5

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Job Shop Scheduling Problem (JSSP)

Job shop scheduling problem (JSSP) adalah permasalahan optimasi

kombinatorial. Misalkan terdapat 𝑛 buah job atau pekerjaan, yaitu 𝐽1, 𝐽2, … , 𝐽𝑛 yang

akan diproses pada 𝑚 buah mesin, yaitu 𝑀1, 𝑀2, … ,𝑀𝑚. Waktu yang diperlukan

untuk operasi 𝑂𝑖𝑗 (mengerjakan job 𝐽𝑖 dengan menggunakan mesin 𝑀𝑗) adalah 𝑡𝑖𝑗.

Setiap operasi diproses selama waktu tertentu dan oleh mesin tertentu. Setiap mesin

hanya dapat menangani satu operasi, dan operasi dari pekerjaan yang sama tidak

dapat diproses secara bersamaan. Tujuan dari job shop scheduling adalah

bagaimana membuat jadwal yang berupa urutan pengerjaan yang optimal

berdasarkan kriteria tertentu, misalkan untuk mendapatkan jadwal dengan

makespan yang minimum. (Suyanto, 2010)

Untuk job shop dengan 𝑛 job dan 𝑚 mesin, kemungkinan jadwal yang dapat

dibuat sangat besar, yaitu sebanyak (𝑛!)𝑚 buah kemungkinan. Tetapi, tidak semua

kemungkinan jadwal tersebut layak digunakan atau valid. Sebuah jadwal akan

dikatakan valid apabila urutan proses pengerjaan operasi-operasi dalam suatu job

memenuhi routing yang ditetapkan, dan tidak ada tumpang tindih (overlap) waktu

pengerjaan dari operasi-operasi yang dikerjakan pada mesin yang sama. (Suyanto,

2010)

6

Terdapat beberapa jenis penjadwalan job shop berdasarkan waktu kedatangan

job di suatu tempat produksi, yaitu job shop statik dan job shop dinamik.

Penjadwalan job shop statik merupakan model penjadwalan job shop yang paling

sederhana. Pada model ini semua job diterima atau tiba di tempat produksi pada

waktu yang sama.

Misalkan terdapat 2 job, yaitu job 1 dan job 2 dengan 2 mesin, yaitu mesin 1

dan mesin 2. Masing-masing job memiliki urutan operasi dan waktu operasi dari

mesin yang telah ditentukan. Job 1 diproses pada operasi 1 oleh mesin 2 dengan

waktu 2 detik dan dilanjutkan operasi 2 oleh mesin 1 dengan waktu 3 detik. Job 2

diproses pada operasi 1 oleh mesin 1 dengan waktu 8 detik dan dilanjutkan operasi

2 oleh mesin 2 dengan waktu 5 detik.

Tabel 2.1 Contoh model job shop statik

Keterangan :

𝑀𝑂1 : Mesin operasi 𝑂1 𝑀𝑂2 : Mesin operasi 𝑂2

𝑇𝑂1 : Waktu operasi 𝑂1 𝑇𝑂2 : Waktu operasi 𝑂2

Karena mesin yang beroperasi pada job 1 dan job 2 untuk operasi 1 berbeda,

maka keduanya dapat beroperasi bersamaan. Selanjutnya pada operasi 2, job 1

diharuskan menunggu mesin 1 selesai beroperasi terlebih dahulu pada job 2,

𝑀𝑂1 , 𝑇𝑂1 𝑀𝑂2 , 𝑇𝑂2

Job 1 𝑀2,2 𝑀1,3

Job 2 𝑀1,8 𝑀2,5

7

sedangkan job 2 dapat langsung beroperasi pada mesin 2 ketika telah selesai

beroperasi pada mesin 1. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 2.1

berikut.

Gambar 2.1 Ilustrasi model job shop statik

Penjadwalan job shop dinamik merupakan pengembangan model statik. Pada

model job shop dinamik waktu tiba pekerjaan di tempat produksi bervariasi. Jika

waktu kedatangan job dapat diketahui sejak awal maka penjadwalan tersebut

dinamakan job shop deterministik. Namun apabila waktu kedatangan yang job

bervariasi dan tidak diketahui sebelumnya maka penjadwalan itu dinamakan job

shop non – deterministik. Dengan demikian jadwal yang dibuat hanya melibatkan

pekerjaan yang sudah diterima. Jika terdapat pekerjaan baru di tengah-tengah

jadwal produksi, maka akan dilakukan penjadwalan ulang. (Saputro & Yento, 2004)

Akan tetapi dalam penelitian ini hanya akan dibahas model job shop statik.

8

2.2 Formulasi masalah job shop statik

Untuk permasalahan 𝑛 job dan 𝑚 mesin (𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁), solusinya diperoleh dari

urutan 𝑛 ×𝑚 proses. Masing-masing solusi diwakili oleh urutan semua operasi

yang ada. Operasi yang dimaksud adalah operasi pertama sampai operasi ke-

𝑘 (𝑘 ≤ 𝑛 × 𝑚), 𝑘 ∈ 𝑁. Setiap proses diwakili oleh sepasang 𝑀𝑂𝑖 dan 𝑇𝑂𝑖, 𝑖 ∈

{1,2, … , 𝑘}. (Bouzidi & Riffi, 2014)

Misalkan 𝛼𝑗 ∈ {𝑂1, 𝑂2, … , 𝑂𝑘 (𝑘≤𝑛 × 𝑚)} dan 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑘}, 𝑗 ∈ 𝑁. Bentuk

solusi umum JSSP yang diperoleh dari urutan 𝑛 × 𝑚 proses dapat dilihat pada

Gambar 2.2.

𝛼1 𝛼2 … 𝛼𝑘 (𝑘≤𝑛 × 𝑚)

Gambar 2.2 Bentuk solusi umum JSSP

Dalam membuat jadwal yang valid, langkah pertama yang harus dilakukan

adalah data dari kasus JSSP dibuat ke dalam bentuk matriks informasi. Matriks

informasi dibuat untuk mewakili informasi dari masing-masing operasi dan sebagai

dasar dalam membuat penjadwalan yang memenuhi setiap batasan yang ada (valid).

Matriks informasi memiliki 𝑘 (𝑘 ≤ 𝑛 × 𝑚) kolom dan lima baris. Kolom

mewakili jumlah total operasi yang ada pada seluruh job dan kelima baris yang

dimaksud adalah :

𝑂𝑖 : nama atau nomor operasi di jadwal (𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑘}, 𝑖 ∈ 𝑁).

𝐽𝑂𝑖 : job dari operasi 𝑂𝑖.

𝑆𝑒𝑞𝑂𝑖 : urutan dari operasi 𝑂𝑖 dengan job yang sesuai.

9

𝑀𝑂𝑖 : mesin dimana operasi 𝑂𝑖 akan diproses.

𝑇𝑂𝑖 : waktu proses dari operasi 𝑂𝑖.

Bentuk matriks informasi dapat dilihat pada persamaan (2.1)

(

𝑂1 𝑂2 … 𝑂𝑖 … 𝑂𝑘 (𝑘≤𝑛 × 𝑚)

𝐽𝑂1 𝐽𝑂2 … 𝐽𝑂𝑖 … 𝐽𝑂𝑘 (𝑘≤𝑛 × 𝑚)𝑆𝑒𝑞𝑂1 𝑆𝑒𝑞𝑂2 … 𝑆𝑒𝑞𝑂𝑖 … 𝑆𝑒𝑞𝑂𝑘 (𝑘≤𝑛 × 𝑚)𝑀𝑂1 𝑀𝑂2 … 𝑀𝑂𝑖 … 𝑀𝑂𝑘 (𝑘≤𝑛 × 𝑚)𝑇𝑂1 𝑇𝑂2 … 𝑇𝑂𝑖 … 𝑇𝑂𝑘 (𝑘≤𝑛 × 𝑚) )

(2.1)

Sebagai contoh permasalahan job shop scheduling dengan 2 job dan 2 mesin

adalah model job shop statik yang sebelumnya telah dibahas, yaitu :

𝐽1 = {(2,2), (1, 3)}

𝐽2 = {(1, 8), (2,5)}

𝐽1 adalah job pertama dengan urutan operasi diawali dengan operasi 1 pada

mesin 2 dengan waktu 2 satuan waktu. Dilanjutkan ke operasi 2 pada mesin 1

dengan waku 3 satuan waktu. Sedankan 𝐽2 adalah job kedua dengan urutan operasi

diawali dengan operasi 1 pada mesin 1 dengan waktu 8 satuan waktu. Dilanjutkan

ke operasi 2 pada mesin 2 dengan waku 5 satuan waktu.

Sebagai langkah pertama yaitu menyatakan data ke dalam bentuk matriks

informasi, seperti berikut :

(

11122

21213

32118

42225)

10

Langkah kedua membuat solusi acak awal, solusi yang dihasilkan dapat

berupa solusi yang valid atau tidak valid. Gambar 2.3 adalah contoh representasi

solusi yang tidak valid. Dilihat dari matriks informasi, 4 dan 2 adalah operasi kedua

dari 𝐽1 dan 𝐽2, sehingga 4 dan 2 tidak bisa mulai beroperasi sebelum 1 dan 3 selesai.

Dengan demikian solusi jadwal dikatakan tidak valid, karena urutan operasi salah.

4 2 1 3

Gambar 2.3 Contoh representasi solusi

Untuk dapat menghitung makespan, sebuah solusi harus valid. Solusi awal

yang tidak valid diperbaiki sehingga menjadi valid, proses ini dinamakan proses

koreksi. Untuk memperbaiki solusi acak yang tidak valid, digunakan matriks

informasi dari kasus pada Gambar 2.4. Pertimbangkan “solusi baru” sebagai solusi

yang valid dan “solusi lama” sebagai solusi saat ini. Proses koreksi digambarkan

sebagai berikut :

1. Amati dan periksa “solusi lama” prioritaskan operasi dengan urutan

lebih awal dari operasi lainnya pada setiap job.

2. Operasi yang tersedia ditambahkan ke solusi “solusi baru” dan dihapus

dari solusi “solusi lama”

3. Ulangi 1 dan 2 sampai “solusi lama” menjadi solusi “solusi baru” yang

disusun valid.

Solusi yang valid dari Gambar 2.3 :

1 3 2 4

Gambar 2.4 Solusi baru yang valid

11

Hitung makespan dari solusi penjadwalan yang valid. Tujuannya untuk

mendapatkan waktu operasi dengan makespan minimum. Makespan dari jadwal di

Gambar 2.4 adalah 13, seperti yang diperlihatkan oleh GANT chart di Gambar 2.8,

dimana 𝑀𝑖 , 𝑖 ∈ {1,2} mewakili mesin dan masing-masing warna mewakili operasi

dengan job yang sama.

Langkah-langkah dalam membuat GANT chart dari solusi baru yang valid

pada Gambar 2.4 dimulai dari operasi pertama, operasi ketiga, operasi kedua, dan

operasi keempat sebagai berikut.

Langkah pertama adalah penempatan operasi pertama, yaitu operasi 1 job 1 oleh

mesin 2 dengan waktu 2 satuan waktu, prosesnya dapat dilhat pada Gant chart

Gambar 2.5.

Gambar 2.5 Penempatan job 1 operasi 1 pada mesin 2

Langkah kedua dilakukan penempatan operasi ketiga yaitu operasi 1 job 2 oleh

mesin 1 dengan waktu 8 satuan waktu.

Gambar 2.6 Penempatan job 2 operasi 1 pada mesin 1

12

Langkah ketiga dilanjutkan penempatan operasi kedua, yaitu operasi 2 job 1 oleh

mesin 1 dengan waktu 3 satuan waktu. Operasi kedua dapat dimulai setelah operasi

ketiga selesai beroperasi, seperti pada Gambar 2.9.

Gambar 2.7 Penempatan job 1 operasi 2 pada mesin 1

Langkah keempat penempatan operasi keempat, yaitu operasi 2 job 2 oleh mesin 2

dengan waktu 5 satuan waktu. Operasi keempat dapat langsung dimulai setelah

operasi ketiga berakhir, keadaan ini disajikan dalam GANT chart Gambar 2.10.

Gambar 2.8 Penempatan job 2 operasi 2 pada mesin 2

Terdapat beberapa algoritma yang tergolong ke dalam algoritma

metaheuristik untuk menyelesaikan kasus optimasi diantaranya Algoritma

Genetika, Ant Colony Optimization (ACO), Particle Swarm Optimization (PSO),

Bee Colony Optimization (BCO), dan Cat Swarm Optimization (CSO). Pada

penelitian ini algoritma yang akan diterapkan dalam menyelesaikan kasus JSSP

adalah algritma CSO.

13

2.3 Cat Swarm Optimization

Cat Swarm Optimization (CSO) adalah algoritma yang diusulkan oleh Shu-

Chuan Chu dan Pei-Wei Tsai pada tahun 2006. CSO dihasilkan melalui pengamatan

terhadap perilaku sekumpulan kucing dan terdiri dari dua sub-models yaitu :

”seeking mode” dan ”tracing mode”. (Chu & Tsai, 2007)

Tahap pertama yang dilakukan pada proses CSO adalah menentukan berapa

banyak kucing yang digunakan dalam iterasi, selanjutnya menggunakan kucing

dalam CSO untuk menyelesaikan masalah. Setiap kucing memiliki posisi yang

tersusun di dalam dimensi M, kecepatan untuk setiap dimensi, nilai fitness yang

menunjukan penyesuaian kucing pada fungsi fitness dan bendera untuk

menentukan kucing masuk berada dalam seeking mode atau tracing mode. Solusi

akhir adalah satu kucing dengan posisi terbaik. CSO akan menyimpan solusi terbaik

hingga akhir iterasi. (Chu & Tsai, 2007)

a. Seeking Mode

Mode ini menggambarkan keadaan kucing pada saat beristirahat, melihat

kondisi sekitarnya mencari posisi berikutnya untuk bergerak. Seeking mode

memiliki empat faktor penting yang harus diperhitungkan, yaitu : seeking memory

pool (SMP), seeking range of the selected dimension (SRD), counts of dimension

to change (CDC), dan self position considering (SPC). SMP digunakan untuk

menentukan berapa banyak jumlah kucing tiruan yang akan dibuat, SRD atau

mencari rentang dimensi terpilih, CDC menentukan dimensi yang akan berubah,

14

dan SPC mempertimbangkan apakah posisi saat ini menjadi salah satu kandidat.

(Chu & Tsai, 2007)

Langkah – langkah seeking mode dapat dideskripsikan dalam 5 tahap sebagai

berikut (Chu & Tsai, 2007) :

Langkah 1 : Bangkitkan 𝑗 tiruan dari posisi kucing ke- 𝑘, dengan 𝑗 = 𝑆𝑀𝑃. Jika

nilai SPC benar, maka 𝑗 = (𝑆𝑀𝑃 − 1), kemudian pertahankan posisi saat ini

sebagai salah satu kandidat.

Langkah 2 : Untuk setiap tiruan, disesuaikan dengan CDC, tambahkan atau

kurangkan SRD persen dari nilai saat ini secara acak dan gantikan nilai yang

sebelumnya.

Langkah 3 : Hitung nilai fitness (FS) untuk semua titik kandidat.

Langkah 4 : Jika semua nilai fitness tidak benar-benar sama, hitung probabilitas

terpilih masing-masing titik kandidat dengan menggunakan persamaan (2.2),

sebaliknya atur probabilitas terpilih untuk semua titik sama dengan 1.

𝑃ℎ =|𝐹𝑆ℎ−𝐹𝑆𝑏|

𝐹𝑆𝑚𝑎𝑥−𝐹𝑆𝑚𝑖𝑛 , dimana 0 < ℎ < 𝑗 (2.2)

Langkah 5 : secara acak pilih titik untuk bergerak dari titik-titik kandidat, dan

pindahkan posisi kucing ke- 𝑘.

Jika tujuan fungsi fitness adalah untuk menemukan solusi minimal, maka 𝐹𝑆𝑏 =

𝐹𝑆𝑚𝑎𝑥, sebaliknya 𝐹𝑆𝑏 = 𝐹𝑆𝑚𝑖𝑛. (Chu & Tsai, 2007)

15

b. Tracing Mode

Tracing mode adalah mode yang menggambarkan keadaan ketika kucing

sedang mengikuti jejak targetnya. Sekali kucing memasuki tracing mode, kucing

tersebut akan bergerak sesuai dengan kecepatannya untuk tiap dimensi. (Chu &

Tsai, 2007)

Tahapan tracing mode dapat dijabarkan dalam 3 langkah sebagai berikut (Chu &

Tsai, 2007) :

Langkah 1 : Perbarui nilai kecepatan untuk setiap dimensi (𝑉𝑘,𝑑) dengan rumus

𝑉′𝑘,𝑑 = 𝑉𝑘,𝑑 + 𝑟1 × 𝑐1(𝑋𝑏𝑒𝑠𝑡,𝑑 − 𝑋𝑘,𝑑), dimana d = 1,2,3,.., M (2.3)

Langkah 2 : Periksa apakah kecepatan berada dalam rentang kecepatan maksimum.

Jika kecepatan yang baru melebihi rentang, tetapkan nilai sama dengan batas.

Langkah 3 : Perbarui posisi kucing ke- 𝑘 dengan rumus

𝑋′𝑘,𝑑 = 𝑋𝑘,𝑑 + 𝑉′𝑘,𝑑 (2.4)

𝑋𝑏𝑒𝑠𝑡,𝑑 adalah posisi kucing yang memiliki nilai fitness terbaik, 𝑋𝑘,𝑑 adalah posisi

kucing ke- 𝑘 pada dimensi ke- 𝑑, 𝑐1 adalah konstanta dan 𝑟1 adalah nilai acak dalam

rentang [0,1].

Seperti yang telah dibahas pada sebelumnya CSO terdiri dari dua sub model

yaitu seeking mode dan tracing mode, untuk mengkombinasikan kedua mode dalam

satu algoritma, perlu didefinisikan mixture ratio (MR). Dengan mengamati perilaku

16

kucing, dapat diketahui bahwa kucing menghabiskan sebagian besar waktunya

untuk beristirahat.

Selama beristirahat, kucing mengubah posisinya secara perlahan dan berhati-

hati, terkadang tetap pada posisi awalnya. Untuk menerapkan perilaku ini ke dalam

CSO, digunakan seeking mode. Perilaku mengejar target diaplikasikan dalam

tracing mode. Oleh karena itu, MR harus bernilai kecil untuk memastikan bahwa

kucing menghabiskan sebagian besar waktu kucing dalam posisi seeking mode.

(Chu & Tsai, 2007)

Secara umum proses CSO dapat digambarkan dalam 6 langkah sebagai

berikut (Chu & Tsai, 2007) :

Langkah 1 : Bangkitkan 𝑁 kucing dalam proses.

Langkah 2 : Sebarkan kucing secara acak dalam ruang solusi berdimensi M dan

pilih nilai dalam rentang kecepatan. Kemudian pilih sejumlah kucing secara

sembarang dan masukkan dalam tracing mode sesuai MR, sisanya dimasukkan

dalam seeking mode.

Langkah 3 : Hitung nilai fitness (FS) masing-masing kucing dengan memasukkan

nilai posisi kucing ke dalam fungsi fitness, yang menunjukkan kriteria tujuan, dan

simpan kucing terbaik dalam memori. Perlu diingat bahwa yang perlu disimpan

adalah posisi kucing terbaik (𝑋𝑏𝑒𝑠𝑡) karena kucing terbaik sejauh ini mewakili

solusi terbaik.

17

Langkah 4 : Pindahkan kucing sesuai benderanya. Jika kucing berada dalam seeking

mode perlakukan sesuai proses seeking mode, sebaliknya perlakukan sesuai tracing

mode. Proses masing-masing telah dijelaskan sebelumnya.

Langkah 5 : Pilih lagi sejumlah kucing dan masukkan dalam tracing mode sesuai

MR, sisanya masukkan ke dalam seeking mode.

Langkah 6 : Perhatikan terminating condition-nya. Jika telah terpenuhi, hentikan

program. Sebaliknya ulangi langkah 3 hingga 5.

18

Diagram proses algoritma Cat Swarm Optimization dapat dilihat pada Gambar 2.7

Gambar 2.9 Bagan Cat Swarm Optimization (sumber : Chu, 2006)

19

2.4 Inertia Weight (𝒘)

Parameter ini berguna untuk mengontrol keseimbangan antara kemampuan

eksplorasi global dan lokal, serta penurunan kecepatan untuk menghindari stagnasi

pada optimum lokal. Jika nilai inertia weight terlalu besar akan mengakibatkan

posisi kucing berubah terlalu jauh, sehingga gagal untuk menemukan solusi.

Sebaliknya, jika nilai inertia weight terlalu kecil posisi kucing akan terjebak pada

optimum lokal. (Suyanto, 2010)

Untuk menyelesaikan permasalahan kucing yang menjauhi solusi dan

terperangkap pada optimum lokal, CSO dimodifikasi dengan menambahkan

parameter baru berupa nilai inertia weight (𝑤) yaitu, CSO dengan inertia. Pada nilai

inertia weight (𝑤) berubah secara acak dalam tracing mode, sehingga kecepatan

pada persamaan (2.3) menjadi :

𝑉′𝑘,𝑑 = 𝑤 × 𝑉𝑘,𝑑 + 𝑟1 × 𝑐1(𝑋𝑏𝑒𝑠𝑡,𝑑 − 𝑋𝑘,𝑑), dimana d = 1,2,3,.., M (2.5)