BAB III - Dwipurnomoikipbu's Blog | Just another … · Web viewDengan menggunakan aturan rantai...

BAB IIITURUNAN FUNGSI

3.1 Pengertian dan Sifat TurunanPerhatikan gambar berikut.

Pada gambar di atas, garis L menyinggung kurva y f(x) di titik (x,f(x)), sedangkan garis L1 melalui titik (x,f(x)) dan titik (x+h,f(x+h)). Jika h mendekati nol, maka garis L1 akan mendekati garis L, sehingga gradien garis L1 akan mendekati gradien garis L. Hal ini dapat dinyatakan dalam bentuk limit sebagai berikut:

.

Bentuk dikenal sebagi turunan fungsi y = f(x),

yang dinotasikan dengan

, y’ , , atau f’(x).

Dengan demikian secara geometri, turunan fungsi merupakan gradien dari garis singgung kurva fungsi tersebut.

L

L1

x x+ h

f(x+h)

f(x)

y = f(x)

Gambar 4.1.

Karena turunan dedifinisikan dengan menggunakan limit sedangkan limit fungsi bisa tidak ada, maka fungsi mungkin tidak mempunyai turunan di beberapa titik tertentu.

Sebagai contoh, perhatikan fungsi nilai mutlak , yang grafiknya diberikan dalam gambar di bawah ini.

Jika kita memperhatikan gambar dengan cermat, maka kita akan dapatkan bahwa grafik fungsi nilai mutlak di atas berupa garis lurus, yang sebelah kanan sumbu y adalah berupa garis y = x sedangkan yang sebelah kiri sumbu y berupa garis y = -x. Garis di kanan dan kiri sumbu y mempunyai gradien yang berbeda, sehingga patut dicurigai bahwa fungsi tidak mempunyai turunan di perpotongan kurva dengan sumbu y, yaitu titik (0,0). Pembuktian bahwa fungsi tidak mempunyai turunan di titik (0,0) diberikan di bawah ini.

Karena

dan

,

maka

Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo- 82

Gambar 4.2.

,

sehingga tidak ada.

Contoh:a. Tentukan garis singgung kurva di titik (2,4)b. Tentukan apakah di x = 0 fungsi mempunyai turunan ?Penyelesaian:a. Gradien garis singgung kurva di titik (2,4) adalah

m = .

Oleh karena itu persamaan garis singgungnya adalah

b. Karena , maka

mempunyai turunan di x = 0. Jika kita menentukan turunan secara langsung dengan

menggunakan definisi turunan, maka kita akan mendapatkan banyak kesulitan dan memakan waktu lama. Untuk itu, diperlukan cara lain di samping dengan menggunakan definisi secara langsung, yaitu dengan menggunakan sifat dan rumus turunan.

Berikut diberikan beberapa sifat penting dalam pencarian turunan suatu fungsi.1. Aturan perkalian dengan konstanta.

Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat diturunkan, maka

2. Aturan jumlah.Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka


3. Aturan selisih.Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka

4. Aturan hasil kali.Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka

5. Aturan hasil bagi.Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka

Bukti:1. Aturan perkalian dengan konstanta.

Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat diturunkan, maka

2. Aturan jumlah.Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka

3. Aturan selisih.Untuk latihan

4. Aturan hasil kali.


Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka

5. Aturan hasil bagi.Untuk latihan.

Selanjutnya di bawah ini diberikan beberapa rumus dasar turunan.

Nomor

Fungsi Turunan fungsi

1 y = k, k konstanta y’ = 02 y = xn y’ = nxn-1

3 y = ln x y’ =

Bukti:

1.

2.

s


3.

Contoh:1. Jika h(x) = g(x) dan g(3) = 5 dan g’(3) = 2, carilah h’(3).2. Carilah turunan fungsi:

a.

b. y =

Penyelesaian:1.

2. a.

= b.


3.2 Aturan Rantai.Di bawah ini diberikan aturan rantai yang banyak digunakan

untuk menentukan turunan fungsi. Jika f dan g keduanya mempunyai turunan, dan h = f o g

adalah fungsi komposisi yang didefinisikan oleh h(x) = f(g(x)), maka h mempunyai turunan, yaitu h’ yang dinyatakan oleh

h ’(x) = f ’(g(x)). g ’(x)Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x) keduanya

fungsi yang mempunyai turunan, maka

.

Bukti:

Dengan menggunakan aturan rantai dan dengan menggunakan rumus

sebelumnya kita akan dapatkan rumus-rumus di bawah ini.

Nomor


1 y = ex y’ = ex

2 y = ax, a 1 y’ = ax ln a

3y = alog x, a >0, a 1

y’ =


Bukti:

1.

2. Untuk latihan3. Untuk latihan

3.3. Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi ParametrikDalam pembahasan sebelumnya, kita telah membahas turunan

fungsi eksplisit. kali ini kita akanm membahas turunan fungsi implisit dan fungsi parametrik. Metode yang digunakan serupa dengan turunan fungsi eksplisit.

Contoh :

a. Jika x2 + y2 = 25, carilah

b. Jika x = 2t +1 y = t2 + t

tentukan .

Penyelesaian:a. Jika kita turunkan kedua ruas persamaan x2 + y2 = 25 terhadap x,

maka akan kita peroleh:

Mengingat y adalah fungsi dari x dan dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh


Oleh karena itu 2x + 2y = 0, sehingga

b. Jika variabel x dan y kita turunkan terhadap parameter t, maka akan kita peroleh

sedangkan .

Karena yang akan kita cari adalah maka

= .

3.3 Turunan Fungsi Trigonometri dan SiklometriRumus dasar dari turunan trigonometri adalah turunan fungsi

sinus dan cosinus, sedangkan turunan fungsi trigonometri yang lainnya dan turunan fungsi siklometri dapat ditentukan dengan rumus turunan sinus dan cosinus, sifat turunan, dan aturan rantai.

Turunan rumus sinus dan cosinus diberikan di bawah ini.

Nomor


1 y = sin x y’ = cos x2 y = cos x y’ = - sin x

Bukti:

1.


2.

Contoh:1. Carilah turunan fungsi:

a.b.c.d.e.f.g.

2. Carilah turunan fungsi:a. b.

Penyelesaian:1.

a.


b.

c.

d.

e.

f.

g.

2. a.

b.


yx1

21 x

yx

1

21 x

y

x

1

12 x

3.4 Turunan Tingkat TinggiJika f fungsi yang dapat diturunkan, maka turunannya (f ’) juga

berupa fungsi. Jika f ‘ mempunyai turunan, maka turunan f’ kita notasikan dengan f ’’. Notasi lain untuk turunan kedua dari y = f(x) adalah

.

Umumnya turunan ke-n dari y = f(x) dinyatakan dengan

.

Contoh:

1. Carilah dari :

a. x2 + y2 = 25b. y = ln t, x = et

c. y = , x = ln (et +1)2. Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini:

a.b.

Penyelesaian :

1. Dari contoh sub bab sebelumnya telah diperoleh dari x2 + y2 =

25, yaitu .

Karena

Dan mengingat y adalah fungsi dari x, dengan aturan pembagian dan aturan rantai, diperoleh


Jadi

2.a. y = ln t, x = et

= =

=

Oleh karena dan maka

.

b. y = , x = ln (et +1)

= =

=

= 3. a.


b.

Soal-soal 1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut pada titik

yang diberikan.a. di titik (- 2, - 7)

b. , di titik (1,1)

2. Tentukan apakah fungsi di bawah ini mempunyai turunan pada titik yang diberikan.

a. di x = 1b. di x = 2

c. di x = 1

d. di x = 2

3. Masing-masing bentuk limit di bawah ini menyatakan turunan suatu fungsi di titik . Tentukan bentuk fungsi, turunan fungsi, dan nilai a pada setiap kasus.

a.

b.

4. Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut:b. G(s) = (s2 + s + 1) (s2 + 2)c. G(y) = (y2 + 1) (2y – 7)

d.


e.

5. Carilah persamaan garis singgung pada kurva di titik yang diberikan.

a. , di titik (1, 1)

b. , di titik (1, 2)

c. , di titik (4 ; 0,4)

d. , di titik (1, 1)6. Carilah titik pada kurva y = x3 – x2 – x + 1 yang garis

singgungnya mendatar.7. a) Gunakan aturah hasil kali sebanyak dua kali untuk

membuktikan bahwa jika f, g, dan h fungsi-fungsi yang mempunyai turunan, maka berlaku

(fgh)’ = f ‘gh + fg’h + fgh ‘b) Gunakan bagian (a) untuk menentukan turunan fungsi

y =

8. Tentukan nilai

9. Tulislah fungsi komposisi dalam bentuk f(g(x)). Tentukan fungsi sebelah dalam u = g(x) dan fungsi sebelah luar y = f(u). Kemudian

carilah

a.b.c.

10. Carilah turunan fungsi-fungsi berikuta.b.


11. Carilah turunan pertama dari fungsi di bawah ini :a. xy + ln y = 1b. ln x + xy + ey = 3c. cos (x + y) – eyx = xd. sin xy + ln (x + y) = ex

e. eyx + x ln y = sin 2x

12. Carilah nilai turunan pertama dari fungsi di bawah ini pada titik yang diberikana. xy – ln y = x; (0,1)b. x + xy + 2y – 1 = 0; (1,0)c. x3y + y3x = 30; (1,3)d. x2y2 + 4xy = 12y; (2,1)

13. Carilah turunan pertama fungsi yang diberikana. y = ln t, x = et

b. y = , x = ln (et +1)c. y = et + 2, x = e-t + 5d. y = et + ln t, x = et + 1e. y = te2t + t, x = et + tf. y = t3 + 2t, x = 3t2 + 5

14. Carilah turunan kedua untuk fungsi-fungsi di bawah ini a. 3x3 + 3x2y – 8xy2 + 2y3 = 0b. xy + y3 = 2c. x3 – 4y2 = 3d.e.


15. Carilah nilai y’’ dari fungsi di bawah ini pada titik yang diberikana. x3 + y3 = 3xy; (0,0)b. 2x2y – 4y3 = 4; (2,1)c. x2 + y2 = 25; (3,4)

16. Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini:a.b.c.d.

17. Carilah turunan dari fungsi di bawah ini:e.f.g.h.


BAB III - Dwipurnomoikipbu's Blog | Just another … · Web viewDengan menggunakan aturan rantai...

Documents

Transcript of BAB III - Dwipurnomoikipbu's Blog | Just another … · Web viewDengan menggunakan aturan rantai...