BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Return - sinta.unud.ac.id II Nana.pdf6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab...
Transcript of BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Return - sinta.unud.ac.id II Nana.pdf6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab...
6
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dibahas semua konsep yang mendasari penelitian ini yaitu
return, mean, standard deviation, skewness, kurtosis, ACF, korelasi, GPD, copula,
VaR, estimasi VaR dengan copula, dan CVaR.
2.1 Return
Return merupakan hasil yang diperoleh oleh investor dari investasi yang
dilakukan. Menurut Sunaryo (2007:31) perhitungan return dapat dirumuskan
sebagai berikut:
𝑅𝑡 =𝑆𝑡 − 𝑆𝑡−1𝑆𝑡−1
. (2.1)
Persamaan (2.1) digunakan untuk menghitung tingkat pengembalian (return)
diskret atau disebut realized return, sedangkan untuk menghitung tingkat
pengembalian (return) kontinu dapat dirumuskan sebagai berikut:
𝑅𝑡 = ln (𝑆𝑡𝑆𝑡−1
). (2.2)
Persamaan (2.2) disebut juga logarithmic return, dengan 𝑅𝑡 menyatakan tingkat
pengembalian (return) saham pada periode ke-t, 𝑆𝑡 menyatakan harga saham pada
periode ke 𝑡, dan 𝑆𝑡−1 menyatakan harga saham pada periode ke 𝑡 − 1.
7
2.2 Mean, Standard Deviation, Skewness, dan Kurtosis
Untuk mengetahui karakteristik dari return saham portofolio, maka perlu
dihitung nilai dari mean, standard deviation, skewness, dan kurtosis sebagai
berikut:
1. Mean atau rata-rata disimbolkan dengan 𝜇 dan dirumuskan sebagai berikut:
2. Standard Deviation (SD) digunakan untuk mengukur risiko dari realized
return, dirumuskan sebagai berikut:
𝑆𝐷 = √∑(𝑋𝑡 − 𝜇)
2
𝑛 − 1
𝑛
𝑡=1
(2.4)
dengan 𝑋𝑡 menyatakan realized return pada periode ke-t, dan 𝜇 menyatakan
rata-rata realized return pada periode ke-t.
3. Skewness dari variabel acak 𝑋 dengan mean (𝜇) dan varians (𝜎2)
didefinisikan sebagai berikut (Franke et al., 2008:41):
𝑆(𝑋) =E(𝑋 − 𝜇)3
𝜎3. (2.5)
Jika kurva suatu distribusi memiliki kemiringan ekor yang lebih memanjang
ke kanan, maka disebut positive skewness. Sedangkan, jika kurva suatu
distribusi memiliki kemiringan ekor yang lebih memanjang ke kiri, maka
disebut negative skewness. Variabel acak berdistribusi normal memiliki
skewness nol. Misalkan variabel 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛, skewness pada persamaan
(2.5) dapat diestimasi sebagai berikut:
𝜇 =1
𝑛∑ 𝑋𝑡𝑛𝑡=1 . (2.3)
8
�̂�(𝑋) =
1𝑛∑ (𝑋𝑡 − �̂�)
3𝑛𝑡=1
�̂�3. (2.6)
4. Kurtosis dari variabel acak 𝑋 dengan mean (𝜇) dan varians (𝜎2)
didefinisikan sebagai berikut (Franke et al., 2008:41):
Kurt(𝑋) =E(𝑋 − 𝜇)4
𝜎4. (2.7)
Variabel acak berdistribusi normal memiliki kurtosis = 3. Kurtosis pada
persamaan (2.7) dapat diestimasi sebagai berikut:
Kurt̂(𝑋) =
1𝑛∑ (𝑋𝑡 − �̂�)
4𝑛𝑡=1
�̂�4. (2.8)
2.3 Fungsi Autokorelasi (ACF)
Fungsi autokorelasi (ACF) digunakan untuk mengukur ketergantungan
bersama (mutual dependence) antara nilai-nilai yang berurutan pada variabel yang
sama atau pada variabel itu sendiri.
Fungsi autokorelasi (ACF) dari proses stokastik stasioner dalam kovarians
dapat didefinisikan sebagai berikut (Franke et al., 2008:167):
𝜌∆𝑡 =𝛾∆𝑡𝛾0
(2.9)
dengan
𝛾∆𝑡 = Cov(𝑋𝑡, 𝑋𝑡+∆𝑡) (2.10)
dan
𝛾0 = √𝜎2(𝑋𝑡) . √𝜎2(𝑋𝑡+∆𝑡) . (2.11)
untuk
9
√𝜎2(𝑋𝑡) = √𝜎2(𝑋𝑡+∆𝑡). (2.12)
Fungsi autokorelasi (ACF) disimbolkan dengan 𝜌∆𝑡, sedangkan 𝛾∆𝑡 merupakan
simbol dari fungsi autokovarians. Fungsi autokorelasi sampel dapat dirumuskan
sebagai berikut:
𝜌∆𝑡 =∑ (𝑋𝑡 − �̅�)(𝑋𝑡+∆𝑡 − �̅�) 𝑛−∆𝑡𝑡=1
∑ (𝑋𝑡 − �̅�)2 𝑛𝑡=1
(2.13)
dengan nilai 𝜌∆𝑡 berada pada interval [-1,1].
2.4 Korelasi
Korelasi dapat diartikan sebagai nilai yang menunjukkan kekuatan dan arah
hubungan antara dua variabel atau lebih. Dalam teori probabilitas dan statistika,
korelasi juga disebut koefisien korelasi. Besaran dari koefisien korelasi tidak
menggambarkan hubungan sebab akibat antara dua variabel atau lebih, tetapi hanya
menjelaskan hubungan kebergantungan atau keterkaitan antara dua variabel
tersebut.
Korelasi merupakan suatu ukuran kebergantungan yang cukup populer,
namun penggunaannya sering kali tidak melihat struktur kebergantungan yang
tepat sehingga dapat menimbulkan hasil interpretasi yang tidak sesuai (Embrechts
et al., 2001). Misalnya dengan mengasumsikan data return dari beberapa saham
berkorelasi linear, padahal kenyataannya data return dari saham satu dengan
saham lainnya sering kali terjadi korelasi yang tidak linear. Kesalahan asumsi
tersebut dapat berakibat fatal karena dapat menimbulkan masalah yang serius
dalam pengambilan keputusan.
10
Secara umum, nilai koefisien korelasi berada pada selang [-1,1]. Apabila
nilai koefisien korelasi mendekati -1 atau +1, dapat diartikan bahwa terjadi
hubungan yang kuat antara kedua variabel. Jika nilai koefisien korelasi mendekati
0, maka terjadi hubungan yang lemah antara kedua variabel. Selain itu, arah
hubungan negatif menunjukkan bahwa kedua variabel bergerak secara berlawanan.
Sedangkan arah hubungan positif menunjukkan bahwa kedua variabel bergerak
secara searah.
Koefisien korelasi linear antara peubah acak 𝑋 dan 𝑌 dapat ditulis sebagai
berikut (Embrecht et al., 2001):
𝜌(𝑋, 𝑌) =Cov(𝑋, 𝑌)
√𝜎2(𝑋) √𝜎2(𝑌) (2.14)
dengan Cov(𝑋, 𝑌) merupakan covariance antara 𝑋 dan 𝑌, sedangkan 𝜎2(𝑋) dan
𝜎2(𝑌) merupakan variance dari 𝑋 dan 𝑌. Pada kasus bivariat, koefisien korelasi
dapat dihitung menggunakan Kendall’s tau. Data yang digunakan pada Kendall’s
tau memiliki skala ordinal, serta tidak harus memenuhi distribusi normal.
Diberikan 𝑋 dan 𝑌 variabel acak yang kontinu dengan copula 𝐶, diperoleh
versi populasi dari Kendall’s tau untuk 𝑋 dan 𝑌 sebagai berikut (Nelsen,
2006:161):
Pada Gaussian copula, Kendall’s tau ditulis sebagai berikut:
𝜏 =2
𝜋arcsin (𝜌) (2.16)
dengan 𝜌 adalah koefisien korelasi.
𝜏𝑋,𝑌 = 4∬ 𝐶(𝑢, 𝑣)𝑑𝐶(𝑢, 𝑣) − 1𝐈𝟐
. (2.15)
11
2.5 Generalized Pareto Distribution (GPD)
Sebagian besar data finansial memiliki kecenderungan adanya kasus ekor
gemuk (heavy tail), hal ini menyebabkan terjadi peluang adanya nilai ekstrem.
Untuk mengatasi nilai ekstrem tersebut, maka dilakukan pengukuran risiko
menggunakan pendekatan Generalized Pareto Distribution (GPD). GPD dianggap
sangat cocok digunakan karena dapat menganalisis nilai ekstrem yang sering terjadi
pada data finansial. Cumulative density function (cdf) dari GPD adalah sebagai
berikut:
𝐺𝜉,𝛽 =
{
1 − (1 +
𝜉𝑥
𝛽)− 1𝜉; jika 𝜉 ≠ 0
1 − exp (−𝑥
𝛽) ; jika 𝜉 = 0
(2.17)
dengan
𝛽 > 0, 𝑥 ≥ 0 jika 𝜉 ≥ 0
dan
0 ≤ 𝑥 ≤−𝛽
𝜉 jika 𝜉 < 0.
Berdasarkan parameter bentuk (shape parameter) 𝜉, maka distribusi GPD
dapat dibedakan menjadi tiga tipe yaitu:
1. distribusi eksponensial (jika nilai 𝜉 = 0),
2. distribusi Pareto (jika nilai 𝜉 > 0), dan
3. distribusi beta (jika 𝜉 < 0).
12
Semakin besar nilai 𝜉, maka distribusi akan memiliki ekor yang semakin gemuk
(heavy tail). Dari ketiga distribusi tersebut, terlihat distribusi Pareto memiliki ekor
yang paling gemuk (heavy tail) dibandingkan distribusi GPD lainnya.
Distribusi Pareto adalah distribusi yang berisi Pareto tail. Pareto tail
berfungsi sebagai estimator ekor untuk menganalisis adanya kasus ekor gemuk
(heavy tail) pada data finansial. Melalui Pareto tail dapat dianalisis nilai ekstrem
yang berada pada ekor bagian bawah dan ekor bagian atas, hal ini berguna untuk
mengindikasi kemungkinan terjadinya kejadian-kejadian ekstrem. Selain itu
Pareto tail juga berfungsi untuk mengetahui ketebalan suatu ekor pada data
finansial.
2.6 Copula
Copula berasal dari bahasa Latin yaitu copula yang berarti ikatan atau
mengikat. Konsep copula pertama kali dipopulerkan oleh seorang matematikawan
bernama Abe Sklar pada tahun 1959 yang teoremanya dikenal dengan nama
Teorema Sklar. Fungsi copula memiliki konsep sebagai alat untuk mempelajari
kebergantungan tidak linear antar kejadian dalam kasus multivariat. Copula
memiliki beberapa keunggulan antara lain tidak memerlukan asumsi distribusi
normal dan dapat menunjukkan adanya pola sebaran data pada ekor distribusi
masing-masing variabel.
Keluarga copula yang populer antara lain keluarga copula eliptik dan
keluarga Archimedian copula. Anggota dari keluarga copula eliptik adalah
Gaussian copula dan t-Student copula. Sedangkan anggota dari keluarga
Archimedian copula adalah Clayton copula, Frank copula, dan Gumbel copula.
13
2.6.1 Copula Bivariat
Sebuah copula 2-dimensi (atau selanjutnya disebut dengan 2-copula atau
hanya copula) merupakan fungsi 𝐶 dari I2 ke I yang memenuhi sifat (Nelsen,
2006:10):
1. Untuk setiap 𝑢, 𝑣 dalam I berlaku:
𝐶(𝑢, 0) = 0 = 𝐶(0, 𝑣) (2.18)
dan
𝐶(𝑢, 1) = 𝑢 𝑑𝑎𝑛 𝐶(1, 𝑣) = 𝑣. (2.19)
2. Untuk setiap 𝑢1, 𝑢2, 𝑣1, 𝑣2, dalam 𝐈 dengan 𝑢1 ≤ 𝑢2 dan 𝑣1 ≤ 𝑣2 berlaku:
𝐶(𝑢2, 𝑣2) − 𝐶(𝑢2, 𝑣1) − 𝐶(𝑢1, 𝑣2) + 𝐶(𝑢1, 𝑣1) ≥ 0 (2.20)
dengan 𝐈𝟐 = [0,1] × [0,1], dan 𝐈 = [0,1].
Teorema I ( Sklar 1959., Nelsen, 2006:18)
Misalkan 𝐹 dan 𝐺 masing-masing merupakan distribusi marginal, dan 𝐻
adalah fungsi distribusi bersama. Terdapat sebuah copula 𝐶 sedemikian sehingga
untuk setiap 𝑥, 𝑦 dalam 𝑹 berlaku:
𝐻(𝑥, 𝑦) = 𝐶(𝐹(𝑥), 𝐺(𝑦)). (2.21)
Jika 𝐹 dan 𝐺 kontinu, maka 𝐶 pasti bernilai tunggal, selain itu 𝐶 secara
tunggal dijabarkan pada 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑒 𝐹 × 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑒 𝐺. Sebaliknya jika 𝐶 adalah copula, 𝐹
dan 𝐺 masing-masing merupakan fungsi distribusi, ini berarti fungsi 𝐻
didefinisikan oleh (2.21) yang merupakan fungsi distribusi bersama dengan margin
𝐹 dan 𝐺.
14
2.6.2 Copula Eliptik
Copula eliptik merupakan suatu copula dengan distribusi peluang yang
densitas peluangnya membentuk kurva elips. Distribusi tersebut antara lain
distribusi normal (Gaussian) dan t-Student. Distribusi elips sering kali digunakan
dalam berbagai penelitian terutama pada bidang finansial. Adapun anggota dari
keluarga copula eliptik adalah Gaussian copula dan t-Student copula.
a) Copula Normal (Gaussian Copula)
Gaussian copula merupakan salah satu jenis copula yang menggunakan
distribusi normal. Bentuk Gaussian copula dapat ditulis sebagai berikut:
𝐶𝑅𝐺𝑎(𝑢, 𝑣) = 𝛷𝑅
2(𝛷−1(𝑢), 𝛷−1(𝑣)) (2.22)
dengan 𝛷𝑅2 melambangkan fungsi distribusi bersama dari fungsi distribusi normal
standar bivariat dengan matriks korelasi linear 𝑅, dan 𝛷−1 melambangkan balikan
(invers) dari fungsi distribusi normal bivariat. Karena menggunakan distribusi
normal standar bivariat, Gaussian copula dapat ditulis sebagai berikut:
𝐶𝑅𝐺𝑎(𝑢, 𝑣) = ∫ ∫
1
2𝜋(1 − 𝑅122 )
12⁄
𝛷−1(𝑣)
−∞
𝛷−1(𝑢)
−∞
exp {−𝑠2 − 2𝑅12𝑠𝑡 + 𝑡
2
2(1 − 𝑅122 )
} 𝑑𝑠𝑑𝑡 (2.23)
dengan 𝑠 = 𝛷−1(𝑣) , 𝑡 = 𝛷−1(𝑢) dan 𝑅12 adalah koefisien korelasi linear biasa
yang sesuai distribusi normal bivariat dengan −1 < 𝑅12 < 1 (Embrechts et al.,
2001).
b) t-Student Copula
t-Student copula merupakan salah satu jenis copula yang menggunakan
distribusi t-Student. Bentuk t-Student copula dapat ditulis sebagai berikut:
15
𝐶v,𝑅𝑡 (𝑢, 𝑣) = 𝑡v,𝑅
2 (𝑡v−1(𝑢), 𝑡v
−1(𝑣)) (2.24)
dengan 𝑡v−1 melambangkan balikan (invers) dari distribusi marginal 𝑡v,𝑅
2 . Karena
menggunakan distribusi t-Student bivariat, t-Student copula dapat ditulis sebagai
berikut:
𝐶𝑉,𝑅𝑡 (𝑢, 𝑣) = ∫ ∫
1
2𝜋(1 − 𝑅122 )
12⁄{1 +
𝑠2 − 2𝑅12𝑠𝑡 + 𝑡2
𝑉(1 − 𝑅122 )
}
−(𝑉+2)2⁄
𝑑𝑠𝑑𝑡
𝑡𝑉−1(𝑣)
−∞
𝑡𝑉−1(𝑢)
−∞
(2.25)
dengan 𝑠 = 𝑡𝑉−1(𝑣), 𝑡 = 𝑡𝑉
−1(𝑢) dan 𝑅12 adalah koefisien korelasi linear biasa
yang sesuai distribusi normal bivariat. Sedangkan 𝑉 adalah parameter derajat
kebebasan dengan distribusi 𝑡𝑉 (Embrechts et al., 2001).
2.7 Value at Risk (VaR)
Value at Risk (VaR) merupakan suatu ukuran risiko yang menghitung
besarnya kerugian maksimum yang mungkin dialami dalam suatu periode tertentu.
VaR telah menjadi ukuran risiko yang umum digunakan untuk manajemen risiko
finansial karena konsepnya sederhana, mudah dalam perhitungan, serta dapat
diterapkan secara langsung (Yamai and Yoshiba, 2005).
Penggunaan VaR dalam mengukur risiko sering kali menggunakan asumsi
bahwa data return dari suatu saham berdistribusi normal. Padahal kenyataannya
dengan mengasumsikan data return saham berdistribusi normal dapat berdampak
pengukuran risiko menjadi kurang akurat, karena probabilitas nilai kerugian yang
dihasilkan cenderung lebih besar daripada nilai kerugian yang telah ditetapkan.
VaR merupakan salah satu bentuk pengukuran risiko yang cukup populer,
namun VaR juga memiliki kelemahan. Seperti yang dikemukakan oleh Artzner et
16
al. (1999) bahwa VaR hanya mengukur persentil dari distribusi keuntungan atau
kerugian tanpa memperhatikan setiap kerugian yang melebihi tingkat VaR, dan
VaR tidak koheren karena tidak memiliki sifat sub-additive. Selain itu VaR tidak
menjelaskan tentang kerugian terburuk di luar dari tingkat keyakinan yang
ditetapkan. Pengukuran VaR sering kali mengandung kesalahan dikarenakan
perbedaan penggunaan jumlah data dan periode yang digunakan akan
mengakibatkan nilai VaR yang berbeda pula.
Misalkan 𝒘 = (𝑤1, 𝑤1, … , 𝑤𝑑)𝑇𝜖 𝑅𝑑 adalah suatu vektor portofolio yang
terdiri dari sejumlah 𝑑 saham, dan 𝑺𝒕 = (𝑆1,𝑡, … , 𝑆𝑑,𝑡) 𝑇 merupakan vektor acak
yang mempresentasikan harga saham atau indeks saham pada periode ke−𝑡,
dengan 𝑡 adalah indeks waktu. Nilai portofolio 𝑉𝑡 dengan bobot 𝑤 didefinisikan
sebagai berikut:
𝑉𝑡 =∑𝑤𝑗𝑆𝑗,𝑡
𝑑
𝑗=1
(2.26)
dengan 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑑 merupakan jumlah saham pada portofolio, dan variabel
acaknya dapat ditulis sebagai berikut:
𝑃𝑡+∆𝑡 atau 𝐿𝑡+∆𝑡 = (𝑉𝑡+∆𝑡 − 𝑉𝑡). (2.27)
Persamaan (2.27) disebut fungsi profit and loss (P dan L) yang mendefinisikan
perubahan nilai portofolio pada interval waktu ∆𝑡. Fungsi profit 𝑃𝑡+∆𝑡 digunakan
apabila 𝑉𝑡+∆𝑡 − 𝑉𝑡 bernilai positif, sedangkan fungsi loss 𝐿𝑡+∆𝑡 digunakan apabila
𝑉𝑡+∆𝑡 − 𝑉𝑡 bernilai negatif.
Diberikan log return 𝑋𝑡+∆𝑡 pada periode ∆𝑡 dapat ditulis sebagai berikut:
𝑋𝑡+∆𝑡 = log 𝑆𝑡+∆𝑡 − log 𝑆𝑡 (2.28)
17
jika ∆𝑡 = 1 maka persamaan (2.27) dapat ditulis sebagai berikut:
𝑃𝑡+∆𝑡 atau 𝐿𝑡+∆𝑡 = ∑ 𝑤𝑗𝑆𝑗,𝑡(exp(𝑋𝑗,𝑡+1) − 1)𝑑𝑗=1 . (2.29)
Selanjutnya fungsi distribusi dari variabel acak tanpa memperhatikan indeks waktu
dapat dirumuskan sebagai berikut:
𝐹𝐿(𝑥) = 𝑃(𝐿 ≤ 𝑥). (2.30)
Nilai VaR pada tingkat kepercayaan 𝛼 pada portofolio dengan bobot 𝑤
didefinisikan sebagai kuantil 𝛼 dari 𝐹𝐿, yaitu:
VaR(𝛼) = 𝐹𝐿−1(𝛼). (2.31)
Sebuah proses log return (𝑋𝑡) dapat dimodelkan sebagai berikut:
𝑋𝑗,𝑡 = 𝜇𝑗,𝑡 + 𝜎𝑗,𝑡𝜀𝑗,𝑡 (2.32)
dengan 𝜀𝑡 = (𝜀1,𝑡, … , 𝜀𝑑,𝑡)𝑇 merupakan inovasi independent and identically
distributed (i.i.d) yang terstandar dengan syarat 𝐸(𝜀𝑗,𝑡) = 0, 𝐸(𝜀𝑗,𝑡2 ) = 1; dan 𝜇𝑗,𝑡
merupakan conditional mean saat 𝐹𝑡−1 yang dapat ditulis sebagai berikut:
𝜇𝑗,𝑡 = 𝐸[𝑋𝑗,𝑡|𝐹𝑡−1] (2.33)
sedangkan, untuk conditional varians saat 𝐹𝑡−1 dapat dituliskan sebagai berikut:
𝜎𝑗,𝑡2 = 𝐸[(𝑋𝑗,𝑡 − 𝜇𝑗,𝑡)
2|𝐹𝑡−1]. (2.34)
Untuk inovasi 𝜀 = (𝜀1, … , 𝜀𝑑)𝑇 mempunyai distribusi bersama 𝐹𝜀
sedangkan 𝜀𝑗 mempunyai distribusi marginal kontinu 𝐹𝑗, dengan 𝑗 = 1, … , 𝑑
(Franke et al., 2008:354).
2.8 Estimasi VaR dengan Copula
Pembahasan estimasi VaR dengan copula dijabarkan oleh Franke et al.
(2008:354) sebagai berikut:
18
Inovasi 𝜀 memiliki fungsi distribusi sebagai berikut:
𝐹𝜀(𝜀1, 𝜀2, … , 𝜀𝑑) = 𝐶𝜃(𝐹1(𝜀1), 𝐹2(𝜀2), … , 𝐹𝑑(𝜀𝑑)) (2.35)
dengan 𝐶𝜃 merupakan salah satu keluarga copula parametrik. Untuk memperoleh
nilai VaR menggunakan copula, parameter dependensi dan fungsi dari residual
diestimasi pada sampel log return yang kemudian digunakan untuk
membangkitkan sampel simulasi Monte Carlo P dan L. Kuantil yang digunakan
berada pada tingkat kepercayaan α yang merupakan estimator untuk menentukan
VaR. Semua prosedur tersebut dapat dirangkum sebagai berikut:
Untuk suatu portofolio dengan bobot 𝑤 pada 𝑑-saham dan sampel
(𝑥𝑗,𝑡)𝑡=1𝑇 dengan 𝑗 = 1,2,… , 𝑑 pada log return, VaR pada tingkat kepercayaan α
dapat diestimasi menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Estimasi residual 𝜀�̂�.
2. Spesifikasikan dan estimasi distribusi marginal 𝐹𝑗(𝜀�̂�).
3. Spesifikasikan keluarga copula parametrik 𝐶 yang akan digunakan, serta
estimasi parameter dependensi 𝜃.
4. Bangkitkan sampel Monte Carlo dari inovasi 𝜀 dan kerugian L.
5. Estimasi VaR̂(𝛼) dan kuantil−𝛼 secara empiris dari kerugian L.
2.9 Conditional Value at Risk (CVaR)
Conditional Value at Risk (CVaR) merupakan suatu ukuran risiko yang
memperhitungkan kerugian melebihi tingkat VaR. CVaR digunakan sebagai
alternatif dalam pengukuran risiko yang berfungsi untuk mengurangi masalah yang
terjadi pada VaR. CVaR disebut juga Mean Excess Loss, Mean Shortfall, atau Tail
19
VaR, dan dianggap sebagai ukuran risiko yang yang lebih konsisten dari VaR
(Rockfellar and Uryasev, 2000).
CVaR memiliki kelebihan antara lain merupakan ukuran risiko yang
koheren serta bersifat convex dan sub-additive (Rockfellar and Uryasev, 2000).
CVaR dikatakan koheren apabila memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut
(Artzner et al., 1999):
1. Invarian Terhadap Translasi
Untuk setiap 𝑋 ∈ 𝐺 dan semua bilangan real α berlaku:
CVaR(𝑋 + 𝑎. 𝑟) = CVaR(𝑋) − 𝑎.
2. Sub-additive
Untuk setiap 𝑋1, 𝑋2 ∈ 𝐺 berlaku:
CVaR(𝑋1 + 𝑋2) ≤ CVaR(𝑋1) + CVaR(𝑋2).
3. Positif Homogen
Untuk setiap λ ≥ 0 dan untuk setiap 𝑋 ∈ 𝐺 berlaku:
CVaR(λ𝑋) = λ CVaR (𝑋).
4. Kemonotonan
Untuk setiap 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐺 dengan 𝑋 ≤ 𝑌 berlaku:
CVaR(𝑌) ≤ CVaR(𝑋).
CVaR dikatakan convex apabila memenuhi aksioma sub-additive dan positif
homogen. Selain kelebihan tersebut, CVaR juga dapat menghitung risiko pada data
berdistribusi normal maupun tidak normal, sehingga CVaR dapat merefleksikan
dengan tepat efek diversifikasi untuk meminimumkan risiko. Karena kelebihan
tersebut, CVaR sering kali dikatakan sebagai pengembangan lebih lanjut dari VaR,
20
dan CVaR didefinisikan sebagai ekspektasi ukuran risiko yang nilainya di atas
VaR.
CVaR pada selang kepercayaan 𝑎 ∈ [0,1] dapat ditulis sebagai berikut
(Letmark, 2010):
CVaR(𝑎) =1
1 − 𝑎∫ 𝑟. 𝑝(𝑟)𝑑𝑟
VaR(𝑎)
−∞
(2.36)
dengan 𝑝(𝑟) adalah fungsi densitas peluang. Persamaan (2.36) dapat juga ditulis
sebagai berikut:
CVaR(𝑎) = 𝐸[𝑥|𝑥 ≤ VaR(𝑎)]. (2.37)