BAB II

LANDASAN TEORI

Dalam bab ini akan dijelaskan ciri pokok superkonduktor yang

dipandang dari sifat magnetik dan sifat transport listrik secara terpisah serta

perbedaannya dibandingkan konduktor (logam). Untuk memahami fenomena baru

tersebut, selanjutnya akan digunakan model London yang disusul dengan

pengembangan versi kuantum makroskopiknya yang berhasil memperdalam

pengertian arus super dan menunjukkan adanya kuantisasi fluksoid. Pembahasan

selanjutnya mengenai alat-alat dan piranti (device) yang digunakan untuk

pengukuran dan pengendalian medan magnet yang diperlukan pada eksperimen

kuantisasi fluksoid.

2.1 Ciri Pokok Superkonduktor

2.1.1 Diamagnetisme Sempurna

Superkonduktor sempurna adalah bahan yang menunjukkan dua buah

karakteristik, yaitu konduktivitas super dan diamagnetisme sempurna, saat

didinginkan di bawah temperatur tertentu Tc, yang biasa disebut temperatur kritis

atau temperatur saat terjadi transisi keadaan normal menjadi keadaan

superkonduktif. Superkonduktor ini (sekarang dikenal sebagai superkonduktor

tipe I) akan menolak secara total medan magnet dari luar H dan kembali ke

keadaan normal jika dikenai medan magnet yang lebih besar dari nilai medan

2-1

kritisnya (Hc), bahkan saat temperaturnya di bawah temperatur kritisnya. Pada

umumnya Hc bergantung pada suhu seperti ditunjukkan oleh gambar berikut.

H

Hc(0)Hc(T)

Tc T

Normal

Meissner

Gambar 2.1. kurva H-T untuk superkonduktor

Karakteristik ini dikenal sebagai efek Meissner. Di bawah kurva Hc(T) medan

magnet induksi B dalam bahan bernilai nol atau magnetisasi bahan memenuhi

persamaan M = - H. Di atas Hc, maka superkonduktor akan kembali ke keadaan

normal. (Cyrot, M., 1992)

Gambar 2.2. kurva M(H) dan B(H) untuk superkonduktor

Sebenarnya efek perisai dalam bahan superkonduktor tidak berfungsi

sempurna sepenuhnya, yang berarti diamagnetisme sempurna atau efek Meissner

2-2

hanya berlaku ”jauh” di dalam bahan. Hal ini telah dibuktikan oleh Fritz dan

Heinz London (1935) yang mengusulkan dua persamaan yaitu :

( ) EJdtd

=Λ (1)

( ) BJ −=Λ×∇ (2)

dengan ketentuan parameter

Λ=

12

s

s

mqn

(3)

Dengan sJ , E , ms, ns, dan qs masing-masing adalah rapat arus super,

medan listrik, massa elektron super yang berharga 2me dengan me adalah massa

elektron, rapat elektron super, dan muatan elektron super yang berharga 2e.

Selanjutnya dengan bantuan persamaan Maxwell JB 0μ=×∇ , persamaan

London II dapat ditulis dalam ungkapan lain,

22 / λBB =∇ (4)

dengan 200 // sss qnm μμλ =Λ= . Seperti tampak dalam gambar, untuk

penerapannya pada bahan superkonduktor berbentuk papan dengan ketebalan 2α,

dan berada dalam medan magnet luar H sejajar bidang y-z dengan syarat batas

HB 0μ= pada x = α dan x = - α , persamaan di atas akan menghasilkan solusi

berbentuk

( ) ( )( ) zaxHxB ˆ

/cosh/cosh

0 λλμ= (5)

2-3

Gambar 2.3. papan superkonduktor dalam medan magnet luar H

Solusi di atas menyatakan bahwa medan magnet luar dapat menerobos

secara efektif ke dalam bahan superkonduktor dengan panjang penetrasi

karakteristik λ (sering juga ditulis dengan notasi λL) seperti ditunjukkan oleh

gambar.

2-4

Gambar 2.4. kedalaman penetrasi λ dalam bahan papan berketebalan 2α

(a) (a/ λ) << 1 dan (b)(a/ λ)>> 1

Sumber : (Orlando, Terry P., 1991)

Kehadiran medan inhomogen tersebut akan mengimbas arus permukaan (super

perisai atau arus screening) superkonduktor yang mengalir sebatas kedalaman

yang sama sesuai dengan persamaan Maxwell ( ) 0/ μBJ ×∇= . Oleh karena itu,

efek Meissner dalam superkonduktor bergantung pula pada perbandingan

ketebalan bahan terhadap λ. (Orlando, Terry P., 1991)

2.1.2 Resistivitas Nol

2-5

Bahan superkonduktor memiliki ciri transport listrik yang berbeda dari

konduktor (logam). Pertama, resistivitas konduktor tidak pernah menuju nol

karena kontribusi tumbukan elektron dengan impuritas yang menghasilkan

resistivitas residual, kecuali pada bahan konduktor murni (sempurna) yang bebas

impuritas. Namun untuk konduktor murni pun resistivitas hanya dapat menjadi

nol pada suhu mutlak 0 K. Di pihak lain superkonduktor dapat memperlihatkan

transisi tajam menuju resistivitas nol pada suhu kritis Tc, di atas suhu mutlak 0 K,

seperti pada gambar berikut. (Cyrot, M., 1992)

Gambar 2.5. kurva resistivitas terhadap suhu untuk konduktor

Kedua, hubungan konstitutif yang melandasi sifat bahan konduktor

adalah berdasarkan hukum Ohm, yaitu EJ σ= , sedangkan untuk bahan

superkonduktor berlaku hubungan konstitutif London yang merupakan akibat dari

dua persamaan London, yaitu :

AJΛ

−=1 (6)

dengan gauge london : 0=⋅∇ A , 0ˆ =⋅ nA , yang menjamin sifat stasioner J :

0=⋅∇ J , dan tiadanya arus yang mengalir keluar/masuk SK : 0ˆ =⋅ nJ

2-6

(Orlando, Terry P., 1991)

2.2 Model Kuantum Makroskopik

Sejauh ini telah diuraikan fenomena superkonduktivitas berdasarkan

rumusan elektrodinamika klasik (F. & H. London). Dalam pasal ini akan

diperkenalkan rumusan kuantum makroskopik (F. London) yang berhasil

memperdalam pengertian arus super dan menunjukkan adanya kuantisasi fluksoid.

F. London (1948) menyadari bahwa persamaan London dapat diturunkan dari ide

yang fundamental dengan mengasumsikan ensembel super-elektron secara

keseluruhan berkelakuan sebagai suatu sistem kuantum pada skala makroskopik.

Oleh karena itu, hadir sebuah fungsi gelombang kuantum makroskopik ( )tx,Ψ

yang menggambarkan kelakuan seluruh ensembel super-elektron di dalam

superkonduktor. (Orlando, Terry P., 1991)

2.2.1 Arus probabilitas dalam teori kuantum schrodinger

Sebagai pendahuluan pasal ini, tinjau persamaan Schrodinger yang berlaku

untuk partikel tunggal dengan fungsi keadaan ψ :

Ψ+Ψ∇−=Ψ∂∂ V

mti 2

2

2h

h (7)

dengan penafsiran fisik (M. Bohr) :

( ) =Ψ2

, tx rapat probabilitas ( ) ( ) Ρ≡ΨΨ= txtx ,,* (8)

yang memenuhi syarat normalisasi :

( ) 1,2

=Ψ∫ dVtx (9)

2-7

Persamaan di atas dapat diringkas menjadi persamaan kontinuitas :

Jt

⋅∇−=∂∂ρ (10)

yang menyatakan kekekalan probabilitas dengan

( **2

2Ψ∇Ψ−Ψ∇Ψ−=

mJ h ) (11)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Ψ∇Ψ

im2Re * h : rapat arus probabilitas (12)

Jika persamaan kontinuitas ini menyatakan kekekalan probabilitas secara

lokal, maka syarat normalisasi di depan merupakan pernyataan kekekalan secara

global. Pengaruh kehadiran medan elektromagnet luar dengan fungsi potensial

skalar φ dan potensial vektor A dapat diperhitungkan berdasarkan cara substitusi

minimal momentum linier p dalam persamaan kanonik mekanika klasik dengan

perumusan invarian gauge lokal dalam teori medan. Untuk partikel bermuatan q,

pengalihannya ke dalam bentuk kuantum dan hamiltonian yang bersangkutan juga

berubah (andaikan V = qφ ). Persamaan Schrodinger yang bersangkutan menjadi :

Ψ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∇=Ψ

∂∂ φqAq

imti

2

21 h

h (13)

dan rapat arus probabilitas yang bersangkutan menjadi :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Ψ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∇Ψ= A

mq

imJ h*Re (14)

(Orlando, Terry P., 1991)

2.2.2 Perumusan Kuantum makroskopik

2-8

Dengan asumsi pokok ensembel super-elektron secara keseluruhan

berkelakuan sebagai suatu sistem kuantum dan kelakuan/keadaannya dapat

dilukiskan oleh suatu fungsi keadaan kuantum makroskopik yang memenuhi

persamaan arus super dalam kehadiran medan elektromagnet, maka dapat

dispotulatkan kehadiran ( )tx,Ψ untuk mendeskripsikan kelakuan ensembel super-

elektron.

( ) ( ) ( ) ( ) ( txtxqtxtxAqim

txt

i sss

,,,,2

1,2

Ψ+Ψ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −∇=Ψ

∂∂ φh

h ) (15)

dengan ms dan qs masing-masing menyatakan massa dan muatan super-elektron

dan syarat normalisasi :

( ) ( )∫ =ΨΨ sNdVtxtx ,,* (jumlah super-elektron) (16)

sehingga ( ) ( )txtx ,,* ΨΨ = rapat lokal super-elektron= ( )txns , : real. Selanjutnya

rumus arus probabilitas diperluas menjadi rapat arus super

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Ψ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∇Ψ= A

mq

imqJ

s

s

sss

h*Re (17)

Substitusi ungkapan ( )tx,Ψ di atas ke dalam ungkapan arus super untuk

menghasilkan persamaan :

( ) ( ) ( ) ssss

s

ssss vnqtxA

mq

txm

txnqJ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−∇= ,,, θh (18)

dengan ( ) ( )txAmq

txm

vs

s

s

s ,, −∇= θh .

Di dalam superkonduktor, 0=sJ yang berarti Aqs ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∇D

θ Invarian gauge.

2-9

Js sebagai besaran fisis harus invarian terhadap pemilihan fase θ maupun

fungsi potensial A , kedua-duanya tidak dapat diukur secara eksperimen.

Kebebasan dalam memilih A hanya dibatasi oleh definisinya AB ×∇= , yang

berarti tidak boleh mengubah harga B . Batasan tersebut masih memungkinkan

variasi A sebagai berikut :

χ∇+=→ AAA ' (19)

yang berarti perubahan φ sebagai berikut :

t∂∂

−=→χφφφ (20)

Berdasarkan persamaan S bagi ( )tx,Ψ dapat ditunjukkan bahwa ini berarti pula

perubahan :

( ) ( ) ( )e txis txntx ,',,' θ=Ψ→Ψ (21)

Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa sJ akan tetap sama (invarian) bila dipenuhi

syarat :

χθθh

sq+=' (22)

(Orlando, Terry P., 1991)

2.2.3 Kuantisasi fluksoid

Di dalam bahan superkonduktor padat/tak berlubang/simply connected

yang cukup tebal (a/λ>>1), telah ditunjukkan bahwa medan B atau fluksi yang

bersangkutan ∫ ⋅ dsB selalu sama dengan nol. Namun, tidak demikian halnya bila

2-10

bahan tersebut mengandung lubang (mengandung daerah yang multiply

connected). Hal ini berkaitan dengan kenyataan bahwa lubang tersebut merupakan

daerah normal/non-superkonducting. Oleh karena itu, pada dasarnya medan B

atau fluksi magnet di dalam daerah lubang tidak selalu =0.

Pada sebuah bahan yang berbentuk cincin tebal/silinder berongga dengan

dinding tebal seperti tampak pada gambar berikut.

Gambar 2.6. cincin tebal superkonduktor

Jika medan luar diterapkan pada superkonduktor dengan suhu < Tc, tidak akan

terjadi penetrasi fluksi medan ke dalam rongga silinder sehubungan dengan

peniadaannya oleh arus super yang terimbas itu. Dalam hal ini efek Meissner

tampak operatif sepenuhnya. Sementara itu, pada kehadiran medan luar melalui

penurunan T sampai di bawah Tc, fluksi medan akan terperangkap oleh rongga

silinder, walaupun tidak terjadi penetrasi medan ke dalam bahan superkonduktor.

Kehadiran medan magnet dalam rongga akan menimbulkan arus imbas yang

bersirkulasi sepanjang lintasan tertutup dalam cincin sesuai dengan persamaan

Maxwell HJ ×∇= .

2-11

Gambar 2.7. fluksi medan magnet dalam rongga cincin

Secara klasik (teori London klasik), tidak terdapat batasan pada besarnya

fluksi medan magnet yang terperangkap itu. Menurut perumus model kuantum

makroskopik (MKM), 0=sJ sepanjang lintasan tertutup C di dalam dinding

silinder, ini berarti berlakunya hubungan :

θ∇=sq

A h (23)

Sepanjang C, jadi :

∫ ∫ ∇=⋅C C s

dlq

dlA θh (24)

∫ =⋅×∇S Cs

dq

dsA θh∫ (25)

∫ =⋅S Cs

dq

dsB θh∫ (26)

Ingatlah bahwa fase θ pada fungsi gelombang ensembel dapat mengambil harga

yang merupakan kelipatan bulat dari harga utamanya πθπ +≤≤− p , yaitu :

( ) ( ) πθθ ntxtx p 2,, += (27)

2-12

karena

( ) ( )ee nis

is

pnntx πθθ 2, +==Ψ (28)

Selanjutnya karena ( )txp ,θ bernilai tunggal, maka ∫ = 0pdθ , sehingga

πθ ndC

2=∫ (29)

Dengan kata lain

∫ Φ==⋅S s

nnq

dsB 02 πh (30)

eqs 20hh

→=Φ , bila superkonduktor = pasangan Cooper = kuantum fluxoid

Dengan n melambangkan bilangan bulat. Jadi penetrasi fluksi medan luar dalam

superkonduktor memiliki nilai kuantisasi yang tetap, yaitu

. (Orlando, Terry P., 1991) Webereh 150 100678.22/ −×==Φ

Gambar berikut menunjukkan hasil eksperimen yang dilakukan oleh

Deaver dan Fairbank (USA) dan Doll dan Näbauer (Jerman) yang identik secara

esensial.

2-13

Gambar 2.8. fluksi yang terperangkap dalam rongga cincin. (a) hasil eksperimen

Deaver dan Fairbank (USA). (b) data ideal

Sumber : (Orlando, Terry P., 1991)

Dengan mengukur penetrasi fluks medan luar, konsep super-elektron telah

dikonfirmasi secara eksperimen.

2-14

2.3 Efek Hall

Efek Hall adalah salah satu cara untuk menentukan konsentrasi pembawa

muatan. Gambar menunjukkan prinsip pengukuran konsentrasi lubang (hole)

dalam semikonduktor tipe-p.

Gambar 2-9. Pengukuran efek Hall

Lubang dalam semikonduktor pada arah sumbu x dipercepat dalam medan

listrik, sedangkan pada arah sumbu z diberikan medan magnet. Gerakan dari

partikel bermuatan dalam medan magnet diberikan sebagai :

F = q (v × B) (23)

Dimana F adalah vektor gaya yang bekerja pada partikel yang disebut

gaya Lorentz (Newton), v adalah kecepatan partikel ( sm ), dan B adalah medan

magnet (Tesla). Bila i , , dan adalah vektor-vektor satuan masing-masing

pada arah x, y, dan z. Dari gambar didapat :

ˆ j k

B = Bz k (24) ˆ

2-15

v = vx i ˆ

Dengan mensubstitusikan persamaan (23) ke (24) didapat :

F = q vxBBz ( i × ) = -(q vˆ k xBzB ) (25) j

Dengan q adalah muatan partikel (Coulomb).

Persamaan tersebut menyatakan gaya dengan arah negatif pada sumbu y.

Berarti lubang ditolak oleh gaya Lorentz ke arah sisi permukaan A. Bila hanya

terdapat gaya Lorentz, lubang akan dikonsentrasikan secara tak terhingga pada

permukaan A, namun ada yang menghentikan proses tersebut, saat lubang

didistribusikan ke satu sisi pada permukaan A, timbul gaya listrik pada arah y,

yaitu dari permukaan A ke permukaan B. Keadaan seimbang tercapai apabila

adanya keseimbangan antara medan listrik dan gaya Lorentz, dan timbul beda

tegangan antara permukaan A dan B. Tegangan ini disebut tegangan Hall yang

nilainya sebanding dengan konsentrasi pembawa (dalam hal ini konsentrasi

lubang), sebagai berikut :

Bila Ey adalah medan listrik ( mV ) dan dalam keadaan gaya-gaya

seimbang didapat :

qEy - q vxBBz = 0 (26)

atau

Ey = vxBBz (27)

Tegangan Hall (Volt) diberikan sebagai :

VH = lEy (28)

Bila p adalah konsentrasi lubang, maka arus I (Ampere) adalah :

I = q pvxdl (29)

2-16

Persamaan diatas dapat direduksi menjadi :

dB

qdpIB z

Hz

H RV == (30)

Bila VH, Bz, q, dan d diketahui, maka p dapat dihitung menggunakan

persamaan (30) dimana qpRH

1= disebut koefisien Hall. Konsentrasi elektron

dapat dihitung dengan cara yang sama, tetapi harus diingat bahwa elektron

bermuatan negatif. Hasilnya :

qdnIBz

HV −= (31)

Arah dari medan medan listrik Hall dalam semikonduktor tipe-n

berlawanan dengan pada semikonduktor tipe-p. Dengan cara ini pula dapat

ditentukan tipe konduksi semikonduktor yaitu dengan mengetahui polaritas

tegangan Hall.

Sementara itu, pada semikonduktor ekstrinsik yang memiliki dua

pembawa muatan, yaitu elektron dan lubang dengan konsentrasi dan mobilitas

yang berbeda maka koefisien Hall memiliki bentuk :

( )2

22

he

heH pne

pnR μμ

μμ+

+−= (32)

Dengan n adalah konsentrasi elektron, p adalah konsentrasi lubang, μe adalah

mobilitas elektron dan μh adalah mobilitas lubang. (Rio, S. Reka, 1980)

2.4 Penguat Operasional

2-17

Penguat operasional adalah suatu rangkaian elektronika yang dikemas

dalam bentuk rangkaian terpadu (IC). Perangkat ini sering digunakan sebagai

penguat sinyal, baik yang linier maupun yang non linier terutama dalam sistem

pengaturan dan pengendalian, instrumentasi, serta komputasi analog. Keuntungan

dari pemakaian penguat operasional ini adalah karakteristiknya yang mendekati

ideal sehingga dalam merancang rangkaian yang menggunakan penguat ini lebih

mudah dan juga karena penguat ini bekerja pada tingkatan yang cukup dekat

dengan karakteristik kerjanya secara teoritis. Dari sudut sinyal sebuah penguat

operasional mempunyai tiga terminal, yaitu dua terminal masukan dan satu

terminal keluaran.

Input 2

Gambar2.10. simbol rangkaian penguat operasional

Gambar menunjukkan simbol dari sebuah penguat operasional. Teminal

input 1 dan 2 adalah terminal masukan dan terminal output adalah terminal

keluaran. Kebanyakan penguat operasional membutuhkan catu daya DC dengan

dua polaritas untuk dapat beroperasi. Terminal VB+ disambungkan ke tegangan

positif (+V) dan terminal VB- disambungkan ke tegangan negatif (-V).

Karakteristik utama sebuah penguat operasional yang ideal adalah :

1. Impedansi masukan tak terhingga

2-18

Penguat yang ideal diharapkan tidak menarik arus masukan, artinya tidak ada arus

yang masuk kedalam terminal input 1 maupun 2 (I1 = I2 = 0)

2. Impedansi keluaran sama dengan nol

Terminal output merupakan keluaran penguat operasional, idealnya diharapkan

bertindak sebagai terminal keluaran sebuah sumber sumber tegangan ideal.

Tegangan antara terminal output dengan ground akan selalu sama dengan A(V2 -

V1), dimana A adalah faktor penguatan sebuah penguat operasional.

3. Penguatan loop terbuka tak terhingga

Apabila dioperasikan pada loop terbuka (tidak ada umpan balik dari keluaran ke

masukan), maka sebuah penguat operasional ideal mempunyai penguatan (gain)

yang besarnya tak terhingga.

2.4.1 Penguat Tak Membalik (Non-inverting Amplifier)

Penguat tak membalik merupakan suatu penguat dimana tegangan

keluarannya atau Vo mempunyai polaritas yang sama dengan tegangan masukan

atau Vi. Rangkaian penguat tak membalik ditunjukkan pada Gambar berikut.

2-19

Gambar 2.11 penguat tak membalik

Arus i mengalir ke Ri karena impedansi masukan op-amp sangat besar

sehingga tidak ada arus yang mengalir pada kedua terminal masukannya.

Tegangan pada Ri sama dengan Vi karena perbedaan tegangan pada kedua

terminal masukannya mendekati 0 V.

i

i

RV

i = (33)

Tegangan pada Rf dapat dinyatakan sebagai :

ii

ffR

VRR

RiV f×=×= (34)

Tegangan keluaran Vo didapat dengan menambahkan tegangan pada Ri yaitu Vi

dengan tegangan pada Rf yaitu V . fR

ii

fio V

RR

VV ×+= (35)

Sehingga diperoleh penguatan sebesar :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

i

f

i

o

RR

VV

1 (36)

(Millman, 1972)

2-20

2-21