 12(1/3)(2/3)2 = 16/9 = 1.78 sehinga akan

menjadi:

Y = 1.78 U2.

Dengan cara yang diterangkan didepan didapatkan hasil sebagai berikut:

U1 U2 Z F(z) Y Yf(z) X

.35 .97 .35 1.77 1.73 Ya .35

.22 .15 .22 1.61 .27 Ya .22

.60 .43 .60 1.15 .77 Ya .60

.79 .52 .79 .42 .93 No

.81 .65 .81 .35 .1.16 No

.20 .57 .20 1.54 1.01 yes .20

Dari tabel diatas terbangkitkan 4 bilangan acak yang berdistribusi beta

yang harga-harganya terletak pada kolom terakhir.

6.10 Memilih Fungsi Distribusi

Karena pemilihan fungsi distribusi bagi para pemula maka berikut ada

beberapa petunjuk pertimbangan pemilihan fungsi distribusi:

a. Karakteristik spesial dari fungsi distribusi tertentu.

b. Ketelitian dengan mana sebuah fungsi distribusi bisa menyatakan

sebuah himpunan data empiris tertentu.

c. Kemudahan dengan mana sebuah fungsi distribusi bisa sesuai dengan

himpunan data empiris tertentu.

d. Efisiensi dalam perhitungan bila sebuah bilangan acak dibangkitkan.

78

6.11 Latihan soal

Coba bangkitkan masing-masing 10 bilangan acak dengan bantuan bilangan

acak yang anda buat sendiri:

1. Distribusi yang didapat dengan f(x) = x/5 dengan bilangan silahkan

buat sendiri

2. Distribusi Poisson dengan = 2

3. Distribusi eksponensial dengan xo = 6 dan µ = 10

4. Distribusi Geometrik dengan peluang sukses p = 0.02

5. Distribusi beta dengan 1 = 3 dan 2= 4

6. Distribusi normal yang = 65 dan standard deviasi = 1.25 dengan

menggunakn rumus X = + Z dimana Z = (-2lnU1)1/2 sin(2U2)

yang penting untuk U1, U2 menggunakan kolom yang berbeda dari

bilangan acak yang anda bangkitkan sendiri.

7. Distribusi Gamma dengan = 3 dan = 5

79

Yang perlu menjadi perhatian kita bahwa simulasi bisa dimanfaatkan

dimana saja dalam kehidupan sehari-hari, hanya saja kadang-kadang kita harus

selalu mempertimbangkan dua hal penting yaitu dasar resiko dan dasar dana yang

digunakan dalam tiap kita menggunakan suatu metodologi pemecahan masalah.

Dalam simulasi pada umumnya ada dua dasar yaitu:

a. Model yang didasarkan atas terjadinya “events”(misalnya arrival,

departure dan sebagainya).

b. Model yang didasarkan atas “time”(waktu) misalnya: urutan dari

interval waktu yang berurutan (simulasi pada antrean telpon).

7.1 Prosedur Perhitungan Umum.

Yang pertama sekali harus dikerjakan dengan betul adalah model, bila model

telah diformulasikan dengan benar dan data yang dibutuhkan telah didapat maka

baru dilaksanakan perhitungan dengan prosedur sebagai berikut:

a. Inputkan data (yaitu harga-0harga untuk varriabel keputusan,

parameter sistem) ke dalam komputer.

b. Urutan berikut diulangi N kali:

1). Sebuah harga dibangkitkan untuk masing-masing variabel acak

yang diperlukan (X1, X2, …, Xn)

2). Model kemudian dipecahkan yang akan memberikan harga

numeric untuk masing-masing variabel status.

80

BAB VII

APLIKASI SIMULASI PADA INDUSTRI DAN

BISNISMateri yang dibahas:

Prosedur perhitungan umum Simulasi Pemanfaatan Fasilitas Simulasi Perbaikan Peralatan Simulasi Dalam Pengendalian Inventori Simulasi Dalam Jaring Kerja

3). Kriteria penampilan sistem (y) kemudian dievaluasi dengan

menggunakan bilangan acak yang dibangkitkan pada lanfgkah b 1).

Dan harga-harga yang didapatkan pada variabel status b 2).

(Catatan pengulangan langkah b ini akan meberikan N harga Y

yang berbeda.

c. Hitung dan Cetak informasi statistik untuk kriteria penampilan

sistem.

1). Nilai harapan rata-rata .

2). Standard deviasi .

3) Frekuensi relatif dan frekuensi kumulatif(saran sebaiknya cetak

beberapa input data untuk idenfikasi masalah juga variabel status)

d. Pada beberapa situasi diperlukan untuk mengubah beberapa harga

data input tertentu dan laksanakan simulasi ulang lagi. (langkah a

s/d c).

7.2 Simulasi Pemanfaatan Fasilitas

Banyak masalah yang terkait dengan usaha pemanfaatan fasilitas (seperti:

mesin, servis pelayanan dan sebagainya). Yang dicari kesiambangan jangan

sampai terlalu banyak digunakan dan juga terlalu banyak menganggur, seperti

yang telah diterapkan di TNI-AL pada ALUT dimana ada JADUAL OLAH

GUNA dan ada JADUAL OLAH PERBAIKAN.

Berikut adalah sebuah model simulasi dimana diasumsikan tidak ada

“backlog” artinya bila ada order datang dan fasilitas sedang terpakai maka order

ini tidak akan menunggu atau dengan akata order akan hilang.

“tentunya ada model lain dimana order tidak hilang tetapi menunggu untuk

mendapatkan pelayanan pada antrean yang akan dibahas pada bab lain”

Untuk membahas model ini ada beberapa simbol dan pengertian yang

harus diketahui:

Ai = Arrival time order yang ke i

Di = Departure time dari order yang ke i

ATi = Time interval between the arrival “order” yang ke i-1 dan ke

i biasanya acak.

81

PTi = time required for the facility to process order yang ke i

ITi = waktu fasilitas menganggur dari saat pelanggan yang ke i-1

meninggalkan fasilitas sampai kedatangan ke fasilitas pelanggan ke

i.

TOTIT = Total kumulatif waktu fasilitas menganggur

F = perbandingan fasilitas digunakan (kriteria penampilan sistem).

(utility Jangan lupa suscript diatas hanya untuk pelanggan yang

diproses senyatanya saja tak termasuk order yang hilang).

Untuk menyelesaikan masalah pemanfaatan fasilitas ini cukup

dengan menggunakan beberapa persamaan sederhana sebagai

berikut:

(1). Ai = Ai-1 + ATi

(2) Di = Di-1 + PTi + ITi

Hubungan arrival dengan departure ditulis dengan rumus:

(3) Di = Ai + PTi

order tidak akan hilang bila pertidak samaan berikut terpenuhi

(4) Ai Di-1

Bila Ai yang dibangkitkan dengan (1) tidak memenuhi kondisi (4)

order akan hilang.

Bila itu terjadi maka bangkitkan ATi yang baru lagi dan cari

kembali:

(5) Ai = Ai + ATi

Mudah dilihat bahwa ITi 0 dan (4) terpenuhi maka dari (2) dan

(3) didapat:

(6) ITi = Di – (Di-1+PTi)

= (Ai+PTi) – (Di-1+PTi)

= Ai – Di-1 0

Untuk mulai melaksanakan perhitungan maka untuk mempermudah maka

pada masalah ini di SET A1 = TOTIT = 0 dan D1 = PT1, dimana PT1

dibangkitakan secara acak. Sedang untuk order berikutnya bangkitkan ATi dan

PTi dan hitung Ai dengan menggunakan rumus (1) didepan, bila perlu Ai juga

bisa dihitung dengan rumus (5) bila order yang masuk hilang; Di dihitung dengan

82

rumus (3) dan ATi dengan (2) sedang waktu menganggur fasilitas bisa diupadate

dengan rumus:

(7) TOTIT = TOTIT + ITi

Prosedur ini diulang-ulang sampai sejumlah order tertentu.

Persentase Fasilitas bisa digunakan bisa bisa didapat dengan:

(8) F = (1 – [TOTIT/(Dn –A1)])*100%; Dn adalah keluarnya

pelanggan terakhir dari sistem atau pelanggan ke n.

Diagram alir penyelesaian masalahnya bisa diperiksa halaman berikut:

Gambar 71. Flowchart untuk simulasi pemanfaatan fasilitas

Contoh sebuah rumah sakit ingin melaksanakan studi tentang penggunaan

fasilitas gawat darurat. Jarak waktu antar kedatangan pasien yang membutuhkan

pelayanan fasilitas gawat darurat diketahui berdistribusi Exponensial dengan

mean 1.4 jam. Pelayanan berdistribusi normal dengan mean 0.8 jam dan dengan

dan standard deviasi 0.2 jam.

Setiap pasien harus segera terlayani pada fasilitas bila diperlukan; bila

fasilitas sedang digunakan maka pelanggan ini tidak akan dilayani pada fasilitas

gawat darurat ini namun akan dilayani pada bagian lain dari Rumah Sakit ini.

(yang dalam hal ini tidak dbahas).

83

START

READ N

D O J = 1 TO N

I = 1, a1 =0,TO TOI = 0

GENERATE PTi

D i = ptI

I = I+1

GENERATE ATi

A i = A i-1+ATi

IS A i < D i-1

GENERATE NE WATi

A i = A i +ATi

GEN ERATE PTi

D i = Ai + PTi

ITi = D i-(dI-1_PTi)

A

TO TIT=TOTIT+ITi

IS I<N

F=1-TOTIT/D i

GEN ER ATESTATISTICALINFORMASI

W RITE DA TAOU TPUT

STOP

A

no

yesyes

no

Dengan menggunakan diagram alir dari yang sudah ada pada halaman

sebelumnya, maka rumah sakit ini bisa mulai dismulasikan dengan hasil seperti

yang terlihat pada tabel hasil simulasi dibawah:i Ati Ai AiDi-1 Pti Di Iti TOTIT

1 0 0.746 0.746 0 0

2 1.470 1.470 Yes 1.082 2.552 0.724 0.724

0.043 1.513 No

3 2.120 3.633 Yes 0.886 4.519 1.081 1.805

4 2.656 6.289 Yes 0.782 7.071 0.770 3.575

0.715 7.004 No

5 1.182 8.186 Yes 0.694 8.880 1.115 4.690

0.330 8.516 No

6 0.915 9.431 Yes 0.648 10.079 0.551 5.241

0.295 9.726 No

7 0.608 0.608 Yes 0.840 11.169 0.250 5.491

8 2.253 12.582 Yes 1.182 13.764 1.413 6.904

Dari tabel hasil simulasi diatas bisa dicari berapa persen fasilitas gawat

darurat digunakan:

Hitung lamanya simulasi di “RUN” yaitu Dn – A1 = 13.764-0 = 13.764,

sedang waktu menganggur fasilitas secara kumulatif bisa dilihat pada tabel

hasil simulasi diatas yaitu Iti = 6.904, sehingga bisa didapatkan persentase

pemanfaatan fasilitas yaitu:

F = [1-(6.904/13.764)]*100% = 50.20%

Sebuah contoh lain tentang simulasi gawat darurat

Sebuah rumah sakit ingin melaksanakan studi tentang penggunaan fasilitas

gawat daruratnya. Untuk itu manager rumah sakit telah melaksanakan studi

perbandingan pada rumah sakit yang telah mempunyai fasilitas gawat darurat.

Dari hasil studi ini didapatkan untuk membuat sebuah fasilitas gawat darurat

diperlukan investasi awal sedikitnya Rp. 100.000.000,-,sedang untuk tenaga

medis apabila akan disiapkan hanya satu server saja setiap hari jumat tenaga

medis ini dibayar Rp. 5.000.000,-. Pada rumah sakit yang diteliti didapatkan

bahwa setiap pasien yang dilayani keluarganya akan membayar Rp. 1.200.000

untuk setiap jam pelayanan sedang untuk peralatan yang digunakan diperlukan

biaya pemeliharaan sebesar Rp. 100.000/ jam pemakaian. Pada rumah sakit ini

84

waktu antar kedatangan berdistribusi acak dan dicari dengan menggunakan table 1

sedangkan lamanya pelayanan berdistribusi acak menggunakan table 2. Untuk

mencari nilai waktu antar kedatangan gunakan kolom ganjil mulai kol 1

sedangkan untuk lamanya pelayanan gunakan kolom genap mulai dari kol 2.

Rumah sakit ini akhirnya memutuskan untuk membuat fasilitas gawat

darurat dan ternyata untuk fasilitas bangunan dan perlengkapannya dibutuhkan

dana Rp.120.000.000; Rumah sakit ini karena baru akan membuka fasilitas gawat

darurat ini diputuskan oleh manager pelanggan yang akan dilayani disini cukup

membayar Rp. 1.000.000/jam pelayanan. Fasilitas dibuka tanggal 1 januari hari

senin jam 08.00

Pertanyaan:

1. Kapan rumah sakit ini mencapai BEP?

2. Selama simulasi berapa pelanggan yang datang?

3. Berapa pelanggan yang dilayani?

4. Berapa pelanggan yang tidak dilayani?

5. Sampai dengan didapatkan BEP, berapakah utility system?

6. Apa saran anda kepada manager rumah sakit ini?Coba saran ini

didukung dengan menggunakan cost and benefit analisis.

Hasilnya bisa dilihat pada LAMPIRAN 3

7.3 Simulasi Perbaikan Peralatan

Dalam kasus ini diasumsikan situasi ideal, dimana selalu ada tersedia

Team HARKAN bila sebuah peralatan mengalami kerusakan yang memerlukan

perbaikan. Dalam hal ini tidak ada Backlog Demand. Asumsi mungkin tepat

untuk kasus tertentu, tetapi tidak tepat untuk kasus lainnya.

Sebagai pertimbangan “preventiive maintenance” akan dikerjakan pada

interval waktu yang rutin.

Berikut adalah: beberapa simbol yang harus dipahami sebelum kita

mencoba membahas simulasi tentang pemeliharaan peralatan.

Ai = waktu terjadinya kerusakan ke i (sama dengan waktu

kedatangan Team yang akan memperbaiki)

85

Di = waktu telah selesainya diperbaiki perlatan yang rusak sama

dengan waktu perginya team HARKAN.

Dti = interval waktu antara penyelesaian perbaikan ke (i-1) dengan

kejadian rusak i (sama dengan lamanya peralatan berfungsi

sebelum terjadi kerusakan. Biasanya acak.

Rti = waktu yang dibutuhkan untuk memperbaiki kerusakan ke i.

Ini juga biasanya bilangan acak.

MT = waktu yang dibutuhkan untuk melaksanakan pemeliharaan

preventive rutin(diasumsikan konstan sebagai input parameter).

CT = waktu siklus (yaitu waktu antara servis pemeliharaan rutin

dan ini merupakan input parameter)

MC = maintenance cost, per unit waktu pemeliharaan rutin (input

parameter).

TOTC = kumulatif total cost per maintenance cycle(kriteria

penampilan sistem).

NC = jumlah dari siklus pemeliharaan dalam periode simulasi

(input parameter)

Model matematisnya didasarkan pada dua persamaan; yang

menerangkan kejadian rusak untuk suatu peralatan, dan waktu

yang dibutuhkan untuk memperbaiki masing-masing kerusakan.

Ai = Di-1 + Dti

Di = Ai + Rti

Kumulatif total cost harus selalu di”update” bila perlatan diservis

dengan rumus:

TOTC = TOTC + RC*Rti untuk setiap perbaikan

TOTC = TOTC + MC*MT ini bila dilaksanakan

pemeliharaan rutin.

86

Diagram alir pemecahan masalahnya adalah sebagai berikut:

Gambar 7.2 Flowchart untuk simulasi HARKAN

Contoh sebuah mesin mempunyai 12 “drill press” yang digunakan secara kontonyu. Masing-masing mempynyai kerusakan yang mengikuti distribusi sebagai berikut:

Waktu antara kerusakan hari Frekuensi relatif0 - 1.99 0.0212 - 3.99 0.0444 - 5.99 0.0796 – 7.99 0.1068 – 9.99 0.119

10 – 11.99 0.12812 – 13.99 0.12314 – 15.99 0.11316 – 17.99 0.09218 – 19.99 0.06720 – 21.99 0.04722 – 23.99 0.03224 – 25.99 0.01826 – 27.99 0.00828 – 29.99 0.003

Total 1.000

Waktu perbaikan dari peralatan berdistribusi Gamma dengan = 3 dan

= 2, (sehingga exponensial value dariwaktu perbaikan adalah 2/3 hari). Biaya

87

STA RT

READ INPUTDATA

FOR I = 1 TO NC

I=0,A1=0,D1 =0TOTC =0

I=I+1

GENERATE DTi

A i = D i-1+DTi

IS A i<CT

GENERATE RTi

D i = A i + RTi

TOTC=TOTC +RC+RTi

IS D i<CT

TOTC=TOTC +M C+M T

GEN RATESTATISTICAL

INFORMA TION

STOP

down time per hari adalah $ 100, untuk lebih menyederhanakan diasumsikan

tukang atau montir selalu tersedia kapan saja mesin mengalami kerusakan(ini

memang tidak realistik tetpi suatu ketika adalah yang paling realistik ingat KRI),

jadi untuk perbaikan mesin tidak harus menunggu.

Program pemeliharaan preventiveyang dilaksanakan secara periodik butuh

waktu 6 jam per mesin, dengan biaya $ 50 per mesin. Bila program ini digunakan,

semua mesin akan diservis setelah 60 hari kerja kontinyu, mesin juga diperbaiki

hari minggu bila rusak. Berikut adalah ilustrasi prosedur perhitungan simulasi

untuk satu cycle pemeliharaan.

i Dti Ai Ai<60 RTi Di Di<60 Cost TOTC

1 9.64 9.64 Yes 0.36 10.00 Yes 36 36

2 24.05 34.05 Yes 1.14 35.19 Yes 114 150

3 7.51 42.70 Yes 0.45 43.15 Yes 45 195

4 6.10 49.25 Yes 0.80 50.05 Yes 80 275

5 13.77 63.82 No Stop 50 325

Kerusakan ke 5 terjadi setelah 63.82 hari ini > dari 1 siklus (60 hari) total

cost untuk contoh diatas adalah biaya perbaikan kumulatif sebesar $ 275 ditambah

biaya pemeliharaan sebesar $ 50 = $ 325.

Sebagai catatan hampir semua masalah pemeliharaan perlatan terkait

dengan peralatan bebas yang ada dalam peralatan itu sehingga harus dismulasikan

satu persatu untuk semua peralatan.

Sebuah contoh lain Simulasi pemeliharaan dan perbaikan peralatan

Waktu perbaikan dari peralatan berdistribusi acak yang ditentukan

menggunakan tabel 1 yang nilainya dicari menggunakan tabel bilangan acak kol1.

Biaya down time per hari kerusakkan adalah $ 200, untuk lebih menyederhanakan

diasumsikan tukang atau montir selalu tersedia kapan saja mesin mengalami

kerusakan(ini memang tidak realistik tetpi suatu ketika adalah yang paling

realistikingat KRI), jadi untuk perbaikan mesin tidak harus menunggu.

Program pemeliharaan preventive yang dilaksanakan secara periodik butuh waktu

12 jam per mesin, dengan biaya $ 250 per mesin. Bila program ini digunakan,

semua mesin akan diservis setelah 200 hari kerja kontinyu, mesin juga diperbaiki

88

hari minggu bila rusak. Berikut adalah ilustrasi prosedur perhitungan simulasi

untuk satu cycle pemeliharaan. Dalam satu cycle dilaksanakan pemeliharaan

secara menyeluruh dengan dana sebesar $ 750, dan dikerjakan selama 1 minggu (7

hari). Interval waktu antara kerusakkan ke i-1 dan i berdistribusi acak ditentukan

tabel 2 dengan menggunakan kol2 yang nilainya dicari dengan menggunakan

tabel bilangan acak yang ada. Coba simulasikan sebanyak 20 cycle.

Pertanyaan:

1. Coba rencanakan bentuk output (kolom) yang menampung semua

informasi yang dibutuhkan

2. Cari nilai rata-rata dan standart deviasi selama 20 siklus

Tahap–tahap menjawab:1. Untuk membuat model outputnya siapkan kolom-kolom sebabgai

berikut:2. Kol1 untuk NC3. Kol2 untuk Rep4. Kol3 No untuk setiap NC5. Kol4 untuk nilai acak 16. Kol5 untuk DTi7. Kol6 untuk Ai8. Kol7 untuk check apakah bisa kerusakan yang terjadi ditangani9. Kol8 untuk nilai acak 210. Kol9 untuk RTi11. Kol10 untuk Di12. Kol11 untuk check apakah masih bisa diperbaiki13. Kol12 untuk cost14. Kol13 untuk TOTC (untuk total ongkos)

Hasil simulasi sebanyak 10 replikasi didapat rata-2 total ongkosnya

adalah $77.075 dengan standard deviasi $4.05, untuk lengkapnya

pemecahan masalahnya bis dilihat pada LAMPIRAN 4.

7.4 Simulasi Dalam Pengendalian Persediaan

Setiap perusahaan atau rumah tangga tidak ada yang tidak menggunakan

inventori, pada umumny selalu menyimpan inventori bermacam-macam barang

untuk memenuhi kebutuhan kebutuhan sehari-hari baik untuk pelanggan atau

untuk memenuhi kebutuhan seharihari rumah tangga. Karena itu. Karena transaksi

dari pelanggan akan menyebabkan barang di gudang sampai pada suatu level

tertentu dimana perusahaan harus beli lagi.

89

Barang sampai level tertentu ini sering disebut sebagai titik pesan kembali

atau reorder point. Pada saat ini barang-barang di gudang berkurang terus sampai

suatu ketika barang masuk kembali dari hasil pesanan, waktu dari saat memesan

barang sampai dengan barang sampai di gudang disebut Lead Time yang sering

juga di Indonesiakan dengan waktu ancang. Pengendalian inventori bertujuan

untuk menjaga level inventori barang di gudang yang cukup dengan biaya yang

tidak terlalu banyak.

Untuk pemecahan masalah ini paling tepat digunakan model berdasarkan

waktu, constant tmie interval, namun sebelum kita mulai mebahas materinya

maka perlu dibahas terlebih dahulu beberapa pengertian untuk mempermudah

dalam perhitungan nanti.

D = customer demand jumlah satuan per hari (acak)

IL = inventori level, dalam satuan

S = inventory shortage, jumlah satuan per hari

ROP = Reorder Point dalam satuan

Q = order size dalam satuan

LT = lead time, dalam satuan waktu

t = waktu kumulatifdalam hari

tf = final time dalam hari kriteria untuk stop

T = waktu pesanan akan terpenuhi (waktu barang masuk ke gudang)

NB = jumlah dalam satuan back order

CI = carrying cost per satuan per hari

CIT = cumulative carrying cost

CO = order cost per order

CS = shortage cost, per satuan per hari

CST = cumulative shortage cost

TOTC = cumulative total cost (kriteria penampilan sistem)

Model matematisnya adalah adalah model yang mangambil inventory

level dan jumlah satuan back ordered; sehingga inventory level diatur upward

setelah order baru diterima dengan rumus:

IL = IL + Q – NB

90

Dan secara down ward untuk memenuhi permintaan dari pelanggan dengan

rumus:

IL = IL – D

Dengan kendala: IL 0

Dengan jalan yang sama jumlah satuan backward diatur secara upward bila terjadi

shortage dengan rumus:

NB = NB + S

Dan arah down ward bila pesanan baru diterima dengan rumus:

NB = NB – Q

Dengan kendala: NB 0

Shortage S akan terjadi bila D > IL sehingga dari rumus diatas akan didapat IL

negatif, dan untuk ini maka di set S = -IL dan IL = 0

Waktu kumulatif didapat dengan t = t + 1

Bila melaksanakan pesanan baru maka waktu deliverynya ditentukan dengan

rumus:

T = t + LT

Selanjutnya dibutuhkan untuk menghitung bermacam-macam biaya kumulatif

antara lain:

Cumulative carrying cost dengan rumus:

CIT = CIT + CI*IL

Cumulative shortage cost dengan rumus:

CST = CST + CS*NB

Cumulative order cost

COT = COT + CO

Akhir simulasi dibutuhkan kriteria penampilan sistem yaitu cumlative total

cost dengan rumus:

TOTC = CIT + CST + COT

Contoh:

Sebuah perusahaan menjual TV berusaha menjaga jumlah TV di

gudang untuk memenuhi permintaan pelanggan yang datangnya mengikuti

distribusi Poisson dengan mean 8.2 set per hari. Lead time untuk mendapatkan TV

set yang baru dari supplier adalah 5 hari.

91

Akan ditentukan dengan simulasi suatu kebijaksanaan pemesanan (yang

cocok dengan ROP dan order size). Bila CI = $.25/set/hari, biaya tiap kali pesan

$20, jangan lupa + biaya harga dari masing-masing barang. Biaya kehabisan

barang CS = $ 2 per set per hari.

Coba simulasikan masalah ini dengan dasar IL awal 60 set ROP 40 set dan

dengan Q = 50 set.

Dari rumus yang ada didepan maka didapat hasil simulasi seperti yang

terdapat pada tabel berikut:

T D IL NB PESAN? CIT CST COT TOTC

0 0 60 0 0 0 0 0

1 10 50 0 No 12.50 0 0 12.50

2 12 38 0 Yes 22.00 0 20 42.00

3 9 29 0 No 29.25 0 20 49.25

4 11 18 0 No 33.75 0 20 53.75

5 8 10 0 No 36.25 0 20 56.25

6 12 0 2 No 36.25 4 20 60.25

7 6 42 0 No 46.75 4 20 70.75

8 9 33 0 yes 55.00 4 40 99.00

9 11 22 0 no 60.50 4 40 104.50

10 5 17 0 No 64.75 4 40 108.50

Dalam praktek banyak variasi lain misalnya dengan model:

a. Tidak ada backorder (NB)

b. LT = 0 (Pada saat pesan barang langsung datang)

c. LT mungkin acak

d. Pesanan (order) boleh overlap model ini sering disebut sebagai model

multiple order dimana setiap saat boleh melaksanakan pesanan apabila

barang yang ada digudang lebih kecil dari titik pesankembali. Akibat

model ini maka ada konsekuensi logis yang timbul bahwa barang yang

masuk akibat multiple order bisa melebihi kapasitas gudang sehingga

barang lebih ini terpaksa harus disimpan pada gudang sewa dari

gudang orang lain.

e. Sebuah inventory yang lengkap akan mengandung lebih dari satu item

barang,

92

f. Bisa terjadi sebuah item hanya bisa disimpan di gudang dalam waktu

tertentu saja sebagai contoh barang-barang kimia, darah dan

sebagainya, tidak bisa digunakan kalau sudah lewat waktu atau dengan

kata lain, barang itu segera harus dikeluarkan dari gudang setelah

waktu tertentu.

Hitungan secara analitik untuk ROP dan Q yang akan meminimalkan total

inventory cost adalah:

a. Fixed (deterministik) demand dan LT konstan serta tidak ada

backorder bisa dihitung dengan menggunakan rumus berikut:

ROP = D*LT

CT = CO*D/Q +CI*Q/2

CT biaya total harian

b. Permintaan acak (distribusi Poisson dengan parameter dan LT = 0

dan tidak ada backorder dengan rumus:

ROP = 0 (sebab LT = 0 atau barang yang dipesan langsung dapat)

Q = bilangan bulat terbesar sedemikian rupa:

Q = Q(Q-1) CI*(Q-1)/2

Berikut adalah sebuah jawaban model simulasi multiple order dimana

terdapat beberapa variabel yang menjadi pertimbangan baru.

Pada model ini yang merpakan model multiple order murni

Yang menjadi input parameter adalah sebagai berikut:

Kapasitas gudang =

Ongkos simpan per unit/perhari digudang sendiri =

Ongkos simpan per unit/hari digudang orang lain =

Ongkos kehabisan barang per unit/hari =

Titik pesan ulang =

Sebuah contoh Lain simulasi inventori

Akan disimulasikan sebuah barang yang sangat laris di dalam pasar, untuk

itu manager tidak menghendaki adanya pelanggan yang tidak terlayani akibat

barang di gudang habis, sehingga untuk itu kepada kita disuruh membuat model

93

simulasi multiple order murni dimana terdapat beberapa variabel yang menjadi

pertimbangan baru.

Pada model ini yang merpakan model multiple order murni, beberapa yang

bersifat acak adalah : demand (D), ditentukan dengan menggunakan tabel 1, yang

nilai nya diambil dengan kolom 1; Volume sekali pesan (Q) ditentukan dengan

menggunakan tabel 2 yang nilai nya diambil kolom 2; ongkos sekali pesan (CO)

ditentukan dengan tabel 3 yang nilainya ditentukan dari kolom 3 dan lead

time(LT) ditentukan dengan tabel 4 yang nilai nya dari kolom 4.

Yang menjadi input parameter adalah sebagai berikut:

Kapasitas gudang = 2000 unit

Ongkos simpan per unit/perhari di gudang sendiri = $30

Ongkos simpan per unit/hari digudang orang lain = $40

Ongkos kehabisan barang per unit/hari = $35

Titik pesan kembali (ROP) = 500 unit Tabel peluang kumulatif syarat penentuan nilai variabel

Pel Kumulatif D Q CO LT0.000 - 0.125 100 750 500 10.126 - 0.250 150 850 1000 20.251 - 0.375 200 950 1500 30.376 - 0.500 250 1050 2000 40.501 - 0.625 300 1150 2500 50.626 - 0.750 350 1250 3000 60.751 - 0.875 400 1350 3500 70.876 - 0.999 450 1450 4000 8

Coba simulasikan dengan kebijaksanaan untuk selama 40 hari berikut :

1. Di gudang pada awalnya ada 1000 unit

2. Di gudang pada awalnya ada 1200 unit

3. Di gudang pada awalnya ada 1500 unit

Kebijaksanaan mana yang harus ditempuh oleh manager?

Jabawabnnya bisa dilihat pada LAMPIRAN 5

Kebijaksanaan Total Cost1000 unit Rp. 190.097.500,001200 unit Rp. 241,975,000.001500 unit Rp. 181,575,000.00

94

Kesimpulan :

4. Pada pengujian kebijaksanaan dengan 1000 unit di gudang pada awalnya

dengan lama jual 40 hari mendapatkan total sebesar Rp. 190.097.500

5. Pada pengujian kebijaksanaan dengan 1200 unit di gudang pada awalnya

dengan lama jual 40 hari mendapatkan masih mendapatkan total sebesar

Rp. 241,975,000.00

6. Untuk pengujian kebijaksanaan dengan 1500 unit di gudang pada awalnya

dengan lama jual 40 hari baru mendapatkan total sebesar Rp.

181,575,000.00

Jadi keputusan yang diberikan kepada manajer yang sesuai dengan

hasil simulasi inventory adalah menggunakan kebijaksanaan dengan penyediaan

di gudang pada awalnya 1500 Unit, karena hanya dengan kebijaksanaan itu

perusahan mendapatkan Total Cost terkecil untuk penghematan biaya.

7.5 Simulasi Dalam Jaring Kerja

Jaring kerja merupakan suatu himpunan yang terdiri dari simpul dan

busur, dimana penghubung dari simul ke simpul sering berdistribusi tertentu,

sesuai dengan busur itu merupakan fungsi apa seperti pekerjaan atau kegiatan

tertentu.

Simpul Awal atau pangkal dari busur simpul awal sedang ujung anak

panah disebut simpul tujuan; kalau simpulnya terletak bukan simpul yang terakhir

disebut simpul tujuan antara, sedang bila simpulnya merupakan simpul terakhir,

maka disebut simpul tujuan akhir.

Dalam perhitungan semua simpul diberi nomor simpul berurutan dengan

simpul awal diberi nomo r simpul 1(I=1) ke simpul tujuan simpul n, sehingga

dengan asumsi diatas otomatis n menjadi jumlah simpul.

Didefinisikan pij sebagai peluang pemilihan simpul i ke simpul j.

Sehingga bila berada pada simpul i, pij adalah peluang untuk memilih busur ij

adalah busur yang menuju simpul j. Karena simpul antara bisa mempunyai

beberapa tujuan, maka bisa ditulis pada setiap busur akan berlaku rumus untuk

peluang pemilihan busur sebagai berikut:

95

Dimana i = 1,2,…,(n-1) sedang j = 2,3, …, n

Panjang busur tij adalah acak dengan distribusi tertentu, misalnya dengan

mean = ij dan stantard ij

T merupakan panjang waktu kumulatif jalan dari awal menuju simpul

tujuan akhir.

Sehingga panjang kumulatif dari simpul awal bisa selalu di update dengan

rumus:

T = T + tij

Diagram alir pemecahan masalahnya adalah sebagai yang tertera pada

halaman berikut.

Gambar 7.3 Flowchart untuk simulasi grafik

Bila algorithma atau diagram alir diatas diikuti setelah i = j maka simpul j

yang tadinya merupakan simpul tujuan antara ini akan menjadi simpul awal yang

96

MU LAI

IN PUT N

FOR I = 1 TO N

T = 0, I = 0

GE NER ATE P (i,j)

GEN RATE tij

T = T + tij

TU LIS D ATAOUTPUT

IS I>N

HITU N GIN FO RM ASISTATISTIK

SELESAI

yes

no

baru dan bila kita ikuti terus sampai i = n maka berarti sudah sama pada simpul

tujuan akhir.

Contoh: Coba simulasikan jaring kerja berikut untuk mendapatkan CPM

yang baik untuk sedikitnya 10 kali replikasi dengan catatan seluruh busur

mempunyai waktu penyelesian berdistribusi normal dengan mean dan

standard deviasi yang diketahui. Dimana simpul awal adalah simpul 1 dan

simpul tujuan akhir adalah simpul 19. Pemilihan setiap simpul j yang akan

menjadi simpul i baru adalah acak.

Untuk menjawab model simulasi diatas maka yang perlu dipikirkan adalah

bagaimana membuat sebuah tabel selengkap mungkin sehingga baik anda maupun

orang lain mudah untuk mengerti. Rep Awal Tujuan Peluang Pelkumul Acakb Busurp Acak1 Acak2 Waktu TKumul

1 1 2 0.152 0.152 0.657

1 3 0.147 0.299

1 4 0.211 0.510

1 5 0.365 0.875 (1,5)

1 6 0.125 1.000

2 3 0.345 0.345

2 10 0.337 0.682

2 11 0.318 1.000

3 4 0.451 0.451

3 9 0.334 0.785

3 10 0.215 1.000

4 5 0.359 0.359

4 8 0.441 0.800

4 9 0.200 1.000

5 7 0.456 0.456 0.811

5 8 0.334 0.790

5 17 0.210 1.000 (5,17)

6 5 0.751 0.751

6 7 0.249 1.000

7 17 1.000 1.000

8 16 0.452 0.452

8 17 0.548 1.000

9 8 0.345 0.345

9 14 0.445 0.790

9 16 0.210 1.000

10 9 0.245 0.245

10 12 0.2.65 0.510

10 13 0.265 0.7.75

10 14 0.225 1.000

11 10 0.375 0.375

11 12 0.625 1.000

12 13 0.545 0.545

12 15 0.4.55 1.000

13 14 0.673 0.673

13 19 0.327 1.000

14 16 0.776 0.776

14 19 0.224 0.224

15 13 0.871 0.871

15 19 0.129 1.000

97

16 18 0.657 0.657

16 19 0.343 1.000

17 16 0.725 0.725 0.625

17 18 0.275 1.000 (17,18)

18 19 1.000 1.000 (18,19)

Sebagai ajang latihan coba lengkapi tabel diatas, terutama penentuan nilai

bilangan acak normal untuk kegiatan terpilih dengan menggunakan rumus yang

menggunakan sinus(ingat rumus untuk mencari nilai standard normal).

Berikut jawaban untuk yang 10 x repelikasi lengkap dengan laporan hasil

statistiknya.

SOAL

Coba simulasikan jaring kerja berikut untuk mendapatkan CPM yang baik

untuk sedikitnya 1 kali replikasi dengan catatan seluruh busur mempunyai waktu

penyelesian mempunyai distribusi normal dengan mean dan standard deviasi yang

diketahui. Dimana simpul awal adalah simpul 1 dan simpul tujuan akhir adalah

simpul 19. Pemilihan setiap simpul j yang akan menjadi simpul i baru adalah

acak.

Gambar 7.4 Contoh gambar grafik

Untuk menjawab model simulasi diatas maka yang perlu dipikirkan adalah

bagaimana membuat sebuah tabel selengkap mungkin sehingga baik anda maupun

orang lain mudah untuk mengerti. Semua kegiatan berdistribusi normal dengan µ

20 hari σ 5 hari, laksanakan simulasi selama 10X dan buat laporan statistiknya

(Cari µ dan σ ). Untuk menetukan bilangan acak normal yang didapatkan gunakan

kolom 1 untuk U1 dan kolom 2 untuk U2, dengan menggunakan rumus Z = (-

lnU1)1/2 sin(2U2).

98

1

2 11

12

15

19

3 10

13

4 9 14

5

6 7 17

18

8 16

Tabel Statistik

Replikasi Total Hari Lintasan1 93,911 1-6-7-17-16-192 97,415 1-6-7-17-18-193 110,224 1-2-11-12-15-194 87,62 1-4-9-14-195 66,586 1-5-17-16-196 122,412 1-3-9-8-17-18-197 138,192 1-3-4-5-7-17-16-198 117,643 1-4-9-8-16-18-199 85,472 1-4-9-16-19

10 75,231 1-3-9-16-19

Kesimpulan

Rata-rata hari : 99,4706

Dengan standard deviasi = 22.391

Hari tercepat: 66,586

Hari terlam: 138,192

Pemecahan lengkapnya bisa dilihat pada LAMPIRAN 6

99

100