7

BAB II

METODOLOGI PENGENDALIAN

DAN ALGORITMA GENETIKA

II.1 Pengendali Modus Luncur

Sistem non-linier dimodelkan dalam persamaan status pada persamaan (2.1)

berikut ini:

.1)........(2................................................................................ )(),(),()( tutxBtxftx +=&

dengan ntx ℜ∈)( merupakan vektor status sistem, mtu ℜ∈)( merupakan vektor

masukan kendali, fungsi ntxf ℜ∈),( dan nxmtxB ℜ∈),( diasumsikan kontinyu dan

memiliki turunan yang terbatas. Setiap elemen )(tiu yang merupakan bagian dari

vektor masukan kendali mtu ℜ∈)( dapat ditulis seperti pada persamaan (2.2).

)......(2.2.................................................. ,...,1 0)( ),(0)( ),(

),(i

i mixtxuxtxu

txui

ii =

⎩⎨⎧

<>

=−

+

σσ

dengan 0)( =xiσ adalah permukaan luncur ke-i yang merupakan bagian dari

permukaan luncur berdimensi (n - m).

Secara umum ada dua tahap dalam perancangan PML, yaitu:

1. perancangan permukaan luncur,

Permukaan luncur dapat dituliskan dalam persamaan (2.3) di bawah ini:

.....(2.3).......................................................................................... )()( tSxx =σ

dengan S adalah matrik berukuran m x n dan memiliki elemen yang konstan.

Parameter S ini disebut sebagai konstanta persamaan permukaan luncur.

Permukaan luncur sendiri merupakan fungsi dari status sistem. Nilai matrik ini

tidak dapat ditentukan dengan sembarang, sebab kestabilan sistem dipermukaan

luncur akan ditentukan oleh nilai konstanta tersebut.

8

Agar penjejakan dapat tercapai oleh suatu masukan terbatas u, kondisi awal dari

status yang diinginkan xd dibuat sedemikian hingga xd(0) = x(0). Galat penjejakan

pada status x, didefinisikan pada persamaan (2.4) di bawah ini.

e = x – xd = [ )1(... −neee & ]T …………….…...........................................(2.4)

dengan e adalah vektor galat penjejakan. Untuk sistem dengan masukan tunggal,

didefinisikan suatu permukaan yang berubah waktu )(tσ dalam ruang status nℜ dengan persamaan scalar σ(x;t)=0, dimana

σ(x;t)= eeedtd n

n

&+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + −

−1

1

λλ …………..………................................................(2.5)

dengan λ adalah konstanta positif dan n adalah orde sistem.

2. perancangan PML.

Tahapan selanjutnya adalah merancang masukan kendali yang akan membawa

trayektori status sistem menuju permukaan luncur yang telah dirancang

sebelumnya dan menjaganya agar tetap berada di dalamnya (dalam kondisi

luncur). Secara umum masukan kendali merupakan m-vektor u(t) yang setiap

elemennya mempunyai bentuk seperti yang telah dituliskankan pada persamaan

(2.2).

Pada perancangan ini hukum kendali u(t) dibuat dengan menggunakan syarat

kestabilan Lyapunov 0<σσ &T . Secara umum hukum kendali dapat dipisah

menjadi dua bagian sinyal kendali yaitu ueq dan un, sehingga hukum kendali

sistem diperoleh dengan menjumlahkan kedua bagian sinyal kendali tersebut,

seperti yang terlihat pada persamaan (2.6) berikut ini.

.6)........(2................................................................................ )( Kxnuequtu −=+=

ueq merupakan sinyal kendali ekivalen yang membawa trayektori status ke

permukaan luncur, sedangkan un merupakan sinyal kendali natural untuk

menjaga agar trayektori status tetap berada pada permukaan luncur, seperti yang

dapat dilihat pada Gambar II.1. Proses pemeliharaan trayektori status pada

permukaan luncur mengakibatkan terjadinya osilasi pada permukaan luncur.

9

Osilasi ini sering disebut dengan chattering. Fenomena chattering pada

permukaan luncur akan berdampak pada stabilitas dari sistem kendali.

Gambar II.1. Diagram fasa trayektori status.

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.1) dan persamaan (2.6), diperoleh

dinamika lingkar tertutup sistem seperti yang terlihat pada persamaan (2.7) di

bawah ini.

2.7).........(............................................................ ))(,(),()( neq uutxBtxftx ++=&

Pada saat trayektori status sistem masuk ke permukaan luncur sehingga modus

luncur terjadi, maka kondisi ini akan menghasilkan 0),( =txσ& dan

0t tsemuauntuk 0),( ≥=txσ sehingga diperoleh masukan kendali ekivalen pada

persamaan (2.8) berikut ini:

.8)........(2...................................................................... ),()),(( 1 txSftxSBueq−−=

Untuk mempertahankan trayektori status pada permukaan luncur, maka harus

dipenuhi syarat keberadaan di permukaan luncur 0*)( <== nunSBuT σσσσ & .

Persamaan (2.9) merupakan sinyal kendali untuk memepertahankan trayektori

status pada permukaan luncur.

.....(2.9).................... )),(( jika )(1)),(( invertibletxSBsigntxSBknu σ−−=

10

II.2 Algoritma Genetika

Algoritma genetika merupakan metoda penyelesaian optimisasi yang terinspirasi

oleh prinsip genetika dan seleksi alam yang dikemukakan oleh Darwin (Teori

Evolusi Darwin). Algoritma ini banyak digunakan untuk memperoleh

penyelesaian yang tepat dalam berbagai permasalahan optimisasi. Algoritma

genetik adalah algoritma pencarian yang berdasarkan pada mekanisme sistem

natural yaitu genetika dan seleksi alam. Dalam aplikasi algoritma genetika,

variabel solusi dikodekan ke dalam struktur string yang merepresentasikan barisan

gen, yang merupakan karakteristik dari solusi permasalahan.

Perbedaan dengan algoritma pelacakan konvensional[14], algoritma genetika

berangkat dari himpunan solusi yang dihasilkan secara acak. Himpunan ini

disebut populasi. Sedangkan setiap individu dalam populasi disebut kromosom

yang merupakan representasi dari solusi. Kromosom-kromosom tersebut akan

berevolusi secara berkelanjutan yang disebut dengan generasi. Dalam tiap

generasi kromosom-kromosom tersebut dievaluasi tingkat keberhasilan nilai

solusinya terhadap masalah yang ingin diselesaikan (fungsi objektif)

menggunakan ukuran yang disebut dengan kepantasan (fitness). Untuk memilih

kromosom yang tetap dipertahankan untuk generasi selanjutnya dilakukan proses

yang disebut dengan seleksi. Proses seleksi kromosom menggunakan konsep

aturan evolusi Darwin yang telah disebutkan sebelumnya yaitu kromosom yang

mempunyai nilai kepantasan tinggi akan memiliki peluang lebih besar untuk

terpilih lagi pada generasi selanjutnya.

Kromosom-kromosom baru yang disebut dengan offspring, dibentuk dengan cara

melakukan perkawinan antar kromosom-kromosom dalam satu generasi yang

disebut sebagai proses pindah silang. Jumlah kromosom dalam populasi yang

mengalami pindah silang ditetukan oleh paramater yang disebut dengan laju

pindah silang. Mekanisme perubahan susunan unsur penyusun mahkluk hidup

akibat adanya faktor alam yang disebut dengan mutasi direpresentasikan sebagai

proses berubahnya satu atau lebih nilai gen dalam kromosom dengan suatu nilai

acak. Jumlah gen dalam populasi yang mengalami mutasi ditentukan oleh

11

parameter yang dinamakan laju mutasi. Setelah beberapa generasi akan dihasilkan

kromosom-kromosom yang nilai gen-gennya konvergen ke suatu nilai tertentu.

Nilai tersebut merupakan solusi terbaik yang dihasilkan oleh algoritma genetika

terhadap permasalahan yang ingin diselesaikan.

Struktur umum dari algoritma genetika dapat didefinisikan dengan langkah-

langkah sebagai berikut:

1. membangkitkan populasi awal,

Populasi awal ini dibangkitkan secara random sehingga diperoleh solusi awal.

Populasi itu sendiri terdiri dari sejumlah kromosom yang merepresentasikan

solusi yang diinginkan.

2. evaluasi solusi,

Proses ini akan mengevaluasi setiap populasi dengan menghitung nilai kepantasan

setiap kromosom hingga kriteria berhenti terpenuhi. Bila kriteria berhenti belum

terpenuhi, maka akan dibentuk lagi generasi baru. Beberapa kriteria berhenti yang

umum digunakan adalah:

• berhenti pada generasi tertentu,

• berhenti setelah dalam beberapa generasi berturut-turut didapatkan nilai fitness

tertinggi/terendah (tergantung persoalan) tidak berubah,

• berhenti bila dalam n generasi berikutnya tidak diperoleh nilai fitness yang

lebih tinggi/rendah.

Generasi yang memiliki nilai kepantasan terbaik diharapkan merupakan solusi

optimal yang diinginkan.

3. membentuk generasi baru.

Dalam membentuk generasi baru digunakan tiga operator yang telah disebut di

atas yaitu operator reproduksi/seleksi, pindah silang dan mutasi. Proses ini

dilakukan secara berulang sehingga diperoleh jumlah kromosom yang cukup

untuk membentuk generasi baru. Generasi baru ini merupakan representasi dari

solusi baru.

12

• Seleksi

Roulette wheel merupakan salah satu metoda seleksi yang banyak

dipergunakan. Roulette wheel menyeleksi populasi baru dengan distribusi

probabilitas yang berdasarkan nilai kepantasan. Proses seleksi dilakukan

dengan cara membuat kromosom yang mempunyai fungsi objektif

terkecil/terbesar mempunyai kemungkinan terpilih yang besar atau

mempunyai nilai probabilitas yang tinggi.

• Pindah silang

Setelah proses seleksi maka proses selanjutnya adalah proses pindah silang.

Pindah silang merupakan proses membangkitkan offspring baru dengan

mengganti sebagian informasi dari parents (Orang tua/induk). Metoda yang

digunakan salah satunya adalah one-cut point, yaitu memilih secara acak satu

posisi dalam kromosom induk kemudian saling menukar gen. Kromosom yang

dijadikan induk dipilih secara acak dan jumlah kromosom yang mengalami

pindah silang dipengaruhi oleh parameter laju pindah silang

(crossover_rate/ρc). Pseudo-code untuk proses pindah silang adalah sebagai

berikut: begin

k← 0;

while(k<populasi) do

R[k] ← random(0-1);

if (R[k] < ρc ) then

select kromosom[k] as parent;

end;

k = k + 1;

end;

end;

Metoda one-cut point ini analog dengan implementasi biner. Algoritmanya

adalah:

o memilih site secara random dari parent pertama,

o isi disebelah kanan site pada parent pertama ditukar dengan parent kedua

untuk menghasilkan offspring (Gen dan Cheng, 1997).

13

Parent 1 0 0 1 1 0 0 1 1 Parent 2 1 0 1 0 0 1 0 1 Offspring 1 0 0 1 0 0 1 0 1 Offspring 2 1 0 1 1 0 0 1 1

Gambar II.2 Illustrasi one-cut-point crossover.

• Mutasi

Mutasi menciptakan individu baru dengan melakukan modifikasi satu atau lebih

gen dalam individu yang sama. Mutasi berfungsi untuk menggantikan gen yang

hilang dari populasi selama proses seleksi serta menyediakan gen yang tidak ada

dalam populasi awal. Sehingga mutasi akan meningkatkan variasi populasi

Jumlah kromosom yang mengalami mutasi dalam satu populasi ditentukan oleh

parameter laju mutasi. Proses mutasi dilakukan dengan cara mengganti satu gen

yang terpilih secara acak dengan suatu nilai baru yang didapat secara acak.